3.2-一元二次不等式及其解法-教学设计-教案
数学《一元二次不等式》教学设计(优秀4篇)
数学《一元二次不等式》教学设计（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一元二次不等式及其解法(优秀教案1)
一元二次不等式及其解法（第一课时）一、 课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法 四、 教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系 （完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三） 合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1） 类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2） 当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、 知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、 训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组 第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。
教学设计-一元二次不等式及其解法 优秀教学设计
教学设计：一元二次不等式及其解法一、教学课题：1、教材版本：普通高中新课程（A版）必修52、教学章节：第三章不等式3.2 一元二次不等式及其解法3、教学年级：高二4、授课类型：新授课二、课前分析：1、教材分析：本课的基础是一元二次方程及二次函数，可以从三个“一次”的关系入手，让学生自然类比、归纳出三个“二次”的关系。
2、学生分析：学生需要联系前面所学的一元二次方程、二次函数的知识，然而有的学生这些知识并未掌握牢固；再者要深刻挖掘它们之间的联系，从中寻求一元二次不等式的解法。
这比单纯数形结合要求更高。
三、教学目标：（一）知识与能力：1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
2．一元二次不等式的解法。
3. 通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想。
4.通过一元二次不等式的解集的分类列表形式，培养分类讨论的数学思想。
（二）过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；（三）情感态度与价值观：1. 从解一元一次不等式到解一元二次不等式的过程是培养学生类比的思维方法的过程．2. 通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，激发学生学习数学的热情，培养勇于探索、勇于创新的精神，同时使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，从而树立辨证的世界观。
四、教学重点：一元二次不等式的解法。
五、教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。
六、教学方法与手段：问题探究启发式,结合电脑、投影仪等多媒体设备辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高课堂效率七、教学过程： （I ）复习提问：1、一元二次方程的解的情况。
20,(0)ax bx c a ++=≠2、二次函数的图像的作法。
2,(0)y ax bx c a =++≠（II ）新课学习： 1.问题引入：①解方程 230x +=②作函数 的图像23y x =+③解不等式 及230x +>230x +< 【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。
一元二次不等式及其解法教案
一元二次不等式及其解法教案教学设计一元二次不等式及其解法整体设计教学分析1．本节内容对学生来说不算太陌生，涉及的概念也不算多，所表现的数学基本思想也不复杂．但是，一元二次不等式解法作为高中数学最重要的内容之一，也是中学数学的一个基础和工具．由于一元二次不等式解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中数学学习中的一个薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑．要使学生通过学习本节内容后，达到《新课标》所规定的要求却并非易事．因此在教学中要根据学生的实际情况，通过大量的实例，引导学生抽象概括，逐步理解掌握有关概念及思想方法，不可期待一蹴而就．要通过解题，逐步理解掌握有关方法与思想的内涵，避免陷入烦琐的计算与人为技巧之中，要重视引导学生经历探索、解决问题的过程．教师要充分阅读《新课标》，深刻理解本节的编写意图．(1)意图一是数形互补，强化直观，突出精简实用．对一元二次不等式的解法，没有介绍较烦琐的纯代数方法，而是结合二次函数的图象，采取简洁明了的数形方法，体现删繁就简的意图．淡化解(证)不等式的技巧性要求，凸现了不等式的实际情境、几何意义及实际应用．(2)意图二是总结方法，提炼思想，鼓励创新实用．对一元二次不等式求解“尝试设计求解程序框图”的要求，融入了算法的思想．其一是为算法找到了用武之地，其二是不但实现了不等式的上机求解，而且对不等式结构的认识显得更加清晰，更能看清问题的本质．其他如优化思想、化归思想、分类讨论思想、方程思想等．(3)意图三是注重联系，更新观念，建立创新数学观．在教学中要积极引导学生，将所学内容与日常生活、生产实际、其他学科联系起来．通过类比、联想、知识迁移等方式，使学生体会本章知识间与其他知识间的有机联系，注意函数、方程、不等式的联系，数与形的联系，算法思想、优化思想、化归思想在有关内容中的渗透以及不同内容中的应用等．2．本节分为三个课时．第一课时，理解一元二次不等式及其解法中的一些基本概念，求解一元二次不等式的步骤，求解一元二次不等式的程序框图．根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系．第二课时通过例题的讲解和学生的练习，更深入揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系，继续探究一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固．第三课时通过进一步探究一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，研究含有参数的一元二次不等式的解法．通过例题的探究和变式训练，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．实际教学时用两条途径研讨二次不等式的解法：一是对函数式配方并作出二次函数的图象；二是当函数存在零点时，对函数式进行因式分解．应当把第二条途径理解为是对第一条途径依据原理的加深理解．另外第二条途径的方法是把二次转化为一次来求解，化难为易，高次转化为低次求解，这是研究代数问题的一条基本途径．我们教学的目的，不仅仅是让学生掌握解法，更重要的是让学生掌握研究问题的方法和技能．三维目标1．深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式“三个二次”之间的关系，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．通过含参不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论．并通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观．3．通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质．重点难点教学重点：突出体现数形结合的思想，熟练地掌握一元二次不等式的解法，并理解解法的几何意义．教学难点：深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系．课时安排时教学过程第1课时导入新课思路1.(类比导入)让学生回忆解方程3x＋2＝0的方法．作函数y＝3x＋2的图象，解不等式3x＋2＞0.我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系．利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集．类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？思路 2.(直接导入)教师利用多媒体展示两个不等式：15x2＋30x－1＞0和3x2＋6x－1≤0.让学生观察这两个不等式的共同点是什么？由此展开新课．推进新课新知探究提出问题1什么是一元二次不等式？2回忆一元一次方程、一元一次不等式及一次函数三者之间有什么联系？3类比“三个一次”之间的关系，怎样探究一元二次不等式的解法？活动：为了探究一元二次不等式的解法，教师可引导学生先回忆已经学过的一元一次不等式的解法，回忆一元一次不等式与一元一次方程及一次函数三者之间的关系．这样做不仅仅是为探究一元二次不等式的解法寻找类比的平台，也是为学生对不等式的知识结构有个系统的掌握．