2012年北京卷数学(理科)试题(含答案解析)
2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
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20．（13 分）设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝 对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集 合．对于 A∈S（m，n），记 ri（A）为 A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A） 为 A 的第 j 列各数之和（1≤j≤n）；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…， |Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表 A，求 K（A）的值；
1
1
﹣0.8
0.1
﹣0.3
﹣1
（2）设数表 A∈S（2，3）形如
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE； （2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； （3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃 圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的
结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（ ）
A．5
B．7
C．9
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D．11
二.填空题共 6 小题．每小题 5 分．共 30 分.
点 E．则（ ）
A．CE•CB=AD•DB
2012年高考理科数学北京卷(含详细答案)
A B=1,0}1,0,1}xy e=关于y轴对称，则()f x=()B.1x e-D.1xe--( )B.y=D.y=l与C所围成的图形的面积等于( )C.83D.表示的平面区域内存在点00(,)P x y，满足( )B.1(,)3-∞D.5(,)3-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin2ρθ=的距离等于___________.10.若等比数列{}na满足2420a a+=，3540a a+=，则公比q=____；前n项和nS=____.11.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若3PA=，:PD9:16DB=，则PD=___________；AB=___________.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λμ=________.14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为BC的中点，点P在线段1D E上.点P到直线1CC的距离的最小值为___________.4的正方形，平面ABC ⊥平面，并求1BDBC 的值.. 19.（本小题满分14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.20.（本小题满分13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-.（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意*n N ∈，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值； （Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3,n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{|3B x x =>或}1x <-，易得{}|3AB x x =>．【提示】求出集合B ，然后直接求解A B ．【考点】集合间的基本运算． 2.【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D ．【提示】本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可． 【考点】不等式组，平面区域与几何概率． 3.【答案】B【解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B ． 【提示】利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件． 【考点】复数的概念，充分、必要条件． 4.【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==，循环结束，输出的s 为8，故选C ． 【提示】列出循环过程中s 与k 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 【考点】循环结构的程序框图． 5.【答案】A【解析】由切割线定理可知2CE CB CD =，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB =，所以CE CB AD DB =．数学试卷 第10页（共36页）【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可． 【考点】几何证明选讲． 6.【答案】B【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B ．【提示】选择数字进行排列，判断奇偶性即可． 【考点】排列组合． 7.【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65S S S S ====后右底左，因此该几何体表面积3065S =+，故选B ．【提示】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 【考点】由三视图求几何体的表面积． 8.【答案】C【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C ． 【提示】由已知中图像表示某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系，结合图像可得答案． 【考点】函数图像的应用．第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2【解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，圆心(0,0)到直线1x y +=的距离132d =<，所以有两个交点．【提示】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论． 【考点】直线和圆的位置关系． 10.【答案】1 【解析】23S a =，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=．【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得12d =，由此能求出2a ． 【考点】等差数列的通项． 11.【答案】4【解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4．【提示】根据27a b c =+=，，1cos 4B =-，利用余弦定理可得，即可求得b 的值 【考点】余弦定理的运用． 12.【答案】3【解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan603k ==，利用点斜式，直线的方程为33y x =-，将直线和曲线方程联立233123(3,23),,334y x A B y x⎧⎛⎫=-⎪⇒- ⎪⎨ ⎪=⎪⎝⎭⎩，因此11123322OAF A S OF y =⨯⨯=⨯⨯=△． 【提示】确定直线l 的方程，代入抛物线方程，确定A 的坐标，从而可求OAF △的面积．． 【考点】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系． 13.【答案】1【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为1． 【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可． 【考点】平面向量在平面几何中的运用． 14.【答案】(4,2)--【解析】对于①∵()22xg x =-，当1x <时，()0g x <，又∵①()0x R f x ∀∈<，或()0g x <∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左边，则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，∴40m -<<，即①成立的范围为40m -<<，数学试卷 第16页（共36页）又∵②(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <， ∴此时()220x g x =-<恒成立∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比12x x ，中的较小的根大即可，（i ）当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， （ii ）当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，（iii ）当41m -<<-时，较小的根为224m m <，-即2m <-成立． 综上可得①②成立时42m -<<-．【提示】①由于()220x g x =->时，1x ≥，根据题意有()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x >时成立，根据二次函数的性质可求．②由于(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <，而()220xg x =-<，则()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈∞--时成立，结合二次函数的性质可求 【考点】指数函数的性质，二次函数的性质． 三、解答题15.【答案】（Ⅰ）{|π,}x x k k ≠∈Z π（Ⅱ）ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z 和3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z 【解析】（Ⅰ）(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x =-sin 21cos 2x x =--π2sin 214x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，{|π}x x k k ≠∈Z ,原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（Ⅱ）由πππ2π22π+,242k x k k -≤-≤∈Z ． 解得π3πππ,,88k x k k -≤≤+∈Z 又{|π,}x x k k ≠∈Z ，原函数的单调递增区间为ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z ，3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z ． 【提示】（Ⅰ）直接求出函数的定义域和最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可． 【考点】三角函数的定义域，周期，单调性． 16.【答案】（Ⅰ）证明CD DE ⊥，1A D DE ⊥，又1CDA D D =，∴DE ⊥平面1A CD ，又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥DE ，又1AC CD ⊥，CD DE D =∴1AC ⊥平面BCDE ． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则(2,0,0)D -，1(00,23)A ,，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，(0,0,0)C ， ∴1(0,3,23)A B =-，1(2,2,23)A E =--，设平面1A BE 法向量为(,,)n x y z =，则1100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴323022230y z x y z ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵(1,0,3)M -∴(1,0,3)CM =-∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ+====+++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45数学试卷 第22页（共36页）（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈则1(0,,23)A P a =-，(2,,0)DP a =设平面1A DP 法向量为1111(,,)n x y z =，则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴1111(,,)(3,6,3)n x y z a a ==-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =， ∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a ≤≤，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直．【提示】（Ⅰ）证明1A C ⊥平面BCDE ，因为1A C CD ⊥，只需证明1AC DE ⊥，即证明DE ⊥平面1A CD ． （Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 法向量(1,2,3)n =-，(1,0,3)CM =-，利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈，求出平面1A DP 法向量为1(3,6,3)n a a =-， 假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =，可求得03a ≤≤，从而可得结论．． 【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．17.【答案】（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨， 故生活垃圾投放错误的概率为：40026003= （Ⅱ）由题意可知，生活垃圾投放错误有200602020300+++=, 故生活垃圾投放错误的概率：20060403100010++=（Ⅲ）由题意可知：600a b c ++=，,,a b c 的平均数为200，222222211[(200)(200)(200)](120000)33S a b c a b c =-+-+-=++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．【提示】（Ⅰ）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率． （Ⅱ）生活垃圾投放错误有2006040300++=，故可求生活垃圾投放错误的概率．（Ⅲ）计算方差可得22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000S =． 【考点】概率，方差18.【答案】（Ⅰ）33a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）由(1,)c 为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（Ⅱ）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a -≤-，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126aa -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a -≥-时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(02]a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-； 当(2,)a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【提示】（Ⅰ）根据曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a b ，的值．（Ⅱ）根据24a b =，构建函数3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++，求导函数，利用导数的正负，可确数学试卷 第28页（共36页）定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间(,1)-∞-上的最大值． 【考点】利用导数求函数单调区间及最值．19.【答案】（Ⅰ）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--， 由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（Ⅱ）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >．由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x 则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线 即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证． 【提示】（Ⅰ）原曲线方程，化为标准方程，利用C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围．（Ⅱ）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得232k >设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x ，则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭， 从而可得316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．11 / 1220.【答案】（Ⅰ）0.7（Ⅱ）1（Ⅲ）212t t ++ 【解析】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-∴()0.7k A =（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤：若()1k A >，则1|()||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-，∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1．（Ⅲ）()k A 的最大值为212t t ++． 首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1,...2t t t t t a a a a a a t +++-========-+，22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+． 经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2t r A r A t +==+，2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++． 下面证明212t t ++是最大值． 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+． 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中． 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -．设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则1g t h t ≤≥+，． 另外，由对称数学试卷 第34页（共36页）数学试卷 第35页（共36页） 数学试卷 第36页（共36页） 性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）． 因此11|()|()1(1)(1)21(1)[21(2)]r A r A t t x t t x x t t x x =≤++-=+-+=++-+<，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此()k A 的最大值为212t t ++ 【提示】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，其中的最小值，即可求出所求．（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤，然后证明()1k A =存在即可．（Ⅲ）首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+，然后证明212t t ++是最大值即可． 【考点】合情推理．。
2012年北京高考数学试题与答案(理科)已校对
