2007年考研数学(四)试题
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题分析及答案
2007年全国硕士入学统考数学(四)试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）当x →+0时，与x 等价的无穷小量是(A) xe -1. (B) ln(1(C)11-+x . (D) x cos 1-.【分析】 xe-1(1)=--～x - )0(+→x11-+x 1)1(21-+=x ～x 21)0(+→x x cos 1-～x x 21)(212= )0(+→x因此选（Ｂ）（２）设函数)(x f 在x=0处连续，下列命题错误的是(A) 若xx f x )(lim0→存在，则0)0(=f(B) 若xx f x f x )()(lim 0-+→存在，则0)0(=f(C) 若xx f x )(lim 0→存在，则0)0('=f 存在若xx f x f x )()(lim 0--→存在，则0)0('=f 存在. 【分析】 设x x f =)(，则0lim )()(lim 00=--=--→→xx x x x f x f x x 存在，但)0('f 不存在 因此（D ）是错误的。
选（D ）。
（3）如图,连续函数)(x f y =在区间[－3, －2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周。
设⎰=xdt t f x F 0)()(，则下列结论正确的是（A ）)2(43)3(--=F F(B) ).2(45)3(F F =(C) ).2(43)3(F F =-(D) )2(45)3(--=-F F【分析】注意，大、小半圆的面积分别为π与π41。
按定积分的几何意义知，当]2,0[∈x 时0)(≥x f ，当]3,2[∈x 时0)(≤x f 。
⇒ 323002113(3)()()()(),2424F f t dt f t dt f t dt πππ==+=-=⎰⎰⎰ .21)()2(2π==⎰dt t f F 因为)(x f 为奇函数dt t f x F x⎰=⇒0)()(为偶函数。
2007年考研数学试题详解及评分参考
f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、选择题 （ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】 应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】 应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥
2007全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分
2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分一、2007年：1、(2007年数学一、二、三、四) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. [ ] 【答案】A【详解】用定义进行判定:令0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 又 011011101=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.2、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ ] 【答案】B【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .3、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为 . 【答案】1【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1.4、(2007年数学一、二、三、四)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321xa x x ax x x x x x ①与方程12321-=++a x x x ②有公共解，求a 的值及所有公共解．【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++.12,04,02,03213221321321a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a .于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ，k 为任意常数.2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ，故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭, 即①与②有唯一公共解: 为123011x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5、(2007年数学一、二、三、四)设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T)1,1,1(1-=α是Ａ的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．(II) 求矩阵Ｂ．【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A , 进一步 113αα=A , 115αα=A ， 故 1351)4(ααE A A B +-=113154ααα+-=A A1114ααα+-=12α-=，从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即0,03121==ααααT T 所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：0)1,1,1(321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x ,其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 , 故可取2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, 3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101.即B 的全部特征值的特征向量为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111k , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.(II) 令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111, 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121BP P ，得 1112-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110.二、2008年：1、（2008年数学一、二、三、四）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则[ ]则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=． 故E A -，E A +均可逆．故应选(C).2、（2008年数学一）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x x yz A y z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为[ ](A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).3、（2008年数学二、三、四）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上，与A 合同矩阵为[ ] (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ . (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【答案】 应选(D). 【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=-则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.4、(2008年数学一) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值． 因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．5、（2008年数学二）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．【详解】由482-=A ，依据方阵行列式的性质，则有48223-==A A ，即6-=A .又A 等于其特征值的乘积，即632321-=⨯⨯=⨯⨯=λλλλA ,得1-=λ. 6、（2008年数学三）设3阶方阵A 的特征值为1,2,2,E 为单位矩阵，则=--E A 14 .【答案】应填3．【详解】由方阵特征值的性质，E AA f -=-14)(，则14)(1-=-λλf ，故方阵EA --14的特征值分别为1,1,3，又由方阵行列式等于其特征值的乘积，则有341=--E A .7、（2008年数学四）设3阶方阵A 的特征值互不相同，若行列式0=A ，则A 的秩为 . 【答案】应填2．【详解】由题可知，方阵A 的特征值含有0，而其余两个非零，故A 的秩为2.8、（2008年数学一）设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为TTA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<． 9、(2008年数学一、二、三、四) 设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．10、(2008年数学二、三、四)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足321A ααα=+，(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=． 用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=． 因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+， 所以 1123233()0k k k k ααα-+++=， 即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故 123,,ααα线性无关．（II ）由题意，100011001AP P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)P ααα=可逆．故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．三、2009年：1、（2009年数学一）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，则A 称为基12,,,n ααα到12,,,nηηη的过渡矩阵。