一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系：可通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集．函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标．类比以上，我们来探究一元二次不等式与一元二次方程与二次函数的关系，并从中找出解决一元二次不等式的求解方法 .在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y＝x2－5x，当x为何值时，y＝0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？因此二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间有着非常密切的联系．教师利用多媒体让学生探究一元二次不等式x2－5x＞0和x2－5x＜0的解法．先考察二次函数y＝x2－5x＝(x－52)2－254的图象和性质，如下图．当x＝0或x＝5时，y＝0，即x2－5x＝0；当0＜x＜5时，y＜0，即x2－5x＜0；当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2－5x＞0.这就是说，若抛物线y＝x2－5x与x轴的交点是(0,0)与(5,0)，则一元二次方程x2－5x＝0的解就是x1＝0，x2＝5.一元二次不等式x2－5x＜0的解集是{x|0＜x＜5}；一元二次不等式x2－5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}．这样，我们通过对函数式配方、画图就能解出一元二次不等式的解集．另一种方法，教师可引导学生对函数式进行分解，即x2－5x＝x(x－5)．因此解不等式x2－5x＞0，等价于解不等式组x0，x－50或x0，x－50.解这两个不等式组，得x＞5或x＜0.这种化高次为低次的研究方法，也是我们研究问题的重要方法．但把这两种方法进行比较，可以明显地体会到，作出相应的二次函数的图象，并由图象直接写出解集的方法更简便一些．今后我们解一元二次不等式时就可用第一种方法来解．由一元二次不等式的一般形式，知任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．由于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有三种情况，即两个不等实根，两个相等实根，无实根，反映在其判别式Δ＝b2－4ac上分别为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况．相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况(如下图)．因此，对相应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a ＞0)的解集我们也分这三种情况进行讨论．(1)若Δ＞0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴有两个交点〔图(1)〕，即方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2(x1＜x2)，则不等式ax2＋bx＋c ＞0(a＞0)的解集是{x|x＜x1或x＞x2}；不等式ax2＋bx ＋c＜0(a＞0)的解集是{x|x1＜x＜x2}．(2)若Δ＝0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x 轴只有一个交点〔图(2)〕，即方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)有两个相等的实根x1＝x2＝－b2a，则不等式ax2＋bx ＋c＞0(a＞0)的解集是{x|x≠－b2a}；不等式ax2＋bx ＋c＜0(a＞0)的解集是?．(3)若Δ＜0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)无实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是R；不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是?．Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0的根x1,2＝－b±Δ2ax1＝x2＝－b2a?Øax2＋bx＋c＞0的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0的解集{x|x1＜x＜x2}?Ø?Ø这样根据二次函数图象及一元二次方程根的情况，就可迅速求解一元二次不等式的解集，但教师需点拨学生注意：一是不要死记上表中的一元二次不等式的解集，对具体的一元二次不等式，首先想到的是二次函数图象，想到的是判别式Δ的情况；二是不等式的解集一定要书写规范，只能用集合或区间表示，避免出现似是而非的错误．对于ax2＋bx＋c＞0(a＜0)的情况，只需将二次项系数化为正值再求解即可．讨论结果：(1)含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．(2)略．(3)两条途径探究一元二次不等式的解法：一条是对函数式配方、画图解决；另一条是对函数式进行因式分解解决．应用示例例1(教材本节例1)活动：本例的目的是让学生熟悉怎样结合二次函数、一元二次方程求解一元二次不等式，以及怎样书写解题步骤和解集．本例可让学生自己解决，待充分暴露问题后，教师进行一一点拨纠正．点评：解完此例后，教师可结合多媒体回顾前面探究的一般一元二次不等式的解集，进一步加深学生对一元二次不等式解法的理解.变式训练1．解不等式4x2＋4x＋1＜0.解：∵Δ＝42－4×4＝0，由二次函数y＝4x2＋4x＋1的图象，可知原不等式的解集为?．2．解不等式(1)x2＋4x＋4≥0；(2)x2＋4x＋4≤0.解：∵Δ＝ 42－4×1×4＝0，∴原不等式可化为(1)(x＋2)2≥0；(2)(x＋2)2≤0.∴原不等式(1)的解集为R；不等式(2)的解集为{－2}.例2解不等式－3x2＋15x＞12.活动：本例的二次项系数为负，教师引导学生先将不等式变为标准形式，即3x2－15x＋12＜0.进一步化简得x2－5x＋4＜0，然后结合二次函数图象及一元二次方程即可求解．可由学生自己完成．解：原不等式可化为x2－5x＋4＜0.∵Δ＞0，且方程x2－5x＋4＝0的两根为x1＝1，x2＝4，∴原不等式的解集为{x|1＜x＜4}．〔或写成(1,4)〕点评：点拨学生充分利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系.变式训练解不等式－x2＋5x＞6.解：原不等式变形为x2－5x＋6＜0.∵Δ＝(－5)2－4×1×6＝1＞0，方程x2－5x＋6＝0的两根为x1＝2，x2＝3，∴原不等式的解集为{x|2＜x ＜3}.例3不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是{x|－12＜x＜13}，则a－b等于( )A．－4 B．14 C．－10 D．10答案：C解析：由ax2＋bx＋2＞0的解集是{x|－12＜x＜13}，知x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的根，且知a＜0.∴－ba＝－12＋13，2a＝－12×13.∴a＝－12，b＝－2.∴a－b＝－10.点评：已知不等式的解集求相应系数，此类问题应转化为相应方程对应根的问题．运用根与系数的关系求解.变式训练1．解不等式4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．解：原不等式整理，得9x2－12x＋4＞0.∵Δ＝144－4×9×4＝0，方程9x2－12x＋4＝0的解是x1＝x2＝23，∴原不等式的解集是{x|x≠23}．2．若不等式|8x＋9|＜7和不等式ax2＋bx－2＞0的解集相等，则实数a、b的值为( )A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－4，b＝－9C．a＝－1，b＝9 D．a＝－1，b＝2答案：B解析：由|8x＋9|＜7，得－2＜x＜－14，∴－2，－14是方程ax2＋bx－2＝0的两根．故－2－14＝－ba，?－2×－14＝－2a，解得a＝－4，?b＝－例4解不等式(12) ≤(12)活动：本例需要根据指数函数的性质，这对学生来说有点难度，教师可根据学生的探究情况适时点拨，将不等式等价转化为一元二次不等式．解：由指数函数y＝(12)x是单调递减函数可知，原不等式等价于2x2－5x＋6≥x2＋x＋6，即x2－6x≥0.解这个一元二次不等式得x≤0或x≥6.∴原不等式的解集为{x|x≤0或x≥6}．知能训练1．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x||x|＜2}，则( )A．M∩N＝Ø? B．M∩N＝MC．M∪N＝M D．M∪N＝R2．已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B等于( )A．{x|2≤x≤3} B．{x|2≤x＜3}C．{x|2＜x≤3} D．{x|－1＜x＜3}3．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________．答案：1．B 解析：∵M＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，∴M?N.