趣味数学 有趣的拓扑学共22页
拓扑学.txt
拓扑学拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
中文名称起源于希腊语Τοπολογ?α的音译。
Top ology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。
发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
拓扑定义拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。
To polog y原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。
发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
编辑本段学科方向由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。
在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。
现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。
后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。
[英top ology] 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。
数学趣味小知识
数学趣味小知识如下是有关数学趣味小知识：1.莫比乌斯环神奇的单侧曲面的纸带，可以让一只小虫爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。
最早在公元1858年，由两名德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁分别发现。
后来，这一神奇的单侧曲面纸带就以其中一位数学家的名字命名为“莫比乌斯环”(Mobius strip)。
莫比乌斯环是一种拓扑学结构，它只有一个面和一个边界。
可以用一根纸条扭转成180度后，两头再粘接起来，就形成了莫比乌斯环。
莫比乌斯环沿着中线剪开，第一次，可以得到一个更大的环；第二次及以后，每次都会得到两个互相嵌套的环。
中间永远不会断开，这也是莫比乌斯环的神奇之处。
莫比斯环在现实中会有什么应用呢？其实有很多，例如建筑工业艺术、立交桥、录音机等，有的过山车也会运用莫比斯环特性。
2.克莱因瓶你见过能装下整个太平洋水的瓶子吗?甚至把全世界的水都装到这个瓶子里都不能把它装满，这到底是一个怎么样的瓶子?又为何装不满呢？这个神奇的瓶子就是克莱因瓶！由德国数学家菲利克斯·克莱因于1882年发现，并以他的名字命名的著名“瓶子”。
但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。
有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环。
真正的克莱因瓶是一个在四维空间中才可能表现出来的曲面。
它的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。
因此，直到现在，克莱因瓶仍是克莱因头脑中的“虚构之物”。
3.黄金分割黄金分割提出者是毕达哥拉斯。
有一次，毕达哥拉斯路过铁匠作坊，被叮叮当当的打铁声迷住了。
为了揭开这些声音的秘密，他测量了铁锤和铁砧的尺寸，发现它们存在着十分和谐的比例关系。
回家后，他取出一根线，分为两段，反复比较，最后认定1:0.618的比例最为优美。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割是在生活中常用的的一种比例关系：在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处；二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的0.618处；著名的巴特农神庙就是利用黄金比例修建的；埃菲尔铁塔也是黄金比例建筑的典范。
拓扑学课件
拓扑学之旅
Topology
小教4班 郑梦珂 朱桃
简介概要
应用实例
拓扑学
有趣游戏
图片欣赏
拓扑简介