数学（理） （北京卷） 第 1 页（共 5 页）2012年普通高等学校招生全国统一考试数 学 (理) (北京卷)本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =I（2）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（3）设a ，b ∈R ．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）(,1)-∞-（B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16S=S ∙2kk=k+1k=0, S=1k <3是否输出S结束开始数学（理） （北京卷） 第 2 页（共 5 页）（5）如图，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与交BC 于点E ．则（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的 年平均产量最高，m 的值为第二部分（非选择题 共110分）（A ）CE CB AD DB ⋅=⋅ （B ）CE CB AD AB ⋅=⋅ （C ）2AD AB CD ⋅= （D ）2CE EB CD ⋅=（A ）24 （B ）18（C ）12（D ）6（A ）2865+（B ）3065+（C ）56125+（D ）60125+（A ）5（B ）7 （C ）9 （D ）11俯视图侧（左）视图正（主）视图4324S nn4321567891011OADBEC数学（理） （北京卷） 第 3 页（共 5 页）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数)与曲线3cos (3sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数)的交点个数为 ．（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ． （11）在ABC ∆中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = ． （12）在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B两点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则OAF ∆的面积为 ．（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅uuu r uu r的值为 ．（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．数学（理） （北京卷） 第 4 页（共 5 页）（16）（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE //BC ，2DE =，将A D E ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A C CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小； （Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾20 20 60（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，a b c ++=600．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值． （注：222121[()()s x x x x n=-+-+…2()]n x x +-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）图1图2ADECB A 1MDECB数学（理） （北京卷） 第 5 页（共 5 页）（18）（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （Ⅱ）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-- ∞上的最大值．（19）（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8m x m y -+-=()m ∈R ． （Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ． 求证：,,A G N 三点共线．（20）（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所数学（理） （北京卷） 第 6 页（共 5 页）有数的和为零．记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤)m ，()j c A 为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤)n ．记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值．（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；1 1 0.8- 0.10.3- 1-（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如1 1 C ab 1-求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ，对于所有的(2,21)A S t ∈+，求()k A 的最大值．2012高考北京数学真题答案及简析一、选择题数学（理） （北京卷） 第 7 页（共 5 页）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C A B B C二、填空题 题号 9 10 11 12 13 14答案21；24n n +431；1()42--，三、解答题 15．解：(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x x f x x x x x x--===-{}πsin 21cos 22sin 21|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z16．解：（1） CD DE ⊥，1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD ， 又 1A C ⊂平面1A CD ， ∴1A C ⊥DE又1A C CD ⊥，∴1A C ⊥平面BCDE（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，()0023A ，，，()030B ，，，()220E -，，∴()10323A B =-，，,()1210A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴()123n =- ，，又∵()103M -，， ∴()103CM =- ，，∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则()1023A P a =-，，，()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，zy xA 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M数学（理） （北京卷） 第 8 页（共 5 页）则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1363n a a =-，，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直 则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直17．（1）由题意可知：4002=6003 （2）由题意可知：200+60+403=100010（3）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =． 18．解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩． （2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．数学（理） （北京卷） 第 9 页（共 5 页）19．（1）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ， MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ ，，()2N N AN x x k =+，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。
2012年理数高考试题答案及解析-北京
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 【答案】D2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。
【答案】D3．设a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此想必要条件，故选B 。
【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。
2012年北京高考数学真题及答案(理科)
绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{A x=∈R|320}x+>，{B x=∈R|(1)(3)0}x x+->，则A B=I（A）(,1)-∞-（B）2(1,)3--（C）2(,3)3-（D）(3,)+∞（2）设不等式组2,2xy⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）π4（B）π22-（C）π6（D）4π4-（3）设,a b∈R．“0a=”是“复数ia b+是纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）2（B）4（C）8（D）16数学（理）（北京卷）第1 页（共11 页）（5）如图，90ACB∠=︒，CD AB⊥于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（A）CE CB AD DB⋅=⋅（B）CE CB AD AB⋅=⋅（C）2AD AB CD⋅=（D）2CE EB CD⋅=（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A）24（B）18（C）12（D）6（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（8）某棵果树前n年的总产量nS与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11BA DCE正（主）视图侧（左）视图俯视图42 3 4数学（理）（北京卷）第2 页（共11 页）数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了
该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
CE•EB=CD2
6．（5 分）从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇
数的个数为（ ）
A．24
B．18
C．12
D．6
7．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
第 1页（共 14页）
则 m 的取值范围是
．
三、解答题公 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）已知函数 f（x）=
．
（1）求 f（x）的定义域及最小正周期； （2）求 f（x）的单调递增区间．
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 m 年
的年平均产量最高，则 m 的值为（ ）
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE； （2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； （3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
第 2页（共 14页）
18．（13 分）已知函数 f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx （1）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 a、b 的值； （2）当 a2=4b 时，求函数 f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．
2012年高考试题理科数学(北京卷)——含答案及解析 免费
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、 选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=A. （﹣∞，﹣1）B. （﹣1，﹣23）C.（﹣23,3） D. (3,+∞) 【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A . 4πB . 22π- C. 6π D. 44π- 【考点】概率【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。
在高二数学（理）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。
3.设a ，b ∈R .“a =O ”是“复数a +b i 是纯虚数”的A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【考点】复数的计算【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
4.执行如图所示的程序框图，输出S值为A. 2B. 4C. 8D. 16【考点】算法初步【难度】中等【点评】本题考查几何概率的计算方法。
在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。
2012高考北京理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(北京卷)本试卷共150分．考试时长120分钟．第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝()A．(－∞，－1) B．{－1，2 3 -}C．(23-，3) D．(3，＋∞)2．在复平面内，复数10i3i+对应的点的坐标为()A．(1,3) B．(3,1)C．(－1,3) D．(3，－1)3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．2 B．4 C．8 D．165．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD26．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18 C．12 D．67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A ．28+B ．30+C ．56+D ．60+8．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．11第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为________．10．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若112a =，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n＝________．11．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，1cos 4B =-，则b ＝________． 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线 y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为________，DE DC ⋅的最大值为________．14．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2．若同时满足条件：①x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0． 则m 的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．已知函数(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=．(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．16．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6．D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2．图1图2(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．17．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a＋b＋c＝600，当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．(求：s2＝1n［(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2］，其中x为数据x1，x2，…，x n的平均数)18．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx．(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1］上的最大值．19．已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．20．设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记S(m，n)为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S(m，n)，记r i(A)为A的第i行各数之和(1≤i≤m)，c j(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，…，|r m(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，…，|c n(A)|中的最小值．(1)对如下数表A，求k(A)(2)设数表A ∈S (2,3)形如求k (A )的最大值；(3)给定正整数t ，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，求k (A )的最大值．1．D 由题意得，A ＝{x |x ＞23-}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，所以A ∩B ＝(3，＋∞)． 2．D 由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得：()22212π24π424P A -⨯⨯-==．3． B 由已知得，“a ＋b i 是纯虚数”“a ＝0”，但“a ＝0”“复数a ＋b i 是纯虚数”，因此“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．4．C 初始：k ＝0，S ＝1，第一次循环：由0＜3，得S ＝1×20＝1，k ＝1； 第二次循环：由1＜3，得S ＝1×21＝2，k ＝2； 第三次循环：由2＜3，得S ＝2×22＝8，k ＝3． 经判断此时要跳出循环，因此输出的S 值为8． 5． A 由切割线定理得，CD 2＝CE ·CB ， 又在Rt △CAB 中，△ACD ∽△CBD ， ∴CD 2＝AD ·DB ，∴CE ·CB ＝AD ·DB ．6． B 先分成两类：(一)从0,2中选数字2，从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23C 412⨯＝； (二)从0,2中选数字0，从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23C 26⨯＝．故满足条件的奇数的总个数为12＋6＝18．7．B 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S ＝12×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋1302⨯=+ 8．C 结合S n 与n 的关系图象可知，前2年的产量均为0，显然202S =为最小，在第3年～第9年期间，S n 的增长呈现持续稳定性，但在第9年之后，S n 的增速骤然降低．因为当n ＝9时，99S 的值为最大，故m 值为9． 9．答案：2解析：由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝9，进而求出圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离32d ==<，∴交点个数为2． 10．答案：121()4n n + 解析：由112a =，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3－a 2＝12，∴{a n }是一个以112a =为首项，以12为公差的等差数列．∴111(1)222n a n n ⨯＝＋－＝．∴a 2＝1，221111()()2444n n n S a a n n n n =+=+=+．11．答案：4解析：由余弦定理得，222224(7)1cos 222(7)4a cb b b B ac b +-+--===-⨯⨯-，解得b ＝4． 12．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0)，直线l 的方程为y ＝tan 60°(x －1)，即y =-联立得2 4. y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩①②由①得1x y =+，③ 将③代入②并整理得240y y --=，解得1y =2y =又点A 在x 轴上方， ∴A(3,．∴111||||122OAF S OF y ∆=⋅⋅=⨯⨯= 13．答案：1 1解析：DE ·CB ＝(DA ＋AE )·CB ＝(CB ＋AE )·CB ＝|CB |2＋AE ·CB ． 因为AE ⊥CB ，所以AE ·CB ＝0． 所以DE ·CB ＝12＋0＝1． DE ·DC ＝(DA ＋AE )·DC ＝DA ·DC ＋AE ·DC ＝λ|DC |2(0≤λ≤1)， ∴DE ·DC 的最大值为1． 14．答案：(－4，－2)解析：(一)由题意可知，m ≥0时不能保证对x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0成立． (1)当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，g (x )＝2x －2，此时显然满足条件①； (2)当－1＜m ＜0时，2m ＞－(m ＋3)，要使其满足条件①， 则需10,21,m m -<<⎧⎨<⎩解得－1＜m ＜0；(3)当m ＜－1时，－(m ＋3)＞2m ，要使其满足条件①， 则需1,(3)1,m m <-⎧⎨-+<⎩解得－4＜m ＜－1．因此满足条件①的m 的取值范围为(－4,0)．(二)在满足条件①的前提下，再探讨满足条件②的m 的取值范围． (1)当m ＝－1时，在(－∞，－4)上，f (x )与g (x )均小于0，不合题意； (2)当m ＜－1时，则需2m ＜－4，即m ＜－2，所以－4＜m ＜－2； (3)当－1＜m ＜0时，则需－(m ＋3)＜－4，即m ＞1，此时无解． 综上所述满足①②两个条件的m 的取值范围为(－4，－2)． 15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1π)14x --， 所以f (x )的最小正周期2ππ2T ==． (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为［2k π－π2，2k π＋π2］(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为［k π－π8，k π)和(k π，k π＋3π8］(k ∈Z )． 16．解：(1)因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC ．所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ． 所以DE ⊥平面A 1DC ． 所以DE ⊥A 1C ．又因为A 1C ⊥CD ，所以A 1C ⊥平面BCDE ．(2)如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A 1(0,0,，D (0,2,0)，M (0,1，B (3,0,0)，E (2,2,0)． 设平面A 1BE 的法向量为n =(x ，y ，z )， 则n ·1A B =0，n ·BE =0．又1A B =(3,0，-)，BE =(－1,2,0)，所以30,20.x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令y =1，则x =2，z =所以n =(2,1)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ．因为CM =(0,1)，所以sin cos ,28CM CMCMθ⋅====n n n ， 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4． (3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直． 理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p ,0,0)，其中p ∈［0,3］． 设平面A 1DP 的法向量为m =(x ，y ，z )，则m ·1A D =0，m ·DP =0．又1A D =(0,2，-，DP =(p ，－2,0)，所以20,20.y px y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令x =2，则y =p ，z =．所以m =(2，p． 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m·n =0， 即4+p +p =0．解得p =－2，与p ∈［0,3］矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直． 17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为4002=4001001003=++“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量．(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400240600.71000++=，所以P (A )约为1－0.7＝0.3．(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200， 所以s 2＝13×［(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2］＝80 000．18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ．因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线， 所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)． 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ． 解得a ＝3，b ＝3． (2)记h (x )＝f (x )＋g (x )，当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2．令h ′(x )＝0，得12a x =-，26ax =-．a ＞0时，h (x )与h ′(x )的情况如下：所以函数h (x )的单调递增区间为(－∞，2-)和(6-，＋∞)；单调递减区间为(2a -，6a -)． 当2a-≥－1，即0＜a ≤2时， 函数h (x )在区间(－∞，－1］上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1］上的最大值为h (－1)＝a －14a 2． 