∴M∩N＝M.2．C 解析：由x2－5x＋6≤0，解得2≤x≤3.由|2x－1|＞3，解得x＜－1或x＞2，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}．3．－1＜a＜3 解析：原不等式可化为x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集为?．∴Δ＝4－4(－a2＋2a＋4)＜0，即a2－2a－3＜0.解得－1＜a＜堂小结1．由学生回顾本节课的探究过程，再次领悟通过二次函数图象解一元二次不等式的方法要领．点拨学生注意不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用，要重视数形结合思想．解一元二次不等式就是借助于二次函数的图象，抓住抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴的交点，从而确定不等式的解集．同时运用二次函数图象的直观性帮助记忆．2．教师强调，一元二次不等式的解集可用集合或区间表示，区间是特殊数集的表示方式，要能正确、熟练地使用区间表示不等式的解集．作业课本习题3—3A组2(1)～(4)、3.设计感想本课时设计体现新课标理念．由于本节内容的工具性特点，课堂上要鼓励学生思考交流与动手实践，让学生养成独立思考和勇于质疑的习惯．同时也应学会与他人交流合作、培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神．本课时设计强化了直观．由于本节教材内容有着丰富的几何背景，充分利用二次函数图象解一元二次不等式是新课标的特色．对一元二次不等式的解法，没有介绍较烦琐的纯代数的方法，而是结合二次函数的图象，采取简洁明了的数形结合方法．本课时设计突出二次函数的作用．一元二次不等式解集的得出是数形结合法运用的典型范例，必须要求学生对这种方法有深刻的认识与体会．必要时，甚至让学生像当初学习平面几何时识图一样，去认识函数的图象，从图象上真正把握其内在本质．让学生明确，画二次函数图象只要关键点把握准即可，我们是利用它来解不等式，并不是要它本身，因而也没有必要精益求精地把图象画得十分精确．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.让学生回顾利用一元二次方程、二次函数间的关系求解一元二次不等式的操作过程，尝试自己独立画出求解一元二次不等式求解的基本过程的程序框图，由此导入新课．思路2.让学生思考回答一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么呢？一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象是抛物线l，则不等式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0的解集分别是抛物线l在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是抛物线l与x轴的公共点的横坐标，即二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，本节课进一步熟悉这种关系．推进新课新知探究提出问题1回忆一元二次不等式的解法，并说明一元二次不等式与一元二次方程、二次函数具有怎样的关系？2回忆一般一元二次不等式的求解过程，你能用一个程序框图把这个求解过程表示出来吗？ 3根据所学知识探究简单的分式不等式与简单的高次不等式的解法.这不是教材上的重点，但需要学生知道其变形原理且课后习题有分式不等式活动：教师引导学生回顾一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系：设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线l，则不等式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0的解集分别是抛物线l在x轴上方，在x 轴下方的点的横坐标x的集合；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是抛物线l与x轴的公共点的横坐标，即二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，一元二次不等式的求解步骤，即程序是：(1)将二次项系数化为正数：y＝ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(a＞0)．(2)计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：①Δ＞0时，求根x1＜x2，若y0，则xx1或xx2，若y0，则x1xx2；②Δ＝0时，求根x1＝x2＝x0，若y0，则x≠x0的一切实数，若y0，则x∈?，若y＝0，则x＝x0；③Δ＜0时，方程无解，若y0，则x∈R，若y≤0，则x∈?.(3)写出解集．为突出算法在数学中的应用，体会算法的基本思想及算法的重要性和有效性，可鼓励学生自行设计一个程序框图，将上述求解一元二次不等式的基本过程表示出来．结合多媒体给出下面的框图，让学生与教材78页程序框图比较异同．分式不等式的同解变形有如下几种：(1)fxgx＞0f(x)g(x)＞0；(2)fxgx＜0f(x)g(x)＜0；(3)fxgx≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0；(4)fxgx≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时，每一步变形，都应是不等式的等价变形．在等价变形时，要注意什么时候取交集，什么时候取并集．带等号的分式不等式，要注意分母不能为零．另外，在取交集、并集时，可以借助数轴的直观效果，这样可避免出错．关于分式不等式与简单的高次不等式的解法，课本没作要求，但需了解其变形原理．简单高次不等式的解法可在备课资料中参阅．讨论结果：(1)～(3)略．应用示例例1(教材本节例5)活动：教师可引导学生对函数定义域稍作回顾复习，点拨学生明确要使函数f(x)有意义，必须2x2＋x－3≥0，且3＋2x－x2＞0同时成立．然后由学生自己完成此例.变式训练设f(x)＝则不等式f(x)＞2的解集为( )A．(1,2)∪(3，＋∞)B．(10，＋∞)C．(1,2)∪(10，＋∞) D．(1,2)答案：C解析：∵f(x)＝∴不等式f(x)＞2的解集由① 或② 解得．解①得1＜x＜2，解②得x＞10，综上，不等式f(x)＞2的解集为(1,2)∪(10，＋∞).例2解下列不等式：(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋1＜3.活动：对于这种分子、分母含x的因式的不等式，先把不等式的右边化为0，然后转化为整式不等式来解．本例让学生自主探究，教师适时点拨．解：(1)不等式x＋1x－3≥0可转化成不等式(x＋1)(x－3)≥0且x≠3，解得x≤－1或x＞3.∴原不等式的解集为{x|x≤－1或x＞3}．(2)不等式5x＋1x＋1＜3可等价转化为2x －1x＋1＜0，即(x－1)(x＋1)＜0.解得－1＜x＜1.∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．点评：本例体现了分式不等式与整式不等式之间的转化．提醒学生注意转化的等价性.变式训练不等式x＋1x－2＞0的解集是__________．答案：{x|x＜－1或x＞2}解析：不等式x＋1x－2＞0等价于(x＋1)(x－2)＞0.解这个一元二次不等式得x＜－1或x＞2.∴原不等式的解集是{x|x＜－1或x＞2}.例3函数y＝1xln(x2－3x＋2＋－x2－3x＋4)的定义域为( )A．(－∞，－4]∪[2，＋∞) B．(－4,0)∪(0,1)C．[－4,0)∪(0,1] D．[－4,0)∪(0,1)活动：教师引导学生根据定义域的要求写出相应的不等式，本例可由学生自己完成．答案：D解析：由题意知，x≠0x2－3x＋2≥0－x2－3x＋4≥0x2－3x＋2＋－x2－3x＋40?x≠0x≥2或x≤1－4≤x≤1－4≤x1，所以－4≤x＜0或0＜x＜1.点评：本例作为选择题，也可用特值排除法，明显排除A.取x＝1，－4可排除B、C.变式训练函数y＝－x2＋x＋6x－1的定义域是________．答案：[－2,1)∪(1,3]解析：由－x2＋x＋6≥0，?x－1≠0，解得－2≤x≤3，?x≠1.故所求定义域为[－2,1)∪(1,3].知能训练1．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于( )A．{x|x＜－2} B．{x|x＞3}C．{x|－1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．解不等式组x2－6x＋80，x＋3x－12.答案：1．C 解析：M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|－1＜x＜3}，故M∩N＝{x|－1＜x＜2}．2．解：由x2－6x＋8＞0，得(x－2)(x－4)＞0，所以x＜2或x＞4.由x＋3x－1＞2，得－x＋5x－1＞0，即1＜x＜5.故原不等式组的解集为(1,2)∪(4,5)．课堂小结1．由学生自己理顺整合本节所学知识点．归纳求解简单不等式的转化方法及程序框图的应用等．2．教师进一步强调，一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”．