07年考研数学试题（线性代数）
07年考研数学试题（线性代数）第一篇：07年考研数学试题(线性代数)07年考研数学试题（线性代数）选择题（每小题4分）⎡2-1-1⎤⎢⎥1.（07010804、07021004、07030804、07040804）设矩阵A=-12-1，⎢⎥⎢⎣-1-12⎥⎦⎡100⎤⎥，则A与B（）B=⎢010⎢⎥⎢⎣000⎥⎦（A）合同，且相似；（B）合同，但不相似；（C）不合同，但相似；（D）合同，但不相似；2.（07020904、07030704、07040704）设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）（A）α1-α2,α2-α3,α3-α1 ；（B）α1+α2,α2+α3,α3+α1；（C）α1-2α2,α2-2α3,α3-2α1 ；（D）α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1.二、填空题（每小题4分）⎡0⎢03.（07011504、07021604、07030504、07041504）设矩阵A=⎢⎢0⎢⎣0秩为.三、解答题 100001000⎤0⎥⎥，则 A3 的1⎥⎥0⎦⎧x1+x2+x3=0⎪4.（07012111、07022311、07032111、07042111）设线性方程组⎨x1+2x2+ax3=0①⎪2⎩x1+4x2+ax3=0与方程 x1+2x2+x3 = a-1② 有公共解，求a的值及所有公共解.5.（07012211、07022411、07032211、07042211）设3阶对称矩阵A的特征值为λ1 = 1，λ2 =2，λ3 =-2 ；向量α1=(1,-1,1)是A的属于λ1 的一个特征向量，记 TB = A5-4A3 + E，其中E为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.第二篇：考研数学一线性代数公式1、行列式1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n-1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积⨯ (-1)③、上、下三角行列式（④、 ◤◥ = ◣2；）：主对角元素的乘积；n(n-1)2和◢：副对角元素的乘积⨯ (-1)ACOB=AOCB；、CBAO=OBAC=(-1)mγn⑤、拉普拉斯展开式：=ABAB⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 3.证明①、A=0的方法：；③构造齐次方程组Ax=0A=-A，证明其有非零解；④证明r(A)<n⑤证明0是其特征值；2、矩阵1.是n阶可逆矩阵：⇔A≠0（是非奇异矩阵）；A⇔⇔⇔⇔⇔⇔r(A)=nA（是满秩矩阵）有非零解；的行（列）向量组线性无关；=0齐次方程组Ax∀b∈Rn，Ax=b总有唯一解；A与E等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；TAA⇔⇔⇔⇔AAA是正定矩阵；的行（列）向量组是Rn的一组基；是Rn中某两组基的过渡矩阵；=AA=AE*A2.对于n阶矩阵A：AA*3.(A-1无条件恒成立；-1)=(A)TT**-1(A-1)T=(A)**T(A)*T=(A)-1T*-1(AB)=BAT(AB)=BA*(AB)=B-1A4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若⎛A1 A=⎝A2O⎫⎪⎪⎪⎪As⎭-1，则：Ⅰ、A=A1A2ΛAs ；Ⅱ、A-1⎛A1 =⎝-1-1A2OAs⎫⎪O⎭-1-1-1⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭；⎛A②、⎝O⎛A④、⎝OO⎫⎪B⎭C⎫⎪B⎭-1⎛A=⎝OO⎫-1⎪B⎭-A-1⎛O；（主对角分块）③、 ⎝BCB-1-1A⎫⎪O⎭-1⎛O=-1⎝A-1B；（副对角分块）O⎫-1⎪B⎭-1⎛A=⎝O-1B⎫⎪⎭⎛A；（拉普拉斯）⑤、⎝CO⎫⎪B⎭⎛A=-1-1⎝-BCA；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m⨯n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F⎛Er=⎝OO⎫⎪O⎭m⨯n；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A) =r(B) ⇔ AγB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(A , E) γ (E , X)，则A可逆，且X②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当Ar=AE-1；就变成A-1变为时，BB，即：(A,B) ~ (E,A-1B)；rc③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b)γ(E,x)，则A可逆，且x=A-1b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；⎛λ1②、Λ=⎝λ2O⎫⎪⎪⎪⎪λn⎭，左乘矩阵A，λi乘A的各行元素；右乘，λi乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号E(i,5.矩阵秩的基本性质：①、0≤r(Am⨯n)≤min(m⑥、r(A+j)，且E(i,j)-1⎛=E(i,j)，例如：1⎝⎫⎪⎪1⎪⎭-1⎛=1 ⎝⎫⎪⎪1⎪⎭；,n)；②、r(A)=r(A)T；③、若AγB，则r(A)=r(B)；④、若P、Q可逆，则；（※）r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))≤；（※）⑦、r(AB)≤min(r(A),r(B))r(A,B)≤r(A)+r(B)B)≤r(A)+r(B)⨯n；（※）⑧、如果A是m矩阵，B是n⨯s矩阵，且AB=0n=0，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AXⅡ、r(A)+r(B)≤解（转置运算后的结论）；；⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)≥r(A)+r(B)-n6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；⎛1②、型如 00⎝a10c⎫⎪b⎪1⎪⎭的矩阵：利用二项展开式；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：⎧n⎪①、伴随矩阵的秩：r(A*)=⎨1⎪⎩0r(A)=n r(A)=n-1r(A)<n-1*-1*；②、伴随矩阵的特征值：Aλ(AX=λX,A=AA ⇒ AX=AλX)；③、A*=AA-1、A*=An-18.关于A矩阵秩的描述：①、r(A)=n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0；（两句话）②、r(A)<n，A中有n阶子式全部为0；③、r(A)≥n，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Ax=b，其中A为m⨯n矩阵，则：①、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程；②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程；10.线性方程组Ax=b的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；4、向量组的线性相关性11.①、向量组的线性相关、无关⇔Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出⇔Ax=b是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示⇔AX=B是否有解；（矩阵方程）12.矩阵Am⨯n与Bl⨯n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；(P101例14)13.14.r(AA)=r(A)nT；(P101例15)⇔α=0维向量线性相关的几何意义：；③、α,β,γ线性相关⇔α,β,γ①、α线性相关②、α,β线性相关共面；⇔α,β坐标成比例或共线（平行）；15.线性相关与无关的两套定理：若α1,α2,Λ,αs线性相关，则α1,α2,Λ,αs,αs+1必线性相关；若α1,α2,Λ,αs线性无关，则α1,α2,Λ,αs-1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n -r个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；16.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)≤向量组A能由向量组B 线性表示⇔AX=Br(B)≤s(二版P74定理7)；；（P86定理3）r(A)=r(A,B)有解；⇔（P85定理2）向量组A能由向量组B等价⇔ r(A)=①、矩阵行等价：A~crr(B)=r(A,B)（P85定理2推论）=P1P2ΛPl17.方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵P1,P2,Λ,Pl，使AB⇔PA=B；=0（左乘，P可逆）⇔Ax=0与Bx同解18.19.20.21.②、矩阵列等价：A~B⇔AQ=B（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：A~B⇔PAQ=B（P、Q可逆）；对于矩阵Am⨯n与Bl⨯n：①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；②、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；④、矩阵A的行秩等于列秩；若Am⨯sBs⨯n=Cm⨯n，则：①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、ABx=0 只有零解⇒ Bx=0只有零解；②、Bx=0 有非零解⇒ ABx=0一定存在非零解；设向量组Bn⨯r:b1,b2,Λ,br可由向量组An⨯s:a1,a2,Λ,as线性表示为：（P110题19结论）（B=AK）其中K为s⨯r，且A线性无关，则B组线性无关⇔r(K)=r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：Θr=r(B)=r(AK)≤r(K),r(K)≤r,∴r(K)=r；充分性：反证法）(b1,b2,Λ,br)=(a1,a2,Λ,as)K=m注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；22.