当2a -＜－1，且6a-≥－1，即2＜a ≤6时，函数h (x )在区间(－∞，2a -)内单调递增，在区间(2a-，－1］上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1］上的最大值为()12ah -=．当6a-＜－1，即a ＞6时，函数h (x )在区间(－∞，2a -)内单调递增，在区间(2a -，6a -)内单调递减，在区间(6a-，－1］上单调递增，又因为h (2a -)－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2＞0， 所以h (x )在区间(－∞，－1］上的最大值为()12ah -=．19．解：(1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当50208852m m m m ⎧⎪->⎪->⎨⎪⎪>--⎩，，，解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是(72，5)．(2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)． 由22428y kx x y =+⎧⎨+=⎩，，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0． 因为直线与曲线C 交于不同的两点， 所以∆＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即232k >． 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝21612k k -+，x 1x 2＝22412k+． 直线BM 的方程为1122y y x x ++=，点G 的坐标为(1132x y +，1)．因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为222AN y k x -=，1123AG y k x +=-， 所以k AN －k AG ＝21212121222633y y kx kx x x x x -++++=+ ＝2121221622()4412=0243312kx x k k k x x k -⨯⨯+++=++， 即k AN ＝k AG ．故A ，G ，N 三点共线．20．解：(1)因为r 1(A )＝1.2，r 2(A )＝－1.2，c 1(A )＝1.1，c 2(A )＝0.7，c 3(A )＝－1.8， 所以k (A )＝0.7．(2)不妨设a ≤b ．由题意得c ＝－1－a －b ． 又因为c ≥－1，所以a ＋b ≤0．于是a ≤0． r 1(A )＝2＋c ≥1，r 2(A )＝－r 1(A )≤－1，c 1(A )＝1＋a ，c 2(A )＝1＋b ，c 3(A )＝－(1＋a )－(1＋b )≤－(1＋a )． 所以k (A )＝1＋a ≤1．当a ＝b ＝0且c ＝－1时，k (A )取得最大值1． (3)对于给定的正整数t ，任给数表A ∈S (2,2t ＋1)如下：任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *∈S (2,2t ＋1)，并且k (A )＝k (A *)．因此，不妨设r 1(A )≥0，且c j (A )≥0(j ＝1,2，…，t ＋1)． 由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c j (A )(j ＝1,2，…，t ＋1)． 又因为c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c 2t ＋1(A )＝0，所以(t ＋2)k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c t ＋1(A ) ＝r 1(A )－c t ＋2(A )－…－c 2t ＋1(A )＝12112t t j jj j t a b++==+-∑∑≤(t ＋1)－t ×(－1)＝2t ＋1． 所以21()2t k A t +≤+． 对数表A 0：则A 0∈S (2,2t ＋1)，且0()2k A t =+．。
2012年高考理科数学北京卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{320}A x x =∈+>R |,{|(1)(3)0}B x x x =∈+->R ,则A B =（ ）A . (,1)-∞-B . 2(1,)3-- C . 2(,3)3-D . (3,)+∞2. 设不等式组02,02x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A .π4B .π22-C . π6D . 4π4-3. 设,a b ∈R .“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的 （ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 （ ）A . 2B . 4C . 8D . 165. 如图,90ACB ∠=,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则（ ）A . CE CB AD DB = B . CE CB AD AB =C . 2 AD AB CD =D . 2 CE EB CD =6. 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（ ）A . 24B . 18C . 12D . 67. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A .28+ B .30+C .56+D .60+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 值为（ ）A . 5B . 7C . 9D . 11第Ⅱ卷（选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置上.9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为________.10. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________； n S =________.11. 在ABC △中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =________.12. 在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60,则OAF △的面积为________.13. 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则 DE CB 的值为________；DE DC 的最大值为________.14. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若同时满足条件：①x ∀∈R ,()0f x ＜或()0g x ＜；②(,4)x ∃∈-∞-,()()0f x g x ＜. 则m 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题共13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.E BDAC34正（主）视图侧（左）视图俯视图姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）16.（本小题共14分）如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=,3BC =,6AC =.D ,E 分别是AC ,AB 上的点,且DE BC ∥,2DE =,将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置,使1AC CD ⊥,如图2.（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是1A D 的中点,求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？请说明理由.17.（本小题共13分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ,b ,c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据a ,b ,c 的方差2s 最大时,写出a ,b ,c 的值 （结论不要求证明）,并求此时2s 的值.（求：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为数据1x ,2x ,,n x 的平均数）18.（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>,3()g x x bx =+.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求a ,b 的值； （Ⅱ）当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8()m x m y m -+-=∈R .（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A ,B （点A 位于点B 的上方）,直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G .求证：A ,G ,N 三点共线.20.（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈,记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1)i m ≤≤,()j c A 为A 的第j 列各数之和(1)j n ≤≤；记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,…,|()|m r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,…,|()|n c A中的最小值.（Ⅰ）对如下数表A ,求()k A 的值；（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ,对于所有的(2,21)A S t ∈+,求()k A 的最大值.ACDEBA 1MCBE D图1图22012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷{|AB x x =A B ．2CE CB CD =90,CD ⊥AD DB ，所以CE CB AD DB =．【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．【考点】几何证明选讲．第Ⅱ卷【解析】23S a =，所以【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得60，所以直线的斜率为603=1⎛【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可． 【考点】平面向量在平面几何中的运用．)()0g x <，恒成立3)0+>在综上可得①②成立时42m -<<-．)()0g x <，而【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．（Ⅰ）证明CD 1CDA D D =，，又A ⊥DE ，又CD DE D =⊥平面BCDE （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则,23)，(0B ∴1(0,3,2A B =-，(2,2,A E =-法向量为(,,)n x y z =100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴3223y ⎧⎪⎨---⎪⎩2⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵M ∴(1,0,CM =-cos 2||||1313222CM n CM n θ====++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45（Ⅲ）设线段上存在点P ，设则(0,A P a =，(2,DP a =设平面A DP 法向量为(,n x y =∴1(,,n x y =垂直，则10n n =， DE ，即证明DE ⊥平面1A CD 法向量(1,2,n =-，(1,0,CM =-A DP 法向量为(3n a =-垂直，则10n n =，可求得【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱（Ⅱ）a a∴3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线3(6Mxx k+成立，化简得：从而可得3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．1(1)(1t t++数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。
2012年高考理科数学北京卷-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷{|=A B x xA B．表示的区域表示正方形区域，2=90,CD⊥CE CB CD=．AD DB，所以CE CB AD DB第Ⅱ卷【解析】23S a =，所以【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得60，所以直线的斜率为tan603=323y =【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时||DC ，所以长度为【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可． 【考点】平面向量在平面几何中的运用．)()0g x <，综上可得①②成立时42m -<<-．)()0g x <，而【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．（Ⅰ）证明CD 1CDA D D =，又AC ⊥DE ，又CD DE D =⊥平面BCDE xyz -，则D ∴1(0,3,A B =，1(2,2,A E =-法向量为(,,)n x y z =1100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴3223y ⎧⎪⎨---⎪⎩322z y y x ==-⎪⎩∴(1,2,n =-∴(1,0,CM =-3422||||1313222CM n CM n ===++与平面1A BE 所成角的大小45（Ⅲ）设线段上存在点P ，设则1(0,A P a =，(2,DP a =设平面1A DP 法向量为111(,n x y =∴111(,,n x y =1A BE 垂直，则10n n =， 法向量(1,2,n =-，(1,0,CM =-求出平面A DP 法向量为1(3n a =- 垂直，则10n n =，可求得【答案】（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,（Ⅱ）a a∴3AGx⎛= ，(NAN x=三点共线，只需证AG，AN共线(6Mx k+成立，化简得：从而可得3AGx⎛= ，(NAN x=三点共线，只需证AG，AN共线，【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．++t t1(1)(1。
2012年北京高考数学理科试卷(带详解)
2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}320A x x =∈+>R {}(1)(3)0B x x x =∈+->R 则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞【测量目标】集合间的基本运算,（交集）.【考查方式】给出两个集合，解出不等式表示的集合，求出交集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】2{|}3A x x =>-，利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或，画出数轴易得{}|3A B x x => .2. 设不等式组0202x y⎧⎨⎩剟剟表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( ) A ．π4 B ．π22- C ．π6 D ．4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域与几何概率的综合运用. 【考查方式】运用线性规划知识求几何概率. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】题目中0202xy⎧⎪⎨⎪⎩剟剟表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D. 3.设,a b ∈R , “0a =”是“复数a b +i 是纯虚数”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【测量目标】复数的概念，充分、必要条件. 【考查方式】将虚数与充分必要条件结合考查.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B.4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( ) A.2 B.4 C.8D.16第4题图【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出程序框图直接考查. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==， 循环结束，输出的S 为8，故选C.5.如图，∠ACB =90，CD ⊥AB 于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则 （ ）第5题图A .CE CB =AD DB B.CE CB =AD ABC .AD AB =2CD D .CE EB =2CD 【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出三角形和圆的位置关系，通过条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由切割线定理可知2CE CB CD = ，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB = ，所以CE CB AD DB =. 6.从0,2 中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】选择数字进行排列，判断奇偶性. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B. 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （ ）第7题图A ．28+B ．30+C ．56+D ．60+【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】给出三视图，直接求表面积. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,S S S S ====后右左底因此该几何体表面积30S =+，故选B.8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）第8题图A ．5B ．7C ．9D ．11 【测量目标】 函数图象的应用.【考查方式】给出函数图象，判断变化规律. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C.第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为 .【测量目标】直线和圆的位置关系.【考查方式】给出直线和曲线的参数方程，通过转化为普通方程求解. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，将题目所给的直线和圆图形作出，易知有两个交点.10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = . 【测量目标】等差数列的通项.【考查方式】给出前2项和与数列第三项的关系及首项求数列第二项. 【难易程度】容易 【参考答案】1【试题解析】23S a = ，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=. 11.在ABC △中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = . 【测量目标】余弦定理的运用.【考查方式】给出三角形部分边角值，求另一边. 【难易程度】中等【参考答案】4【试题解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4.12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60，则OAF △的面积为 . 【测量目标】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】通过直线与抛物线的位置关系，求三角形面积. 【难易程度】中等【试题解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan60k ==y =21(,334y A B y x⎧=⎪⇒-⎨⎪=⎩，因此11122OAF AS OF y =⨯⨯=⨯⨯△13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB的值为 ； DE DC的最大值为 .【测量目标】平面向量在平面几何中的运用.【考查方式】将最值问题，向量的数量积与平面几何结合起来考查. 【难易程度】中等 【参考答案】1,1【试题解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知||cos ||DE DA θ= ，因此2||1DE CB DA == ；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC，所以长度为1.14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若同时满足条件：①,()0x f x ∀∈<R 或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞- ，()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 .【测量目标】指数函数的性质，二次函数的性质. 【考查方式】将指数函数与二次函数综合考查. 【难易程度】较难 【参考答案】（4,2)--【试题解析】根据()2201xg x x =-<⇒<，由于题目中第一个条件的限制，导致()f x 在1x …时必须是()0f x <，当0m =时，()0f x =，不能做到()f x 在1x …时，()0f x <，所以舍去，因此()f x 作为二次函数开口只能向下，故0m <，且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需121212314x m m x m m ⎧=<<⎧⎪⎪⇒⎨⎨=--<⎪⎪⎩>-⎩，和大前提0m <取交集结果为40m -<<，又由于条件2的限制，可分析得出(,4),()x g x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内()f x 有取得正数的可能，即4-应该比12,x x 两个根中较小的根大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍去.当1m =-时，两个根同为24->-，也舍去，当(4,1)m ∈--时，242m m <-⇒<-，综上所述(4,2)m ∈--.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.【测量目标】三角函数的定义域、周期、单调性. 【考查方式】给出三角函数关系式，通过化简求解. 【难易程度】容易 【试题解析】(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x-sin 21cos 2x x =--π)14x --，{|π}x x k k ≠∈Z ,(步骤1)(1) 原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（步骤2） (2) 由πππ2π22π+,242k x k k --∈Z 剟.解得π3πππ,,88k x k k -+∈Z 剟又{|π,}x x k k ≠∈Z ,原函数的单调递增区间为π[π,π)8k k k -+∈Z ，3π(π,π]8k k k +∈Z .（步骤3） 16. （本小题14分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90，BC =3，AC =6，D,E 分别是AC ，AB 上的点， 且DE ∥BC ，DE =2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.（1）求证：A 1C ⊥平面BCDE;（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.图1 图2第16题图【测量目标】平面图形的折叠问题、立体几何中的探索问题. 【考查方式】通过图形折叠考查线面之间的综合问题. 【难易程度】中等【试题解析】（1）证明 CD DE ⊥，1A D DE ⊥又1CD A D D =∴DE ⊥平面1ACD ， 又 1AC ⊂平面1ACD ， ∴1AC ⊥DE 又1AC CD ⊥，CD DE D = ∴1AC ⊥平面BCDE .