中考数学专题-分式方程及其应用

第16讲分式方程及其应用

考点·方法·破译

1．分式方程(组)的解法

解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.

2．分式方程增根

在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).

3．列分式方程解应用题

列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.

经典·考题·赏析

【例1】解下列方程:

⑴

2

2

x

x

-

+

－

2

16

4

x-

＝1

⑵

1

2

x+

－

2

2

4

4

x

x

-

－

2

2

x-

＝4

⑶

4

5

x

x

-

-

＋

8

9

x

x

-

-

＝

7

8

x

x

-

-

＋

5

6

x

x

-

-

【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式，找到最简公分母，然后将分式方程转化为整式方程，求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂，若注意到

将这四个分式的分母均比分子小这个特点，先化简，如

4

5

x

x

-

-

＝

51

5

x

x

-+

-

＝1＋

1

5

x-

，按照

上述变形，原方程可变为

1

5

x-

＋

1

9

x-

＝

1

8

x-

＋

1

6

x-

再移项后分组通分求解较简单.

解: ⑴

2

2

x

x

-

+

－

()()

16

22

x x

-+

＝1

(x－2) 2－16＝(x＋2) (x－2)

x2－4x＋4－16＝x2－4

x＝－2

当x＝－2时(x＋2) (x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程无解.

⑵12x +＋()()2

422x x x +-－22

x -＝4

x －2＋4x 2－2(x ＋2)＝4(x ＋2) (x －2) ∴x ＝10

当x ＝10时， (x ＋2) (x －2) ≠0， ∴原分式方程的解为x ＝10.

⑶原方程变形为515x x -+-＋919x x -+-＝818x x -+-＋61

6x x -+-

1＋15x -＋1＋19x -＝1＋1

8x -＋1＋16x -

∴15x -＋19x -＝1

8x -＋16

x - 15x -－16x -＝18x -－19

x - 两边分别通分得:

()()156x x ---＝()()

1

89x x ---

∴(x －5) (x －6)＝(x －8) (x －9)

∴x ＝7 检验知x ＝7是原方程的解.

【变式题组】 ⑴

12x x --＝1

2x

-－2

⑵

2x x -＋2＝3(2)x x

-

⑶

14x -－23x -＝32x -－41

x -

⑷

12x +＋242x x -＋22x

-＝1

【例２】当m 为何值时，分式方程

1m x +－21x -＝231

x -会产生增根? 【解法指导】我们很容易测出分式方程可能产生的增根是x ＝1或x ＝－1，只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程，即可求出相应的字母的值.

解:原方程去分母并整理得 (m －2) x ＝5＋m

假设产生增根x ＝1，则有: m －2＝5＋m ，方程无解，所以不存在m 的值，使原方程产生增根x ＝1;

假设产生增根x ＝－1，则有:2－m ＝5＋m ，解得m ＝－32

. ∴m ＝－

32

时，分式方程1m x +－21x -＝23

1x -产生增根.

【变式题组】 01．分式方程

22x x -+－22x x +-＝216

4

x -的增根是__________. 02．若分式方程

()()

6

11x x +-－

1

m

x -＝1有增根，则它的增根为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1，－1

03．(绥化)若关于x 的方程

23x -＝1－3

m x -无解.则m 的值为___________. 04．分式方程1m x +－21x -＝23

2

x -无解，则m 的值为___________.

【例３】(杭州)已知关于x 的方程22

x m

x +-＝3的解是正数，则m 的取值范围是_________.

【解法指导】求出方程的解x ＞0且x ≠2即可 解:

22

x m

x +-＝3 2x ＋m ＝3x －6 x ＝m ＋6 ∴60

62

m m +>⎧⎨

+≠⎩ ∴m ＞－6且m ≠－4

【变式题组】 01．(孝感)关于x 的方程

21

x a

x +-＝1的解是正数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞－1 B ． a ＞－1，且a ≠0 C ． a ＜－1 D ． a ＜－1，且a ≠－2 02．当m 为何值时，关于x 的方程

2

2

m x x --＝ 1x x +－ 1

2x x --的解是正数?

【例４】(山东青岛)某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.

⑴该商场两次共购进这种运动服多少套? ⑵如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元?

【解法指导】 ⑴设商场第一次购进x 套运动服，由题意得: 68000x －32000

x

＝10 解这个方程，得x ＝200，经检验， x ＝200是原方程的解. 2x ＋x ＝600