2012江苏百校高三样本分析卷-数学(word)
江苏省2025届高三数学第二次百校联考试题
2025届高三数学其次次考试试题留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准运用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必需保持答题卡的整齐。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{－2，－1，0，1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1，2} 2．若复数z ＝(m ＋1)－2m i(m ∈R )为纯虚数，则z 的共轭复数是( )A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i 3．设函数错误!未指定书签。
则f (f (－3))＝()A ．14B ．2C ．4D ．8 4．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器----商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成．已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3．8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12．6立方寸，若π取3.14，则圆柱的母线长约为()A ．0.38寸B ．1.15寸C ．1.53寸D ．4.59寸5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为2；乙：该函数图象可以由y ＝sin2x ＋cos2x 的图象平移得到； 丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3，0)． 假如只有一个假命题，那么该命题是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 6．“0＜x sin x ＜π2”是“0＜x ＜π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线C 的左、右焦点分别是为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若→AF 2＝3→F 2B ，|→AB |＝|→AF 1|，则C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝35，则cos(α＋β)cos(α－β)＝( )A ．725B ．15C ．15D ．－725二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知x ＋y ＞0，且x ＜0，则( )A ．x 2＞－xy B ．|x |＜|y | C ．lg x 2＞lg y2D ．y x ＋x y＜－210．已知两点A (－4，3)，B (2，1)，曲线C 上存在点P 满意|PA |＝|PB |，则曲线C 的方程可以是( )A ．3x －y ＋1＝0B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 22－y 2＝1 D ．y 2＝3x11．设错误!未指定书签。
江苏省百校大联考2024学年高三下学期第三次月考试数学试题
江苏省百校大联考2024学年高三下学期第三次月考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A ．2B ．14C ．116或2 D ．14或4 2．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-3．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．224．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．25．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<9．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x = B ．6y x = C ．(32=±y x D ．)31=±y x11．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<12．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省百校大联考2024届高三第一次考试(数学)
江苏省百校联考高三年级第一次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x∈N*|2x<4},B={x|-1<x<2},则A∩B=A.{x|-1<x<2}B.{x|x<2}C.{0,1}D.{1}2.“a∥b”是“|a+b|=|a|+|b|”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.欧拉公式e iθ=cos θ+isin θ(其中e=2.718…,i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式,下列结论中正确的是A.e iπ的实部为1B.e2i在复平面内对应的点在第一象限C.|e iθ|=1D.e iπ的共轭复数为14.已知直线l:x+my+1=0和圆E:x2+y2-4x+3=0,则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为A.2B.3C.4D.55.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题:“今有七人差等均钱,甲乙均五十八文,戊己庚均六十文,问乙丁各若干?”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人,所分到的钱数成等差数列,甲、乙两人共分到58文,戊、己、庚三人共分到60文,问乙、丁两人各分到多少文钱?下列说法正确的是A.乙分到30文,丁分到26文B.乙分到28文,丁分到24文C.乙分到24文,丁分到28文D.乙分到26文,丁分到30文6.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x-m与C交于A,B两点,若F1和F2到直线AB的距离之比等于3,则m=A.-B.C.2D.或27.已知函数f(x)=x e x,g(x)=-,若f(x1)=g(x2)=t(t>0),则的最大值为A.eB.1C.D.8.如图①,已知边长为4的等边△ABC,E,F分别为边AB,AC的中点,现以EF为折痕将△ABC折起为四棱锥A'-BCFE,使得A'B=,如图②,则四棱锥A'-BCFE的外接球体积为A.πB.πC.πD.17π二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是A.线性回归方程中,若线性相关系数r越大,则两个变量的线性相关性越强B.数据1,3,4,5,7,9,11,16的第75百分位数为10C.根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到χ2=3.937,根据小概率值α=0.05的独立性检验(x0.05=3.841),可判断X与Y有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05D.某校共有男女学生1500人,现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本,若样本中男生有55人,则该校女生人数是67510.设函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称f(x)为“优美函数”.下列所给出的函数中是“优美函数”的是A.f(x)=B.f(x)=2xC.f(x)=ln(x2+3)D.f(x)=2cos x11.函数f(x)=2cos(2ωx-π)-2sin 2ωx(0<ω<1)的图象如图所示,将其向左平移π个单位长度,得到y=g(x)的图象,则下列说法正确的是A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于点(π,0)对称C.函数y=g(x)·sin x的图象关于直线x=π对称D.函数g(2x+π)在[-π,π]上单调递减12.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两点,O为坐标原点,则A.抛物线C的焦点坐标为(0,1)B.若A,F,B三点共线,则x1x2=-1C.若|AB|=8,则AB的中点到x轴距离的最小值为3D.若OA⊥OB,则|OA||OB|≥32三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.根据气象统计,长江中下游地区梅雨季节吹东北风的概率为0.7,下雨的概率为0.8,既吹东北风又下雨的概率为0.65,则该地区在某天吹东北风的条件下下雨的概率为▲.14.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA'的长为3,且∠A'AB=∠A'AD=60°,则AC'的长为▲.15.已知ξ~N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+3)为偶函数,则μ=▲.16.已知x+y+2xy=5,当x,y∈R+时,x+y的最小值为▲;当x,y∈Z时,x+y的值为▲.(本题第一空2分,第二空3分)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.17.(10分)高三年级组织班级趣味体育比赛,经多轮比赛后,甲、乙两班进入决赛.决赛共设三个项目,每个项目胜者得2分,负者得-1分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的班级获得冠军.已知甲班在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.5,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲班获得冠军的概率;(2)用X表示乙班的总得分,求X的分布列与期望.18.(12分)已知正项数列{a n}满足a1=3,且a n(-1)=2a n+1(-1),n∈N*.(1)设b n=a n-,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{+}的前n项和T n.19.(12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+c=a(cos C+sin C).(1)求A;(2)若a=2,求△ABC内切圆周长的最大值.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,M是棱PC(不与端点重合)上的点,N,Q分别为PA,AD的中点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)证明:BN∥平面PCD.(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC的夹角的大小为π?21.(12分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=,l2:y=-.(1)求双曲线E的离心率;(2)O为坐标原点,过双曲线上一点P(2,1)作直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限),且=2,求△AOB的面积.22.(12分)已知函数f(x)=(x+a)e x,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;(2)对任意x∈R,不等式f(x)≥x3-x-2恒成立,求a的取值范围.。
2012江苏高考数学卷解析(含考查细目表)
∴ f ( x) x
a a a a c 解得 c x c ， c x c . 2 2 2 2
2
∵不等式 f ( x) c 的解集为 (m ， m 6) ，∴ ( c ) ( c ) 2 c 6 ，解得 c 9 .
b2 ①. 2
3 2
1 2
1 a 1 ， 2
1 3 f f ， 2 2
1 2
b4 ②. 3
联立①②，解得， a =2. b = 4 。∴ a 3b = 10 . 11．设 为锐角，若 cos
4 ，则 sin( 2a ) 的值为 ▲ ． 6 5 12
2 1 2 .
本题也可建立以 AB , AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解.
1] 上， 10．设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 [1，
1≤ x 0 ， ax 1， 其中 a ， b R ．若 f ( x) bx 2 ， 0 ≤ x ≤ 1， x 1
∴ e= =
c a
m m2 4 m
= 5 ，即 m 2 4m 4=0 ，解得 m =2 .
BC 2 ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 9．如图，在矩形 ABCD 中， AB 2 ， AB AF 2 ，则 AE BF 的值是 ▲ ．
作出（ x，y ）所在平面区域（如图）.求出 y =e x 的切 线的斜率 e ，设过切点 P x0，y0 的切线为 y =ex m m 0 ， 则
y0 ex0 m m ，要使它最小，须 m =0 . = =e x0 x0 x0
江苏省百校大联考2024学年数学高三上期末调研模拟试题含解析
江苏省百校大联考2024学年数学高三上期末调研模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12B ．10C ．10D ．22．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．53．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1004．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π5．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．266．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．8．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 9．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件12．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 小题 每小题 分 共计 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．（ 分）（ 江苏）已知集合 则 ．并集及其运算．考点：集合．专题：分由题意 两个集合的元素已经给出 故由并集的运算规则直接得到两个集析：合的并集即可解解：答：故答案为点本题考查并集运算 属于集合中的简单计算题 解题的关键是理解并的运算定评：义．（ 分）（ 江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 则应从高二年级抽取 名学生．考分层抽样方法．点：专概率与统计．题：分根据三个年级的人数比 做出高二所占的比例 用要抽取得样本容量乘以高二析：所占的比例 得到要抽取的高二的人数．解答：解： 高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ：高二在总体中所占的比例是用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本要从高二抽取故答案为：点评：本题考查分层抽样方法 本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例 这就是在抽样过程中被抽到的概率 本题是一个基础题．．（ 分）（ 江苏）设 （ 为虚数单位） 则 的值为 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 再由进行计算即可得到 再由复数相等的充分条件即可得到 的值 从而得到所求的答案解答：解：由题所以 故故答案为点评：本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁 解题时要注意运用它进行转化．．（ 分）（ 江苏）图是一个算法流程图 则输出的 的值是 ．循环结构．考点：算法和程序框图．专题：分利用程序框图计算表达式的值 判断是否循环 达到满足题目的条件 结束循析：环 得到结果即可．解解： ﹣ ＞ 不满足判断框．则 ﹣ ﹣ ＞ 答：不满足判断框的条件则 ﹣ ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 成立所以结束循环输出 ．故答案为： ．点本题考查循环框图的作用 考查计算能力 注意循环条件的判断．评：．（ 分）（ 江苏）函数 （ ） 的定义域为（ ．考对数函数的定义域．专函数的性质及应用．题：分根据开偶次方被开方数要大于等于 真数要大于 得到不等式组 根据对析：数的单调性解出不等式的解集 得到结果．解解：函数 （ ） 要满足 ﹣ 且 ＞答：＞＞＞故答案为：（点本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题 在解题时一般遇到 开偶次评：方时 被开方数要不小于 ；真数要大于 ；分母不等于 ； 次方的底数不等于 这种题目的运算量不大 是基础题．．（ 分）（ 江苏）现有 个数 它们能构成一个以 为首项 ﹣ 为公比的等比数列 若从这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是．考等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．点：等差数列与等比数列；概率与统计．专题：分先由题意写出成等比数列的 个数为 然后找出小于 的项的个数 代入古析：典概论的计算公式即可求解解解：由题意成等比数列的 个数为： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣答：）其中小于 的项有： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ）共 个数这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是故答案为：点本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用 属于基础评：试题．（ 分）（ 江苏）如图 在长方体 ﹣ 中则四棱锥 ﹣ 的体积为 ．棱柱、棱锥、棱台的体积．考点：专空间位置关系与距离；立体几何．题：分过 作 于 求出 然后求出几何体的体积即可．析：解解：过 作 于 是棱锥的高 所以答：的体积为 ．所以四棱锥 ﹣故答案为： ．点本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力与计算能力．评：．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 若双曲线的离心率为 则 的值为 ．双曲线的简单性质．考点：专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分由双曲线方程得 的分母 ＞ 所以双曲线的焦点必在 轴上．因此析：＞ 可得 最后根据双曲线的离心率为 可得建立关于 的方程： 解之得 ．解解： ＞答：双曲线的焦点必在 轴上因此 ＞双曲线的离心率为可得所以 解之得故答案为：点本题给出含有字母参数的双曲线方程 在已知离心率的情况下求参数的值 着评：重考查了双曲线的概念与性质 属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图 在矩形 中 点 为 的中点 点 在边 上 若 则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形 把已知向量用矩形的边所在的向量来表示 做出要用的向量的模长 表示出要求得向量的数量积 注意应用垂直的向量数量积等于 得到结果．解答：解：﹣（）（） ﹣ ﹣故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式 本题是一个中档题目．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 在区间 ﹣ 上 （ ） 其中 ．若 则 的值为﹣ ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 由 （ ）的表达式可得 （） （﹣） ﹣ （） ；再由 （﹣ ） （ ）得 解关于 的方程组可得到 的值 从而得到答案．解答：解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数 （ ）（） （﹣） ﹣ （） ；又﹣又 （﹣ ） （ ）由 解得 ﹣ ；﹣ ．故答案为：﹣ ．点评：本题考查函数的周期性 考查分段函数的解析式的求法 着重考查方程组思想 得到 的方程组并求得 的值是关键 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）设 为锐角 若 （ ） 则 （ ）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设 根据 求出 进而求出 和 最后用两角和的正弦公式得到 （ ）的值．解答：解：设﹣（ ） （ ﹣） （ ﹣） ﹣ ．故答案为：．点本题要我们在已知锐角 的余弦值的情况下 求 的正弦值 着重评：考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式 考查了三角函数中的恒等变换应用 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 圆 的方程为 ﹣ 若直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点 则 的最大值是．考圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．