2019-2020年天津市和平区九年级上期中数学试卷含答案解析.doc
(3份试卷汇总)2019-2020学年天津市和平区中考数学综合测试试题
2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°2．已知△ABC 中，∠BAC=90°，用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（ ）A ．103块B ．104块C ．105块D ．106块4．在同一坐标系中，反比例函数y ＝k x与二次函数y ＝kx 2+k(k≠0)的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．已知一次函数y=ax ﹣x ﹣a+1（a 为常数），则其函数图象一定过象限（ ）A．一、二B．二、三C．三、四D．一、四6．下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（）A．B．C．D．7．如图所示的几何体是由4 个大小相同的小立方体搭成，其俯视图是（）A．B．C．D．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是()A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥10．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，33)，∠ABO ＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为()A．(32，332) B．(2，332) C．(332，32) D．(32，3﹣332)二、填空题（本题包括8个小题）11．已知直角三角形的两边长分别为3、1．则第三边长为________．12．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，已知AD＝2，DB＝4，DE＝1，则BC＝_____．13．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 的度数是_____．14．已知关于x 的不等式组0521x a x -≥⎧⎨-⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范是______． 15．如果正比例函数3)y k x =-（的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围是 __． 16．不等式5x ﹣3＜3x+5的非负整数解是_____．17．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．18．若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/2m 下降到12月份的11340元/2m .求11、12两月份平均每月降价的百分率是多少？如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2m ？请说明理由20．（6分）由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台.经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．完成下列表格，并直接写出月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式及售价x 的取值范围； 售价（元/台）月销售量（台） 400200250 x（2）当售价x （元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？21．（6分）先化简分式：（a-3+4+3aa）÷-2+3aa∙+3+2aa，再从-3、5-3、2、-2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．22．（8分）小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩．()1小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________；()2求他们三人在同一个半天去游玩的概率．23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝mx的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴于D，若OB＝1，OD＝6，△AOB的面积为1．求一次函数与反比例函数的表达式；当x＞0时，比较kx+b与mx的大小．24．（10分）尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）25．（10分）如图，半圆D的直径AB＝4，线段OA＝7，O为原点，点B在数轴的正半轴上运动，点B在数轴上所表示的数为m．当半圆D与数轴相切时，m＝．半圆D与数轴有两个公共点，设另一个公共点是C．①直接写出m的取值范围是．②当BC＝2时，求△AOB与半圆D的公共部分的面积．当△AOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求tan∠AOB的值．26．（12分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；请补全条形统计图；若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】【分析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD ∠的大小.【详解】解：连接AD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒．∵40BCD ∠=︒，∴40A BCD ∠=∠=︒，∴904050ABD ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.2．D【解析】分析：根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.详解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意;故选D.点睛：此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．3．C【解析】试题分析：根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．设这批手表有x块，550×60+（x﹣60）×500＞55000 解得，x＞104 ∴这批电话手表至少有105块考点：一元一次不等式的应用4．D【解析】【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【详解】分两种情况讨论：①当k＜0时，反比例函数y=kx，在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向上下与y轴交点在原点下方，D符合；②当k＞0时，反比例函数y=kx，在一、三象限，而二次函数y=kx2+k开口向上，与y轴交点在原点上方，都不符．分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D．故选D．【点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点．5．D【解析】分析：根据一次函数的图形与性质，由一次函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可.详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），∴y=（a-1）x-（a-1）当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.故其函数的图像一定过一四象限.故选D.点睛：此题主要考查了一次函数的图像与性质，利用一次函数的图像与性质的关系判断即可.一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y 随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小. 6．C【解析】【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解．【详解】A. 主视图为圆形，左视图为圆，故选项错误；B. 主视图为三角形，左视图为三角形，故选项错误；C. 主视图为矩形，左视图为矩形，故选项正确；D. 主视图为矩形，左视图为圆形，故选项错误.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是截一个几何体，解题的关键是熟练的掌握截一个几何体.7．C【解析】试题分析：根据三视图的意义，可知俯视图为从上面往下看，因此可知共有三个正方形，在一条线上. 故选C.考点：三视图8．B【解析】【分析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=12∠COB即可解决问题.【详解】如图，连接OC，∵AB=14，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=12∠COB=30°，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．9．D【解析】试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.故选D考点：几何体的形状10．A【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=10°，点B的坐标为（0，33），∴AC=OB=33，∠CAB=10°，∴BC=AC•tan10°=33×33=1．∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=10°，AD=33．过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=10°，∴∠DAM=10°，∴DM=12AD=33，∴AM=33×cos10°=92，∴MO=92﹣1=32，∴点D的坐标为（32，33）．故选A．二、填空题（本题包括8个小题）11．47【解析】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为322437-=；②长为3、322435+=；∴7或4．考点：3．勾股定理；4．分类思想的应用．12．1【解析】【分析】先由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB，∵AD＝2，DB＝4，∴AB＝AD+BD＝6，∴1：BC＝2：6，∴BC＝1，故答案为：1．【点睛】考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．13．32°【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，求出∠A 的度数，根据圆周角定理解答即可．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=32°，∴∠BCD=32°，故答案为32°．14．-3＜a≤-2【解析】分析：求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，根据解集取出四个整数解，即可得出a 的范围．详解：0521x a x ①②，-≥⎧⎨->⎩由不等式①解得：x a ≥；由不等式②移项合并得：−2x>−4，解得：x<2，∴原不等式组的解集为2a x ，≤<由不等式组只有四个整数解，即为1，0，−1，−2，可得出实数a 的范围为3 2.a -<≤-故答案为3 2.a -<≤-点睛：考查一元一次不等式组的整数解，求不等式的解集，根据不等式组有4个整数解觉得实数a 的取值范围.15．k>1【解析】【分析】根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．【详解】因为正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限，所以k-1＞0，解得：k＞1，故答案为：k＞1．【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y=（k-1）x的图象经过第一、三象限解答．16．0，1，2，1【解析】5x﹣1＜1x+5，移项得，5x﹣1x＜5+1，合并同类项得，2x＜8，系数化为1得，x＜4所以不等式的非负整数解为0，1，2，1；故答案为0，1，2，1．【点睛】根据不等式的基本性质正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．17．1．【解析】试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=1，答：它的周长是1，故答案为1．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．18．：k＜1．【解析】【详解】∵一元二次方程220-+=有两个不相等的实数根，x x k∴△=24-=4﹣4k＞0，b ac解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为k＜1．三、解答题（本题包括8个小题）19．（1）10%；（1）会跌破10000元/m1．【解析】【分析】（1）设11、11两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为14000（1-x），11月份的房价为14000（1-x）1，然后根据11月份的11340元/m1即可列出方程解决问题；（1）根据（1）的结果可以计算出今年1月份商品房成交均价，然后和10000元/m1进行比较即可作出判断．【详解】（1）设11、11两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是：14000（1-x），11月份的成交价是：14000（1-x）1，∴14000（1-x）1=11340，∴（1-x）1=0.81，∴x1=0.1=10%，x1=1.9（不合题意，舍去）答：11、11两月平均每月降价的百分率是10%；（1）会跌破10000元/m1．如果按此降价的百分率继续回落，估计今年1月份该市的商品房成交均价为：11340（1-x）1=11340×0.81=9184.5＜10000，由此可知今年1月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m1．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．20．(1)390,1-5x,y=-5x+1(300≤x≤2);(2)售价定位320元时，利润最大，为3元.【解析】【分析】（1）根据题中条件可得390，1-5x，若销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w.【详解】(1)依题意得：y＝200＋50×40010x．化简得：y＝－5x＋1．(2)依题意有：∵300 52200450 xx≥⎧⎨-+≥⎩，解得300≤x≤2．(3)由(1)得：w＝(－5x＋1)(x－200)＝－5x2＋3200x－440000＝－5(x－320)2＋3．∵x＝320在300≤x≤2内，∴当x＝320时，w最大＝3．即售价定为320元/台时，可获得最大利润为3元．【点睛】本题考查了利润率问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出二次函数的解析式时关键．21．3a+；5【解析】【详解】原式=（(3)3a aa++-3+4+3aa）32aa+⋅-∙+3+2aa=(3)343a a aa+--+32aa+⋅-∙+3+2aa=243aa-+32aa+⋅-∙+3+2aa=3a+a=2,原式=522．（1）14；（2）14【解析】【分析】（1）根据题意，画树状图列出三人随机选择上午或下午去游玩的所有等可能结果，找到小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果，根据概率公式计算可得；（2）由（1）中树状图，找到三人在同一个半天去游玩的结果，根据概率公式计算可得．【详解】解：（1）根据题意，画树状图如图：由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去游玩共有8种等可能结果，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果有（上，上，上）、（上，上，下）2种，∴小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为28=14； （2）由（1）中树状图可知，他们三人在同一个半天去游玩的结果有（上，上，上）、（下，下，下）这2种， ∴他们三人在同一个半天去游玩的概率为28=14． 答：他们三人在同一个半天去游玩的概率是14． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．23． (1) 223y x =-,12y x =;(2) 当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞m x 【解析】【分析】（1）根据点A 和点B 的坐标求出一次函数的解析式，再求出C 的坐标6，2），利用待定系数法求解即可求出解析式（2）由C （6，2）分析图形可知，当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞m x 【详解】（1）S △AOB ＝12OA•OB ＝1， ∴OA ＝2，∴点A 的坐标是（0，﹣2），∵B （1，0）∴230b k b =-⎧⎨+=⎩∴2 3 2kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴y＝23x﹣2．当x＝6时，y＝23×6﹣2＝2，∴C（6，2）∴m＝2×6＝3．∴y＝12x．（2）由C（6，2），观察图象可知：当0＜x＜6时，kx+b＜mx,当x＞6时，kx+b＞mx．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出C的坐标24．见解析.【解析】【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．【详解】如图，点P为所作．【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．25．（1）33（2）3311m<<；②△AOB与半圆D的公共部分的面积为4+33π（3）tan∠AOB 的值为157或12541．【解析】【分析】（1）根据题意由勾股定理即可解答（2）①根据题意可知半圆D与数轴相切时，只有一个公共点，和当O、A、B三点在数轴上时，求出两种情况m的值即可②如图，连接DC，得出△BCD为等边三角形，可求出扇形ADC的面积，即可解答（3）根据题意如图1，当OB＝AB时，内心、外心与顶点B在同一条直线上，作AH⊥OB于点H，设BH＝x ，列出方程求解即可解答 如图2，当OB ＝OA 时，内心、外心与顶点O 在同一条直线上，作AH ⊥OB 于点H ，设BH ＝x ，列出方程求解即可解答【详解】（1）当半圆与数轴相切时，AB ⊥OB ，由勾股定理得m ＝22227433OA AB -=-= ，故答案为33 ．（2）①∵半圆D 与数轴相切时，只有一个公共点，此时m ＝33，当O 、A 、B 三点在数轴上时，m ＝7+4＝11，∴半圆D 与数轴有两个公共点时，m 的取值范围为3311m ＜＜．故答案为3311m ＜＜．②如图，连接DC ，当BC ＝2时，∵BC ＝CD ＝BD ＝2，∴△BCD 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴扇形ADC 的面积为212024=3603ADCS ⨯⨯=扇形ππ ， 12332BDC S =⨯⨯=△ ， ∴△AOB 与半圆D 的公共部分的面积为4+33π ； （3）如图1，当OB ＝AB 时，内心、外心与顶点B 在同一条直线上，作AH ⊥OB 于点H ，设BH ＝x ，则72﹣（4+x ）2＝42﹣x 2，解得x ＝178 ，OH ＝498，AH 715 ，∴tan∠AOB＝157，如图2，当OB＝OA时，内心、外心与顶点O在同一条直线上，作AH⊥OB于点H，设BH＝x，则72﹣（4﹣x）2＝42﹣x2，解得x＝87，OH＝417，AH125，∴tan∠AOB125．综合以上，可得tan∠AOB的值为157或541．【点睛】此题此题考勾股定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内心和外心，解题关键在于作辅助线26．(1) 60，90；(2)见解析;(3) 300人【解析】【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．【详解】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：1560×360°=90°；故答案为60，90；（2）60﹣15﹣30﹣10=5；补全条形统计图得：（3）根据题意得：900×15560=300（人），则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=︒，在C 点测得60BCD ∠=︒，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．A ．25B ．253C ．1003D ．25253+2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系p ＝at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）A ．4.25分钟B ．4.00分钟C ．3.75分钟D ．3.50分钟3．如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（0，﹣1）4．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形的边数为 ( )A ．6B ．7C ．8D ．95．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是（ ）A ．312B ．36C ．33D ．326．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）A ．3mB ．33 mC ．23 mD ．4m8．已知抛物线y ＝x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜4B ．﹣1＜x ＜3C ．x ＜﹣1或x ＞4D ．x ＜﹣1或x ＞39．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22k y (k 0x 0)x=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为4，则12k k -的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．4-10．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．()123+ 二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为_____．12．如图，某海监船以20km/h 的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC 的长）为_____km ．13．因式分解：3a 2-6a+3=________．14．如图，小明在A 时测得某树的影长为3米，B 时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米.15．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是_____．16．将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.17．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．18．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是__．三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK 环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA 1、BB 1、CC 1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA 1的概率；请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．20．（6分）先化简，再求值：(1﹣11x x -+)÷22691x x x ++-，其中x ＝1． 21．（6分）某初级中学正在展开“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的“创文活动”为了了解该校志愿者参与服务情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图．条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者数与样本容量的比．请补全条形统计图；若该校共有志愿者600人，则该校九年级大约有多少志愿者？22．（8分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．23．（8分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+1．设这种产品每天的销售利润为w元．求w与x之间的函数关系式．该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？24．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．求出y与x的函数关系式；当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE ＝CF；如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面。
天津市和平区2019-2020学年中考第三次质量检测数学试题含解析
天津市和平区2019-2020学年中考第三次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，若a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．40°B．60°C．120°D．150°2．用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（）A．2cm B．32cm C．42cm D．4cm3．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数4．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（）A．27分钟B．20分钟C．13分钟D．7分钟5．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=（）A．52B．32C．352D．726．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝3：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②2BF＝PB•EF；③PF•EF＝22AD；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．③④7．“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（）月用水量（吨） 4 5 6 9户数（户） 3 4 2 1A．中位数是5吨B．众数是5吨C．极差是3吨D．平均数是5.3吨8．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（）A．（7+x）（5+x）×3=7×5 B．（7+x）（5+x）=3×7×5C．（7+2x）（5+2x）×3=7×5 D．（7+2x）（5+2x）=3×7×59．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价20%，现售价为a元，则原售价为（）A．（a﹣20%）元B．（a+20%）元C．a元D．a元10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．11．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（）A．B．C．D．12．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A．O1B．O2C．O3D．O4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O，A，B，M均在格点上，P为线段OM上的一个动点．（1）OM的长等于_______；（2）当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．14．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE 的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°15．已知二次函数y=ax2+bx（a≠0）的最小值是﹣3，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，则c的最大值是_____．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数kyx（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为________．17．如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y=ax+b和直线y=bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”：______．18．因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．20．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE 交AC于点E，交AB延长线于点F．（1）求证：BD=CD；（2）求证：DC2=CE•AC；（3）当AC=5，BC=6时，求DF的长．21．（6分）某商场柜台销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入—进货成本）（1）求A、B两种型号的电器的销售单价；（2）若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电器共50台，求A种型号的电器最多能采购多少台？（3）在（2）中商场用不多于7500元采购这两种型号的电器共50台的条件下，商场销售完这50台电器能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.22．（8分）如图，已知点A，B，C在半径为4的⊙O上，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D．（Ⅰ）若∠ABC=29°，求∠D的大小；（Ⅱ）若∠D=30°，∠BAO=15°，作CE⊥AB于点E，求：①BE的长；②四边形ABCD的面积．23．（8分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图1中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝，b＝；如图2，当∠ABE＝10°，c＝4时，a＝，b＝；归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图1证明你发现的关系式；拓展应用（1）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，AB＝1．求AF的长．24．（10分）某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请根据有关信息解答：(1)接受测评的学生共有________人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为________°，并补全条形统计图；(2)若该校共有学生1200人，请估计该校对安全知识达到“良”程度的人数；(3)测评成绩前五名的学生恰好3个女生和2个男生，现从中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出抽到1个男生和1个女生的概率．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝36°．在AC边上确定点D，使得△ABD与△BCD 都是等腰三角形，并求BC的长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）26．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）连接OE，若∠ABC＝60°，且AD＝DE＝4，求OE的长．27．（12分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示：请依据统计结果回答下列问题：本次调查中，一共调查了位好友．已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．①请补全条形图；②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为度．③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】如图：∵∠1=60°，∴∠3=∠1=60°，又∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=120°，故选C.点睛：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键.平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两条平行线之间的距离处处相等.2．C【解析】【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高．【详解】L＝1206180π⨯＝4π（cm）；圆锥的底面半径为4π÷2π＝2（cm），=cm）．故选C．【点睛】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长=2n r180π；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形．3．B【解析】【分析】根据一次函数的定义，可得答案．【详解】设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得x+2y=180，所以，y=﹣12x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，故选B．【点睛】本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键. 4．C【解析】【分析】先利用待定系数法求函数解析式，然后将y=35代入，从而求解．【详解】解：设反比例函数关系式为：kyx=，将（7，100）代入，得k=700，∴700yx =，将y=35代入700yx =，解得20x=；∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20－7=13，故选C．【点睛】本题考查反比例函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．5．C【解析】【分析】由正方形的性质知DG=CG-CD=2、AD∥GF，据此证△ADM∽△FGM得AD DMFG GM=, 求出GM的长，再利用勾股定理求解可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3，∠ADM=∠G=90°，∴DG=CG-CD=2，AD∥GF，则△ADM∽△FGM，∴AD DMFG GM=，即123GMGM-=,解得：GM=32,∴=,故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点．6．B【解析】【分析】由条件设，AB=2x，就可以表示出，x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．【详解】解：设x，AB=2x∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB∴，CD=2x∵CP：BP=1：2∴，x∵E为DC的中点，∴CE=12CD=x，∴tan∠CEP=PCEC=33，tan∠EBC=ECBC=33∴∠CEP=30°，∠EBC=30°∴∠CEB=60°∴∠PEB=30°∴∠CEP=∠PEB∴EP平分∠CEB，故①正确；∵DC∥AB，∴∠CEP=∠F=30°，∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，∴△EBP∽△EFB，∴BE BP EF BF∴BE·BF=EF·BP∵∠F=∠BEF，∴BE=BF∴2BF＝PB·EF，故②正确∵∠F=30°，∴PF=2PB=43x，过点E作EG⊥AF于G，∴∠EGF=90°，∴3∴PF·EF=433x·322AD2=2×3）2=6x2，∴PF·EF≠2AD2，故③错误.在Rt △ECP 中，∵∠CEP=30°，∴x∵tan ∠PAB=PB AB ∴∠PAB=30°∴∠APB=60°∴∠AOB=90°在Rt △AOB 和Rt △POB 中，由勾股定理得，，∴4AO·2又EF·2 ∴EF·EP=4AO·PO ．故④正确．故选，B【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．7．C【解析】【分析】根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．【详解】解：A 、中位数＝（5+5）÷2＝5（吨），正确，故选项错误；B 、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；C 、极差为9﹣4=5（吨），错误，故选项正确；D 、平均数=（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10=5.3，正确，故选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．8．D【解析】试题分析：由题意得；如图知；矩形的长="7+2x" 宽=5+2x ∴矩形衬底的面积=3倍的照片的面积，可得方程为(7+2X)(5+2X)=3×7×5考点：列方程点评：找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到大矩形的长于宽，用未知数x的代数式表示，而列出方程，属于基础题．9．C【解析】【分析】根据题意列出代数式，化简即可得到结果．【详解】根据题意得：a÷(1−20%)=a÷= a(元)，故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是列代数式，解题的关键是熟练的掌握列代数式.10．D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.11．D【解析】试题分析：根据三视图的法则可知B为俯视图，D为主视图，主视图为一个正方形.12．A【解析】试题分析：因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B 来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1符合．考点：平面直角坐标系．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（1）42；（2）见解析；【解析】【分析】解:(1)由勾股定理可得OM的长度(2)取格点F , E, 连接EF , 得到点N ,取格点S, T, 连接ST, 得到点R, 连接NR交OM于P,则点P即为所求。