拓扑学（topology）是近代发展起来的一个数 学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变 化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为 数学中一个非常重要的领域。 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了 。那时候发现一些孤立的问题。后来在拓扑学 的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥 问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓 扑学发展史的重要问题。除去七桥问题，四色 问题，欧拉定理等，拓扑学中还有很多有趣并 且很基本的问题。例如还有纽结问题，维数概 念，向量场问题，不动点问题。
解答与分析
妮薇先抓住绕在自己手上的绳子的中间部分，然后将绳子穿过诺曼右手 腕A的绳圈，穿越的方向是从手腕的内部顺着手肘的方向到手掌端，随 后将绳子回绕过手掌而伸出到手的外侧。此时妮薇就可和诺曼分开了， 在场的人也会惊讶不已。
他们的手腕仍然绑着，可是两人已经没有被绑在一起了。要注意的是，
如果没有完全依照文中的指示，将会使两条绳子纠缠得更严重。
纽结问题
纽结理论是数学学科代数 拓扑的一个分支，按照数 学上的术语来说，是研究 如何把若干个圆环嵌入到 三维实欧氏空间中去的数 学分支。纽结理论的特别 之处是它研究的对象必须 是三维空间中的曲线。在 两维空间中，由于没有足 够的维数，我们不可能把 让一根曲线自己和自己缠 绕在一起打成结；而在四 维或以上的空间中，由于 维数太多，无论怎么样的 纽结都能够很方便地被解 开成没有结的曲线。
网络应用
图片欣赏
克莱因瓶
趣味游戏
• 在一次聚会中，诺曼和妮薇如图中所示被两条
拓扑学的趣味
拓扑学的思维趣味从小到大，我的数学都是成绩较好的，学数学对我来说没有太大的困难，因为想象力丰富，我总是能联想到一道数学题的关键解法，例如辅助线的选取，立体几何的建模想象，但对数学感兴趣是称不上的。
直到高三，我最喜欢的科目是地理，平时会找一些关于地理的趣味视频观看，从一个视频中，我知道了一个定理，那就是：地球上一定至少存在一对完全相对的某两点，它们的气温和气压完全相同。
我被这个定理惊吓到了，气温气压之间的关系要受到天气、风、地表环境等很多方面因素的影响，虽说地球很大，要找到气温气压都相同的两点不是没有可能，可要找到一对对跖点，它们的气温气压完全相同，这听上去让人感觉太不可思议了，为了满足自己的好奇心，我查找了很多资料，甚至翻墙到外网，终于找到了证明过程，我了解到，证明这一现象，用的是数学方法——拓扑学中的Bosuk-Ulam定理。
证明过程如下：地球是个不规则的椭圆球体，我们假设它是一个规则的球体，这并不影响证明。
建立空间直角坐标系，假设地球是一个球心为坐标(0,0,0)，半径为1的球体。
此时，选取一条经线圈，假设你和你的妹妹沿着经线圈朝着同一个方向行走，唯一的要求就是在这条经线圈上，你和你的妹妹的位置永远保持纬度对称，直到你和你的妹妹交换了位置，这过程中绝对有一对对跖点你和妹妹的气温是相同的，因为在地球上，气温是连续变化的函数，不存在连续位置的点温度数值不连续。
再重复走过所有的经线圈，记录所有气温相同的点，把得到相同气温所在的点连起来，得到的必是一个封闭的环（这里可用反证法证明，如果存在温度不连续的点，那么就可以得到一个温度不连续的经线圈，这与地球上的气温是一个连续函数的事实相违背）。
然后你和你的妹妹沿着纬线同方向走过这个圆环，还是要保持经度的对称，直到你们交换位置，记录下途中所有的气压，因为气压也是连续的函数，所以必有一点你和妹妹的气压也相同。
这样，在气温对称相同的圆环上，找到气压对称相同的点，就证明了地球上一定至少存在一对完全相对的某两点，它们的气温和气压完全相同。
拓扑学课件
定理 5.1.3 设Y 是拓扑空间 X 中的一个连通子集, 如果 A, B 是 X 中的隔离子集使得Y ⊆ A ∪ B,则或者Y ⊆ A, 或者Y ⊆ B. 证明：假若 Y ⊆ A,且Y ⊆ B,由于 A∩ B = ∅,Y ⊆ A ∪ B,因 / / 此
A∩Y ≠ ∅
,
B∩ Y ≠ ∅
, ,
而
且 又
F1 ∪ F2 = X , F1 ∩ F2 = ∅ ,
(4) X 中存在着一对非空的隔离子集 A , B 使 得A∪ B = X .
证明：
( 1 ) ⇒ ( 2 ) 由于 X
是不连通的,因此存在非空开
集 A, B 使 得 A ∩ B = ∅, A ∪ B = X , 由 此 可 得
A = X − B ,由于 B 是开集,因此 A 是闭集,因此 A 就
x∈Y
Y = ∪ Yax ,因此Y 是 X 的连通子集.
