重复测量资料的方差分析

重复测量资料的协方差矩阵
2 2 2 s11 s12 L s1a 2 2 2 s21 s22 L s2a V= M M M M 2 2 2 s a1 sa2 L saa 2 s11 = ∑( y1i − y1)2 (n −1)
时间点间的协方差矩阵
实验前 实验前 5 周后 10 周后 0.081 5 周后 0.090 0.386 10 周后 0.065 0.411 0.723
ˆ 据 研 究 ， 当 ∈真 值 在 0 . 7 以 上 时 ， 用 ∈进 行 自 由 度
调 整 后 的 统 计 学 结 论 偏 于 保 守 ， 故 Huynh 和 Feldt 提 出 用 平 均 调 整 值 ∈值 进 行 调 整 。 ∈值 的 计 算 公 式 为
ˆ ng (a −1) ∈−2 ∈= ˆ] (a −1)[n − g − (a −1) ∈
二、自由度调整方法1
ˆ ˆ ( 1 ) G e e n h o u s e - G e i s s e r 调 整 系 数 ∈( G - G ∈) 为 ：
ˆ ∈=
a s −s
2 2 kk
2 (a −1)∑∑ skl k l
( )
2
2 2 2 2 2 − (2a)∑ sk + a s k
重复测量资料的方差分析总思想： 将总变异 总变异分解为： 总变异 个体间（ 个体间（between subjects）变异 ） 与 个体内（within subject）变异 ）变异， 其中个体内变异是与重复因素有关的变量。
表 10-1
病 人 号
心室早搏病人在用药前后的心率
药 物 (j) 测 量 和 ( 值 按 病 人 (i) 平 均 值 平 方 和 (
(
2
)
2
( )
( )
(10-2)
2 式 ( 1 0 - 3 ) 中 的 skl 是 矩 阵 ( 1 0 - 1 ) 中 第 k 行 第 l 列 元 素 ，
2 2 s2 = ∑∑s 2 a2 是 所 有 元 素 的 总 平 均 值 ， skk = (∑sll ) a 是 kl k l l
2 2 主 对 角 线 元 素 的 平 均 值 ， sk = (∑skl ) a 是 第 k 行 的 平 均 值 。 l
ˆ ∈的 取 值 在 1 . 0 与 1 / ( a - 1 ) 之 间 。
二、自由度调整方法2
( 2 ) H u y n h - F e l d t 调 整 系 数 ∈( H - F ∈)
本例差值对应的方差精确 相等，说明球形对称。
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵是否为球形
H0：资料符合球形要求， H1：资料不满 足球形要求 检验的P值若大于研究者所选择的显著性 水准α时，说明协方差阵的球形性质得到 满足。
球形条件不满足怎么办？
常有两种方法可供选择： 1. 采用MANOVA（多变量方差分析方 法）（超出本书范围） 2. 对重复测量ANOVA检验结果中与时 间有关的F值的自由度进行调整（调小）
所有两两时间点变量间差值对应的方差相等
2 s11 2 s V = 21 M 2 s a1 2 L s1a 2 L s2a M M M 2 2 sa2 L saa 2 s11 = ∑( y1i − y1)2 (n −1) 2 s12 2 s22
对于yi与yj两时间点变量间差值对应的方差 可采用协方差矩阵计算为：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 按 药 物 测 量 值 和 平 均 值 (j)
94 57 81 82 67 78 87 82 90
67 52 74 59 65 72 75 68 74
90 69 69 71 74 80 106 76 82
67 55 73 72 72 72 74 59 80
(Y ) 平 方 和 (S )
2 s12 = ∑( y1i − y1)( y2i − y2 ) (n −1)
= ∑y1i y2i − ∑y1i ∑y2i n rij = s
2 ij
时间点间的相关系数
实验前 5 周后 0.507 1 10 周后 0.269 0.777 1 1
实验前 5 周后 10 周后
2 sii s2 jj
球形对称的实际意义
(10-3)
式 (10-3)中 的 g 是 对 受 试 对 象 的 某 种 特 征 (如 性 别 或 年 龄 )进 行 分 组 的 组 数 。 n 是 每 组 的 观 察 例 数 。 当
∈> 1 . 0 时 ， 取 ∈= 1 . 0 。
调整规则
对具有重复测定性质的时间效应 和 处 理 *时 间 的 交 互 作 用 的 F 值的自由度进行调整。
(i)
1:用 药 前
2:A 药
3:C 药
4:B 药
Ti )
318 233 297 284 278 302 342 285 326
Yi
79.50 58.25 74.25 71.00 69.50 75.50 85.50 71.25 81.50
Si )
25914 13739 22127 20430 19374 22852 29906 20605 26700
2 2 2 2 syi −yj = syi + syj − 2syi yj 2 2 2 如 sy1−y2 = s11 + s22 − 2s12 ：2
2 s12 = ∑( y1i − y1)( y2i − y2 ) (n −1 )
= ∑y1i y2i − ∑y1i ∑y2i n r = ij
2 sij 2 sii s2 jj
球形对称的实际意义举例
s
2 yi − y j
= s + s − 2s
2 yi 2 yj 2 y1 − y2 2 11 2 22
2 yi y j 2 12
如 s ：
= s + s − 2s
A2 5 20 15 20 A3 10 15 30 25
协方差阵 A1 A1 A2 A3 A4 10 5 10 15
180 150 120 90 60 30 0
10. 图10 . 附2
旧剂型 新剂型
