高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课时素养评价含解析北师大版必修4

高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4(2021年整理)

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4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。

2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。

知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1 设α为任意角，则2kπ＋α,π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称思考2 2kπ＋α,π＋α,－α，2kπ－α,π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系。

答案它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2kπ＋α与α重合π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称,所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α）＝－sin α，cos(－α）＝cos α.梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α）＝sin α，c os（2kπ＋α)＝cos α(1。

高中数学_1.2.4 诱导公式教学设计学情分析教材分析课后反思

1.3三角函数的诱导公式（1）一、教学内容分析本节教学内容在本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下的作用。

求三角函数值是三角函数中的重要内容，诱导公式是求三角函数值的基本方法。

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求“00～900”角的三角函数值问题。

诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维方式。

这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

二．学生学习情况分析：本节是在学生基本掌握了三角函数线的基础上进行研究的。

由于学生素质参差不齐，又存在能力差异，不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。

因此进行本堂课的教学，我采用多媒体直观动态演示引导学生联想，进行问题类比，构建知识系统，从而激发学生学习数学的兴趣和欲望。

三、设计思想教育以人为本，学生是学习的主体，在课堂教学中应该让学生带着自己的问题去探究以体现学生的主体性。

四、教学目标1、知识技能借助三角函数线推导出正弦、余弦的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。

3、情感态度与价值观通过诱导公式的学习，体会“探究学习”在学习过程中的作用，使学生体验成功，增强学习数学的自信心五、教学重点、难点重点：将任意角的三角函数化为锐角三角函数.难点：推导、记忆诱导公式.六、教学方法与教学手段教学方法：结合多媒体，创设问题情境，启发引导学生自主学习，自我构建，突出学生的主体地位.学习方法：类比发现，合作交流，自主构建、引申升华.教学手段：直尺，多媒体辅助教学.七、教学过程学情分析学情分析：学生在前面第一类诱导公式学习中感受了数形结合思想、对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯，对于两次对称变换思想的应用是上一节课的深化；学生对高中数学知识有了一定了解和掌握，也形成了自己的学习方法和习惯，对学习高中数学有了一定兴趣和信心，且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能力。

必修4-1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式

虹屏居
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欢迎指导谢谢合作
虹屏居
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6
(3) cos(3 ) ；(4) sin( 100 ) ．
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3
虹屏居
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新知小结
本课所学的知识点有哪些？正弦函数、余弦函数的诱导公式．
本课有哪些数学思想？数形结合思想、类比思想．
你有何收获？
虹屏居
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新知强化
1、P24习题1-4，A组6、7、8，B组1、3、4 2、高中同步测控优化设计“训练与测评”P4, 3、预习：P25 5.1正弦函数的图像
3
3
32
(3) cos( 31 ) cos(6 5 ) cos 5 cos 3 .
6
6
6
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虹屏居
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新知探究
补例 1 在单位圆中，角的终边与单位圆交于点P
（-12,5），写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并分别求角-α，-α， + α ， 2 - α的正弦函数值、余弦函数值．
2
2
解 (1) { | 2k 3 ，k Z}{ | 2k 5 ，k Z}
4
4
(2) { | 7 2k 2k ，k Z}
y6
6y
3π 4
x
O 5π
7π
π
6
6
x O
4
虹屏居
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新知检测
求下列三角函数值：
(1) cos945 ； (2) sin 35 ；
3．情感、态度与价值观
通过本节学习，能注意到数学中的对称美和事物之间的相互关系．
虹屏居
2
重点难点

高中数学第一章三角函数 1.4.3、4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与

5．解读诱导公式(π2＋α，π2－α) 诱导公式(π2＋α，π2－α)不同于前面的四个诱导公式，原因是等号左右两边的函数名称发生了改变，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变．
类型一正、余弦函数的定义域、值域、最值
【例 1】 (1)函数 y＝sin3x的定义域是( A )
A．R
B．[－1,1]
【解析】 ∵y＝cosx 在(0，π)是单调递减函数，在[π，2π) 上是单调递增函数．∴y＝－23cosx 在(0，π)是单调递增函数，在[π， 2π)上是单调递减函数，A 成立．
规律方法函数 y＝Asinx＋B 或 y＝Acosx＋B 型函数的单调性常常利用 y＝sinx 与 y＝cosx 的单调性解决．但要注意 A>0， A<0 情况的讨论．
6．诱导公式(函数名称改变)
sin(π2＋α)＝ cosα ，cos(π2＋α)＝－sinα .
sin(π2－α)＝ cosα
，cos(π2－α)＝ sinα
.
文字概括：
π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
[答一答] 3．怎样记忆七组诱导公式？
(2)原式＝(cosπ7＋cos67π)＋(cos27π＋cos57π)＋(cos37π＋cos47π)＝ [cosπ7＋cos(π－π7)]＋[cos27π＋cos(π－27π)]＋[cos37π＋cos(π－37π)]＝ (cosπ7－cos7π)＋(cos27π－cos27π)＋(cos37π－cos37π)＝0.
知识点二余弦线与利用单位圆看 y＝cosx 性质
[填一填] 3．根据单位圆理解余弦函数 y＝cosx 性质 (1)定义域是全体实数； (2)最大值是 1 ，最小值是－1 ，值域是 [－1,1] ； (3)它是周期函数，其最小正周期是 2π ；