x∈Y
§5.1 连 通 空 间
重点： 重点：连通空间的性质 难点： 难点：连同空间有限可积性的证明
首先，对前节内容进行简要复习。 在第三章曾指出一个拓扑性质就是一个相互 同胚的拓扑空间都具有的性质,换句话说就是在同 胚映射下保持不变的性质.显然,拓扑空间的某种 性质,如果在连续映射下保持不变,即该性质若为 一个拓扑空间所具有,必然也为它在任何一个连续 映射下的象所具有,那么这个性质一定是拓扑性质 这是因为同胚是连续的满射.下面我们再给出其它 几个经常要谈到的性质：
( A ∩ Y ) ∪ (B ∩ Y ) = ( A ∪ B) ∩ Y = Y
(( A ∩ Y ) ∩ ( B ∩ Y )) ∪ (( A ∩ Y ) ∩ ( B ∩ Y )) ⊆ ( A ∩ Y ∩ B) ∪ ( A ∩ Y ∩ B)
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三、拓扑变换的应用
• 2.有限元网格划分
• 移除边是指从四面体网格中移除 一条边的变换，包括3-2和4-4的 变换以及其他能够移除四面体的 变换。所有包含这条边的面和四 面体都将被移除，并且由其他的 面和四面体来代替。图2演示了一 次移除边的变换，该变换中，由 10个新的四面体替换了原有的7个 四面体。
• 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就 被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的 数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只 要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓 扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
•
三、拓扑变换的应用
• 1.密码学——基于指纹特征点拓扑结构变换的非对称加解密方法
• 指纹特征点拓扑结构变换加解密原理
• 借助指纹传感器等设备, 针对某一幅具体的指纹提取一组指纹特征点 拓扑结构的矩阵向量,如表1所示。
•
表1 指纹特征点的拓扑结构数据
指纹特征点 端点 叉点
(39,39) (153,132) (65,235) (180,287) (58, 43) (200, 166)
一、五个有趣的拓扑变换问题
有趣的是，把轮胎的内表面翻出来之后，轮胎上的“经线” 和“纬线”也将会颠倒过来：
Wikimedia 上有一个巨帅无比的动画， 直接展示出了把一个圆环面的内表面 翻到外面来的过程。此动画看着非常 上瘾，小心一看就是 10 分钟！
一、五个有趣的拓扑变换问题
• 5.能否把左图连续地变形为右图？ 答案是可以的。首先，作出如下图所示的
三、拓扑变换的应用
解析拓扑学掌握拓扑学的基本概念和定理
解析拓扑学掌握拓扑学的基本概念和定理拓扑学是数学中的一个重要分支学科，研究的是空间中的连续性质和变形。
它的发展可以追溯到18世纪末，而在20世纪初得到了较大的发展和应用。
拓扑学的基本概念和定理对于数学和其他学科都有着重要的影响。
一、拓扑学的基本概念在介绍拓扑学的基本概念之前，我们先来了解一下拓扑空间的概念。
拓扑空间是可以定义连续性的一种数学结构，它由特定的集合和在集合上定义的拓扑结构组成。
1.1 集合在拓扑学中，集合是指事物的总体，它由若干个元素组成。
集合可以是有限的，也可以是无限的。
1.2 拓扑结构拓扑结构是对集合进行拓扑性质描述的一种方式。
拓扑结构由开集构成，满足以下三个条件：（1）空集和整个集合都是开集；（2）两个开集的交集仍然是开集；（3）有限个开集的并集仍然是开集。
1.3 拓扑空间拓扑空间是一个有序对，包括一个集合和一个定义在集合上的拓扑结构。
二、拓扑学的基本定理在拓扑学中，有一些基本定理被广泛应用于研究和解决问题。
接下来，我们将介绍几个重要的基本定理。
2.1 连通性定理连通性定理指出，如果一个拓扑空间是连通的，那么它的子空间也是连通的。
这个定理在拓扑学中有着广泛的应用，可以帮助我们研究和理解拓扑空间的性质。
2.2 压缩映射定理压缩映射定理是拓扑学中的另一个重要定理，它说明了在一个完备度量空间中存在唯一的压缩映射。
