线面垂直的判定定理和性质

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线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系

1.线面垂直

直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:

直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2.面面垂直

两个平面垂直的定义:相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)

如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:

两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)

若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系

为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质

面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.

例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.

(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;

(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥

证明:平面1AB C ⊥平面11A BC

3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理

2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系
线面关系
线线关系
空间问题平面化面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
直线与平面垂直的性质
温故知新
直线与平面垂直定义：
如果直线 l 与平面内
的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面
互相垂直。
直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交线都垂直，则该直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直。线线垂直则线面垂直。
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂直关系
线线平行关系
平面与平面垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：

线面垂直面面垂直的性质与判定定理课件

证明方法2
利用反证法证明线面垂直的性质。
证明方法3
通过实例证明线面垂直的性质。
03
面面垂直的性质
定义与性质
定义
性质2
两个平面如果垂直，则它们的法线互相垂直。
如果两个平面垂直，那么它们之间的任意一条直线与这两个平面的法线形成的角都是直角。
性质1
如果两个平面垂直，那么它们之间的任意一条直线与这两个平面形成的角都是直角。
性质的应用
应用1
在几何学中，可以利用面面垂直的性质来判断两个平面是否垂直
。
应用2
在建筑学中，可以利用面面垂直的性质来设计建筑物的结构，以确保建筑物的稳定性和安全性。
应用3
在物理学中，可以利用面面垂直的性质来研究物体的运动规律，例如物体在重力场中的运动等。
性质证明
证明方法1
利用向量内积的性质，证明两个平面的法线内积为0，从而证明两个平面垂直。
学习目标
学习者能够理解面面垂直的性质与判定定理的基本概念。
学习者能够通过实际案例分析，提高解决实际问题的能力。
学习者能够掌握面面垂直的性质与判定定理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与某一平面内的任意一条直线都垂直。

高中数学必修二4.线面垂直的性质及判定

αO A B C

αO

授课内容线面垂直的判定及性质

教学内容

知识梳理

1 、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足

直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α

2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

3 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行

4、斜线,垂线,射影

⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

⑵斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段

⑶射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影

直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上

5．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角

一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。直线和平面所成角范围： [0，

π]

（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

【同步练习】

(完整版)线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理

一、线面平行。

1、判定定理:平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.符合表示：

ββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄

2、性质定理：如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线

和交线平行。符号表示: b a b a a a ////⇒⎪⎪

⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα

二、面面平行。

1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

符号表示： β

α//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b

n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。符号表

示： d l d l ////⇒⎪⎭

⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面)

三、线面垂直。

1、判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.

符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a $:三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射

影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示：

PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂αα

α 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线.)

四、面面垂直.

1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

线面、面面平行和垂直的八大定理

一、线面平行。

1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。符合表示：

⇒

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⊂

⊄

2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。符号表示：

⇒

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⊂

⊄

二、面面平行。

1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

符号表示：

α//

⇒

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

符号表示：d

l//

⇒

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

（更加实用的性质：一个平

面内的任一直线平行另一平面）

三、线面垂直。

1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直

线垂直这个平面。符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示：

PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂α

αα

2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。）

四、面面垂直。

1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,

2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，

线面垂直判定与性质

•知识点

1•直线和平面垂直定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直 •

2. 线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面判定定理： ______ . 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 .

3. 三垂线定理和它的逆定理.

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. •题型示例

【例1】如图所示，已知点 S 是平面ABC 外一点，

/ ABC=90 ° , SA 丄平面 ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的射影分别为点 E 、F ，求证：EF 丄SC.

【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF 丄SC 成立，结合 AF 丄SC 可推证SC 丄平面AEF ，这样 SC ± AE ,结合AE 丄SB ,可推证 AE 丄平面SBC ,因此证明 AE 丄平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA 丄平面ABC , / ABC=90。，可以推证 BC 丄AE ,结合 AE 丄SB 完成AE 丄平面SBC 的证明.