2019-2020年天津市和平区九年级上期中数学试卷含答案解析.doc
2019-2020 年天津市和平区九年级上期中数学试卷含答案解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1．（ 3 分）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答： 解： A 、是中心对称图形，不是轴对称图形；故本选项正确；B 、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；C 、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；D 、不是中心对称图形，是轴对称图形；故本选项错误； 故选 A ．点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．2．（ 3 分）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，下列事件中的不可能事件是（ ）A ．点数之和小于 4B ． 点数之和为 10C ．点数之和为 14D ． 点数之和大于 5 且小于 9考点： 随机事件．分析： 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．解答： 解：因为同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，正方体骰子的点数和应大于或等于 2，而小于或等于 12．显然，是不可能事件的是点数之和是 14．故选 C ．点评： 本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（ 3 分）下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是（）A ． 222x +1=0B ． x +x+1=0C ． x ﹣ x+1=0D ．x 2﹣ x ﹣ 1=0考点： 根的判别式．专题： 计算题．分析： 计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于 0 的方程即可．解答： 解： A 、这里 a=1， b=0 ， c=1，2∵△ =b ﹣ 4ac=﹣ 4＜ 0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里 a=1， b=1 ，c=1，2∵△ =b ﹣ 4ac=1﹣ 4= ﹣ 3＜ 0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里 a=1， b=﹣1， c=1，2∵△ =b ﹣ 4ac=1﹣ 4= ﹣ 3＜ 0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里 a=1， b=﹣1， c=﹣1，2∵△ =b ﹣ 4ac=1+4=5 ＞ 0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选 D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．4．（ 3 分）如图，圆内接四边形ABCD 是正方形，点 E 是上一点，则∠ E的大小为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°考点：圆周角定理；正方形的性质．分析：连接AC、BD交于点O，根据正方形ABCD 为内接四边形以及正方形的性质可得∠AOD=90 °，然后根据圆周角定理可求得∠ E 的度数．解答：解：连接AC、BD交于点O，∵圆内接四边形ABCD 是正方形，∴AO=BO=CO=DO ，∠ AOD=90 °，∴点 O 为圆心，则∠ E=∠ AOD=×90°=45°．故选 C．点评：本题考查了圆周角定理以及正方形的性质，关键是得出∠AOD=90 °，并熟练掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（ 3 分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△ A ′OB ′，若∠AOB=15 °，则∠ AOB ′的度数是（）A ．25°B ．30°C ．35°D ． 40°考点：旋的性．分析：根据旋的性旋前后形全等以及的角等于旋角，而得出答案即可．解答：解：∵将△AOB点O按逆方向旋45°后得到△ A ′OB ′，∴∠ A ′OA=45 °，∠ AOB= ∠ A ′OB ′=15 °，∴∠ AOB ′=∠A ′OA ∠ A ′OB ′=45° 15°=30 °，故： B．点：此主要考了旋的性，根据旋的性得出∠ A ′OA=45 °，∠AOB= ∠ A ′OB′=15°是解关．6．（ 3 分）在一个不透明的布袋中，球、黑球、白球共有若干个，除色外，形状、大小、地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，下色后放回布袋中，匀后再随机摸出一球，下色，⋯如此大量摸球后，小新其中摸出球的率定于20%，摸出黑球的率定于50%，此，他出下列：① 若行大量摸球，摸出白球的率定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，球是黑球的概率最大；③若再摸球100 次，必有20 次摸出的是球．其中法正确的是（）A ．①②③B ．① ②C．① ③D．② ③考点：利用率估概率．：．分析：根据大量重复，事件生的率在某个固定位置左右，并且的幅度越来越小，根据个率定性定理，可以用率的集中来估概率，个固定的近似就是个事件的概率，分分析得出即可．解答：解：∵在一个不透明的布袋中，球、黑球、白球共有若干个，其中摸出球的率定于20%，摸出黑球的率定于 50%，∴①若行大量摸球，摸出白球的率定于： 1 20% 50%=30% ，故此正确；∵摸出黑球的率定于50%，大于其它率，∴② 从布袋中任意摸出一个球，球是黑球的概率最大，故此正确；③若再摸球 100 次，不一定有 20 次摸出的是球，故此；故正确的有①② ．故： B．点：此主要考了利用率估概率，根据率与概率的关系得出是解关．7．（ 3 分）在如4×4 的正方形网格中，△MNP某点旋一定的角度，得到△M 1N 1P1，其旋中心可能是（）A ．点A B．点B C．点C D．点D考点：旋转的性质．分析：连接 PP1、NN 1、 MM 1，分别作 PP1、 NN 1、 MM 1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．解答：解：∵△ MNP绕某点旋转一定的角度，得到△ M1N1P1，∴连接 PP1、 NN 1、 MM 1，作PP1的垂直平分线过 B 、 D、 C，作NN 1的垂直平分线过 B、 A ，作MM 1的垂直平分线过 B，∴三条线段的垂直平分线正好都过 B，即旋转中心是 B ．故选 B ．点评：本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．8．（ 3 分）如图，点 A 、 B、 C、D 都在⊙ O 上，∠ COD=84 °， CA 平分∠ OCD ，则∠A BD+ ∠ CAO=（）A ．60°B ．52°C ．48°D ．42°考点：圆周角定理．分析：先根据三角形的内角和定理求得∠OCD 的度数，然后根据角平分线的性质得出∠ACO= ∠ ACD ，同弧所对的圆周角相等得出∠ABD= ∠ ACD ，最后转化为∠A BD+ ∠ CAO= ∠ ACD+ ∠ ACO= ∠ OCD=48 °，即可得解．解答：解：在△ COD 中，∵OC=OD （⊙ O 的半径），∴∠ OCD= ∠ ODC ，又∵∠ COD+ ∠ OCD+ ∠ ODC=180 °，∠ COD=84 °，∴∠ OCD=48 °，∵CA 平分∠ OCD ，∴∠ ACO= ∠ ACD ，∵∠ ABD= ∠ ACD ，∠ CAO= ∠ ACO ，∴∠ ABD+ ∠ CAO= ∠ ACD+ ∠ ACO= ∠ OCD=48 °．故选 C．点评：本题综合考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键点是利用“同弧所对的圆周角相等”得出∠ ABD= ∠ACD ，注意角平分线性质的运用．9．（ 3 分）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB= ∠ DEC=90 °，∠ A=45 °，∠ D=30 °，斜边 AB=6 ， DC=7，把三角板DCE 绕点 C 顺时针旋转15°得到△ D1CE1（如图乙），此时AB 与 CD1交于点 O，则线段AD 1的长为（）A ．B． 5C． 4D．考点：旋转的性质．专题：压轴题．分析：先求出∠ ACD=30 °，再根据旋转角求出∠ACD 1=45°，然后判断出△ ACO 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、 CO， AB ⊥ CO，再求出 OD 1然后利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵∠ ACB= ∠ DEC=90 °，∠ D=30 °，∴∠ DCE=90 °﹣30°=60 °，∴∠ ACD=90 °﹣ 60°=30 °，∵旋转角为 15°，∴∠ ACD 1=30 °+15°=45 °，又∵∠ A=45 °，∴△ ACO 是等腰直角三角形，∴AO=CO= AB= ×6=3 ，AB ⊥ CO，∵DC=7 ，∴D 1C=DC=7 ，∴D 1O=7﹣ 3=4，在 Rt△ AOD 1中， AD 1= = =5．故选 B ．点评： 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出 AB ⊥ CO 是解题的关键，也是本题的难点．10．（ 3 分）设方程（ x ﹣ a ）（ x ﹣ b ）﹣ x=0 的两根是 c 、 d ，则方程（ x ﹣c ）（ x ﹣ d ） +x=0 的根是（ ）A ． a ， bB ．﹣ a ，﹣ bC ． c ， dD ． ﹣ c ，﹣ d考点： 一元二次方程的解．专题： 方程思想；待定系数法．分析： 首先把（ x ﹣ a ）（ x ﹣b ）﹣ x=0 变为 x 2﹣（ a+b+1） x+ab=0，而方程（ x ﹣a ）（ x ﹣b ）﹣ x=0 的两根是c 、d ，利用根与系数可以得到 a 、b 、 c 、 d 之间的关系，然后代入后面的方程即可解决问题．解答： 解：∵（ x ﹣ a ）（ x ﹣b ）﹣ x=0 ，∴ x 2﹣（ a+b+1） x+ab=0， 而方程的两个根为 c 、d ，∴ c +d=a+b+1 ， ①cd=ab ， ②又方程（ x ﹣ c ）（ x ﹣d ） +x=0 可以变为 x 2﹣（ c+d ﹣ 1） x+cd=0 ，③ ∴把 ①② 代入 ③ 中得 x 2﹣（ a+b ）x+ab=0 ，（ x ﹣ a ）（ x ﹣ b ） =0 ，∴x=a ， x=b ． 故选 A ．点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）11．（ 3 分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转 60 度可以和原来的图形重合．考点： 旋转的性质．专题： 几何变换．分析： 根据正六边形的性质，求出它的中心角即可．解答： 解：∵正六边形的中心角 ==60 °，∴一个正六边形绕着其中心，至少旋转 60°可以和原来的图形重合．故答案 60．点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正六边形的性质．12．（ 3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx 2﹣ 2x ﹣ 1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值 范围是 k ＞﹣ 1 且 k ≠0 ．考点： 根的判别式．kx 2﹣ 2x ﹣ 1=0 有两个不相等的实数根，即可得判别式△ 分析： 由关于 x 的一元二次方程＞0 且 k ≠0，则可求得 k 的取值范围．解答：解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣ 2x ﹣ 1=0 有两个不相等的实数根，22∴△ =b ﹣ 4ac=（﹣ 2） ﹣4×k ×（﹣ 1） =4+4k ＞ 0， ∵x 的一元二次方程 kx 2﹣ 2x ﹣ 1=0∴ k ≠0，∴ k 的取值范围是： k ＞﹣ 1 且k ≠0．故答案为： k ＞﹣ 1 且 k ≠0．点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一 元二次方程根的情况与判别式 △的关系：（1） △ ＞ 0? 方程有两个不相等的实数根； （2） △ =0 ? 方程有两个相等的实数根；（3） △ ＜ 0? 方程没有实数根．13．（ 3 分）已知关于 x 的方程 x 2+bx+a=0 有一个根是﹣ a （ a ≠0），则 a ﹣ b 的值为 ﹣1 ．考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题．分析： 把 x= ﹣ a 代入方程得到一个二元二次方程，方程的两边都除以a ，即可得出答案．解答：解：把 x= ﹣a 代入方程得：（﹣ a ）2﹣ ab+a=0，2a ﹣ ab+a=0，∵a ≠0，∴两边都除以 a 得： a ﹣b+1=0 ， 即 a ﹣ b= ﹣ 1， 故答案为：﹣ 1．点评： 本题考查了解一元二次方程的解的应用，解此题的关键是理解一元二次方程的解的定义，题型较好，难度适中．14．（ 3 分）用一个圆心角为120°，半径为 4 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．考点： 弧长的计算．分析： 利用底面周长 =展开图的弧长可得．解答： 解：，解得 r= ．点评： 解答本题的关键是有确定底面周长 =展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．15．（ 3 分）如图，把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，则小圆形场地的半径 = （ 5+5 ） m ．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程．解答：解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5） m，2 2根据题意得：π（ x+5） =2 πx ，解得， x=5+5 或 x=5 ﹣ 5 （不合题意，舍去）．故答案为：（5+5 ） m．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题等量关系比较明显，容易列出．16．（ 3 分）甲、乙、丙三人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将 3 件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件，则甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物的概率为．考点：列表法与树状图法．专题：图表型．分析：画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．解答：解：设甲乙丙带的礼物分别为 A 、 B、 C，根据题意画出树状图如下：一共有 6 种情况，甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物的情况共有（B、 C、 A ）和（ C、B 、 A ） 2 种，所以， P（甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物）= =．故答案为：．点评：本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（ 3 分）已知△ ABC 三个顶点的坐标分别为A（﹣ 3， 0）、 B（﹣ 1，0）、 C（ 0，3），则△ABC 的外接圆的直径= 2．考点：三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．专题：几何图形问题；数形结合．分析：首先根据题意画出图形，作AB 的垂直平分线交∠AOC 的角平分线于点 D ，连接BD ，即可得点 D 是△ABC 的外接圆的圆心，易得直线OD 的解析式为： y= ﹣ x，点 D 的横坐标为：﹣ 2，则可求得点 D 的坐标，继而求得答案．解答：解：如图，作AB 的垂直平分线交∠AOC 的角平分线于点D，连接 BD ，∵A （﹣ 3， 0）、 B （﹣ 1， 0）、 C（ 0， 3），∴OA=OC ，∴OD 垂直平分 AC ，∴点 D 是△ ABC 的外接圆的圆心，∴直线 OD 的解析式为： y= ﹣ x，点 D 的横坐标为：﹣2，∴D 的坐标为：（﹣2， 2），∴BD= = ，∴△ ABC 的外接圆的直径为： 2 ．故答案为： 2 ．点评：此题考查了三角形的外接圆与外心的性质、勾股定理以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．18．（ 3 分）如图 AB 是半圆的直径，图 1 中，点 C 在半圆外；图 2 中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．在图 1 中，画出ABC 的三条高的交点P；在图 2 中，画出ABC 中 AB 边上的高，并写出画法（不要求证明）．考点：作图—复杂作图．分析：（1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°画图即可；（2）与（ 1）类似，利用圆周角定理画图．解答：解：（1）如图所示：点P 就是三个高的交点；（2）如图所示：延长AC 、 BC 分别交半圆于点 D ，E，连接 AD ， BE，并延长相交于点P，连接 PC 并延长交 AB 于 T，则 CT 就是 AB 上的高．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是 90°．三、解答题（本大题共8 小题，共66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（ 6 分）△ ABC 的内切圆⊙ O 与 BC，CA ， AB 分别相切于点D、 E、 F，且 AB=9cm ，BC=14cm ， CA=13cm ，求 AF 、 BD 、 CE 的长．考点：三角形的内切圆与内心．分析：根据切线长定理，可设 AE=AF=xcm ， BF=BD=ycm ， CE=CD=zcm ．再根据题意列方程组，即可求解．解答：解：根据切线长定理，设AE=AF=xcm ，BF=BD=ycm ， CE=CD=zcm ．根据题意，得，解，得．即AF=4cm 、 BD=5cm 、 CE=9cm ．点评：此题要熟练运用切线长定理．注意解方程组的简便方法：三个方程相加，得到x+y+z 的值，再进一步用减法求得x， y，z的值．20．（ 8 分）解下列方程（Ⅰ） x（ x﹣ 3） +x ﹣3=02（Ⅱ） 4x +12x+9=81 ．考点：解一元二次方程 -因式分解法；解一元二次方程-配方法．分析：（Ⅰ）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解；（Ⅱ）方程整理后，配方变形，开方即可求出解．解答：解：（Ⅰ）分解因式得：（x﹣ 3）（ x+1） =0，可得 x﹣ 3=0 或 x+1=0 ，解得： x1=3， x2=﹣ 1；（Ⅱ）方程整理得：x 2+3x=18 ，2，即（ x+ 2配方得： x +3x+ = ） = ，开方得： x+ =±，解得： x1=3， x2=﹣ 6．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．21．（ 8 分）（Ⅰ）如图甲中，画出△ ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形；（Ⅱ）如图乙所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图① 中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：（1）这个三个图案都具有以下共同特征：都要是中心对称图形，都不是轴对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积为 4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图① 中所给出的图案相同．考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案；作图-旋转变换．分析：（I）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形；（I I ）（ 1）根据中心对称的性质解答；（2）根据中心对称图形的性质画出图形即可．解答：解：（ I）如图甲所示：（II ）（ 1）由图可知，这三个图案都具有以下共同特征：都要是中心对称图形，都不是轴对称图形．故答案为：中心，轴；（2）如图②所示．点评：本题考查的是利用旋转设计图案，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．22．（ 8 分）一个不透明的袋中装有 5 个黄球， 13 个黑球和 22 个红球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？考点：概率公式；一元一次不等式的应用．分析：（1）根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出得到黄球的概率；（2）假设取走了x 个黑球，则放入x 个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可．解答：解：（1）∵一个不透明的袋中装有 5 个黄球， 13 个黑球和22 个红球，∴摸出一个球摸是黄球的概率为：=；（2）设取走x 个黑球，则放入x 个黄球，由题意，得≥ ，解得： x≥，∵x 为整数，∴x 的最小正整数解是x=9 ．答：至少取走了9 个黑球．点评：此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A ） =．23．（ 8 分）如图，⊙ O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点E，且 DE=CE ，⊙ O 的切线 BF 与弦AD 的延长线交于点F．（Ⅰ）求证： CD ∥ BF．（Ⅱ）若⊙ O 的半径为6，∠ A=35 °，求的长．考点：切线的性质；弧长的计算．专题：证明题．分析：（1）由BF为⊙ O的切线，根据切线的性质得OB⊥ BF ，由 DE=CE ，根据垂径定理得 OB⊥ DC，则根据平行线的性质得CD ∥BC；（2）连结 OD、 OC，根据圆周角定理得到∠ BOD=2 ∠ A=70 °，则∠ COD=2 ∠BOD=140 °，然后根据弧长公式求解．解答：（1）证明：∵ BF为⊙ O的切线，∴OB ⊥ BF ，∵DE=CE ，∴OB ⊥ DC ，∴CD ∥ BC ；（2）解：连结 OD 、OC，如图，∵∠ A=35 °，∴∠ BOD=2 ∠ A=70 °，∴∠ COD=2 ∠ BOD=140 °，∴的长度 ==π．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和弧长公式．24．（8 分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，并完成本题解答的全过程，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解题方案：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，（Ⅰ）用含 x 的解析式表示：第一轮后共有1+x 人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 个人，第二轮后共有1+x+x （ x+1）人患了流感；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为1+x+x （ 1+x） =121 ；（Ⅲ）解这个方程，得x= ﹣12 或 x=10 ；（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了10 个人．考点：一元二次方程的应用．分析：设这种流感的传播速度是一人可才传播给x 人，则一轮传染以后有（ x+1）人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有（x+1）人，一个人传染x 个人，则第二轮又有x（ x+1 ）人患病，则两轮后有1+x+x （ x+1）人患病，据此即可列方程求解．解答：解：（Ⅰ）用含x 的解析式表示：第一轮后共有1+x 人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 个人，第二轮后共有1+x+x （ 1+x ）人患了流感；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为1+x+x （ 1+x ）=121；（Ⅲ）解这个方程，得x= ﹣ 12 或 x=10 ；（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了10 个人，故答案为： 1+x ； 1+x+x （ x+1 ）； 1+x+x （1+x ） =121； x= ﹣ 12 或 x=10 ； 10．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解决本题是要十分注意的是题目中的“共有”二字，否则一定得出错误的结果．25．（ 10 分）已知△ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=120 °，在 BC 上取一点 O，以点 O 为圆心、 OB 为半径作圆，且⊙ O 过 A 点．（Ⅰ）如图①，求证：直线AC 是⊙ O 的切线（Ⅱ）如图②，过点 A 作 AD ∥ BC 交⊙ O 于点 D，连接 BD ，求 BD 与 OC 之间的数量关系．考点：切线的判定．分析：（1）根据等腰三角形性质和技术性的内角和定理求出∠ABC 和∠ C 的度数，求出∠BAO ，求出∠ OAC=90 °，根据切线的判定求出即可；（2）连接 AE ，求出∠ AEB 的度数，根据平行线求出∠DAO ，根据圆内接四边形性质求出∠D ，根据四边形的内角和定理求出∠DAO ，根据平行四边形的判定得出?BOAD ，则BD=AO= OC．解答：（1）证明：如图① ，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ ABC= ∠ C=（180°﹣∠BAC）=30°，∵OA=OB ，∴∠ ABO= ∠ BAO=30 °，∴∠ OAC=120 °﹣ 30°=90 °，即OA ⊥ AC ，∵OA 为⊙ O 的半径，∴AC 是⊙ O 的切线．（2）证明：如图②，连接 AE ．由（ 1）知， OA ⊥ AC ，∠ C=30 °，∴AO= OC∵∠ AOB= ∠ C+∠ OAC=30 °+90 °=120 °，∴由圆周角定理得：∠AEB=∠ AOB=60°，∵D 、 B、 E、 A 四点共圆，∴∠ D+∠ AEB=180 °，∴∠ ADB=120 °，∵AD ∥ BC ，∴∠ DAO+ ∠ BOA=180 °，∴∠ DAO=60 °，∴∠ DBO=360 °﹣ 60°﹣ 120°﹣ 120°=60°，即∠ D=∠ BOA ，∠ DBO= ∠ DAO ，∴四边形 BOAD 是平行四边形，∵BD=AO= OC，即 BD= OC．点评：本题考查的知识点有等腰三角形性质、三角形的内角和定理、切线的判定、平行四边形的判定、平行线性质、圆周角定理、圆内接四边形，本题主要考查了学生的推理能力，是一道比较好的题目．26．（ 10 分）已知矩形 ABCD 内接于⊙ O，AB=6cm ， AD=8cm ，以圆心 O 为旋转中心，把矩形 ABCD 顺时针旋转，得到矩形 A ′B′C′D′仍然内接于⊙ O，记旋转角为α（ 0°＜α≤90°）．（Ⅰ）如图①，⊙ O 的直径为10 cm；（Ⅱ）如图②，当α=90°时， B ′C′与 AD 交于点 E，A ′D′与 AD 交于点 F，则四边形 A ′B′EF 的周长是14 cm．（Ⅲ）如图③， B ′C′与 AD 交于点 E， A ′D ′与 AD 交于点 F，比较四边形A′B′EF 的周长和⊙O 的直径的大小关系；（Ⅳ）如图④，若 A ′B′与 AD 交于点 M ， A ′D′与 AD 交于点 N，当旋转角α=45（度）时，△ A ′MN 是等腰三角形，并求出△ A′MN的周长．考点：圆的综合题；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；旋转的性质．专题：综合题．分析：（Ⅰ）连接AC ，如图①，只需运用勾股定理就可求出⊙O 的直径．（Ⅱ）连接AB ′，A ′D，如图②，由矩形及旋转的性质可得AD=B ′C′，然后由在同圆中弦与弧的关系可得=，从而有=，然后根据圆周角定理可得∠AB ′C′=∠B ′AD ，从而有 EA=EB ′；同理可得 DF=FA ′，进而可证到四边形 A ′B′EF的周长等于 AB+AD ，问题得以解决．（Ⅲ）连接 AB ′，A ′D，BD ，如图③，借鉴（Ⅱ）的解题经验和结论，同样可得四边形 A ′B′EF 的周长等于 AB+AD ，然后运用三角形三边关系就可解决问题．（Ⅳ）连接AB ′，A ′D，如图④，易得旋转角α=45°时，△ A′MN是等腰三角形，然后借鉴（Ⅱ）的解题经验和结论，可得 A ′N=DN ， PA=PB′．设 AM=x ， A′N=y ，则有A ′B′=A ′M+MP+B ′P=y+x+x=6 ①， AD=AM+MN+DN=x+y+y=8② ．解①和② 就可求出△ A ′MN 的周长．解答：解：（Ⅰ）如图① ，连接AC．∵四边形 ABCD 是矩形，∴B C=AD=8 ，∠ ABC=90 °．∵矩形 ABCD 内接于⊙ O，∠ ABC=90 °，∴AC 是⊙ O 的直径．∵A B=6 ，BC=8 ，∴AC=10 ．故答案为： 10．（Ⅱ）如图②，连接 AB ′， A ′D．由旋转可得： A ′D′=AD ， A ′B′=AB ．∵四边形 A ′B′C′D′是矩形，∴B ′C′=A ′D′．∴A D=B ′C′．∴=．∴=．∴∠ B′AD= ∠AB ′C′．∴E A=EB ′．同理可得： DF=FA ′．∴四边形 A ′B′EF 的周长 =A ′B′+B ′E+EF+FA ′=AB+EA+EF+DF=AB+AD=6+8=14．故答案为： 14．（Ⅲ）如图③，连接 AB ′， A ′D， BD ．16 / 17由（ 2）中证明可得：EA=EB ′，DF=FA ′．∵A ′B′+B ′E+EF+FA ′=AB+EA+EF+DF=AB+AD＞BD，∴四边形 A ′B′EF 的周长大于⊙ O 的直径．（Ⅳ）如图④，连接 AB ′， A ′D．∵四边形 A ′B′C′D′是矩形，∴∠ B′A′D′=90°．∵△ A ′MN 是等腰三角形，∴A ′M=A ′N，∠ A ′MN= ∠ A ′NM=45 °．∴旋转角α等于 45°．∴当旋转角α等于45°时，△ A′MN是等腰三角形．故答案为： 45．由（ 2）中的证明可得： A ′N=DN ，PA=PB ′．∵∠ AMP= ∠ A ′MN=45 °，∠ BAD=90 °，∴∠ APM=45 °=∠ AMP ．∴AM=AP ．∴AM=AP=PB ′， A ′M=A ′N=DN ， MP= AM ， MN=A ′N．设 AM=x ， A ′N=y ，则 A ′B′=A ′M+MP+PB ′=y+ x+x=6 ①，AD=AM+MN+DN=x+ y+y=8 ② ．由② ﹣①得：（ y﹣ x） =2．解得： y﹣x= ．则 x=y ﹣．把 x=y ﹣代入②得： y﹣+ y+y=8 ，解得： 2y+ y=8+ ．∴△ A ′MN 的周长为 2y+ y=8+ ．点评：本题通过矩形旋转，考查了旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、同圆中弧与弦之间的关系、解二元一次方程组、勾股定理等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，另外还考查了运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．。
天津市和平区九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试题