这个定理在动力系统和微分方程等领域有着广泛的应用。
2.3 闭集和极限点定理闭集和极限点定理是拓扑学中的两个基本概念。
闭集是指包含了所有极限点的集合，而极限点是指集合中存在收敛于它的序列。
闭集和极限点定理可以帮助我们判断拓扑空间的性质和证明定理。
三、拓扑学的应用除了在数学中的应用，拓扑学还在其他学科中有着广泛的应用，包括物理学、计算机科学和生物学等领域。
3.1 物理学中的应用在物理学中，拓扑学可以帮助我们理解和解释一些复杂的物理现象。
例如，在凝聚态物理中，研究拓扑态可以揭示材料的独特性质和电子结构。
数学游戏拓扑学
编者按：你知道多年的窗户玻璃为什么会变得上薄下厚吗？你有办法使曲别针自己勾在一起吗？你见过在水泥地上扔灯泡而不使灯泡摔破吗？
这里的游戏，妙就妙在无论是谁，几乎都没法在这些游戏中取胜。这些游戏初看很简单，似乎很容易做，但是真正做起来，往往事与愿违，办不到。你会玩得很开心，并从回答为什么办不到中学到许多有趣的科学知识。
做到这点是不可能的，因为它的条件改变了。虽然是两个杯子的杯口朝一个方向，另一个杯子的口朝另一方向，但是与上面的情况正好相反。你用双手将杯子翻动三次，只能使三个杯子的口都朝下，而不能朝上。
游戏四十四同样两个动作，但先后顺序不同，你能得出相同结果吗？
拿一本书，封面朝上，然后把书从下往上翻个个，再按反时针方向把书旋转90?度，结果是书脊对着你，而书的封底朝上。
游戏四十二你能把一张纸折九次以上吗？
这个游戏没有任何限制，不论你用什么样的纸，也不论纸的大小和厚薄，只要你把一张纸折九次以上，你就赢了。每次折纸的时候，要整齐地对折，可以把纸横折、竖折，也可以对角折。你能把一张纸折九次以上吗？
实际上，这是一个几何级数问题。在折纸的时候，第一次纸折成两层；第二次，纸折成四层；第三次，纸折成了八层。连续不断地折下去，纸的层数也不断地增加。当你折到第七次时，纸成了128?层，这就好象你在折一本书了。要想折九次以上实际上是做不到的。
把以上动作重做一遍，就象重新读这本书一样，还是刚才的两个动作。不过这次的顺序换了，先把书按反时针方向旋转90?度，再把它从下往上翻个个，现在是封底朝上，而书脊离开你了。
为什么会有不同的结果呢？这是因为上面说的两种情况虽然都是同样的翻动和转动两个动作，但它们的先后顺序不同，结果也就不一样。你也许会问，为什么把这个问题放在这一章呢？因为这也是数学问题呀，运动的方向和位置也是数学研究的内容之一。
趣味拓扑学
扑学的一个基本定理叫做约当曲线定理(它 是用法国数学家卡米耶· 约当的姓氏命名的)。 这个定理指出，任何的简单闭曲线(一条两 端相接并且不自身相交的曲线)都把一个平 面分成两个区域——一个外部和一个内部。
简单闭曲线的所有“内部”区域相互之间 被偶数条线隔开。“外部”区域之间也是 如此。而任何一个内部区域与任何一个外 部区域之间，则被奇数条线隔开。零被认 为是偶数，因此两个区域之间如果没有线 隔开，它们当然是在曲线的同十“侧”， 于是我们的定理依然成立。
趣味拓扑学
拓扑学是现代几何学中最年轻最奔放无羁 的分支之一。它的一些稀奇古怪的图形— —单侧曲面、无“内部”的封闭瓶子、里 侧翻在外面的内胎——是如此不可思议， 它们似乎不是由沉着冷静的数学家而是由 科学幻想小说家我们无 论怎样的扭曲、拉伸或压缩仍然保持不变 的性质。对于一位拓扑学家来说，一个三 角形和一个圆没什么两样，因为如果我们 设想这个三角形是用绳子做成的，我们就 能容易地把这绳子拉成一个圆的形状。假 设我们有一个炸饼圈(拓扑学家称之为环面)， 它是用能让我们随意模压成型但既不会自 身粘连又不可能断裂的塑性材料制成的。
有没有什么办法，你能脱下毛线衫，把它 的里面翻到外面，然后再穿上去呢?别忘了， 毛线衫是没有扣子的，而且绳子不许解开， 也不许剪断。
答案 有办法。按照如下的步骤，这件毛线衫就可以翻个面： (1)把毛线衫拉过头脱下，这样一来它就翻了个面，让 它里面向外地挂在绳子上，如图1所示。 (2)把毛线衫从它一只袖子中塞过去，这样它又翻了个 面。现在它正面向外地挂在绳子上(图2)。 (3)逆着把毛线衫脱下来时的做法，再把毛线衫套过头 穿上。这就让毛线衫第三次翻了个面，使它反面朝外地穿 在你的身上。 在你尝试之前，看看你是否能够在脑海中呈现这个过程。 如果你毛线衫胸前绣有学校名称的字样，在你完成上述3 个步骤以后，这些字样是贴着你的前胸还是后背?
