ch4-2gauss积分
数值分析(18)Gauss积分
n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。
数值分析
数值分析
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式 例：选择系数与节点，使求积公式（1）
k 0 k 0
b b
n
n
由性质3）及(4)式，有
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
0 ( x )r ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 1
n
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都 精确成立。 证毕
左 ( x ) g( x )dx 0，
a
b
右 Ak g( xk ) 0
k 0
n
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.
数值分析
数值分析
定义6-4:使求积公式a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b k 0
1
1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 )
(1)
成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得 c1 c2 1, 求解得： c1 + c2=2 3 3 x1 , x2 c1 x1+ c2 x2=0 3 3 所求Gauss公式为： c1 x12+ c2 x22 =2/3 1 3 3 c1 x13+ c2 x23 =0 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 数值分析
Gauss型积分公式
摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。
由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
高斯型函数的积分公式
ii =
12
1 1 i1i2 = i1i2 (2 2 1)!! 3
ii i i
1234
1 { i1i2 i3i4 i1i3 i2i4 i1i4 i2i3 } (4 2 1)!!
=
1 { i1i2 i3i4 i1i3 i2i4 i1i4 i2i3 } 5 3 1
2A x B 0
注意 x 是 B 的函数。 2.
1 xA -1 x 2
f (x) （2） det A e
-n -1
dx xf (x)
n
x 0
1 1
dx n xxf (x) x x A dx n xxxf (x) x x x + x x x + x x x 0 dx n x x x x f (x) x x x x + x x x x + x x x x
ii i i i i
123456
1 { i1i2 i3i4 i5i6 i1i2 i3i5 i4i6 i1i2 i3i6 i4i5 7 5 3 1 i1i3 i2i4 i5i6 i1i3 i2i5 i4i6 i1i3 i2i6 i4i5 i1i4 i2i3 i5i6 i1i4 i2i5 i3i6 i1i4 i2i6 i3i5 i1i5 i2i3 i4i6 i1i5 i2i4 i3i6 i1i5 i2i6 i3i4 i1i6 i2i3 i4i5 i1i6 i2i4 i3i5 i1i6 i2i5 i3i4 }
1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 2 1 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 1 2 3 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 2
Gauss型积分公式
Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
高斯(Gauss)公式与 斯托克斯(stokes)公式
正向 ; 若 L 沿行走 , 指定的侧总在人的右方 , 则 人前进的方向为边界线 L 的负向.
L1 L1
D D
L2 L2
1. 定理22.4
定理 设光滑曲面 S 的边界 L 是分段光滑的空间有向闭曲 线, 若函数 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在曲面 S (连 同 L ) 上连续,且有一阶连续偏导数, 则
z R
L
Pdx Qdy Rdz
或
cos cos cos
S
x P
y Q
ds z R
L
Pdx Qdy Rdz
其中 n {cos ,cos ,cos }.
Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上
的曲线积分之间的关系.
§3 高斯(Gauss)公式与 斯托克 斯(stokes)公式
一、高 斯 公 式(Gauss) 二、斯托克斯(stokes)公式
一、高 斯 公 式
沿空间曲面的曲面的曲面积分和三重积分 之间有类似格林公式建立的关系。 1 定理22.3
设空间闭区域V 由分片光滑的双侧闭曲面 S 围成, 函数 P ( x , y , z ) 、Q ( x , y , z ) 、 R( x , y , z ) 在V 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式
2
0
9 d dr r (sin z )rdz . 0 0 2
1 3
□
使用Guass公式时应注意:
1. P , Q , R是对什么变量求偏导数;
高斯积分公式表
高斯积分公式表
高斯积分公式是数学中一种重要的积分方法，由德国数学家高斯
在18世纪提出。
高斯积分公式表展示了对于一些特定函数的积分结果。
下面我们将通过中文来了解高斯积分公式表。
高斯积分公式表包含的是对于一些特殊函数的积分公式。
其中最
常见的是高斯函数。
高斯函数的表达式为：
$$
f(x)=e^{-x^2}
$$
利用高斯积分公式，我们可以得到高斯函数的积分结果。
高斯积
分公式的表达式为：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}
$$
这个公式得到证明的过程相当复杂，需要运用很多高等数学知识。
不过这个公式的应用非常广泛，尤其是在概率统计学和物理学领域。
高斯积分公式表还包括对于其他函数的积分公式。
比如说，我们
可以得到以下的积分公式：
$$
\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} \, dt = \Gamma(\alpha) $$
其中$\alpha$为正实数，$\Gamma(\alpha)$为伽马函数。
通过高斯积分公式表，我们可以计算出一些复杂函数的积分结果。
这不仅有助于我们理解这些函数的性质，也有助于我们在实际应用中
进行计算，提高工作效率。
总之，高斯积分公式表是一种非常有用的工具，在数学理论和实
际应用中都具有重要意义。
虽然需要一些高等数学知识才能理解和应
用，但是它有助于我们更好地理解和掌握数学知识，提高数学应用水平。
Gauss型积分公式解读
摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。
由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
Gauss型积分公式
R[ f ] [ f ( x) H ( x )]dx
b a
f ( x ) 2 w ( x )dx ( 2n 2)!