（步骤1） （2）如图建空间直角坐标系C xyz -，则()200D -，，，(100A ，，，()030B ，，，()220E -，，，(0,0,0)C .∴(103A B =-，，,(122A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()x y z =，，n ，则 1100A B A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n∴30220y x y ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴(22z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩步骤）∴(12=-，n又∵(10M -，∴(10CM =-，∴cos 2||||CM CM θ==== n n ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45（步骤3）第16题图（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则(10A P a =- ，，，()20DP a = ，， 设平面1A DP 法向量为()1111x y z =，，n ，则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴111112z x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1(436a =-步骤），n 假设平面1A DP 与平面1ABE 垂直，则10= n n ，∴31230a a ++=，612a =-，2a =-∵03a剟 ∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直（步骤5）. 17.（本小题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,n x x x 的平均数） 【测量目标】概率与方差【考查方式】通过实际生活背景考查简单的概率与方差的运用 【难易程度】中等【试题解析】（1）由题意可知：40026003=(步骤1)（2）由题意可知：20060403100010++=（步骤2）（3）由题意可知：22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．（步骤3）18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1)-∞-上的最大值. 【测量目标】利用导数求函数单调区间及最值.【考查方式】给出两个函数式，通过导数求最值及区间. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由1c （，）为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x a x '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①（步骤1）又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（步骤2）（2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++ 则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增（步骤3）①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（步骤4） 19.（本小题14分）已知曲线C : 22(5)(2)8()m x m y m -+-=∈R (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A ,G ,N 三点共线. 【测量目标】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】给出曲线方程，通过条件判断运用几何性质求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）原曲线方程可化简得：2218852x ym m +=--，由题意可得：8852805802m m m m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（步骤1）（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >. 由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M N x x k =+，②（步骤2） 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，（步骤3）∴316MM x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，()2N N AN x x k =+ ，，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证.（步骤4） 20.（本小题13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m 剟，()j c A 为A 的第j 列各数之和1jn 剟；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A ,求()k A 的值；（2）设数表A ∈(2,3)S 形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S (2，21t +),求()k A 的最大值.【测量目标】合情推理.【考查方式】通过设定的条件分析判断. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由题意可知()1 1.2r A =，()2 1.2r A =-，()1 1.1c A =，()20.7c A =，()3 1.8c A =-∴()0.7k A =（步骤1）（2）先用反证法证明()1k A …：若()1k A > 则()1|||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1.（步骤2）（3）()k A 的最大值为212t t ++. 首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1, (2)t t t t t a a a a a a t +++-========-+， 22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+. 经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 1221|()||()|2t r A r A t +==+， 2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++， 1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++.（步骤3） 下面证明212t t ++是最大值. 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+. 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中. 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -.（步骤4）设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则,1g t h t +剠. 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）. 因此()11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r A r A t t x t t x x t t x x =++-=+-+=++-+< …， 故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾. 因此()k A 的最大值为212t t ++ （步骤5）。
2012年北京市高考数学试卷(理科)(附答案解析)
2012年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1. 已知集合A ={x ∈R|3x +2>0}，B ={x ∈R|(x +1)(x −3)>0}，则A ∩B =( ) A.(−∞, −1) B.(−1, −23)C.﹙−23，3﹚D.(3, +∞)2. 设不等式组{0≤x ≤2，0≤y ≤2，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4B.π−22C.π6D.4−π43. 设a ，b ∈R ．“a ＝0”是“复数a +bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A.2B.4C.8D.165. 如图，∠ACB =90∘，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ．则（ ）A.CE ⋅CB =AD ⋅DBB.CE ⋅CB =AD ⋅ABC.AD ⋅AB =CD 2D.CE ⋅EB =CD 26. 从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ） A.24B.18C.12D.67. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A.28+6√5B.30+6√5C.56+12√5D.60+12√58. 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）A.5B.7C.9D.11二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.直线{x =2+t y =−1−t （t 为参数）与曲线{x =3cos αy =3sin α（α为参数）的交点个数为________．已知﹛a n ﹜是等差数列，s n 为其前n 项和．若a 1=12，s 2=a 3，则a 2=________．在△ABC 中，若a =2，b +c =7，cos B =−14，则b =________．在直角坐标系xOy 中．直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ．且与该抛物线相交于A 、B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60∘．则△OAF 的面积为________．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →⋅CB →的值为________．已知f(x)=m(x −2m)(x +m +3)，g(x)=2x −2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f(x)<0或g(x)<0，②∃x ∈(−∞, −4)，f(x)g(x)<0，则m 的取值范围为________．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知函数f(x)=(sin x−cos x)sin 2xsin x．(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =3，AC =6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE // BC ，DE =2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2．(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a +b +c =600．当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明），并求此时s 2的值． （注：s 2=1n [(x 1−x ¯)2+(x 2−x ¯)2+⋯+(x n −x ¯)2]，其中x ¯为数据x 1，x 2，⋯，x n 的平均数）已知函数f(x)=ax 2+1(a >0)，g(x)=x 3+bx（1）若曲线y =f(x)与曲线y =g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，求a 、b 的值；（2）当a 2=4b 时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间(−∞, −1)上的最大值．已知曲线C ：(5−m)x 2+(m −2)y 2=8(m ∈R) （1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设m =4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A位于点B 的上方），直线y =kx +4与曲线c 交于不同的两点M 、N ，直线y =1与直线BM 交于点G ．求证：A ，G ，N 三点共线．设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m, n)为所有这样的数表构成的集合．对于A ∈S(m, n)，记r i (A)为A 的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m)，C j (A)为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤n)；记K(A)为|r 1(A)|，|R 2(A)|，…，|Rm(A)|，|C 1(A)|，|C 2(A)|，…，|Cn(A)|中的最小值．（1）如表A，求K(A)的值；（2）设数表A∈S(2, 3)形如（3）给定正整数t，对于所有的A∈S(2, 2t+1)，求K(A)的最大值．参考答案与试题解析2012年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1.【答案】 D【考点】一元二次不等式的解法 交集及其运算【解析】求出集合B ，然后直接求解A ∩B ． 【解答】解：因为B ={x ∈R |(x +1)(x −3)>0}={x|x <−1或x >3}， 又集合A ={x ∈R |3x +2>0}={x|x >−23}，所以A ∩B ={x|x >−23}∩{x|x <−1或x >3}={x|x >3}. 故选D ． 2.【答案】 D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可． 【解答】解：其构成的区域D 如图所示的边长为2的正方形，面积为S 1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部， 面积为S 2=4−π×224=4−π，∴ 在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P =4−π4故选D ． 3.【答案】 B【考点】 复数的运算充分条件、必要条件、充要条件 虚数单位i 及其性质 复数的基本概念【解析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件． 【解答】因为a ，b ∈R ．“a ＝O ”时“复数a +bi 不一定是纯虚数”． “复数a +bi 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ．“a ＝O ”是“复数a +bi 是纯虚数”的必要而不充分条件． 4. 【答案】 C【考点】循环结构的应用 【解析】列出循环过程中S 与K 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：第1次判断后S =1，k =1， 第2次判断后S =2，k =2， 第3次判断后S =8，k =3，第4次判断后3=3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8． 故选C ． 5.【答案】 A【考点】与圆有关的比例线段 【解析】连接DE ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，DE ⊥BE ，由∠ACB =90∘，CD ⊥AB 于点D ，△ACD ∽△CBD ，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE ⋅CB =AD ⋅BD ． 【解答】解：连接DE ，∵ 以BD 为直径的圆与BC 交于点E ， ∴ DE ⊥BE ，∵ ∠ACB =90∘，CD ⊥AB 于点D ，∴△ACD∽△CBD，∴CDBD =ADCD，∴CD2=AD⋅BD．∵CD2=CE⋅CB，∴CE⋅CB=AD⋅BD，故选A．6.【答案】B【考点】计数原理的应用【解析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．【解答】从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有A32=6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有A32=6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有A32=6种；故共有3A32=18种7.【答案】B【考点】由三视图求表面积【解析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，所以S底=12×4×5=10，S 后=12×5×4=10，S 右=12×4×5=10，S 左=12×2√5×√(√41)2−(√5)2=6√5．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=10+10+10+6√5=30+6√5．故选B.8.【答案】C【考点】函数的图象变换函数的表示方法【解析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P(S, n)点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选C二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.【答案】2【考点】直线的参数方程圆的参数方程直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．【解答】解：直线{x=2+ty=−1−t（t为参数）化为普通方程为x+y−1=0，曲线{x=3cosαy=3sinα（α为参数）化为普通方程为x2+y2=9，∵圆心(0, 0)到直线x+y−1=0的距离为d=√2<3，∴直线与圆有两个交点.故答案为：2.【答案】1【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】由﹛a n﹜是等差数列，a1=12，S2=a3，知12+12+d=12+2d，解得d=12，由此能求出a2．【解答】解：∵﹛a n﹜是等差数列，a1=12，S2=a3，∴12+12+d=12+2d，解得d=12，a2=12+12=1．故答案为：1．【答案】4【考点】余弦定理【解析】根据a=2，b+c=7，cos B=−14，利用余弦定理可得b2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14)，即可求得b的值．【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cos B=−14，∴由余弦定理可得b2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14)，解得b=4.故答案为：4.【答案】√3【考点】直线与椭圆结合的最值问题直线的倾斜角抛物线的求解【解析】确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1, 0)∵直线l过F，倾斜角为60∘∴直线l的方程为：y=√3(x−1)，即x=√33y+1代入抛物线方程，化简可得y2−4√33y−4=0∴y=2√3，或y=−23√3∵A在x轴上方∴△OAF的面积为12×1×2√3=√3故答案为：√3【答案】1【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】直接利用向量转化，求出数量积即可．【解答】因为DE→⋅CB→=DE→⋅DA→=|DE→|⋅|DA→|cos<DE→⋅DA→>=DA→2=1．【答案】(−4, −2)【考点】二次函数的性质指数函数综合题【解析】①由于g(x)=2x−2≥0时，x≥1，根据题意有f(x)=m(x−2m)(x+m+3)<0在x>1时成立，根据二次函数的性质可求.②由于x∈(−∞, −4)，f(x)g(x)<0，而g(x)=2x−2<0，则f(x)=m(x−2m)(x+m+3)>0在x∈(−∞, −4)时成立，结合二次函数的性质可求.【解答】解：对于①∵g(x)=2x−2，当x<1时，g(x)<0，又∵ ①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0,∴f(x)=m(x−2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立.则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在(1, 0)的左面,则{m<0−m−3<12m<1,∴−4<m<0即①成立的范围为−4<m<0.又∵ ②x∈(−∞, −4)，f(x)g(x)<0,∴此时g(x)=2x−2<0恒成立.∴f(x)=m(x−2m)(x+m+3)>0在x∈(−∞, −4)有成立的可能，则只要−4比x1，x2中的较小的根大即可，当−1<m<0时，较小的根为−m−3，−m−3<−4不成立；当m=−1时，两个根同为−2>−4，不成立；当−4<m<−1时，较小的根为2m，2m<−4即m<−2成立．综上可得①②成立时−4<m<−2．故答案为：(−4, −2)．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】解：(1)f(x)=(sin x−cos x)sin2xsin x=(sin x−cos x)2sin x cos xsin x=2(sin x−cos x)cos x=sin2x−1−cos2x=√2sin(2x−π4)−1，∵sin x≠0，∴x≠kπ, k∈Z，即原函数的定义域为{x|x≠kπ, k∈Z}，∵2π2=π，∴最小正周期为π．(2)由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ, k∈Z}，原函数的单调递增区间为[kπ−π8，kπ)∪ (kπ,kπ+3π8]，k∈Z.【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性三角函数的周期性及其求法【解析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，(1)直接求出函数的定义域和最小正周期．(2)利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【解答】解：(1)f(x)=(sin x−cos x)sin2xsin x=(sin x−cos x)2sin x cos xsin x=2(sin x−cos x)cos x=sin2x−1−cos2x=√2sin(2x−π4)−1，∵sin x≠0，∴x≠kπ, k∈Z，即原函数的定义域为{x|x≠kπ, k∈Z}，∵2π2=π，∴最小正周期为π．(2)由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ, k∈Z}，原函数的单调递增区间为[kπ−π8，kπ)∪ (kπ,kπ+3π8]，k∈Z.【答案】(1)证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE，又A1C⊥CD，CD∩DE=D，∴A1C⊥平面BCDE.(2)解：如图建系，则C(0, 0, 0)，D(−2, 0, 0)，A1(0, 0, 2√3)，B(0, 3, 0)，E(−2, 2, 0)，∴A1B→=(0,3,−2√3)，A1E→=(−2,2,−2√3)设平面A1BE法向量为n→=(x,y,z)，{A1B→×n→=0，A1E→×n→=0，∴{3y−2√3z=0,−2x+2y−2√3z=0,∴{z=√32y,x=−y2,∴n→=(−1,2,√3),又∵M(−1, 0, √3)，∴CM→=(−1, 0, √3),∴cosθ=CM→×n→|CM→||n→|=1+3√1+4+3⋅√1+3=2⋅22=√22.∴CM与平面A1BE所成角的大小45∘.(3)解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为(0, a, 0)，则a∈[0, 3]，∴ A 1P →=(0,a,−2√3)，DP →=(2,a,0)， 设平面A 1DP 法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)， 则{ay 1−2√3z 1=0，2x 1+ay 1=0，∴ {z 1=√36ay 1，x 1=−12ay 1， ∴n 1→=(−3a,6,√3a)，假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则n 1→⋅n →=0，∴ 3a +12+3a =0，6a =−12，a =−2. ∵ 0≤a ≤3，∴ 不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直. 