我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它，它是函数与方程思想的应用范例．作业习题3—3A组2(5)(6)、4；习题3—3B组1.设计感想1．本课时设计充分体现学生的主体地位，引导学生积极参与课堂探究，使教学过程由封闭型向开放型转化．在教学过程中由教师到学生的单向交流，变成师生之间多向交流，使教学成为一个探索、发现、创造的过程．2．本课时重视了探究过程的操作，使教学过程设计更优化更合理．因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式定理应用达到所谓“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在教学概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题、新高考将束手无策．3．本课时设计“注意联系，注重概括，重视应用，提高学生数学能力”的侧重．我们常说“教学有法、教无定法、因材施教、贵在得法”，教学作为一门科学应当有规律可循，但是教学作为一门艺术，不应该也不能依靠某一种教学方法来实现它的全部功能，更重要的是应博采众长，优化课堂环境，注重提高学生的数学素质． (设计者：郑吉星)第3课时导入新课思路1.(复习导入)教师展示一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系图表，点拨学生观察发现关于ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)恒成立问题的条件．在学生精心凝思的探究中引入新课．思路2.(问题导入)我们解决x2－5x＋4＞0这样的一元二次不等式的求解问题，如果题目中含有字母参数怎么办呢？如解这样的不等式： ax2－5x＋4＞0.在学生的思考探究中自然地引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆一元二次不等式的解法，简单分式不等式的解法.2你能快速解决以下不等式吗？①－x2＋5x＞6；②x2－4x＋4＞0；③x2＋2x＋3＜0；④ ＞2.3观察一元二次方程的根、一元二次不等式的解集与二次函数的图象的关系图表，你能有什么独到的发现吗？活动：教师引导学生回顾一元二次不等式的求解过程，体会数形结合的威力．对一元二次不等式的解法应达到“心算”的程度，即对所给的一元二次不等式要能够通过“心算”，得出相应方程的解，再在脑海中想象出其二次函数的图象，立即得到原不等式的解．关键是深刻理解“三个二次”之间的关系．教师引导学生观察图表(多媒体课件演示)．[课件]一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的具体关系对比如下表．判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞ 0)的根有两相异实根x1,2＝－b±b2－4ac2a(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c＞0(a＞0){x|x＜x1或x＞x2} {x∈R|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0){x|x1＜x＜x2}?ØØ?观察上表，引导学生进一步观察出：ax2＋bx＋c＞0对一切x∈R都成立的条件为a0，Δ0；ax2＋bx＋c＜0对一切x∈R都成立的条件为a0，Δ0.讨论结果：(1)略．(2)①(2,3)；②(－∞，2)∪(2，＋∞)；③?；④(－13，－5)．(3)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对一切x∈R都成立，则a＞0且Δ＜0；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对一切x∈R都成立，则a＜0，Δ＜0.应用示例例1解不等式mx2－2x＋1＞0.活动：本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分类讨论，而且极易漏解或重复．较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策．显然本题首先要讨论m与0的大小，又由Δ＝4－4m＝4(1－m)，故又要讨论m与1的大小．我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏．解：∵Δ＝4－4m＝4(1－m)，∴当m＜0时，Δ＞0，此时x1＝1＋1－mm＜x2＝1－1－∴解集为{x|1＋1－mm＜x＜1－1－mm}．当m＝0时，方程为－2x＋1＞0，解集为{x|x＜12}，当0＜m＜1时，Δ＞0，此时x1＝1＋1－mm＞x2＝1－1－mm，∴解集为{x|x＞1＋1－mm或x＜1－1－mm}．当m＝1时，不等式为(x－1)2＞0，∴其解集为{x|x≠1}；当m＞1时，此时Δ＜0，故其解集为R.点评：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况.变式训练解关于x的不等式2x2＋kx－k≤0.解：Δ＝k2＋8k＝k(k＋8)．(1)当Δ＞0，即k＜－8或k＞0时，方程2x2＋kx－k＝0有两个不相等的实根，所以不等式2x2＋kx－k≤0的解集是{x|－k－kk＋84≤x≤－k＋kk＋84}；(2)当Δ＝0，即k＝－8或k＝0时，方程2x2＋kx－k＝0有两个相等的实根，所以不等式2x2＋kx－k≤0的解集是{－k4}，即{0,2}；(3)当Δ＜0，即－8＜k＜0时，方程2x2＋kx－k＝0无实根，所以不等式2x2＋kx－k≤0的解集为Ø.例2已知关于x的一元二次不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0的解集为R，求a的取值范围．活动：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然有y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a＜0且Δ＜0.解：由题意，知要使原不等式的解集为R，必须a0，Δ0，即a0a－12－4aa－10 a03a2－2a－10 a0a1或a－13 a＜－∴a的取值范围是(－∞，－13)．点评：本题若无“一元二次不等式”的条件，还应考虑a＝0的情况，但对本题讲a＝0时式子不恒成立．(想想为什么)变式训练若函数f(x)＝kx2－6kx＋k＋8的定义域为R，求实数k的取值范围．解：显然k＝0时满足．而k＜0时不满足，k0?Δ＝36k2－4kk＋8≤0?0＜k≤1.∴k的取值范围是[0,1].例3解关于x的不等式x2－x－a(a－1)＞0.活动：对应的一元二次方程有实数根1－a和a，不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论．(1)当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零．(2)整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏．解：原不等式可以化为(x＋a－1)(x－a)＞0，若a＞－(a－1)，即a＞12，则x＞a或x＜1－a.∴x∈(－∞，1－a)∪(a，＋∞)；若a＝－(a－1)，即a＝12，则(x－12)2＞0.∴x∈{x|x≠12，x∈R}；若a＜－(a－1)，即a＜12，则x＜a或x＞1－a.。
高一数学上册《一元二次不等式的解法》教案、教学设计
2.选做题（针对学有余力的学生）：
（1）研究一元二次不等式的性质，如单调性、奇偶性等，并举例说明。
（2）探讨一元二次不等式解法在生活中的应用，撰写一篇小论文，分享自己的观点和心得。
3.小组合作作业：
（1）小组内分工合作，共同探讨并总结一元二次不等式的解法技巧。
2.引导学生运用数形结合的思想，将一元二次不等式与图像相结合，培养学生的直观想象能力和逻辑思维能力。
3.通过对一元二次不等式解法的讨论，培养学生分类讨论、逐步推进的思维习惯。
4.结合实际例题，引导学生总结一元二次不等式的解法技巧，提高解题效率。
5.鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识和应用能力。
（4）将一元二次不等式解法应用于解决实际问题，培养学生数学建模和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生通过观察、猜想、验证、总结等环节，自主探究一元二次不等式的解法。
（2）结合图像法，利用多媒体教学手段，形象直观地展示一元二次不等式的解法过程。
（3）小组合作学习，让学生在讨论、交流中相互学习、共同提高，培养学生的团队协作能力。
5.引导学生正确看待数学学习中的成功与失败，形成积极向上的心态，为未来的学习奠定坚实基础。
本教学设计旨在帮助学生在掌握一元二次不等式解法的基础上，提高数学思维能力、解决问题的能力以及情感态度与价值观的培养。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在学习中收获成长。
二、学情分析
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，及时纠正错误。
高中数学必修⑤32《一元二次不等式及其解法》教学设计