某某市和平区2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．2．方程3x2﹣2=1﹣4x的两个根的和为( )A．B．C．﹣D．﹣3．下列关于x的方程有实数根的是( )A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=04．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是( )A．1+B．C．D．5．把抛物线y=x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为( )A．y=（x+3）2+1 B．y=（x+3）2﹣1 C．y=（x﹣1）2+3 D．y=（x+1）2+36．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，则BC=( )A．6cm B．8cm C．10cm D．2cm7．如图，⊙O中，弧AB=弧AC，∠C=75°，则∠A=( )A．15° B．20° C．25° D．30°8．如图，已知点E是⊙O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED=( )A．46° B．68° C．69° D．70°9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为( )A．2 B．4 C．6 D．810．如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，∠ABO=30°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△AC D，当旋转后满足BC∥OA时，旋转角的大小为( )A．75° B．60° C．45° D．30°11．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值X围是( )A．m≤3 B．m≥3 C．m≤﹣3 D．m≥﹣312．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：①方程x2﹣2x﹣8=0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则m=﹣n或m=﹣n；③若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（2+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c 上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为2．其中，正确说法的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是__________度（填度数）．14．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=__________．15．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有__________个队参加比赛．16．如图，⊙A中，弦DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则点A到弦BC的距离等于__________．17．已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为__________．18．在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′（1）如图①，当线段MA绕点M逆时针旋转60°时，线段AA′的长=__________；（2）如图②，连接A′C，则A′C长度的最小值是__________．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（1）如图①，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；（2）如图②，画出△A BC绕点O旋转180°后的△A1B1C1．20．已知关于x的方程x2+ax﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．已知，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E（1）如图①，若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）如图②，连接DO并延长交⊙O于点M，连接MB，若∠M=∠D，求∠D的度数．22．要对一块长60m，宽40m的矩形荒地ABCD（BC＞AB）进行绿化和硬化．设计方案如图所示，矩形L、M、N为三块绿地，其余为硬化路面，L、M、N三块绿地周围的硬化路面宽都相等．并使三块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求L、M、N三块绿地周围的硬化路面的宽．23．某果园有100棵枇杷树，每棵平均产量为60千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少．根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.5千克，增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？24．已知，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD，连接BC、BD．（1）如图①，若∠CBD=20°，求∠A的大小；（2）如图②，连接OC，若OC=BD，求证四边形OCDB是菱形；（3）如图③，AB=4，AC=1，求BD的长（直接写出结果即可）25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）（1）求抛物线的解析式，对称轴和顶点；（2）设点B关于原点的对称点为C，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包括A、B两点）①点D是抛物线对称轴上一动点，若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值X围．②点E是图象G上一动点，动点E与点B，点C构成无数个三角形，在这些三角形中存在一个面积最大的三角形，求出这个三角形的面积，并求出此时点E的坐标．2015-2016学年某某市和平区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．方程3x2﹣2=1﹣4x的两个根的和为( )A．B．C．﹣D．﹣【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：3x2+4x﹣3=0，所以方程的两个根之和为﹣．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．3．下列关于x的方程有实数根的是( )A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是( )A．1+B．C．D．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】利用求根公式x=求得方程的两个根，然后找出较大的根即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0中，a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴x==，∴一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟记求根公式即可解答该题．5．把抛物线y=x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为( )A．y=（x+3）2+1 B．y=（x+3）2﹣1 C．y=（x﹣1）2+3 D．y=（x+1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】探究型．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y=x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=x2+3；由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=x2+3向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2+3．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，则BC=( )A．6cm B．8cm C．10cm D．2cm【考点】圆周角定理．【分析】由AB为⊙O的直径，得到∠C=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，∵AB=10cm，AC=6cm，∴BC==8cm．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键．7．如图，⊙O中，弧AB=弧AC，∠C=75°，则∠A=( )A．15° B．20° C．25° D．30°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出∠B=∠C=75°，再利用三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵⊙O中，=，∠C=75°，∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°﹣75°×2=30°．故选D．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理以及圆心角、弧、弦之间的关系等知识，根据已得出∠B=∠C=75°是解决问题的关键．8．如图，已知点E是⊙O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠A ED=( )A．46° B．68° C．69° D．70°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOD的度数，再由圆周角定理得出∠AED的度数即可．【解答】解：∵点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，∴∠AOD=3∠BOC=3×46°=138°，∴∠AED=∠AOD=×138°=69°，故选C．【点评】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为( )A．2 B．4 C．6 D．8【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由抛物线的对称性可知点B的坐标（6，0），从而可求得AB的长．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=2，∴点A与点B关于x=2对称．∴点B的坐标为（6，0）．∴AB=8．故选：D．【点评】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，根据抛物线的对称性求得点B的坐标是解题的关键．10．如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，∠ABO=30°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD，当旋转后满足BC∥OA时，旋转角的大小为( )A．75° B．60° C．45° D．30°【考点】旋转的性质．【分析】根据平分线的性质求得∠ABC的度数，然后根据旋转的性质AB=AC，证明△ABC是等边三角形，即可求解．【解答】解：∵BC∥OA，∠O=90°，∴∠O+∠OBC=180°，∴∠OBC=90°，又∵∠ABO=30°，∴∠ABC=60°，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，则旋转角是60°．故选B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．11．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值X围是( )A．m≤3 B．m≥3 C．m≤﹣3 D．m≥﹣3【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】结合图象可得y≥﹣3，即ax2+bx≥﹣3，由ax2+bx+m=0可得ax2+bx=﹣m，则有﹣m≥﹣3，即可解决问题．【解答】解：由图可知：y≥﹣3，即ax2+bx≥﹣3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=﹣m，∴﹣m≥﹣3，∴m≤3．故选A．【点评】本题主要考查抛物线与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键．12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法：①方程x2﹣2x﹣8=0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则m=﹣n或m=﹣n；③若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（2+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c 上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为2．其中，正确说法的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】一元二次方程的解；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】新定义．【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②通过解方程求得方程的两个解，结合“倍根方程”的定义来求m、n的数量关系；③由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（2+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，通过抛物线对称轴求得x1的值．【解答】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得（x﹣4）（x+2）=0，解得x1=4，x2=﹣2，∵x1≠2x2，或x2≠2x1，∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．故①错误；②解方程（x﹣2）（mx+n）=0，得x1=2，x2=﹣，∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，∴2=﹣或4=﹣，即m=﹣n或m=﹣n．故②正确；∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，∴设x1=2x2，∵相异两点M（2+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴抛物线的对称轴x==3，∴x1+x2=6，∴x1+2x1=6，∴x1=2，故③正确．综上所述，正确的个数是2个．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是90度（填度数）．【考点】钟面角．【专题】计算题．【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．【解答】解：从上午6时到上午9时，共3个小时；时针旋转了圆周，故旋转角是90度．【点评】本题考查钟表上角的认识问题．14．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=x2+1（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．【解答】解：抛物线y=x2+1开口向上，且与y轴的交点为（0，1）．故答案为：x2+1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．15．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有6个队参加比赛．【考点】一元二次方程的应用．【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）=56，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设有x队参加比赛．x（x﹣1）=30，（x﹣6）（x+5）=0，解得x=6，x=﹣5（不合题意，舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．16．如图，⊙A中，弦DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则点A到弦BC的距离等于3．【考点】圆周角定理；三角形中位线定理；垂径定理．【分析】作AH⊥BC于H，延长CA交⊙A于F，连接BF，根据已知条件得到∠DAE=∠BAF，得到=，求得DE=BF=6，由垂径定理得到CH=BH，然后根据三角形的中位线即可得到结论．【解答】解：作AH⊥BC于H，延长CA交⊙A于F，连接BF，∵∠BAC+∠EAD=180°，∵∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，∵AC=AF，∴AH=BF=3．故答案为：3．【点评】本题考查了圆周角定理．三角形的中位线的性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．17．已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为4，﹣8，﹣2．【考点】二次函数的性质．【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．【解答】解：当抛物线y=x2﹣（k+2）x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=（k+2）2﹣4×9=0，解得k=4或k=﹣8；当抛物线y=x2﹣（k+2）x+9的顶点在y轴上时，x=﹣==0，解得k=﹣2．故答案为：4，﹣8，﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．18．在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′（1）如图①，当线段MA绕点M逆时针旋转60°时，线段AA′的长=1；（2）如图②，连接A′C，则A′C长度的最小值是﹣1．【考点】旋转的性质；菱形的性质．【分析】（1）根据旋转的性质可得MA=MA'，然后证明△AMA'是等边三角形即可求解；（2）当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．【解答】解：（1）∵MA=MA'，∠AMA'=60°，∴△AMA'是等边三角形，∴A A'=AM=AD=1，故答案是1；（2）作ME⊥CD于点E．∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴∠EDM=60°，在直角△MDE中，DE=MD•cos∠EDM=×1=，ME=MD•sin∠EDM=，则EC=CD+ED=2+=，在直角△CEM中，MC===，则A′C长度的最小值是：﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质，以及三角函数和勾股定理，正确理解等边三角形判定定理，理解MA'最短的条件是关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（1）如图①，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；（2）如图②，画出△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1．【考点】作图-旋转变换．【专题】作图题．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和中心对称的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．【解答】解：（1）如图①，△A1B1C1为所作；（2）如图②，△A1B1C1为所作．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20．已知关于x的方程x2+ax﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）将x=1代入方程x2+ax﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．【解答】解：（1）将x=1代入方程x2+ax﹣2=0得，1+a﹣2=0，解得，a=1；方程为x2+x﹣2=0，设另一根为x1，则1•x1=﹣2，x1=﹣2．（2）∵△=a2﹣4×（﹣2）=a2+8＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．21．已知，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E（1）如图①，若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）如图②，连接DO并延长交⊙O于点M，连接MB，若∠M=∠D，求∠D的度数．【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【分析】（1）连接OD，先根据垂径定理得出DE的长，再设OD=r，则OE=r﹣4，在Rt△ODE中根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论；（2）先根据垂径定理得出=，再由∠M=∠D得出=，故可得出==，再由MD是⊙O的直径得出的度数，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=16，∴DE=8．设OD=r，则OE=r﹣4，在Rt△ODE中，∵OE2+DE2=OD2，即（r﹣4）2+82=r2，解得r=10，∴AB=2r=20；（2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴=．∵∠M=∠D，∴=，∴==．∵MD是⊙O的直径，∴=60°，∴∠D=30°．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理解答是解答此题的关键．22．要对一块长60m，宽40m的矩形荒地ABCD（BC＞AB）进行绿化和硬化．设计方案如图所示，矩形L、M、N为三块绿地，其余为硬化路面，L、M、N三块绿地周围的硬化路面宽都相等．并使三块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求L、M、N三块绿地周围的硬化路面的宽．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】把L、M、N合并成矩形得长为（60﹣4×硬化路面的宽），宽为（40﹣2×硬化路面的宽），由等量关系三块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，列出方程解答即可．【解答】解：设L、M、N三块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得：（60﹣4x）×（40﹣2x）=60×40×，解得，x1=5，x2=30，经检验，x2=30不符合题意，舍去．答：三块绿地周围的硬化路面宽都为5米．【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出等量关系列出方程解决问题．23．某果园有100棵枇杷树，每棵平均产量为60千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少．根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.5千克，增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？【考点】二次函数的应用．【分析】设增种x棵树，果园的总产量为y千克，列出二次函数关系式，根据二次函数性质求最值即可．【解答】解：设增种x棵树，果园的总产量为y千克依题意得：y=（100+x）（60﹣0.5x）22+10x+6000∵a=﹣0.5＜0，∴当x=﹣=﹣=10时，y最大值===6050，所以增种10棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多，最多总产量是6050千克．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意“单颗枇杷树的产量×枇杷树的株数=总产量”列出函数表达式是解决问题的关键．24．已知，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD，连接BC、BD．（1）如图①，若∠CBD=20°，求∠A的大小；（2）如图②，连接OC，若OC=BD，求证四边形OCDB是菱形；（3）如图③，AB=4，AC=1，求BD的长（直接写出结果即可）【考点】圆的综合题．【分析】（1）由AC=CD，可知∠ABC=∠CBD=20°，由AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余可求出∠A的大小；（2）由AC=CD，可知∠AOC=2∠ABC=∠ABD，可得出OC∥BD，又OC=BD，所以四边形OCDB是平行四边形，由OC=OB，所以四边形OCDB是菱形；（3）连接OC，作OE⊥BD，AF⊥OC，OH⊥AC，在△AOC中，根据勾股定理和三角形面积不变性，求出AF，易证AF=OE，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE．【解答】解：（1）∵AC=CD，∴∠ABC=∠CBD=20°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=70°；（2）∵AC=CD，∴∠AOC=2∠ABC=∠ABD，∴OC∥BD，又∵OC=BD，∴四边形OCDB是平行四边形，∵OC=OB，∴四边形OCDB是菱形；（3）如答图③，连接OC，作OE⊥BD，AF⊥OC，OH⊥AC，∵AB=4，∴OC=OA=2，∵OH⊥AC，AC=1，∴AH=，在Rt△AHO中，OH==，∵AC•OH=OC•AF，∴=2AF，∴AF=，∵OE⊥BD，AF⊥OC，∴∠AFO=∠OEB=90°，在△AOF和△OBE中，∴△AOF≌△OBE，∴OE=AF=，∴BE==，∴BD=2BE=．【点评】本题主要考查了圆周角定理及其推论、菱形的判定与性质、勾股定理、垂径定理的综合运用，第3小题是本题的难点，通过辅助线构造高线和垂径定理的条件是解决问题的关键．25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）（1）求抛物线的解析式，对称轴和顶点；（2）设点B关于原点的对称点为C，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包括A、B两点）①点D是抛物线对称轴上一动点，若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值X围．②点E是图象G上一动点，动点E与点B，点C构成无数个三角形，在这些三角形中存在一个面积最大的三角形，求出这个三角形的面积，并求出此时点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）直接把A点和B点坐标代入y=2x2+mx+n得m、n的方程组，再解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式即可得到抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）①先利用关于原点对称的点的坐标特征得到C点坐标为（﹣3，﹣4），如图，而顶点M （1，﹣4），设直线BC交直线x=1于N点，用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x，由于当点D在线段MN上运动时，直线CD与图象G有公共点，于是可得t的X围为﹣4≤t≤；②根据三角形面积公式，△EBC的面积最大，则E点到BC的距离最大，而过点E平行于BC 且与抛物线只有一个公共点时，点E到BC的距离最大，设过点E的直线解析式为y=x+b，根据抛物线与直线的交点问题，通过方程组有一组解可求出b和唯一解，从而得到E点坐标．【解答】解：（1）把A（0，﹣2），B（3，4）代入y=2x2+mx+n得，解得，所以抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，因为y=2（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①C点坐标为（﹣3，﹣4），如图，顶点M（1，﹣4），直线BC交直线x=1于N点，设直线BC的解析式为y=kx，把B（3，4）代入得3k=4，解得k=，所以直线BC的解析式为y=x，当x=1时，y=，则N（1，），因为当点D在线段MN上运动时，直线CD与图象G有公共点，所以t的X围为﹣4≤t≤；②因为△EBC的面积最大，而BC为定值，所以E点到BC的距离最大，所以过点E平行于BC且与抛物线只有一个公共点时，点E到BC的距离最大，设过点E的直线解析式为y=x+b，方程组有一组解，消去y得到6x2﹣16x﹣6﹣3b=0，△=162﹣4×6×（﹣6﹣3b）=0，解得b=﹣，x=，当x=时，y=×﹣=﹣，所以E点坐标为（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形性质；会利用待定系数法求函数解析式；记住三角形面积公式．。
2019-2020学年天津市和平区九年级(上)期中数学试卷(含详解)
2019-2020学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为12cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6 4．（3分）二次函数y＝x2+4x+3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位5．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．2500（1+x）2＝3200B．2500（1﹣x）2＝3200C．3200（1﹣x）2＝2500D．3200（1+x）2＝25006．（3分）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（）A．（﹣2，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，0）7．（3分）抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3 8．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β，当旋转后满足BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°9．（3分）如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（）A．1B．C．D．﹣1 10．（3分）二次函数y＝x2+bx+c中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣101234…y＝x2+bx+c…1052125…下列结论正确的是（）A．当x＝2时，y有最大值1B．当x＜2时，y随x的增大而增大C．点（5，9）在该函数的图象上D．若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，则当m＞时，y1＜y2 11．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，下列判断不正确的是（）A．若方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，则方程cx2+bx+a＝0也有两个实数根B．如果m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么是cx2+bx+a＝0的一个根C．如果方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0有一个根相等，那么这个根是1D．如果方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0有一个根相等，那么这个根是1或﹣1 12．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+bx﹣（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+bx﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0B．2≤m＜C．2≤m≤4D．m≥2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）方程8x2+3x﹣10＝0的一次项系数是．14．（3分）点（﹣5，0）关于原点对称的点的坐标是．15．（3分）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则∠A的大小为（度）．16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为．17．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，D是BC的中点，且∠AOD＝166°，AE，CF分别是BC，AB边上的高，则∠BCF的大小＝（度）．18．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1．（Ⅰ）该抛物线的对称轴是x＝；（Ⅱ）该抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＜∠ACB，则点P的纵坐标n的取值范围是．三、解答题（本大题共7小题，共6分，解答应写出文字说明、演算步骤成推理过程）19．（8分）（Ⅰ）x（2x+1）＝2x+1（Ⅱ）x2+3x+1.5＝020．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，∠AOC＝60°，OC ＝2，求CD的长．21．（10分）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED ＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．22．（10分）一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．23．（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？24．（10分）（Ⅰ）在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A顺时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图①，若M是线段BC上的一点，且∠MAC＝20°，MC＝2，则∠NAB的大小＝（度），NB的长＝；②如图②，点E是AB延长线上的一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，∠NAB与∠MAC的数量关系是什么？NB与MC的数量关系是什么？并分别给于证明；（Ⅱ）如图③，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意一点，连接A1P，将A1P绕点A1顺时针旋转75°．得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）把该抛物线向（填“上”成“下”）平移个单位长度，得到的抛物线与x轴只有一个公共点；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．2019-2020学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．2．（3分）已知⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为12cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵⊙O的半径r＝10cm，点P到圆心O的距离OP＝12cm，∴OP＞r，∴点P在⊙O外，故选：C．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，配方得（x﹣2）2＝2．故选：A．