①、对矩阵Am⨯n，存在Qn⨯m，AQ=Em ⇔r(A)②、对矩阵Am⨯n，存在Pn⨯m，PA=En、Q的列向量线性无关；（P87）、P的行向量线性无关；⇔r(A)=n23.若η*为Ax=b的一个解，ξ1,ξ2,Λ,ξn-r为Ax=0的一个基础解系，则η*,ξ1,ξ2,Λ,ξn-r线性无关5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵⇔AA=ET或A-1=AT（定义），性质：⎧1=⎨⎩0i=ji≠j(i,j=1,2,Λn)①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj②、若A为正交矩阵，则A-1=AT；也为正交阵，且A=±1；③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,Λ,ar) b1=a1；b2=a2-[b1,a2][b1,b1]γb1ΛΛΛ[b1,ar][b1,b1]γb1-[b2,ar][b2,b2]γb2-Λ-[br-1,ar][br-1,br-1]γbr-1br=ar-;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、A与B等价⇔A经过初等变换得到B；⇔PAQ=B，P、Q可逆；⇔r(A)=r(B)，A、B同型；②、A与B 合同⇔CTAC=B，其中可逆；TT⇔xAx与xBx有相同的正、负惯性指数；③、A与B相似⇔P-1AP=B； 5.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CTAC=B⇒AγB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6.n元二次型xTAx为正定：T⇔A的正惯性指数为n⇔A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CAC=E⇔A的所有特征值均为正数；⇔A的各阶顺序主子式均大于0⇒aii>0,A>0；(必要条件)第三篇：2013线性代数考研复习建议2013考研线性代数复习建议2013考研备考已经开始了，网校老师结合往年考研复习情况，也2013年考研的学生们一点建议。
2007年硕士研究生入学考试数学四试题及答案解析
2007年硕士研究生入学考试数学四试题及答案解析一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→等价的无穷小量是（A）1- （B） （C1 （D）1- [ ]【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x +→时，1x --，112x，()211122xx -=， 故用排除法可得正确选项为（B ）.事实上，000lim lim lim 1x x x +++→→→==，或ln(1)ln(1()x x o x o o x =+-=++=.所以应选（B ）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ]【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，()lim x f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)limlim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰. 所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便. （4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] 【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）.商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-， 故选（D ）.【评注】需掌握经济中的边际，弹性等概念. （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] 【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断. 【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0xxx x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0limlim 11xxx x x x x x yx x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==， []()1lim lim ln 1e0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线. 故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e x当,x x →+∞→-∞时的极限不同.（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---.(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性.一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B 合同，故选（B ）.【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）.（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ] 【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数. 【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）.【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的. 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） 3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. 【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim(sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+. 【评注】无穷小的相关性质：（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小； （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小； （3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小. （12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________. 【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.（13） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂， 所以122z z y x x y f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭.【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y =________.【分析】本题为齐次方程的求解，可令y u x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x +=-⇒=-.两边积分得 2111ln ln 222x C u -=--， 即222111e e y u x x x C C=⇒=，将11x y ==代入左式得 e C =，故满足条件的方程的特解为 22e e x y x =，即y =1e x ->.【评注】本题为基础题型.（15）设矩阵01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩.【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】本题为基础题型.（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】 方程 ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=， 即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y'''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的. 【评注】本题为基础题型.（18） (本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分. 【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122220110d d d d xx x x x x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1112=+. 所以(D1(,)d 13f x y σ=++⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时, 可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x y σσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰=+.（19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=， 于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评注】对命题为()()0n fξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.（20） (本题满分10分)设函数()f x 具有连续的一阶导数，且满足()2220()()d xf x xt f t t x '=-+⎰，求()f x 的表达式.【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x 求导，再积分即可. 【详解】由方程可得 (0)0f =. 