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 向量语言表述面面的垂直、平行关系 直线与平面垂直的判定【解析】（1）证明A 1C ⊥平面BCDE ，因为A 1C ⊥CD ，只需证明A 1C ⊥DE ，即证明DE ⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A 1BE 法向量n →=(−1,2,√3)，CM →=(−1, 0, √3)，利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0, a, 0)，则a ∈[0, 3]，求出平面A 1DP 法向量为n 1→=(−3a,6,√3a) 假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则n 1→⋅n →=0，可求得0≤a ≤3，从而可得结论． 【解答】(1)证明：∵ CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，CD ∩A 1D =D ， ∴ DE ⊥平面A 1CD ， 又∵ A 1C ⊂平面A 1CD ， ∴ A 1C ⊥DE ，又A 1C ⊥CD ，CD ∩DE =D ， ∴ A 1C ⊥平面BCDE .(2)解：如图建系，则C(0, 0, 0)，D(−2, 0, 0)，A 1(0, 0, 2√3)，B(0, 3, 0)，E(−2, 2, 0)，∴ A 1B →=(0,3,−2√3)，A 1E →=(−2,2,−2√3) 设平面A 1BE 法向量为n →=(x,y,z)， {A 1B →×n →=0，A 1E →×n →=0，∴ {3y −2√3z =0,−2x +2y −2√3z =0,∴ {z =√32y,x =−y2, ∴ n →=(−1,2,√3), 又∵ M(−1, 0, √3)， ∴ CM →=(−1, 0, √3), ∴ cos θ=CM →×n→|CM →||n →|=1+3√1+4+3⋅√1+3=2⋅22=√22. ∴ CM 与平面A 1BE 所成角的大小45∘. (3)解：设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0, a, 0)，则a ∈[0, 3]， ∴ A 1P →=(0,a,−2√3)，DP →=(2,a,0)， 设平面A 1DP 法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)， 则{ay 1−2√3z 1=0，2x 1+ay 1=0，∴ {z 1=√36ay 1，x 1=−12ay 1，∴n1→=(−3a,6,√3a)，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1→⋅n→=0，∴3a+12+3a=0，6a=−12，a=−2.∵0≤a≤3，∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直. 【答案】解：(1)由表格可知：厨余垃圾为400+100+100=600（吨），投放到“厨余垃圾”箱的厨余垃圾400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为400600=23.(2)由表格可知：生活垃圾共有1000吨，生活垃圾投放错误有100+100+30+30+20+20=300（吨），故生活垃圾投放错误的概率为3001000=310=0.3.(3)∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200，∴s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=13[a2+b2+c2−400(a+b+c)+120000]=13(a2+b2+c2−400×600+120000)=13(a2+b2+c2−120000).∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，故s2≤13(360000−120000)=80000，因此有当a=600，b=0，c=0时，方差s2最大为80000．【考点】频数与频率极差、方差与标准差用样本的频率分布估计总体分布【解析】(1)厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；(2)生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；(3)计算方差可得s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=13(a2+b2+c2−120000)，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．【解答】解：(1)由表格可知：厨余垃圾为400+100+100=600（吨），投放到“厨余垃圾”箱的厨余垃圾400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为400600=23.(2)由表格可知：生活垃圾共有1000吨，生活垃圾投放错误有100+100+30+30+20+20=300（吨），故生活垃圾投放错误的概率为3001000=310=0.3.(3)∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200，∴s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=13[a2+b2+c2−400(a+b+c)+120000]=13(a2+b2+c2−400×600+120000)=13(a2+b2+c2−120000).∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，故s2≤13(360000−120000)=80000，因此有当a=600，b=0，c=0时，方差s2最大为80000．【答案】解：（1）f(x)=ax2+1(a>0)，则f′(x)=2ax，k1=2a，g(x)=x3+bx，则g′(x)=3x2+b，k2=3+ b，由(1, c)为公共切点，可得：2a=3+b①又f(1)=a+1，g(1)=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：{a=3b=3．（2）由题设a2=4b，设ℎ(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+14a2x+1则ℎ′(x)=3x2+2ax+14a2，令ℎ′(x)=0，解得：x1=−a2，x2=−a6；∵a>0，∴−a2<−a6，∴原函数在(−∞, −a2)单调递增，在(−a2，−a6)单调递减，在(−a6，+∞)上单调递增①若−1≤−a2，即0<a≤2时，ℎ(x)在(−∞, −1)递增，无最大值；②若−a2<−1<−a6，即2<a<6时，最大值为ℎ(−a2)=1；③若−1≥−a6时，即a≥6时，最大值为ℎ(−a2)=1．综上所述：当a∈(0, 2]时，无最大值；当a∈(2, +∞)时，最大值为ℎ(−a2)=1．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2=4b，构建函数ℎ(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+14a2x+1，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间(−∞, −1)上的最大值．【解答】解：（1）f(x)=ax2+1(a>0)，则f′(x)=2ax，k1=2a，g(x)=x3+bx，则g′(x)=3x2+b，k2=3+ b，由(1, c)为公共切点，可得：2a=3+b①又f(1)=a+1，g(1)=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：{a=3b=3．（2）由题设a2=4b，设ℎ(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+14a2x+1则ℎ′(x)=3x2+2ax+14a2，令ℎ′(x)=0，解得：x1=−a2，x2=−a6；∵a>0，∴−a2<−a6，∴原函数在(−∞, −a2)单调递增，在(−a2，−a6)单调递减，在(−a6，+∞)上单调递增①若−1≤−a2，即0<a≤2时，ℎ(x)在(−∞, −1)递增，无最大值；②若−a2<−1<−a6，即2<a<6时，最大值为ℎ(−a2)=1；③若−1≥−a6时，即a≥6时，最大值为ℎ(−a2)=1．综上所述：当a∈(0, 2]时，无最大值；当a∈(2, +∞)时，最大值为ℎ(−a2)=1．【答案】（1）解：原曲线方程可化简得：x285−m+y28m−2=1由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：{85−m>8m−285−m>08m−2>0，解得：72<m<5（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，△=32(2k2−3)>0，解得：k2>32由韦达定理得：x M+x N=−16k2k2+1①，x M x N=242k2+1，②设N(x N, kx N+4)，M(x M, kx M+4)，G(x G, 1)，MB方程为：y=kx M+6x Mx−2，则G(3x Mkx M+6，1)，∴AG→=(3x Mkx M+6,−1)，AN→=(x N, kx N+2)，欲证A，G，N三点共线，只需证AG→，AN→共线即3x Mx M k+6(x N k+2)=−x N成立，化简得：(3k+k)x M x N=−6(x M+x N)将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．【考点】直线与椭圆结合的最值问题向量在几何中的应用椭圆的标准方程【解析】（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，△=32(2k2−3)，解得：k2>32，设N(x N, kx N+4)，M(x M, kx M+4)，G(x G, 1)，MB方程为：y=kx M+6x Mx−2，则G(3x Mkx M+6，1)，从而可得AG→=(3x Mkx M+6,−1)，AN→=(x N, kx N+2)，欲证A，G，N三点共线，只需证AG→，AN→共线，利用韦达定理，可以证明．【解答】（1）解：原曲线方程可化简得：x285−m+y28m−2=1由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：{85−m>8m−285−m>08m−2>0，解得：72<m<5（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，△=32(2k2−3)>0，解得：k2>32由韦达定理得：x M +x N =−16k 2k 2+1①，x M x N =242k 2+1，②设N(x N , kx N +4)，M(x M , kx M +4)，G(x G , 1)，MB 方程为：y =kx M +6x Mx −2，则G(3x MkxM +6，1)，∴ AG →=(3x M kx M +6,−1)，AN →=(x N , kx N +2)，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证AG →，AN →共线 即3x M x M k+6(x N k +2)=−x N 成立，化简得：(3k +k)x M x N =−6(x M +x N )将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【答案】 解：（1）由题意可知r 1(A)=1.2，r 2(A)=−1.2，c 1(A)=1.1，c 2(A)=0.7，c 3(A)=−1.8 ∴ K(A)=0.7（2）先用反证法证明k(A)≤1： 若k(A)>1则|c 1(A)|=|a +1|=a +1>1，∴ a >0 同理可知b >0，∴ a +b >0 由题目所有数和为0 即a +b +c =−1∴ c =−1−a −b <−1 与题目条件矛盾 ∴ k(A)≤1．易知当a =b =0时，k(A)=1存在 ∴ k(A)的最大值为1 （3）k(A)的最大值为2t+1t+2． 首先构造满足k(A)=2t+1t+2的A ={a i,j }(i =1, 2, j =1, 2,…,2t +1)：a 1,1=a 1,2=⋯=a 1,t =1，a 1,t+1=a 1,t+2=⋯=a 1,2t+1=−t−1t+2，a 2,1=a 2,2=⋯=a 2,t =t 2+t+1t(t+2)，a 2,t+1=a 2,t+2=⋯=a 2,2t+1=−1．经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且|r 1(A)|=|r 2(A)|=2t+1t+2，|c 1(A)|=|c 2(A)|=⋯=|c t (A)|=1+t 2+t+1t(t+2)>1+t+1t+2>2t+1t+2，|c t+1(A)|=|c t+2(A)|=⋯=|c 2t+1(A)|=1+t−1t+2=2t+1t+2．下面证明2t+1t+2是最大值．若不然，则存在一个数表A ∈S(2, 2t +1)，使得k(A)=x >2t+1t+2．由k(A)的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x, 2]中．由于x >1，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x −1．设A 中有g 列的列和为正，有ℎ列的列和为负，由对称性不妨设g <ℎ，则g ≤t ，ℎ≥t +1．另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t +1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x −1（即每个负数均不超过1−x ）．因此|r 1(A)|=r 1(A)≤t ⋅1+(t +1)(1−x)=2t +1−(t +1)x =x +(2t +1−(t +2)x)<x ，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此k(A)的最大值为2t+1t+2．【考点】 演绎推理进行简单的合情推理【解析】（1）根据r i (A)，C j (A)，定义求出r 1(A)，r 2(A)，c 1(A)，c 2(A)，c 3(A)，再根据K(A)为|r 1(A)|，|R 2(A)|，|R 3(A)|，|C 1(A)|，|C 2(A)|，|C 3(A)|中的最小值，即可求出所求． （2）先用反证法证明k(A)≤1，然后证明k(A)=1存在即可； （3）首先构造满足k(A)=2t+1t+2的A ={a i,j }(i =1, 2, j =1, 2,…,2t +1)，然后证明2t+1t+2是最大值即可． 【解答】解：（1）由题意可知r 1(A)=1.2，r 2(A)=−1.2，c 1(A)=1.1，c 2(A)=0.7，c 3(A)=−1.8 ∴ K(A)=0.7（2）先用反证法证明k(A)≤1： 若k(A)>1则|c 1(A)|=|a +1|=a +1>1，∴ a >0 同理可知b >0，∴ a +b >0 由题目所有数和为0 即a +b +c =−1∴ c =−1−a −b <−1与题目条件矛盾 ∴ k(A)≤1．易知当a =b =0时，k(A)=1存在 ∴ k(A)的最大值为1 （3）k(A)的最大值为2t+1t+2． 首先构造满足k(A)=2t+1t+2的A ={a i,j }(i =1, 2, j =1, 2,…,2t +1)：a 1,1=a 1,2=⋯=a 1,t =1，a 1,t+1=a 1,t+2=⋯=a 1,2t+1=−t−1t+2，a 2,1=a 2,2=⋯=a 2,t =t 2+t+1t(t+2)，a 2,t+1=a 2,t+2=⋯=a 2,2t+1=−1．经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且|r 1(A)|=|r 2(A)|=2t+1t+2，|c 1(A)|=|c 2(A)|=⋯=|c t (A)|=1+t 2+t+1t(t+2)>1+t+1t+2>2t+1t+2，|c t+1(A)|=|c t+2(A)|=⋯=|c 2t+1(A)|=1+t−1t+2=2t+1t+2．下面证明2t+1t+2是最大值．若不然，则存在一个数表A ∈S(2, 2t +1)，使得k(A)=x >2t+1t+2．由k(A)的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x, 2]中．由于x >1，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x −1．设A 中有g 列的列和为正，有ℎ列的列和为负，由对称性不妨设g <ℎ，则g ≤t ，ℎ≥t +1．另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t +1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x −1（即每个负数均不超过1−x ）．因此|r 1(A)|=r1(A)≤t⋅1+(t+1)(1−x)=2t+1−(t+1)x=x+(2t+1−(t+2)x)<x，．故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k(A)的最大值为2t+1t+2。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)
绝密★启封并使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{x∈R|3x+2＞0}，B＝{x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．（，3）D．（3，+∞）2．（5分）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）设a，b∈R．“a＝0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．165．（5分）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（）A．CE•CB＝AD•DB B．CE•CB＝AD•ABC．AD•AB＝CD2D．CE•EB＝CD26．（5分）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24 B．18 C．12 D．67．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+128．（5分）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9．（5分）直线（t为参数）与曲线（α为参数）的交点个数为．10．（5分）已知﹛a n﹜是等差数列，s n为其前n项和．若a1＝，s2＝a3，则a2＝．11．（5分）在△ABC中，若a＝2，b+c＝7，cos B＝﹣，则b＝．12．（5分）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2＝4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A 在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．14．（5分）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．16．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；（1（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c＝600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2＝[++…+]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）18．（13分）已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2＝4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．19．（14分）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2＝8（m∈R）（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m＝4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y＝kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y＝1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．20．（13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r i（A）为A的第i行各数之和（1≤i≤m），∁j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．（1）如表A，求K（A）的值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．数学试题答案一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．【解答】解：因为B＝{x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A＝{x∈R|3x+2＞0}＝{x|x}，所以A∩B＝{x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}＝{x|x＞3}，故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1＝4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为＝4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P＝故选：D．【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．3．【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．【解答】解：因为a，b∈R．“a＝O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．“复数a+bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R．“a＝O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的掌握程度．4．【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S＝1，k＝1，第2次判断后S＝2，k＝2，第3次判断后S＝8，k＝3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选：C．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．5．【分析】连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE•CB＝AD•BD．【解答】解：连接DE，∵以BD为直径的圆与BC交于点E，∴DE⊥BE，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD•BD．∵CD2＝CE•CB，∴CE•CB＝AD•BD，【点评】本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形相似和切割线定理的灵活运用．6．【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有＝6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有＝6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有＝6种；故共有3＝18种故选：B．【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．7．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底＝＝10，S后＝，S右＝＝10，S左＝＝6．几何体的表面积为：S＝S底+S后+S右+S左＝30+6．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．8．【分析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选：C．【点评】本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9．【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程为x+y﹣1＝0曲线（α为参数）化为普通方程为x2+y2＝9∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1＝0的距离为d＝∴直线与圆有两个交点故答案为：2【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．10．【分析】由﹛a n﹜是等差数列，a1＝，S2＝a3，知＝，解得d＝，由此能求出a2．【解答】解：∵﹛a n﹜是等差数列，a1＝，S2＝a3，∴＝，解得d＝，a2＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．11．【分析】根据a＝2，b+c＝7，cos B＝﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．【解答】解：由题意，∵a＝2，b+c＝7，cos B＝﹣，∴∴b＝4故答案为：4【点评】本题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于b的方程，属于基础题．12．