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（3分）二次函数y＝x2+4x+3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【分析】把二次函数y＝x2+4x+3化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数y＝x2的图象平移而得到．【解答】解：根据题意y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．故选：B．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．5．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．2500（1+x）2＝3200B．2500（1﹣x）2＝3200C．3200（1﹣x）2＝2500D．3200（1+x）2＝2500【分析】可根据：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．【解答】解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2＝2500，故选：C．【点评】本题考查降低率问题，由：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价可以列出方程．6．（3分）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（）A．（﹣2，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，0）【分析】利用网格结构找出点B绕点D顺时针旋转90°后的位置，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．【解答】解：如图，点B绕点D顺时针旋转90°到达点B′，点B′的坐标为（4，0）．故选：D．【点评】本题考查了旋转与坐标与图形的变化，根据网格结构找出点B旋转后的位置是解题的关键．7．（3分）抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3【分析】由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，代入点（0，﹣3）可求出a值，进而可得出抛物线的解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．故选：A．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β，当旋转后满足BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°【分析】由旋转的性质可得△AOB≌△ADC，∠BAC＝∠OAD＝α，可得AB＝AC，∠BAO ＝∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝（180°﹣α），由平行线的性质可得∠OBC ＝90°，即可求解．【解答】解：∵把△ABO顺时针旋转得△ACD，∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝∠OAD＝α，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴β+（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝2β．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．9．（3分）如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（）A．1B．C．D．﹣1【分析】点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON＝60°，然后求出∠BON＝30°，再根据对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′＝OA，即为PA+PB的最小值．【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值＝AB′，∵∠ACM＝60°，∴∠AOM＝2∠ACM＝2×60°＝120°，∴∠AON＝60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON＝∠AON＝×60°＝30°，由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′＝OA＝×1＝，即PA+PB的最小值＝．故选：C．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．10．（3分）二次函数y＝x2+bx+c中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣101234…y＝x2+bx+c…1052125…下列结论正确的是（）A．当x＝2时，y有最大值1B．当x＜2时，y随x的增大而增大C．点（5，9）在该函数的图象上D．若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，则当m＞时，y1＜y2【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：A、观察表格知：函数的图象经过点（1，2）和（3，2），∴对称轴为：x＝＝2．∵函数图象开口向上且，经过点（2，1）∴x＝2时，y有最小值1，故A说法错误；B、由表格可知：当x＜2时，y随x的增大而减小，故B错误；C、∵对称轴是直线x＝2，∵点（﹣1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故C错误；D、∵当m＞时，|2﹣m|＜|m+1﹣2|，∴y1＜y2，故D正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，下列判断不正确的是（）A．若方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，则方程cx2+bx+a＝0也有两个实数根B．如果m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么是cx2+bx+a＝0的一个根C．如果方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0有一个根相等，那么这个根是1D．如果方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0有一个根相等，那么这个根是1或﹣1【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．【解答】解：A、∵方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，∴△1＝b2﹣4ac≥0，∵△2＝b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a＝0也有两个实数根，正确；B、∵m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，∴是cx2+bx+a＝0的一个根，故正确；C、由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c＝0①，cm2+bm+a＝0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a＝0，整理得，（a﹣c）（m2﹣1）＝0，∵a≠c，∴m2﹣1＝0，∴m＝±1，故C错误；D正确；故选：C．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．12．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+bx﹣（a，b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+bx﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0B．2≤m＜C．2≤m≤4D．m≥2【分析】根据完美点的概念令ax2+bx﹣＝x，即ax2+（b﹣1）x﹣＝0，由题意，△＝（b﹣1）2﹣4a•（﹣）＝0，即（b﹣1）2＝﹣9a，方程的根为＝，从而求得a＝﹣1，b＝4，所以函数y＝ax2+bx﹣3＝﹣x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．【解答】解：令ax2+bx﹣＝x，即ax2+（b﹣1）x﹣＝0，由题意，△＝（b﹣1）2﹣4a•（﹣）＝0，即（b﹣1）2＝﹣9a，又方程的根为＝，解得a＝﹣1，b＝4或（b＝1舍去）故函数y＝ax2+bx﹣3＝﹣x2+4x﹣3，如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，∴2≤m≤4，故选：C．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）方程8x2+3x﹣10＝0的一次项系数是3．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：一元二次方程8x2+3x﹣10＝0的一次项系数是3；故答案为：3．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．（3分）点（﹣5，0）关于原点对称的点的坐标是（5，0）．【分析】根据“平面直角坐标系中，任意一点（x，y）关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：点（﹣5，0）关于原点过对称的点的坐标是（5，0）．故答案为：（5，0）．【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．15．（3分）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则∠A的大小为60（度）．【分析】连接OC，利用圆周角定理得出∠AOC＝60°，进而利用等边三角形的性质解答即可．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝120°，C是的中点，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，故答案为：60【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠AOC＝60°解答．16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为8．【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．【解答】解：∵对称轴为直线x＝2的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝2对称，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（6，0），AB＝6﹣（﹣2）＝8．故答案为：8．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．17．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，D是BC的中点，且∠AOD＝166°，AE，CF分别是BC，AB边上的高，则∠BCF的大小＝23（度）．【分析】连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求得∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝106°，根据垂径定理定理得到OD⊥BC，求得AE∥OD，根据平行线的性质得到∠OAE＝180°﹣∠AOD＝14°，求出∠BAE＝23°，即可得到结论．【解答】解：连接BO，CO，如图所示：∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，D是BC的中点，∴∠BOD＝∠BOC＝∠BAC＝60°，OD⊥BC，∵∠AOD＝166°，∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝106°，∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝37°，∵AE，CF分别是BC，AB边上的高，∴AE⊥BC，CF⊥AB，∵OD⊥BC，∴AE∥OD，∴∠OAE＝180°﹣∠AOD＝14°，∴∠BAE＝∠BAO﹣∠OAE＝37°﹣14°＝23°，∵∠BCF+∠B＝∠BAE+∠B＝90°，∴∠BCF＝∠BAE＝23°；故答案为：23．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1．（Ⅰ）该抛物线的对称轴是x＝2；（Ⅱ）该抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＜∠ACB，则点P的纵坐标n的取值范围是n＞2+或n＜﹣2﹣．【分析】（Ⅰ）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝2；（Ⅱ）当点P在圆上时，∠APB＝∠ACB，点P在圆外时，∠APB＜∠ACB，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝2，故答案为：2；（Ⅱ）将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则点A、B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0）、（0，3），过点A、B、C作△ABC的外接圆M（2，m），当点P在圆上时，∠APB＝∠ACB，点P在圆外时，∠APB＜∠ACB，则MA＝MC，即4+（m﹣3）2＝1+m2，解得：m＝2，则圆的半径为：，则点P的坐标为：（2，2+），则点P关于x轴的对称点P′（2，﹣2﹣），故答案为：n＞2+或n＜﹣2﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，本题的关键是构建圆M，利用等弧所对的圆周角相等求解．三、解答题（本大题共7小题，共6分，解答应写出文字说明、演算步骤成推理过程）19．（8分）（Ⅰ）x（2x+1）＝2x+1（Ⅱ）x2+3x+1.5＝0【分析】（Ⅰ）利用因式分解法求解可得；（Ⅱ）利用公式法求解可得．【解答】解：（Ⅰ）∵x（2x+1）＝2x+1，∴x（2x+1）﹣（2x+1）＝0，则（2x+1）（x﹣1）＝0，∴2x+1＝0或x﹣1＝0，解得x＝﹣0.5或x＝1；（Ⅱ）∵a＝1，b＝3，c＝1.5，∴△＝32﹣4×1×1.5＝3＞0，则x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，∠AOC＝60°，OC ＝2，求CD的长．【分析】根据垂径定理和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，∴OA⊥CD，CE＝ED，∵∠AOC＝60°，OC＝2，∴CE＝，∴CD＝2．【点评】本题主要考查了垂径定理以及三角函数，关键是根据含30°的直角三角形的性质得出CE．21．（10分）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED ＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠B，由此推得∠B＝∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长．【解答】（1）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB＝CD•CA，AC＝AB＝4，∴•2＝4CD，∴CD＝．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由（1）知AC＝AB＝4，则AD＝4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2整理得：a＝，即：CD＝．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（10分）一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．【解答】解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）＝180，解得x1＝10（舍去），x2＝18，28﹣x＝28﹣18＝10．故长为18厘米，宽为10厘米；（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）＝200，即x2﹣28x+200＝0，则△＝282﹣4×200＝784﹣800＜0，原方程无实数根，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：长方形的长＝周长的一半﹣宽．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23．（10分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y＝300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；（3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w＝（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x＝52时w最大，从而计算出x＝52时对应的w的值即可．【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，解得x1＝50，x2＝64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，当x＜57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890＝2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．24．（10分）（Ⅰ）在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A顺时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图①，若M是线段BC上的一点，且∠MAC＝20°，MC＝2，则∠NAB的大小＝20（度），NB的长＝2；②如图②，点E是AB延长线上的一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，∠NAB与∠MAC的数量关系是什么？NB与MC的数量关系是什么？并分别给于证明；（Ⅱ）如图③，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意一点，连接A1P，将A1P绕点A1顺时针旋转75°．得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）①结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．根据SAS证明△NAB≌△MAC即可．②①中结论仍然成立．证明方法类似．（Ⅱ）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．理由全等三角形的性质证明B1Q＝PN，推出当PN的值最小时，QB1的值最小，求出HN的值即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）①结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM＝2，∠NAB＝∠MAC＝20°故答案为20，2．②如图2中，结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM，∠NAB＝∠MAC．（Ⅱ）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，∴∠QA1B1＝∠PA1N，∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝4，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．25．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）把该抛物线向下（填“上”成“下”）平移个单位长度，得到的抛物线与x轴只有一个公共点；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．【分析】（1）将点M、N的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）由抛物线的顶点坐标知，把该抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，即可求解；（3）分点B（0，2）、点B（0，﹣2）两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点M、N的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+5＝（x﹣）2+，故顶点坐标为：（，）；（2）由抛物线的顶点坐标知，把该抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，故答案为：下，；（3）A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点B的坐标为：（0，2）或（0，﹣2），①当点B（0，2）时，抛物线的表达式为：y＝x2+bx+2，将点A的坐标代入上式并解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣，此时顶点坐标为：（﹣，﹣）；②当点B（0，﹣2）时，同理可得顶点坐标为：（﹣，﹣），故将原抛物线向左平移3个单位向下平移3或向左平移2个单位向下平移5个单位即可满足条件．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数与图象交点问题、等腰直角三角形的性质、图象的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。
【5套打包】天津市初三九年级数学上期中考试测试卷及答案
新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（共30分，每小题3分）1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y26．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．547．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．解：∵DE∥BC，∴＝，∵，AE＝2cm，∴＝，∴AC＝6（cm），故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，故选：D．【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为6厘米．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x 1＝0，x2＝．故答案为：x 1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意2a×a＝8，∴a2＝，∴k＝a2＝4，故答案为4．【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB＝AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，∴＝，即MN＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．故答案为3+．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．解法一：原式可以变形为，，，∴，∴，．解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．解：如图所示：【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，在Rt△BHF中，BF＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：舍利塔的高度AB为55米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝14求出即可．解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）＝14，解得：x1＝1，x2＝4．因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去，x+3＝4．答：每盆植4株时，每盆的盈利14元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；（2）延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），∴点B（6，4）．（2）延长DP交OA于点E，如图②所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质，解题的关键是：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式．23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．【分析】（1）列举出所有情况，看白色衬衫配米色裙子的总数即可得出答案；（2）列举出青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数占所有情况数的多少即可．解：（1）共有8种情况，白色衬衫米色裙子的情况数有1种，所以他最喜欢的搭配的概率为；（2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以他最不喜欢的搭配的概率为，故她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．【分析】（1）只要证明△FAD∽△DAB，可得＝，延长即可解决问题；（2）只要证明△CAD≌△EBD，可得AC＝BE，再证明△EBD∽△CBA，可得＝，由BD＝AD，AC＝BE，可得AD•BE＝DE•AB；证明：（1）∵∠BAC＝2∠B，∠DAB＝∠DAC，∴∠B＝∠DAB，∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，∴△FAD∽△DAB，∴＝，∴AD2＝AF•AB．（2）∵∠B＝∠DAB，∴DA＝DB，∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△CAD≌△EBD，∴AC＝BE，∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，∴△EBD∽△CBA，∴＝，∵BD＝AD，AC＝BE，∴AD•BE＝DE•AB．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP＝5时，在Rt△PAD和Rt△PBC中，，∴△PAD≌△PBC，∴PD＝PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE＝PM＝PD，ME＝PN＝PC，∴PM＝ME＝EN＝PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN可能是矩形．若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°设PA＝x，PB＝10﹣x，DP＝，CP＝．DP2+CP2＝DC216+x2+16+（10﹣x）2＝102x2﹣10x+16＝0x＝2或x＝8．故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.观察下列汽车标志，其中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.x=2不是下列哪一个方程的解（）A. B. C. D.4.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D.5.若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（）A. 正数B. 非负数C. 一切实数D. 零6.函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，则m的值为（）A. B. 0 C. 或1 D. 17.函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（）A. B.C. D.8.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴是C. 当时，y的最大值为4D. 抛物线与x轴的交点为，9.若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A. 13B. 16C. 12或13D. 11或1610.如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（）A. 点B和点E关于点O对称B.C. △ ≌△D. △与△关于点B中心对称11.如图所示，△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，则下列结论成立的有（）①AE=AC；②∠EAC=∠BAD；⑧BC∥AD；④若连接BD，则△ABD为等腰三角形A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.二次函数y=ax2+bx+c中，b=4a，它的图象如图所示，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③b2-4ac＜0；④abc＜0；⑤4a＞c．其中正确的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知一元二次方程2x2+x+m=0的一个根是1，则m的值是______．14.在直角坐标系中，点（-3，6）关于原点的对称点是______．15.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．16.若抛物线y=-x2-8x+c的顶点在x轴上，则c的取值是______．17.把二次函数y=x2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象对应的解析式为______．18.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B=______度．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．20.如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3的图象上（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）请直接写出y2＞y1时，自变量x的取值范围．四、解答题（本大题共5小题，共46.0分）21.用适当的方法解下列方程（1）（y+3）2-81=0（2）2x（3-x）=4（x-3）（3）x2+10x+16=0（4）x2-x-=022.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？23.已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．24.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个．为了赚得8000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、2x-y=1，是二元一次方程，故此选项错误；B、x+3xy+y2=2，是二元二次方程，故此选项错误；C、=，是一元二次方程，正确；D、x2+=3，含有分式，故此选项错误．故选：C．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握方程定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．结合中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：A，当x=2时，方程的左边=3×（2-2）=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是A中方程的解；B，当x=2时，方程的左边=2×22-3×2=2，右边=2，则左边=右边，故x=2是B中方程的解；C，当x=2时，方程的左边=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是C中方程的解；D，当x=2时，方程的左边=22-2+2=4，右边=0，则左边≠右边，故x=2不是D中方程的解；故选：D．把x=2分别代入各个方程的两边，根据方程的解的定义判断即可．本题考查的是一元二次方程的解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，∴△≥0，即22-4×3×a≥0，解得a≤．故选：A．根据△的意义得到△≥0，即22-4×3×a≥0，解不等式即可得a的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5.【答案】B【解析】解：当m≥0时，一元二次方程x2=m有解．故选：B．利用平方根的定义可确定m的范围．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．6.【答案】D【解析】解：∵函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，∴m2+m=2，m+2≠0，解得：m=1．故选：D．直接利用二次函数的定义分析得出答案．此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．7.【答案】B【解析】解：当a＞0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，当a＜0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，故选项C错误，故选：B．根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】C【解析】解：把（0，-3）代入y=x2-2x+c中得c=-3，。
2018-2019学年天津和平区初三上学期中考试数学试卷PDF版.docx
2018-2019年度和平区初三期中考试数学试卷一、选择题（ 3 × 12=36 ）1.下列图形中，是中心对称图形的是A. B. C. D.2.己知点 A（ a ， -2 ）与点B（ 2 ， b ）是关于原点 O 的对称点，则A. a=-2，b=-2B. a=-2，b=2C. a=2，b=-2D. a=2，b=23.已知⊙O 的半径为 10cm ，点 P 到圆心 O 的距离为 8cm ，则点 P 和⊙O 的位置关系是A. 点 P 在圆内B. 点 P 在圆上C.点 P 在圆外D. 不能确定4.抛物线①y=2x2；② y=2 （ x+1 ） 2-5；③y=3 （ x+1 ） 2 ；④y= （其x+1中，）形状2-5相同的是A. ①②B. ②③④C.②④D. ①④5.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为 y=a（ x-k） 2+k的形式为A. y= （ x-4） 2+7B. y=（ x-4 ） 2-25C. y= （ x+4 ） 2+7D. y= （ x+4 ） 2-256. 某农机厂四月份生产零件50 万个，第二季度共生产零件182 万个。
设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么 x 满足的方程是A. 50（ 1+x ） 2=182B. 50+50（ 1+x） +50 （ 1+x） 2=182C. 50（ 1+2x） =182D. 50+50（ 1+x） +50 （ 12x） =1827. 如图，直角三角形 ABC 有一外接圆，其中∠B=90 °AB>BC，，今欲在弧 BC 上找一点 P，使得弧 BP= 弧 CP，以下是甲、乙两人的作法：甲：（ 1）取 AB 的中点 D；（ 2 ）过点 D 作直线 AC 的平行线，交弧BC 于点 P，则点 P 即为所求。