【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页附答案)

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间．答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案 C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确．答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________．答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【训练1】将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

北师大版高中数学必修四课时跟踪检测第1章三角函数44344

第一章三角函数§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式课时跟踪检测一、选择题1．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π＝( )A ．32 B ．－32 C ．－12D ．12解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π＝－sin 316π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π6 ＝sin π6＝12. 答案：D2．sin(π－2)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2化简的结果为( )A ．0B ．1C ．2sin2D ．－2sin2解析：原式＝sin2－sin2＝0. 答案：A3．如果A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则sin B ＋C2＝( ) A ．－cos A2 B ．sin A 2 C ．－sin A2D ．cos A2 解析：sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.答案：D4．若cos(π＋α)＝－13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．－13 B ．13 C ．23 2D ．－23 2解析：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－13，∴cos α＝13， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－13.答案：A5．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin75°)＝( ) A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32解析：f (sin75°)＝f (cos15°)＝cos30°＝32. 答案：C6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 3，x ≤2 017，f (x －3)，x >2 017，则f (2 018)的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32解析：由题意得f (2 018)＝f (2 015)＝sin 2 015π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫671π＋2π3＝－sin 2π3＝－32.答案：D 二、填空题7．已知：sin(π＋α)＝－13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝________.解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，又∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝－13.答案：－138．(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：由题意知，角α与角β的正弦值相等，又sin α＝13， ∴sin β＝13. 答案：139．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6； ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π3.其中n ∈Z .其中函数值与sin π3相同的是________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝±sin π3；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6＝－cos π6＝－sin π3；sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π3＝sin π3， ∴函数值与sin π3相同的是②③⑤. 答案：②③⑤三、解答题10．已知cos(π＋θ)＝45，求：cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)cos θcos (π－θ)＋cos (θ－2π)的值．解：由cos(π＋θ)＝45得cos θ＝－45.原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝509. 11．化简求值：(1)cos315°＋sin(－30°)＋sin225°＋cos480°；(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)cos315°＋sin(－30°)＋sin225°＋cos480° ＝cos45°－sin30°－sin45°－cos60° ＝22－12－22－12＝－1.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33， ∴原式＝－33－33＝－233. 12．已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．解：f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α. (1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15， ∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝－1sin60°＝－233.13．已知sin(α＋β)＝1，求证：sin(2α＋β)＝sin β. 证明：∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝π2＋2k π，k ∈Z,2(α＋β)＝π＋4k π，而sin(2α＋β)＝sin[2(α＋β)－β]＝sin(π＋4k π－β)＝ sin(π－β)＝sin β，∴原等式成立．。

高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件3北师大版必修4

【解题(jiě tí)探究】1.题1中的 π如何转化才能运用诱导公式?
提示:先把公式.
2π0化15为整数与分数的和的形式,再选择合适的诱导 3
2.题2中的角如何选择诱导公式?
提示:按负化正、大化小的顺序选择.
第十三页，共37页。
【解析( jiě xī)】1.选D.
第十四页，共37页。
2.原式=-sin1200°·cos1290°-cos1020°·sin1050° =-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°) =-sin 120°·cos210°-cos300°·sin330° =-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°) =sin 60°cos30°+cos 60°sin 30°=
答案:2sinα
第二十九页，共37页。
【补偿训练】(2015·渭南高一检测)已知角α的终边在第一象限且与单位(dānwèi)
圆的交点为
(1)求m的值.
(2)求
的值.
第三十页，共37页。
【解析】(1)角α的终边在第一(dìyī)象限且与单位圆的交点为故 (2)由点原式=
第三十一页，共37页。
易错案例利用(lìyòng)诱导公式求值【典例】(2015·九江高一检测)已知sin(α+75°)= ,则cos(α15°)等于 ( )
第三十二页，共37页。
【失误(shīwù)案例】
第三十三页，共37页。
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:出错的根本原因是在利用诱导公式(gōngshì)求值时符号错误,导致结果错误.

北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件

-10-
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
题型一题型二题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 1】化简: π 11π sin(2π-��)cos(π + ��)cos 2 + �� cos 2 -�� . 9π cos(π-��)sin(3π-��)sin(-��-π)sin 2 + ��
-6-
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
1
2
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做 2-1】 sin A. − 2 B. −
答案:B
1 3 1 3 C. D. 2 2 2
19π 3
的值等于(
)
【做一做 2-2】 cos 300° 的值是( A. 2 B. − 2 C.
答案:A
1 1 3 3 D. − 2 2
)
-7-
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
题型一题型二题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
利用诱导公式化简
sin (��π -�� )cos [(�� -1)π -�� ] sin [(�� +1)π +�� ]cos (��π +�� )
)
-4-
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
1
2
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2.诱导公式 (1)sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,其中k∈Z. (2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. (3)sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α. (4)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. (5)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α.4.4单位圆的对称性与诱导公式

