函数表示方法(一)

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1.2.2函数的表示法(一)

当 x 0 时,
f ( x) x 2x ,画出函数 f ( x)
2
0 x
的图象,并求出函数 f ( x) 的解析式.
例3.(07湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒
法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气
中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 y 1
16 t a（a为常数）， Nhomakorabea图所示，
根据图中提供的信息，回答下列问题： (Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y（毫克
与时间t（小时）之间的函数关系式为_____________ .
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25
毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至
少需要经过小时后，学生才能回到教室.
就是用图象表示两个两个变量之间（2）图象法：的对应关系。就是列出表格来表示两个变量之间（3）列表法：的对应关系。
函数的三种表示法的优点：
1、解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。
2、图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利我们通过图象研究函数的某些性质。 3、列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
例1.(1)已知f ( x) 2 x 3, 求f ( x 1)
(2)已知f ( x 1) 2 x 5, 求f ( x)
(3)已知f ( x 1) 2 x +5，求f ( x)
（4）已知f(x)是二次函数,且f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)

函数的表示法(一)

1.2.2 函数的表示方法（一）一、学习目标1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系3．会画简单函数的图像学习重难点：图像法、列表法、解析法表示函数二、学习过程表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是用表示两个之间的例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的 .例如，某班学生的身高单位：厘米数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像例2 作出函数y=∣x ∣的图象例3 已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式三、当堂检测1、画出函数ψ=∣ξ－2∣的图象2、已知f （x ）= 21x -，求f （2x ）的解析式3、已知f （x+1）= 223x x ++，求f （x ）的解析式。

人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 (1)ppt课件

例5、下列映射是不是A到B的一一映射？
A
B
A
B
f
1
3
f
1
3
2
5
3
7
5 2
7
3
9
4
9
4
1
(1)
(2)
解：（1）是
（2）不是。由于B中元素1在集合A中没有原像
例6、下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘2加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
5 , 1 5 < x 2 0 , 2 1
图公交车票价.gsp
05
10
15
20
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个，对于分几个表示的函数，不是几个函数，而是一个函数,我们把它分段函数.
（2）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、线、离散的点等等。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用法表示函数时,必须注明函数的定义域.
2.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
例如：我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点：能直观形象的表示出函数的变化情况。
(1)对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数 (x,y)和它对应；

函数的表示方法(一次函数)

函数的表示方法
(1)解析法：用解析式表示函数的方法.
(2)列表法：用表格表示函数的方法.
(3)图象法：用图象表示函数的方法.
函数的三种表示方法各有优缺点；用解析式表示函数的优点是简明扼要，规范准确，不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示，求x与y 的对应值需要逐个计算，有时比较繁杂；列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数之间的数量关系，不足之处是只能列出部分自变量与函数的对应值，难以反映函数变化的全貌；用图象表示函数的优点是形象直观，清晰呈现函数的增减变化，点的对称，最大(或最小)值等性质，不足之处是所画出的图象是近似的、局部的，观察或由图象确定的函数值往往不够准确.所以，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数解析式，即用解析式表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后画出函数的图象.。

函数的表示方法(1)教案及说课稿

人教B版数学必修1第二章函数2.1.2 函数的表示方法（第1课时）教案及说课稿新宾县朝鲜族中学李锦玉2019年10月11日2.1.2 函数的表示方法（第1课时）教案教学目标：知识与技能掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会表示方法的特点。

过程与方法能根据实际情景选择恰当的方法表示一个函数以获取有用的信息，培养学生灵活运用知识的能力；初步体会用函数知识解决实际问题的方法。

情感态度与价值观体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用，在图形的变化中感受数学的直观性。

重点函数的三种表示方法的简单运用。

难点根据不同的需要选择恰当的表示方法表示一个函数。

教学准备教学环节问题预设师生互动设计意图引入课题课前作业：某种笔记本的单价是2元，买X 个笔记本需要y元。

你能用几种方法表示这个函数？想一想：每个函数都可以有列表法、图象法、解析法三种形教师：出示课前作业题，展示学生作业。

师生：共同检查评议。

教师：提示解题规律学生举例说明在学生原有认知的基础上，借助“现实生活中的实例”为学习函数表示法作铺垫，注重知识之间的联系，调动2.1.2 函数的表示方法（第1课时）说课稿根据本节教材的特点和教学内容的结构特征，依据学生的认知规律，结合学生的实际水平，制定本节课的教学设计说明如下：一、说教材《函数的表示方法》是高中新教材人教B版必修1第二章第一节第二部分的内容。