课题：必修⑤3.2一元二次不等式及其解法三维目标：1、知识与技能（1）从实际问题中建立一元二次不等式，认识一元二次不等式的重要性；（2）理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的本质关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；（3）培养学生数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
2、过程与方法（1）通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；（2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；（3）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
3、情态与价值观(1) 通过对不等式知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：（1）从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；（2）一元二次不等式的解法.。
教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸 科学导入：★上一节，我们学习了不等关系和不等式的基本知识和基本性质，下面首先复习一下不等式的基本性质：性质1：a b b a <⇔>(等价性)性质2：,a b b c a c >>⇒>（传递性）性质3：a b a c b c >⇒+>+（可加性）性质4：,0a b c ac bc >>⇒> ,0a b c ac bc ><⇒<（条件可乘性） 性质5：d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向相加）性质6：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向相乘）性质7：)2,(,0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n性质8：)2,(,0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n★通过实际问题，同学们感受到了不等式的重要作用，而不等式有各种各样的类型，引领学生阅读课本第76 页的上网问题，得出一个关于x 的一元二次不等式，即 250x x -<大家都知道一元二次方程是很重要的。
人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)
3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。
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《一元二次不等式及其解法》教学设计及反思海西州高级中学陈燕课题: 3.2一元二次不等式及其解法【教材分析】《一元二次不等式的解法》这节课属于高中数学必修五的内容，是初中一元一次不等式的解法、一元二次方程的根在知识上的延伸和发展，又是上一章集合知识的运用与巩固，也为下一章研究函数的定义域和值域作铺垫，起着承上启下的作用，它也是《不等式》的核心内容。
同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。
【学情分析】现阶段高中生已经掌握了一元一次不等式（组）的解法，一元二次方程的求根等基础知识，有着良好的知识基础；而且他们通过初中的学习心智发育逐渐成熟，发散思维习惯和方式已初步养成，具备了一定的数形结合的思想，有着较好的观察与总结、化归、探究能力【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想.【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和一元二次不等式的解法.【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.【教学过程】1.联系旧知，构建新知.复习：一元二次方程和二次函数.（1）一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的解法：*公式法：2b x a-±=. *因式分解法：()()120x x x x --=.（2）二次函数()20y ax bx c a =++≠.*图象：一条抛物线.*开口方向： 0 0 a a >⎧⎨<⎩开口向上,开口向下.*对称轴： 2b x a =-. *顶点坐标： 24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 2.创设情境，提出问题.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：首先认识植树节的图标，然后提出问题：今年的植树节我校高一年级的同学去植树时遇到一个这样的问题，我们准备的树苗恰好能够栽满面积为40平方米的空地，而要绿化的空地是一个长比宽多6 米的矩形，那么，矩形绿化带长为多少时，准备的树苗有剩余？分析：设绿化带长为x m.则依题意有()640x x -<.整理得26400x x --<.这个不等式怎么解呢？3.合作交流，探究新知（1）一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.（2）一元二次不等式的一般形式：()22000ax bx c ax bx c a ++>++<≠或.会发现一元二次不等式的左边与二次函数和一元二次方程很相似，提出疑问难道这三者之间有什么关系？（3）探究一元二次不等式220x x --<的解.容易知道：一元二次方程220x x --=的有两个实数根：1212x x =-=或.二次函数22y x x =--与x 轴有两个交点：()()1,02,0-和.思考1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系？于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.思考2：观察图象，当x 为何值时，0y =；当x 为何值时，0y >；当x 为何值时，0y <.观察函数图象，可知：当12x x =-=或时，函数图象位于x 轴上，此时0y =，即220x x --=； 当 12x x <->或时，函数图象位于x 轴上方，此时，0y >,即220x x -->； 当12x -<<时，函数图象位于x 轴下方，此时，0y <,即220x x --<； 所以，不等式220x x --<的解集是{}12x x -<<.（4）探究一元二次不等式()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或的解法.组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑：抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况，而一元二次方程根的情况是由判别式ac b 42-=∆三种取值情况(0∆>，0∆=，0∆<）来确定.设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生合作讨论完成表格)。
高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法教案(一)新人教A版必修5
3.2 一元二次不等式及其解法第1课时教学过程推进新课师因此这个问题实际就是解不等式：x2-5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.什么叫做一元二次不等式？含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x2+b x+c＞0或a x2+b x+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？师在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？它的对应值表与图象如下：x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y -3 -2 -1 0 1 2 3由对应值表与图象（如上图）可知：当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；当x ＜3.5时，y ＜0，即2x-7＜0；当x ＞3.5时，y ＞0，即2x-7＞0.师 一般地，设直线y=a x+b 与x 轴的交点是(x 0，0),则有如下结果：（1）一元一次方程a x+b =0的解是x 0；（2）①当a ＞0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＞x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＜x 0}.②当a ＜0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＜x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＞x 0}.师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？