乙：（ 1）取 AC 的中点 E；（ 2 ）过点 E 作直线 AB 的平行线，交弧 BC 于点 P，则点 P 即为所求。
2019-2020学年天津市和平区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
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2019-2020学年天津市和平区九年级上学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选1只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（3分）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，4，5，5．若随机投掷
一次小正方体，则朝上一面数字是5的概率为（ ）
A ．16
B ．15
C ．14
D ．13 3．（3分）如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC ＝50°，则∠CDB 大小为（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
4．（3分）如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，如果标杆BE ＝1.2m ．测得AB ＝1.6m ．BC
＝18.4m ．则建筑物的高CD ＝（ ）
A ．13.8m
B ．15m
C ．18.4m
D ．20m
5．（3分）抛物线y ＝x 2﹣6x +9与x 轴的公共点的坐标是（ ）
A ．（3，0）
B ．（3，3）。
天津市和平区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题
绝密★启用前天津市和平区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知O 的半径为10cm ，点P 到圆心O 的距离为12cm ，则点P 和O 的位置关系是（ ） A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定3．用配方法解方程：2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2(2)2x -=B ．2(22)x +=C ．2(2)2xD ．2(26)x -=4．二次函数y=x 2+4x+3的图象可以由二次函数y=x 2的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）A ．先向左平移2个单位，再先向上平移1个单位B ．先向左平移2个单位，再先向下平移1个单位C ．先向右平移2个单位，再先向上平移1个单位D ．先向右平移2个单位，再先向下平移1个单位5．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是（ ） A ．22500(1)3200x += B ．22500(1)3200x -= C ．23200(1)2500x -=D ．23200(1)2500x -=6．正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转90°后，B 点的坐标为（ ）A ．（－2，2）B ．（4，1）C ．（3，1）D ．（4，0）7．抛物线的顶点为(1,4)-，与y 轴交于点(0,3)-，则该抛物线的解析式为（ ） A ．223y x x =-- B ．223y x x =+- C ．223y x x =-+D ．2233y x x =--8．如图，在Rt AOB ∆中，90O ∠=︒，以点A 为旋转中心，把ABO ∆顺时针旋转得ACD ∆，记旋转角为α,ABO ∠为β，当旋转后满足//BC OA 时，α与β之间的数量关系为（ ）A ．αβ=B ．2αβ=C ．90αβ+=︒D ．2180αβ+=︒ 9．如图，MN 是O 的直径，A ，B ，C 是O 上的三点，60ACM ∠=°，B 点是AN 的中点，P 点是MN 上一动点，若O 的半径为1，则PA PB +的最小值为（ ）A ．1B ．2C D 110．二次函数2y x bx c =++中（b ，c 是常数）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：下列结论正确的是：A ．当2x =时，y 有最大值1B ．当2x <时，y 随x 的增大而增大C ．点(5,9)在该函数的图像上D ．若1(,)A m y ，2(1,)B m y +两点都在该函数的图象上，则当32m >时，12y y <. 11．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0与cx 2+bx +a =0，下列判断不正确的是（ ）A ．若方程ax 2+bx +c =0有两个实数根，则方程cx 2+bx +a =0也有两个实数根；B ．如果m 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，那么1m 是cx 2+bx +a =0的一个根； C ．如果方程ax 2+bx +c =0与cx 2+bx +a =0有一个根相等，那么这个根是1； D ．如果方程ax 2+bx +c =0与cx 2+bx +a =0有一个根相等，那么这个根是1或-1. 12．在平面直角坐标系中，若点P 的橫坐标和纵坐标相等，则称点P 为完美点，已知二次函数294y ax bx =+-（a ，b 是常数，0a ≠）的图象上有且只有一个完美点33(,)22，且当0x m 时，函数23y ax bx =+-的最小值为3-，最大值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．10m - B ．722mC ．24mD ．2m第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．方程283100x x +-=的一次项系数是__________． 14．点(5,0)-关于原点对称的点坐标是__________． 15．如图，A ，B 是O 上的两点120AOB ∠=︒，C 是AB 的中点，则A ∠的大小__________（度）．16．已知抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，若点A 的坐标为(﹣2，0)，抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB 的长为____. 17．如图，ABC ∆内接于O ，60BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，且166AOD ∠=︒，AE ，CF 分别是BC ，AB 边上的高，则BCF ∠的大小=_________（度）.18．已知抛物线2441y ax ax a =-+-. （1）该抛物线的对称轴是x =________.（2）该抛物线与x 轴交于点A ，点B 与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)，若此抛物线的对称轴上的点P 满足APB ACB ∠<∠，则点P 的纵坐标n 的取值范围是________.三、解答题19．（1）(21)21x x x +=+； （2）23 1.50x x ++=. 20．如图，AB 是O 的直径，AB 平分弦CD ，交CD 于点E ，60AOC ∠=︒，2OC =.求CD 的长.21．已知△ABC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC ． （1）求证：AB=AC ；（2）若AB=4，BC=CD 的长．22．一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？ （2）能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由．23．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y 本，销售单价为x 元．（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？24．（1）在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 顺时针旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB .①如图①，若M 是线段BC 上的一点，且20MAC ∠=︒，2MC =，则NAB ∠的大小= （度），NB 的长= ；②如图②，点E 是AB 延长线上的一点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，NAB ∠与MAC ∠的数量关系是什么？NB 与MC 的数量关系是什么？并分别给予证明：（2）如图③，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠=︒，11175B AC ∠=︒，P 是11B C上的任意一点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 顺时针旋转75︒，得到线段1A Q ，连接1B Q ，求线段1B Q 长度的最小值（直接写出结果即可）.25．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线25y ax bx =++经过点(1,3)M 和(3,5)N .（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）把该抛物线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点(2,0)A -，且与y 轴交于点B ，同时满足以A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由.参考答案1．B【解析】试题分析：根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行解答．第一个图形，第三个图形和第四个图形都不是中心对称图形，故选B．考点：中心对称图形2．C【解析】【分析】根据点与圆心的距离与半径的关系进行判断.【详解】解：∵点P到圆心O的距离＞半径，即OP＞r，∴点P在圆外．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d ＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．3．A【解析】【分析】首先把常数项2移项，然后在等式左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方，最后等式左边逆运用完全平方公式即可．【详解】把方程x2−4x+2=0的常数项移到等号的右边,得到x2−4x=−2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2−4x+4=−2+4，配方得(x−2)2=2.故选：A.【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，配方法其实是通过配成完成平方式来解一元二次方程的方法，所以利用等式的性质把等式左边配成完全平方式是解题关键.4．B【解析】试题分析：因为函数y=x2的图象沿y轴向下平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数y=x2﹣1；然后再沿x轴向左平移2个单位长度，可得新函数y=（x+2）2﹣1．解：∵函数y=x2的图象沿沿x轴向左平移2个单位长度，得，y=（x+2）2；然后y轴向下平移1个单位长度，得，y=（x+2）2﹣1；故可以得到函数y=（x+2）2﹣1的图象．故选B．考点：二次函数图象与几何变换．5．D【解析】【分析】本题可根据：原售价×（1-降低率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．【详解】依题意得：两次降价后的售价为3200(1−x)2=2500，故选D.【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于理解题意列出方程.6．D【解析】试题分析：根据旋转的性质作出旋转后的图形，写出点B对应点的坐标即可得解．如图，点B 的对应点B′的坐标为（4，0）．考点：1.坐标与图形变化-旋转；2.正方形的性质． 7．A 【解析】 【分析】设出抛物线顶点式，然后将点(0,3)-代入求解即可. 【详解】解：设抛物线解析式为2(1)4y a x =--，将点(0,3)-代入得：23(01)4a -=--， 解得：a=1，故该抛物线的解析式为：223y x x =--， 故选：A. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 8．B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得AB ＝AC ，∠BAC ＝α，根据等腰三角形的性质表示出∠ACB ，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAO ＝90°−β，再利用两直线平行，同旁内角互补列式整理即可得解． 【详解】解：由旋转的性质得，AB ＝AC ，∠BAC ＝α， ∴∠ACB ＝12（180°−α）， ∵∠ABO ＝β， ∴∠BAO ＝90°−β， ∵BC ∥OA ，∴∠ACB ＋∠OAC ＝180°，即12（180°−α）＋α＋（90°−β）＝180°， ∴整理得：2αβ=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 9．C 【解析】 【分析】作点B 关于MN 的对称点B′，连接OA 、OB 、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得PA ＋PB 的最小值＝AB′，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOM ＝120°，然后可得∠AON ＝60°，再求出∠BON ＝30°，根据对称性可得∠B′ON ＝∠BON ＝30°，然后易得∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′的长度． 【详解】解：作点B 关于MN 的对称点B′，连接OA 、OB 、OB′、AB′，则PA ＋PB 的最小值＝AB′， ∵∠ACM ＝60°， ∴∠AOM ＝120°，∴∠AON ＝180°－∠AOM ＝60°， ∵点B 为AN 的中点，∴∠BON ＝12∠AON ＝12×60°＝30°， 由对称性可得，∠B′ON ＝∠BON ＝30°，∴∠AOB′＝∠AON ＋∠B′ON ＝60°＋30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′OA ，即PA ＋PB ．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、圆周角定理以及等腰直角三角形的性质，通过作辅助线构造出等腰直角△AOB′是解题的关键．10．D【解析】【分析】首先利用待定系数法求出二次函数解析式，根据二次函数的性质可判断A ，B ，然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断C ；最后根据二次函数的对称性以及m 的取值范围可判断D.【详解】解：将点（0，5），（1，2）代入2y x bx c =++，得：512c b c =⎧⎨++=⎩，解得：54c b =⎧⎨=-⎩， ∴该二次函数解析式为：2245(2)1y x x x =-+=-+，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴为x=2，∴当2x =时，y 有最小值1；当2x <时，y 随x 的增大而减小，故A ，B 错误；当x=5时，代入得y=10，故点(5,9)不在该函数的图像上，C 错误；∵对称轴为x=2，当2x >时，y 随x 的增大而增大， ∴当32m >时，m+152>，且x=32和x=52是对称点， ∴12y y <，D 正确，故选：D.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键.11．C【解析】【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．【详解】A ．∵方程ax 2+bx +c =0有两个实数根，∴△1=b 2﹣4ac ≥0．∵△2=b 2﹣4ac ≥0，∴方程cx 2+bx +a =0也有两个实数根，正确；B ．∵m 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，∴am 2+bm +c =0，∴a +b ⋅1m +c(1m )2=0，∴1m 是cx 2+bx +a =0的一个根，故正确；C ．由题意知，a ≠c ，设相等的根是m ，则am 2+bm +c =0①，cm 2+bm +a =0②，①﹣②得am 2﹣cm 2+c ﹣a =0，整理得：（a ﹣c ）（m 2﹣1）=0．∵a ≠c ，∴m 2﹣1=0，∴m =±1，故C 错误，D 正确．故选C ．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．12．C【解析】【分析】根据完美点的概念以及有且只有一个完美点可列方程组求出a ，b ，进而得到222343(2)1y ax bx x x x =+-=-+-=--+，求出当y=-3时x 的值，再结合当0x m 时，函数23y ax bx =+-的最小值为3-，最大值为1，即可求出m 的取值范围． 【详解】解：将y=x 代入294y ax bx =+-，整理得29(1)04ax b x +--=， ∵二次函数294y ax bx =+-（a ，b 是常数，0a ≠）的图象上有且只有一个完美点33(,)22， ∴()()219093910424b a a b ⎧=-+=⎪⎨+-⨯-=⎪⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩， ∴222343(2)1y ax bx x x x =+-=-+-=--+，∴顶点坐标为（2，1），当y=-3时，有2(2)13x --+=-，解得：x=0或x=4，∵当0x m 时，函数23y ax bx =+-的最小值为3-，最大值为1， ∴24m ，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，正确理解完美点的概念求出a ，b 的值是解题关键．13．3【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式可直接得出答案.【详解】解：方程283100x x +-=的一次项系数是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．(5,0)【解析】【分析】根据关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点(5,0)-关于原点对称的点的坐标是(5,0)，故答案为：(5,0)．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟知关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数是解题关键．15．60︒【解析】【分析】连接OC ，根据C 是AB 的中点可求出60AOC ∠=︒，进而证明△OAC 是等边三角形，即可得到A ∠的大小.【详解】解：连接OC ，∵C 是AB 的中点，120AOB ∠=︒，∴60AOC ∠=︒，∵OA=OC ，∴△OAC 是等边三角形，∴60A ∠=︒，故答案为：60︒.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，证明△OAC是等边三角形是解题关键.16．8【解析】试题分析：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=2对称，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（6，0），AB=6﹣（﹣2）=8．故答案为8．考点：抛物线与x轴的交点．17．23【解析】【分析】连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOD＝12∠BOC＝∠BAC＝60°，求得∠AOB＝∠AOD−∠BOD＝106°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得AE∥OD，根据平行线的性质得到∠OAE＝180°−∠AOD＝14°，求出∠BAE即可得到结论．【详解】解：连接BO，CO，∵∠BAC＝60°∴∠BOD＝12∠BOC＝∠BAC＝60°，∵∠AOD ＝166°，∴∠AOB ＝∠AOD−∠BOD ＝106°，∠BAO ＝12（180°−∠AOB ）＝37°， 由题意得：AE ⊥BC ，OD ⊥BC ，∴AE ∥OD ，∴∠OAE ＝180°−∠AOD ＝14°，∴∠BAE ＝∠BAO−∠OAE ＝23°，∴∠ABE ＝90°−23°＝67°，∴∠BCF ＝90°−67°＝23°，故答案为：23.【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．2 2n >+2n <--【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴为2b x a=-进行求解； （2）根据二次函数的性质可求出点B ，C 的坐标，作BC 的垂线交对称轴于点F ，以点F 为圆心，以FB 为半径作⊙F ，得到△ABC 的外接圆，根据两点间距离公式可求出圆心F 的坐标以及外接圆半径，然后根据圆的性质可得点P 在第一象限时，点P 的纵坐标n 的取值范围，同理可得点P 在第四象限时，点P 的纵坐标n 的取值范围.【详解】解：（1）该抛物线的对称轴是4222b a x a a-=-=-=，故答案为：2；（2）∵点A 的坐标为(1,0)，抛物线的对称轴是2x =，∴点B 的坐标为（3，0），将点(1,0)代入2441y ax ax a =-+-可得：a=1，∴4a-1=3，即点C 的坐标为（0，3），如图，作BC 的垂线交对称轴于点F ，以点F 为圆心，以FB 为半径作⊙F ，得到△ABC 的外接圆，设点F 坐标为（2，m ），由FA=FC 2222(21)2(3)m m ， 解得：m=2，∴点F 的坐标为（2，2），FA=22(21)5m ，∴当∠APB ＜∠ACB ，且点P 在第一象限时，点P 的纵坐标n 的取值范围是：2n >+同理可得，点P 在第四象限时，点P 的纵坐标n 的取值范围是2n <--综上所述，点P 的纵坐标n 的取值范围是：2n >2n <-故答案为：2n >+2n <-【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质以及圆的相关应用，解题的关键是应用转化的思想进行求解．19．（1）112x =-，21x =；（2）132x -+=，232x --= 【解析】【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用公式法求解即可.【详解】解：（1）(21)21x x x +=+，(21)(21)0x x x +-+=，因式分解，得(21)(1)0x x +-=，于是得210x +=或10x -=， 解得：112x =-，21x =； （2）∵23 1.50x x ++=∴1,3, 1.5a b c ===，∴224341 1.530b ac =-=-⨯⨯=>，∴x ==解得：132x -=，232x --=. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键.20．【解析】【分析】由垂径定理可得AB CD ⊥，根据含30度直角三角形的性质可求出CE ，然后可得CD.【详解】 解：直径AB 平分弦CD ，∴AB CD ⊥，=60AOC ∠︒∵，∴30C ∠=︒，在Rt OCE ∆中，2OC =， ∴112OE OC ==，∴CE ===，∴2CD CE ==.【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键.21．（1）证明过程见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C ，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B ，由此推得∠B=∠C ，由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接AE ，由AB 为直径，可证得AE ⊥BC ，由（1）知AB=AC ，由“三线合一”定理得到BE=CE=BC=，由割线定理可证得结论．试题解析：（1）∵ED=EC ， ∴∠EDC=∠C ， ∵∠EDC=∠B ， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC ；（2）连接AE ， ∵AB 为直径， ∴AE ⊥BC ， 由（1）知AB=AC ， ∴BE=CE=BC=， ∵CE•CB=CD•CA ，AC=AB=4， ∴•2=4CD ， ∴CD=．考点：（1）圆周角定理；（2）等腰三角形的判定与性质；（3）勾股定理．22．（1）长为18厘米，宽为10厘米；（2）不能．【解析】试题分析：（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．试题解析：（1）设矩形的长为x 厘米，则另一边长为（28﹣x ）厘米，依题意有x（28﹣x）=180，解得x1=10（舍去），x2=18，28﹣x=28﹣18=10．故长为18厘米，宽为10厘米；（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）=200，即x2﹣28x+200=0，则△=282﹣4×200=784﹣800＜0，原方程无实数根，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．23．（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大，最大利润是2640元．【解析】【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44），即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）=﹣10x2+1140x﹣29600=﹣10（x ﹣57）2+2890，当x ＜57时，w 随x 的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x=52时，w 有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大，最大利润是2640元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．24．（1）①20︒， 2；②NAB MAC ∠=∠，NB MC =；证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质可得∠NAM=∠BAC ，AN=AM ，然后可得∠NAB=∠MAC=20°，再利用SAS 证明NAB MAC ∆∆≌即可得到NB=MC=2；②同①证明NAB MAC ∆∆≌即可；（2）如图③，在A 1C 1上截取A 1N ＝A 1B 1，连接PN ，作NH ⊥B 1C 1于H ，作A 1M ⊥B 1C 1于M ，利用全等三角形的判定和性质证明B 1Q ＝PN ，推出当PN 的值最小时，B 1Q 的值最小，解直角三角形求出NH 的值即可解决问题．【详解】解：（1）①由题意可得：∠NAM=∠BAC ，∴∠NAM －∠BAM =∠BAC －∠BAM ，即∠NAB=∠MAC=20°，又∵AN=AM ，AB=AC ，∴()NAB MAC SAS ∆∆≌，∴NB=MC=2，故答案为：20，2；②NAB MAC ∠=∠，NB MC =； 证明：将线段AM 绕点A 顺时针旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，,NAM BAC AN AM ∠=∠=∴，∴∠NAM －∠BAM =∠BAC －∠BAM ，NAB MAC ∠=∠∴，在NAB ∆和MAC ∆中，AN AM NAB MAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()NAB MAC SAS ∆∆∴≌，NB MC =∴；（2）如图③，在A 1C 1上截取A 1N ＝A 1B 1，连接PN ，作NH ⊥B 1C 1于H ，作A 1M ⊥B 1C 1于M ．∵∠C 1A 1B 1＝∠PA 1Q ，∴∠QA 1B 1＝∠PA 1N ，∵A 1Q ＝A 1P ，A 1B 1＝A 1N ，∴△QA 1B 1≌△PA 1N （SAS ），∴B 1Q ＝PN ，∴当PN 的值最小时， B 1Q 的值最小，在Rt △A 1B 1M 中，∵∠A 1B 1M ＝60°，A 1B 1＝8，∴A 1M ＝A 1B 1•sin60°＝∵∠MA 1C 1＝∠B 1A 1C 1−∠B 1A 1M ＝75°−30°＝45°，∴A 1C 1＝∴NC 1＝A 1C 1−A 1N＝8，在Rt △NHC 1，∵∠C 1＝45°，∴NH＝根据垂线段最短可知，当点P 与H 重合时，PN 的值最小，∴B 1Q的最小值为．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形以及垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．25．（1）抛物线的解析式为235y x x =-+，顶点坐标为311,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）下，114；（3）将原抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，理由见解析.【解析】【分析】（1）将点(1,3)M 和(3,5)N 代入抛物线解析式可求出a ，b ，进而得到抛物线解析式，将解析式化成顶点式可得顶点坐标；（2）根据平移规律进行解答；（3）根据AOB ∆是等腰直角三角形可得点B 的坐标为(0,2)或(0,2)-，分情况讨论，分别求出抛物线解析式，进而判断平移方式即可.【详解】解：（1）由题意，得539355a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得13a b =⎧⎨=-⎩， ∴该抛物线的解析式为235y x x =-+，∵235y x x =-+231124x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴顶点坐标为311,24⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）∵当顶点坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，抛物线与x 轴只有一个公共点， ∴需要把该抛物线向下平移114个单位长度； （3）AOB ∆是等腰直角三角形，(2,0)A -，点B 在y 轴上，∴点B 的坐标为(0,2)或(0,2)-，设平移后的抛物线的解析式为2y x mx n =++， ①当抛物线过点(2,0)A -，(0,2)B 时，有2420n m n =⎧⎨-+=⎩， 解得32m n =⎧⎨=⎩， ∴平移后的抛物线的解析式223132()24y x x x =++=+-， ∴该抛物线的顶点坐标为31(,)24--， 原抛物线的顶点坐标为311(,)24， ∴将原抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可得到符合条件的抛物线；②当抛物线过(2,0)A -，(0,2)B -时，有2420n m n =-⎧⎨-+=⎩， 解得12m n =⎧⎨=-⎩， ∴平移后的抛物线的解析式为22192()24y x x x =+-=+-， ∴该抛物线的顶点坐标为19(,)24--， 原抛物线的顶点坐标为311(,)24， ∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可得到符合条件的抛物线.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及的知识点有待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质和分类讨论等，注意抛物线顶点坐标的求法，难度不大．。
初中数学天津市和平区九年级上数学期中考模拟试题及答案.docx
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:下列图形中.可以看做是中心对称图形的是( )试题2:已知点A(a，b)与点B(2，2)是关于原点0的对称点，则（）A. a=-2，b=-2B.a=-2，b=2C. a=2，b=-2 D.a=2，b=2试题3:用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0，下列变开征确的是( )A. (x-6)2=-4+36B. (x-6)2=4+36 C(x-3)2=-4+9 D. (x-3)2=4+9试题4:方程的根是( )A. B. C. D.评卷人得分试题5:某学校准备食建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为xm.则可列方程为( )A.x (x-10)=200B. 2x+2 (x-10)=200C. x(x+10)=200 D.2x+2 (x+10)=200试题6:对抛物线y= -x2+2x-3而言，下列结论正确的是( )A.与x轴由两个公共点B.与y轴的交点坐标是(0，3〕C.当x<1时y随x的增大而增大;当x>1时y随x的增大而减小D.开口向上试题7:将抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是( )A. y=5 (x+2) 2-3B.y=5 (x+2)2+3C. y=5 (x-2) 2-3D.y=5 (x-2) 2+3试题8:二次函数y=ace+bx+c图像上部分点的坐标如下表所示则该函数的顶点坐标为( )A.(-3，-3)B.(-2.-2)C.(-1，-3) D.(0,-6〕试题9:如图，小华同学设计了一个圆的直径的测量器，标有刻度的两把尺子OA, OB在O点被钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上,尺子OA与圆交于点F,尺子OB与圆交于点E,读得OF为8个单位长度.,OE为6个单位长度.则圆的直径为( )A. 25个单位长度B. 14个单位长度C. 12个单位长度D. 10个单位长度试题10:如图,AB是圆0的直径,点D,点E在圆O上,且AD=DE,AE与BD交于点C,则图中与∠BCE相等的角有( )A.2个B.3个C. 4个 D. 5个试题11:已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数)，把该函数的图像沿y轴平移后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，则应把该函数的图像（）A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位试题12:已知二次函数y=x2-x+a(a>0)，当自变量x取m时，其对应的函数值小于0，那么当自变量x取m-1时，其对应的函数值（）A.小于0B.大于0C.等于0D.与0的大小关系不石龟定试题13:如图，AB是圆O的弦,若∠A=350，则∠AOB的大小为度.试题14:如图,点D为AC上一点,点O为AB上一点.AD=DO,以O为圆心,OD长为半径作圆，交AC于另一点E,交AB于点F，G，连接EF，若∠BAC=220，则∠EFG的大小为 (度)试题15:抛物线y=x2+3x+2不经过第象限.试题16:关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值:a= ;b= .试题17:如图,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕直角顶点BB顺时针旋转900到BP/,已知∠AP/B=1350，P/A:P/C=1:3，则PB:P/A的值为 .试题18:在RtABC中,∠ACB=900,BAC=300，BC=6.(I)如图①,将线段CA绕点C顺匡件十旋转300，所得到与AB交于点M，则CM的长= ;(II)如图②,点D是边AC上一点D且AD=,将线段AD绕点A旋转，得线段AD/,点F始终为BD/的中点,则将线段AD绕点A逆时针旋转度时,线段CF的长最大,最大值为。
2020-2021学年天津市和平区九年级上学期期中数学试卷 (Word版 含解析)