点：直线与圆．专题：分由于圆 的方程为（ ﹣ ） 由题意可知 只需（ ﹣ ） 析：与直线 ﹣ 有公共点即可．解解： 圆 的方程为 ﹣ 整理得：（ ﹣ ） 即答：圆 是以（ ）为圆心 为半径的圆；又直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点只需圆 ：（ ﹣ ） 与直线 ﹣ 有公共点即可．设圆心 （ ）到直线 ﹣ 的距离为则 即 ﹣．的最大值是．故答案为：．点本题考查直线与圆的位置关系 将条件转化为 （ ﹣ ） 与直线评：﹣ 有公共点 是关键 考查学生灵活解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ）的值域为 ） 若关于 的不等式 （ ）＜ 的解集为（ ） 则实数 的值为 ．考一元二次不等式的应用．点：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．专题：分根据函数的值域求出 与 的关系 然后根据不等式的解集可得 （ ） 的两个析：根为 最后利用根与系数的关系建立等式 解之即可．解解： 函数 （ ） （ ）的值域为 ）答：（ ） 只有一个根 即 ﹣ 则不等式 （ ）＜ 的解集为（ ）即为 ＜ 解集为（ ）则 ﹣ 的两个根为﹣解得故答案为：点本题主要考查了一元二次不等式的应用 以及根与系数的关系 同时考查了分评：析求解的能力和计算能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知正数 满足： ﹣ ﹣则的取值范围是 ．导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．考点：导数的综合应用；不等式的解法及应用．专题：分由题意可求得 而 ﹣ ﹣ 于是可得 ；由析：可得 ＜ 从而 设函数 （ ） （ ＞ ） 利用其导数可求得 （ ）的极小值 也就是的最小值 于是问题解决．解解： ﹣ ＞答：＞﹣ ﹣．从而 ﹣ 特别当 时 第二个不等式成立．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．又＜从而 设函数 （ ） （ ＞ ）（ ） 当 ＜ ＜ 时 （ ）＜ 当 ＞ 时 （ ）＞ 当 时 （ ）当 时 （ ）取到极小值 也是最小值．（ ） （ ） ．等号当且仅当 成立．代入第一个不等式知： 不等式成立 从而 可以取得．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．从而的取值范围是 双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用 得到 通过构造函数求的最小值是关键 也是难点 考查分析与转化、构造函数解决问题的能力 属于难题．二、解答题：本大题共 小题 共计 分．请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ 江苏）在 中 已知．（ ）求证： ；（ ）若 求 的值．解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．考点：专三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．题：分（ ）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边 然后两边同时析：除以 化简后 再利用正弦定理变形 根据 利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到 ；（ ）由 为三角形的内角 及 的值 利用同角三角函数间的基本关系求出 的值 进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 的值 由的值 及三角形的内角和定理 利用诱导公式求出 （ ）的值 利用两角和与差的正切函数公式化简后 将 代入 得到关于 的方程求出方程的解得到 的值 再由 为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出 的度数．解解：（ ）答：即由正弦定理 得：又 ＜ ＜ ＞ ＞在等式两边同时除以 可得 ；（ ） ＜ ＜则 ﹣（ ） 即 （ ） ﹣﹣将 代入得： ﹣整理得： ﹣ ﹣ 即（ ﹣ ）（ ）解得： 或 ﹣又 ＞又 为三角形的内角则 ．点此题属于解三角形的题型 涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则 正弦定评：理 同角三角函数间的基本关系 诱导公式 两角和与差的正切函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键．．（ 分）（ 江苏）如图 在直三棱柱 ﹣ 中分别是棱 上的点（点 不同于点 ） 且 为 的中点．求证：（ ）平面 平面 ；（ ）直线 平面 ．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离；立体几何． 分析： （ ）根据三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 得到 平面 从而结合已知条件 、 是平面 内的相交直线 得到平面 从而平面 平面 ；（ ）先证出等腰三角形 中 再用类似（ ）的方法证出 平面 结合 平面 得到 最后根据线面平行的判定定理 得到直线 平面 ．解答：解：（ ） 三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 平面平面又 、 是平面 内的相交直线平面平面平面 平面 ；（ ） 中 为 的中点平面 平面又 、 是平面 内的相交直线平面又 平面平面 平面直线 平面 ．点评： 本题以一个特殊的直三棱柱为载体 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）如图 建立平面直角坐标系 轴在地平面上 轴垂直于地平面 单位长度为 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 ﹣（ ） （ ＞ ）表示的曲线上 其中 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（ ）求炮的最大射程；（ ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） 其飞行高度为 千米 试问它的横坐标 不超过多少时 炮弹可以击中它？请说明理由．函数模型的选择与应用．考点：函数的性质及应用．专题：分（ ）求炮的最大射程即求 ﹣（ ） （ ＞ ）与 轴的横坐标 析：求出后应用基本不等式求解．（ ）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值 由一元二次方程根的判别式求解．解解：（ ）在 ﹣（ ） （ ＞ ）中 令 得 ﹣（ ）答：．由实际意义和题设条件知 ＞ ＞ ．当且仅当 时取等号．炮的最大射程是 千米．（ ） ＞ 炮弹可以击中目标等价于存在 ＞ 使 ﹣（ ） 成立即关于 的方程 ﹣ 有正根．由韦达定理满足两根之和大于 两根之积大于故只需 ﹣ （ ） 得 ．此时 ＞ ．当 不超过 千米时 炮弹可以击中目标．点本题考查函数模型的运用 考查基本不等式的运用 考查学生分析解决问题的评：能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）若函数 （ ）在 处取得极大值或极小值 则称 为函数 （ ）的极值点．已知 是实数 和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点．（ ）求 和 的值；（ ）设函数 （ ）的导函数 （ ） （ ） 求 （ ）的极值点；（ ）设 （ ） （ （ ））﹣ 其中 ﹣ 求函数 （ ）的零点个数．考函数在某点取得极值的条件；函数的零点．点：导数的综合应用．专题：分（ ）求出 导函数 根据 和﹣ 是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．析：（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ 求出 （ ） 令 （ ） 求解讨论即可．（ ）先分 和 ＜ 讨论关于的方程 （ ） 的情况；再考虑函数 （ ）的零点．解解：（ ）由 （ ） 得 （ ） ．答：和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点（ ） ﹣ （﹣ ） 解得 ﹣ ．（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ （ ） （ ） ﹣﹣ ．（ ﹣ ） （ ） 解得当 ＜﹣ 时 （ ）＜ ；当﹣ ＜ ＜ 时 （ ）＞﹣ 是 （ ）的极值点．当﹣ ＜ ＜ 或 ＞ 时 （ ）＞ 不是 （ ） 的极值点．（ ）的极值点是﹣ ．（ ）令 （ ） 则 （ ） （ ）﹣ ．先讨论关于 的方程 （ ） 根的情况 ﹣当 时 由（ ）可知 （ ） ﹣ 的两个不同的根为 和一 注意到 （ ）是奇函数（ ） 的两个不同的根为﹣ 和 ．当 ＜ 时 （﹣ ）﹣ （ ）﹣ ﹣ ＞ （ ）﹣ （﹣ ）﹣ ﹣ ﹣ ＜一 ﹣ 都不是 （ ） 的根．由（ ）知 （ ） （ ）（ ﹣ ）．当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数 从而 （ ）＞ （ ） ．此时 （ ） 在（ ）无实根．当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数．又 （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ ＞ （ ）﹣ 的图象不间断（ ） 在（ ）内有唯一实根．同理 在（一 一 ）内有唯一实根．当 （﹣ ）时 （ ）＜ 于是 （ ）是单调减函数．又 （﹣ ）﹣ ＞ （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ 的图象不间断 （ ） 在（一 ）内有唯一实根．因此 当 时 （ ） 有两个不同的根 满足；当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．现考虑函数 （ ）的零点：（ ）当 时 （ ） 有两个根 满足．而 （ ） 有三个不同的根 （ ） 有两个不同的根 故 （ ）有 个零点．（ ）当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．而 （ ） 有三个不同的根 故 （ ）有 个零点．综上所述 当 时 函数 （ ）有 个零点；当 ＜ 时 函数 （ ）有 个零点．点评： 本题考查导数知识的运用 考查函数的极值 考查函数的单调性 考查函数的零点 考查分类讨论的数学思想 综合性强 难度大．．（ 分）（ 江苏）如图 在平面直角坐标系 中 椭圆（ ＞ ＞ ）的左、右焦点分别为 （﹣ ） （ ）．已知（ ）和（ ）都在椭圆上 其中 为椭圆的离心率．（ ）求椭圆的方程；（ ）设 是椭圆上位于 轴上方的两点 且直线 与直线 平行 与 交于点 ．（ ）若 ﹣ 求直线 的斜率；（ ）求证： 是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ ）根据椭圆的性质和已知（ ）和（ ） 都在椭圆上列式求解． （ ）（ ）设 与 的方程分别为 ﹣ 与椭圆方程联立 求出 、 根据已知条件 ﹣ 用待定系数法求解；（ ）利用直线 与直线 平行 点 在椭圆上知 可得 由此可求得 是定值．解答：（ ）解：由题设知 由点（ ）在椭圆上 得 ﹣ ．由点（ ）在椭圆上 得椭圆的方程为．（ ）解：由（ ）得 （﹣ ） （ ）又 直线 与直线 平行 设 与 的方程分别为 ﹣ ．设 （ ） （ ） ＞ ＞由可得（ ）﹣ ﹣ ．（舍）﹣同理（ ）由 得 ﹣解得 ．注意到 ＞ ． 直线 的斜率为．（ ）证明： 直线 与直线 平行即．由点 在椭圆上知 ．同理．由 得．是定值．点本题考查椭圆的标准方程 考查直线与椭圆的位置关系 考查学生的计算能力 评：属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知各项均为正数的两个数列 和 满足：求证：数列是等差数列；（ ）设且 是等比数列 求 和 的值．（ ）设数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：从（ ）由题意可得而可得 可证（ ）由基本不等式可得 由是等比数列利用反证法可证明 进而可求解答：解：（ ）由题意可知从而数列 是以 为公差的等差数列（ ） ＞ ＞从而（ ）设等比数列 的公比为 由 ＞ 可知 ＞下证若 ＞ 则 故当时与（ ）矛盾＜ ＜ 则 故当时 与（ ）矛盾综上可得 所以数列 是公比的等比数列若 则于是 ＜ ＜又由可得至少有两项相同 矛盾 从而点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用 解题的关键是反证法的应用．三、附加题 选做题：任选 小题作答 、 必做题）（共 小题 满分 分）．（ 分）（ 江苏） ． 选修 ﹣ ：几何证明选讲如图 是圆 的直径 为圆上位于 异侧的两点 连接 并延长至点 使 连接 ．求证： ．． 选修 ﹣ ：矩阵与变换已知矩阵 的逆矩阵 求矩阵 的特征值．． 选修 ﹣ ：坐标系与参数方程在极坐标中 已知圆 经过点 （ ） 圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点 求圆 的极坐标方程．． 选修 ﹣ ：不等式选讲已知实数 满足： ＜ ﹣ ＜ 求证： ＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法 选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：．要证 就得找一个中间量代换 一方面考虑到 是同弧所对圆周角 相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．．由矩阵 的逆矩阵 根据定义可求出矩阵 从而求出矩阵 的特征值．．根据圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点 （ ） 求出圆的半径 从而得到圆的极坐标方程．．根据绝对值不等式的性质求证．解答：．证明：连接 ．是圆 的直径 （直径所对的圆周角是直角）．（垂直的定义）．又 是线段 的中垂线（线段的中垂线定义）．（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．（等腰三角形等边对等角的性质）．又 为圆上位于 异侧的两点（同弧所对圆周角相等）．（等量代换）．、解： 矩阵 的逆矩阵（ ） ﹣ ﹣﹣、解： 圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点在 （ ﹣） ﹣中令 得 ． 圆 的圆心坐标为（ ）． 圆 经过点 （ ） 圆 的半径为 ．圆 的极坐标方程为 ．、证明： （ ）﹣（ ﹣ ） ﹣ ＜ ﹣ ＜＜点本题是选作题 综合考查选修知识 考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与评：参数方程、不等式证明 综合性强．（ 分）（ 江苏）设 为随机变量 从棱长为 的正方体的 条棱中任取两条 当两条棱相交时 ；当两条棱平行时 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时 ．（ ）求概率 （ ）；（ ）求 的分布列 并求其数学期望 （ ）．考离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．点：概率与统计．专题：分（ ）求出两条棱相交时相交棱的对数 即可由概率公式求得概率．析：（ ）求出两条棱平行且距离为的共有 对 即可求出相应的概率 从而求出随机变量的分布列与数学期望．解解：（ ）若两条棱相交 则交点必为正方体 个顶点中的一个 过任意 个顶答：点恰有 条棱共有 对相交棱（ ） ．（ ）若两条棱平行 则它们的距离为 或 其中距离为的共有 对（ ） （ ） ﹣ （ ）﹣ （ ） ．随机变量 的分布列是：其数学期望 （ ） ．点评：本题考查概率的计算 考查离散型随机变量的分布列与期望 求概率是关键． ．（ 分）（ 江苏）设集合 ．记 （ ）为同时满足下列条件的集合 的个数：； 若 则 ； 若 则 ．（ ）求 （ ）；（ ）求 （ ）的解析式（用 表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（ ）由题意可得符合条件的集合 为：故可求 （ ）（ ）任取偶数将 除以 若商仍为偶数 再除以 经过 次后 商必为奇数 此时记商为 可知 若 则 为偶数；若 则 为奇数 可求解答：解（ ）当 时符合条件的集合 为：故 （ ）（ ）任取偶数将 除以 若商仍为偶数 再除以 经过 次后 商必为奇数 此时记商为于是 其中 为奇数由条件可知 若 则 为偶数 若 则 为奇数于是 是否属于 由 是否属于 确定 设是中所有的奇数的集合因此 （ ）等于的子集个数 当 为偶数时（或奇数时）中奇数的个数是（或）点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用 解题的关键是准确应用题目中的定义。
江苏省百校大联考2024届高三上学期第二次考试数学试题含答案
江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z 的共轭复数z 的模长为（）A.B.C.2D.2.已知集合111M x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}ln 1N x x =<，则M N ⋃=（）A.(]0,1 B.()1,e C.()0,e D.(),e -∞3.已知平面向量()2,1a =-，()2,c t =，则“4t >”是“向量a与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，π7π,0,,1312A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y ax b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则2a b +的最小值为（）A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1ln 2+7.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，且抛物线C 过点()1,2P -，过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，11,A B 分别为,A B 两点在抛物线C 准线上的投影，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段AB 长度的最小值为2B.11A FB 的形状为锐角三角形C.1,,A O B 三点共线D.M 的坐标不可能为()3,2-8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，则数列{}m b 的前2023项和为（）A.20232024⨯ B.202421- C.7362-D.811322-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则以下说法正确的是（）A.()00f = B.()f x 的一个周期为2 C.()20231f = D.()()()543f f f =+10.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值 D.若直线l 的方程为()22y x a =--，RS 2SB = ，则双曲线C 11.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°,动点P 在直线CD 1上运动,以下四个命题正确的是（）A.BD ⊥APB.四棱锥P-ABB 1A 1的体积是定值C.若M 为BC 的中点,则1B A =2AM -1AC uuu rD.PA ·PC 的最小值为-1412.已知函数()()e xf x a a x =+-，则下列结论正确的有（）A.当1a =时，方程()0f x =存在实数根B.当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减C.当0a >时，函数()f x 有最小值，且最小值在ln x a =处取得D.当0a >时，不等式()32ln 2f x a >+恒成立三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.14.已知{}n a 是递增的等比数列，且满足3135911,9a a a a =++=，则468a a a ++=_____.15.如图，若圆台的上、下底面半径分别为12,r r 且123r r =，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.16.设0a >，已知函数()()e ln xf x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.锐角 ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1cos sin 2sin 1cos 2A BA B-=+.（1）证明：cos 2a B b=.（2）求ab的取值范围.18.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；（2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，2330n n S a -+=.（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，若133(12)(2)2log 1nk k n k k k S a a T n λ=--+⋅>+∑对任意*N n ∈恒成立，求整数λ的最大值.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ,已知123A F FA = .（1）求椭圆的离心率.（2）已知椭圆右焦点F 的坐标为()1,0，P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积与2A FP △的面积相等,求直线2A P 的斜率.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD AD =，M 是PD 的中点，N 在线段PC 上，求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.22.