方程两边对x 求导得 0()2()d 2()2()2xf x xf t t x f x xf x x '''=+⇒=+⎰，此为一阶线性方程，解之得22d 2d ()e 2e d e 1x x x x x f x x x C C -⎛⎫⎰⎰=+=- ⎪⎝⎭⎰， 将(0)0f =代入上式得 1C =，故2()e 1x f x =-. 【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a . 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭.显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数；当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-.【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B .【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A Eααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量. 同理可得 ()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数. 由前可知B 的属于－2的特征向量为 T3(1,1,1)k -，其中3k 不为零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则011101110B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式. 请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值 21,,,(),,(Ak a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的.（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的（23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度.【分析】（I ）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24xx yP X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷积公式可得 ()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他.【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.（24） (本题满分11分)设随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的概率分布为记max(,), min(,)U X Y V X Y ==（I ）求(),U V 的概率分布； （II ）求U 与V 的协方差cov(,)U V .【分析】先写出(),U V 的可能取值，然后利用定义求概率. 【详解】（I ）(),U V 的可能取值为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)，则 4(1,1)(1,1)(1)(1)9P U V P X Y P X P Y =========； (1,2)0P U V ===；(2,1)(2,1)(1,2)P U V P X Y P X Y =====+==4(2)(1)(1)(2)9P X P Y P X P Y ===+===； 1(2,2)(2,2)(2)(2)9P U V P X Y P X P Y =========.故(),U V 的概率分布为（II ）由(),U V 的概率分布可得141016,,()999EU EV E UV ===， 所以 4cov(,)()81U V EUEV E UV =-=.【评注】本题为基础题型.。
2007数学考研真题(一)
2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→(A) 1- (B) ln(C) 1. (D) 1- [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x→+∞→+∞→+∞++=+==lim11xx x e e →+∞=+， 1lim [1]lim [ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln(1)0x xxx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2007年考研数学一真题及问题详解
2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)当时，与等价的无穷小量是(A) (B)(C) (D)【答案】B。
【解析】当时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。
【解析】由于∞，则是曲线的垂直渐近线；又∞∞∞∞∞所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于∞一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在∞一侧。
∞∞∞∞∞∞∞∞∞则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)和(D),故选(C)。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C) 若存在，则′存在(D) 若存在，则′存在【答案】D。
【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。
(C)存在，知，则′则′存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是′不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在∞内具有二阶导数，且′′,令,则下列结论正确的是(A)若,则必收敛 (B)若,则必发散(C)若,则必收敛 (D)若,则必发散【答案】D。
2007年考研数学试题难度分析一（共五则）
2007年考研数学试题难度分析一（共五则）第一篇：2007年考研数学试题难度分析一2013年考研数学试题难度分析 2013-01-10 15:40各位考生好，2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学科目的考试已经落下帷幕，万学教育数学教师就今年考研数学题目难度帮考研同学的做第一时间的真题分析.2013年的考研数学题目中的高数部分还是强调了“三基本”，即数学考试的目的就是对基本概念、基本性质、基本原理的考察，这类考试性质没有变。
具体来说，从整体试卷来看，理工类(数学一、数学二)比经济类(数学三)的从计算量和难度略微高一点，平常我们上课当中着力强调的，应该说偏题怪题没有出现。
但今年的考题包括一些选择题，如果平常复习仅仅是死记硬背，对于知识点不能灵活掌握运用，这种题做起来会有困难。
作为考生来说，复习肯定要扎扎实实的，押题的话，我们正好改成重点，尤其是到了冲刺阶段，有所侧重的做题型复习也是有必要的，我们经常说要“抓重点”，抓住重点就可以提高复习的效率，要是侧重掌握某些题型、加深印象，这与全面复习掌握基础是不矛盾的。
我们认为押题和有所侧重是在打好基础的情况下侧重，这样才不会走偏，如果一个考生就想押题，让老师告诉你几道题就得高分，这样是不正确的，往往不会成功。
命题老师没有把前两年考过的一模一样的题拿过来，但很多题型是重复的，像是今年考的题型，以前都考过，但题目和以前不一样，如果是只会死记硬背的考生，这样的题你还是做不出来。
所以万学教育考研的数学老师建议同学们在复习数学时强调的是理解，只有理解了，不仅这个题能够做，自己还能够提出问题，我们经常说，提出问题比解决问题更加困难，道理就在这里，只有对这个问题复习得很透彻了，才能够提出问题，这更能够挑战一个人的智力。
对于刚刚参加完考试的同学来说，你们可以对对答案，自己估估分，做这个工作我认为是有必要的，等到权威完整的答案公布出来之前自己对一对。
万学教育官方网站在第一时间公布了数学一、数学二、数学三、数学农、经济类联考、管理类联考中数学部分试题及试卷答案，可供各位考生参考!第二篇：复旦大学金融硕士考研难度分析考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可！复旦大学金融硕士考研难度分析一、复旦大学金融硕士考研难不难，跨专业的学生行不行?最近几年金融硕士很火，特别是清华、北大这样的名校。
硕士研究生入学统一考试2007数一、数二、数三、数四试题完整版试题详解及评析
x =1
= 1 ⇒ ln c = 1, c = e 。则得特解为： y =
⎛ 1 ⎞ ∂z ⎛ x ⎞ ∂z ⎛− y⎞ ⎛1⎞ ⎟ = fu′⎜ 2 ⎟ + f v′⎜ = f u′⎜ ⎟ + f v′⎜ ， ⎜ ⎟ ⎜ − y2 ⎟ ⎟ ∂x ⎝ x ⎠ ⎝x⎠ ⎝ y ⎠ ∂y ⎝ ⎠
x y x y x ∂z ∂z −y = − f u′ + f v′ − f u′ + f v′ x y x y ∂x ∂y
∫
π
π
2
dx ∫
1
sin x
f ( x, y )dy 等于（
π
） 。
（A） （C）
∫
1
0 1
dy ∫
π
π + arcsin y π + arcsin y
f ( x, y ) dx
（B） （D）
∫
1 0
1
0
dy ∫
π − arcsin y
f ( x, y ) dx
∫ dy ∫π
0
f ( x, y )dx
（C）30
（D）40
dQ P − 2P = = 1 ，则 P = 40 。 dP Q 160 − 2 P
本题考点：导函与微分应用。相同例题参见水木艾迪 2007 模拟试题数四 18 题。 (6)曲线 y = （A）0
1 + ln(1 + e x ) ，渐近线的条数为 x
（B）1 （C）2 （D）3
【解】 答案 D。 垂直渐近线 x = 0 ， 水平渐近线 y = 0( x → −∞ ) ， 斜渐近线 y = x ( x → +∞ ) 。 特别提示：渐近线的实质是极限问题，应从单侧极限入手考察单侧渐近线的存在性。参见 水木艾迪考研数学 36 计例 5-10，基础班讲义例 4-24，强化班第 2 讲例 43。 （7）设向量组 a1 , a 2 , a 3 线性无关，则下列向量组线性相关 的是 ．．．． （A） a1 − a 2 , a 2 − a 3 , a 3 − a1 （C） a1 − 2a 2 , a 2 − 2a 3 , a 3 − 2a1 （B） a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 − a1 （D） a1 + 2a 2 , a 2 + 2a 3 , a 3 + 2a 3
考研数学概率真题解析(2007年)