【分析】确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0）∵直线l过F，倾斜角为60°∴直线l的方程为：，即代入抛物线方程，化简可得∴y＝2，或y＝﹣∵A在x轴上方∴△OAF的面积为＝故答案为：【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定A的坐标是解题的关键．13．【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．【解答】解：因为＝＝＝＝1．故答案为：1【点评】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．14．【分析】①由于g（x）＝2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）＝2x﹣2＜0，则f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于①∵g（x）＝2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）＝2x﹣2＜0恒成立∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m＝﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【解答】解：＝sin2x﹣1﹣cos2x＝sin（2x﹣）﹣1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由，k∈Z，解得，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为，k∈Z，，k∈Z【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力．16．【分析】（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，＝（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D＝D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE＝D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，设平面A1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴＝（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，∴3a+12+3a＝0，6a＝﹣12，a＝﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会．17．【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20＝300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得＝，因此有当a＝600，b＝0，c＝0时，有s2＝80000．【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为；（3）由题意可知：∵a+b+c＝600，∴a，b，c的平均数为200∴＝，∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a＝600，b＝0，c＝0时，有s2＝80000．【点评】本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题．18．【分析】（1）根据曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2＝4b，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0），则f'（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g′（x）＝3x2+b，k2＝3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式可得：．（2）由题设a2＝4b，设则，令h'（x）＝0，解得：，；∵a＞0，∴，x（﹣∞，﹣﹣））∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在单调递减，在）上单调递增①若，即0＜a≤2时，h（x）在（﹣∞，﹣1]递增，无最大值；②若＜﹣，即2＜a＜6时，最大值为；③若﹣1≥﹣时，即a≥6时，最大值为h（﹣）＝1．综上所述：当a∈（0，2]时，无最大值；当a∈（2，+∞）时，最大值为．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．19．【分析】（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24＝0，△＝32（2k2﹣3），解得：，设N（x N，kx N+4），M（x M，kx M+4），G（x G，1），MB方程为：，则，从而可得，＝（x N，kx N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明．【解答】（1）解：原曲线方程可化简得：由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：，解得：（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24＝0，△＝32（2k2﹣3）＞0，解得：由韦达定理得：①，，②设N（x N，kx N+4），M（x M，kx M+4），G（x G，1），MB方程为：，则，∴，＝（x N，kx N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，共线即成立，化简得：（3k+k）x M x N＝﹣6（x M+x N）将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．20．【分析】（1）根据r i（A），∁j（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K （A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）＝1存在即可；（3）首先构造满足的A＝{a i，j}（i＝1，2，j＝1，2，…，2t+1），然后证明是最大值即可．【解答】解：（1）由题意可知r1（A）＝1.2，r2（A）＝﹣1.2，c1（A）＝1.1，c2（A）＝0.7，c3（A）＝﹣1.8 ∴K（A）＝0.7（2）先用反证法证明k（A）≤1：若k（A）＞1则|c1（A）|＝|a+1|＝a+1＞1，∴a＞0同理可知b＞0，∴a+b＞0由题目所有数和为0即a+b+c＝﹣1∴c＝﹣1﹣a﹣b＜﹣1与题目条件矛盾∴k（A）≤1．易知当a＝b＝0时，k（A）＝1存在∴k（A）的最大值为1（3）k（A）的最大值为．首先构造满足k（A）＝的A＝{a i，j}（i＝1，2，j＝1，2，…，2t+1）：a1，1＝a1，2＝…＝a1，t＝1，a1，t+1＝a1，t+2＝…＝a1，2t+1＝﹣，a2，1＝a2，2＝…＝a2，t＝，a2，t+1＝a2，t+2＝…＝a2，2t+1＝﹣1．经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且|r1（A）|＝|r2（A）|＝，|c1（A）|＝|c2（A）|＝…＝|c t（A）|＝1+，|c t+1（A）|＝|c t+2（A）|＝…＝|c2t+1（A）|＝1+．下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得k（A）＝x＞．由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x﹣1．设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r1（A）|＝r1（A）≤t•1+（t+1）（1﹣x）＝2t+1﹣（t+1）x＝x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为．【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和反证法的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)理
北京理科1.(2012北京,理1)已知集合A ={x ∈R|3x +2>0},B ={x ∈R|(x +1)(x -3)>0},则A ∩B =( ). A .(-∞,-1) B .21,-3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C .2,33⎛⎫-⎪⎝⎭D .(3,+∞)D 由题意得,A=2x|x }3⎧>-⎨⎩,B={x|x<-1或x>3},所以A ∩B=(3,+∞).2.(2012北京,理2)设不等式组0x 2,0y 2≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ). A .4π B .22π- C .6π D .44π-D 由题意知此概型为几何概型,设所求事件为A,如图所示,边长为2的正方形区域为总度量μΩ,满足事件A的是阴影部分区域μA ,故由几何概型的概率公式得:P(A)=22212242π-⨯⨯=44π-.3.(2012北京,理3)设a,b ∈R ,“a=0”是“复数a+b i 是纯虚数”的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件B 由已知得,“a+b i 是纯虚数”⇒“a=0”,但“a=0”“复数a+b i 是纯虚数”,因此“a=0”是“复数a+b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.4.(2012北京,理4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ).A .2B .4C .8D .16C 初始:k=0,S=1,第一次循环:由0<3,得S=1×20=1,k=1; 第二次循环:由1<3,得S=1×21=2,k=2; 第三次循环:由2<3,得S=2×22=8,k=3.经判断此时要跳出循环,因此输出的S 值为8.5.(2012北京,理5)如图,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E,则().A .CE·CB=AD·DB B .CE·CB=AD·ABC .AD·AB=CD 2D .CE·EB=CD 2A 由切割线定理得,CD 2=CE·CB,又在Rt △CAB 中,△ACD ∽△CBD, ∴CD 2=AD·DB,∴CE·CB=AD·DB.6.(2012北京,理6)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( ). A .24 B .18 C .12 D .6B 先分成两类:(一)从0,2中选数字2,从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23C ×4=12; (二)从0,2中选数字0,从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23C ×2=6. 故满足条件的奇数的总个数为12+6=18.7.(2012北京,理7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ).A BC D B 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为:此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×8.(2012北京,理8)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 值为( ). A .5 B .7 C .9 D .11C 结合S n 与n 的关系图象可知,前2年的产量均为0,显然2S 2=0为最小,在第3年~第9年期间,S n 的增长呈现持续稳定性,但在第9年之后,S n 的增速骤然降低.因为当n=9时,9S 9的值为最大,故m 值为9.9.(2012北京,理9)直线x 2t,y 1t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线x 3αy 3αcos sin =⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为 .2 由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x+y-1=0,x 2+y 2=9,进而求出圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离∴交点个数为2.10.(2012北京,理10)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=12,S 2=a 3,则a 2= ,S n = .1 14(n 2+n) 由a 1=12,S 2=a 3得,a 1+a 2=a 3,即a 3-a 2=12,∴{a n }是一个以a 1=12为首项,以12为公差的等差数列.∴a n =12+(n-1)×12=12n.∴a 2=1,S n =n 2(a 1+a n )=14n 2+14n=14(n 2+n).11.(2012北京,理11)在△ABC 中,若a=2,b+c=7,cos B=-14,则b = .4 由余弦定理得,cos B=222a cb 2ac +-=224(7b)b 22(7b)+--⨯⨯-=-14,解得b=4.12.(2012北京,理12)在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F,且与该抛物线相交于A,B 两点,其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为 .由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0),直线l 的方程为y=tan 60°(x-1),即联立得2y y 4x.⎧=⎪⎨=⎪⎩①②由①得③将③代入②并整理得y 2解得y1y 2又点A 在x 轴上方,∴∴S △OAF =12×|OF|×|y 1|=12×1×13.(2012北京,理13)已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE ·CB 的值为 ,DE ·DC 的最大值为 . 1 1 DE ·CB =(DA +AE )·CB =(CB +AE )·CB =|CB |2+AE ·CB .因为AE CB ⊥,所以AE ·CB =0. 所以DE ·CB =12+0=1. DE ·DC =(DA +AE )·DC =DA ·DC +AE ·DC =λ|DC |2(0≤λ≤1), ∴DE ·DC 的最大值为1.14.(2012北京,理14)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x -2.若同时满足条件: ①∀x ∈R,f (x )<0或g (x )<0; ②∃x ∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0.则m 的取值范围是 .(-4,-2) (一)由题意可知,m ≥0时不能保证对∀x ∈R,f (x )<0或g (x )<0成立.(1)当m=-1时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x -2,此时显然满足条件①; (2)当-1<m<0时,2m>-(m+3),要使其满足条件①,则需1m 0,2m 1,-<<⎧⎨<⎩解得-1<m<0; (3)当m<-1时,-(m+3)>2m,要使其满足条件①,则需m 1,-(m 3)1,<-⎧⎨+<⎩解得-4<m<-1. 因此满足条件①的m 的取值范围为(-4,0).(二)在满足条件①的前提下,再探讨满足条件②的m 的取值范围.(1)当m=-1时,在(-∞,-4)上,f(x)与g(x)均小于0,不合题意; (2)当m<-1时,则需2m<-4,即m<-2,所以-4<m<-2; (3)当-1<m<0时,则需-(m+3)<-4,即m>1,此时无解.综上所述满足①②两个条件的m 的取值范围为(-4,-2). 15.(2012北京,理15)已知函数f(x)=(x x)2x xsin cos sin sin -.(1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间. 解:(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z ),故f(x)的定义域为{x ∈R |x ≠k π,k ∈Z }.因为f(x)=(x x)2x xsin cos sin sin -=2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-12x 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭-1, 所以f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)函数y=sin x 的单调递增区间为2k ,2k 22ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).由2k π-2π≤2x -4π≤2k π+2π,x ≠k π(k ∈Z ),得k π-8π≤x ≤k π+38π,x ≠k π(k ∈Z ).所以f(x)的单调递增区间为k ,k 8πππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭和3k ,k 8πππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦(k ∈Z ). 16.(2012北京,理16)如图1,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D,E 分别是AC,AB 上的点,且DE ∥BC,DE=2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C ⊥CD,如图2.图1图2(1)求证:A 1C ⊥平面BCDE;(2)若M 是A 1D 的中点,求CM 与平面A 1BE 所成角的大小;(3)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由. 解:(1)因为AC ⊥BC,DE ∥BC,所以DE ⊥AC.所以DE ⊥A 1D,DE ⊥CD. 所以DE ⊥平面A 1DC. 所以DE ⊥A 1C.又因为A 1C ⊥CD,所以A 1C ⊥平面BCDE.(2)如图,以C 为坐标原点,建立空间直角坐标系C-xyz,则A 1设平面A 1BE 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·1A B =0,n ·BE =0.又1A B BE =(-1,2,0),所以3x 0,x 2y 0.⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令y=1,则所以n 设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM所以sin θ=|cos <n,CM >|=n?|n|||CM CM =所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为4π.(3)线段BC 上不存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直.理由如下:假设这样的点P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中p ∈[0,3]. 设平面A 1DP 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·1A D =0,m ·DP =0.又1A D DP =(p,-2,0),所以2y 0,px 2y 0.⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令x=2,则所以m =⎛ ⎝.平面A 1DP ⊥平面A 1BE ,当且仅当m ·n =0, 即4+p+p=0.解得p=-2,与p ∈[0,3]矛盾.所以线段BC 上不存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直.17.(2012北京,理17)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600,当数据a,b,c 的方差s 2最大时,写出a,b,c 的值(结论不要求证明),并求此时s 2的值. (求:s 2=1n[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 为数据x 1,x 2,…,x n 的平均数)解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“”厨余垃圾箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量=400400100100++=23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A 表示生活垃圾投放正确.事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(A )约为400240601000++=0.7,所以P(A)约为1-0.7=0.3.(3)当a=600,b=c=0时,s 2取得最大值. 因为x =13(a+b+c)=200,所以s 2=13×[(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80 000.18.(2012北京,理18)已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b 的值; (2)当a 2=4b 时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. 解:(1)f'(x)=2ax,g'(x)=3x 2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线, 所以f(1)=g(1),且f'(1)=g'(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x),当b=14a 2时,h(x)=x 3+ax 2+14a 2x+1,h'(x)=3x 2+2ax+14a 2.令h'(x)=0,得x 1=-a 2,x 2=-a 6.a>0时,h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭; 单调递减区间为a a ,-26⎛⎫-⎪⎝⎭. 当-a 2≥-1,即0<a ≤2时,函数h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h(-1)=a-14a 2.当-a 2<-1,且-a 6≥-1,即2<a ≤6时,函数h(x)在区间a ,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递增,在区间a ,-12⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为ha 2⎛⎫- ⎪⎝⎭=1.当-a 6<-1,即a>6时,函数h(x)在区间a ,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递增,在区间a a ,-26⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减,在区间a ,-16⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增, 又因为h a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭-h(-1)=1-a+14a 2=14(a-2)2>0,所以h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭=1.19.(2012北京,理19)已知曲线C :(5-m )x 2+(m -2)y 2=8(m ∈R).(1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围;(2)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证:A,G,N 三点共线. 解:(1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,当且仅当5m 0,m 20,88,5m m 2⎧⎪->⎪->⎨⎪⎪>--⎩解得72<m<5,所以m 的取值范围是7,52⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)当m=4时,曲线C 的方程为x 2+2y 2=8,点A,B 的坐标分别为(0,2),(0,-2).由22y kx 4,x 2y 8,=+⎧⎨+=⎩得(1+2k 2)x 2+16kx+24=0. 因为直线与曲线C 交于不同的两点, 所以Δ=(16k)2-4(1+2k 2)×24>0,即k 2>32.设点M,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则y 1=kx 1+4,y 2=kx 2+4, x 1+x 2=216k 12k -+,x 1x 2=22412k +.直线BM 的方程为y+2=11y 2x +x,点G 的坐标为113x ,1y 2⎛⎫⎪+⎝⎭. 因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN =22y 2x -,k AG =-11y 23x +,所以k AN -k AG =22y 2x -+11y 23x +=22kx 2x ++11kx 63x +=43k+12122(x x )x x +=43k+2216k212k 2412k -⨯++=0,即k AN =k AG .故A,G,N 三点共线.20.(2012北京,理20)设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记S(m,n)为所有这样的数表构成的集合.对于A ∈S(m,n),记r i (A)为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤m),c j (A)为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤n); 记k(A)为|r 1(A)|,|r 2(A)|,…,|r m (A)|,|c 1(A)|,|c 2(A)|,…,|c n (A)|中的最小值. (1)对如下数表A,求k(A)的值;1 1 -0.8 0.1-0.3-1(2)设数表A ∈S(2,3)形如1 1 ca b-1求k(A)的最大值;(3)给定正整数t,对于所有的A ∈S(2,2t+1),求k(A)的最大值. 解:(1)因为r 1(A)=1.2,r 2(A)=-1.2,c 1(A)=1.1,c 2(A)=0.7,c 3(A)=-1.8,所以k(A)=0.7.(2)不妨设a ≤b.由题意得c=-1-a-b. 又因为c ≥-1,所以a+b ≤0.于是a ≤0. r 1(A)=2+c ≥1,r 2(A)=-r 1(A)≤-1,c 1(A)=1+a,c 2(A)=1+b,c 3(A)=-(1+a)-(1+b)≤-(1+a). 所以k(A)=1+a ≤1.当a=b=0且c=-1时,k(A)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t,任给数表A ∈任意改变A 的行次序或列次序,或把A ,所得数表A *∈S(2,2t+1),并且k(A)=k(A *).因此,不妨设r 1(A)≥0,且c j (A)≥0(j=1,2,…,t+1).由k(A)的定义知,k(A)≤r 1(A),k(A)≤c j (A)(j=1,2,…,t+1). 又因为c 1(A)+c 2(A)+…+c 2t+1(A)=0,所以(t+2)k(A)≤r 1(A)+c 1(A)+c 2(A)+…+c t+1(A)=r 1(A)-c t+2(A)-…-c 2t+1(A)=t 1j 1+=∑a j -2t 1j t 2+=+∑b j≤(t+1)-t×(-1)=2t+1. 所以k(A)≤2t 1t 2++.对数表A 0:第1列 第2列则A 0∈S(2,2t+1),且k(A 0)=t 2+.综上,对于所有的A ∈S(2,2t+1),k(A)的最大值为2t 1t 2++.。