已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.（1）若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z 的共轭复数z 的模长为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】法一：利用复数除法运算化简z ，根据共轭复数的概念求解，然后利用模的公式求模即可；法二：两边取模运算得z =，再利用z z =求解.【详解】法一：因为()1i 13i z +=-，所以13i (13i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，所以12i z =-+，所以z ==.法二：因为()1i 13i z +=-，所以两边取模()1i 13i z +=-，得1i 13i z +=-，所以z =，所以z z ==.故选：D .2.已知集合111M x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}ln 1N x x =<，则M N ⋃=（）A.(]0,1 B.()1,e C.()0,e D.(),e -∞【答案】C 【解析】【分析】先化简集合M ，N ，再根据集合的并集运算求解.【详解】111x <--，即01xx <-，所以01x <<，即()0,1M =，由ln 1x <，得0e x <<，所以()0,e N =，所以()0,e M N ⋃=.故选：C.3.已知平面向量()2,1a =- ，()2,c t = ，则“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由题意知向量a ，c 夹角为锐角，即·0a c > 且a 与c不共线，再结合充分条件和必要条件的定义从而求解.【详解】因为()2,1a =- ，()2,c t =，向量a与b夹角为锐角，即需·0a c > 且a 与c不共线，得22022t t -⨯+>⎧⎨-≠⎩，解得：4t >，所以“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的充要条件.故C 项正确.故选：C.4.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，π7π,0,,1312A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由函数图象可得周期T 和ω，进一步将7π,112⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式结合π2ϕ<运算即可得解.【详解】由图象知7ππ4π123T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭,故2π2π2πT ω===，将7π,112⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式,得7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以7ππ2π,Z 62k k ϕ+=-+∈，解得5π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<,所以π1,3k ϕ==,所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C .5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A.1136B.13C.1336D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意可以分析出，抛掷两次总的基本事件有36个，随后进行列举分析.【详解】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件；当x=2时，y=1满足；当x=3时，y=1，2，6满足；当x=4时，y=1，2，3，5，6满足；当x=5时，y=1，2，6满足；当x=6时，y=1满足.总共有13种满足题意，所以P (A )=1336.故选：C .6.若直线y ax b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则2a b +的最小值为（）A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1ln 2+【答案】B 【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求得2a b +的表达式，再利用导数求得2a b +的最小值.【详解】设直线y ax b =+与曲线ln y x =相切的切点为00(,ln )x x ，由ln y x =求导得1y x'=，于是0001ln a x ax b x⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则0ln 1b x =-，0022ln 1a b x x +=+-，设2()ln 1,0f x x x x=+->，求导得22212()x f x x x x '-=-+=，当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 递减，当2x >时，()0f x '>，函数()f x 递增，因此当2x =时，min ()ln 2f x =，所以2a b +的最小值为ln 2.故选：B7.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，且抛物线C 过点()1,2P -，过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，11,A B 分别为,A B 两点在抛物线C 准线上的投影，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段AB 长度的最小值为2B.11A FB 的形状为锐角三角形C.1,,A O B 三点共线D.M 的坐标不可能为()3,2-【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的性质可判断A ；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B ；设直线AB 和点A 、B 的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C ；设AB 的中点为()00,M x y ，则12022y y y m +==，2021x m =+，取1m =-求出M 可判断D.【详解】对于A ，因为抛物线C 过点()1,2P -，所以抛物线C 的方程为24y x =，线段AB 长度的最小值为通径24p =，所以A 错误；对于B ，由定义知1AA AF =，1//AA x 轴，所以111AFA AA F A FO ∠=∠=∠，同理11BFB B FO ∠=∠，所以1190A FB ∠=，所以B 错误；对于C ，设直线:1AB x my =+，与抛物线方程联立，得2440y my --=，设()111,A x y ，()122,B x y ，则124y y =-，11==OA y k x 214=-y y ，因为()121,B y -，所以12OB OA k y k =-=，1,,A O B 三点共线，所以C 正确；对于D ，设AB 的中点为()00,Mxy ，则12022y y y m +==，200121x my m =+=+，取1m =-，可得()3,2M -，所以D 错误.故选：C .8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，则数列{}m b 的前2023项和为（）A.20232024⨯B.202421- C.7362-D.811322-【答案】D 【解析】【分析】首先根据n S 与n a 的关系，得到数列{}n a 的通项公式，再根据规律找到满足条件能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，并对于不同的m 值，计算满足条件的个数，从而求和得解.【详解】因为1n n S a +=，则111n n S a +++=，两式相减，得120n n a a +-=，又当1n =时，112a =，故0n a ≠，所以{}n a 是以112a =，12q =的等比数列，则12n n a =，显然{}n a 递减，要使得n a 最小，即要使得n 最大，令11221n m ≥+，得221n m ≤+.若1m =，则1111,2n b a ≤==;若23m ≤≤，则212,4m n b a ≤==;若47m ≤≤，则313,;8m n b a ≤==若815m ≤≤，则414,;16m n b a ≤== ;若10242047m ≤≤，则1111111,,2m n b a ≤==，则()113123111,1222T b T b b b ===++=+=()()712345671113,2222T b b b b b b b =++++++=++= ，204720231111111,222T T ∴=⨯=∴=-11824113222=-，故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得221n m ≤+，从而分类讨论m 的取值范围，求得对应m b 的值，从而得解.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则以下说法正确的是（）A.()00f =B.()f x 的一个周期为2C.()20231f = D.()()()543f f f =+【答案】ABD 【解析】【分析】对A 选项：由()f x 是R 上的奇函数即有()00f =；对B 选项：由()()11f x f x -=+可得()()2f x f x =+，即可得；对C 选项：由周期性及奇偶性结合即可得；对D 选项：由周期性及奇偶性结合即可得.【详解】()f x 是R 上的奇函数，因此()00f =，故A 正确；由()()11f x f x -=+得()()2f x f x =+，所以2是它的一个周期，故B 正确；()()()20232101111f f f =⨯+=，而()()()111f f f =-=-，故()10f =，故C 错误；()()400f f ==，()()53f f =，因此()()()543f f f =+，故D 正确.故选：ABD .10.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值D.若直线l 的方程为()22y x a =--，RS 2SB = ，则双曲线C 3【答案】BD【解析】【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A 项判断；设直线l ：y kx t =+分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出,P Q 和,R S 坐标，从而可对B 、C 项判断；根据2RS SB = ，求出2b a =，从而可对D 项判断.【详解】对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y kx t =+，与双曲线联立22221y kx t x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得：()()22222222220b a k x a ktx a t a b ---+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由根与系数关系得：2122222a kt x x b a k +=-，222212222a b a t x x b a k+=--，所以线段PQ 中点2221212222222,,22x x y y a kt a k t N t b a k b a k ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，将直线l ：y kx t =+，与渐近线b y x a =联立得点S 坐标为,at bt S b ak b ak ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，将直线l ：y kx t =+与渐近线b y x a =-联立得点R 坐标为,at bt R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以线段RS 中点222222222,a kt a k t M t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合，所以2PQ RSPR SQ -==，故B 项正确；对于C 项：由B 项可得22,a b R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，11222ORB R b S OB y OB b ak =⨯=+ ，因为OB 为定值，当k 越来越接近渐近线b y x a =-的斜率b a -时，2b b ak +趋向于无穷，所以ORB S 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线b y xa =，解得2S ，联立直线l 与渐近线b y xa =-，解得2R ⎛⎫由题可知，2RS SB = ，所以()2S R B S y y y y -=-即32S R By y y =+=，解得b =，所以e =D 项正确.故选：BD .11.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°,动点P 在直线CD 1上运动,以下四个命题正确的是（）A.BD ⊥APB.四棱锥P-ABB 1A 1的体积是定值C.若M 为BC 的中点,则1B A =2AM -1AC uuu r D.PA ·PC 的最小值为-14【答案】BCD【解析】【分析】根据空间几何的相关知识，逐一分析选项即可.【详解】对于A,假设BD ⊥AP ,AB=AA 1=2,∠BAD=60°,由余弦定理易得222=AB ,,BD BD AD BD AD BD AD D =∴+⊥⋂=，,BD AD ⊂平面ACD 1,则BD ⊥平面ACD 1,因为AC ⊂平面ACD 1,所以BD ⊥AC ,则四边形ABCD 是菱形,AB=AD ,A 不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1得CD 1∥平面ABB 1A 1,所以四棱锥P-ABB 1A 1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B 正确;对于C,1AC uuu r =AB +AD +1AA ,AM =AB +12AD ,故2AM -1AC uuu r =AB -1AA =1B A ,故C 正确;对于D,设PC =λ1C D ,PA ·PC =(PC +CB +BA )·PC=(λ1C D -AD -AB )·λ1C D =(λ1B A -AD -AB )·λ1BA =(λAB -λ1AA -AD -AB )·(λAB -λ1AA )=λ(λ-1)|AB |2-λ21AA ·AB -λAD ·AB -λ(λ-1)AB ·1AA +λ2|1AA |2+λAD ·1AA =λ(λ-1)|AB |2-(2λ2-λ)1AA ·AB -λAD ·AB +λ2|1AA |2+λAD ·1AA =λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA ·PC 的最小值为-14,故D 正确.故选：BCD .12.已知函数()()e x f x a a x =+-，则下列结论正确的有（）A.当1a =时，方程()0f x =存在实数根B.当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减C.当0a >时，函数()f x 有最小值，且最小值在ln x a =处取得D.当0a >时，不等式()32ln 2f x a >+恒成立【答案】BD【解析】【分析】对于A ，构造函数()e 1x h x x =+-求导即可判断；对于B ，判断当0a ≤时，是否满足()0e 1x f x a -'=<即可；对于C ，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，由此即可判断；对于D ，只需验证21ln 02a a -->是否恒成立即可，即验证min ()0g a >是否成立即可.【详解】对于A ，因为1a =,所以方程()0f x =即e 10x x +-=，设()e 1x h x x =+-，则()e 1x h x '=-，令()e 10xh x '=-=，得0x =，当0x <时，()e 10x h x '=-<，()e 1x h x x =+-单调递减，当0x >时，()e 10xh x '=->，()e 1x h x x =+-单调递增，所以()()e 1020x h x x h =+->=>，所以方程()0f x =不存在实数根，所以A 错误.对于B ，因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时,由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减，所以B 正确.对于C ，由上知，当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-.当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x '>，则()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增.综上，当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.所以函数()f x 有最小值，即最小值在ln x a =-处取得，所以C 错误.对于D ，由上知()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证()32ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则2121()2a g a a a a-'=-=.令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >.所以()g a 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以2min ()ln 01l n n 22l 122g a g ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，()32ln 2f x a >+恒成立，D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题对于A 的关键是构造函数即可；对于B ，验证导数是否恒小于0即可；对于C ，首先验证取极值必要条件不满足即可判断；对于D ，转换为验证21ln 02a a -->是否恒成立即可.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.【答案】(],1-∞【解析】【分析】分离参变量，利用基本不等式求解函数最值即可求解.【详解】因为[]0,2x ∈，所以由220ax x a -+≤得221x a x ≤+，因为关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，所以2max 21x a x ⎛⎫≤⎪+⎝⎭，当0x =时，2201x x =+，当0x ≠时，222111x x x x =≤=++，当且仅当1x =时，等号成立，综上221x x +的最大值为1，故1a ≤，即实数a 的取值范围是(],1-∞.故答案为：(],1-∞.14.已知{}n a 是递增的等比数列，且满足3135911,9a a a a =++=，则468a a a ++=_____.【答案】273【解析】【分析】先通过23135332919a a a a a a q q ++=++=求出q ，再根据()3468135a a a a a a q ++=++求解即可.【详解】设公比为2313533291,9a q a a a a a q q ++=++=，解得29q =或19，因为{}n a 是递增的等比数列，所以3q =，则()346813539132739a a a a a a q ⨯+=+=++=.故答案为：273.15.如图，若圆台的上、下底面半径分别为12,r r 且123r r =，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.【答案】12π【解析】【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.【详解】设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，则圆台内切球的球心O 一定在12O O 的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,所以OM AB ⊥,所以12OM OO OO R ===(R 为球O 的半径),所以1AOO 与AOM 全等,所以1AM r =,同理2BM r =，所以12AB r r =+，()()22212121212412O O r r r r r r =+--==，所以12O O =，所以圆台的内切球半径R ，内切球的表面积为24π12πR =.故答案为：12π.16.设0a >，已知函数()()e ln x f x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为______.【答案】e 2##1e 2【解析】【分析】利用n (l )g x a x x =+的单调性，将不等式变形为e x ax b ≥+恒成立，利用切线或者构造函数,(e )x h x ax b =--结合导数即可求解最值求解.【详解】)0e l ()()(n x f x ax a ax b ax b ≥⇔+≥+++，设n (l )g x a x x =+，由于0a >，易知()g x 在(0,)+∞上递增，且e ln e e e ()x x x x g a ax =+=+，故()()(0e )e x x f x g g ax b ax b ≥⇔≥+⇔≥+.