生 函数图象与x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x 轴上方(下方)部分对应的横坐标.a ＞0a ＜0一次函数 y=a x+b (a ≠0)的图象一元一次方程a x+b =0的解集 {x|x=a b -} {x|x=a b -} 一元一次不等式a x+b ＞0的解集 {x|x ＞a b-}{x|x ＜a b-}一元一次不等式a x+b ＜0的解集{x|x ＜ab-}{x|x ＞ab-}师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？生当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的.二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：x -1 0 1 2 3 4 5 6 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6由对应值表与图象（如上图）可知：当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0；当0＜x＜5时，y＜0，即x2-5x＜0；当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2-5x＞0.这就是说，若抛物线y=x 2-5x与x轴的交点是(0，0)与(5，0),则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.［教师精讲］由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为a x2+b x+c＞0或a x2+b x+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.如何讨论一元二次不等式的解集呢？我们知道，对于一元二次方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)，设其判别式为Δ=b 2-4ac ，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.（1）若Δ＞0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x ＜x 1，或x ＞x 2}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是{x|x 1＜x ＜x 2}.（2）若Δ=0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个相等的实根x 1=x 2=ab2-,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x≠ab 2-}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.(3)若Δ＜0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)无实根，则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是R ；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.Δ=b 2-4ac Δ＞0Δ=0Δ＜0二次函数y=a x 2+b x+c (a ＞0)的图象a x 2+b x+c =0的根ab x 22.1∆≡±-=x 1=x 2=ab 2-∅a x 2+b x+c ＞0的解集 {x|x ＜x 1或x ＞x 2} {x|x≠ab 2-} Ra x 2+b x+c ＜0的解集 {x|x 1＜x ＜x 2}∅ ∅对于二次项系数是负数（即a ＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.［知识拓展］【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0.生 解：因为Δ＞0，2x 2-5x-3=0的解是x 1=-21,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x ＜21-，或x ＞3}.【例2】 解不等式-3x 2+15x ＞12.生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x 2-15x+12=0的解是x 1=1,x 2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x ＜4}.【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.生 解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x 1=x 2=21-.所以不等式的解集是{x|x≠21-}.【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.生 解：整理化简，得x 2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是∅.师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？生 归纳如下：（1）将二次项系数化为“+”：y=a x 2+b x+c ＞0(或＜0)(a ＞0).（2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，⎩⎨⎧≠.,0;,02121x x x y x x x x y ＜＜则＜若＞或则＞若②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，⎪⎩⎪⎨⎧==∅∈≠.,0;,0;,000x x y x y x x y 则若则＜若的一切实数则＞若③Δ＜0时，方程无解，⎩⎨⎧∅∈≤∈.,0;,0x y R x y 则若则＞若（3）写出解集.师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整.［学生活动过程］［方法引导］上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神.课堂小结1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ≠0）.2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.布置作业1.完成第90页的练习.2.完成第90页习题3.2第1题.板书设计一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法多媒体演示区一元二次不等式概念一元二次不等式解题步骤例题3.2 一元二次不等式的解法第2课时教学过程推进新课师因此这个问题实际就是解不等式x2+9x-7 110＞0的问题.因为Δ＞0,方程x2+9x-7 110=0有两个实数根，即x1≈-88.94,x2≈79.94.然后，画出二次函数y=x 2+9x-7 110,由图象得不等式的解集为{x|x＜-88.94或x＞79.94}.在这个实际问题中x＞0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.师【例2】一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？生设在一星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意，能得到-2x2+220x＞6 000.移项、整理得x2-110x+3 000＜0.［教师精讲］因为Δ=100＞0，所以方程x2-110x+3 000=0有两个实数根x1=50,x2=60,然后，画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益.［知识拓展］【例3】 解不等式(x-1)(x+4)＜0.思路一：利用前节的方法求解.思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组⎩⎨⎧+-04,01＜＞x x 与⎩⎨⎧+-0401＞＜x x 的解集的并集，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧+-0401＜＞x x x {∅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-0401＞＜x x x U ∪{x|-4＜x ＜1}={x|-4＜x ＜1}.书写时可按下列格式：解：∵(x -1)(x+4)＜0⇔⎩⎨⎧+-0401＜＞x x 或⎩⎨⎧+-0401＞＜x x ⇔x∈∅或-4＜x ＜1⇔-4＜x ＜1，∴原不等式的解集是{x|-4＜x ＜1}.思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）.②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）x+4 - + + x-1 - - + (x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.点评：此法叫区间法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x 2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，两个分界点把数轴分成三部分……②按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.