2012年北京卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学本试卷共20题，共150分。
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注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设．“”是“复数是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16 5．如图，，于点，以为直径的圆与交于点，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）{}|320A x x =∈+>R ()(){}|130B x x x =∈+−>R A B =()1−∞−，213⎧⎫−−⎨⎬⎩⎭，233⎛⎫− ⎪⎝⎭，()3+∞，0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤D D π4π22−π64π4−a b ∈R ，0a =i a b +S 90ACB ∠=︒CD AB ⊥D BD BC E CE CB AD DB ⋅=⋅CE CB AD AB ⋅=⋅2AD AB CD ⋅=2CE EB CD ⋅=EBDACA ．B ．C ．D ．8．某棵果树前前的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为 ．10．已知为等差数列，为其前项和．若，，则 ． 11．在中，若，，，则 ．12．在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，其中点 在轴上方，若直线的倾斜角为．则的面积为 ．13．已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的值为 ；的最大值为 ．14．已知，．若同时满足条件：①，或； ②，则的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数．（1）求的定义域及最小正周期；28+30+56+60+n n S n m m 21x t y t =+⎧⎨=−−⎩t 3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩α{}n a n S n 112a =23S a =2a =ABC △2a =7b c +=1cos 4B =−b =xOy l 24y x =F A B A x l 60︒OAF △ABCD E AB DE CB ⋅DE DC ⋅()()()23f x m x m x m =−++()22x g x =−x ∀∈R ()0f x <()0g x <()()()40x f x g x ∃∈−∞−<，，m ()()sin cos sin 2sin x x xf x x −=()fx 34正（主）视图侧（左）视图俯视图（2）求的单调递增区间．16．（本小题共14分） 如图1，在中，，，．，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）求证：平面； （2）若是的中点，求与平面所成角的大小；（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．17．（本小题共13分） 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率； （3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值． （求：，其中为数据，，…，的平均数）18．（本小题共13分） 已知函数，．（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值； （2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值． 19．（本小题共14分）已知曲线（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点．求证：三点共线．()f x Rt ABC △90C ∠=︒3BC =6AC =D E AC AB DE BC ∥2DE =ADE △DE 1A DE △1AC CD ⊥1AC ⊥BCDE M 1A D CM 1A BE BC P 1A DP 1A BE a b c ，，0a >600a b c ++=a b c ，，2s a b c ，，2s ()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=−+−++−⎢⎥⎣⎦x 1x 2x n x ()()210f x ax a =+>()3g x x bx =+()y f x =()y g x =()1c ，a b 24a b =()()f x g x +(]1−∞−，()()()22:528C m x m y m −+−=∈R C x m 4m =C y A B ，A B 4y kx =+C M N 1y =BM G A G N ，，AC D E B A 1MC B ED 图1图220．（本小题共13分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合． 对于，记为的第行各数之和，为的第列各数之和；记为，，…，，，，…，中的最小值． （1）对如下数表，求的值；（2）设数表求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值．A m n ⨯m n ()S m n ，()A S m n ∈，()i r A A i ()1i m ≤≤()j c A A j ()1j n ≤≤()k A ()1||r A ()2||r A ()||m r A ()1||c A ()2||c A ()||n c A A k A (23A S ∈，()k A t ()221A S t ∈+，()k A2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学(参考答案)1．D 【解析】 试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算 2．D 【解析】 【分析】试题分析：阴影部分的面积为：4π−，故选.D 考点：1、几何概型的计算，面积比【方法点晴】本题主要考查的是几何概型，属于中等题，由题作出所对应的图像，可得平面区域D 为如图所示的正方形区域，而区域内的任意点到原点的距离大于的区域为图中的阴影部分，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案. 【详解】 3．B 【解析】 【分析】 【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B 【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义 4．C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：列出循环过程中S 与k 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 解：第1次判断后S=1，k=1， 第2次判断后S=2，k=2， 第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8． 故选C ．考点：循环结构． 5．A 【解析】如图所示，由切割线定理可知2•CE CB CD =，在直角△ACB 中，090ACB ∠=，CD AB ⊥，则由射影定理可知2=?,CD AD DB ∴••CE CB AD DB =. 【考点定位】本题考查的是平面几何的知识，具体到本题就是射影定理的各种情况，需要学生对于垂直的变化有比较深刻的印象． 6．B 【解析】 【分析】【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况． 7．B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如右图所示．图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长，本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10S S S S ====后右底左，，因此该几何体表面积30S S S S S =+++=+后右底左B ．【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题，原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年考得是表面积，因此考查了学生的计算基本功和空间想象的能力． 8．C 【解析】 【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论． 【详解】由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度， 可得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=−=−.故选C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 9．2 【解析】 【分析】试题分析：将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．根据题意，由于直线2{1x ty t=+=−−(t 为参数)与曲线3cos {3sin x y αα==(α为参数)化为普通方程分别是x+y-1=0和x 2+y 2=9，那么可知∵圆心（0，0）到直线x+y-1=0的距离为d=＜3，∴直线与圆有两个交点，故答案为2考点：参数方程与普通方程点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题 【详解】请在此输入详解！10．1 ，【解析】【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算，考查通项公式和前n 项和公式的计算 11．4 【解析】在△ABC 中，利用余弦定理222cos 2a c b B ac+−=，14()()47()444c b c b c b c c ++−+−−==，化简得：，与题目条件7b c +=联立，可解得2,4,3a b c ===，【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用．利用题目所给的条件列出方程组求解 12【解析】由24y x =可求得焦点坐标(1,0)F ，因为倾角60º，所以直线的斜率为0tan 60k ==，利用点斜式，直线方程为y =2{4y y x =={1(,33A B ⇒−，因此11122OAF A S OF y ∆=⨯⨯=⨯⨯=.【考点定位】本题考查的是解析几何中抛物线的问题，根据交点弦问题求围成面积．此题把握住抛物线的基本概念，熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标和方程是成功的关键，当然还要知道三角形面积公式． 13． 1,1 【解析】根据平面向量的点乘公式•••cos DE CB DE DA DE DA θ==,由图可知，•cos DE DA θ=, 因此•DE CB =2||1DA =;••cos cos DE DC DE DC DE αα==,而•cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让•DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC ，所以长度为1.【考点定位】本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法． 14．()4,2m ∈−− 【解析】根据()220xg x =−<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此24n n +时2个根为122,3x m x m ==−−，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=−−<1{24m m <⇒>−，和大前提m<0取交集结果为40m −<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈−∞−恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈−时，34m −−<−，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24−>−，舍．当(4,1)m ∈−−时，24m <−，解得2m <−，综上所述，(4,2)m ∈−−．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想． 15．2==2T ππ 单调递增区间为[,)8k k πππ−和（k Z ∈）【考点定位】本题考查三角函数知识，此类型题在平时练习时练的较多，考生应该觉得非常容易入手。
2012年北京市高考数学试卷(理科)
2012年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共 小题．每小题 分 共 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项．已知集合{}()(){}320,130A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ，则 ∩ （ ）．(),1-∞-．21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．()3,+∞．设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）．4π ．22π- ．6π ．44π- ．设,a b ∈R ． 0a = 是 复数a bi +是纯虚数 的（ ） ．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）．2 ．4 ．8 ．16．如图，,9 0ACB CD AB ︒=⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ．则（ ）．CE CB AD DB ⋅=⋅ ．CE CB AD AB ⋅=⋅．2AD AB CD ⋅=．2CE EB CD ⋅=．从0,2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）．24．18．12．6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）．2865+ ．3065+ ．56125+ ．60125+．某棵果树前n 年的总产量Sn 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）．5 ．7 ．9 ．11二 填空题共6小题．每小题5分．共30分．直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩ （α为参数）的交点个数为 ．．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和．若1231,2a S a ==，则2a ．．在ABC 中，若12,7,cos 4a b c B =+==- ，则b ．．在直角坐标系xOy 中．直线l 过抛物线24y x =的焦点F ．且与该抛物线相交于A 、B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF 的面积为 ．．己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE CB ⋅的值为 ．．已知()()()23,()22x f x m x m x m g x =-++=- 若同时满足条件： ①,()0x f x ∀∈<R 或()0g x <； ②(),4,()()0x f x g x ∃∈-∞-<． 则m 的取值范围是 ．三、解答题公 小题，共 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．．已知函数()sin cos sin 2()sin x x xf x x-=（ ）求()f x 的定义域及最小正周期； （ ）求()f x 的单调递增区间．．如图1，在Rt ABC 中， 90C ︒∠=，3,6BC AC ==，,D E 分别是,AC AB 上的点，且DE ∥,2BC DE =，将ADE 沿DE 折起到1A DE 的位置，使1A C CD ⊥，如图2．（ ）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（ ）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（ ）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；厨余垃圾 箱可回收物 箱其他垃圾 箱厨余垃圾 可回收物 其他垃圾（ ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （ ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（ ）假设厨余垃圾在 厨余垃圾 箱、 可回收物 箱、 其他垃圾 箱的投放量分别为,,a b c ，其中0,600a a b c >++=．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值． （求：()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）．已知函数()()23()10,f x ax a g x x bx =+>=+（ ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求,a b 的值；（ ）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(),1-∞-上的最大值．．已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R（ ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（ ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为,A B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点,M N ，直线1y =与直线BM 交于点G ．求证：,,A G N 三点共线．．设 是由 × 个实数组成的 行 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 ，且所有数的和为零，记 （ ， ）为所有这样的数表构成的集合．对于 ∈ （ ， ），记 （ ）为 的第 行各数之和（ ≤ ≤ ）， （ ）为 的第 列各数之和（ ≤ ≤ ）；记 （ ）为 （ ） ， （ ） ， ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， ， （ ） 中的最小值．（ ）如表 ，求 （ ）的值；﹣ ﹣ ﹣（ ）设数表 ∈ （ ， ）形如﹣求 （ ）的最大值；（ ）给定正整数 ，对于所有的 ∈ （ ， ），求 （ ）的最大值．年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 小题．每小题 分 共 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项．（ 北京）已知集合 ∈ ＞ ， ∈ （ ）（ ﹣ ）＞ ，则 ∩ （）．（﹣∞，﹣ ） ．（﹣ ，） ．﹙， ﹚ ．（ ， ∞）【分析】求出集合 ，然后直接求解 ∩ ．【解答】解：因为 ∈ （ ）（ ﹣ ）＞ ﹜ ＜﹣ 或 ＞ ，又集合 ∈ ＞ ﹜ ，所以 ∩ ∩ ＜﹣ 或 ＞ ＞ ，故选： ．．（ 北京）设不等式组，表示的平面区域为 ，在区域 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 的概率是（） ． ． ． ．【分析】本题属于几何概型，利用 测度 求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于 的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域 如图所示的边长为 的正方形，面积为 ，满足到原点的距离大于 所表示的平面区域是以原点为圆心，以 为半径的圆外部，面积为 ﹣ ，∴在区域 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 的概率故选： ．．（ 北京）设 ， ∈ ． 是 复数 是纯虚数 的（）．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．【解答】解：因为 ， ∈ ． 时 复数 不一定是纯虚数 ．复数 是纯虚数 则 一定成立．所以 ， ∈ ． 是 复数 是纯虚数 的必要而不充分条件．故选 ．．（ 北京）执行如图所示的程序框图，输出的 值为（）． ． ． ．【分析】列出循环过程中 与 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第 次判断后 ， ，第 次判断后 ， ，第 次判断后 ， ，第 次判断后 ＜ ，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果： ．故选 ．．（ 北京）如图，∠ ， ⊥ 于点 ，以 为直径的圆与 交于点 ．则（）． ． ． ．【分析】连接 ，以 为直径的圆与 交于点 ， ⊥ ，由∠， ⊥ 于点 ，△ ∽△ ，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出 ．【解答】解：连接 ，∵以 为直径的圆与 交于点 ，∴ ⊥ ，∵∠ ， ⊥ 于点 ，∴△ ∽△ ，∴，∴ ．∵ ，∴ ，故选 ．．（ 北京）从 、 中选一个数字．从 、 、 中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）． ． ． ．【分析】分类讨论：从 、 中选一个数字 ，则 只能排在十位；从 、 中选一个数字 ，则 排在十位或百位，由此可得结论．【解答】解：从 、 中选一个数字 ，则 只能排在十位，从 、 、 中选两个数字排在个位与百位，共有 种；从 、 中选一个数字 ，则 排在十位，从 、 、 中选两个数字排在个位与百位，共有 种；排在百位，从 、 、 中选两个数字排在个位与十位，共有 种；故共有 种故选 ．．（ 北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）． ． ．．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为 和 的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为 ，底边长为 ，如图，所以底，后 ，右 ，左 ．几何体的表面积为：底后右左．故选： ．．（ 北京）某棵果树前 年的总产量 与 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 年的年平均产量最高，则 的值为（）． ． ． ．【分析】由已知中图象表示某棵果树前 年的总产量 与 之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．