学生在初中已经接触过较简单函数的一些不同表示方法，在高中阶段继函数的概念、定义域、值域之后学习函数的表示方法，这部分属于函数三要素之一，即对应关系的表达方式。

学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的，同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方法表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。

二、说学情本人所教的高一学生（16人）课堂纪律较好，但数学基础不够扎实，思维不够活跃，逻辑推理和分析概括的能力较弱。

函数的表示法第1课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册+

1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将
g(x)代入即可.
2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函
数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解
方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的
钱数y
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
用图象法可将函数y＝f(x)
表示为右图.
注意：
①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、
离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域；
③图象法：是否连线；
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的
特征．
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学
三、典例探究
例1．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需
要y元，试用三种表示法表示函数y=f(x)．
解：这个函数的定义域是数集{1，2， 3，4，5}.
用解析法可将函数y=f（x）表示为 y=5x, x∈{1，2， 3，4，5}
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x
函数，用图象法表示函数y＝f(x)，
如图所示．
由图可看到：
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定
而且成绩优秀；
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，
而且波动幅度较大；
赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步
提高.
思考：三种表示方法各有什么特点？

高一数学函数的表示方法

函数的表示方法(一)1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？5、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？6、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？8、试作出下列函数的图像：（1）43-+=x x y （2）11-=x y11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？ 12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系函数的表示方法(二)1．例题：例1．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；（3）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()F x ．例2．（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +；（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．例3．函数在闭区间[1,2]-例4．某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数，并画出函数的图象．例5．已知一个函数的解析式为22y x x =-，它的值域为[1,3]-，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．2．练习：（1）练习：（1）已知2(3)21f x x =-，求()f x ；（答案：22()19f x x =-）（2）已知2211()1f x x xx-=++，求()f x ．（答案：2()3f x x =+）3．小结：1．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；它的基本步骤是：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数； 2．已知()f x 的解析式，求[()]f g x 时，把x 用()g x 代替；已知[()]f g x 的解析式，求()f x 时，常用配凑法或换元法；3．在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。

新教材人教版高中数学必修1 第三章 3.1.2 函数的表示法(一)

对应关系f : 数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A {P | P是平面直角坐标系中的点}，
集合B { x, y | x R, y R}
对应关系f : 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆} 对应关系f : 每一个三角形都对应它的内切圆; (4)集合A {x | x是新华中学的班级}, 集合B {x | x是新华中学的学生}, 对应关系f : 每一个班级都对应班里的学生.
f’：平面直角坐标系内的点跟它的坐标对应
f’ : E F
➢映射概念
非空集合、唯一确定的对应关系、任意x、唯一确定的y
1、下列对应中，能构成映射的有（
）
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(1)
A
B
a1
b1 b2
a2
b3 b4
(4)
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(2)
A
B
a1
b1
a2
b2
(5)
(3) f ( x) 2x2 3x 5
[0, )
(, 2) U(2, ) [ 31 , )
8
一、复习回顾
实例1：炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)
变化的规律是： h=130t-5t2
解析法
实例2：南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变
化情况：
图象法
实例3：
列表法
二、基础知识讲解
A
B
a1
b1
a2

高一数学函数的常用表示方法

2.1.2函数表示法课件
例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）。
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。（21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。（22）再后来，她睡了。（23）我走在走廊的尽头，心绪难平。（24）我看见天边有一颗星星，异常耀眼，它像天空的眼睛，注视着大地，带给深沉无助的黑夜，一方光亮，也给黑夜里迷路的人们，一抹希望。（25）慢慢地，我看见天边泛着鱼肚白，黎明来了。（26）那一刻，内心的迷茫，似乎慢慢退却，一点点被一束光照亮，所有难以启齿的磨难和曾经以为的绝望，慢慢变成了希冀。（27）是的，繁华尽头有悲凉，尘埃深处是繁花。（2017年5月9日） 16.