高中数学第一章三角函数 1.4.3 1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式学案北师大版必修

4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4 单位圆的对称性与诱导公式1．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 正弦函数、余弦函数的基本性质阅读教材P18～P19“思考交流”以上部分，完成下列问题．正弦函数、余弦函数的基本性质函数y＝sin x y＝cos x基本性质定义域R值域[－1,1]最大(小)值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，函数取得最小值－1当x＝2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取得最小值－1基本性质周期性周期是2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π单调性在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减少的在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝sin x在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π上的最大值为1.( ) (3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1.( )【解析】 (1)y ＝sin x 在[－π，π]上不具有单调性，故(1)错误．(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的，y max ＝sin π2＝1，故(2)正确．(3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减少的，故y min ＝cos π2＝0，故(3)错误．【答案】 (1)× (2)√ (3)×教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导阅读教材P 19～P 21，完成下列问题． 1．诱导公式(－α，π±α)的推导 (1)在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称．(2)公式sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α； sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α； sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.2．诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α的推导(1)π2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．(2)公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α 用－α代替α↓并用前面公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(2π－α)＝cos α.( ) (2)sin(2π－α)＝sin α.( )(3)诱导公式中的角α只能是锐角．( )【解析】 (1)正确．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α. (2)错误．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α.(3)错误．诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任意角．【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]正弦、余弦函数的性质求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π； (1)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.【精彩点拨】画出单位圆，借助图形求解．【自主解答】 (1)由图①可知，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x ＝－π6时，y ＝sin x 取最小值－12.①(2)由图②可知，y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )；第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律；第四步：得出结论．[再练一题]1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值.【导学号：66470010】(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．【解】 (1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.当x ＝π2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sin x 的值域为[]－1，0.(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]．当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1,1]．给角求值(1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4；(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3.【精彩点拨】利用诱导公式将所给的角化成锐角求解．【自主解答】 (1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－sin π3·cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝32·32·22＝34·22＝328. (2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．[再练一题]2．求下列各式的值．(1)sin 495°·cos(－675°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π(n ∈Z )．【解】 (1)sin 495°·cos(－675°) ＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°) ＝sin 135°·cos 315°＝sin(180°－45°)cos(360°－45°) ＝sin 45°·cos 45°＝22×22＝12. (2)当n 为奇数时，原式＝sin 23π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34；当n 为偶数时，原式＝sin 23πcos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.给值求值已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－α. 【精彩点拨】解答本题要注意到⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．【自主解答】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∵⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－13×13＝－19.1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．[再练一题]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．【解】 ∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.[探究共研型]三角函数式的化简探究1 【提示】总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数．探究2 怎样处理含有k π±α的角？【提示】含有k π±α形式的角的三角函数化简时，需对k 分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式．化简下列各式．(1)cos2π－αsin 3π＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos α－3πsin －π－α；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x (n ∈Z )．【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式化简． (2)对n 是奇数或偶数进行讨论．【自主解答】 (1)原式＝cos α·－sin α·－sin αsin α·－cos αsin α＝－1.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ； ②当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为奇数，2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则： (1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论；(2)形如k3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．[再练一题] 4．化简：cos ⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α，其中k ∈Z .【解】cos ⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3－α.①当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π＋π3＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α； ②当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α.综上可知，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为偶数，－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为奇数.[构建·体系]1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α B ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α【解析】由诱导公式知D 正确．【答案】 D2．cos 2π3的值是( ) 【导学号：66470011】A ．－32 B ．32 C.12 D ．－12【解析】 cos 2π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 【答案】 D3．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为_______．【解析】在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2 4．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. 【解析】 cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12. 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12. 【答案】 125．计算：sin π4·cos 19π6·sin 21π4. 【解】原式＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋54π ＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4 ＝sin π4·⎝⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π42 2·⎝⎛⎭⎪⎫－32·⎝⎛⎭⎪⎫－22＝＝3 4 .我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________欢迎您的下载，资料仅供参考！。

高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大必修4201808223186

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一条件求值【例1】已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值．解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二利用诱导公式化简和证明【例2】求证：π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π－θ－1＋π－θπ＋θπ2＋θ－3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明左边＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ＋cos θ－cos θ＝21－cos 2θ＝右边，所以原式得证．规律方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：15π7＋α＋α－13π720π7－α－α＋22π7＝a ＋3a ＋1. 证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7＋α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7－cos[2π＋α＋8π7＝－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7＝－a α＋8π7－α＋8π7－a α＋8π7－α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α的值．解由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，即sin α＝－2cos α. ∴π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋απ2＋απ－α的值，则结果如何？解原式＝cos α－sinα－sin α－α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】若例3中的条件不变改为求π－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α3π2－α＋－π＋α的值．解由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝－31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵π－α＋π－α3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案－135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案－125．化简：θ－5π－π2－θπ－θθ－3π2－θ－π＝________.解析原式＝θ－ππ2＋θ－θθ＋π2－θ＋π＝－sin θ－sin θθcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：θ－32πθ＋π2－11－2cos2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 证明 ∵左边＝－32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin[π＋π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案－110．已知α为第二象限角，化简1＋π－αα－πα－3π2－1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝1＋2sin α－cos αcos α－3π2＋α＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案－111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时，原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大版必修4201808223186