( 2 n 1 )
f ( 2 n1) ( ) ( 2n 2)!
b
a
w ( x )dx,
2
(a , b)
(2) Gauss-Laguerre求积公式
(1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多
项式pn(x) .
(2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为 Gsuss点. (3)计算积分系数
例：
求积分
1 x f ( x)dx
1
2
的2点Gauss公式.
解
按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:
p0 ( x) 1
2.001389
Gauss 公式的余项：
R[ f ] f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0 n
插值多项式的余项
/* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */
f ( x )dx Ak P ( xk )
b a k 0 n
/*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/
b
因此,[a,b]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为 ba n ab ba b xi ) Ai f ( a f ( x)dx 2 i 1 2 2
n
1 2
xk
0 ±0.5773502692 ±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
区间[0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,
复变高斯积分
复变高斯积分对于一般的数学教师来说，所接触的多半是欧拉类型的高斯积分问题。
而对于我们复变函数专业来说，学生面对的大量是格林公式、傅里叶级数以及傅里叶积分等内容。
那么，这些常用到的复变函数问题能不能直接引进欧拉类型的积分公式呢？能！但为了减少错误，必须在理解的基础上进行计算，这就必须从本质入手，即利用复变中的不变法则来研究。
“复变”的含义有两个方面，一是指复数域，二是指复数的运算，因此，复变函数与初等数学、微积分有密切的关系，它是连接复变函数论和实变函数论之间的桥梁，在近现代数学中占有重要地位。
从复变函数中寻找某些积分或求解微分方程都可以使用这种变换，从而简化了很多问题，特别是一些重要的积分（如定积分、面积）在复变函数中可以通过两种途径获得。
把上述问题看成代数问题来解答时，需要考虑的只是常数项和自变量（ x）的有理系数（，），在复变函数的复平面上则由部分和来表示： x的这个部分和，被称为“部分和式”。
复平面中，每点的部分和式就是该点处函数值，从而复平面上的函数值也就代表了这一点处的复数值。
1）已知，求解下列高斯积分。
当然，上述问题只涉及复变函数，对于其他形式的数学工具还需要采用欧拉类型的积分公式。
另外，对于一般高斯积分，例如，利用求导的方法求解三角函数，则可以将其转化为积分问题：例如，求解下列积分。
当然，要将三角函数转化为复数值，还应注意积分限，若使用微积分的思想，可利用变量替换的方法，写出原函数的复数表达式。
例如，令以下等式成立，再利用复变函数的复平面的性质，求解复数三角函数的表达式。
当然，对于较一般的积分问题，采用复变函数的变换规则，在理解的基础上进行计算仍然是非常有效的。
例如，对于某些积分，其结果是未知的，必须经过一定的处理后才能得到结果。
例如，令=1/4，并且认为= 2/3，这样做是合适的，而且会提高计算的准确性。
因此，复变函数中的一些变换规则不仅适用于某些重要的积分，而且也适用于解决实际问题。
guass定理证明-概述说明以及解释
guass定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述Gauss定理是数学中的一项重要定理，也被称为高斯散度定理或高斯-奥斯特罗格拉斯定理。
该定理是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出的，它描述了一个封闭曲面的向外和向内流动的物理量之间的关系。
具体而言，高斯定理表明，如果我们考虑一个封闭曲面，曲面内部存在一个标量场（例如电场、磁场或流体的密度场），那么通过曲面内外的物质流量与曲面内部标量场的分布密切相关。
这个定理的几何直观可以通过想象在封闭曲面上放置一个容器来理解。
如果容器内的某种物质以流量的形式通过容器壁流入或流出，那么高斯定理告诉我们这个物质的总流入量等于物质内部的变化量。
高斯定理的一种常见应用是计算电场的通量，即电场穿过某个封闭曲面的总电场量。
根据高斯定理，我们只需要知道曲面内的电荷分布情况，就可以通过计算电场在曲面上的值来得到总的电场通量。
除了电场，高斯定理还适用于其他领域，如流体力学、磁学和热力学等。