2020-2021学年高一上数学第三章《函数的概念与性质》3.1.2函数的表示法(一)

跟踪训练3作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解(1)因为x∈Z，
所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
当x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．
函数图象的应用
典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
跟踪训练2(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________．
答案f(x)＝x2－4(x≥2)
解析因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1<m≤3.
[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0))2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴ 解得 ∴f(x)＝x2－x＋1.
反思感悟求函数解析式的常用方法
解观察图象可知：

函数的表示方法(1)_韦余玲

小结：
列表法
1．函数的表示方法．图象法解析法
2．不同表示法的优缺点．
作业：
P32第1，4，5题．
数学应用：
已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
x
1
2 1
2 4

3 2
4 3
f(x) 3
则f(f(1))＝ g(f(3))＝
g(x) 1
；；
， f(g(2))＝ 4 ， g(g(4))＝ 2
7 f (x)＝ 7 + 2.4 ( x – 3 ) ， x > 3
7
，
0＜ x ≤ 3
y
O
3
x
巩固练习：
1．1 n mile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y 关于海里数x的函数解析式． 2．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm2) 表示为矩形一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象．
情境问题：
定义域函数的三要素值域函数的图象 A＝{x|y＝ f(x)}
函数存在的范围
C＝{y|y＝ f(x)，x A} 函数变化的范围 M＝{(x，y)|y＝ f(x)，xA} 函数本质属性的直观反映
下表的对应关系能否表示一个函数呢？
x y
1 －1
3 －3
5 0
7 0
数学建构：
表示方法
x y
1
2
2
4
3
6
4
8 O x
数学应用：例2 画出函数 f ( x) x 的图像，并求 f (3), f (3), f (1), f (1) 的值。
练习：（1） f ( x) x 1
（2） f ( x) x 2

函数的表示方法

通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.
特别提醒：
列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。
函数的表示方法
1、能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；
2、了解简单的分段函数，并能简单应用；
一、函数的常用表示方法简介：
1、解析法
如果函数中，是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如， =60 ， = ， , 等等都是用解析式表示函数关系的。
答案：D
3.函数的图像是（）
（A）（B）（C）（D）
答案：C
4.已知函数，则( )
A、 B、 C、 D、不能确定大小
答案: A
5.如图，已知函数的图象关于直线对称，则满足不等式的实数的取值范围是。
答案：或
6.根据函数，可以知道，，， (横线上填“>”或“<”符号)
答案：
7.设，求函数的最大值。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：
用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：
图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。

函数的表示法(一)