考研数学概率真题解析（2007年）一、数一、三、四（9）：（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 （A ）2)1(3p p - （B ）2)1(6p p -（C ）22)1(3p p -（D ）22)1(6p p -解答：C 解：第4次命中，前3次中1次命中，2次没有命中，对前3次使用伯努列概型：213)1(p p C -，加上第4次命中，概率为p p p C ⋅-213)1(＝22)1(3p p -。
选C 。
点评：考察考生对于伯努列概型（或者二项分布）中的基本特征：“只知次数，不知位置”。
类似题：例1．31：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2次之前已经失败3次的概率为： A ．32)1(4p p - B ．3)1(4p p - C ．32)1(10p p -D ．32)1(p p - E ．3)1(p -二、数一、三、四（10）：设随机变量),(Y X 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关)(),(y f x f y x 分别表示X ，Y 的概率密度，则在y Y =的条件下，X 的条件概率密度为)|(/y x f Y X（A ）)(x f x（B ）)(y f y（C ）)()(y f x f y x（D ）)()(y f x f y x 解答：A 解：在）（Y X ,服从二维正态分布时，若）（Y X ,不相关，则独立。
所以)()()()()(),()/(/x f y f y f x f y f y x f y x f X Y Y X Y Y X ===，与条件概率的简化类似。
选A 。
点评：考察考生两点：不相关与独立在二维正态分布时的互推关系；独立时联合密度等于边缘密度的乘积。
类似题：在新东方考研数学辅导班上和年底的全国串讲中详细强调过这两个考点。
已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数21-=XY ρ，设.23Y X Z +=（1）求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2）求X 与Z 的相关系数XZ ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？三、数一、三、四（16）：在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为。
2007级全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学四试题.doc
mnhjllyyyyyy 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学四试题一、 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当0x +→等价的无穷小量是（B ）A.1-.l n ()B +1C.1c D - （2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： (C)A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .C .若0()lim x f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则'(0)f 存在（3） 如图。
连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ） .A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =-- （4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ） .A10arcsin (,)x dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10a r c s i n (,)y d y f x y d y ππ-⎰⎰ .C 1a r c s i n 02(,)y d y f x y d x ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40（6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（D ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3。
2003年数学四试题考研数学真题及解析
2003年考研数学（四）试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→= - .（2）dx ex x x⎰--+11)(= - .（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= - .（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202040202,则1)(--E A = - .（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵TE A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= - .（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX, 则2)(Y X E += .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）曲线21x xe y =(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ ]（2）设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x=1处连续，则0)1(=ϕ是f(x)在x=1处可导的(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ ] （3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.[ ] （4）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ ]（5）对于任意二事件A 和B(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立.[ ]（6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则(A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布.(C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. [ ] 三 、（本题满分8分） 设],21,0(,)1(11sin 1)(∈---=x x x x x f πππ 试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五 、（本题满分8分） 计算二重积分.)s i n (22)(22d x d y y x eI Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）设a>1，at a t f t-=)(在),(+∞-∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.七、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163+x ，求f(x)的表达式.八、（本题满分8分）设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量. 九、（本题满分13分）设有向量组（I ）：T )2,0,1(1=α，T )3,1,1(2=α，T a )2,1,1(3+-=α和向量组（II ）：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？十、（本题满分13分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ称做事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen ，从玄从爻。
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当0x +→）A.1-B1C.1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小 【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）. 方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝ 当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.方法3：0lim x +→00lim x x →→'洛1lim lim 1x x ++→→==1A x=+(()111A B x x ++=- 对应系数相等得：1A B = =，所以原式00lim lim 1x x x ++→→⎡⎤==+⎢+⎣0lim lim 011x x x ++→→=+=++1=，选（B ）.（2） 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）（3） 如下图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4） 设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（ ）.A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。
2007考研数学一真题解析
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4 分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1−(B)ln1(D)1−【考点分析】：等价无穷小的定义和常用的等价无穷小 【求解过程】：◼ 方法一：利用等价无穷小0x +→时，()11~−=−−()12111~=+−2111~22x −=，(ln 1~=+◼ 方法二：可用洛必达法则和等价无穷小的定义来求解 验证极限,,lim x A B C D +→是否等于1，其中(),,A B C D 表示A ，B ，C ，D 四个选项中的式子。
故选B【基础回顾】：下面，我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时。
来说明两个无穷小之间的比较。
应当注意，下面的α及β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0α≠，lim βα也是在这个变化过程中的极限。