法一:设e x y =在点00(,e )x P x 处的切线斜率为a ，0e x a =，即0ln ,x a =切线):1ln (l y ax a a =+-，由e x ax b ≥+恒成立，可得)ln (1b a a ≤-，∴2)1ln (ab a a ≤-，设21ln )),((0h a a a a =->，)()(12ln 2h a a a '=-，当12)0,e (a ∈时，()0'>h a ，当12(,)e a ∈+∞时，0(),h a '<∴12max e )()2e (h a h ==，∴ab 的最大值为e 2.法二:设(e ,e ())x x h x ax b h x a '=--=-，当(,ln )x a ∈-∞时，()0h x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，∴min 0()()1)ln ln (h x h a a a b ==--≥，即有)ln (1b a a ≤-，∴2)1ln (ab a a ≤-，下同法一.故答案为：e 2.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.锐角 ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1cos sin 2sin 1cos 2A B A B-=+.（1）证明：cos 2a B b =.（2）求a b的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证法一：利用二倍角公式化简等式右边，然后结合两角差的余弦公式以及角的范围得到,A B 的关系，再通过正弦定理完成证明；证法二：利用二倍角公式化简等式左右两边，然后结合两角差的正弦公式以及角的范围得到,A B 的关系，再通过正弦定理完成证明；（2）根据三角形是锐角三角形分析出B 的范围，结合（1）的结论求解出a b 的范围.【小问1详解】证法一：因为21cos sin 22sin cos sin sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B-===+，所以()1cos cos sin sin A B A B -=，所以cos cos cos sin sin B A B A B =+，即()cos cos A B B -=，因为ππ0,022A B <<<<，所以ππ22A B -<-<，所以A B B -=，即2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得2cos a b B =，即cos 2a B b=；证法二：因为222sin sin 1cos sin 22sin cos sin 22sin 1cos 22cos cos 2sin cos cos 222A A A B B B B A A A A B B B -=====+，所以sin cos cos sin 22A A B B =，所以sin 02A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为ππ0,022A B <<<<，所以π024A <<，所以ππ224A B -<-<，所以02A B -=，所以2A B =，所以sin 2sin cos A B B =，由正弦定理可得2cos a b B =，即cos 2a B b=.【小问2详解】由上可知2A B =，则π022π02π0π2A B B A B ⎧<=<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩，解得π6π4B <<，又因为cos 2a B b =，所以2cos a B b =∈，所以a b的取值范围是.18.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；（2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.【答案】（1）0.054（2）827【解析】【分析】（1）记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，求出()P E ,()P F ,()P G ,()|P D E ,()|P D F ,()|P D G ,根据全概率公式可得答案；（2）由条件概率公式可得答案.【小问1详解】记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，Ω= E F G ,且,,E F G 彼此互斥,由题意可得()40.220==P E ,()60.320==P F ,()100.520==P G ,()|0.08=P D E ,()|0.06=P D F ,()|0.04=P D G ,由全概率公式可得()()()()()()()|||=⋅+⋅+⋅P D P E P D E P F P D F P G P D G0.20.080.30.060.50.040.054=⨯+⨯+⨯=，所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054；【小问2详解】由条件概率公式可得()()()()()()|0.20.088|0.05427⨯====P DE P E P D E P E D P D P D ，所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，2330n n S a -+=.（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，若133(12)(2)2log 1nk k n k k k S a a T n λ=--+⋅>+∑对任意*N n ∈恒成立，求整数λ的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）0【解析】【分析】（1）利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明；（2）根据等比数列定义求出通项公式和前n 项和与积，进而对133(12)(2)2log nk k k k k S a T =--+∑化简，利用裂项相消法求和，分参求λ的取值范围.【小问1详解】因为2330n n S a -+=，①当2n ≥时，112330n n S a ---+=，②①-②得：()132n n a a n -=≥，即()-132n n a n a =≥，经检验13a =符合上式，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列.【小问2详解】由（1）知3n n a =，所以()131333132n n n S +--==-，()121221233333n n n nn n T a a a ++++==⨯⨯⨯== ，所以()()312111133333(12)(2)(12)(23)(21)3222log 13log k k k n n n k k k k k k k k k S a k k T k k +===+---+--⨯+-⋅==+∑∑∑111333311k kn nk k k n ++=⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭∑，所以13311n n a n n λ+⋅->++恒成立，即133311n nn n λ+⋅->++，化简得：1133n n λ-+<-，令1133n n n b -+=-，所以112121330333n n n n n n n n b b +-+++⎛⎫-=---=> ⎪⎝⎭，所以数列{}n b 是递增数列，最小值为11111313b -+=-=，所以1λ<，故整数λ的最大值为0.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ,已知123A F FA = .（1）求椭圆的离心率.（2）已知椭圆右焦点F 的坐标为()1,0，P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积与2A FP △的面积相等,求直线2A P 的斜率.【答案】（1）12（2）324k =-【解析】【分析】（1）由条件，转化为关于,a c 的等式，即可求解离心率；（2）方法一：首先设直线2A P 的方程为20kx y k --=且0k <，利用点到直线的距离，以及条件结合得到22114PQ h A Ph ==，再根据2245A P A Q = ，求得点P 的坐标，代入椭圆方程，即可求解；方法二：首先设直线2A P 的方程为20kx y k --=且0k <，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点P 的坐标，并结合面积公式，即可求解.【小问1详解】由题可知，122A A a =,由123A F FA =,所以123A F FA = ,所以1123342A F A A a ==,即32a c a +=,所以椭圆的离心率12c e a ==；【小问2详解】法一:由题意知,1,2c a ==，所以椭圆方程为24x +23y =1,直线2A P 的斜率存在,设直线2A P 的斜率为k ,则直线方程为20kx y k --=且0k <，设1A 到直线2A P 的距离为1h ，F 到直线2A P 的距离为2h ，则1h =，2h =，又1112A PQ S h PQ =⋅ ,22212A FP S h A P =⋅ 12A PQ A FP S S = ,所以22114PQ h A Ph ==，由图可得2245A P A Q = ,又因为()22,0A ，()0,2Q k -,所以28,55P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又P 在椭圆上,代入椭圆方程解得298k =,因为0k <,所以324k =-,法二:由题意知,直线2A P 的斜率存在,设直线2A P 的斜率为k ,则直线方程为20kx y k --=且0k <,联立2220143kx y k x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得到方程()2222341616120k x k x k +-+-=,所以222161234A P k x x k -⋅=+,所以228634P k x k -=+,代入直线方程得2228612,3434k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,()0,2Q k -,22122P A FP P y S A F y =⋅= ,()112121142422A PQ QA A PA A P S S S k y =-=⋅⋅--⋅ 又因为12A PQ A FP S S = ,所以542P y k =-,所以25124234k k k -⋅=-+,解得298k =,因为0k <,所以324k =-.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD AD =，M 是PD 的中点，N 在线段PC 上，求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）0,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质结合线面垂直的判定定理即可得；（2）证明DA ，DC ，DP 两两垂直后建立空间直角坐标系，设出N 点位置后表示出两面夹角的余弦值后结合换元法与分式求最值的方式即可得.【小问1详解】四边形ABCD 是正方形，∴AD CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面PCD ，又 PD ⊂平面PCD ,∴AD PD ⊥，同理CD PD ⊥，又 AD CD D = ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD .【小问2详解】由(1)知AD PD ⊥，CD PD ⊥，AD CD ⊥，∴DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，以D 为原点,DA 、DC 、DP 所在直线分别x 、y 、z轴，建立空间直角坐标系，设2PD AD ==，则()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M ，PD ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，设()01CN CP λλ=≤≤，有()2,2,1BM =-- ，()0,2,2CP =-，则()2,2,2BN BC CN BC CP λλλ=+=+=--，设平面BMN 的法向量为(),,n x y z =，则·220·2220BM n x y z BN n x y z λλ⎧=--+=⎪⎨=--+=⎪⎩ ，取x λ=，则12y λ=-，22z λ=-，故平面BMN 的一个法向量为(),12,22n λλλ=--，设平面BMN 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos cos ,m n θ==，设1t λ=-，则01t ≤≤，①当0=t 时,cos 0θ=，②当0t ≠时，cosθ===，当23t=时，22cos3θ=，故220cos3θ≤≤，综上,220cos3θ≤≤，即平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为0,3⎡⎢⎣⎦.22.已知函数()()21ln02f x x x ax a=->.（1）若函数()f x在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;（2）若函数()f x有两个极值点()1212,x x x x<,证明：121x xa>.【答案】（1）1a≥（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，()0f x'≤恒成立，即ln1xax+≥恒成立，构造函数()ln1xh xx+=，求导，得到其单调性和最值，得到实数a的取值范围；（2）方法一：由（1）得01a<<，转化为()1212,x x x x<是()g x的两个零点，求导得到()g x单调性，得到12101x xa<<<<，换元后即证1ln e10tt-+-<，构造()1ln e1tG t t-=+-()01t<<，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到答案；方法二：先证明引理，当01t<<时,()21ln1ttt-<+,当1t>时,()21ln1ttt->+，变形得到只需证()212lna x x a+>-，结合引理，得到()2222ln2ln10a x a a x a+-++>，()2211ln2ln10a x a a x a+-++<，两式结合证明出答案.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()1ln f x x ax '=+-，由题意()0f x '≤恒成立，即ln 1x a x+≥恒成立，设()ln 1x h x x +=，则()221ln 1ln h x x xx x'==---，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()ln 1x h x x +=单调递增,当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()ln 1x h x x+=单调递减,∴()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值，()()max 11h x h ==，故1a ≥；【小问2详解】证法一：函数()f x 有两个极值点，由(1)可知01a <<，设()()1ln g x f x x ax '==+-，则()1212,x x x x <是()g x 的两个零点，()1g x a x '=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增,在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以1210x x a<<<,又因为()110g a =->，所以12101x x a<<<<，要证121x x a >,只需证2111x ax a >>,只需证()211g x g ax ⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中()20g x =，即证()111111ln 0g ax ax x ⎛⎫=-->⎪⎝⎭，即证()111ln 10ax x +-<，由()111ln 10g x x ax =-+=,设()10,1ax t =∈,则1ln 1x t =-,11e t x -=,则()1111ln 10ln e 10t ax t x -+-<⇔+-<,设()1ln e1tG t t -=+-()01t <<，()1111e e et t t tG t t t ----'=-=，由(1)知ln 11x x+≤，故ln 1≤-x x ,所以1e x x -≥,1e 0t t --≥,即()0G t '≥，()G t 在()0,1上递增，()()10G t G <=,故()111ln 10ax x +-<成立,即121x x a>；证法二：先证明引理:当01t <<时,()21ln 1t t t -<+,当1t >时,()21ln 1t t t ->+，设()()()21ln 01t M t t t t -=->+,()()()()222114011t M t t t t t -'=-=≥++，所以()M t 在()0,∞+上递增,又()10M =,当01t <<时,()()10M t M <=，当1t >时，()()10M t M >=，故引理得证，因为函数()f x 有两个极值点，由(1)可知01a <<,设()()1ln g x f x x ax '==+-，则()1212,x x x x <是()g x 的两个零点，()1g x a x '=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增,在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以1210x x a<<<,即1201ax ax <<<，要证121x x a>,只需证12ln ln ln x x a +>-，因为11221ln 01ln 0x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，即证()212ln a x x a +>-，由引理可得()()222221ln 1ln 1ax ax a ax ax -+-=>+,化简可得()2222ln 2ln 10a x a a x a +-++>①，同理()()111121ln 1ln 1ax ax a ax ax -+-=<+，化简可得()2211ln 2ln 10a x a a x a +-++<②，由①-②可得()()()()2212121ln 20ax x x x a a x x +-+-->，因为210x x ->，0a >，所以()21ln 20a x x a ++->，即()212ln a x x a +>-,从而121x x a>.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 小题 每小题 分 共计 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．（ 分）（ ❿江苏）已知集合✌❝❝则 ✌✉❝．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意 ✌两个集合的元素已经给出 故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解： ✌❝❝✌✉❝故答案为 ❝点评：本题考查并集运算 属于集合中的简单计算题 解题的关键是理解并的运算定义．（ 分）（ ❿江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 则应从高二年级抽取 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比 做出高二所占的比例 用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例 得到要抽取的高二的人数．解答：解： 高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 高二在总体中所占的比例是用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 要从高二抽取故答案为： 点评：本题考查分层抽样方法 本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例 这就是在抽样过程中被抽到的概率 本题是一个基础题．．（ 分）（ ❿江苏）设♋♌ ♋♌♓（♓为虚数单位） 则♋♌的值为 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 ♓再由进行计算即可得到♋♌♓♓再由复数相等的充分条件即可得到♋♌的值 从而得到所求的答案解答：解：由题 ♋♌ ♋♌♓所以♋♌故♋♌故答案为点评：本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁 解题时要注意运用它进行转化．．（ 分）（ ❿江苏）图是一个算法流程图 则输出的 的值是 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值 判断是否循环 达到满足题目的条件 结束循环 得到结果即可．解答：解： ﹣ ＞ 不满足判断框．则 ﹣ ﹣ ＞ 不满足判断框的条件则 ﹣ ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 成立所以结束循环输出 ．故答案为： ．点评：本题考查循环框图的作用 考查计算能力 注意循环条件的判断． ．（ 分）（ ❿江苏）函数♐（⌧） 的定义域为（ ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于 真数要大于 得到不等式组 根据对数的单调性解出不等式的解集 得到结果．解答：解：函数♐（⌧） 要满足 ﹣ ♏且⌧＞⌧＞⌧＞ ⌧＞ 故答案为：（ 点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题 在解题时一般遇到 开偶次方时 被开方数要不小于 ；真数要大于 ；分母不等于 ； 次方的底数不等于 这种题目的运算量不大 是基础题．．