五个有趣的拓扑变换问题
五个有趣的拓扑变换问题如果你喜欢那个空间想象能力挑战，你一定会喜欢 V. V. Prasolov 的 Intuitive Topology 一书。
书中的第一章有五个非常经典的“拓扑变换”类谜题，在此与大家分享。
注意游戏规则：我们假设所有物体都是用橡胶做成的，可以随意地拉伸、挤压、弯曲，但不允许切断、粘连等任何改变图形本质结构的操作。
1. 能否把左图连续地变形为右图？2. 能否把左图连续地变形为右图？3. 左图所示的立体图形表面画有一个圆。
能否通过连续变换，把这个圆变到右图所示的位置？4. 在一个轮胎的表面上打一个洞。
能否通过连续变换，把这个轮胎的内表面翻到外面来？5. 能否把左图连续地变形为右图？1. 能否把左图连续地变为右图？答案是可以的，如下图所示：这意味着，假如人类的身体可以像橡胶人一样任意变形，那么用两手的拇指和食指做成两个套着的圆环之后，我们可以不放开手指，把圆环给解开来。
Algorithmic and Computer Methods for Three-Manifolds 一书里画了一张非常漂亮的示意图：更加有趣的是，如果仅仅是手腕上多了一块手表，上述方案就不能得逞了：2. 能否把左图连续地变为右图？答案是可以的，如下图所示：3. 左图所示的立体图形表面画有一个圆。
能否通过连续变换，把这个圆变到右图所示的位置？答案是可以的，如下图所示：4. 在一个轮胎的表面上打一个洞。
能否通过连续变换，把这个轮胎的内表面翻到外面来？答案是可以的。
首先，作出如下图所示的连续变换。
可以看到，一个表面有洞的轮胎本质上等于两个粘在一起的纸圈！不过，注意纸圈 1 和纸圈 2 的地位不太一样：一个是白色的面（即最初轮胎的内表面）冲外，一个是阴影面（即最初轮胎的外表面）冲外。
现在，把纸圈 2 当成原来的纸圈 1 ，把纸圈 1 当成原来的纸圈 2 ，倒着把它们变回轮胎形，轮胎的内外表面也就颠倒过来了。
有趣的是，把轮胎的内表面翻出来之后，轮胎上的“经线”和“纬线”（姑且这么叫吧）也将会颠倒过来：Wikipedia上有一个巨帅无比的动画，直接展示出了把一个圆环面的内表面翻到外面来的过程。
拓 扑 学 奇 趣
拓扑学奇趣一、什么是拓扑学拓扑学(Topology)是在19世纪末兴起并在20世纪中迅速蓬勃发展的一门数学分支，其中拓扑变换在许多领域均有其用途。
直至今日，从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为数学理论的三大支柱。
拓扑学的最简单观念产生于对周围世界的直接观察。
直观的说，关于图形的几何性质探讨，不限于它们的“度量”性质(长度、角度等等)方面的知识。
拓扑学探讨各种几何形体的性质，但是其内容却与几何学的范畴不尽相同，多数的讨论都是围绕在那些与大小、位置、形状无关的性质上。
例如，曲线(绳子、电线、分子链…)不论有多长，它可以是闭合或不是闭合的。
如果曲线是闭合的，则它可以是“缠绕”得很复杂的。
两条以上的闭曲线可以互相套起来，而且有很多型式。
立体及它们的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破坏孔洞下，它们允许做任意的伸缩及变形。
这种变形不会减少或增加孔动数量，就叫做它的“拓扑性质”。
一个橡皮圈，在它的弹性限度内，任凭我们把它拉长、扭转，只要不把它弄断，那么它永远是一个圈圈。
拉长使它的长度改变了，扭转使它的形状改变了，然而在拓扑学上不会理会这些，只是专注在“它永远有一个圈圈”上。
A. 拓扑同胚与等价性质拓扑学只探讨各种几何形体的内禀特质。
一个几何图形的性质，经由一拓扑变换作用后维持不变，该性质称为图形的拓扑性质。