4
8
时间（小时）
12
某药新旧剂型血药浓度随时间的变化
重复测量设计的优缺点
• 优点： 优点： 每一个体作为自 身的对照， 身的对照，克服了个 体间的变异。 体间的变异。分析时 可更好地集中于处理 效应. 效应 因重复测量设计 的每一个体作为自身 的对照， 的对照，所以研究所 需的个体相对较少， 需的个体相对较少， 因此更加经济。 因此更加经济。 • 缺点： 缺点： 滞留效应(Carry-over effect) 滞留效应 前面的处理效应有可能 滞留到下一次的处理. 滞留到下一次的处理 潜隐效应(Latent effect) 潜隐效应 前面的处理效应有可能 激活原本以前不活跃的效 应. 学习效应(Learning effect) 学习效应 由于逐步熟悉实验， 由于逐步熟悉实验，研 究对象的反应能力有可能 逐步得到了提高。 逐步得到了提高。
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
第一节 重复测量资料方差分析 对协方差阵的要求
• 重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相 独立的随机样本 其总体均数服从正态分布； 个体内不独立） 样本， 正态分布 互独立的随机样本，其总体均数服从正态分布；（个体内不独立） 2. 方差齐性 相互比较的各处理水平的总体方差相等， 相互比较的各处理水平的总体方差相等， 即具有方差齐同 3. 各时间点组成的协方差阵 各时间点组成的协方差阵 协方差阵(covariance matrix)具有球 形性(sphericity)特征。 Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方差 分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是真的 无效假设（即增加了I型错误）。
重复测量资料的方差分析
华中科技大学同济医学院 宇传华 2004年10月
重复测量的定义
重复测量(repeated measure)是指对同一 研究对象的某一观察指标在不同场合（ occasion，如时间点）进行的多次测量。 例如，为研究某种药物对高血压（哮喘 病）病人的治疗效果,需要定时多次测定受 试者的血压（FEV1） ，以分析其血压（ FEV1）的变动情况。 注：FEV1——最大呼气量
(
)
2
( 3 ) SS对象内及 ν 对象内 相 当 于 第 8 章 的 组 内 变 异 ； 等 于 SS
或 各 对 象 的 离 均 差 平 方 和 之 和 ， 即
总
−SS
对 象 间
3182 2332 3262 + 13739 − +L+ 26700 − SS对象内 = 25914 − 4 4 4 = 2339.25 ； ν 对象内 = 9(4 −1) = 27
A4 15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
一般ANOVA的协方差矩阵
2 2 2 s11 s12 L s1a 2 2 2 s21 s22 L s2a V= M M M M 2 2 2 s a1 sa2 L saa 2 s11 = ∑( y1i − y1)2 (n −1)
对 第、 于 8 9章， 个处 几 理 组 间的 方 协 差矩 为： 阵
重复测量资料的单变量（univariate） 方差分析实例1
( 1 ) 总 离 均 差 平 方 和 SS总及 总 自 由 度 ν总
SS总 = 201647 − (2665)
2
(4×9) = 4362.97 ， ν总 = 36 −1 = 35 。
(2)
SS对象间 及 ν 对象间
(2665) = 2023.72 ； ν 1 SS对象间 = 3182 + 2332 +L+ 3262 − 对 间 = 9 −1 = 8 象 4 36
' ' ˆ 即 ν1 =ν1×∈, ν 2 =ν 2 ×∈。 其 中 ∈ 为 ∈或 ∈ 。
由 Fa(ν ' ,ν ' ) 确 定 调 整 的 F 临 界 值 。 1 2 调整后的 F 临界值较原先大，提高了拒绝 H0 的 门 槛 。 减 少 了 犯 I 类 错 误 的 概 率 。
第二节 单因素重复测量资料的 方差分析
每一根线代表1只兔子 每一根线代表 只兔子
实例举例1
胆固醇（mg mg%)的对数 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5Leabharlann Baidu4.0 3.5 实验前
10. 图10.附1
处理组 对照组
5周后
10周后
两组家兔血清胆固醇的对数随时间的变化
每一根线代表1位病人 每一根线代表 位病人
实例举例2
血药浓度 血药浓度（μmol/L)
2 s11 0 L 0 2 s12 = ∑( y1i − y1)( y2i − y2 ) (n −1) 2 0 s22 L 0 V= = ∑y1i y2i − ∑y1i ∑y2i n M M M M 2 0 0 L s2 sij aa rij = 2 2 sii s2 s2 且 假定 11 =L= saa jj
j
j
Tj
718.00 79.78 58336.00
606.00 67.33 41284.00
717.00 79.67 58275.00
624.00 69.33 43752.00
2665 74.03 201647
药 物 水 平 数 a = 4 , 每 组 观 察 例 数 n = 9 , 观 察 值 总 个 数 N = a ×n = 3 6
' ' 分 子 自 由 度 ν1 =ν1×∈, 分 母 自 由 度 ν 2 =ν 2 ×∈
ˆ ˆ ( 1 ) G e e n h o u s e - G e i s s e r 调 整 系 数 ∈( G - G ∈)
( 2 ) H u y n h - F e l d t 调 整 系 数 ∈( H - F ∈)