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一条件求值【例1】已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值．解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二利用诱导公式化简和证明【例2】求证：π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π－θ－1＋π－θπ＋θπ2＋θ－3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明左边＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ＋cos θ－cos θ＝21－cos 2θ＝右边，所以原式得证．规律方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：15π7＋α＋α－13π720π7－α－α＋22π7＝a ＋3a ＋1. 证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7＋α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7－cos[2π＋α＋8π7＝－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7＝－a α＋8π7－α＋8π7－a α＋8π7－α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α的值．解由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，即sin α＝－2cos α. ∴π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋απ2＋απ－α的值，则结果如何？解原式＝cos α－sinα－sin α－α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】若例3中的条件不变改为求π－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α3π2－α＋－π＋α的值．解由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝－31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵π－α＋π－α3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案－135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案－125．化简：θ－5π－π2－θπ－θθ－3π2－θ－π＝________.解析原式＝θ－ππ2＋θ－θθ＋π2－θ＋π＝－sin θ－sin θθcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：θ－32πθ＋π2－11－2cos2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 证明 ∵左边＝－32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin[π＋π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案－110．已知α为第二象限角，化简1＋π－αα－πα－3π2－1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝1＋2sin α－cos αcos α－3π2＋α＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案－111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时，原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课时素养评价含解析北师大版必修

学习资料课时素养评价六单位圆的对称性与诱导公式(15分钟30分）1.cos 660°的值为( )A。

- B.C。

- D.【解析】选B.cos 660°=cos（360°+300°）=cos 300°=cos(180°+120°)=—cos 120°=—cos（180°—60°）=cos 60°=。

【补偿训练】sin 585°的值为 ( ）A。

— B.C。

-D。

【解析】选A。

sin 585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°）=-sin 45°=—。

2。

cos+sin的值为（)A. B.C. D。

+1【解析】选C。

原式=cosπ-sin=cos-sin=—cos+sin=.3。

已知sin=,则cos的值为（)A.- B。

C. D.—【解析】选D。

cos=cos=-sin=—.4.设函数f（x)(x∈R)满足f（x+π)=f（x）+sin x。

当0≤x<π时,f（x）=0,则f=( )A。

B。

C.0 D.—【解析】选A。

f= f+sin=f+sin+sin=f+sin+sin+sin=2sin+sin=。

5。

已知f（α)=，求f的值.【解析】因为f（α)==—cos α，所以f=—cos=-cos =—。

（30分钟60分）一、选择题(每小题5分,共25分）1。

已知sin=，则sin的值为( ) A.B。

-C。

D.-【解析】选D。

方法一:sin=sin=sin=—sin=—.方法二:sin=—sin=—sin=—.2。

下列三角函数中，与sin数值相同的是( )①sin；②cos;③sin；④cos;⑤sin(n∈Z）.A.①②B.①③④C.②③⑤D。

①③⑤【解析】选C。

①中,sin==②中，cos=cos=sin=sin;③中，sin=sin；④中，cos=cos=—cos≠sin;⑤中，sin=sin=sin.故②③⑤中的三角函数与sin的数值相同.3.已知cos（75°+α）=，则sin(α-15°）+cos（105°-α）的值是（）A.B。

高中数学第一章三角函数 1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学案北师大版必修4

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一条件求值【例1】已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值．解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二利用诱导公式化简和证明【例2】求证：cos π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 32π－θ－1＋cos2π－θcos π＋θsin π2＋θ－sin 3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明左边＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ1＋cos θ1－cos θ＝21－cos 2θ＝右边，所以原式得证．规律方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：sin 15π7＋α＋3cos α－13π7sin 20π7－α－cos α＋22π7＝a ＋3a ＋1.证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7]－cos[2π＋α＋8π7]＝－sin α＋8π7－3cos α＋8π7－sin α＋8π7－cos α＋8π7＝－a cos α＋8π7－3cos α＋8π7－a cos α＋8π7－cos α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin π－α＋5cos 2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin －α的值．解由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，即sin α＝－2cos α.∴sin π－α＋5 cos 2π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin －α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋αcos π2＋αsin 2π－α的值，则结果如何？解原式＝cos α－sin α－sin αsin －α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】若例3中的条件不变改为求sin π－α－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos 3π2－α＋cos －π＋α的值．解由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝－31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵sin π－α＋5cos 2π－α2sin 3π2－α－sin －α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案－135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案－125．化简：sin θ－5πcos －π2－θcos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－π＝________.解析原式＝sin θ－πcos π2＋θcos －θsin θ＋π2[－sin θ＋π]＝－sin θ－sin θcos θcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求 cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：2sin θ－32πcos θ＋π2－11－2cos 2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)证明 ∵左边＝－2sin 32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ ＝－2sin[π＋π2－θ]－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案－110．已知α为第二象限角，化简1＋2sin 5π－αcos α－πsin α－3π2－ 1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析原式＝1＋2sin α－cos αcos α－|cos 3π2＋α|＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案－111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时，原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式11 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