（ 分）（ ❿江苏）现有 个数 它们能构成一个以 为首项 ﹣ 为公比的等比数列 若从这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的 个数为 然后找出小于 的项的个数 代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的 个数为： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） ⑤（﹣ ） 其中小于 的项有： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） 共 个数这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是 故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用 属于基础试题．（ 分）（ ❿江苏）如图 在长方体✌﹣✌ 中✌✌♍❍✌✌ ♍❍则四棱锥✌﹣ 的体积为 ♍❍ ．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过✌作✌于 求出✌然后求出几何体的体积即可．解答：解：过✌作✌于 ✌是棱锥的高 所以✌所以四棱锥✌﹣ 的体积为✞ ．故答案为： ．点评：本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力与计算能力． ．（ 分）（ ❿江苏）在平面直角坐标系⌧⍓中 若双曲线的离心率为 则❍的值为 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得⍓ 的分母❍ ＞ 所以双曲线的焦点必在⌧轴上．因此♋ ❍＞ 可得♍ ❍ ❍最后根据双曲线的离心率为 可得♍ ♋ 建立关于❍的方程：❍ ❍❍解之得❍．解答：解： ❍ ＞双曲线的焦点必在⌧轴上因此♋ ❍＞ ♌ ❍ ♍ ❍❍ ❍ ❍双曲线的离心率为可得♍ ♋所以❍ ❍❍解之得❍故答案为：点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程 在已知离心率的情况下求参数的值 着重考查了双曲线的概念与性质 属于基础题．．（ 分）（ ❿江苏）如图 在矩形✌中 ✌ 点☜为 的中点 点☞在边 上 若 则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形 把已知向量用矩形的边所在的向量来表示 做出要用的向量的模长 表示出要求得向量的数量积 注意应用垂直的向量数量积等于 得到结果．解答：解： ﹣ （）（） ﹣ ﹣ 故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式 本题是一个中档题目．．（ 分）（ ❿江苏）设♐（⌧）是定义在 上且周期为 的函数 在区间☯﹣ 上 ♐（⌧） 其中♋♌ ．若 则♋♌的值为﹣ ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于♐（⌧）是定义在 上且周期为 的函数 由♐（⌧）的表达式可得♐（） ♐（﹣） ﹣♋♐（） ；再由♐（﹣ ） ♐（ ）得 ♋♌解关于♋♌的方程组可得到♋♌的值 从而得到答案．解答：解： ♐（⌧）是定义在 上且周期为 的函数 ♐（⌧） ♐（） ♐（﹣） ﹣♋♐（） ；又﹣♋♊又♐（﹣ ） ♐（ ）♋♌♋由♊♋解得♋♌﹣ ；♋♌﹣ ．故答案为：﹣ ．点评：本题考查函数的周期性 考查分段函数的解析式的求法 着重考查方程组思想 得到♋♌的方程组并求得♋♌的值是关键 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）设↑为锐角 若♍☐♦（↑） 则♦♓⏹（ ↑）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设↓↑ 根据♍☐♦↓求出♦♓⏹↓进而求出♦♓⏹↓和♍☐♦↓最后用两角和的正弦公式得到♦♓⏹（ ↑）的值．解答：解：设↓↑♦♓⏹↓ ♦♓⏹↓♦♓⏹↓♍☐♦↓ ♍☐♦↓♍☐♦ ↓﹣♦♓⏹（ ↑） ♦♓⏹（ ↑﹣） ♦♓⏹（ ↓﹣） ♦♓⏹↓♍☐♦﹣♍☐♦↓♦♓⏹ ．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角↑的余弦值的情况下 求 ↑的正弦值 着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式 考查了三角函数中的恒等变换应用 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）在平面直角坐标系⌧⍓中 圆 的方程为⌧ ⍓ ﹣⌧若直线⍓⌧﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点 则 的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆 的方程为（⌧﹣ ） ⍓ 由题意可知 只需（⌧﹣ ） ⍓ 与直线⍓⌧﹣ 有公共点即可．解答：解： 圆 的方程为⌧ ⍓ ﹣ ⌧整理得：（⌧﹣ ） ⍓ 即圆 是以（ ）为圆心 为半径的圆；又直线⍓⌧﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点只需圆 ：（⌧﹣ ） ⍓ 与直线⍓⌧﹣ 有公共点即可．设圆心 （ ）到直线⍓⌧﹣ 的距离为♎则♎♎即 ﹣ ♎♎♎．的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系 将条件转化为❽（⌧﹣ ） ⍓ 与直线⍓⌧﹣ 有公共点❾是关键 考查学生灵活解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）已知函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌（♋♌ ）的值域为☯ ） 若关于⌧的不等式♐（⌧）＜♍的解集为（❍❍） 则实数♍的值为 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出♋与♌的关系 然后根据不等式的解集可得♐（⌧） ♍的两个根为❍❍最后利用根与系数的关系建立等式 解之即可．解答：解： 函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌（♋♌ ）的值域为☯ ）♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌只有一个根 即 ♋ ﹣ ♌则♌不等式♐（⌧）＜♍的解集为（❍❍）即为⌧ ♋⌧＜♍解集为（❍❍）则⌧ ♋⌧﹣♍的两个根为❍❍❍﹣❍ 解得♍故答案为：点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用 以及根与系数的关系 同时考查了分析求解的能力和计算能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）已知正数♋♌♍满足： ♍﹣ ♋♎♌♎♍﹣♋♍●⏹♌♏♋♍●⏹♍则的取值范围是☯♏．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得♎♎而 ﹣ ♎♎﹣ 于是可得♎；由♍ ●⏹ ♌♏♋♍ ●⏹ ♍可得 ＜♋♎♍●⏹ 从而♏ 设函数♐（⌧） （⌧＞ ） 利用其导数可求得♐（⌧）的极小值 也就是的最小值 于是问题解决．解答：解： ♍﹣♋♏♌＞＞♍﹣ ♋♎♍﹣♋♎．从而 ♎﹣ 特别当 时 第二个不等式成立．等号成立当且仅当♋：♌：♍： ： ．又♍●⏹♌♏♋♍●⏹♍＜♋♎♍●⏹从而♏ 设函数♐（⌧） （⌧＞ ）♐（⌧） 当 ＜⌧＜♏时 ♐（⌧）＜ 当⌧＞♏时 ♐（⌧）＞ 当⌧♏时 ♐（⌧） 当⌧♏时 ♐（⌧）取到极小值 也是最小值．♐（⌧）❍♓⏹ ♐（♏） ♏．等号当且仅当 ♏ ♏成立．代入第一个不等式知： ♎ ♏♎不等式成立 从而♏可以取得．等号成立当且仅当♋：♌：♍：♏： ．从而的取值范围是☯♏双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用 得到♏ 通过构造函数求的最小值是关键 也是难点 考查分析与转化、构造函数解决问题的能力 属于难题．二、解答题：本大题共 小题 共计 分．请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ ❿江苏）在 ✌中 已知．（ ）求证：♦♋⏹♦♋⏹✌；（ ）若♍☐♦ 求✌的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（ ）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边 然后两边同时除以♍化简后 再利用正弦定理变形 根据♍☐♦✌♍☐♦♊利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到♦♋⏹♦♋⏹✌；（ ）由 为三角形的内角 及♍☐♦的值 利用同角三角函数间的基本关系求出♦♓⏹的值 进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出♦♋⏹的值 由♦♋⏹的值 及三角形的内角和定理 利用诱导公式求出♦♋⏹（✌）的值 利用两角和与差的正切函数公式化简后 将♦♋⏹♦♋⏹✌代入 得到关于♦♋⏹✌的方程 求出方程的解得到♦♋⏹✌的值 再由✌为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出✌的度数．解答：解：（ ） ❿ ❿♍♌♍☐♦✌♍♋♍☐♦即♌♍☐♦✌♋♍☐♦由正弦定理 得：♦♓⏹♍☐♦✌♦♓⏹✌♍☐♦又 ＜✌＜⇨♍☐♦✌＞ ♍☐♦＞ 在等式两边同时除以♍☐♦✌♍☐♦可得♦♋⏹♦♋⏹✌；（ ） ♍☐♦ ＜ ＜⇨♦♓⏹♦♋⏹则♦♋⏹☯⇨﹣（✌） 即♦♋⏹（✌） ﹣ ﹣ 将♦♋⏹♦♋⏹✌代入得： ﹣ 整理得： ♦♋⏹ ✌﹣ ♦♋⏹✌﹣ 即（♦♋⏹✌﹣ ）（ ♦♋⏹✌） 解得：♦♋⏹✌或♦♋⏹✌﹣又♍☐♦✌＞ ♦♋⏹✌又✌为三角形的内角则✌．点评：此题属于解三角形的题型 涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则 正弦定理 同角三角函数间的基本关系 诱导公式 两角和与差的正切函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键．．（ 分）（ ❿江苏）如图 在直三棱柱✌﹣✌ 中 ✌ ✌ ☜分别是棱 上的点（点 不同于点 ） 且✌☜☞为 的中点．求证：（ ）平面✌☜平面 ；（ ）直线✌ ☞平面✌☜．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（ ）根据三棱柱✌﹣✌ 是直三棱柱 得到 平面✌从而✌ 结合已知条件✌☜☜、 是平面 内的相交直线 得到✌平面 从而平面✌☜平面 ；（ ）先证出等腰三角形 ✌ 中 ✌ ☞ 再用类似（ ）的方法 证出✌ ☞平面 结合✌平面 得到✌ ☞✌最后根据线面平行的判定定理 得到直线✌ ☞平面✌☜．解答：解：（ ） 三棱柱✌﹣✌ 是直三棱柱 平面✌✌②平面✌✌又 ✌☜☜、 是平面 内的相交直线✌平面 ✌②平面✌☜平面✌☜平面 ；（ ） ✌ 中 ✌ ✌ ☞为 的中点✌ ☞ 平面✌ ✌ ☞②平面✌✌ ☞又 、 是平面 内的相交直线✌ ☞平面 又 ✌平面 ✌ ☞✌✌ ☞④平面✌☜✌②平面✌☜直线✌ ☞平面✌☜．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）如图 建立平面直角坐标系⌧⍓⌧轴在地平面上 ⍓轴垂直于地平面 单位长度为 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程⍓⌧﹣（ ）⌧ （ ＞ ）表示的曲线上 其中 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（ ）求炮的最大射程；（ ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） 其飞行高度为 千米 试问它的横坐标♋不超过多少时 炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（ ）求炮的最大射程即求 ⍓⌧﹣（ ）⌧ （ ＞ ）与⌧轴的横坐标 求出后应用基本不等式求解．（ ）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值 由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（ ）在 ⍓⌧﹣（ ）⌧ （ ＞ ）中 令⍓得 ⌧﹣（ ）⌧ ．由实际意义和题设条件知⌧＞ ＞ ．当且仅当 时取等号．炮的最大射程是 千米．（ ） ♋＞ 炮弹可以击中目标等价于存在 ＞ 使 ♋﹣（ ）♋ 成立即关于 的方程♋ ﹣ ♋♋ 有正根．由韦达定理满足两根之和大于 两根之积大于 故只需 ♋ ﹣ ♋ （♋ ）♏得♋♎．此时 ＞ ．当♋不超过 千米时 炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用 考查基本不等式的运用 考查学生分析解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）若函数⍓♐（⌧）在⌧⌧ 处取得极大值或极小值 则称⌧ 为函数⍓♐（⌧）的极值点．已知♋♌是实数 和﹣ 是函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧ ♌⌧的两个极值点．（ ）求♋和♌的值；（ ）设函数♑（⌧）的导函数♑（⌧） ♐（⌧） 求♑（⌧）的极值点；（ ）设♒（⌧） ♐（♐（⌧））﹣♍其中♍ ☯﹣ 求函数⍓♒（⌧）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（ ）求出 导函数 根据 和﹣ 是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（ ）由（ ）得♐（⌧） ⌧ ﹣ ⌧求出♑（⌧） 令♑（⌧） 求解讨论即可．（ ）先分 ♎和 ♎＜ 讨论关于的方程♐（⌧） ♎的情况；再考虑函数⍓♒（⌧）的零点．解答：解：（ ）由 ♐（⌧） ⌧ ♋⌧ ♌⌧得 ♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌． 和﹣ 是函数♐（⌧）的两个极值点♐（ ） ﹣ ♋♌♐（﹣ ） ♋♌解得♋♌﹣ ．（ ）由（ ）得 ♐（⌧） ⌧ ﹣ ⌧♑（⌧） ♐（⌧） ⌧ ﹣ ⌧（⌧﹣ ） （⌧） 解得⌧ ⌧ ⌧ ﹣ ．当⌧＜﹣ 时 ♑（⌧）＜ ；当﹣ ＜⌧＜ 时 ♑（⌧）＞ ﹣ 是♑（⌧）的极值点．当﹣ ＜⌧＜ 或⌧＞ 时 ♑（⌧）＞ 不是♑（⌧） 的极值点．♑（⌧）的极值点是﹣ ．（ ）令♐（⌧） ♦则♒（⌧） ♐（♦）﹣♍．先讨论关于⌧的方程♐（⌧） ♎根的情况 ♎ ☯﹣ 当 ♎时 由（ ）可知 ♐（⌧） ﹣ 的两个不同的根为 和一 注意到♐（⌧）是奇函数♐（⌧） 的两个不同的根为﹣ 和 ．当 ♎＜ 时 ♐（﹣ ）﹣♎♐（ ）﹣♎﹣♎＞ ♐（ ）﹣♎♐（﹣ ）﹣♎﹣ ﹣♎＜ 一 ﹣ 都不是♐（⌧） ♎ 的根．由（ ）知 ♐（⌧） （⌧）（⌧﹣ ）．♊当⌧ （ ）时 ♐（⌧）＞ 于是♐（⌧）是单调增函数 从而♐（⌧）＞♐（ ） ．此时♐（⌧） ♎在（ ）无实根．♋当⌧ （ ）时 ♐（⌧）＞ 于是♐（⌧）是单调增函数．又 ♐（ ）﹣♎＜ ♐（ ）﹣♎＞ ⍓♐（⌧）﹣♎的图象不间断♐（⌧） ♎在（ ）内有唯一实根．同理 在（一 一 ）内有唯一实根．♌当⌧ （﹣ ）时 ♐（⌧）＜ 于是♐（⌧）是单调减函数．又 ♐（﹣ ）﹣♎＞ ♐（ ）﹣♎＜ ⍓♐（⌧）﹣♎的图象不间断♐（⌧） ♎在（一 ）内有唯一实根．因此 当 ♎ 时 ♐（⌧） ♎ 有两个不同的根 ⌧ ⌧ 满足 ⌧ ⌧ ；当 ♎＜ 时 ♐（⌧） ♎ 有三个不同的根⌧ ⌧ ⌧ 满足 ⌧♓ ＜ ♓．现考虑函数⍓♒（⌧）的零点：（ ♓ ）当 ♍时 ♐（♦） ♍有两个根♦ ♦ 满足 ♦ ♦ ．而♐（⌧） ♦ 有三个不同的根 ♐（⌧） ♦ 有两个不同的根 故⍓♒（⌧）有 个零点．（ ♓ ♓ ）当 ♍＜ 时 ♐（♦） ♍有三个不同的根♦ ♦ ♦ 满足 ♦♓ ＜ ♓．而♐（⌧） ♦♓有三个不同的根 故⍓♒（⌧）有 个零点．综上所述 当 ♍时 函数⍓♒（⌧）有 个零点；当 ♍＜ 时 函数⍓♒（⌧）有 个零点．点评：本题考查导数知识的运用 考查函数的极值 考查函数的单调性 考查函数的零点 考查分类讨论的数学思想 综合性强 难度大．．（ 分）（ ❿江苏）如图 在平面直角坐标系⌧⍓中 椭圆（♋＞♌＞ ）的左、右焦点分别为☞ （﹣♍） ☞ （♍）．已知（ ♏）和（♏）都在椭圆上 其中♏为椭圆的离心率．（ ）求椭圆的方程；（ ）设✌是椭圆上位于⌧轴上方的两点 且直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 ✌☞ 与 ☞ 交于点 ．（♓）若✌☞ ﹣ ☞ 求直线✌☞ 的斜率；（♓♓）求证： ☞ ☞ 是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ ）根据椭圆的性质和已知（ ♏）和（♏） 都在椭圆上列式求解．（ ）（♓）设✌☞ 与 ☞ 的方程分别为⌧❍⍓⌧﹣ ❍⍓与椭圆方程联立求出 ✌☞ 、 ☞ 根据已知条件✌☞ ﹣ ☞ 用待定系数法求解；（♓♓）利用直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 点 在椭圆上知 可得由此可求得 ☞ ☞ 是定值．解答：（ ）解：由题设知♋ ♌ ♍ ♏ 由点（ ♏）在椭圆上 得♌♍ ♋ ﹣ ．由点（♏）在椭圆上 得♋ 椭圆的方程为．（ ）解：由（ ）得☞ （﹣ ） ☞ （ ）又 直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 设✌☞ 与 ☞ 的方程分别为⌧❍⍓⌧﹣❍⍓．设✌（⌧ ⍓ ） （⌧ ⍓ ） ⍓ ＞ ⍓ ＞ 由 可得（❍ ）﹣ ❍⍓ ﹣ ．（舍）✌☞ ﹣⍓ ♊同理 ☞ ♋（♓）由♊♋得 ✌☞ ﹣ ☞ 解得❍ ． 注意到❍＞ ❍．直线✌☞ 的斜率为．（♓♓）证明： 直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 即．由点 在椭圆上知 ． 同理．☞ ☞由♊♋得☞ ☞ ． ☞ ☞ 是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程 考查直线与椭圆的位置关系 考查学生的计算能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）已知各项均为正数的两个数列 ♋⏹❝和 ♌⏹❝满足：♋⏹ ⏹ ☠✉（ ）设♌⏹ ⏹ ☠✉求证：数列是等差数列；（ ）设♌⏹ ❿ ⏹ ☠✉且 ♋⏹❝是等比数列 求♋ 和♌ 的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（ ）由题意可得 ♋⏹ 从而可得可证（ ）由基本不等式可得 由 ♋⏹❝是等比数列利用反证法可证明❑ 进而可求♋ ♌解答：解：（ ）由题意可知 ♋⏹从而数列 ❝是以 为公差的等差数列（ ） ♋⏹＞ ♌⏹＞从而（✉）设等比数列 ♋⏹❝的公比为❑由♋⏹＞ 可知❑＞下证❑若❑＞ 则 故当时 与（✉）矛盾＜❑＜ 则 故当时 与（✉）矛盾综上可得❑♋⏹ ♋所以数列 ♌⏹❝是公比的等比数列若 则 于是♌ ＜♌ ＜♌又由可得♌ ♌ ♌ 至少有两项相同 矛盾从而点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用 解题的关键是反证法的应用．三、附加题☎选做题：任选 小题作答 、 必做题）（共 小题 满分 分）．（ 分）（ ❿江苏）✌．☯选修 ﹣ ：几何证明选讲如图 ✌是圆 的直径 ☜为圆上位于✌异侧的两点 连接 并延长至点 使 连接✌✌☜☜．求证： ☜ ．．☯选修 ﹣ ：矩阵与变换已知矩阵✌的逆矩阵 求矩阵✌的特征值．．☯选修 ﹣ ：坐标系与参数方程在极坐标中 已知圆 经过点 （ ） 圆心为直线⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣与极轴的交点 求圆 的极坐标方程．．☯选修 ﹣ ：不等式选讲已知实数⌧⍓满足： ⌧⍓＜ ⌧﹣⍓＜ 求证： ⍓＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法☎选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：✌．要证 ☜ 就得找一个中间量代换 一方面考虑到 ☜是同弧所对圆周角 相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．．由矩阵✌的逆矩阵 根据定义可求出矩阵✌从而求出矩阵✌的特征值．．根据圆心为直线⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点 （ ） 求出圆的半径 从而得到圆的极坐标方程．．根据绝对值不等式的性质求证．解答：✌．证明：连接 ✌．✌是圆 的直径 ✌（直径所对的圆周角是直角）． ✌（垂直的定义）．又 ✌是线段 的中垂线（线段的中垂线定义）．✌✌（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）． （等腰三角形等边对等角的性质）．又 ☜ 为圆上位于✌异侧的两点 ☜（同弧所对圆周角相等）．☜ （等量代换）．、解： 矩阵✌的逆矩阵 ✌♐（↖） ↖ ﹣ ↖﹣ ↖ ﹣ ↖ 、解： 圆心为直线⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣与极轴的交点在⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣中令→得⇧． 圆 的圆心坐标为（ ）．圆 经过点 （ ） 圆 的半径为 ．圆 的极坐标方程为⇧♍☐♦→．、证明： ⍓⍓（⌧⍓）﹣（ ⌧﹣⍓） ♎⌧⍓⌧﹣⍓⌧⍓＜ ⌧﹣⍓＜⍓＜点评：本题是选作题 综合考查选修知识 考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明 综合性强．（ 分）（ ❿江苏）设↘为随机变量 从棱长为 的正方体的 条棱中任取两条 当两条棱相交时 ↘；当两条棱平行时 ↘的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时↘．（ ）求概率 （↘）；（ ）求↘的分布列 并求其数学期望☜（↘）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（ ）求出两条棱相交时相交棱的对数 即可由概率公式求得概率．（ ）求出两条棱平行且距离为的共有 对 即可求出相应的概率 从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（ ）若两条棱相交 则交点必为正方体 个顶点中的一个 过任意 个顶点恰有 条棱共有 对相交棱（↘） ．（ ）若两条棱平行 则它们的距离为 或 其中距离为的共有 对（↘） （↘） ﹣ （↘）﹣ （↘） ．随机变量↘的分布列是：↘其数学期望☜（↘） ．点评：本题考查概率的计算 考查离散型随机变量的分布列与期望 求概率是关键．．（ 分）（ ❿江苏）设集合 ⏹ ⑤⏹❝⏹ ☠✉．记♐（⏹）为同时满足下列条件的集合✌的个数：♊✌⑥⏹；♋若⌧ ✌则 ⌧⇧✌；♌若⌧ ✌则 ⌧⇧✌．（ ）求♐（ ）；（ ）求♐（⏹）的解析式（用⏹表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（ ）由题意可得 ❝符合条件的集合✌为：❝❝❝❝故可求♐（ ）（ ）任取偶数⌧ ☐⏹ 将⌧除以 若商仍为偶数 再除以 ⑤经过 次后 商必为奇数 此时记商为❍可知 若❍ ✌则⌧ ✌为偶数；若❍⇧✌则⌧ ✌为奇数 可求解答：解（ ）当⏹时 ❝符合条件的集合✌为：❝❝❝❝故♐（ ） （ ）任取偶数⌧ ☐⏹ 将⌧除以 若商仍为偶数 再除以 ⑤经过 次后 商必为奇数 此时记商为❍于是⌧❍❿ 其中❍为奇数 ☠✉由条件可知 若❍ ✌则⌧ ✌为偶数若❍⇧✌则⌧ ✌为奇数于是⌧是否属于✌由❍是否属于✌确定 设✈⏹是 ⏹中所有的奇数的集合因此♐（⏹）等于✈⏹的子集个数 当⏹为偶数时（或奇数时） ⏹中奇数的个数是（或）点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用 解题的关键是准确应用题目中的定义。