定义：如果lim0βα=就说β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； 如果lim βα=∞，就说β是比α低阶的无穷小。
如果lim 0c βα=≠，就说β与α是同阶无穷小；如果lim 0,0k c k βα=≠>，就说β是关于α的k 阶无穷小。
如果lim1βα=，就说β与α是等价无穷小，记作αβ。
显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即1c =的情形。
常用等价无穷小，当0x →时，1~ln(1)~sin ~tan ~xe x x x x −+()11~x x αα+−， 211cos ~2x x −(2)曲线()1ln 1x y e x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【考点分析】：曲线的渐近线（水平、垂直、斜渐近线）的条数 【求解过程】：计算垂直渐近线：求函数在其不连续点0x x =处的极限，若为∞则存在垂直渐近线0x x =函数只有间断点0x =，()001lim lim ln 1x x x y e x →→=++=∞⎪⎝⎭，故存在垂直渐近线0x =计算水平渐近线：求函数在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，则有水平渐近线y a =()1lim lim ln 10x x x y e x →−∞→−∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，故存在水平渐近线0y = 计算斜渐近线：求yx在,x x →+∞→−∞时的极限a ，若a 存在，且0a ≠，求出y ax −在相应处的极限b ，则有斜渐近线y ax b =+()2ln 11lim lim 0lim 11x xx x x x e y e x x x e→+∞→+∞→+∞⎛⎫+ ⎪=+=+= ⎪+⎝⎭()()111lim lim ln 1lim ln 0x xx x x x e y x e x x x e →+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+⎛⎫−=++−=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故存在斜渐近线y x = 选D 。
2007年数学考研真题及解析
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 ( ) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
2007年数学四考研试题和答案
2007年研究生入学考试数学四试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（A ）1ex- （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ]（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ] （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---.(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ] （10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ]二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） 3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. . （12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________. （13） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y =________.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.（18） (本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本题满分10分)设函数()f x 具有连续的一阶导数，且满足()2220()()d xf x xt f t t x '=-+⎰，求()f x 的表达式.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B . （23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >； (II) 求Z X Y =+的概率密度.1……【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x +→时，1x --，112x，()211122x x -=， 故用排除法可得正确选项为（B ）.事实上，000lim lim lim 1x x x +++→→→==，或ln(1)ln(1()x x o x o o x =+-=++=.所以应选（B ）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.2……..【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3……..【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，22202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰. 所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）.商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-， 故选（D ）.【评注】需掌握经济中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6……【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0xxx x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xxx x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1lim lim ln 1e0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线. 故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e x当,x x →+∞→-∞时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7……….【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B 合同，故选（B ）.【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）.【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】11…………….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim(sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+. 【评注】无穷小的相关性质：（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小； （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小； （3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】12….【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.13……..【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂， 所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭.【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令y u x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x +=-⇒=-.两边积分得 2111ln ln 222x C u -=--， 即222111e e y u x x x C C=⇒=，将11x y ==代入左式得 e C =，故满足条件的方程的特解为 22e e x y x =，即y =，1e x ->.【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】, 【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.15………【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩.【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=⇒=⇒= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【评注】本题为基础题型.矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.29】，【例2.47】17……【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】 方程 ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=， 即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y'''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122220110d d d d xx x x x x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1112=+. 所以(D1(,)d 13f x y σ=+⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时, 可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x y σσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰=+.