无论在哪个领域，高斯定理的核心思想都是通过将物质的流动与场的分布联系起来，从而提供了一种便于计算和理解的方法。
在本文中，我们将通过详细的数学推导和实例应用来证明高斯定理的正确性，并探讨其在不同领域中的实际应用。
通过深入研究高斯定理，我们可以更好地理解物质流动和场的相互作用，从而为解决实际问题提供有力的数学工具。
1.2文章结构文章结构部分描述了本文的整体框架和组织形式。
本文按照引言、正文和结论三个部分来组织。
在正文部分，将重点讨论关于Gauss定理的证明。
首先，我们将介绍第一个要点，即Gauss定理的基本原理和相关概念。
然后，我们将深入探讨第二个要点，给出Gauss定理的详细证明过程，并附上相关的数学推导和符号说明。
最后，我们将着重讨论第三个要点，探讨Gauss定理的应用和实际意义。
在结论部分，我们将对整篇文章进行总结，回顾Gauss定理的重要性和证明过程。
微积分-高斯公式
cos
d
S
R u v z
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
练习1、设f二次可微，求
f ( r ), ( f ( r ) r ), ( f ( r ) r )
其中 r { x, y }, r r x2 y2 .
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的有向闭曲
面 所围成, 的方向取外侧,向量场F { P,Q,R }
divv 0
故它是无源场.
*例5.置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为
E
q r3
r
q r3
(x,
y,
z)
(r 0)
求 div E .
解:
div E
q
x
x r3
y
y r3
z
z r3
q
13
12
例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P u v
u
2v x2
2v y2
gauss型积分公式
gauss型积分公式
高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。
在误差函数的定义中它也出现。
虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。
高斯积分（Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分。
它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。
高斯积分的几何意义就是：
g是从点A所能看到曲线L的角的度量。
设(x,n)是x轴正方向与n的夹角，(x,r)是x轴正方向与r的夹角，则
(r,n) = (x,n) - (x,r)
所以：
cos(r,n) = cos(x,n)cos(x,r)+sin(x,n)sin(x,r)
=((x-e)cos(x,n)/|r| + (y-m)sin(x,n)/|r|
代入高斯积分：
g = ∫[L] ((y-m)sin(x,n)/(|r|2) + (x-e)cos(x,n)/(|r|2)) ds
化成第二型曲线积分：
g = ±∫[L] ((y-m)/(|r|2) dx - (x-e)/(|r|2) dy)
±表示法线n的两个方向。
此方程满足积分路径无关的条件，假如L是一条闭曲线，A在L外部，那么g=0，如果A在内部，根据挖奇点法，积分结果为2π。
gauss型积分公式
gauss型积分公式
Gauss型积分公式是一种经典的积分计算方法，它是18世纪德国数学家克劳德高斯（Karl Friedrich Gauss）提出的数学方法，又称作高斯积分或高斯积分公式。
这种积分方法非常简单、实用，是数学及其相关学科研究时常用到的数学工具。
Gauss型积分公式的特点是它可以将复杂的一元定积分问题转化为解一个多项式方程组的几何问题，从而减少不少的计算量。
它的优势在于，无论是写出这种方程，结合数学技巧便可算出结果，还可用另一种方法，通过积分变换来完成积分计算，而且可以在结果上获得较高的精度。
Gauss型积分公式可简化定积分问题计算，但由于其复杂性，对多元积分这类计算量较大的问题无能为力。
在这种情况下，可以使用另外一种积分方法，即数值积分法，在这种方法中，采用多项式函数来模拟定积分问题，从而减少计算量，并可以得出比较准确的结果。
Gauss型积分公式在数学研究中具有重要意义，可求出很多有用的结果，尤其是在求解复杂的一元定积分问题上。
它的有效性可以通过用它来求曲线的极限等数学知识的计算来证明。
此外，它还可以用于计算椭圆积分，复数积分等。
Gauss型积分公式的应用范围十分广泛，它在数学研究中可以帮助研究者减少许多计算量，从而节省时间，使得数学研究变得更加有效率。
它在量子力学、电磁学、计算物理学、天文学、计算生物学以及统计学等领域也有着广泛的应用。
从以上可以看出，Gauss型积分公式在数学及其相关学科中具有重要意义，它可以帮助研究者提高研究效率，具备很多实用性，是一个重要的数学工具。
