大学教程(零起点)数据结构- 树和二叉树PPT课件
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另：根据各个结点的前驱和后继情况 度数为1的结点表示有一个孩子结点 度数为2的结点表示有两个孩子节点 所以树中孩子结点总数为 n1 + 2 * n2 (2) 由(1)和(2)有： n1 + 2 * n2 = n0 + n1 + n2 - 1 故 n0 = n2 + 1;
33
满二叉树(Full Binary Tree)
B D M
A C
E FGH
26
结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0
树的度：3
B
叶子：K，L，F，G，M，I，J
结点I的双亲：D
结点L的双亲：E
A
结点B，C，D为兄弟
C
D 结点K，L为兄弟
E
F G H I J 树的深度：4
KL
M
结点A的层次：1 结点M的层次：4
结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F
A
B
C
E
FG
J
根
D HI
17
A
M
D
B
E
A
B D
树
F
M
的 其
C
E
GH
C
他
F
表
A
G
示
H
形 式
B
C
D
E FGH
M
18
知识点3：树的基本术语
结点：数据元素的内容及其指向其子树根的分支 结点的度（Degree）：结点拥有的子树的数目。 树的度：一棵树内各结点的度的最大值；
A、B、C、D、
E、F、G、H、
深度为k且有2k-1个结点的二叉树 考虑到有序性，任一结点在树中都有确切的位置， 因此可以对满二叉树进行编号。编号方式为：从上 到下，从左到右。
1
2
3
4567
8 9 10 11 12 13 14 15
34
完全二叉树
若一颗深度为k的二叉树，其k-1层是一颗满二叉树， 而最下面一层，即第k层上的结点都集中在该层最左 边的若干位置上，则称作完全二叉树。
B
C
D
E
F GH I
J
树描述的是一种层次结构， 是一种一对多的逻辑关系
16
知识点1：树的定义
树(Tree)是n(n>=0)个结点的有 限集T。n=0时称为空树。
根
对于非空树
有且仅有一个称为根(ROOT)的 结点；
n>1
其余结点可分为m(m>0)个互不 相交的有限集T1,T2,…,Tm,其中 每个集合又是一棵树，称为子树
B、C是兄弟关系
B
A
A是B、C的双亲
C
B、C是A的孩子
D
E FGH
M
E、F是堂兄弟关系 21
路径：若树中存在一个序列k1，k2…kn，使得ki是 ki+1的双亲，则称该结点序列为k1到kn的一条路径。
路径长度：这些节点经过的边的条数
序列：A B D M E 非路径
序列：A B D M 是路径
序列：A C F
C
D
E FGH
M
24
森林：多棵互不相交的树的集合构成森林
A
B
C
D
E
F
GH I
J
M
三棵树构成的森林
25
结点 结点的度(Degree) 叶子（Leaf)或终端结点 分支结点或非终端结点 树的度 层次(Level) 树的深度(Depth) 孩子（child) 双亲（Parent) 兄弟(Sibling) 祖先 子孙 路径
复习前节
1、数据结构的基本概念
2、顺序表、链表
3、顺序栈、链栈 4、顺序队、链队
线性表
5、顺序串、链串 6、数组和广义表
线性表的推广 树的推广
1
第五章 树和二叉树
5.1 树的概念和术语 5.2 二叉树 5.3 二叉树的运算 5.4 线索二叉树 5.5 树和森林 5.6 哈夫曼树及其应用
2
1、树的概念 2、树的专业术语 3、二叉树的概念 4、哈夫曼树和哈夫曼编码
30
二叉树的性质 性质1.非空二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i1）
证明：i = 1, 只有根结点，显然成立 设i = k时成立，最多有2k-1个结点 当i= k+1时，最多的结点个数： 2k-1 * 2 = 2k-1+1 = 2k = 2( k+1)-1
1
2
3
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31
8 9 10 11 12 13 14 15
结点F，G为堂兄弟 结点G的祖先是结点A，C 结点D的子孙为H,I,J,M
27
知识点3： 二叉树的概念
二叉树(Binary Tree)： 或者是一棵空树， 或者是一棵由一个根结点和两棵互不相交的左子
树和右子树所组成的非空树， 左子树和右子树同样也都是二叉树 A
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
D
EF
H
M 28
特征：
• 每个结点最多只有两棵子树
• 子树有左右之分，次序不能任意颠倒，只有一 棵子树时也必须分清是左子树还是右子树
A BC
A CB
29
二叉树的五种基本形态
A
A
A
A
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a) 空二叉树
(b) 单结点二叉树
(c) 右子树为空
(d) 左子树为空 (e) 左、右子树非空
二叉树的五种基本形态
性质2.深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k1)
证明：二叉树的结点个数为： 1 + 2 + … + 2k-1= 2k-1
1
2
3
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8 9 10 11 12 13 14 15
32
性质3.对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为 n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
证明：设n1为T中度为1的结点数，则总结点数： n = n0 + n1 + n2 (1)
6
7
8
9
知识点1：树的概念
自
然
抽
中
象
的
的
树
树
10
旋转后 11
适当进行调整 12
数据结构中树的形态，具有分层特点
13
某姓氏族谱
14
A
B
C
D
E
F
G
H
I J KL M N O P Q R S T U VW X Y Z
……………………..