【规范解答】

【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解

线面垂直

例1题图

决问题的关键•

线面垂直面面垂直的性质与判定定理

证明：设
l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
l
wenku.baidu.com
b
b l
面面垂直性质
b
又a
β
a//b
b
a
线面垂直性质
a //
变式：
思考：已，知，平直 a,面且线 ,AB , a//,aAB ,试判断 a与直平线的面位置关
a⊥β
α a
b
B
β γ
证明：过a作平面γ交于b，因为直线a//，所以a//b 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
线面垂直面面垂直的性质与判定定理
温故知新直线与平面垂直定义：
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们
说直线 l 与平面互相垂直。
直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交线都垂直，则该直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直。
线线垂直则线面垂直。
直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行
∴AD⊥BC
A
C
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴SA⊥BC
∵SA∩AD=A， ∴BC⊥平面SAB
B
“从已知想性质，从求证想判定”这是证明几何问题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC

线面垂直的判定

线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。注意关键词“相交”，如果是平行直线，则无法判定线面垂直。

直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。

线面垂直性质定理

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高中数学线面、面面垂直的判定与性质

线面、面面垂直的判定与性质

知识回顾

1．直线与平面垂直的判定

（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．

（2）判定定理

文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号表述：

⎭

⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b

⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质

文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表述：

⎭⎪⎬⎪

⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

4．平面与平面的垂直的判定

（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．

（2）面面垂直的判定定理

文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

符号表示：

⎭

⎪⎬⎪

⎫a ⊥β

⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角

二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

二面角的平面角：

如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．

题型讲解

题型一

例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()

A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交

答案：C

例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()

线面垂直的判定与性质

A a
B C
例3 如图，已知 PA ^ 矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证：（1） MN ^ CD; （2）若 PDA 45，求证：MN ^ 面PCD
P E N A M B D
C
在正方体AC1中，O为下底面的中心，求证：AC⊥面D1B1BD
D1 C1
A1
B1
D
A
O
C
B
在正方体AC1中，O为下底面的中心， B1H ⊥D1O 求证：AC⊥面D1B1BD
D1
求证：B1H⊥面D1AC
C1
A1
H
B1
D
A
O
C
B
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（2）性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。
如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面
P
（1）BC⊥面PAC
A a
B C
如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面
P
若AH⊥PC 则AH⊥面PBC H
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． l m 线不在多相交则行 O 线线垂直线面垂直 n α
ma 符号语言： na m I n=O l^ m l^ n

线面垂直的判定与性质

线面垂直线面垂直

●知识点

1.直线和平面垂直定义直线和平面垂直定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理.

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.

●题型示例

【例1】如图所示，已知点S 是平面ABC 外一点，外一点， ∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的上的射影分别为点E 、F ，求证：EF ⊥SC .

【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF ⊥SC 成立，结合AF ⊥SC 可推证SC ⊥平面AEF ，这样，这样 SC ⊥AE ，结合AE ⊥SB ，可推证AE ⊥平面SBC ，因此证明，因此证明 AE ⊥平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA ⊥平面ABC ， ∠ABC =90°，可以推证BC ⊥AE ，结合AE ⊥SB 完成AE ⊥平⊥平面SBC 的证明.

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系

为：线线垂直判定

性质线面垂直判定

性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切，

可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同

学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中

蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．

例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱111ABC A B C 的侧面11BCC B 是菱形，11B C

A B

证明：平面1ABC 平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，AB=AD=1，AA

1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1

4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系

为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．

例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥

证明：平面1AB C ⊥平面11A BC

3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；

线面、面面平行和垂直的八大定理

一、线面平行。

1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平

面平行。符合表示： β

ββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄

2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。符号表示：

b a b a a a ////⇒⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα

二、面面平行。

1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

符号表示： β

α//////⇒⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭

⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平

面内的任一直线平行另一平面）

三、线面垂直。

1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直

线垂直这个平面。符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭

符号表示：

PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα

2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。）

四、面面垂直。

1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

线面垂直判定与性质

线面垂直

●知识点

1.直线和平面垂直定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.

判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

3.三垂线定理和它的逆定理.

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.

●题型示例

【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点，

∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的

射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.

【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设

EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样

SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明

AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平面SBC的证明.

【规范解答】

【解后归纳】

题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解

例1题图

决问题的关键.

【例2】已知：M ∩N =AB ,PQ ⊥M 于Q ，PO ⊥N 于O ，OR ⊥M 于R ，求证：QR ⊥AB .