练习1：解不等式：(1)x 2-5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.答案：(1){x|x＜2或x＞3}；(2){x|-2＜x＜1或x＞3}；(3){x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为-2，1，3；③列表如下：（-∞，-2）（-2，1）（1，3）（3，+∞）x+2 - + + +x-1 - - + +x-3 - - - + 各因式积- + - +④由上表可知，原不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞3}.思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y＜0或y ＞0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式，并将各因式x的系数化“+”；②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“＞0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则找“线”在x轴下方的区间.这种方法叫数轴标根法.练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）～（3）.教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.解：①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)＜0；②求得相应方程的根为-1，0，2，3；③在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图：④原不等式的解集为{x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.［合作探究］师【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0.解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④原不等式的解集为{x|-1＜x ＜2或2＜x ＜3}.说明：∵3是三重根，∴在C 处穿三次，2是二重根.∴在B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n，n 为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.【练习3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为-2（二重），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如右图：④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.［教师精讲］师 由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如073＜+-x x ，0322322≤--+-x x x x 等都是分式不等式.师 分式不等式的解法.由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)[]g(x)的形式.【例5】 解不等式：073＜+-x x .解法一：化为两个不等式组来解.∵073＜+-x x ⇔⎩⎨⎧+-0703＜＞x x 0或⇔⎩⎨⎧+-0703＞＜x x x∈∅或-7＜x ＜3-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}. 解法二：化为二次不等式来解.∵073＜+-x x ⇔⎩⎨⎧≠++-070)7)(3(x x x ＜⇔-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}.点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x≠-7的条件，解集应是{x|-7＜x≤3}.【例6】 解不等式：0322322≤--+-x x x x .解法一：化为不等式组来解(较繁).解法二：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ∴原不等式的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x＜3}.练习：解不等式253＞+-x x .答案：{x|-13＜x ＜-5}.［方法引导］讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣，勇于探索的精神.课堂小结1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义.2.求解一般的高次不等式的解法.特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。
一元二次不等式的教案
3.2一元二次不等式三维目标一、知识与技能1.经历从实际情境抽象出一元二次不等式模型的过程。
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
3.会解一元二次不等式。
4.培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。
二、过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；三、情感、态度与价值观1．激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
2．通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观。
二、教学重点与难点教学重点:1.一元二次不等式的解法；2.一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式三者之间的关系。
教学难点：一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式三者之间的关系。
三、教学方法与教学手段教学方法：启发式、发现法教学手段:计算机辅助教学。
四、教学过程（一）问题情境m的矩形吗？用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于6002由此引出课题(板书课题)。
分析：设矩形一边的长为 x m (0<x<50)根据题意得：x(50-x)>600 即 2x -50x+600<0定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式. 问题：如何解一元二次不等式呢？ （二）推进新课请同学们解一元二次不等式 ？ : （1） 是否存在 x 的值，使得y>0, y=0, y<0 无数个，两个，无数个（2） 当x 为何值时，能使y>0,y=0,y<0结合图像分析，当x=-1或3时，0322=--=x x y ，所以，方程的解就是函数图像与x 轴交点的横坐标。
3.2 第一课时 一元二次不等式及其解法
Δ =b2-4ac
Δ >0
Δ =0
Δ <0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0) 的解
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
有两个相异实根 x1,2=
b b2 4ac (x1<x2) 2a
{x|x<x1 或 x>x2}(即 “大于取两边”) {x|x1<x<x2}(即“小于 取中间”)
答案:(3)(-∞,-3)∪(-3,1)∪(2,+∞)
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即时训练 3-1:(1)不等式 x 1 ≤3 的解集是
;
x
解析:(1)原不等式等价于 x 1 -3≤0⇔ 1 2x ≤0⇔ 2x 1 ≥0⇔x(2x-1)≥0,且 x
x
x
x
≠0,解得 x≥ 1 或 x<0. 2
答案:(1){x|x≥ 1 或 x<0} 2
(2)不等式 2x 1 >1 的解集是
3.2 一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式及其解法
课标要求:1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌 握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等 式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
自主学习
知识探究
1.一元二次不等式的相关概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不 等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0), 其中a≠0,且a,b,c为常数. 使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的 解 ,一元二次 不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的 解集 .