2012年江苏省高考数学试卷解析
精心整理2012年江苏省高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则B = ▲ 【答案】{1,2,4,6【主要错误】4，2，-4，5+3i ，40/3，6，等。
【分析】由117ii 12i a b -+=-得 ()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。
4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．【答案】5。
【主要错误】4，10，1，3，等。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行【主要错误】（0，6），6,0，6/≤xx，{}6,0/≠>xxx等。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得126600112log0log620<x>x>x>xx x x≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．【答案】35。
∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯。
8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为，则m 的值为▲ ．【答案】2。
【主要错误】-2，5，3，1。
【解析】由22214x y m m -=+得a b c∴=c ea 244=0m m -+，解得2AB AF =，则BF 的值是．【答案】2由2ABAF =，得cos ABAF FAB ∠cos =AF FAB DF ∠。
∵22DF =，∴记AE BF 和之间的夹角为θ又∵2BC =，点()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AEBF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =1221AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。
2012年高考江苏数学试卷解析(精析word版)(教师版)
2012年江苏省高考数学试卷解析（全卷满分160分，考试时间120分钟）【试卷总评】2012年高考江苏数学试卷继续遵循了新课程高考方案的基本思想，试卷结构稳定，突出双基，重视能力，知识点广，容易上手，难度递增，区分提升，利于选拔，各种层次考生可以充分展现自己的真实能力。
填空题1---13题，应当说是去年容易，除第14题以外，可以说“好学生”都无任何障碍。
然而，填空题却没有“扫盲”题，可见出题者的目的非常明确，那就是以此来“区分”中下等学生。
第14题是一道“竞赛”背景的题目，对学生“不等式放缩能力”要求很高，当然也可以通过转化构建成“线性规划”来做，总之是一道“非常难的题目”。
但仅管如此，我想填空题的均分要比2011年高到5到8分。
解答题第一道题的第2小题就让不少中下等同学过不了“关”，加上立体几何明显“难于去年”。
就这两题，就上中等同学“难受”了！或者说这正题出题人的意思所在。
第17题是一道应用题，本题的第二小题大部分同学“看不懂”题目，得分肯定不高！第18题是一道函数题，第一小题对好同学（包括中等生）都不是问题，但第二小关于“零点的讨论”大部分同学就只能“止步”了！估计一般同学（中等生）只能拿到6--7分就不错了！第19题是一道解析几何题，第一小题应没有什么问题，但第二小题的两个问题对学生的运算（化简）能力要求太高，估计中下等学生会“无能为力”！第20题是一道有很深的“竞赛背景”，好学生也只能做到第1小题。
这样的话，解答题会较去年10到15分，总分会比2011年低10分左右，今年江苏数学均分“不容乐观”，可能在90分左右。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ． 3．设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ． 4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．5．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ．6.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．础知识.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ． 9．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．【答案】210．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则3a b +的值为 ． 11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ． 【答案】17250【解析】∵α为锐角，即02<<πα，∴2=66263<<πππππα++。
江苏省百校联考高三年级第二次考(含答案)
语文试卷一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题,19分)阅读下面的文字,完成1~5题。
汤显祖年轻的时候怀有满腔经天纬地的济世热情。
汤显祖的政治理想,说来也很简单,就是经世致用,造福百姓,使人人冻馁无虞,安居而乐业;使人人乐于向善,民德归于淳厚。
在他看来,士大夫要先正其身,然后才能正人,而政治是否清明,老百姓日子是否好过,最终决定于士大夫和官员的德性和修养。
他曾经代拟过一篇《为士大夫喻东粤守令文》:“清吏之法法身,浊吏之法法人也。
”他所提出的“清吏”与“浊吏”两个概念,并不新鲜,但是,他的“法身”和“法人”的说法,却极为深刻,精辟地揭示了中国自古以来封建统治者的一种普遍德性:他们置身于法律之上,拿自己当法外的“特选之民”,高人一等,飞扬跋扈;他们的道德绳墨,只是用来裁制百姓,他们法律的刀斧,也只是用来宰割人民——他们教别人不要“利己”,自己却很少“利人”,教别人要“利人”,自己却专门“利己”。
在汤显祖看来,吃饭是老百姓的头等大事,而农业生产则是一个官员必须关心的头等大事。
他做官期间,曾多次下到乡里,劝农励耕。
他曾经在诗里记录过自己这方面的活动,在《丙申平昌迎春,晓云如金,有喜》里,他这样写道:“仙县春来仕女前,插花堂上领春鞭。
青郊一出同人笑,黄气三书有大年。
”可见,为了督促和鼓励农民耕地种田,他确实用了一番心思。
汤显祖的政绩,不仅当时就赢得了人民的敬意,为他建了“生祠”,直到清代顺治年间,遂昌知县缪之弼还为他建了“遗爱祠”。
如果说,汤显祖早期的两部剧作的主题,在探讨“至情”,那么,他晚年的写作,则在强化了反讽力度的同时,致力于寻求精神出路——解决自己的精神困境,回答那些与“生活哲学”有关的重大问题。
也就是说,汤显祖后期的“二梦”,是一种缘于精神焦虑的写作。
汤显祖的一生,几乎就在几种选择的困扰中度过。
他在《和大父游城西魏夫人坛故址诗》的序中说:“家君恒督我以检儒,大父辄要我以仙游。
江苏省2024-2025学年高三上学期10月百校联考数学试卷(解析版)
江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （ ）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}， 则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，， 故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥， 由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬， 所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =， 即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤， 解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−， 即至少需要自然降解31年， 故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（ ） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（ ）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++， 则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+， 当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立， 所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤， 即m 的最大值为3， 故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（ ）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称； 则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（ ） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =， 对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（ ） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4， 则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对； 对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=， 所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对； 对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ， 可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（ ）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ， 作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈； 当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈； 当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点， 即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<， 且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==， 即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−， 设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈， 则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增， 则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<， 所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=， 即()321x f x +>，D 选项正确； 故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−， 又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<， 易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >， 则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<， 则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<， 当0x <时，[]0x <， 则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−， 此时[]x 不存在， 综上所述1011,33x∈， 故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长； （2）求角C 的正弦值． 【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ； （2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠， 又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠， 即2π3AOB ∠=， 又5OA = 则5202OB =， 即8OB =，216BC OB ==； 【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠， 即212564258492AC =+−×××=， 则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析 （2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列； （2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）， 上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−， 因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列， 所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=， 所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−， 因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =， 所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >， 当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<， 当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>； 当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值； （2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】 因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈． （1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值 （3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解， （3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−， 当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增， 【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减， 故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=， 故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=， 由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==， 故()121120x x x x − ⇒−−=， 当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =， 记()h x =()e 2x h x x ==′， 当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增， 当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减， 故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=， 且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+， 故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=． （1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明． 【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析 【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆， 有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ， 则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个， 由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个， 故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、 、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集， 其中元素t 在1A 、2A 、 、12n A −中都有， 假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、 、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、 、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次， 则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】 不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ， 其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ， 则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ， 也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠， 由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−， 即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页 同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <， 两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。
2024届江苏省百校大联考高三上学期二模数学试题及答案