对于Gauss型积分公式的应用，学者们和工程研究者们都应该进行进一步的深入研究，从而更好地发挥它的作用。
计算化学2-Gaussian简介
分子核相对位置可以用笛卡尔坐标，内坐标(Z-matrix)，或者是二者混合 表示 笛卡尔坐标是内坐标的一种特殊形式 分子坐标的格式为: 元素符号, x, y, z 元素符号 (n) 原子1 键长 原子2 键角 原子3 二面角 [格式代码]
(0,180)
以原子在分子中的序数表示
6
编辑批处理作业文件
转换不同格式的分子结构文件 读取.fch文件中的数据并生成 三维空间网格图
利用.chk文件中的分子轨道， 生成电子密度和静电势的空间 分布网格图
从.chk文件中打印出频率 和热化学数据
7
NewZmat工具界面
8
H2O分子单点计算后的.chk文件 转换成.fch文件后，在Chem3D 中所作分子轨道(HOMO)，电荷 密度和静电势空间分布图
26
%chk=h2o2.chk %rwf=h2o2.rwf #p hf/6-31g opt H2O2 energy calculation 01 H O 1 r1 O 2 r2 1 a1 H 3 r1 2 a1 1 d1 r1=0.9 r2=1.4 a1=105.0 d1=120.0
通过对两个键长和键角使用同 一变量定义可以控制分子的对 称性
通过右手规则确定
24
例1：使用HF方法，优化 H2O2分子
25
%chk=h2o2.chk %rwf=h2o2.rwf #p hf/6-31g opt
%chk=h2o2.chk %rwf=h2o2.rwf #p hf/6-31g opt H2O2 energy calculation 01 H 0.000 0.000 O 0.000 0.900 O 1.350 1.262 H 1.464 1.742
计算化学实验_分子结构模型的构建及优化计算
实验9分子结构模型的构建及优化计算一、目的要求1 .掌握Gaussian和GaussView程序的使用。
2 •掌握构建分子模型的方法，为目标分子设定计算坐标。
3. 能够正确解读计算结果，采集有用的结果数据。
二、实验原理量子化学是运用量子力学原理研究原子、分子和晶体的电子结构、化学键理论、分子间作用力、化学反应理论、各种光谱、波谱和电子能谱的理论，以及无机、有机化合物、生物大分子和各种功能材料的结构和性能关系的科学。
Gaussian程序是目前最普及的量子化学计算程序，它可以计算得到分子和化学反应的许多性质，如分子的结构和能量、电荷密度分布、热力学性质、光谱性质、过渡态的能量和结构等等。
GaussView 是一个专门设计的与Gaussian配套使用的软件，其主要用途有两个：构建Gaussian的输入文件；以图的形式显示Gaussian计算的结果。
本实验主要是借助于GaussView程序构建Gaussian的输入文件，利用Gaussian程序对分子的稳定结构和性质进行计算和分析。
三、软件与仪器1. 软件：Gaussian03、GaussView 计算软件，UltraEdit 编辑软件。
2. 仪器：计算机1台。
四、实验步骤1 .利用GaussView程序构建Gaussian的输入文件打开GaussView程序，女口图9-1所示，在GaussView中利用建模工具(View f Builder ,如图9-2所示，在程序界面元素周期表的位置处找到所需的元素，单击即可调入该元素与氢元素的化合物。
图9-1 GaussView打开时的界面若要构建像乙烷这样的链状分子， 需要先点击工具栏中的按钮'，常见的链状分子就显示在新打开的窗口中，如图 9-3所示。
图9-3常见链状官能团窗口图若要构建像苯、萘等环状结构的分子结构，需要双击工具栏中的 J 按钮，常见的环状有机分子就显示在新打开的窗口中，如图9-4所示。
进行分子的基本构型搭建后， 在进行元素及键型、 特殊基团的选择， 重现构建分子直至 构建为所需分子。
虚数域高斯积分
虚数域高斯积分虚数域高斯积分是数学中的一个重要概念，它在复数域上进行积分运算，被广泛应用于数学和物理领域。
本文将对虚数域高斯积分进行详细介绍，包括定义、性质和应用等方面。
一、定义虚数域高斯积分是指在复平面上对复函数进行积分的一种方法。
设f(z)是定义在复平面上的一个复函数，虚数域高斯积分可以表示为：∫f(z)dz其中，f(z)是被积函数，dz是积分路径上的微元长度。
二、高斯积分公式根据高斯积分的定义，我们可以得到以下两个重要的高斯积分公式：1. 第一类高斯积分当被积函数f(z)是一个整函数时，即在整个复平面上都有定义且无极点，高斯积分可以表示为：∫e^(-z^2)dz = √π其中，π是圆周率。
2. 第二类高斯积分当被积函数f(z)是一个有限个孤立奇点的函数时，即在复平面上只有有限个点处有定义，高斯积分可以表示为：∫f(z)e^(-z^2)dz需要注意的是，第二类高斯积分的具体计算需要根据被积函数f(z)的具体形式来确定。