2021-2022学年高中数学必修一第3章3．1.2函数的表示法(一)学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点函数的表示方法思考函数三种表示法的优缺点？答案1．任何一个函数都可以用解析法表示．(×)2．任何一个函数都可以用图象法表示．(×)3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(√)4．函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(×)一、函数的表示方法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解(1)列表法：x/台12345678910 y/元 3 000 6 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．反思感悟应用函数三种表示方法应注意以下三点(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．跟踪训练1由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()x 12345y 4532 1A.1 B．2 C．4 D．5答案 B解析由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.二、求函数解析式例2求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．解(1)方法一(换元法)设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1. 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，整理，得2ax ＋(a ＋b )＝2x .由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. 反思感悟求函数解析式的常用方法(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________________．答案 f (x )＝x 2－4(x ≥2)解析因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)．(2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 答案 2x －13或－2x ＋1解析因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.三、函数的图象例3 作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．延伸探究根据作出的函数图象求其值域．解观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]．反思感悟作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练3 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]．解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，当x ＝1,3时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．函数图象的应用典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．考点函数图象题点函数图象的应用答案[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．考点函数图象题点函数图象的应用解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()x 123 4f (x )3 24 1A ．1B ．2C ．3D ．4 考点函数的表示法题点函数的表示法答案 A2．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1 D ．f (x )＝3x ＋4答案 A解析方法一令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.方法二因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2，所以f (x )＝3x ＋2.3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )考点函数图象题点函数图象的判断与理解答案 C 4．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x 1－x(x ≠－1) B.1＋x x －1(x ≠－1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t1＋t，即f (x )＝1－x1＋x.5．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f (x )的解析式为__________．答案 f (x )＝－x 2－4x －1解析设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)，由y ＝f (x )过点(－3,2)，得a ＝－1， ∴f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.1．知识清单： (1)函数的表示方法． (2)求函数解析式． (3)函数的图象． 2．方法归纳：(1)待定系数法、换元法． (2)数形结合法．3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0 答案 B解析令t ＝x －1，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2－3＝t 2＋2t －2， ∴f (2)＝22＋2×2－2＝6.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如表所示，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x 1 2 3 f (x )23A.3 B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 ∵g (2)＝1， ∴f (g (2))＝f (1)＝2.3．从甲市到乙市t min 的电话费由函数g (t )＝1.06·(0.75[t ]＋1)给出，其中t >0，[t ]为不超过t 的最大整数，则从甲市到乙市5.5 min 的电话费为( ) A ．5.04元 B ．5.43元 C ．5.83元 D ．5.38元答案 A解析依题意知g (5.5)＝1.06(0.75×5＋1) ＝5.035≈5.04，故选A.4．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 考点求函数的解析式题点换元法求函数解析式答案 B解析令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故f (x )＝1x －1.故选B.5．函数y ＝x1＋x的大致图象是( )考点函数图象题点求作或判断函数的图象答案 A解析方法一 y ＝x1＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．6．已知函数f (x )＝x －mx ，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．答案 5解析将点(5,4)代入f (x )＝x －mx，得m ＝5.7．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.答案 19解析设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570，若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.8．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3， ∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 ＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7. ∴5a －b ＝2.9.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．解由题意可知该盒子的底面是边长为(a －2x )的正方形，高为x ，所以此盒子的体积V ＝(a －2x )2·x ＝x (a －2x )2，其中自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2x >0，x >0，即0<x <a 2.所以此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式为V ＝x (a －2x )2，定义域为⎝⎛⎭⎫0，a2. 10．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．考点函数图象题点函数图象的应用解函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x －1 0 1 3 y34描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．11．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还经过的点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，5 B.⎝⎛⎭⎫14，4 C ．(－1,3) D ．(－2,1)答案 A解析设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A 选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.12．设函数f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝2x ＋1，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x1－x(x ≠1) B.1＋xx －1(x ≠1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 B解析令1＋1x ＝t ，则t ≠1，∴x ＝1t －1，t ≠1，∴f (t )＝2t －1＋1＝1＋t t －1，t ≠1，∴f (x )＝1＋xx －1(x ≠1)，故选B.13．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________．答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)解析设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋mx .由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)．14．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值为________.x 1 2 3 4 f (x ) 1 3 1 3 g (x )3232考点函数的表示法题点函数的表示法答案 2或4解析当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3. 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝3. 当x ＝3时，f (g (3))＝f (3)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3. 当x ＝4时，f (g (4))＝f (2)＝3，g (f (4))＝g (3)＝3. 满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值只有2或4.15．已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，则f (x )的解析式是________．考点求函数的解析式题点方程组法求函数解析式答案 f (x )＝－x ＋14解析因为f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，①所以把①中的x 换成－x ，得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1.② 由①②解得f (x )＝－x ＋14.16．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为y ＝ax ＋bx .且当x ＝2时，y＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件． (1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝100与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝35代入y ＝ax ＋bx 中，得⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，7a ＋b7＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x (x ∈N,0<x ≤20)．(2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：x 12345678910 y 19710068.35344.238.73532.530.829.6x 11121314151617181920 y 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8。

函数的表示方法_1-课件

距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理
由．
解：(1)3小时，31升 (2)因为汽车出发前油箱有油50升，汽车每小时用油12升，所以y＝－ 12t＋50(0≤t≤3) (3)汽车要准备油210÷70×12 ＝36(升)，因为45升＞36升，所以油箱中的油够用
方法技能： 1．函数的表示方法共有三种：列表法、解析式法、图象法，它们分别从数、式和形的角度反映了函数的本质． 2．根据图象读取信息时要把握三个方面：(1)横轴和纵轴的意义及横轴、纵轴分别表示的量；(2)关于某个具体点，可向横、纵轴作垂线，从而求得该点的坐标；(3)在实际问题中，要注意图象与横、纵轴的交点坐标代表的具体意义．易错提示：对实际问题中函数图象的意义理解易出错．
7．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图，那么这种汽油的单价是每升____5_._0_9_元．
7．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图，那么这种汽油的单价是每升____5_._0_9_元．
8．如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生匀速跑步运动的函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间．根据图象判断跑步快者比慢者每秒快____m1..5
A．M处 B．N处 C．P处 D．Q处
12．小亮早晨从家骑车去学校，先走下坡路，然后走上坡路，去时行程情况如图．若返回时，他的下坡和上坡速度仍保持不变，那么小亮从学校按原路返回家用的时间是_3_4__分．
13．(例4变式)下表是丽丽往姥姥家打长途电话的几次收费记录：
时间(分) 1 2 3 4 5 6 7 电话费 0. 1. 1. 2. 3. 3. 4. 系？(1)哪如个果是用(自元x表变)示量时？间哪，个6是y表函示2数电，话请8费用，式上子4表表反示映0它了们哪的6两关个系变；2量之间的关