下面两组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。
任何三角形、方形、圆形及椭圆的内禀特质，从拓扑学的立场看来，它们都没有任何区别。
然而，在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。
如果我们把一个橡皮制的物体X任意的扭转、拉长，但不可把它撕开或断，而得到另一形状的物体Y，我们称这两个物体X和Y在拓扑上是一种“同胚”或“等价”的结构。
广义的来说，在一个物体到另一个物体的对应关系，如果它是不间断，又不重复，则在拓扑上称这个关系在两物体间建立一个“同胚”变换。
两个物体间如果存在有这种关系，则称它们为“拓扑同胚”。
数学中的拓扑学是什么
数学中的拓扑学是什么在数学这个广袤而神秘的领域中，拓扑学宛如一颗璀璨的明珠，散发着独特的魅力。
然而，对于大多数非数学专业的人来说，拓扑学可能是一个陌生而神秘的概念。
那么，数学中的拓扑学究竟是什么呢？要理解拓扑学，我们先从一个简单的例子入手。
想象一下，有一个甜甜圈和一个咖啡杯。
从表面上看，它们形状完全不同，但在拓扑学家的眼中，它们在某种意义上是“相同的”。
这是因为，如果我们把甜甜圈的中间挖空部分看作一个洞，把咖啡杯的把手部分也看作一个洞，那么通过拉伸、扭曲等变形操作（但不能撕裂或粘连），甜甜圈可以变成咖啡杯的形状，反之亦然。
这种只关注物体形状的连续性和连通性，而不关心其具体尺寸和形状细节的研究，就是拓扑学的核心思想。
拓扑学所研究的对象是空间和形状在连续变形下保持不变的性质。
这意味着拓扑学并不关心物体的长度、角度、面积等具体的度量性质，而是关注物体的整体结构和相互关系。
比如，一个球体和一个立方体在拓扑学中被认为是等价的，因为它们都没有洞，都是“单连通”的。
而一个圆环和一个实心球就不同，圆环有一个洞，而实心球没有。
在拓扑学中，有一些基本的概念是理解其本质的关键。
其中一个重要概念是“拓扑空间”。
简单来说，拓扑空间是一个由点组成的集合，以及一组被称为“开集”的子集，这些开集满足一定的条件。
通过定义不同的拓扑空间，我们可以研究各种不同的形状和空间结构。
另一个重要概念是“连续映射”。
如果从一个拓扑空间到另一个拓扑空间存在一种映射，使得在这种映射下，原空间中的点在经过变换后，其邻近点的关系在新空间中仍然得以保持，那么我们就称这种映射为连续映射。
连续映射在拓扑学中起着至关重要的作用，它帮助我们描述和比较不同拓扑空间之间的关系。
拓扑学的应用广泛而深远，不仅在纯粹的数学领域中有着重要的地位，还在物理学、计算机科学、生物学等众多学科中发挥着关键作用。
在物理学中，拓扑学被用于研究量子霍尔效应等现象。
量子霍尔效应是一种在低温强磁场下出现的奇特物理现象，其背后的数学原理就与拓扑学密切相关。
拓扑学知识点总结
拓扑学知识点总结
前言：
嘿，朋友们！拓扑学，听起来是不是超级神秘又高大上？但别担心，我来给大家好好讲讲拓扑学那些有趣的知识点，保证让你觉得哇塞，原来这么有意思呀！
正文：
拓扑学啊，就像是一场奇妙的变形游戏！比如说，一个甜甜圈和一个咖啡杯，从拓扑学的角度来看，它们可是一样的哦！是不是很神奇？想象一下，我们把甜甜圈中间的洞拉大，再把它捏一捏，哎呀，就变成个咖啡杯的形状啦！就像我们玩泥巴一样，可以随意变换形状，但本质不变。
再来说说莫比乌斯环，把一张纸条扭半圈再粘起来，哇哦，你就会发现从这一面走能走到另一面，永远走不完呢！这难道不比魔术还好玩吗？在拓扑学的世界里，绳子可以打结变形但解不开，气球可以被吹大缩小形状千变万化。
就好像我们的生活，虽然每天都不一样，但有些东西一直都在那呀！
结尾：
怎么样，拓扑学是不是超级有趣呀！它就像一个隐藏在数学世界里的神秘宝藏，等着我们去挖掘去发现呢！赶紧加入这场拓扑学的奇妙之旅吧，你一定会被深深吸引的！。