江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数−z的模长为( )A.2B.3C.D2.52.已知集合M={x|1x-1<-1},N={x|ln x<1},则M∪N=( )A.(0,1]B.(1,e)C.(0,e)D.(-∞,e)3.已知平面向量a=(-2,1),c=(2,t),“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,A(3,0),B(12,-1),则f(x)的解析式是( )A.f(x)=sin(x+π6)B.f(x)=sin(x-π6)C.f(x)=sin(2x+π3)D.f(x)=sin(2x-π6)5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“C x8>C y8”,则P(A)=( )A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y=ax+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为( )A.2ln 2B.ln 2C.12Dln 2.1+ln 27.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.线段AB长度的最小值为2B.△A1FB1的形状为锐角三角形C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不可能为(3,-2)8.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n+a n=1,记b m为数列{a n}中能使a n≥2m+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{b m}的前2023项和为( A.2023×B2024.22024-1C.6-327D.112-328二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是( )A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为2C.f(2023)=D1.f(5)=f(4)+f(3)10.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是( )A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-22(x-a),RS=2SB,则双曲线C的离心率为311.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是( )A.BD⊥APB.四棱锥P-ABB1A1C.若M为BC的中点,则A1B=2AM-AC1D.PA·PC的最小值为-1412.已知函数f(x)=a(e x+a)-x,则下列结论正确的有( )A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=ln a处取得D.当a>0时,不等式f(x)>2ln a+32恒成立非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是 ▲ .14.已知{a n }是递增的等比数列,且满足a 3=1,a 1+a 3+a 5=919,则a 4+a 6+a 8= ▲ .15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r 1,r 2,且r 1r 2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 ▲ .16.设a>0,已知函数f (x )=e x -a ln (ax+b )-b ,若f (x )≥0恒成立,则ab 的最大值为 ▲ . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1―cos A sin A=sin2B 1+cos2B .(1)证明:cos B=a2b .(2)求ab 的取值范围.18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.19.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=3,2S n =3a n -3.(1)证明数列{a n }为等比数列;(2)设数列{a n }的前n 项积为T n ,若1log )232)(21(13+∙>+--∑=n a T a S k n n k k kk λ对任意n ∈N *恒成立,求整数λ的最大值.20.(12分)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,右焦点为F ,已知A 1F =3FA 2.(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F 的坐标为(1,0),P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A 2P 交y 轴于点Q.若△A 1PQ 的面积与△A 2FP 的面积相等,求直线A 2P 的斜率.21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD.(2)若PD=AD,M是PD的中点,N在线段PC上,求平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x ln x-1ax2(a>0).2(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),证明:x1x2>1.a江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D 【解析】法一:因为z (1+i )=1-3i ,所以z=1-3i 1+i =(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i ,所以|―z |=|z|=5,故选D .法二:两边取模|z (1+i )|=|1-3i |,得|z|·|1+i |=|1-3i |,所以|―z |=|z|=5,故选D .2.C 【解析】解不等式1x -1<-1,即xx -1<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由ln x<1,得0<x<e ,所以N=(0,e ),所以M ∪N=(0,e ),故选C .3.C 【解析】a=(-2,1),c=(2,t ).若a ∥c ,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a 与c 互为相反向量;若a ·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a 与c 的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a 与c 的夹角为锐角”的充要条件,故选C .4.C 【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.将(7π12,-1)代入解析式,得sin (7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2k π,k ∈Z ,又|φ|<π2,即φ=π3,所以f (x )=sin (2x+π3).故选C .5.C 【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P (A )=1336,故选C .6.B 【解析】设切点为(x 0,ln x 0),y'=1x ,则a =1x 0,ax 0+b =ln x 0,得b=ln x 0-1,∴2a+b=2x 0+ln x 0-1.设f (x )=2x +ln x-1(x>0),f'(x )=-2x 2+1x =x -2x 2,当x ∈(0,2)时,f'(x )<0,当x ∈(2,+∞)时,f'(x )>0,∴f (x )min =f (2)=ln 2,∴2a+b 的最小值为ln 2.7.C 【解析】因为抛物线C 过点P (1,-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ,线段AB 长度的最小值为通径2p=4,所以A 错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,k OA=y1x1=4y1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kOB1=-y2=k OA,A,O,B1三点共线,所以C正确;设AB的中点为M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C.8.D 【解析】当n=1时,a1=12,由S n+1+a n+1=1,得2a n+1-a n=0,∴a n=12n,显然{a n}递减,要使得a n最小,即要使得n最大,令12n ≥12m+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,b m=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,b m=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,b m=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,b m=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T2047=11×12=112,∴T2023=112-24211=112-328,故选D.9.ABD 【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD 【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=ba x,解得S(a22b+a,ab2b+a),联立直线l与渐近线y=-ba x,解得R(a2-2b+a,ab2b-a),由题可知,RS=2SB,所以y S-y R=2(y B-y S),即3y S=y R+2y B,3ab 2b+a =ab2b-a,解得b=2a,所以e=3,故D正确.故选BD.11.BCD 【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C ,AC 1=AB +AD +AA 1,AM =AB +1AD ,2AM -AC 1=AB -AA 1=A 1B ,故C 正确;对于D ,设PC =λD 1C ,PA ·PC =(PC +CB +BA )·PC=(λD 1C -AD -AB )·λD 1C =(λA 1B -AD -AB )·λA 1B =(λAB -λAA 1-AD -AB )·(λAB -λAA 1)=λ(λ-1)|AB |2-λ2AA 1·AB -λAD ·AB -λ(λ-1)AB ·AA 1+λ2|AA 1|2+λAD ·AA 1=λ(λ-1)|AB |2-(2λ2-λ)AA 1·AB -λAD ·AB +λ2|AA 1|2+λAD ·AA 1=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA ·PC 的最小值为-14,故D 正确.故选BCD .12.BD 【解析】对于A ,因为a=1,所以方程f (x )=0即e x +1-x=0,又e x ≥x+1>x-1,所以e x +1-x>0恒成立,所以方程f (x )=0不存在实数根,所以A 错误.对于B ,因为f (x )=a (e x +a )-x ,定义域为R ,所以f'(x )=a e x -1,当a ≤0时,由于e x >0,则a e x ≤0,故f'(x )=a e x -1<0恒成立,所以f (x )在R 上单调递减,所以B 正确.对于C ,由上知,当a>0时,令f'(x )=a e x -1=0,解得x=-ln a.当x<-ln a 时,f'(x )<0,则f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减;当x>-ln a 时,f'(x )>0,则f (x )在(-ln a ,+∞)上单调递增.当a>0时,f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减,在(-ln a ,+∞)上单调递增.所以函数f (x )有最小值,即最小值在x=-ln a 处取得,所以C 错误.对于D ,由上知f (x )min =f (-ln a )=a (e -ln a +a )+ln a=1+a 2+ln a ,要证f (x )>2ln a+32,即证1+a 2+ln a>2ln a+32,即证a 2-12-ln a>0恒成立,令g (a )=a 2-12-ln a (a>0),则g '(a )=2a-1a =2a2-1a.令g'(a )<0,则0<a<22;令g '(a )>0,则a>22.所以g (a )在(0,22)上单调递减,在(22,+∞)上单调递增,所以g (a )min =g (22)=(22)2-12-ln 22=ln 2>0,则g (a )>0恒成立,所以当a>0时,f (x )>2ln a+32恒成立,D 正确.综上,故选BD .13.(-∞,1] 【解析】因为x ∈[0,2],所以由ax 2-2x+a ≤0,得a ≤2xx 2+1,因为关于x 的不等式ax 2-2x+a ≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a 小于或等于2xx 2+1的最大值,当x=0时,2x x 2+1=0,当x ≠0时,2xx 2+1=2x +1x≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以2xx 2+1的最大值为1,故a ≤1,即实数a 的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].14.273 【解析】设公比为q ,a 1+a 3+a 5=a 3q 2+a 3+a 3q 2=919,解得q 2=9或19,因为{a n }递增,所以q=3,则a 4+a 6+a 8=(a 1+a 3+a 5)q 3=919×33=273.故答案为273.15.12π 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O 1,O 2,则圆台内切球的球心O 一定在O 1O 2的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,∴OM ⊥AB ,∴OM=OO 1=OO 2=R (R 为球O 的半径),∴△AOO 1与△AOM 全等,∴AM=r 1,同理BM=r 2,∴AB=r 1+r 2,∴O 1O 22=(r 1+r 2)2-(r 1-r 2)2=4r 1r 2=12,∴O 1O 2=23,∴圆台的内切球半径R=3,∴内切球的表面积为4πR 2=12π.故答案为12π.16.e2 【解析】f (x )≥0⇔ax+e x ≥a ln (ax+b )+(ax+b ),设g (x )=a ln x+x ,易知g (x )在(0,+∞)上递增,且g (e x )=a ln e x +e x =ax+e x ,故f (x )≥0⇔g (x )≥g (ax+b )⇔e x ≥ax+b.法一:设y=e x 在点P (x 0,e x 0)处的切线斜率为a ,e x0=a ,即x 0=ln a ,切线l :y=ax+a (1-ln a ),由e x ≥ax+b 恒成立,可得b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),设h (a )=a 2(1-ln a ),a>0,h'(a )=2a (12-ln a ),当a ∈(0,e 12)时,h'(a )>0,当a ∈(e 12,+∞)时,h'(a )<0,∴h (a )max =h (e 12)=e2,∴ab 的最大值为e 2.故答案为e2.法二:设h (x )=e x -ax-b ,h'(x )=e x -a ,当x ∈(-∞,ln a )时,h'(x )<0,当x ∈(ln a ,+∞)时,h'(x )>0,∴h (x )min =h (ln a )=a (1-ln a )-b ≥0,即有b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),下同法一.17.【解析】(1)证法一:因为1-cos Asin A =sin2B 1+cos2B =2sin B cos B 2cos 2B=sin B cos B , 所以(1-cos A )·cos B=sin A ·sin B ,..............................................................................................................2分所以cos B=cos A cos B+sin A sin B ,即cos (A-B )=cos B ,而-π2<A-B<π2,0<B<π2,所以A-B=B ,即A=2B ,..........................................................................................4分所以sin A=sin 2B=2sin B cos B.由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=a2b ..................................................................................................5分证法二:由1-cos A sin A =2sin 2A 22sin A 2cos A 2=sin A 2cos A 2=sin2B 1+cos2B ,所以sin A 2cos A 2=sin2B 1+cos2B,即sin A 2·(1+cos 2B )=cos A2·sin 2B ,所以sin A2=sin 2B ·cos A2-cos 2B ·sin A2=sin (2B-A2),又0<A<π2,0<B<π2且A+B>π2,所以A2=2B-A2或A2+(2B-A2)=2B=π,所以A=2B 或B=π2(与锐角△ABC 不合,舍去).综上知,A=2B.所以sin A=sin 2B=2sin B cos B ,由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=a2b .(2)由上知A=2B ,则C=π-A-B=π-3B ,在锐角△ABC 中,π6<B<π4,.......................................................7分由正弦定理,得a b =sin A sin B =sin2B sin B =2sin B cos Bsin B=2cos B ∈(2,3),...............................................................9分所以ab 的取值范围是(2,3).....................................................................................................................10分18.【解析】(1)记事件D :选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E :此人来自甲市,记事件F :此人来自乙市,记事件G :此人来自丙市..................................................................................................1分Ω=E ∪F ∪G ,且E ,F ,G 彼此互斥,由题意可得P (E )=420=0.2,P (F )=620=0.3,P (G )=1020=0.5,P (D|E )=0.08,P (D|F )=0.06,P (D|G )=0.04,..................................................................................................3分由全概率公式可得P (D )=P (E )·P (D|E )+P (F )·P (D|F )+P (G )·P (D|G )=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054,.................5分所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054..........................................6分(2)由条件概率公式可得P (E|D )=P (DE )P (D )=P (E )·P (D |E )P (D )=0.2×0.080.054=827.................................................11分所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.........................................................12分19.【解析】(1)因为2S n -3a n +3=0,①当n ≥2时,2S n-1-3a n-1+3=0,②..................................................................................................................2分①-②得 a n =3a n-1(n ≥2),即a na n -1=3(n ≥2),所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列..................................................................................4分(2)由(1)知a n =3n ,所以S n =3(1-3n)1-3=3n +1-32,T n =a 1a 2a 3…a n=3×32×33×…×3n =31+2+3+…+n =3n (n +1)2,...........................................................................6分所以n k =1(1-2k )(S k -2a k+32)log 3T k=n k =1(1-2k )(3k +1-32-2·3k +32)log 33k (k +1)2=nk =1(2k -1)3k k (k +1)=nk =1(3k +1k +1-3k k )=3n +1n +1-3>λ·3nn +1对任意n ∈N *恒成立,..................................................8分故λ<3-n +13n -1恒成立,....................................................................................................................................9分令f (n )=3-n +13n -1,则f (n+1)-f (n )=3-n +23n -(3-n +13n -1)=2n +13n >0,...............................................................11分所以数列{f (n )}单调递增,所以f (n )min =f (1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0.........................12分20.