对树中的结点给定一个符号名称，具有一对多的特点
15
A
是路径
A
B
C
D
E FGH
M
22
子孙，祖先：以某结点为根的子树中的所有结点都 被称为是该结点的子孙。从根结点到该结点路径上 的所有结点称为该结点的祖先。
A
B
C
D
E FGH
M
23
结点的层数：树中根结点的层次为1，根结点子树 的根为第2层，以此类推。
树的高度（深度）：树中所有结点层次的最大值
A
B
M
B
均称为结点
D
A
A 结点的度为 2
C 结点的度为 3
C M 结点的度为 0
E F G H 树的度为3
M
19
知识点3：树的基本术语
叶子（终端结点Leaf），非终端结点：度为0的结 点称为叶子结点；度不为0的结点称为非终端结点。
A
B
C
D
E FGH
M
20
孩子，双亲，兄弟，堂兄：结点的子树的根称为该 结点的孩子；该结点称为孩子的双亲；同一个双亲 的孩子之间互称兄弟；双亲在同一层的结点互为堂 兄弟。
a
b
c
d
e
f
g
hi j
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满二叉树(Full Binary Tree)
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结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0
树的度：3
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叶子：K，L，F，G，M，I，J
结点I的双亲：D
结点L的双亲：E
A
结点B，C，D为兄弟
C
D 结点K，L为兄弟
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F G H I J 树的深度：4
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结点A的层次：1 结点M的层次：4
结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F
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形 式
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知识点3：树的基本术语
结点：数据元素的内容及其指向其子树根的分支 结点的度（Degree）：结点拥有的子树的数目。 树的度：一棵树内各结点的度的最大值；
A、B、C、D、
E、F、G、H、
深度为k且有2k-1个结点的二叉树 考虑到有序性，任一结点在树中都有确切的位置， 因此可以对满二叉树进行编号。编号方式为：从上 到下，从左到右。
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完全二叉树
若一颗深度为k的二叉树，其k-1层是一颗满二叉树， 而最下面一层，即第k层上的结点都集中在该层最左 边的若干位置上，则称作完全二叉树。
B
C
D
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F GH I
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树描述的是一种层次结构， 是一种一对多的逻辑关系
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知识点1：树的定义
树(Tree)是n(n>=0)个结点的有 限集T。n=0时称为空树。
根
对于非空树
有且仅有一个称为根(ROOT)的 结点；
n>1
其余结点可分为m(m>0)个互不 相交的有限集T1,T2,…,Tm,其中 每个集合又是一棵树，称为子树
B、C是兄弟关系
B
A
A是B、C的双亲
C
B、C是A的孩子
D
E FGH
M
E、F是堂兄弟关系 21
路径：若树中存在一个序列k1，k2…kn，使得ki是 ki+1的双亲，则称该结点序列为k1到kn的一条路径。
路径长度：这些节点经过的边的条数
序列：A B D M E 非路径
序列：A B D M 是路径
序列：A C F
C
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E FGH
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森林：多棵互不相交的树的集合构成森林
A
B
C
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GH I
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三棵树构成的森林
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结点 结点的度(Degree) 叶子（Leaf)或终端结点 分支结点或非终端结点 树的度 层次(Level) 树的深度(Depth) 孩子（child) 双亲（Parent) 兄弟(Sibling) 祖先 子孙 路径
复习前节
1、数据结构的基本概念
2、顺序表、链表
3、顺序栈、链栈 4、顺序队、链队
线性表
5、顺序串、链串 6、数组和广义表
线性表的推广 树的推广
1
第五章 树和二叉树
5.1 树的概念和术语 5.2 二叉树 5.3 二叉树的运算 5.4 线索二叉树 5.5 树和森林 5.6 哈夫曼树及其应用
2
1、树的概念 2、树的专业术语 3、二叉树的概念 4、哈夫曼树和哈夫曼编码
30
二叉树的性质 性质1.非空二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i1）
证明：i = 1, 只有根结点，显然成立 设i = k时成立，最多有2k-1个结点 当i= k+1时，最多的结点个数： 2k-1 * 2 = 2k-1+1 = 2k = 2( k+1)-1
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结点F，G为堂兄弟 结点G的祖先是结点A，C 结点D的子孙为H,I,J,M
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知识点3： 二叉树的概念
二叉树(Binary Tree)： 或者是一棵空树， 或者是一棵由一个根结点和两棵互不相交的左子
树和右子树所组成的非空树， 左子树和右子树同样也都是二叉树 A
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ห้องสมุดไป่ตู้
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特征：
• 每个结点最多只有两棵子树
• 子树有左右之分，次序不能任意颠倒，只有一 棵子树时也必须分清是左子树还是右子树
A BC
A CB
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二叉树的五种基本形态
A
A
A
A
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a) 空二叉树
(b) 单结点二叉树
(c) 右子树为空
(d) 左子树为空 (e) 左、右子树非空
二叉树的五种基本形态
性质2.深度为k的二叉树至多有2k-1个结点(k1)
证明：二叉树的结点个数为： 1 + 2 + … + 2k-1= 2k-1
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性质3.对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为 n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
证明：设n1为T中度为1的结点数，则总结点数： n = n0 + n1 + n2 (1)
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数据结构中树的形态，具有分层特点
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某姓氏族谱
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对树中的结点给定一个符号名称，具有一对多的特点
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A
是路径
A
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子孙，祖先：以某结点为根的子树中的所有结点都 被称为是该结点的子孙。从根结点到该结点路径上 的所有结点称为该结点的祖先。
A
B
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E FGH
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结点的层数：树中根结点的层次为1，根结点子树 的根为第2层，以此类推。
树的高度（深度）：树中所有结点层次的最大值
A
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均称为结点
D
A
A 结点的度为 2
C 结点的度为 3
C M 结点的度为 0
E F G H 树的度为3
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知识点3：树的基本术语
叶子（终端结点Leaf），非终端结点：度为0的结 点称为叶子结点；度不为0的结点称为非终端结点。
A
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孩子，双亲，兄弟，堂兄：结点的子树的根称为该 结点的孩子；该结点称为孩子的双亲；同一个双亲 的孩子之间互称兄弟；双亲在同一层的结点互为堂 兄弟。
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