三、性质虚数域高斯积分具有以下几个重要的性质：1. 线性性质虚数域高斯积分具有线性性质，即对于任意的复数a和b，以及两个可积函数f(z)和g(z)，有：∫(af(z) + bg(z))dz = a∫f(z)dz + b∫g(z)dz2. 换元法则虚数域高斯积分在积分路径上的曲线变换时，具有换元法则。
设z = φ(t)是一个可导函数，将积分路径从z空间变换为t空间，有：∫f(z)dz = ∫f(φ(t))φ'(t)dt其中，φ'(t)是t对z的导数。
3. 积分路径的选取虚数域高斯积分的结果与积分路径的选取有关。
在某些特殊情况下，可以通过选取适当的积分路径来简化计算过程，得到更加简洁的结果。
四、应用虚数域高斯积分在数学和物理领域有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 复变函数理论虚数域高斯积分在复变函数理论中扮演着重要的角色，通过对复函数的积分运算，可以研究函数的解析性、奇点性质等。
Gauss计算步骤
1) Chemdraw画出相应结构式，注意芳香性分子的结构应用“”表示，分子结构完成之后与正常情况下画出分子相比较，看看有没有缺少C或者H原子。
2) 确认结构无误后，将芳香性分子粘贴到Chem3D Ultra 8.0中(ChemBio3D Ultra 12.0中无MOPAC且粘贴后分子容易出错)3）点击MOPAC→minimize energy4) 点击run之后，得到半经验计算构象5) 点击Gaussian→create input file此处计算的是自由基负离子所以只能选择open shell，unrestricted open shell表示分别计算α和β电子，自由基阴离子net=-1，spin为2，自旋多重度=2S+1，即单电子数目加16)点击create之后弹出保存按钮对话框，保存成.gjf文件7)启动GaussView5.0，打开刚才保存的.gjf文件8)calculate→Gaussian calculation setup此处选择optimization，收敛标准选择use tight convergence criteriaMethod选择基态；charge=-1，spin=2；选择极化函数+弥散函数Job title用于给文件命名此处memory limit用于指定计算所占内存大小，高斯使用默认的内存48M，1MW=8 MB；shared processors用于指定多核处理器，本实验室计算工作站可以选择4，高斯默认为1.一般进行结构优化以及频率计算的时候不保存chkpoint file文件，等单点能以及激发态计算的时候才保存chkpoint file文件。
一般ignore symmetry，即忽略分子对称性，因为有时计算结果分子对称性会发生变化；Use Maxdisk用于指定计算所用硬盘大小，默认2G，一般都设置的比较大一点，要不然计算可能出错，我一般用10G或者20G. 再后面的Guess（初始猜测）、NBO（成键轨道分析）和Solvation （溶剂化）不用管。
利用Gaussian计算乙烷分子的能量
利用Gaussian计算乙烷分子的能量乙烷分子由于C-C单键的可旋转性，两个甲基呈不同的夹角时，分子的能量也不同。
# hfC2H60, 1CH 1 1.1H 1 1.1 2 109.28H 1 1.1 2 109.28 3 120.0C 1 1.2 2 109.28 3 -120.0H 5 1.1 1 109.28 2 （A）H 5 1.1 1 109.28 6 120.0H 5 1.1 1 109.28 6 -120.0其中，该图像角度变化为半个周期。
可以看出，夹角为60°时，即交叉型乙烷的能量最低；角度为0°时，即重叠型乙烷的能量最高。
利用Gaussian计算氢键的能量1、醋酸分子的结构优化和能量使用G98View建立CH3COOH分子模型后，使用G98w对CH3COOH分子结构进行优化，当选择基组为rb3lyp/6-31+g(d,p)时，得到最终结构为：CH,1,B1H,1,B2,2,A1H,1,B3,2,A2,3,D1,0C,1,B4,2,A3,3,D2,0O,5,B5,1,A4,2,D3,0O,5,B6,1,A5,2,D4,0H,7,B7,5,A6,1,D5,0Variables:B1=1.09427718B2=1.08934961B3=1.09429459B4=1.50559214B5=1.21264905B6=1.359521B7=0.97238892A1=110.08052A2=107.38234822A3=109.87952318A4=126.09455569A5=111.72200085A6=107.03060412D1=-119.8275042D2=120.70870244D3=-121.13249805D4=58.87199833D5=179.99560434使用ab initio方法中的Hartree-Fock方法，得到分子的能量为HF=-229.1058285au。
第二型曲面积分、Gauss公式、Stokes公式与空间向量场 (2)
]
= ∫∫ [( z n − y n ) cos α + ( x n − z n ) cos β + ( y n − x n ) cos γ ]dS