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.19…【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=， 于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评注】对命题为()()0n fξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n fx -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20…..【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x 求导，再积分即可. 【详解】由方程可得 (0)0f =. 方程两边对x 求导得 0()2()d 2()2()2xf x xf t t x f x xf x x '''=+⇒=+⎰，此为一阶线性方程，解之得22d 2d ()e 2e d e 1x xx x x f x x x C C -⎛⎫⎰⎰=+=- ⎪⎝⎭⎰， 将(0)0f =代入上式得 1C =，故2()e 1x f x =-.【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第8讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例10.8－例10.10】.21…….【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a . 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪-+-- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭.显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数； 当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-.【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22…….【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A Eααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量. 同理可得 ()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数.由前可知B 的属于－2的特征向量为 T3(1,1,1)k -，其中3k 不为零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则011101110B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式. 请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值 21,,,(),,(Ak a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的.（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类） 第二篇【例5.24】23…….【分析】（I ）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24xx yP X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷积公式可得 ()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他.【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24） (本题满分11分)设随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的概率分布为记max(,), min(,)U X Y V X Y == （I ）求(),U V 的概率分布； （II ）求U 与V 的协方差cov(,)U V .【分析】先写出(),U V 的可能取值，然后利用定义求概率. 【详解】（I ）(),U V 的可能取值为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)，则 4(1,1)(1,1)(1)(1)9P U V P X Y P X P Y =========； (1,2)0P U V ===；(2,1)(2,1)(1,2)P U V P X Y P X Y =====+==4(2)(1)(1)(2)9P X P Y P X P Y ===+===； 1(2,2)(2,2)(2)(2)9P U V P X Y P X P Y =========.故(),U V 的概率分布为（II ）由(),U V 的概率分布可得141016,,()999EU EV E UV ===， 所以 4cov(,)()81U V EUEV E UV =-=.【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.32】，【例3.10】.。
07年数1234
2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析(7) 二元函数f (x , y )在点(0，0) 处可微的一个充分条件是 (A)(,)(0,0)lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →-=.(B) 0(,0)(0,0)lim0x f x f x →-=，且0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=.(C)(,)lim0x y →=.(D) 0lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →''-=，且0lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →''-=. [ C ]【详解】 选项(A)相当于已知f (x , y )在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数(0,0),(0,0)x y f f ''存在，因此(A),(B)均不能保证f (x , y )在点(0，0)处可微。
选项(D)相当于已知两个一阶偏导数(0,0),(0,0)x y f f ''存在，但不能推导出两个一阶偏导函数(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0)处连续，因此也不能保证f (x , y )在点(0，0) 处可微。
若(,)lim0x y →=，则00(,0)(0,0)lim 0x x f x f x →→-==，即(0,0)0,x f '=同理有(0,0)0.y f '=从而 0[(,)(0,0)]((0,0)(0,0))l i mx y f x y ff x f y ρρ→''∆∆--∆+∆= 0(,)(,)(0,0)limlimx y f x y f ρρ→∆∆→∆∆-==0根据可微的定义，知函数f (x , y ) 在(0，0) 处可微，故应选(C). 8) 设函数f (x , y )连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于(A) 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰. (B)1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.(C)1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰. (D)1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰. [ B ]【分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。
2007年考研数学(四)试题
=
y − 1 ( y )3 满足 y x 2x
x=1 = 1的特解为 y=_____________
⎛0 1 0 0 ⎞
(15)
设距阵
A
=
⎜ ⎜
0
0
1
0
⎟ ⎟
,
则
A3
的秩为＿＿＿＿＿
⎜0 0 0 1⎟
⎜ ⎝
0
0
0
0
⎟ ⎠
(16) 在区间 (0,1) 中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于 1 的概率为＿＿ 2
2007 年数学四试题
一、选择题 (1) 当 x → 0+ 时，与 x 等价的无穷小量是( )
A .1− e x
B.ln(1+ x )
C. 1 + x −1
D.1− cos x
(2) 设函数 f (x) 在 x = 0 连续，则下列命题错误的是( )
A. 若 lim f (x) 存在，则 f (0) = 0 x→0 x
{ } ∫∫ f (x, y)dσ .其中 D = (x, y) x + y ≤ 2
D
(19)设函数 f (x) ， g(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内二阶可导且存在相等的最大
值，又 f (a) ＝ g(a) ， f (b) ＝ g(b) ，证明： (I) 存在η ∈ (a,b), 使得 f (η) = g(η) ； (II) 存在ξ ∈ (a,b), 使得 f ''(ξ ) = g ''(ξ ).
(6) 曲线 y = 1 + ln(1+ ex ) 渐近线的条数为( ) x
A. 0
B. 1
C. 2
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C. ∫0 dy∫π
f (x, y)dx
2
1
π −arcsin y
D. ∫0 dy∫π
f (x, y)dx
2
(5) 设某商品的需求函数为 Q = 160 − 2 p ，其中 Q ， p 分别表示需要量和价格，
如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是( )
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
(2)
有公共解，求 a 得值及所有公共解.
(22)设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −2,α1 = (1, −1,1)T 是 A 的属于 λ1 的一个特征向量.记 B = A5 − 4A3 + E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵. (I) 验证α1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； (II) 求矩阵 B .
X
1
2
2
1
P
3
3
记U = max{X ,Y},V = min{X ,Y}.
(I) 求 (U ,V ) 的概率分布
(II) 求U 与V 的协方差 Cov(U ,V ).