高中数学1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课时作业北师大版必修4

单位圆的对称性与诱导公式一、选择题(每小题3分,共18分)1.sin·cos的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.sin=sin=-sin=-,cos=cos=-cos=-,所以sin·cos=×=.2.(2021·太原高一检测)的值为( )A.-B.C.D.-【解析】选A.sin690°=sin(2×360°-30°)=sin(-30°)=-sin30°=-,cos(-690°)=cos(30°-2×360°)=cos30°=,所以==-=-.3.(2021·成都高一检测)若sin(π-α)=,则sin(α-2π)= ( )A.-B.C.-D.【解析】选B.因为sin(π-α)=sinα=,所以sin(α-2π)=sinα=.【变式训练】若cos(2π-α)=,则cos(3π-α)= .【解析】因为cos(2π-α)=cos(-α)=cosα=,所以cos(3π-α)=cos=cos(π-α)=-cosα=-.答案:-【一题多解】cos(3π-α)=cos=-cos(2π-α)=-.答案:-4.(2021·济南高一检测)若sin<0,cos<0,则角θ的终边落在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.sin=-cosθ<0,所以cosθ>0,cos=sinθ<0,故角θ的终边落在第四象限.5.(2021·石家庄高一检测)若600°角的终边上有一点(-4,α),则α的值是( )A.4B.-4C.±4D.【解题指南】先求出sin600°的值,然后利用三角函数的定义求α的值.【解析】选B.sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-,由三角函数的定义知=-,解得α=±4,又600°的角的终边在第三象限,所以α<0,即α=-4.【误区警示】本题易忽略600°角的终边所在的象限而错选C.6.(2021·广东高考)已知sin=,那么cosα= ( )A.-B.-C.D.【解析】选C.sin=sin=sin=cosα=.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2021·赣州高一检测)已知sin=,则cos= . 【解析】因为+=,所以cos=cos=sin=.答案:【举一反三】已知sin=,则cos= .【解析】因为-=,所以cos=cos=-sin=-.答案:-8.若cos+sin(π+θ)=-m,则cos+2sin(6π-θ)的值为.【解题指南】先化简cos+sin(π+θ)=-m,得出sinθ的值,再化简cos+2sin(6π-θ)获得其与sinθ的关系,从而求解.【解析】cos+sin(π+θ)=-sinθ-sinθ=-m,所以sinθ=.cos+2sin(6π-θ)=-sinθ-2sinθ=-3sinθ=-.答案:-9.(2021·潍坊高一检测)若|cos(2π-α)|=cos(π+α),则角α的取值范围是.【解析】因为|cos(2π-α)|=cos(π+α),所以|cosα|=-cosα,所以cosα≤0,所以+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2021·大理高一检测)已知sin(π-α)=2sin,求.【解析】因为sin(π-α)=sinα,2sin=2sin=2cosα,所以sinα=2cosα.原式==-=-=-.11.证明:(1)=-.(2)=1.【证明】(1)左边====-=右边.所以原等式成立.(2)sin100°=sin(90°+10°)=cos 10°,cos280°=cos(270°+10°)=sin 10°,cos370°=cos(360°+10°)=cos 10°,sin190°=sin(180°+10°)=-sin 10°.所以左边==1=右边.所以原等式成立.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2021·赣州高一检测)sin的值是( )A. B.- C. D.-【解析】选B.sin=sin=-sin=-.2.(2021·焦作高一检测)已知sin(π+α)=-,则cos等于( )A.-B.C.-D.【解题指南】利用诱导公式分别化简sin(π+α)与cos,然后再求值. 【解析】选A.sin(π+α)=-sinα=-,所以sinα=,cos=cos=-cos=-sinα=-.【举一反三】本题条件不变,求cos的值.【解析】cos=cos=-cos=sinα=.3.(2021·青岛高一检测)已知A,B,C为△ABC的三个内角,则下列关系式正确的是( )A.sin(B+C)=-sinAB.sin(B+C)=sinAC.cos(B+C)=cosAD.以上都不正确【解析】选B.因为A+B+C=π,所以B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA.4.(2021·大连高一检测)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β∈R,且ab≠0,α≠kπ(k ∈Z).若f(2008)=5,则f(2021)= ( )A.4B.3C.-5D.5【解析】选C.因为f(2008)=asin(2008π+α)+bcos(2008π+β)=asinα+bcosβ=5,所以f(2021)=-asinα-bcosβ=-5.二、填空题(每小题5分,共10分)5.下列三角函数:①sin; ②cos;③sin; ④cos,其中与sin值相同的是(填序号).【解析】sin=cos=cos=sin;sin=sin;cos=cos,所以应填②③.答案:②③【误区警示】本题在求①的值时易忽视对n分奇数、偶数进行讨论而致错.6.(2021·徐州高一检测)化简:= .【解析】===-cosθ.答案:-cosθ三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2021·济南高一检测)已知角α终边上一点P(-4,3),求的值.【解析】因为点P(-4,3)是角α终边上一点,所以sinα=,cosα=-,原式====-.【拓展提升】诱导公式的另类记法运用诱导公式解题本质上是多次运用“化归”思想方式,化负角为正角,化大角为0°～360°内的角,再化为锐角,但是,诱导公式较多,符号难辨,容易混淆,我们可以分两种情况记忆:(1)“函数名不变,符号看象限”对于-α,π-α,π+α,2kπ-α,2kπ+α(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名函数值,前面放上把α看成锐角时原函数值的符号.(2)“函数名改变,符号看象限”对于±α,±α的三角函数值,同上只需将“同”改为“异”.按照以上的记忆技巧,我们很容易求任意角的三角函数值.8.若sin(180°+α)=-,0°<α<90°.求的值.【解析】由sin(180°+α)=-,0°<α<90°,得sinα=,c osα=,所以原式====2. 【变式训练】已知cos(75°+α)=,α是第三象限角,求sin(195°-α)+cos(α-15°)的值.【解析】因为cos(75°+α)=>0,α是第三象限角,所以75°+α是第四象限角,且sin(75°+α)=-=-.所以sin(195°-α)+cos(α-15°)=sin[180°+(15°-α)]+cos(15°-α)=-sin(15°-α)+cos(15°-α)=-sin[90°-(75°+α)]+cos[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)+sin(75°+α)=--=-.。