数学中的拓扑学理论研究
数学中的拓扑学理论研究拓扑学是一门重要的数学分支，研究的是空间的性质与结构。
它涵盖了各个学科领域，如微分几何、代数学、分析学和数论等。
在近代科学与技术的快速发展中，拓扑学成为了一个重要的研究领域，尤其是在信息学、机器人学、物理学、生物学甚至社会学等多个领域都有应用。
拓扑学的研究领域非常广泛，包括了流形、度量空间、拓扑群、同调论、奇点理论、格上拓扑等等，而其中最具有代表性的无疑是流形理论了。
一般地，流形是指全局上看起来像欧氏空间一样的局部简单几何结构，比如平面、球体、三维立体等等。
流形在各个领域的研究中占据着非常重要的地位，比如人们在描述一个物理系统的时候，可以将其抽象地描述成为一个流形，在这个流形上表示各种物理量和物理状态，从而通过数学方法解决实际问题。
在流形的研究中，自然界中有许多著名的例子。
比如，人们研究测地线问题时，就会想到对地球的各个地方进行编制，并且注意到它们的结构是可以相互拼接的，而这使得地球就成了一个三维的流形。
再比如，在频谱分析中，人们会将一个连续信号看作是在时间轴上动态地变换的函数，而在傅里叶变换的一项基本理论中，信号的频域分析可以看作是对输入函数的嵌入到一个流形里面进行拓扑分析。
这些例子都表明了拓扑学理论的实际应用性，尤其是在现代科技的快速发展下。
拓扑学理论的概念非常抽象，比如拓扑空间就是指一个元素的集合，再加上这些元素之间的关系。
这种关系并不要求必须满足良好的度量条件，而只需要满足一定的拓扑性质，比如邻域、连通性等。
这种方法可以让我们处理一些复杂的问题，往往比传统的处理方法更加高效。
另一个核心的概念是基本群，它用于描述一个拓扑空间的拓扑结构。
基本群是一种代数结构，它在量子场论、弦论等领域都有非常重要的应用。
对于拓扑空间的同伦类型，我们可以通过比较不同拓扑空间的基本群来进行划别，这种方法在物理学、天文学、生物学等领域也得到了广泛的应用。
拓扑学理论在信息学中也有非常重要的地位，比如拓扑排序就是一种常用的算法，其中主要研究的是有向图的拓扑结构，它在软件工程、自然语言处理、电路设计等领域都有非常广泛的应用。
拓扑学
x, y X , xRy 和 yRx不能同时成立,则称关系R为非 对称的; 如果 R R R ,即对于任何 x, y, z X ,如果 xRy, yRz，则 xRz ，则称关系R是传递的.
(3)由于 z S R(A) 当且仅当存在 x A 使得 xS Rz, 当且仅当存在 x A 使得 (存在 y Y 使得 xRy, ySz )， 当且仅当存在 y R(A) 使得 ySA . (4)设 y R(A) R(B) ,即 y R( A), yR(B) . 因此存在 x A ，使得 xRy . 此时假设 x B，由于 xRy，因此 y R(B) ，这与 yR(B) 矛盾，因此 xB, 因此存在 x A B, xRy ，因此 y R(A B)，R(A) R(B) R(A B).
D {x | x A 而且(x B或x C)}
E ，{x | (x A 而且x B)或x C}
F {x | x A 而且(x B xC)}
， ，
§1.2 关系,等价关系
❖ 重点：熟悉关系像，逆关系，复合关系和 等价关系的性质
❖ 难点：对命题演算知识的欠缺将影响性质 证明的严谨性
定义1.2.1 设X,Y是两个集合,如果 R X Y,即R是X 与Y的笛卡尔积 X Y的一个子集,则称R是从X到Y的 一个关系. 定义1.2.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系,即
8. 设A，B，C，D是全集X的子集,试判断下列命题的正确性.若正确，给出证明， 若不正确，给出反例.