一元二次不等式的解法教案
山东沂源二中石玉台教学目标知识目标：熟练掌握一元二次不等式的解法；理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.能力目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力. 德育目标：通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育. 情感目标: 在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神. 教学重点:一元二次不等式的解法.教学难点:一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.教学过程:(一)引入新课请同学们做一个手工：1、拿出一张纸，在上面画出一个直角坐标系，并带上相应的刻度。
2、沿x轴方向上下对折这张纸。
3、观察：x轴上方的y值；x轴下方的y值；它们的值有何特点？结论：X轴上方的y值为正值，即y>0（y>0的点位于x轴上方)；X轴下方的y值为负值，即y<0（y<0的点位于x轴下方)。
(二)讲授新课请在刚才的坐标系中画出y＝x2－7x+6的图像问题1：（1）x轴上方有无图像？若有请用红线描出。
这部分图像对应的y值如何？（2）x轴下方有无图像？若有请用蓝线描出。
这部分图像对应的y值如何？（3）红线与蓝线有无交点？若有请用绿色标出。
（4）你能找出上述各种情况的x的取值范围吗？请在图中写出。
y>0，即x2－7x+6>0；y<0，即x2－7x+6<0。
问题2：你能说一说这两个不等式有何共同特点么？上述两个不等式的共同特点：（1）含有一个未知数x；（2）未知数的最高次数为2。
一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式，叫做一元二次不等式。
问题3：判断下列式子是不是一元二次不等式？一元二次不等式的一般表达式为ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a ≠0)，其中a，b，c均为常数。
问题4：一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程之间有何联系呢？一元二次不等式如何求解呢？引导学生运用解决问题的方法,画出二次函数y=ax2+bx+c的图象求解.并请学生说出不等式ax2+bx+c<0的解集和方程ax2+bx+c=0的解集,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系).思考：如何求一元二次不等式x2-7x+6 > 0的解集?通过多媒体演示后得出不等式x2-7x+6 > 0的解集。
3.2一元二次不等式及其解法
变式训练：解关于x 的不等式：①(x-1)(x+a)>0②规律总结：例3、不等式022>++bx ax 的解为3121<<-x ，则=+b a ，不等式022<++bx ax 的解为 .变式训练：①已知二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是－2，3，a ＞0，那么ax 2－bx ＋c>0的解集是________.②已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{}βα<<x x ，其中0>>αβ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（ ）.（A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αβ1,1 (B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛βα1,1 (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα1,1 (D)⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,11,αβ 例4、设函数f(x)＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f(x)＜0恒成立，求m 的取值范围.变式训练：①若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______.②设函数f(x)＝mx 2－mx －1.对于x ∈[1,3]，f(x)＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.五、当堂检测：1.函数122-+=x x y 的定义域是（ ）.（A ）{}34>-<x x x 或 (B){}34<<-x x （C ）{}34≥-≤x x x 或 （D ）{}34≤≤-x x2.已知关于x 的不等式0>+b ax 的解集是()+∞,1，则关于x 的不等式()()02>--x b ax 的解集是（ ）.(A)()()+∞⋃-∞-,21, （B ）()2,1- （C ）()2,1 （D ）()+∞,23.若()862++-=k kx kx x f 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）.（A ）{}10≤<k k （B ）{}10><k k k 或 （C ）{}10≤≤k k （D ）{}1>k k 4.已知结合{}{}121,01032-≤≤+=≤--=m x m x B x x x A ，且φ=⋂B A ,则实数m 的取值范围为（ ）.（A ）()2,∞- （B ）()+∞,4 （C ）()()+∞⋃∞-,42, （D ）()4,2 5.已知不等式02<--b ax x 的解集为()3,2，则不等式012>--ax bx 的解集为 .6.已知0122>++mx mx 恒成立，求m 的范围.【当堂反思】22x -ax -6a <0.今日心得：今日不足：。
一元二次不等式及其解法 优秀教学设计
3.2一元二次不等式及其解法邵武一中 黄婉芬教学目标（1）正确理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，从而掌握图象法解一元二次不等式，并能解决一些有关不等式的简单问题。
（2）通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，从特殊到一般的思维方式。
培养学生观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力。
教学重点：一元二次不等式解法。
教学难点：“三个二次”的关系。
数形结合，分类转化等数学思想的理解和运用。
教学过程一、复习引入一元一次不等式：只含有一个未知数,并且未知数最高次数为1的不等式. 由学生给出一元二次不等式定义：只含有一个未知数,并且未知数最高次数为2的不等式. 点出课题：一元二次不等式及其解法.回顾一元一次不等式的解法代数法：用不等式的基本性质求出解集图像法：利用一次函数y=3x-15的图像求解图像在x 轴上方，表示3x-15>0 图像在x 轴下方，表示3x-15<0问题1：类比一元一次不等式的解法，能否也用图像法数形结合解一元二次不等式？二、探究新知（1）特殊的一元二次不等式画出分析图像：2222306023060.23060x x y x x x x x y x x x xy x x =-==--=<->>-->-<<<--<当或时，即当或时，图像在轴上方，此时即当时，图像在轴下方，此时即{}{}2260|2360|23x x x x x x x x x ∴--><->--<-<<解集或解集260x x -->26y x x =--的图像我们知道一元二次方程的根就是其相应二次函数的零点，即二次函数图像与x 轴交点的横坐标，利用二次函数图像可以求出一元二次不等式的解集，即图像在x 轴上方或下方时，x 的取值范围。
问题2：上述方法可以推广到一般的一元二次不等式吗？学生自主完成书本77页表格。