2007 年数学四试题
一、选择题 (1) 当 x → 0+ 时，与 x 等价的无穷小量是( )
A .1− e x
B.ln(1+ x )
C. 1 + x −1
D.1− cos x
(2) 设函数 f (x) 在 x = 0 连续，则下列命题错误的是( )
A. 若 lim f (x) 存在，则 f (0) = 0 x→0 x
{ } ∫∫ f (x, y)dσ .其中 D = (x, y) x + y ≤ 2
D
(19)设函数 f (x) ， g(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内二阶可导且存在相等的最大
值，又 f (a) ＝ g(a) ， f (b) ＝ g(b) ，证明： (I) 存在η ∈ (a,b), 使得 f (η) = g(η) ； (II) 存在ξ ∈ (a,b), 使得 f ''(ξ ) = g ''(ξ ).
D . 既不合同，也不相似
(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0 < p < 1), 则此
人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 ( )
A . 3 p(1− p)2
B . 6 p(1− p)2
C . 3 p2 (1− p)2
D . 6 p2 (1− p)2
(10) 设随机变量 (X ,Y ) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， fX (x), fY ( y) 分别
⎧2 − x − y, 0 < x < 1, 0 < y < 1.
(23)设二维随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y) = ⎨ ⎩
0,
其他
(I) 求 P{X > 2Y} ；
(II) 求 Z = X + Y 的概率密度 fZ (z) .
(24)设随机变量 X 与Y 独立同分布，且 X 的概率分布为
下半圆周，在区间 [−2, 0],[0, 2]上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设
x
F (x) = ∫0 f (t)dt, 则下列结论正确的是( )
y
-3
O -2 -1
1
2
3
x
A. F (3) = − 3 F (−2) 4
B. F (3) = 5 F (2)
4
C. F (−3) = 3 F (2) 4
+
cos
x)
=
____________
(12) 设函数 y = 1 ，则 y(n) (0) = ___________ 2x +3
(13) 设 f (u, v) 是二元可微函数， z = f ( y , x ), 则 x ∂z − y ∂z = ＿＿＿＿＿
xy
∂x ∂y
(14)
微分方程 dy dx
(6) 曲线 y = 1 + ln(1+ ex ) 渐近线的条数为( ) x
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
(7) 设向量组α1,α2,α3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )
A .α1 − α2 ,α2 − α3,α3 − α1
B .α1 + α2 ,α2 + α3,α3 + α1
C .α1 − 2α2 ,α2 − 2α3,α3 − 2α1
∫ (20)设函数 f (x) 具有连续的一阶导数，且满足 f (x) = x (x2 − t2 ) f ′(x)dt + x2 ， 0
求 f (x) 的表达式.
⎧x1 + x2 + x3 = 0
(21)设线性方程组
⎪ ⎨
x1
+
2x2
+
ax3
=
0
(1)
⎪ ⎩
x1
+
4x2
+
a2 x3
=
0
与方程
x1 + 2x2 + x3 = a −1
D. F (−3) = − 5 F (−2) 4
π
1
∫ ∫ (4)
设函数 f (x, y) 连续，则二次积分
π dx
f (x, y)dy 等于(
sin x
)
2
1
π
∫ ∫ A. dy
f (x, y)dx
0 π +arcsin y
1
π
∫ ∫ B. dy
f (x, y)dx
0
π −arcsin y
1
π +arcsin y
三、解答题. (17)设函数 y = y(x) 由方程 y ln y − x + y = 0 确定，试判断曲线 y = y(x) 在点 (1,1) 附 近的凹凸性.
(18)设二元函数
⎧x2.
⎪
f (x, y) = ⎨ ⎪ ⎩
1 ,
x2 + y2
x + y ≤ 1. ，计算二重积分
1 < x + y ≤ 2.
=
y − 1 ( y )3 满足 y x 2x
x=1 = 1的特解为 y=_____________
⎛0 1 0 0 ⎞
(15)
设距阵
A
=
⎜ ⎜
0
0
1
0
⎟ ⎟
,
则
A3
的秩为＿＿＿＿＿
⎜0 0 0 1⎟
⎜ ⎝
0
0
0
0
⎟ ⎠
(16) 在区间 (0,1) 中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于 1 的概率为＿＿ 2
C.若 lim f (x) 存在，则 f ′(0) 存在 x→0 x
B. 若 lim f (x) + f (−x) 存在，则 f (0) = 0
x→0
x
D. 若 lim f (x) − f (−x) 存在，则 f ′(0) 存在
x→0
x
(3) 如图，连续函数 y = f (x) 在区间[−3, −2],[2,3] 上的图形分别是直径为 1 的上、
表示 X ,Y 的概率密度，则在 Y = y 条件下， X 的条件概率密度 fX Y (x y) 为( )
A . fX (x)
B . fY ( y)
C . fX (x) fY ( y)
D . fX (x) fY ( y)
二、填空题.
(11)
lim
x→+∞
x3 + x2 +1 2x + x3
(sin
x
D .α1 + 2α2 ,α2 + 2α3,α3 + 2α1
⎡ 2 −1 −1⎤
⎡1 0 0⎤
(8) 设矩阵 A = ⎢⎢−1 2 −1⎥⎥ ， B = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ 则 A 与 B ( )
Hale Waihona Puke ⎢⎣−1 −1 2 ⎥⎦⎢⎣0 0 0⎥⎦
A . 合同，且相似 C . 不合同，但相似
B . 合同，但不相似