① A (A B) B
② A (B A) A B
③ A (B ) (A C) ⑤ (A B) (A B) A,(A B) (A B)
定义1.1.2 给定集合A,B,由A与B的全部元素
构成的集合叫做A与B的并集,记作 A B. 用描述法表示是: A B {x | x A, 或x B}
数学游戏拓扑学
试一试吧，关于数学拓扑学的有趣游戏难题（37-46）编者按：你知道多年的窗户玻璃为什么会变得上薄下厚吗？你有办法使曲别针自己勾在一起吗？你见过在水泥地上扔灯泡而不使灯泡摔破吗？这里的游戏，妙就妙在无论是谁，几乎都没法在这些游戏中取胜。
这些游戏初看很简单，似乎很容易做，但是真正做起来，往往事与愿违，办不到。
你会玩得很开心，并从回答为什么办不到中学到许多有趣的科学知识。
首先奉劝各位读者，不要把这里的游戏跳过去！不少人觉得数学枯燥无味，似乎看见数字就讨厌。
我们在这一章里不讲什么加、减、乘、除，因为加减乘除四则运算只不过是数学的一部分，其实，数学内容范围很广，连打赌都是数学研究的范畴，这一点你也许没有想到吧。
打赌就是计算事情发生的可能性，科学上叫做概率，它是数学的一个分支——统计学所研究的问题。
数学上有几个数学分支是完全不用数字的。
以拓扑学为例，这是一门非常有趣的学科，它是专门研究物体形状的一门数学。
拓扑学中有许多有趣的问题，比如一张只有一面的纸，不用浆糊，把一个纸环剪成两个套在一起的纸环，等等。
实际上拓扑学对于大家来讲并不陌生，你们大概都玩过迷宫游戏和拼七巧板吧，这些就是拓扑学研究的范围。
来吧，让我们一起到一个新的数学天地中去游玩吧。
游戏三十七你能让两枚曲别针不勾在一起吗？拿一张一元钱的钞票和两枚曲别针，把钞票卷成S 形。
用曲别针短的那一头别住两层钞票，再用另一枚曲别针按同样的方法别住钞票的另一头。
准备好了之后，两手分别抓住卷成S 形的钞票的两头，迅速把钞票拉直，两枚曲别针就会飞到空中自动勾在一起。
虽然原来钞票上的两枚曲别针并没有挨着，但钞票拉直后它们都奇妙地勾在一起了。
这个现象在拓扑学上叫做曲线转移。
原来那一元钱的钞票叠成的弧形，被拉直时，转移到曲别针上了。
如果你想把曲别针勾在一起的秘密弄个明白，你可以慢慢地把那一元钱的钞票拉直，也许会看出其中的奥妙。
慢慢拉有时也能让曲别针勾在一起，但也有时勾不在一起。
拓扑趣谈
[高中数学课程扩展模块之十一：]拓扑趣谈张远南在《奇异的莫比乌斯带》和《有趣的图论》等模块中，读者已经领略过一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑尺寸大小的新几何学的课题。
莱布尼茨和欧拉称之为“位置几何学”。
如今，这一新几何学已经发展成一门重要的数学分支——拓扑学。
它就是本模块要讲述的主题。
一、橡皮膜上的几何学1、拓扑学研究的范畴拓扑学研究的课题极为有趣。
比如：左手戴的手套能否在空间掉转位置后变成右手戴的手套？一个车胎能否从里面朝外头把它翻转过来？是否存在只有一个面的纸张？一只有耳的茶杯与救生圈或花瓶比较，与哪一个更相似些？诸如此类，都属于拓扑学研究的范畴。
许多难以置信的事情，在拓扑学中似乎都有可能。
下图是一幅超现实的图画，画的是一个人在地上走，并抬头仰望蓝天。
不过这里已经用拓扑学变换的方法，把宇宙翻转了过来。
图中的地球、太阳和星星，都被挤到了人体内一个狭窄的环形通道里，四周则是人体的内部器官。
该图选自美国著名物理学家盖莫夫教授的著作《One, Two, Three, ……Infinity 》一书。
拓扑学是一门研究一对一连续变换的几何学，所以在拓扑学中，人们感兴趣的只是图形的位置，而不是它的大小。
有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学，这是十分恰当的。
因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，虽然它上面的点一对一地连续变换，但其长度、曲直、面积等等都将发生变化，此时谈论“有多长”、“有多大”之类的问题，是毫无意义的！不过，在橡皮膜上的几何里，也有一些图形的性质保持不变。
比如，点变化后仍然是点，线变化后依旧为线，相交的图形绝不会因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交！拓扑学正是研究使图形在橡皮膜上保持不变性质的几何学。
2、内部与外部一条头尾相连且自身不相交的封闭曲线，把橡皮膜分成两个部分。
如果我们把其中有限的部分称为闭曲线的“内部”，那么另一部分便是闭曲线的“外部”。
从闭曲线的内部走到闭曲线的外部，不可能不通过该闭曲线。