【解析】(1)由题可知,|A 1A 2|=2a ,由A 1F =3FA 2,所以|A 1F |=3|FA 2|,所以|A 1F |=34|A 1A 2|=32a ,即a+c=32a ,所以椭圆的离心率e=c a =12....................................................................................................3分(2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为x 24+y 23=1,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k ,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,设A 1到直线A 2P 的距离为h 1,F 到直线A 2P 的距离为h 2,则h 1=|-4k |k2+1,h 2=|-k |k 2+1,............................................................................................................................5分又S △A1PQ =12h 1·|PQ|,S △A 2FP =12h 2·|A 2P|,S △A 1PQ=S △A2FP,所以|PQ ||A2P|=ℎ2ℎ1=14,............................................................................................................................................8分由图可得A 2P =4A Q ,A 2(2,0),Q (0,-2k ),所以P (25,-85k ),............................................................10分又P 在椭圆上,代入椭圆方程解得k 2=98,因为k<0,所以k=-324...................................................12分法二:由题意知,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k ,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,-y -2k =0,y 23=1,消去y 得到方程(3+4k 2)x 2-16k 2x+16k 2-12=0,所以x A 2·x P =16k 2-123+4k 2,所以x P =8k 2-63+4k 2,......................................................................................................5分代入直线方程得P (8k 2-63+4k 2,-12k 3+4k2),Q (0,-2k ),..........................................................................................7分S △A2FP =12|A 2F|·y P =yP2,S △A1PQ=S △QA1A2-S △PA1A2=12·4·(-2k )-12·4·y P ,又因为S △A 1PQ=S △A 2FP,所以52y P =-4k ,....................................................................................................10分所以52·-12k3+4k2=-4k ,解得k 2=98,因为k<0,所以k=-324.........................................................................12分21.【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AD ⊥CD.∵平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD ∩平面ABCD=CD ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面PCD ,∵PD ⊂平面PCD ,∴AD ⊥PD ,......................................................................................................................2分同理CD ⊥PD.∵AD ∩CD=D ,AD ⊂平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥平面ABCD........................................................................................................................................4分(2)由(1)知AD ⊥PD ,CD ⊥PD ,AD ⊥CD ,∴DA ,DC ,DP 两两垂直,如图,以D 为原点,DA ,DC ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D (0,0,0),P (0,0,2),B (2,2,0),C (0,2,0),M (0,0,1).∵PD ⊥平面ABCD ,∴平面ABCD 的一个法向量为m=(0,0,1),.............................................................................................5分CN =λCP (0≤λ≤1),∴BM =(-2,-2,1),CP =(0,-2,2),∴BN =BC +CN =BC +λCP =(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),设平面BMN 的法向量为n=(x ,y ,z ),则BM ·n =-2x -2y +z =0,BN ·n =-2x -2λy +2λz =0,取x=λ,则y=1-2λ,z=2-2λ,∴平面BMN 的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ)....................................................................................7分设平面BMN 与平面ABCD 的夹角为θ,则cos θ=|cos <n ,m>|=|n ·m|n ||m ||=|2-2λ|λ2+(1-2λ)2+(2-2λ)2=|2-2λ|9λ2-12λ+5,...........................................8分设t=1-λ,则0≤t ≤1.①当t=0时,cos θ=0..................................................................................................................................9分②当t ≠0时,cos θ=2|t |9t2-6t +2=2t29t 2-6t +2=212(1t )2-6×1t+9=212[(1t -32)2+92],当t=23时,cos θ=223,∴0<cos θ≤223.......................................................................................................11分综上,0≤cos θ≤223.∴平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围为[0,223]..............12分22.【解析】(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ln x-ax+1,.........................................................................1分由题意,f'(x )≤0恒成立,即a ≥ln x +1x恒成立,..........................................................................................2分设h (x )=ln x +1x ,h'(x )=-ln x x 2,当x ∈(0,1)时,h'(x )>0,h (x )递增,当x ∈(1,+∞)时,h'(x )<0,h (x )递减,......................................................3分∴h (x )max =h (1)=1,∴a ≥1.................................................................................................................................4分(2)证法一:∵函数f (x )有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g (x )=f'(x )=ln x-ax+1,则x 1,x 2是g (x )的两个零点,∵g'(x )=1x -a ,当x ∈(0,1a )时,g'(x )>0,当x ∈(1a ,+∞)时,g'(x )<0,∴g (x )在(0,1a )上递增,在(1a ,+∞)上递减,∴0<x 1<1a <x 2,又∵g (1)=1-a>0,∴0<x 1<1<1a <x 2,.............................................................................................................................................6分要证x 1x 2>1a ,只需证x 2>1ax 1(>1a ),只需证g (x 2)<g (1ax 1),即证g (1ax 1)=-ln (ax 1)-1x 1+1>0,即证ln (ax 1)+1x 1-1<0,(*)..........................................................................8分由g (x 1)=ln x 1-ax 1+1=0,设ax 1=t ∈(0,1),则ln x 1=t-1,x 1=e t-1,则(*)⇔ln t+e 1-t -1<0,.........................10分设G (t )=ln t+e 1-t -1(0<t<1),G'(t )=1t -1e t -1=e t -1-t t e t -1,由(1)知ln x ≤x-1,∴e x-1≥x ,∴e t-1-t ≥0,即G'(t )≥0,G (t )在(0,1)上递增,G (t )<G (1)=0,故(*)成立,即x 1x 2>1a .......................................................................................12分证法二:先证明引理:当0<t<1时,ln t<2(t -1)t +1,当t>1时,ln t>2(t -1)t +1.设G (t )=ln t-2(t -1)t +1(t>0),G'(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2≥0,∴G (t )在(0,+∞)上递增,又G (1)=0,当0<t<1时,G (t )<G (1)=0,当t>1时,G (t )>G (1)=0,∴引理得证.............................................................................5分∵函数f (x )有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g (x )=f'(x )=ln x-ax+1,则x 1,x 2是g (x )的两个零点,∵g'(x )=1x -a ,当x ∈(0,1a )时,g'(x )>0,当x ∈(1a ,+∞)时,g'(x )<0,∴g (x )在(0,1a )上递增,在(1a ,+∞)上递减,∴0<x 1<1a <x 2,即0<ax 1<1<ax 2................................................6分要证x 1x 2>1a ,只需证ln x 1+ln x 2>-ln a ,即证a (x 2+x 1)>2-ln a ,(*).........................................................7分由引理可得ax 2+ln a-1=ln (ax 2)>2(ax 2-1)ax 2+1,化简可得a 2x 22+a (ln a-2)x 2+ln a+1>0,① (9)分同理ax 1+ln a-1=ln (ax 1)<2(ax 1-1)ax 1+1,即有a 2x 21+a (ln a-2)x 1+ln a+1<0.② (10)分由①-②可得,a 2(x 2+x 1)(x 2-x 1)+a (ln a-2)(x 2-x 1)>0,即a 2(x 2+x 1)+a (ln a-2)>0,即a (x 2+x 1)>2-ln a ,故(*)得证,从而x 1x 2>1a .........................................................................................................................................12分。
江苏省百校大联考2024届高三上学期第二次考试数学试题
所以 z ´ 2 = 10 ，所以 z = z = 5 . 故选：D. 2．C
【分析】先化简集合 M ， N ，再根据集合的并集运算求解.
【详解】
1 x -1
<
-1 ，即
x
x -1
<
0
，所以 0
<
x
< 1，即 M
=
(0,1)
，
由 ln x < 1 ，得 0 < x < e ，所以 N = (0, e) ，
x0, y0
，则
y0
=
y1 + y2 2
= 2m ， x0
= 2m2
+1 ，取 m = -1
求出 M 可判断 D.
【详解】对于 A，因为抛物线 C 过点 P (1, -2) ，所以抛物线 C 的方程为 y2 = 4x ，线段 AB
长度的最小值为通径 2 p = 4 ，所以 A 错误； 答案第31 页，共22 页
C．当 a > 0 时，函数 f (x) 有最小值，且最小值在 x = ln a 处取得
D．当
a
>
0
时，不等式
f
(
x)
>
2ln a
+
3 2
恒成立
三、填空题
13．若关于 x 的不等式 ax2 - 2x + a £ 0 在区间[0, 2] 上有解，则实数 a 的取值范围是 .
14．已知{an} 是递增的等比数列，且满足
所以 M È N = (0, e) .
故选：C. 3．C 【分析】由题意知向量 ar ， cr 夹角为锐角，即 ar·c0r > 且 ar 与 cr 不共线，再结合充分条件和必 要条件的定义从而求解.
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2012江苏百校高三样本分析卷-数学
一、填空题 1、复数
i
i ++12（i 是虚数单位）的实部是 。
2、设集合A=}{64,=+y x y x ）（
，B=}{723,=+y x y x ）（，则满足）（B A C ⋂⊆的集合C 的 个数为 。
3、设向量a 、b 满足1==b a ，1=-b a ，则=+b a 。
4、已知A 、B 两个袋中都装有红球、黑球各一个，现甲从A 袋中摸出一球，乙从B 袋中摸出一球，
则颜色不同的概率是 。
5、如图是在某高校自主招生的面试环节上，七位面试老师为一位考生打出分数的茎叶统计图，
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 。
6、如图所示的流程图，则输出的结果p 的值为 。
7、已知双曲线
122
2=-y a
x
（0>a ）的右焦点在抛物线x y 62
-=的准线上，则该双曲线的
离心率为 。
8、点P 是曲线0ln
22
=--x y x 上任意一点，则点P 到直线0144=++y x 的最小
距离是 。
9、已知）（x f =)4
2sin(2π
+x ，若06
()5f x =
，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈2,40ππx ，则02tan x = 。
10、已知两条不同的直线m 、n 和两个不同平面βα、，有以下四个命题：
①若m //α,n //β,α//β,则m // n ； ②若m // n , n ⊥β ,α⊂m ,则βα⊥； ③若m =⋂βα，m // n , α⊄n ,则n //β ；④若α⊥m ，β⊥n ，m // n ，则α//β。
A
A 1
B 1
C 1
C
B
E
O
F D 其中假命题的序号是 。
11、已知函数x x x f -=2
)(，若)2()1(2f m f <--，则实数m 的取值范围是 。
12、已知圆O 的方程为422=+y x ，点P 为圆上一动点，若线段OP 的垂直平分线总是被平面区域
D={}a y x y x ≥+）（,所覆盖，则实数a 的最大值是 。
13、已知函数12)(+=x x f ，R x ∈，规定：给定一个实数0x ，赋值)(01x f x =，若2551≤x ，则继
续赋值)(12x f x =，．．．，以此类推，若2551≤-n x ，)(1-=n n x f x ，否则停止赋值。
如果得到n x 后停止，则称赋值了n 次（n *∈N ）。
已知赋值k 次后该过程停止，则0x 的取值范围为 。
14、已知定义域为），（∞+0的单调函数)(x f ，若对任意的()+∞∈,0x 都有3)log
)((2
=-x x f f ，则
满足方程x x f +=2)(的所有根的和为 。
二、解答题：
15、已知ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)1,sin 4(A a =，)cos 3,1(A b =。
（1）若b a //，求A 2cos ； （2）若3=⋅b a ，2=a ，且4
3=∆ABC S ，求c b 、的值。
16、直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=BC ，AA 1=AB ，D 、E 、O 分别为BB 1、、CC 1、AB 1的中点，
F 为AB 1上的一点，且AF=3FB 1。
（1）求证：EO // 平面A 1B 1C 1 ； （2）求证：⊥DF 平面1AEB 。
17、某分公司获准销售某种青奥会纪念品，每种纪念品的成本为3元，并且每件纪念品需向总公司交
a 元（53≤≤a ）的管理费，预计当每件纪念品的售价为x 元（119≤≤x ）时，一年的销售量为
2
-12）（x 万件。
（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件纪念品的售价x 的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值）（a Q 。
18、已知平面内的一个动点P 到直线l ：3
34=
x 的距离与到定点)0,3(F 的距离之比为
3
32，设动
点P 的轨迹为C ，点），（2
1
1A 。
（1）求轨迹C 的方程；
（2）过原点O 的直线交轨迹C 于B 、C ，求ABC ∆面积的最大值。
19、已知ax x x x f -=ln )(）（4
1-≤a 。
（1）设x
ax x f x g 1
)()(2
++=
，求)(x g 的单调区间；
（2）若y x <<0，求证：y
x x y x y -<-ln ln ；
（3）证明：对一切),0(+∞∈x ，都有ex
e
x x
211ln -
>+成立。
20、已知函数)1(2
32
3)(++--
=x x x f ，数列{}n a 满足)(1n n a f a =+（*
∈N n ）。
（1）若1a =3，求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）若1
2
31-=
m
a （m 为常数，且m 为大于1的整数），n S 为数列{}n a 的前n 项和。
①求数列{}n a 的通项公式n a ；
②在平面坐标系xoy 中，记点）（p S p A ,，）（m S m B ,，）（q S q C ,，其中*∈N q p 、且
q m p <<，问是否存在q p 、，使点A 、B 、C 三点共线。
若存在，求出m q p 与、的关
系；若不存在，说明理由。
21、已知R b a ∈、,若矩阵⎢
⎣
⎡=b M 1- ⎥⎦⎤
3a 所对应的变换把直线 l ：32=-y x 变换为自身，求b a 、的值。
22、已知直线的极坐标方程是01sin cos =-+θρθρ，以极点为平面直角坐标原点，极轴为x 轴的正
半轴，建立平面直角坐标系，在曲线C ：⎩
⎨⎧=+-=αα
sin cos 1y x ，（α为参数）上求一点使它到直线的距离
最小，并求出该点坐标和最小距离。
23、袋中装着标有数字1,2,3,4的卡片各一张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被去除的可能性都相
等），并记下卡面数字和为X ，然后把卡片放回，叫做一次操作。
（1）求在一次操作中随机变量X 的分布列和数学期望E(X)； （2）甲进行四次操作，求至少有两次X 不大于E(X)的概率。
24、已知平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=10，BD=8，E 是线段AD 的中点，沿BD 将BCD ∆翻折到
D C B '∆，使得平面D C B '⊥平面ABD .
（1）求直线BD 与平面E C B '所成角的正弦值；
（2）求二面角C BE D '--的余弦值。