高中数学第一章三角函数1.4.2_1.4.3课时素养评价含解析北师大版必修4

课时素养评价五单位圆与周期性单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(20分钟40分)1.cos 1 110°的值为 ( )A. B. C.- D.-【解析】选B.cos 1 110°=cos(3×360°+30°)=cos30°=.2.M和m分别是函数y=sin x-1的最大值和最小值,则M+m等于( )A. B.- C.- D.-2【解析】选D.因为M=y max=-1=-,m=y min=--1=-,所以M+m=--=-2.3.函数y=4sin x+3在[-π,π]上的递增区间为( )A. B.C. D.【解析】选B.y=sin x的增区间就是y=4sin x+3的增区间.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x,则f的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选D.因为定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,且f(x)的最小正周期为π, 所以f=f=f=sin=.5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,所以f(6)=f(2).由f(2)=-f(0)=0,得f(6)=0.答案:06.cos π+sin= .【解析】原式=cos+sin=cos +sin =+=.答案:7.已知f(x+3)=-,求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.【解析】因为f(x+6)=f[(x+3)+3]=-=-=f(x),所以f(x)是周期函数,且6是它的一个周期.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.满足sin≥的α的集合为( )A.{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}B.{α|2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z}C.{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}D.{α|2kπ≤α≤2kπ+,k∈Z}【解析】选A.设t=α-,则sin t≥,如图,所以,2kπ+≤t≤2kπ+(k∈Z),即2kπ+≤α-≤2kπ+(k∈Z),所以2kπ+≤α≤2kπ+(k∈Z).2.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=3,则f(8)-f(5)=( )A.-4B.-2C.2D.4【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,所以f(x)=-f(-x).因为f(1)=-f(-1),则f(-1)=-f(1)=-1.所以f(8)=f(8-6)=f(2)=3,f(5)=f(5-6)=f(-1)=-1,则f(8)-f(5)=3-(-1)=4.3.函数y=|sin x|+sin x的值域为( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2]【解析】选D. y=|sin x|+sin x=所以其值域为[0,2].4.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+1)=-f(x),且f(x)在区间[0,2]上是递增的,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系为( )A.f(0)<f(-6.5)<f(-1)B.f(-6.5)<f(0)<f(-1)C.f(-1)<f(-6.5)<f(0)D.f(-1)<f(0)<f(-6.5)【解析】选A.由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期为2的函数.又f(x)为偶函数,所以f(-6.5)=f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),因为f(x)在区间[0,2]上是递增的,所以f(0)<f(0.5)<f(1),即f(0)<f(-6.5)<f(-1).5.有下列结论:①存在函数f(x)定义域中的某个自变量x0,使f(x0+T)=f(x0),则f(x)为周期函数;②存在实数T,使得对f(x)定义域内的任意一个x,都满足f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数;③周期函数的周期是唯一的.其中,正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选A.①由周期函数的定义,可知f(x+T)=f(x)对定义域内的任意一个x都成立,且T≠0,故不正确;②由周期函数的定义可知T≠0,故不正确;③若T为周期,则f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x),所以2T也是周期,故不正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数f(x)=sin 2x+a-1是奇函数,则a= .【解析】由奇函数的定义f(-x)=-f(x)得a=1.答案:17.设函数f(x)=sin x,则f(1)+f(2)+…+f(2 020)= .【解析】f(1)=,f(2)=,f(3)=0,f(4)=-,f(5)=-,f(6)=0,f(7)=f(1),f(8)=f(2),…,所以f(1)+f(2)+…+f(2 020)=f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)=.答案:8.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法:①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;②存在φ,使f(x)是偶函数;③存在φ,使f(x)是奇函数;④对任意的φ,f(x)都不是偶函数.其中错误的是(填序号).【解析】当φ=时,f(x)=cos x是偶函数,所以②正确;当φ=0时,f(x)=sin x,是奇函数,所以③正确;由②③正确知,①④错误.答案:①④三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知f(x)=-sin x在上是减少的,求实数a的取值范围.【解析】因为f(x)在上是减少的,所以⊆,即-<a≤.所以a的取值范围是.10.若≤x≤,求函数y=sin2 x-sin x+1的最大值和最小值.【解析】令t=sin x,因为x∈,结合单位圆知t∈,所以y=t2-t+1=+,t∈,又t=∉,所以当t=时,y min=-+1=;当t=1时,y max=1.1.若f(x)=2 sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=.【解析】因为x∈,即0≤x≤,且0<ω<1,所以0≤ωx≤<.因为f(x)max=2sin=,所以sin=,=,即ω=.答案:2.欲使函数y=Asin ωx(A>0,ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,求ω的最小值. 【解析】函数y=Asin ωx的最小正周期为,在每一个周期内,函数y=A sin ωx(A>0,ω>0)都只有一个最小值,要使函数y=A sin ωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,则y在区间[0,1]内至少含49个周期,即解得ω≥, 所以ω的最小值为.。