【解答】解：若果树前 年的总产量 与 在图中对应 （ ， ）点则前 年的年平均产量即为直线 的斜率由图易得当 时，直线 的斜率最大即前 年的年平均产量最高，故选二 填空题共 小题．每小题 分．共 分．（ 北京）直线（ 为参数）与曲线 （ 为参数）的交点个数为 ．【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．【解答】解：直线（ 为参数）化为普通方程为 ﹣ 曲线 （ 为参数）化为普通方程为∵圆心（ ， ）到直线 ﹣ 的距离为∴直线与圆有两个交点故答案为：．（ 北京）已知﹛ ﹜是等差数列， 为其前 项和．若 ， ，则 ．【分析】由﹛ ﹜是等差数列， ， ，知 ，解得 ，由此能求出 ．【解答】解：∵﹛ ﹜是等差数列， ， ，∴ ，解得 ，．故答案为： ．．（ 北京）在△ 中，若 ， ， ﹣，则 ．【分析】根据 ， ， ﹣，利用余弦定理可得，即可求得 的值．【解答】解：由题意，∵ ， ， ﹣，∴∴故答案为：．（ 北京）在直角坐标系 中．直线 过抛物线 的焦点 ．且与该抛物线相交于 、 两点．其中点 在 轴上方．若直线 的倾斜角为 ．则△ 的面积为．【分析】确定直线 的方程，代入抛物线方程，确定 的坐标，从而可求△ 的面积．【解答】解：抛物线 的焦点 的坐标为（ ， ）∵直线 过 ，倾斜角为∴直线 的方程为：，即代入抛物线方程，化简可得∴ ，或 ﹣∵ 在 轴上方∴△ 的面积为故答案为：．（ 北京）己知正方形 的边长为 ，点 是 边上的动点．则的值为 ．【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．【解答】解：因为 ．故答案为：．（ 北京）已知 （ ） （ ﹣ ）（ ）， （ ） ﹣ ，若同时满足条件：①∀ ∈ ， （ ）＜ 或 （ ）＜ ；②∃ ∈（﹣∞，﹣ ）， （ ） （ ）＜ ．则 的取值范围是（﹣ ，﹣ ）．【分析】①由于 （ ） ﹣ ≥ 时， ≥ ，根据题意有 （ ） （ ﹣ ）（ ）＜ 在 ＞ 时成立，根据二次函数的性质可求②由于 ∈（﹣∞，﹣ ）， （ ） （ ）＜ ，而 （ ） ﹣ ＜ ，则 （ ） （ ﹣ ）（ ）＞ 在 ∈（﹣∞，﹣ ）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于①∵ （ ） ﹣ ，当 ＜ 时， （ ）＜ ，又∵①∀ ∈ ， （ ）＜ 或 （ ）＜∴ （ ） （ ﹣ ）（ ）＜ 在 ≥ 时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与 轴交点都在（ ， ）的左面则∴﹣ ＜ ＜ 即①成立的范围为﹣ ＜ ＜又∵② ∈（﹣∞，﹣ ）， （ ） （ ）＜∴此时 （ ） ﹣ ＜ 恒成立∴ （ ） （ ﹣ ）（ ）＞ 在 ∈（﹣∞，﹣ ）有成立的可能，则只要﹣ 比 ， 中的较小的根大即可，（ ）当﹣ ＜ ＜ 时，较小的根为﹣ ﹣ ，﹣ ﹣ ＜﹣ 不成立，（ ）当 ﹣ 时，两个根同为﹣ ＞﹣ ，不成立，（ ）当﹣ ＜ ＜﹣ 时，较小的根为 ， ＜﹣ 即 ＜﹣ 成立．综上可得①②成立时﹣ ＜ ＜﹣ ．故答案为：（﹣ ，﹣ ）．三、解答题公 小题，共 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．．（ 北京）已知函数 （ ） ．（ ）求 （ ）的定义域及最小正周期；（ ）求 （ ）的单调递增区间．【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（ ）直接求出函数的定义域和最小正周期．（ ）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【解答】解：﹣ ﹣ （ ﹣）﹣ ∈ ， ≠ ， ∈（ ）原函数的定义域为 ≠ ， ∈ ，最小正周期为 ．（ ）由， ∈ ，解得， ∈ ，又 ≠ ， ∈ ，原函数的单调递增区间为， ∈ ，， ∈．（ 北京）如图 ，在 △ 中，∠ ， ， ， ， 分别是 ， 上的点，且 ∥ ， ，将△ 沿 折起到△ 的位置，使 ⊥ ，如图 ．（ ）求证： ⊥平面 ；（ ）若 是 的中点，求 与平面 所成角的大小；（ ）线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 垂直？说明理由．【分析】（ ）证明 ⊥平面 ，因为 ⊥ ，只需证明 ⊥ ，即证明 ⊥平面 ；（ ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面 法向量， （﹣ ， ，），利用向量的夹角公式，即可求得 与平面 所成角的大小；（ ）设线段 上存在点 ，设 点坐标为（ ， ， ），则 ∈ ， ，求出平面 法向量为假设平面 与平面 垂直，则，可求得 ≤ ≤ ，从而可得结论．【解答】（ ）证明：∵ ⊥ ， ⊥ ， ∩ ，∴ ⊥平面 ，又∵ ⊂平面 ，∴ ⊥又 ⊥ ， ∩∴ ⊥平面（ ）解：如图建系，则 （ ， ， ）， （﹣ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （﹣ ， ， ）∴，设平面 法向量为则∴∴∴又∵ （﹣ ， ，），∴ （﹣ ， ，）∴∴ 与平面 所成角的大小（ ）解：设线段 上存在点 ，设 点坐标为（ ， ， ），则 ∈ ，∴，设平面 法向量为则∴∴假设平面 与平面 垂直，则，∴ ， ﹣ ， ﹣∵ ≤ ≤∴不存在线段 上存在点 ，使平面 与平面 垂直．（ 北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱厨余垃圾可回收物其他垃圾（ ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（ ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（ ）假设厨余垃圾在 厨余垃圾 箱、 可回收物 箱、 其他垃圾 箱的投放量分别为 ， ， ，其中 ＞ ， ．当数据 ， ， 的方差 最大时，写出 ， ， 的值（结论不要求证明），并求此时 的值．（求： ，其中为数据 ， ， ， 的平均数）【分析】（ ）厨余垃圾 吨，投放到 厨余垃圾 箱 吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（ ）生活垃圾投放错误有 ，故可求生活垃圾投放错误的概率；（ ）计算方差可得，因此有当 ， ， 时，有 ．【解答】解：（ ）由题意可知：厨余垃圾 吨，投放到 厨余垃圾 箱 吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（ ）由题意可知：生活垃圾投放错误有 ，故生活垃圾投放错误的概率为；（ ）由题意可知：∵ ，∴ ， ， 的平均数为 ∴ ，∵（ ） ≥ ，因此有当 ， ， 时，有 ．．（ 北京）已知函数 （ ） （ ＞ ）， （ ）（ ）若曲线 （ ）与曲线 （ ）在它们的交点（ ， ）处具有公共切线，求 、 的值；（ ）当 时，求函数 （ ） （ ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣ ）上的最大值．【分析】（ ）根据曲线 （ ）与曲线 （ ）在它们的交点（ ， ）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求 、 的值；（ ）根据 ，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣ ）上的最大值．【解答】解：（ ） （ ） （ ＞ ），则 （ ） ， ， （ ） ，则 （ ） ， ，由（ ， ）为公共切点，可得： ①又 （ ） ， （ ） ，∴ ，即 ，代入①式可得：．（ ）由题设 ，设则，令 （ ） ，解得：，；∵ ＞ ，∴，（﹣∞，﹣）﹣）（ ） ﹣（ ） 极大值 极小值∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在单调递减，在）上单调递增①若，即 ＜ ≤ 时，最大值为；②若＜﹣，即 ＜ ＜ 时，最大值为③若﹣ ≥﹣时，即 ≥ 时，最大值为 （﹣）综上所述：当 ∈（ ， 时，最大值为；当 ∈（ ， ∞）时，最大值为．．（ 北京）已知曲线 ：（ ﹣ ） （ ﹣ ）（ ∈ ）（ ）若曲线 是焦点在 轴点上的椭圆，求 的取值范围；（ ）设 ，曲线 与 轴的交点为 ， （点 位于点 的上方），直线 与曲线 交于不同的两点 、 ，直线 与直线 交于点 ．求证： ， ， 三点共线．【分析】（ ）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线 是焦点在 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得 的取值范围；（ ）由已知直线代入椭圆方程化简得：（ ） ，△ （ ﹣ ），解得：，设 （ ， ）， （ ， ）， （ ， ）， 方程为：，则，从而可得， （ ， ），欲证 ， ， 三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明．【解答】（ ）解：原曲线方程可化简得：由题意，曲线 是焦点在 轴点上的椭圆可得：，解得：（ ）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（ ） ，△ （ ﹣ ）＞ ，解得：由韦达定理得：①，，②设 （ ， ）， （ ， ）， （ ， ）， 方程为：，则，∴， （ ， ），欲证 ， ， 三点共线，只需证，共线即成立，化简得：（ ） ﹣ （ ）将①②代入可得等式成立，则 ， ， 三点共线得证．．（ 北京）设 是由 × 个实数组成的 行 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 ，且所有数的和为零，记 （ ， ）为所有这样的数表构成的集合．对于 ∈ （ ， ），记 （ ）为 的第 行各数之和（ ≤ ≤ ）， （ ）为 的第 列各数之和（ ≤ ≤ ）；记 （ ）为 （ ） ， （ ） ， ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， ， （ ） 中的最小值．（ ）如表 ，求 （ ）的值；﹣ ﹣ ﹣（ ）设数表 ∈ （ ， ）形如﹣求 （ ）的最大值；（ ）给定正整数 ，对于所有的 ∈ （ ， ），求 （ ）的最大值．【分析】（ ）根据 （ ）， （ ），定义求出 （ ）， （ ）， （ ）， （ ）， （ ），再根据 （ ）为 （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） 中的最小值，即可求出所求．（ ）先用反证法证明 （ ）≤ ，然后证明 （ ） 存在即可；（ ）首先构造满足的（ ， ， ，，， ， ），然后证明是最大值即可．【解答】解：（ ）由题意可知 （ ） ， （ ） ﹣ ， （ ） ， （ ） ， （ ） ﹣∴ （ ）（ ）先用反证法证明 （ ）≤ ：若 （ ）＞则 （ ） ＞ ，∴ ＞同理可知 ＞ ，∴ ＞由题目所有数和为即 ﹣∴ ﹣ ﹣ ﹣ ＜﹣与题目条件矛盾∴ （ ）≤ ．易知当 时， （ ） 存在∴ （ ）的最大值为（ ） （ ）的最大值为．首先构造满足的（ ， ， ， ， ，，）：，．经计算知， 中每个元素的绝对值都小于 ，所有元素之和为 ，且，，．下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表 ∈ （ ， ），使得．由 （ ）的定义知 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 ，而两个绝对值不超过 的数的和，其绝对值不超过 ，故 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 ， 中．由于 ＞ ，故 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 ﹣ ．设 中有 列的列和为正，有 列的列和为负，由对称性不妨设 ＜ ，则 ≤ ， ≥ ．另外，由对称性不妨设 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑 的第一行，由前面结论知 的第一行有不超过 个正数和不少于 个负数，每个正数的绝对值不超过 （即每个正数均不超过 ），每个负数的绝对值不小于 ﹣ （即每个负数均不超过 ﹣ ）．因此 （ ） （ ）≤ （ ）（ ﹣ ） ﹣（ ） （ ﹣（ ） ）＜ ，故 的第一行行和的绝对值小于 ，与假设矛盾．因此 （ ）的最大值为．参与本试卷答题和审题的老师有： ；邢新丽； ；刘长柏；豫汝王世崇； （排名不分先后）菁优网年 月 日。
2012年北京市高考数学试卷(理科)
2012年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题．每小题5分。
共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项。
1．已知集合{}()(){}320,130A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ，则A ∩B=（ ）A ．(),1-∞-B ．21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()3,+∞2．设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π- 3．设,a b ∈R ．“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ）A ．2B ．4C ．8D ．165．如图，,9 0ACB CD AB ︒=⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ．则（ ）A ．CE CB AD DB ⋅=⋅ B ．CE CB AD AB ⋅=⋅C ．2AD AB CD ⋅=D ．2CE EB CD ⋅=6．从0,2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ）A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+8．某棵果树前n 年的总产量Sn 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11二。
填空题共6小题．每小题5分．共30分。
9．直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩ （α为参数）的交点个数为 ．10．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和．若1231,2a S a ==,则2a = ．11．在ABC 中，若12,7,cos 4a b c B =+==- ，则b = ．12．在直角坐标系xOy 中．直线l 过抛物线24y x =的焦点F ．且与该抛物线相交于A 、B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF 的面积为 ．13．己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE CB ⋅的值为 ．14．已知()()()23,()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件: ①,()0x f x ∀∈<R 或()0g x <； ②(),4,()()0x f x g x ∃∈-∞-<． 则m 的取值范围是 ．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．已知函数()sin cos sin 2()sin x x x f x x-=。
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绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，则A B =（）A ．()1-∞-，B ．213⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，C ．233⎛⎫-⎪⎝⎭，D ．()3+∞，2．设不等式组0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A ．π4B ．π22- C ．π6D ．4π4-3．设a b ∈R ，．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A ．2B ．4C ．8D ．165．如图，90ACB ∠=︒，C D AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（）A ．C E CB AD DB ⋅=⋅ B ．C E C B AD AB ⋅=⋅ C ．2AD AB CD ⋅= D ．2CE EB CD ⋅=6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6EBDAC7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+B．30+ C．56+D．60+8．某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为（）A ．5B ．7C ．9D ．11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9直线21x t y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为．10．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a =．11．在ABC △中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b =．12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF △的面积为．13．已知正方形ABC D 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为；DE DC⋅的最大值为．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ②()()()40x f x g x ∃∈-∞-<，，，则m 的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．344正（主）视图侧（左）视图俯视图15．（本小题共13分）已知函数()()sin cos sin 2sin x x xf x x-=．（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间．16．（本小题共14分） 如图1，在R t ABC △中，90C ∠=︒，3B C =，6A C =．D ，E 分别是A C ，AB 上的点，且D E BC ∥，2DE =，将A D E △沿D E折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图2.（1）求证：1A C ⊥平面B C D E ；（2）若M 是1A D 的中点，求C M 与平面1A BE 所成角的大小； （3）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由． 17．（本小题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率； （3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a b c ，，，其中0a>，600a b c ++=．当数据a b c ，，的方差2s最大时，写出a b c ，，的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值．（求：()()()2222121n s x xxxx xn ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为数据1x ，2x ，…，nx 的平均数）18．（本小题共13分） 已知函数()()210f x ax a =+>，()3g x x bx=+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-∞-，上的最大值． 19．（本小题共14分）已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A B ，（点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线B M 交于点G ．求证：A G N ，，三点共线． 20．（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记()S m n ，为所有这样的数表构成的集合．对于()A S m n ∈，，记()i r A 为A 的第i 行各数之和()1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和()1j n ≤≤；ACDEA 1MCBE D图1图2记()k A 为()1||r A ，()2||r A ，…，()||m r A ，()1||c A ，()2||c A ，…，()||n c A 中的最小值． （1）对如下数表A ，求()k A 的值；（2）设数表(23A S ∈，求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的()221A S t ∈+，，求()k A 的最大值．答案三、解答题 15． 解：(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x xx x x xf x x x xxx--===-{}πsin 21cos 221|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π． （2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8kk ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z16． 解：（1） C D D E ⊥，1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD ，又 1A C ⊂平面1A CD ， ∴1A C ⊥D E 又1A C CD ⊥，∴1A C ⊥平面BC D E（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，(00A ，，，()030B ，，，()220E -，，∴(103A B =-，，,()1210A E =--，， 设平面1A BE 法向量为()n x y z =，， y C则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴3020y x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴22z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(12n =-，又∵(10M -，∴(10CM =-，∴cos 2||||CM nCM n θ⋅====⋅∴C M 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则(10A P a =-，，，()20D P a =，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴1111612z x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()136n a =-， 假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直17．（1）由题意可知：4002=6003（2）由题意可知：200+60+403=100010（3）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =．18． 解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3f x x b'+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a'=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26a x =-；0a >，∴26a a -<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫--⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a --≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4ah a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4ah a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．19．（1）原曲线方程可化简得：2218852xymm +=--由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M N x x k =+，②设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，M B 方程为：62M Mkx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，，∴316MM x AG x k ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，，()2N N AN x x k =+ ，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG，AN共线即3(2)6M N NM x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。