函数的表示方法(1)

例2、作出下列函数图象并求其值域
(1) y 1 x, x (1,4] (2) y 1 x, x (1,1] [4,) (3) y 2 x 4 x 3, x (2,3)
2
(4) y 2 x 4 x 3, x [0,3)
2
例3、已知 f ( x) x 6 求：(1) f ( x 1)
注意：①解析法：必须注明函数的定义域；
②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
③图象法：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。
例1. 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y=f(x) ．
函数的表示方法（1）
1、求下列函数的值域: (1)f(x)=(x-1)2+1， x∈R (2)f(x)=(x-1)2+1 ,x ∈[1,3] (3)f(x)=(x-1)2+1 ,x ∈{-1,0,1,2,3}
2、求下列函数的值域
1 x 1 1 （ 1 ）y ； ( 2) y ； (3) y x x x 1 x 2x ( 4) y ； (5) y x 1 5x 1
例5、已知 f ( x) 是二次函数，且满足
f (0) 1, f ( x 1) f ( x) 2 x ，求 f ( x)
思考2：方程
x x 2 0 的根的几何意义?
2
引例一一枚炮弹发射后，经过40s落到地面击中目标。炮弹的射高为400m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间（单位：s）变化的规律是
h=40t-t2
思考以下问题: (1) 炮弹飞行1秒、10秒、20秒、40秒时炮弹距地面多高？ (2) 此变化过程中共出现几个变量?是不是函数？ (3) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和集合B 表示出来。

函数的表示方法ppt

例如，在物理学中，通过绘制物体的运动轨迹图，可以直观地了解物体的运动规律；在工程中，通过绘制电路图，可以直观地了解电路的工作原理和连接方式。
03 表格法
定义
01
表格法是一种通过表格的形式来表示函数的方法。
02
它通过列出自变量和因变量的对应关系来描述函数。
03
表格中的每一行表示自变量的一种取值，每一列表示因变量对应的取值。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
举例
例如，函数 (f(x) = x^2 + 2x + 1) 可以表示为如下表格
| --- | --- |
| x | f(x) |
举例
| -2 | 1 |
| -1 | 0 |
|0|1|
举例
|1|4|
|2|9|
VS
应用场景
01
表格法适用于表示简单函数或离散函数的值。
02
在实际应用中，表格法常用于描述一些具有离散性质
举例
例如，对于函数 (f(x) = x^2)，其图象是一个开口向上的抛物线，位于x轴上方。
当x的值从负无穷增大到正无穷时，y的值也随之增大，表示函数随着x的增大而增大。
应用场景
图象法在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
在解决实际问题时，图象法可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化规律，从而更好地解决相关问题。
应用场景
• 解析法适用于需要精确描述函数关系的情况，如科学计算、工程设计和数学研究等领域。由于解析法具有精确性和可操作性，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
02 图象法
定义
函数图象法是一种通过绘制函数的图形来表示函数的方法。

函数的表示方法_1

0
1
4
2
3
12
4
5
20
映射f:A→B，可理解为以下4点：
1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多
例7 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?
(1)集合A=｛P|P是数轴上的点｝，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
一般地，我们有：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数 x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
（function），记作：y=f(x)， x A
映射
设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
(2)集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，集合B＝｛x|x 是新华中学的学生｝，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生；
课后作业: 练习本B
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射。
A 求正弦 B
1
30 0
2
45 02 2ຫໍສະໝຸດ 60 032
90 0
1
A 求平方 B
3
9
-3
2
4
-2
1
1
-1
A 开平方 B
3
9
-3
4
2
-2
1
1 -1
A 乘以 2B