高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(二)学案北师大版必修4

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式1.8～1.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一π2±α的诱导公式思考1 角α与π2＋α的正弦函数、余弦函数有何关系？答案 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α. 思考2 能否利用公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α得出π2－α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦的关系？答案以－α代换公式中的α得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos(－α)＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin(－α)＝sin α. 梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α(1.13)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α(1.14) 诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.知识点二诱导公式的记忆方法1.α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.2.π2±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看π2±α的函数值符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”.诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.1.sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝±cos α.(×)提示当k ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝sin(π－α)＝sin α.2.口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号.( × ) 提示应看原三角函数值的符号.类型一利用诱导公式求值例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值； (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α的值.考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝12.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19. 反思与感悟这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.跟踪训练1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值.考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值解 ∵α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.类型二利用诱导公式化简例2 化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2－αsin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)，其中k ∈Z .考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π＋π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－π2－αsin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αsin (π＋α)cos α＝－sin αcos α－sin αcos α＝1.当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z ). 仿上化简得：原式＝1. 故原式＝1.反思与感悟用诱导公式进行化简时，若遇到k π±α的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.跟踪训练2 化简：sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋32π.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式＝sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α·cos α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α·cos α－cos α·sin α＝1.类型三诱导公式的综合应用例3 已知f (x )＝sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－x cos (3π－x )sin (π－x )sin (－π＋x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋x .(1)化简f (x )；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π.考点诱导公式的综合应用题点诱导公式的综合应用解 (1)f (x )＝sin x (－cos x )cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos (π－x )sin x [－sin (π－x )]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x＝sin x (－cos x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －cos x sin x (－sin x )cos x＝sin xcos x.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－sin π3cos π3＝－ 3.反思与感悟解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱. 跟踪训练3 已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos(α－π)＝15，求f (α)的值.考点诱导公式的综合应用题点诱导公式的综合应用解 (1)f (α)＝sin α·cos α·(－cos α)cos α·sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－π)＝15，所以cos α＝－15，所以f (α)＝－cos α＝15.1.已知sin α＝513，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α等于( ) A.513 B.1213 C.－513 D.－1213 考点利用诱导公式求值答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－513. 2.若cos(2π－α)＝53，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α等于( )A.－53 B.－23C.53 D.±53考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案 A解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α＝－53.3.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ＋sin(φ－π)的值为( ) A.－33B.33C.－3D. 3考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32，cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－φ＋sin ()φ－π＝－sin φ－sin φ＝3，故选D.4.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝.考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案 35解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35.5.已知sin(π＋α)＝－13.计算cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2.题点给值(式)求值问题解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.一、选择题 1.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( )A.－25B.－15C.15D.25考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )A.45B.－45C.±45D.35 答案 B 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α＝－35，且α是第四象限角，∴cos α＝45，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－45.3.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos C B.sin(A ＋B )＝－sin C C.cos A ＋C2＝sin BD.sinB ＋C2＝cos A2考点诱导公式在三角形中的应用题点诱导公式在三角形中的应用答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，故C 项不正确；∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，故D 项正确. 4.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m2考点利用诱导公式求值题点综合利用诱导公式求值答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m 2. 5.已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23C.－13D.－23 考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.6.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2·sin(π－θ)等于( ) A.－1225 B.－625C.－25 D.1225考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案 A解析由sin θ－cos θ>1，可知cos θ<0. 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝45，得sin θ＝45，∴cos θ＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin(π－θ)＝cos θsin θ＝－1225，故选A. 二、填空题7.若cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝. 考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案－13解析因为cos α＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－13.8.化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝.考点诱导公式的综合应用题点综合运用诱导公式化简答案－1解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＝(－cos α)·sin αcos α·sin α＝－1.9.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)＝.考点诱导公式的综合应用题点诱导公式的综合应用答案－12解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.10.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝. 考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝.考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案－34解析 ∵角α的终边经过点P (－4，3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝sin αcos α＝－34.12.化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3，n ∈Z 的结果为.考点诱导公式的综合应用题点综合运用诱导公式化简答案 34解析当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3·cos 4π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π＝sin 2π3·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π－2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋4π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋4π3＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－2π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝34，n ∈Z . 三、解答题13.化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (10π＋α)＋sin (11π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αsin (π＋α).考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式＝－cos αsin αcos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)＝. 考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案－34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.15.已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值. 考点诱导公式综合问题题点诱导公式与函数的综合解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin α cos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α. (1)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝15， ∴sin α＝－15， ∴f (α)＝1sin α＝－5. (2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860° ＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。