2020-2021学年天津市和平区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）点M（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（3，﹣2）3．（3分）下列方程有实数根的是（）A．（3x﹣2）（2x+2）＝0B．（x﹣3）2+3＝0C．3x2﹣x+1＝0D．3x2+x+1＝04．（3分）已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小5．（3分）如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE ≌△ABF，则可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE（）A．顺时针旋转90°后得到的图形B．顺时针旋转45°后得到的图形C．逆时针旋转90°后得到的图形D．逆时针旋转45°后得到的图形6．（3分）如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE 的长为（）A．4B．6C．8D．107．（3分）把抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+1B．y＝（x+3）2﹣1C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x+1）2+3 8．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝6009．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜0 10．（3分）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b+＝（）A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m11．（3分）如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（）A．B．C．D．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）一元二次方程x2+x＝0的两个实数根中较大的根是．14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过点（1，﹣1），则a的值为．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上的两个点，OC∥AG．若∠GAC＝28°，则∠BOC的大小＝度．16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（5，0），则这条抛物线的对称轴是直线x＝．17．（3分）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA+PC的最小值为．18．（3分）已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．（Ⅰ）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是．（Ⅱ）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′，在点P移动过程中，BP′长度的最小值是．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解下列方程：（Ⅰ）x2﹣2x+1＝25；（Ⅱ）2x2﹣5x+1＝0．20．（8分）已知AB是⊙O的直径．（Ⅰ）如图①，＝＝，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（Ⅱ）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF 的大小．21．（10分）如图，在⊙O中，点P为弧AB的中点，弦AD，PC互相垂直，垂足为M．BC分别与AD，PD相交于点E，N．（Ⅰ）求∠DNE的大小；（Ⅱ）求证EN＝BN．22．（10分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，求平均每次降价的百分率．23．（10分）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．（Ⅰ）当销售价为每件60元时，月销量为件，月销售利润为元；（Ⅱ）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（Ⅲ）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．24．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，把边AC绕点A逆时针旋转，点C的对应点D落在边AB上．（Ⅰ）如图①，则线段AD的长为，旋转角的大小为，点D到直线BC 的距离为．（Ⅱ）点P是直线BC上的一个动点，连接AP，把△ACP绕点A逆时针旋转，使边AC 与AD重合，得△ADQ，点Q与点P是对应点．①如图②，当点P在边CB上，且CP＝3时，求PQ的长；②当点P在线段BC的延长线上，且点Q到直线BC的距离为时，求CP的长（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：y＝x2+4x+3的顶点为M，与y轴交点为N．（Ⅰ）求点M，N的坐标；（Ⅱ）已知点P（4，2），将抛物线C向上平移得抛物线C′，点N平移后的对应点为N′，且PN′＝ON′，求抛物线C'的解析式；（Ⅲ）如图，直线y＝﹣2x+9与y轴交于点A，与直线OM交于点B．现将抛物线C平移，保持顶点在直线OB上，若平移后抛物线与射线AB（含端点A）只有一个公共点，求它的顶点横坐标h的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．2．（3分）点M（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（3，﹣2）解：∵点M（﹣2，3）关于原点对称，∴点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．故选：B．3．（3分）下列方程有实数根的是（）A．（3x﹣2）（2x+2）＝0B．（x﹣3）2+3＝0C．3x2﹣x+1＝0D．3x2+x+1＝0解：A、解方程（3x﹣2）（2x+2）＝0，得x1＝，x2＝﹣1，所以方程有两个实数根；B、方程（x﹣3）2+3＝0变形得（x﹣3）2＝﹣3，所以方程没有实数根；C、△＝（﹣1）2﹣4×（﹣3）×1＜0，方程没有实数根；D、△＝12﹣4×3×1＜0，方程没有实数根，．故选：A．4．（3分）已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．5．（3分）如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE ≌△ABF，则可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE（）A．顺时针旋转90°后得到的图形B．顺时针旋转45°后得到的图形C．逆时针旋转90°后得到的图形D．逆时针旋转45°后得到的图形解：∵E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE≌△ABF，∴可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°后得到的图形，故选：A．6．（3分）如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE 的长为（）A．4B．6C．8D．10解：连接OC，∵AB＝20，∴OC＝OA＝OB＝10，∵AB⊥CD，AB过O，∴CE＝DE＝CD＝8，在Rt△OCE中，由勾股定理得：OE＝＝6，∴BE＝10﹣6＝4，故选：A．7．（3分）把抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+1B．y＝（x+3）2﹣1C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x+1）2+3解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+3向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3．故选：C．8．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜0解：∵由图象知，开口向下，∴a＜0，故A错误；∵对称轴在y轴的左侧，∴b＜0，故B错误；由图象知，与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故C错误；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故D正确；故选：D．10．（3分）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b+＝（）A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m解：∵x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m，∴＝m，解得：b+＝﹣2m，故选：D．11．（3分）如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（）A．B．C．D．解：如图作PH⊥BC于H．∵＝，∴∠ACD＝∠BCD，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴PA⊥AC，∵PH⊥BC，∴PA＝PH，设PA＝PH＝x，∵PC＝PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCH，∴AC＝CH＝3，∵BC＝＝5，∴BH＝2，在Rt△PBH中，∵PB2＝PH2+BH2，∴（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，∴PC＝＝，故选：D．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝12，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故A错误．B、正确．理由：∵M1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c＝b2，对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16＝b4﹣16＝（b4﹣64）＝（b2+8）（b2﹣8）＜0，∴M3＝0，∴选项B正确，C、错误．由M1＝0，M2＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c＝＝18，此时c2﹣16＞0．故C错误．D、由M1＝0，M2＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故D错误．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）一元二次方程x2+x＝0的两个实数根中较大的根是0．解：∵x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x＝0或x+1＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，∴原方程较大的根为0．故答案为：0．14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过点（1，﹣1），则a的值为1．解：把（1，﹣1）代入函数解析式，得a﹣2＝﹣1，解得a＝1．故答案是1．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上的两个点，OC∥AG．若∠GAC＝28°，则∠BOC的大小＝56度．解：∵OC∥AG，∠GAC＝28°，∴∠OCA＝∠GAC＝28°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA＝28°，∵由圆周角定理得：∠BAC＝∠BOC，∴∠BOC＝2∠BAC＝56°，故答案为：56．16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（5，0），则这条抛物线的对称轴是直线x＝2．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点的坐标是（﹣1，0），（5，0），∴这条抛物线的对称轴是直线x＝（5﹣1）＝2，故答案为2．17．（3分）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA+PC的最小值为21．解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，∴OE＝＝＝9，OF＝＝＝12，∴CH＝OE+OF＝9+12＝21，BH＝BE+EH＝BE+CF＝12+9＝21，在Rt△BCH中，根据勾股定理得到BC＝＝＝21，即PA+PC 的最小值为21．故答案为21．18．（3分）已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．（Ⅰ）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是3．（Ⅱ）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′，在点P移动过程中，BP′长度的最小值是4﹣1．解：（Ⅰ）∵点P在⊙B上移动，∴当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，最小值＝AB﹣PB＝4﹣1＝3，故答案为3；（Ⅱ）如图，连接BP，由旋转得：AP＝AP′，∠PAP′＝90°，∴∠PAB+∠BAP′＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，∴∠PAB＝∠DAP′，在△P'AD和△PAB中，∴△P′AD≌△PAB（SAS），∴P′D＝PB＝1，∴点P在以点D为圆心，DP'为半径的圆上，∴当P′在对角线BD上时，BP′最小，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，∴BD＝＝＝4，∴BP′＝BD﹣P′D＝4﹣1，即BP′长度的最小值为4﹣1．故答案为：4﹣1．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解下列方程：（Ⅰ）x2﹣2x+1＝25；（Ⅱ）2x2﹣5x+1＝0．解：（Ⅰ）∵x2﹣2x+1＝25，∴（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝±5，即x1＝6，x2＝﹣4；（Ⅱ）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，∴△＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．20．（8分）已知AB是⊙O的直径．（Ⅰ）如图①，＝＝，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（Ⅱ）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF 的大小．解：（I）∵＝＝，∠MON＝35°，∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；（II）连接BF，∵AD⊥直线l，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE＝110°，∵A、E、F、B四点共圆，∴∠ABF+∠AEF＝180°，∴∠ABF＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．21．（10分）如图，在⊙O中，点P为弧AB的中点，弦AD，PC互相垂直，垂足为M．BC 分别与AD，PD相交于点E，N．（Ⅰ）求∠DNE的大小；（Ⅱ）求证EN＝BN．【解答】（I）解：∵点P为弧AB的中点，∴＝，∴∠C＝∠NDE，∵AD⊥CP，∴∠EMC＝90°，∵∠CEM＝∠DEN，∴∠DNE＝180°﹣∠NDE﹣∠DEN＝180°﹣∠C﹣∠CEM＝∠EMC＝90°；（II）证明：∵∠DNE＝90°，∴∠DNE＝∠DNB＝90°，∵＝，∴∠EDN＝∠BDN，在△EDN和△BDN中，，∴△EDN≌△BDN（ASA），∴EN＝BN．22．（10分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，求平均每次降价的百分率．解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，125（1﹣x）2＝80，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率是20%．23．（10分）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．（Ⅰ）当销售价为每件60元时，月销量为400件，月销售利润为8000元；（Ⅱ）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（Ⅲ）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．解：（Ⅰ）当销售价为每件60元时，月销量为500﹣10×（60﹣50）＝400（件），月销售利润为400×（60﹣40）＝8000（元），（Ⅱ）y＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，（50≤x≤100）；（Ⅲ）w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵﹣10＜0，∴当x＝70时，w取得最大值9000，故销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．24．（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，把边AC绕点A逆时针旋转，点C的对应点D落在边AB上．（Ⅰ）如图①，则线段AD的长为4，旋转角的大小为60°，点D到直线BC的距离为2．（Ⅱ）点P是直线BC上的一个动点，连接AP，把△ACP绕点A逆时针旋转，使边AC 与AD重合，得△ADQ，点Q与点P是对应点．①如图②，当点P在边CB上，且CP＝3时，求PQ的长；②当点P在线段BC的延长线上，且点Q到直线BC的距离为时，求CP的长（直接写出结果即可）．解：（Ⅰ）由旋转的性质得：AD＝AC＝4，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝8，∠CAB＝90°﹣30°＝60°，即旋转角的大小为60°，过D作DF⊥BC于F，如图①所示：∵BD＝AB﹣AD＝4，∠B＝30°，∴DF＝BD＝2，即点D到直线BC的距离为2，（Ⅱ）①如图②所示：∵把△ACP绕点A逆时针旋转，使边AC与AD重合，∴△ADQ≌△ACP，∴AQ＝AP，∠PAQ＝∠CAD＝60°，∴△PAQ是等边三角形，∴PQ＝AP，在Rt△ACP中，AP＝＝＝，∴PQ＝；②分两种情况：a、Q在△ABC内部，过Q作QH⊥BC于H，延长HQ交AB于M，如图③所示：则HM∥AC，∴∠DMQ＝∠CAB＝60°，由旋转的性质得：△ADQ≌△ACP，∴QD＝PC，∠ADQ＝∠ACP＝90°，∴∠DQM＝90°﹣60°＝30°，∴MQ＝2DM，QD＝DM，设QD＝PC＝x，则DM＝x，MQ＝x，∵HM∥AC，∴△BMH∽△BAC，∴＝，即＝，解得：x＝，即CP的长为；b、Q在△ABC外部，过Q作QH⊥BC于H，延长QH交AB于M，如图④所示：则HM∥AC，同上得：MQ＝2DM，QD＝DM，设QD＝PC＝x，则DM＝x，MQ＝x，∵HM∥AC，∴△BMH∽△BAC，∴＝，即＝，解得：x＝，即CP的长为；综上所述，CP的长为或．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：y＝x2+4x+3的顶点为M，与y轴交点为N．（Ⅰ）求点M，N的坐标；（Ⅱ）已知点P（4，2），将抛物线C向上平移得抛物线C′，点N平移后的对应点为N′，且PN′＝ON′，求抛物线C'的解析式；（Ⅲ）如图，直线y＝﹣2x+9与y轴交于点A，与直线OM交于点B．现将抛物线C平移，保持顶点在直线OB上，若平移后抛物线与射线AB（含端点A）只有一个公共点，求它的顶点横坐标h的取值范围．解：（Ⅰ）对于y＝x2+4x+3，令x＝0，则y＝3，故点N（0，3），∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，故点M的坐标为（﹣2，﹣1）；（Ⅱ）设平移后抛物线的表达式为y＝x2+4x+m，则点N′（0，m），由PN′＝ON′得，42+（m﹣2）2＝m2，解得m＝5，故C′抛物线的表达式为y＝x2+4x+5；（Ⅲ）∵直线y＝﹣2x+9①与y轴交于点A，则点A（0，9），设直线OB的表达式为y＝kx，将点M的坐标代入上式得：﹣1＝﹣2k，解得k＝，故直线OB的表达式为y＝x，设平移后的抛物线为抛物线C″，其顶点为R，则设点R（h，h），则C″的表达式为y＝（x﹣h）2+h②，当抛物线C″过点A时，将点A的坐标代入上式得：9＝（0﹣h）2+h，解得h＝，故当≤h＜时，平移后抛物线与射线AB（含端点A）只有一个公共点，当抛物线C″与直线AB只有一个公共点时，联立①②并整理得：x2+（﹣2h+2）x+h﹣9＝0，则△＝（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）＝0，解得h＝4，当h＝4时，x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9＝0，即为x2﹣6x+9＝0，解得x＝3，故唯一交点的坐标为（3，3），该点在射线AB上，故顶点横坐标h的取值范围为≤h＜或h＝4．。
天津市和平区2019-2020学年中考数学综合测试试题
2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A ．三棱柱B ．三棱锥C ．圆柱D ．圆锥2．如图，△ABC 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝55，那么点C 的位置可以在（ ）A ．点C 1处B ．点C 2处 C ．点C 3处D ．点C 4处3．点P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（﹣2，1）4．下列计算正确的是（ ） A ．235+=B ．a a a +=222C ．(1)x y x xy +=+D ．236()mn mn =5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝23，则四边形MABN 的面积是（ ）A ．63B ．123C ．183D ．2436．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（ ）A ．b 2＞4acB ．ax 2+bx+c≤6C ．若点（2，m ）（5，n ）在抛物线上，则m ＞nD ．8a+b=07．小亮家与姥姥家相距24 km ，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是( )A ．小亮骑自行车的平均速度是12 km/hB ．妈妈比小亮提前0.5 h 到达姥姥家C ．妈妈在距家12 km 处追上小亮D ．9：30妈妈追上小亮8．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>；230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④9．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）A ．CDACB ．BCABC ．BDBCD ．ADAC10．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是 A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =-二、填空题（本题包括8个小题） 11．若点A(1，m)在反比例函数y ＝3x的图象上，则m 的值为________． 12．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列结论：abc 0<①，2a b 0+=②，a b c 0-+=③；24ac b 0->④，4a 2b c 0++>⑤，其中正确的结论序号是______13．如图，点A，B是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=__．14．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是_____（用含n的代数式表示）15．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％，那么估计盒子中小球的个数是_______．16．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是_____．17．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．184= .三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．求每张门票原定的票价；根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．20．（6分）如图，已知AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，60D ∠=且6AB =，过O 点作OE AC ⊥，垂足为E ．()1求OE 的长； ()2若OE 的延长线交O 于点F ，求弦AF 、AC 和弧CF 围成的图形（阴影部分）的面积S ．21．（6分）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下： 命中环数6 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 0 1 3 1 0 乙命中相应环数的次数221（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是_____环，乙命中环数的众数是______环； （2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会变小．（填“变大”、“变小”或“不变”） 22．（8分）把0，1，2三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字．放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字．请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率．23．（8分）如图，点A 在∠MON 的边ON 上，AB ⊥OM 于B ，AE=OB ，DE ⊥ON 于E ，AD=AO ，DC ⊥OM 于C ．求证：四边形ABCD 是矩形；若DE=3，OE=9，求AB 、AD 的长.24．（10分）列方程或方程组解应用题：去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度． 25．（10分）先化简分式： （a -3+4+3a a ）÷-2+3a a ∙+3+2a a ，再从-35-3、2、-2中选一个你喜欢的数作为a 的值代入求值．26．（12分）在直角坐标系中，过原点O 及点A （8，0），C （0，6）作矩形OABC 、连结OB ，点D 为OB的中点，点E 是线段AB 上的动点，连结DE ，作DF ⊥DE ，交OA 于点F ，连结EF ．已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t 秒．如图1，当t=3时，求DF 的长．如图2，当点E 在线段AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan ∠DEF 的值．连结AD ，当AD 将△DEF 分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t 的值．参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】试题分析：观察可得，主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，所以这个几何体是三棱柱，故选A ．考点：由三视图判定几何体. 2．D 【解析】 如图：∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin 5A =, ∴545DC AC AC ==,∴5∵在RT △AD 4C 中，D 44C =,AD=8, ∴A 4C 228445+=故答案为D. 3．C 【解析】关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）， 故选C ．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键. 关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数； 关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数. 4．C 【解析】解：A 、不是同类二次根式，不能合并，故A 错误； B ．23a a a += ，故B 错误；C ．1x y x xy +=+（） ，正确； D ．2326mn m n =（），故D 错误．故选C ． 5．C 【解析】连接CD ，交MN 于E ，∵将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处， ∴MN ⊥CD ，且CE=DE ．∴CD=2CE ．∵MN ∥AB ，∴CD ⊥AB ．∴△CMN ∽△CAB ．∴2CMN CAB S CE 1S CD 4∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． ∵在△CMN 中，∠C=90°，MC=6，NC=3∴CMN 11S ?CM CN 62?3?6?322∆=⋅=⨯⨯=∴CAB CMN S 4S 46?3?24?3∆∆==⨯=．∴CAB CMN MABN S S S 24?36?318?3∆∆=-==四边形C ． 6．C 【解析】观察可得，抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac- ，即24b ac > ，选项A 正确；抛物线开口向下且顶点为（4，6）可得抛物线的最大值为6，即26ax bx c ++≤，选项B 正确；由题意可知抛物线的对称轴为x=4，因为4-2=2，5-4=1，且1<2，所以可得m<n ，选项C 错误； 因对称轴42bx a=-= ，即可得8a+b=0，选项D 正确，故选C.点睛：本题主要考查了二次函数y=ax 2+bx+c 图象与系数的关系，解决本题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合思想解决问题，本题难度适中． 7．D 【解析】 【分析】根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，进而得到小亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答． 【详解】解：A 、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时， ∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h ），故正确；B 、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时）， ∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；C 、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时， ∴小亮走的路程为：1×12=12km ， ∴妈妈在距家12km 出追上小亮，故正确；D 、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误； 故选D ． 【点睛】本题考查函数图像的应用，从图像中读取关键信息是解题的关键. 8．D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
天津市和平区2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题(5)含解析