S + S1
n n n n n n − ∫∫ [( z − y ) cos α + ( x − z ) cos β + ( y − x ) cos γ ]dS S1
+y +R x
2 2
2
dxdy − ∫∫ x
R
2
2 2
D1 x
+y +R −x
பைடு நூலகம்2 D2
2
dxdy x
2
D2
2 2 R −x R +z
dxdz − ∫∫ dxdz dx
2 2 R −x R +z
dxdz
= 2 ∫∫
x2 +z ) R −x dz R2 + z
2 ∫− R R 2 2 2
D2 ( R 2
根据曲面 S 关于坐标面的对称性，得
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第二型曲面积分、Ｇａｕｓｓ公式、Ｓｔｏｋｅｓ公式与空间向量场 作者：扈志明 第 ２ 页 共 １３ 页
I = ∫∫ [( z n − y n )
S
x y +( x n − z n ) ]dS = 0 ， R R
同样的理由，得
n n ∫∫ y zdS = ∫∫ x zdS ， S S
2 2 2
a 2 − x 2 − y 2 ，所以 a dxdy 。 a 2 − x2 − y 2
记 D = {( x, y) x + y ≤ a , x ≥ 0, y ≥ 0} ，则
利用高斯计算甲烷
姓名：学号：专业：高斯计算分子的基本流程：（1）利用高斯View建立一个分子模型，保存为gif格式。
(2) 用高斯03对该分子进行几何优化、单点能计算和频率计算。
①几何优化：用高斯03调用已经建好的甲烷模型（格式为gif），用#T RHF/6-31G(d) Opt Test命令对其进行优化。
其中分子电荷和自旋多重度分别设定为0、1。
优化前分子输入的坐标为：Standard orientation:------------------------------------------------------------------------------------------------------- Center Atomic Atomic Coordinates (Angstroms) Number Number Type X Y Z -------------------------------------------------------------------------------------------------------1 6 0 0.000000 0.000000 0.0000002 1 0 0.617765 0.617765 0.6177653 1 0 -0.617765 -0.617765 0.6177654 1 0 -0.617765 0.617765 -0.6177655 1 0 0.617765 -0.617765 -0.617765 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 优化后分子的输出坐标为：Standard orientation:------------------------------------------------------------------------------------------------------- Center Atomic Atomic Coordinates (Angstroms) Number Number Type X Y Z -------------------------------------------------------------------------------------------------------1 6 0 0.000000 0.000000 0.0000002 1 0 0.625213 0.625213 0.6252133 1 0 -0.625213 -0.625213 0.6252134 1 0 -0.625213 0.625213 -0.6252135 1 0 0.625213 -0.625213 -0.625213 -------------------------------------------------------------------------------------------------------优化后分子中各原子电荷Mulliken分布：Mulliken atomic charges:11 C -0.7939762 H 0.1984943 H 0.1984944 H 0.1984945 H 0.198494Sum of Mulliken charges= 0.00000优化后分子的偶极矩：Dipole moment (field-independent basis, Debye):X= 0.0000 Y= 0.0000 Z= 0.0000 Tot= 0.0000 优化后分子Z矩阵的最终结构：其中B为键长，A为两个键形成的键角，D为二面角。