高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修420180814270

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1 设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：思考2 2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系.答案它们交点间对称关系如表：设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称，所以点P 和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.梳理对任意角α，有下列关系式成立： sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α(1.9) sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α (1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.1.sin(α－π)＝sin α.( × )提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. 2.cos 43π＝－12.( √ )提示 cos 4π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12.3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.( × ) 提示在角度制和弧度制下，公式都成立.类型一给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6；(4)cos(－1 920°).考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋3π4＝sin 3π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝sin π4＝22.(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋7π6＝－sin 7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式1.9来转化.(2)“大化小”：用公式1.8角化为0°到360°间的角.(3)“角化锐”：用公式1.10或1.11将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π6.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32.方法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. 类型二给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝ . (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝22，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝ .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案 (1)－0.3 (2)－22解析 (1)∵sin(π＋α)＝－sin α＝－0.3，∴sin α＝0.3，∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－22.反思与感悟解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用. 跟踪训练2 (2017·大同检测)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )A.1B.－1C.13D.－13考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案 D解析由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2k π＋π＋β(k ∈Z )，sin(α＋2β)＝sin(2k π＋π＋β)＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13.类型三利用诱导公式化简例3 化简：sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α).考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式＝sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝(－sin α)cos α(－cos α)sin α＝1.引申探究若本例改为：sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简.解当n ＝2k 时，原式＝(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝1；当n ＝2k ＋1时，原式＝sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝1.综上，原式＝1.反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.跟踪训练3 化简：cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α).考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.1.sin 585°的值为( ) A.－22 B.22 C.－32D.32考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－16π3的值为( ) A.－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋12考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案 C解析原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.3.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( ) A.cos α＝cos β B.cos α＝－cos β C.sin α＝－sin β D.sin α＝cos β考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案 B4.sin 750°＝ . 考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案 12解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，k ∈Z ， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12.5.化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式＝(－cos α)·sin α[－sin (α＋180°)]·cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)·(－cos α)＝1.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.一、选择题1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C.－32 D.－12考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2.sin(－390°)的值为( ) A.32 B.－32 C.12 D.－12考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案 D解析 sin(－390°)＝sin(－360°－30°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－12.3.下列三角函数中，与sinπ3数值相同的是( ) ①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π3(n ∈Z ).A.①②B.①③④C.②③⑤D.①③⑤考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案 C4.sin(π－2)－cos(4π－2)化简的结果为( ) A.sin 2－cos 2 B.－1 C.2sin 2 D.－2sin 2考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案 A解析原式＝sin 2－cos 2，所以选A.5.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α≠k π(k ∈Z ).若f (2 009)＝5，则f (2 015)等于( ) A.4 B.3 C.－5 D.5 考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值解析 ∵f (2 009)＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝5， ∴f (2 015)＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝5.6.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( ) A.12 B.－12 C.32 D.－32 考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案 C 解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.二、填空题 7.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)＝ .考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案2－2解析原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2.8.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx (x ＜0)，f (x －1)－1(x ＞0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝ . 考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案－2解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.9.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝ .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案 15解析 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.又∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝15.10.已知sin(π＋α)＝35，则cos(α－2π)的值是 .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案 ±45解析由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35，所以cos α＝±45，所以cos(α－2π)＝cos α＝±45.11.①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝； ②sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)＝ . 考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案 ①34②1解析 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1. 三、解答题12.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α的值. 考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题解 cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－m .13.已知角α终边上一点P (－4，3)，求sin (3π＋α)sin (－π－α)sin (－α＋2π)cos (－α－4π)的值.考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值解点P 到原点O 的距离|OP |＝(－4)2＋32＝5. 根据三角函数的定义得sin α＝35，cos α＝－45，sin (3π＋α)sin (－π－α)sin (－α＋2π)cos (－α－4π)＝sin (π＋α)[－sin (π＋α)]sin (－α)cos (－α)＝－sin αsin α－sin αcos α＝sin αcos α＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝－34. 四、探究与拓展14.在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④ 答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.15.已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)cos (－α)cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值. 考点诱导公式与函数的综合题点诱导公式与函数的综合解 (1)f (α)＝－sin αcos αcos α(－cos α)sin α＝cos α. (2)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝cos 5π3＝cos π3＝12. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。