天津市和平区2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（5）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()A．32OBCD=B．32αβ=C．1232SS=D．1232CC=2．下列运算中，正确的是（）A．（ab2）2=a2b4B．a2+a2=2a4C．a2•a3=a6D．a6÷a3=a23．若22)30x y-+-=（，则x-y的正确结果是（）A．－１B．１C．-5 D．54．已知二次函数()2y ax bx c a0=++≠的图象如图所示，则下列结论：①ac>0；②a-b+c<0；③当x0<时，y0<；2a b0+=④，其中错误的结论有()A．②③B．②④C．①③D．①④5．如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段CD的长度6．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（12）﹣1=﹣2 C16=±4 D．|﹣6|=67．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．正五边形B．平行四边形C．矩形D．等边三角形8．一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（）A．16B．13C．12D．239．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）A．B．C． D．10．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是()A．50°B．70°C．80°D．110°11．单项式2a3b的次数是（）A．2 B．3 C．4 D．512．如图，O为坐标原点，四边彤OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，删△AOF的面积等于（）A．10 B．9 C．8 D．6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．从长度分别是3，4，5的三条线段中随机抽出一条，与长为2，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是_______．14．若a﹣3有平方根，则实数a的取值范围是_____．个，则当x=_________元，一天出售该种15．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8)x手工艺品的总利润y最大．16．在函数y=的表达式中，自变量x的取值范围是．17．正方形EFGH的顶点在边长为3的正方形ABCD边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y 与x的函数关系式为______．18．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣5）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA、PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴（如图2所示），交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．20．（6分）A粮仓和B粮仓分别库存粮食12吨和6吨，现决定支援给C市10吨和D市8吨．已知从A 粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为300元和500元．设B粮仓运往C市粮食x吨，求总运费W（元）关于x的函数关系式．（写出自变量的取值范围）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？21．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．求∠ABC 的度数；求证：AE是⊙O的切线；当BC=4时，求劣弧AC的长．22．（8分）如图①是一副创意卡通圆规，图②是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10cm.(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径(结果精确到0.01cm)；(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到0.01cm，参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．求证：DE是⊙O的切线；若AD＝16，DE＝10，求BC的长．24．（10分）徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？25．（10分）如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，圆O的半径为3，并且∠CAB=30°，求AD的长．26．（12分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x．请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．27．（12分）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°．（1）如图1，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的度数；（2）如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；=，所以B选项不成立；B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβC选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.故选D.2．A【解析】【分析】直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出答案.【详解】解：A、（ab2）2=a2b4，故此选项正确；B、a2+a2=2a2，故此选项错误；C、a2•a3=a5，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项错误；故选：A.【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 3．A【解析】由题意，得x-2=0，1-y=0，解得x=2，y=1．x-y=2-1=-1，故选：A ．4．C【解析】【分析】①根据图象的开口方向，可得a 的范围，根据图象与y 轴的交点，可得c 的范围，根据有理数的乘法，可得答案；②根据自变量为-1时函数值，可得答案；③根据观察函数图象的纵坐标，可得答案；④根据对称轴，整理可得答案．【详解】图象开口向下，得a ＜0，图象与y 轴的交点在x 轴的上方，得c ＞0，ac ＜，故①错误；②由图象，得x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，故②正确；③由图象，得图象与y 轴的交点在x 轴的上方，即当x ＜0时，y 有大于零的部分，故③错误；④由对称轴，得x=-2b a=1，解得b=-2a ， 2a+b=0故④正确；故选D ．【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．5．A【解析】分析：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案.详解：∵a∥b，AP⊥BC∴两平行直线a、b之间的距离是AP的长度∴根据平行线间的距离相等∴直线a与直线b之间的距离AP的长度故选A.点睛：本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握平行线之间距离的定义.6．D【解析】【分析】运用正确的运算法则即可得出答案.【详解】A、应该为a5，错误；B、为2，错误；C、为4，错误；D、正确，所以答案选择D项.【点睛】本题考查了四则运算法则，熟悉掌握是解决本题的关键.7．C【解析】分析：根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．详解：A. 正五边形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.B. 平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误.C. 矩形，既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确.D. 等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.故选C.点睛：本题考查了对中心对称图形和轴对称图形的判断，我们要熟练掌握一些常见图形属于哪一类图形，这样在实际解题时，可以加快解题速度，也可以提高正确率.8．B【解析】【分析】直接得出两位数是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案．【详解】∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，十位数为3，则两位数是3的倍数的个数为2.∴得到的两位数是3的倍数的概率为：26=13.故答案选：B.【点睛】本题考查了概率的知识点，解题的关键是根据题意找出两位数是3的倍数的个数再运用概率公式解答即可. 9．A【解析】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离；图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离．故选A．10．C【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD是∠BAC的平分线，进而可得∠BAC的度数，再根据补角定义可得答案．【详解】因为a∥b，所以∠1=∠BAD=50°，因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAC=2∠BAD=100°，所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°.故本题正确答案为C.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．11．C【解析】分析：根据单项式的性质即可求出答案．详解：该单项式的次数为：3+1=4故选C．点睛：本题考查单项式的次数定义，解题的关键是熟练运用单项式的次数定义，本题属于基础题型．12．A【解析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图所示．设OA=a，BF=b，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM==a，∴点A的坐标为（a，a）．∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a×a=a2=12，解得：a=5，或a=﹣5（舍去）．∴AM=8，OM=1．∵四边形OACB是菱形，∴OA=OB=10，BC∥OA，∴∠FBN=∠AOB．在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，∴FN=BF•sin∠FBN=b，BN==b，∴点F的坐标为（10+b，b）．∵点F在反比例函数y=的图象上，∴（10+b）×b=12，S △AOF =S △AOM +S 梯形AMNF ﹣S △OFN =S 梯形AMNF =10故选A ．“点睛”本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S △AOF =S 菱形OBCA .二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．23【解析】共有3种等可能的结果，它们是：3，2，3；4, 2, 3；5, 2, 3；其中三条线段能够成三角形的结果为2，所以三条线段能构成三角形的概率=23 .故答案为23. 14．a≥1．【解析】【分析】根据平方根的定义列出不等式计算即可.【详解】根据题意，得30.a -≥解得： 3.a ≥故答案为 3.a ≥【点睛】考查平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 15．1【解析】先根据题意得出总利润y 与x 的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答． 解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8-x ）个，∴y=（8-x ）x ，即y=-x 2+8x ，∴当x=- b 82a 2-=-=1时，y 取得最大值． 故答案为：1．16．x≥1．【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】根据题意得，x ﹣1≥0，。
天津市和平区2019-2020学年九年级上期末数学检测试卷(含答案)
2019-2020学年天津市和平区九年级（上）期末测试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）A．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到红球比摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大2．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（）A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：10003．如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=10°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°4．对于二次函数y=2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=﹣15．将抛物线y=x2﹣2x+2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（﹣1，4）C．（3，4） D．（4，3）6．一个不透明的袋子装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（ ） A ．2B ．4C ．3D ．128．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD ，则点B 的对应点D 的坐标为（ ）A ．（3，3）B ．（1，4）C ．（3，1）D ．（4，1）9．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点M ，交⊙O 于点D ．则图中相似三角形共有（ ）A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对10．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为，CD=4，则弦AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．211．如图，点A 1、A 2、B 1、B 2、C 1、C 2分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的三等分点，若△ABC的周长为I ，则六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的周长为（ ）A ．2IB ． IC ． ID ． I12．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c ，则P 的取值范围是（ ）A ．﹣3＜P ＜﹣1B ．﹣6＜P ＜0C ．﹣3＜P ＜0D ．﹣6＜P ＜﹣3二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．抛物线y=ax 2+bx+3经过点（2，4），则代数式4a+2b 的值为 ．14．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 ．15．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=50°，则∠BAC= ．16．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数比白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，则从袋中摸出一个球是白球的概率是．17．如图，点D、E、F分别在正三角形ABC的三边上，且△DEF也是正三角形，若△ABC 的边长为a，△DEF的边长为b．则△AEF的内切圆半径为．18．已知△ABC，△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点．（Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为；（Ⅱ）如图②，直线AG，FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是．三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．19．（1）解方程（x﹣2）（x﹣3）=0；（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，求m的值取值范围．20．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OC、OA、AC．（1）如图①，求∠OCA的度数；（2）如图②，连接OB、OB与AC相交于点E，若∠COB=90°，OC=2，求BC的长和阴影部分的面积．21．已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P．（1）如图①，若∠COB=2∠PCB，求证：直线PC是⊙O的切线；（2）如图②，若点M是AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC=36，求BM的值．22．如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长25米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的长为40米，若要围成的养鸡场的面积为180平方米，求养鸡场的宽各为多少米，设与墙平行的一边长为x米．（1）填空：（用含x的代数式表示）另一边长为米；（2）列出方程，并求出问题的解．23．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED 的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）根据题意，填空：①顶点C的坐标为；②B点的坐标为；（2）求抛物线的解析式；（3）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当点C到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？24．在△ABC 中，∠ACB=30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线时，求∠CC 1A 1的度数； （2）已知AB=6，BC=8，①如图2，连接AA 1，CC 1，若△CBC 1的面积为16，求△ABA 1的面积；②如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值．25．将直角边长为6的等腰直角△AOC 放在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B （﹣3，0）． （1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）若点P （t ，t ）在抛物线上，则称点P 为抛物线的不动点，将（1）中的抛物线进行平移，平移后，该抛物线只有一个不动点，且顶点在直线y=2x ﹣上，求此时抛物线的解析式．2019-2020学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）A．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到红球比摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大【考点】可能性的大小；随机事件．【分析】利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．【解答】解：A．摸到红球是随机事件，故A选项错误；B．摸到白球是随机事件，故B选项错误；C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故C选项错误；D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故D选项正确；故选：D．2．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（）A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：1000【考点】比例线段．【分析】先把2000m化为200000cm，然后根据比例尺的定义求解．【解答】解：2000m=200000cm，所以这幅地图的比例尺为2：200000=1：100000．故选B．3．如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=10°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=10°，∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB=45°﹣10°=35°，故选C．4．对于二次函数y=2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=﹣1【考点】二次函数的性质．【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再根据二次函数的性质进行解答．【解答】解：二次函数y=2（x+1）（x﹣3）可化为y=2（x﹣1）2﹣8的形式，A、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项错误；C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误．故选C．5．将抛物线y=x2﹣2x+2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（﹣1，4）C．（3，4） D．（4，3）【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为y=（x﹣4）2+3，∴顶点坐标为（4，3），故选D．6．一个不透明的袋子装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球所标数字之和为6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球所标数字之和为6的有：（1，5），（3，3），（5，1），∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率是：=．故选C．7．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（）A．2B．4 C．3 D．12【考点】正多边形和圆．【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°，∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为24，∴AB=4，则AM=2，因而OM=OA•cos30°=2．正六边形的边心距是2．故选A．8．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为（）A．（3，3） B．（1，4） C．（3，1） D．（4，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，进而得出D点坐标．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，∴点D的坐标为：（4，1）．故选：D．9．如图，△ABC内接于⊙O，AD是∠BAC的平分线，交BC于点M，交⊙O于点D．则图中相似三角形共有（）A．2对B．4对 C．6对 D．8对【考点】相似三角形的判定；圆周角定理．【分析】相似三角形的判定问题，只要两个对应角相等，两个三角形就是相似三角形．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD=∠DBC=∠DCB，又∵∠BDA=∠MDB，∠CDA=∠MDC∴△ABD∽△BDM；△ADC∽△CDM；∵∠CAD=∠CBD，∠AMC=∠BMD，∴△AMC∽△BMD，∵∠BAD=∠MCD，∠AMB=∠CMD，∴△ABM∽△CDM，∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DAC，∴△ABM∽△ADC，∵∠ACB=∠ADB，∠BAD=∠CAD，∴△ACM∽△ADB，∴共有六对相似三角形，故选：C．10．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为，CD=4，则弦AC的长为（）A．2B．3 C．4 D．2【考点】切线的性质；垂径定理．【分析】首先连接AO并延长，交CD于点E，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，根据切线的性质，可得AE⊥AB，又由CD∥AB，可得AE⊥CD，然后由垂径定理与勾股定理，求得OE的长，继而求得AC的长．【解答】解：连接AO并延长，交CD于点E，连接OC，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴EA⊥AB，∵CD∥AB，∠CEA=90°，∴AE⊥CD，∴CE=CD=×4=2，∵在Rt△OCE中，OE==，∴AE=OA+OE=4，∴在Rt△ACE中，AC==2．故选A．11．如图，点A 1、A 2、B 1、B 2、C 1、C 2分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的三等分点，若△ABC 的周长为I ，则六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的周长为（ ）A ．2IB ． IC ． ID ． I【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据题意可知△ABC ∽△AC 1B 2，△ABC ∽△C 2BA 1，△ABC ∽△B 1A 2C ，推出C 1B 2：BC=1：3，C 2A 1：AC=1：3，B 1A 2：AB=1：3，推出六边形的周长为△ABC 的周长L 的． 【解答】解：∵点A 1、A 2，B 1、B 2，C 1、C 2分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的三等分点， ∴△ABC ∽△AC 1B 2，△ABC ∽△C 2BA 1，△ABC ∽△B 1A 2C ， ∴C 1B 2：BC=1：3，C 2A 1：AC=1：3，B 1A 2：AB=1：3，∴六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的周长=（AB+BC+CA ）， ∵△ABC 的周长为I ，∴六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的周长=I ． 故选：B ．12．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c ，则P 的取值范围是（ ）A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），∴0=a﹣b+c，﹣3=c，∴b=a﹣3，∵当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6，∵顶点在第四象限，a＞0，∴b=a﹣3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜P＜0．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．抛物线y=ax2+bx+3经过点（2，4），则代数式4a+2b的值为 1 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把点（2，4）代入函数解析式即可求出4a+2b的值．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+3经过点（2，4），∴4a+2b+3=4，∴4a+2b=1，故答案为1．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为 2 ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．【解答】解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，∴△ACB∽△AED，又A′为CE的中点，∴=，即=，∴ED=2．故答案为：2．15．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BAC= 25°．【考点】切线的性质．【分析】连接OB，根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得到∠AOB=180°﹣∠P=130°，再根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠BAC的度数．【解答】解：连接OB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO=130°，∵OA=OB，∴∠BAC=25°．16．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数比白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，则从袋中摸出一个球是白球的概率是．【考点】概率公式．【分析】根据红、黄、白三种颜色球共有的个数乘以红球的概率可得红球的个数，再设白球有x个，得出黄球有（2x﹣5）个，根据题意列出方程，求出白球的个数，再除以总的球数即可．【解答】解：根据题意得：红球的个数为：100×=30，设白球有x个，则黄球有（2x﹣5）个，根据题意得x+2x﹣5=100﹣30，解得x=25．所以摸出一个球是白球的概率P==，故答案为：．17．如图，点D、E、F分别在正三角形ABC的三边上，且△DEF也是正三角形，若△ABC的边长为a，△DEF的边长为b．则△AEF的内切圆半径为．【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质．【分析】欲求△AEF的内切圆半径，可以画出图形，然后利用题中已知条件，挖掘隐含条件求解．【解答】解：如图，由于△ABC，△DEF都为正三角形，∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；在△AEF和△CFD中，，∴△AEF≌△CFD（AAS）；同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE；∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．设M是△AEF的内心，MH⊥AE于H，则AH=（AE+AF﹣EF）=（a﹣b）；∵MA平分∠BAC，∴∠HAM=30°；∴HM=AH•tan30°=（a﹣b）•=（a﹣b）．故答案为：（a﹣b）．18．已知△ABC，△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点．（Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为2；（Ⅱ）如图②，直线AG，FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是2﹣2 ．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】（Ⅰ）如图①中，连接AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可解决问题．（Ⅱ）如图①中，连接AE、EC、CG．首先证明∠AMF=90°，在如图②中，当点M运动到BM⊥AC时，BM最短，由此即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）如图①中，连接AD，∵△ABC是等边三角形，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=2，∴AD===2，故答案为2．（Ⅱ）如图①中，连接AE、EC、CG．∵DE=DF=DC，∴△EFC是直角三角形，∴∠ECF=90°，∵∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE=∠GDC，在△ADE和△GDC中，，∴△ADE≌△GDC，∴AE=CG，∠DAE=∠DGC，∵DA=DG，∴∠DAG=∠DGA，∴∠GAE=∠AGC，∵AG=GA，∴△AGE≌△GAC，∴∠GAK=∠AGK，∴KA=KG，∵AC=EG，∴EK=KC，∴∠KEC=∠KCE，∵∠AKG=∠EKC，∴∠KAG=∠KCE，∴EC∥AG，∴∠AMF=∠ECF=90°，∴点M在以AC为直径的圆上运动，如图②中，当点M运动到BM⊥AC时，BM最短，∵OB=2，AO=OM=OC=2，∴BM 的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程． 19．（1）解方程（x ﹣2）（x ﹣3）=0；（2）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，求m 的值取值范围． 【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程，即可得出x 1=2，x 2=3；（2）根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵（x ﹣2）（x ﹣3）=0 ∴x ﹣2=0或x ﹣3=0， 解得：x 1=2，x 2=3．（2）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m ＞0， 解得：m ＜1．∴m 的值取值范围为m ＜1．20．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC=2∠D ，连接OC 、OA 、AC ．（1）如图①，求∠OCA的度数；（2）如图②，连接OB、OB与AC相交于点E，若∠COB=90°，OC=2，求BC的长和阴影部分的面积．【考点】圆内接四边形的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；（2）由∠COB为直角，然后利用S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC=2∠D，∴∠D+2∠D=180°，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°；（2）∵∠COB=3∠AOB，∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，∴∠AOB=30°，∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，在Rt△OCE中，OC=2，∴OE=OC•tan∠OCE=2•tan30°=2×=2，∴S△OEC =OE•OC=×2×2=2，∴S 扇形OBC ==3π，∴S阴影=S 扇形OBC ﹣S △OEC =3π﹣2．21．已知，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ． （1）如图①，若∠COB=2∠PCB ，求证：直线PC 是⊙O 的切线；（2）如图②，若点M 是AB 的中点，CM 交AB 于点N ，MN•MC=36，求BM 的值．【考点】切线的判定；圆周角定理．【分析】（1）利用半径OA=OC 可得∠COB=2∠A ，然后利用∠COB=2∠PCB 即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC ⊥CP ；故PC 是⊙O 的切线；（2）连接MA ，MB ，由圆周角定理可得∠ACM=∠BAM ，进而可得△AMC ∽△NMA ，故AM 2=MC•MN；等量代换可得MN•MC=BM 2=AM 2，代入数据即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵OA=OC ， ∴∠A=∠ACO ． ∴∠COB=2∠ACO ． 又∵∠COB=2∠PCB ， ∴∠ACO=∠PCB ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO+∠OCB=90°．∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC ⊥CP ． ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线．（2）解：连接MA、MB．（如图）∵点M是弧AB的中点，∴=，∴∠ACM=∠BAM．∵∠AMC=∠AMN，∴△AMC∽△NMA．∴．∴AM2=MC•MN．∵MC•MN=36，∴AM=6，∴BM=AM=6．22．如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长25米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的长为40米，若要围成的养鸡场的面积为180平方米，求养鸡场的宽各为多少米，设与墙平行的一边长为x米．（1）填空：（用含x的代数式表示）另一边长为米；（2）列出方程，并求出问题的解．【考点】一元二次方程的应用．【分析】首先设平行于墙的一边为x 米，则另一边长为米，然后根据矩形的面积=长×宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为180m 2，可得方程，解方程即可．【解答】解：（1）设与墙平行的一边长为x 米，另一边长为米，故答案是：；（2）设平行于墙的一边为x 米，则另一边长为米，根据题意得：x•=180，整理得出： x 2﹣40x+360=0， 解得：x1=20+2，x 2=20﹣2，由于墙长25米，而20+2＞25，∴x1=20+2，不合题意舍去， ∵0＜20﹣2＜25，∴x2=20﹣2，符合题意，此时=10+，答：此时鸡场靠墙的一边长（20﹣2）米，宽是（10+）米．23．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE 、ED 、DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． （1）根据题意，填空：①顶点C 的坐标为 （0，11） ； ②B 点的坐标为 （8，8） ； （2）求抛物线的解析式；（3）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h （单位：米）随时间t （单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t ﹣19）2+8（0≤t ≤40），且当点C 到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）求出OC 、OD 、BD 的长即可解决问题．（2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B 坐标代入即可求解；（3）水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h 至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t 的值，相减即可得到禁止船只通行的时间． 【解答】解：（1）由题意OC=11，OD=8，BD=AE=8， ∴C （0，11），B （8，8）， 故答案为（0，11）和（8，8）．（2）∵点C 到ED 的距离是11米， ∴OC=11，设抛物线的解析式为y=ax 2+11，由题意得B （8，8）， ∴64a+11=8，解得a=﹣，∴y=﹣x 2+11；（3）水面到顶点C 的距离不大于5米时，即水面与河底ED 的距离h 至多为11﹣5=6（米），∴6=﹣（t ﹣19）2+8，∴（t ﹣19）2=256， ∴t ﹣19=±16， 解得t 1=35，t 2=3，∴35﹣3=32（小时）．答：需32小时禁止船只通行．24．在△ABC 中，∠ACB=30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线时，求∠CC 1A 1的度数； （2）已知AB=6，BC=8，①如图2，连接AA 1，CC 1，若△CBC 1的面积为16，求△ABA 1的面积；②如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值．【考点】三角形综合题．【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=30°，BC=BC 1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC 1A 1的度数；（2）①由△ABC ≌△A 1BC 1，易证得△ABA 1∽△CBC 1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA 1的面积；②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，即可求得线段EP 1长度的最大值． 【解答】解：（1）依题意得：△A 1C 1B ≌△ACB ， ∴BC 1=BC ，∠A 1C 1B=∠C=30°， ∴∠BC 1C=∠C=30°， ∴∠CC 1A 1=60°； （2）如图2所示：由（1）知：△A 1C 1B ≌△ACB ，∴A 1B=AB ，BC 1=BC ，∠A 1BC 1=∠ABC ，∴∠1=∠2，==，∴△A 1BA ∽△C 1BC ，∴=（）2，∵△CBC 1的面积为16， ∴△ABA 1的面积=9（3）线段EP 1长度的最大值为11，理由如下：如图3所示：当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为：EP 1=BC+BE=8+3=11． 即线段EP 1长度的最大值为11．25．将直角边长为6的等腰直角△AOC 放在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B （﹣3，0）． （1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点，将（1）中的抛物线进行平移，平移后，该抛物线只有一个不动点，且顶点在直线y=2x﹣上，求此时抛物线的解析式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以设抛物线方程为两点式：y=a（x+3）（x ﹣6），然后把点A的坐标代入该函数解析式即可求得系数a的值；=，进而求出△APE的面积S，即可得出点P坐（2）利用相似三角形的性质得出S△PCE标；（3）利用抛物线上不动点的定义以及不动点的个数得出方程h﹣k=①，再用平移后的抛物线的顶点在直线y=2x﹣上，得出方程k=2k﹣②，联立解方程组即可．【解答】解：（1）∵B（﹣3，0），C（6，0），设抛物线为y=a（x+3）（x﹣6），过A（0，6）∴6=a（0+3）（0﹣6），解得a=﹣，∴y=﹣（x+3）（x﹣6），即y=﹣x2+x+6；（2）设P（m，0），如图，∵PE ∥AB ， ∴△PCE ∽△BCA ，∴，，∴S △PCE =，∴S=S △APC ﹣S △PCE =﹣m 2+m+6，=﹣（m ﹣）2+，∴当m=时，S 有最大值为；∴P （，0）；（3）设平移后的抛物线的顶点为G （h ，k ），∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣h ）2+k ，由抛物线的不动点的定义，得，t=﹣（t ﹣h ）2+k ， 即：t 2+（3﹣2h ）t+h 2﹣3k=0， ∵平移后，抛物线只有一个不动点， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴△=（3﹣2h ）2﹣4（h 2﹣3k ）=0，∴h ﹣k=①，∵顶点在直线y=2x﹣上，∴k=2k﹣②，∴联立①②得，h=1，k=，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+=﹣x2+x﹣，2017年3月6日。
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2019-2020 年天津市和平区九年级上期中数学试卷含答案解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1．（ 3 分）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答： 解： A 、是中心对称图形，不是轴对称图形；故本选项正确；B 、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；C 、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；D 、不是中心对称图形，是轴对称图形；故本选项错误； 故选 A ．点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．2．（ 3 分）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，下列事件中的不可能事件是（ ）A ．点数之和小于 4B ． 点数之和为 10C ．点数之和为 14D ． 点数之和大于 5 且小于 9考点： 随机事件．分析： 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．解答： 解：因为同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，正方体骰子的点数和应大于或等于 2，而小于或等于 12．显然，是不可能事件的是点数之和是 14．故选 C ．点评： 本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（ 3 分）下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是（）A ． 222x +1=0B ． x +x+1=0C ． x ﹣ x+1=0D ．x 2﹣ x ﹣ 1=0考点： 根的判别式．专题： 计算题．分析： 计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于 0 的方程即可．解答： 解： A 、这里 a=1， b=0 ， c=1，2∵△ =b ﹣ 4ac=﹣ 4＜ 0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里 a=1， b=1 ，c=1，2∵△ =b ﹣ 4ac=1﹣ 4= ﹣ 3＜ 0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里 a=1， b=﹣1， c=1，2∵△ =b ﹣ 4ac=1﹣ 4= ﹣ 3＜ 0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里 a=1， b=﹣1， c=﹣1，2∵△ =b ﹣ 4ac=1+4=5 ＞ 0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选 D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．4．（ 3 分）如图，圆内接四边形ABCD 是正方形，点 E 是上一点，则∠ E的大小为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°考点：圆周角定理；正方形的性质．分析：连接AC、BD交于点O，根据正方形ABCD 为内接四边形以及正方形的性质可得∠AOD=90 °，然后根据圆周角定理可求得∠ E 的度数．解答：解：连接AC、BD交于点O，∵圆内接四边形ABCD 是正方形，∴AO=BO=CO=DO ，∠ AOD=90 °，∴点 O 为圆心，则∠ E=∠ AOD=×90°=45°．故选 C．点评：本题考查了圆周角定理以及正方形的性质，关键是得出∠AOD=90 °，并熟练掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（ 3 分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△ A ′OB ′，若∠AOB=15 °，则∠ AOB ′的度数是（）A ．25°B ．30°C ．35°D ． 40°考点：旋的性．分析：根据旋的性旋前后形全等以及的角等于旋角，而得出答案即可．解答：解：∵将△AOB点O按逆方向旋45°后得到△ A ′OB ′，∴∠ A ′OA=45 °，∠ AOB= ∠ A ′OB ′=15 °，∴∠ AOB ′=∠A ′OA ∠ A ′OB ′=45° 15°=30 °，故： B．点：此主要考了旋的性，根据旋的性得出∠ A ′OA=45 °，∠AOB= ∠ A ′OB′=15°是解关．6．（ 3 分）在一个不透明的布袋中，球、黑球、白球共有若干个，除色外，形状、大小、地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，下色后放回布袋中，匀后再随机摸出一球，下色，⋯如此大量摸球后，小新其中摸出球的率定于20%，摸出黑球的率定于50%，此，他出下列：① 若行大量摸球，摸出白球的率定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，球是黑球的概率最大；③若再摸球100 次，必有20 次摸出的是球．其中法正确的是（）A ．①②③B ．① ②C．① ③D．② ③考点：利用率估概率．：．分析：根据大量重复，事件生的率在某个固定位置左右，并且的幅度越来越小，根据个率定性定理，可以用率的集中来估概率，个固定的近似就是个事件的概率，分分析得出即可．解答：解：∵在一个不透明的布袋中，球、黑球、白球共有若干个，其中摸出球的率定于20%，摸出黑球的率定于 50%，∴①若行大量摸球，摸出白球的率定于： 1 20% 50%=30% ，故此正确；∵摸出黑球的率定于50%，大于其它率，∴② 从布袋中任意摸出一个球，球是黑球的概率最大，故此正确；③若再摸球 100 次，不一定有 20 次摸出的是球，故此；故正确的有①② ．故： B．点：此主要考了利用率估概率，根据率与概率的关系得出是解关．7．（ 3 分）在如4×4 的正方形网格中，△MNP某点旋一定的角度，得到△M 1N 1P1，其旋中心可能是（）A ．点A B．点B C．点C D．点D考点：旋转的性质．分析：连接 PP1、NN 1、 MM 1，分别作 PP1、 NN 1、 MM 1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．解答：解：∵△ MNP绕某点旋转一定的角度，得到△ M1N1P1，∴连接 PP1、 NN 1、 MM 1，作PP1的垂直平分线过 B 、 D、 C，作NN 1的垂直平分线过 B、 A ，作MM 1的垂直平分线过 B，∴三条线段的垂直平分线正好都过 B，即旋转中心是 B ．故选 B ．点评：本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．8．（ 3 分）如图，点 A 、 B、 C、D 都在⊙ O 上，∠ COD=84 °， CA 平分∠ OCD ，则∠A BD+ ∠ CAO=（）A ．60°B ．52°C ．48°D ．42°考点：圆周角定理．分析：先根据三角形的内角和定理求得∠OCD 的度数，然后根据角平分线的性质得出∠ACO= ∠ ACD ，同弧所对的圆周角相等得出∠ABD= ∠ ACD ，最后转化为∠A BD+ ∠ CAO= ∠ ACD+ ∠ ACO= ∠ OCD=48 °，即可得解．解答：解：在△ COD 中，∵OC=OD （⊙ O 的半径），∴∠ OCD= ∠ ODC ，又∵∠ COD+ ∠ OCD+ ∠ ODC=180 °，∠ COD=84 °，∴∠ OCD=48 °，∵CA 平分∠ OCD ，∴∠ ACO= ∠ ACD ，∵∠ ABD= ∠ ACD ，∠ CAO= ∠ ACO ，∴∠ ABD+ ∠ CAO= ∠ ACD+ ∠ ACO= ∠ OCD=48 °．故选 C．点评：本题综合考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键点是利用“同弧所对的圆周角相等”得出∠ ABD= ∠ACD ，注意角平分线性质的运用．9．（ 3 分）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB= ∠ DEC=90 °，∠ A=45 °，∠ D=30 °，斜边 AB=6 ， DC=7，把三角板DCE 绕点 C 顺时针旋转15°得到△ D1CE1（如图乙），此时AB 与 CD1交于点 O，则线段AD 1的长为（）A ．B． 5C． 4D．考点：旋转的性质．专题：压轴题．分析：先求出∠ ACD=30 °，再根据旋转角求出∠ACD 1=45°，然后判断出△ ACO 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、 CO， AB ⊥ CO，再求出 OD 1然后利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵∠ ACB= ∠ DEC=90 °，∠ D=30 °，∴∠ DCE=90 °﹣30°=60 °，∴∠ ACD=90 °﹣ 60°=30 °，∵旋转角为 15°，∴∠ ACD 1=30 °+15°=45 °，又∵∠ A=45 °，∴△ ACO 是等腰直角三角形，∴AO=CO= AB= ×6=3 ，AB ⊥ CO，∵DC=7 ，∴D 1C=DC=7 ，∴D 1O=7﹣ 3=4，在 Rt△ AOD 1中， AD 1= = =5．故选 B ．点评： 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出 AB ⊥ CO 是解题的关键，也是本题的难点．10．（ 3 分）设方程（ x ﹣ a ）（ x ﹣ b ）﹣ x=0 的两根是 c 、 d ，则方程（ x ﹣c ）（ x ﹣ d ） +x=0 的根是（ ）A ． a ， bB ．﹣ a ，﹣ bC ． c ， dD ． ﹣ c ，﹣ d考点： 一元二次方程的解．专题： 方程思想；待定系数法．分析： 首先把（ x ﹣ a ）（ x ﹣b ）﹣ x=0 变为 x 2﹣（ a+b+1） x+ab=0，而方程（ x ﹣a ）（ x ﹣b ）﹣ x=0 的两根是c 、d ，利用根与系数可以得到 a 、b 、 c 、 d 之间的关系，然后代入后面的方程即可解决问题．解答： 解：∵（ x ﹣ a ）（ x ﹣b ）﹣ x=0 ，∴ x 2﹣（ a+b+1） x+ab=0， 而方程的两个根为 c 、d ，∴ c +d=a+b+1 ， ①cd=ab ， ②又方程（ x ﹣ c ）（ x ﹣d ） +x=0 可以变为 x 2﹣（ c+d ﹣ 1） x+cd=0 ，③ ∴把 ①② 代入 ③ 中得 x 2﹣（ a+b ）x+ab=0 ，（ x ﹣ a ）（ x ﹣ b ） =0 ，∴x=a ， x=b ． 故选 A ．点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）11．（ 3 分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转 60 度可以和原来的图形重合．考点： 旋转的性质．专题： 几何变换．分析： 根据正六边形的性质，求出它的中心角即可．解答： 解：∵正六边形的中心角 ==60 °，∴一个正六边形绕着其中心，至少旋转 60°可以和原来的图形重合．故答案 60．点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正六边形的性质．12．（ 3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx 2﹣ 2x ﹣ 1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值 范围是 k ＞﹣ 1 且 k ≠0 ．考点： 根的判别式．kx 2﹣ 2x ﹣ 1=0 有两个不相等的实数根，即可得判别式△ 分析： 由关于 x 的一元二次方程＞0 且 k ≠0，则可求得 k 的取值范围．解答：解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣ 2x ﹣ 1=0 有两个不相等的实数根，22∴△ =b ﹣ 4ac=（﹣ 2） ﹣4×k ×（﹣ 1） =4+4k ＞ 0， ∵x 的一元二次方程 kx 2﹣ 2x ﹣ 1=0∴ k ≠0，∴ k 的取值范围是： k ＞﹣ 1 且k ≠0．故答案为： k ＞﹣ 1 且 k ≠0．点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一 元二次方程根的情况与判别式 △的关系：（1） △ ＞ 0? 方程有两个不相等的实数根； （2） △ =0 ? 方程有两个相等的实数根；（3） △ ＜ 0? 方程没有实数根．13．（ 3 分）已知关于 x 的方程 x 2+bx+a=0 有一个根是﹣ a （ a ≠0），则 a ﹣ b 的值为 ﹣1 ．考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题．分析： 把 x= ﹣ a 代入方程得到一个二元二次方程，方程的两边都除以a ，即可得出答案．解答：解：把 x= ﹣a 代入方程得：（﹣ a ）2﹣ ab+a=0，2a ﹣ ab+a=0，∵a ≠0，∴两边都除以 a 得： a ﹣b+1=0 ， 即 a ﹣ b= ﹣ 1， 故答案为：﹣ 1．点评： 本题考查了解一元二次方程的解的应用，解此题的关键是理解一元二次方程的解的定义，题型较好，难度适中．14．（ 3 分）用一个圆心角为120°，半径为 4 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．考点： 弧长的计算．分析： 利用底面周长 =展开图的弧长可得．解答： 解：，解得 r= ．点评： 解答本题的关键是有确定底面周长 =展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．15．（ 3 分）如图，把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，则小圆形场地的半径 = （ 5+5 ） m ．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程．解答：解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5） m，2 2根据题意得：π（ x+5） =2 πx ，解得， x=5+5 或 x=5 ﹣ 5 （不合题意，舍去）．故答案为：（5+5 ） m．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题等量关系比较明显，容易列出．16．（ 3 分）甲、乙、丙三人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将 3 件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件，则甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物的概率为．考点：列表法与树状图法．专题：图表型．分析：画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．解答：解：设甲乙丙带的礼物分别为 A 、 B、 C，根据题意画出树状图如下：一共有 6 种情况，甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物的情况共有（B、 C、 A ）和（ C、B 、 A ） 2 种，所以， P（甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物）= =．故答案为：．点评：本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（ 3 分）已知△ ABC 三个顶点的坐标分别为A（﹣ 3， 0）、 B（﹣ 1，0）、 C（ 0，3），则△ABC 的外接圆的直径= 2．考点：三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．专题：几何图形问题；数形结合．分析：首先根据题意画出图形，作AB 的垂直平分线交∠AOC 的角平分线于点 D ，连接BD ，即可得点 D 是△ABC 的外接圆的圆心，易得直线OD 的解析式为： y= ﹣ x，点 D 的横坐标为：﹣ 2，则可求得点 D 的坐标，继而求得答案．解答：解：如图，作AB 的垂直平分线交∠AOC 的角平分线于点D，连接 BD ，∵A （﹣ 3， 0）、 B （﹣ 1， 0）、 C（ 0， 3），∴OA=OC ，∴OD 垂直平分 AC ，∴点 D 是△ ABC 的外接圆的圆心，∴直线 OD 的解析式为： y= ﹣ x，点 D 的横坐标为：﹣2，∴D 的坐标为：（﹣2， 2），∴BD= = ，∴△ ABC 的外接圆的直径为： 2 ．故答案为： 2 ．点评：此题考查了三角形的外接圆与外心的性质、勾股定理以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．18．（ 3 分）如图 AB 是半圆的直径，图 1 中，点 C 在半圆外；图 2 中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．在图 1 中，画出ABC 的三条高的交点P；在图 2 中，画出ABC 中 AB 边上的高，并写出画法（不要求证明）．考点：作图—复杂作图．分析：（1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°画图即可；（2）与（ 1）类似，利用圆周角定理画图．解答：解：（1）如图所示：点P 就是三个高的交点；（2）如图所示：延长AC 、 BC 分别交半圆于点 D ，E，连接 AD ， BE，并延长相交于点P，连接 PC 并延长交 AB 于 T，则 CT 就是 AB 上的高．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是 90°．三、解答题（本大题共8 小题，共66 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（ 6 分）△ ABC 的内切圆⊙ O 与 BC，CA ， AB 分别相切于点D、 E、 F，且 AB=9cm ，BC=14cm ， CA=13cm ，求 AF 、 BD 、 CE 的长．考点：三角形的内切圆与内心．分析：根据切线长定理，可设 AE=AF=xcm ， BF=BD=ycm ， CE=CD=zcm ．再根据题意列方程组，即可求解．解答：解：根据切线长定理，设AE=AF=xcm ，BF=BD=ycm ， CE=CD=zcm ．根据题意，得，解，得．即AF=4cm 、 BD=5cm 、 CE=9cm ．点评：此题要熟练运用切线长定理．注意解方程组的简便方法：三个方程相加，得到x+y+z 的值，再进一步用减法求得x， y，z的值．20．（ 8 分）解下列方程（Ⅰ） x（ x﹣ 3） +x ﹣3=02（Ⅱ） 4x +12x+9=81 ．考点：解一元二次方程 -因式分解法；解一元二次方程-配方法．分析：（Ⅰ）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解；（Ⅱ）方程整理后，配方变形，开方即可求出解．解答：解：（Ⅰ）分解因式得：（x﹣ 3）（ x+1） =0，可得 x﹣ 3=0 或 x+1=0 ，解得： x1=3， x2=﹣ 1；（Ⅱ）方程整理得：x 2+3x=18 ，2，即（ x+ 2配方得： x +3x+ = ） = ，开方得： x+ =±，解得： x1=3， x2=﹣ 6．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．21．（ 8 分）（Ⅰ）如图甲中，画出△ ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形；（Ⅱ）如图乙所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图① 中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：（1）这个三个图案都具有以下共同特征：都要是中心对称图形，都不是轴对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积为 4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图① 中所给出的图案相同．考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案；作图-旋转变换．分析：（I）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形；（I I ）（ 1）根据中心对称的性质解答；（2）根据中心对称图形的性质画出图形即可．解答：解：（ I）如图甲所示：（II ）（ 1）由图可知，这三个图案都具有以下共同特征：都要是中心对称图形，都不是轴对称图形．故答案为：中心，轴；（2）如图②所示．点评：本题考查的是利用旋转设计图案，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．22．（ 8 分）一个不透明的袋中装有 5 个黄球， 13 个黑球和 22 个红球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？考点：概率公式；一元一次不等式的应用．分析：（1）根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出得到黄球的概率；（2）假设取走了x 个黑球，则放入x 个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可．解答：解：（1）∵一个不透明的袋中装有 5 个黄球， 13 个黑球和22 个红球，∴摸出一个球摸是黄球的概率为：=；（2）设取走x 个黑球，则放入x 个黄球，由题意，得≥ ，解得： x≥，∵x 为整数，∴x 的最小正整数解是x=9 ．答：至少取走了9 个黑球．点评：此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A ） =．23．（ 8 分）如图，⊙ O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点E，且 DE=CE ，⊙ O 的切线 BF 与弦AD 的延长线交于点F．（Ⅰ）求证： CD ∥ BF．（Ⅱ）若⊙ O 的半径为6，∠ A=35 °，求的长．考点：切线的性质；弧长的计算．专题：证明题．分析：（1）由BF为⊙ O的切线，根据切线的性质得OB⊥ BF ，由 DE=CE ，根据垂径定理得 OB⊥ DC，则根据平行线的性质得CD ∥BC；（2）连结 OD、 OC，根据圆周角定理得到∠ BOD=2 ∠ A=70 °，则∠ COD=2 ∠BOD=140 °，然后根据弧长公式求解．解答：（1）证明：∵ BF为⊙ O的切线，∴OB ⊥ BF ，∵DE=CE ，∴OB ⊥ DC ，∴CD ∥ BC ；（2）解：连结 OD 、OC，如图，∵∠ A=35 °，∴∠ BOD=2 ∠ A=70 °，∴∠ COD=2 ∠ BOD=140 °，∴的长度 ==π．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和弧长公式．24．（8 分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，并完成本题解答的全过程，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解题方案：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，（Ⅰ）用含 x 的解析式表示：第一轮后共有1+x 人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 个人，第二轮后共有1+x+x （ x+1）人患了流感；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为1+x+x （ 1+x） =121 ；（Ⅲ）解这个方程，得x= ﹣12 或 x=10 ；（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了10 个人．考点：一元二次方程的应用．分析：设这种流感的传播速度是一人可才传播给x 人，则一轮传染以后有（ x+1）人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有（x+1）人，一个人传染x 个人，则第二轮又有x（ x+1 ）人患病，则两轮后有1+x+x （ x+1）人患病，据此即可列方程求解．解答：解：（Ⅰ）用含x 的解析式表示：第一轮后共有1+x 人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 个人，第二轮后共有1+x+x （ 1+x ）人患了流感；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为1+x+x （ 1+x ）=121；（Ⅲ）解这个方程，得x= ﹣ 12 或 x=10 ；（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了10 个人，故答案为： 1+x ； 1+x+x （ x+1 ）； 1+x+x （1+x ） =121； x= ﹣ 12 或 x=10 ； 10．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解决本题是要十分注意的是题目中的“共有”二字，否则一定得出错误的结果．25．（ 10 分）已知△ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=120 °，在 BC 上取一点 O，以点 O 为圆心、 OB 为半径作圆，且⊙ O 过 A 点．（Ⅰ）如图①，求证：直线AC 是⊙ O 的切线（Ⅱ）如图②，过点 A 作 AD ∥ BC 交⊙ O 于点 D，连接 BD ，求 BD 与 OC 之间的数量关系．考点：切线的判定．分析：（1）根据等腰三角形性质和技术性的内角和定理求出∠ABC 和∠ C 的度数，求出∠BAO ，求出∠ OAC=90 °，根据切线的判定求出即可；（2）连接 AE ，求出∠ AEB 的度数，根据平行线求出∠DAO ，根据圆内接四边形性质求出∠D ，根据四边形的内角和定理求出∠DAO ，根据平行四边形的判定得出?BOAD ，则BD=AO= OC．解答：（1）证明：如图① ，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ ABC= ∠ C=（180°﹣∠BAC）=30°，∵OA=OB ，∴∠ ABO= ∠ BAO=30 °，∴∠ OAC=120 °﹣ 30°=90 °，即OA ⊥ AC ，∵OA 为⊙ O 的半径，∴AC 是⊙ O 的切线．（2）证明：如图②，连接 AE ．由（ 1）知， OA ⊥ AC ，∠ C=30 °，∴AO= OC∵∠ AOB= ∠ C+∠ OAC=30 °+90 °=120 °，∴由圆周角定理得：∠AEB=∠ AOB=60°，∵D 、 B、 E、 A 四点共圆，∴∠ D+∠ AEB=180 °，∴∠ ADB=120 °，∵AD ∥ BC ，∴∠ DAO+ ∠ BOA=180 °，∴∠ DAO=60 °，∴∠ DBO=360 °﹣ 60°﹣ 120°﹣ 120°=60°，即∠ D=∠ BOA ，∠ DBO= ∠ DAO ，∴四边形 BOAD 是平行四边形，∵BD=AO= OC，即 BD= OC．点评：本题考查的知识点有等腰三角形性质、三角形的内角和定理、切线的判定、平行四边形的判定、平行线性质、圆周角定理、圆内接四边形，本题主要考查了学生的推理能力，是一道比较好的题目．26．（ 10 分）已知矩形 ABCD 内接于⊙ O，AB=6cm ， AD=8cm ，以圆心 O 为旋转中心，把矩形 ABCD 顺时针旋转，得到矩形 A ′B′C′D′仍然内接于⊙ O，记旋转角为α（ 0°＜α≤90°）．（Ⅰ）如图①，⊙ O 的直径为10 cm；（Ⅱ）如图②，当α=90°时， B ′C′与 AD 交于点 E，A ′D′与 AD 交于点 F，则四边形 A ′B′EF 的周长是14 cm．（Ⅲ）如图③， B ′C′与 AD 交于点 E， A ′D ′与 AD 交于点 F，比较四边形A′B′EF 的周长和⊙O 的直径的大小关系；（Ⅳ）如图④，若 A ′B′与 AD 交于点 M ， A ′D′与 AD 交于点 N，当旋转角α=45（度）时，△ A ′MN 是等腰三角形，并求出△ A′MN的周长．考点：圆的综合题；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；旋转的性质．专题：综合题．分析：（Ⅰ）连接AC ，如图①，只需运用勾股定理就可求出⊙O 的直径．（Ⅱ）连接AB ′，A ′D，如图②，由矩形及旋转的性质可得AD=B ′C′，然后由在同圆中弦与弧的关系可得=，从而有=，然后根据圆周角定理可得∠AB ′C′=∠B ′AD ，从而有 EA=EB ′；同理可得 DF=FA ′，进而可证到四边形 A ′B′EF的周长等于 AB+AD ，问题得以解决．（Ⅲ）连接 AB ′，A ′D，BD ，如图③，借鉴（Ⅱ）的解题经验和结论，同样可得四边形 A ′B′EF 的周长等于 AB+AD ，然后运用三角形三边关系就可解决问题．（Ⅳ）连接AB ′，A ′D，如图④，易得旋转角α=45°时，△ A′MN是等腰三角形，然后借鉴（Ⅱ）的解题经验和结论，可得 A ′N=DN ， PA=PB′．设 AM=x ， A′N=y ，则有A ′B′=A ′M+MP+B ′P=y+x+x=6 ①， AD=AM+MN+DN=x+y+y=8② ．解①和② 就可求出△ A ′MN 的周长．解答：解：（Ⅰ）如图① ，连接AC．∵四边形 ABCD 是矩形，∴B C=AD=8 ，∠ ABC=90 °．∵矩形 ABCD 内接于⊙ O，∠ ABC=90 °，∴AC 是⊙ O 的直径．∵A B=6 ，BC=8 ，∴AC=10 ．故答案为： 10．（Ⅱ）如图②，连接 AB ′， A ′D．由旋转可得： A ′D′=AD ， A ′B′=AB ．∵四边形 A ′B′C′D′是矩形，∴B ′C′=A ′D′．∴A D=B ′C′．∴=．∴=．∴∠ B′AD= ∠AB ′C′．∴E A=EB ′．同理可得： DF=FA ′．∴四边形 A ′B′EF 的周长 =A ′B′+B ′E+EF+FA ′=AB+EA+EF+DF=AB+AD=6+8=14．故答案为： 14．（Ⅲ）如图③，连接 AB ′， A ′D， BD ．16 / 17由（ 2）中证明可得：EA=EB ′，DF=FA ′．∵A ′B′+B ′E+EF+FA ′=AB+EA+EF+DF=AB+AD＞BD，∴四边形 A ′B′EF 的周长大于⊙ O 的直径．（Ⅳ）如图④，连接 AB ′， A ′D．∵四边形 A ′B′C′D′是矩形，∴∠ B′A′D′=90°．∵△ A ′MN 是等腰三角形，∴A ′M=A ′N，∠ A ′MN= ∠ A ′NM=45 °．∴旋转角α等于 45°．∴当旋转角α等于45°时，△ A′MN是等腰三角形．故答案为： 45．由（ 2）中的证明可得： A ′N=DN ，PA=PB ′．∵∠ AMP= ∠ A ′MN=45 °，∠ BAD=90 °，∴∠ APM=45 °=∠ AMP ．∴AM=AP ．∴AM=AP=PB ′， A ′M=A ′N=DN ， MP= AM ， MN=A ′N．设 AM=x ， A ′N=y ，则 A ′B′=A ′M+MP+PB ′=y+ x+x=6 ①，AD=AM+MN+DN=x+ y+y=8 ② ．由② ﹣①得：（ y﹣ x） =2．解得： y﹣x= ．则 x=y ﹣．把 x=y ﹣代入②得： y﹣+ y+y=8 ，解得： 2y+ y=8+ ．∴△ A ′MN 的周长为 2y+ y=8+ ．点评：本题通过矩形旋转，考查了旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、同圆中弧与弦之间的关系、解二元一次方程组、勾股定理等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，另外还考查了运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．。