1.4非标准型线性规划问题的解法
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
线性规划问题的解法
线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。
线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。
本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。
一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。
它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。
单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。
3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。
首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。
通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。
4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。
单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。
但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。
二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。
内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。
首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。
每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。
内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。
此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。
三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划常见题型及解法 均值不等式(含答案)
线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。
通常代特殊点（0，0）。
（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。
线性规划问题的四种求解方法
可画出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
解 设每天生产甲 、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千 克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合 物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B
问题的最优解具有十分重要的现实意义 .现介
二 、等值线法
绍几种求解线性规划问题的最优解的策略 .
所谓等值线是指直线上任一点的坐标(x ,
一 、截距法
y )都使 F(x , y)=Ax +By 取等值C 的直线l :
例 1 某厂需从国外引进两种机器 .第一 Ax +By = C(A 、B 不同时为零).通过比较等
7150 作出以上不等式组所表示的平面区域即可
x +2y 4x +y
=13得 =24
B(5 , 4).故当
x
=5, y
=4
行域 .令 z = 0 , 则可画出 直线 l 0 :2x -5y + 7150 =0 .画出一组与 l 0 平行的等值线 , 比较等
非线性规划的解法
非线性规划的解法非线性规划是一类重要的数学规划问题，它包含了很多实际应用场景，如金融市场中的资产配置问题，工程界中的最优设计问题等等。
由于非线性目标函数及约束条件的存在，非线性规划问题难以找到全局最优解，面对这样的问题，研究人员提出了众多的解法。
本文将从梯度法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等方法进行介绍，着重讨论它们的优劣性和适用范围。
一、梯度法首先介绍的是梯度法，在非线性规划中，它是最简单的方法之一。
梯度法的核心思想是通过寻找函数的下降方向来不断地优化目标函数。
特别是在解决单峰函数或弱凸函数方面优势明显。
然而，梯度算法也存在一些不足之处，例如：当函数的梯度下降速度过慢时，算法可能会陷入局部最小值中无法跳出，还需要关注梯度方向更新的频率。
当目标函数的梯度非常大，梯度法在求解时可能会遇到局部性和发散性问题。
因此，它并不适合解决多峰、强凸函数。
二、牛顿法在牛顿法中，通过多项式函数的二阶导数信息对目标函数进行近似，寻找下降方向，以求取第一个局部极小值，有时还可以找到全局最小值。
牛顿法在计算方向时充分利用二阶导数的信息，使梯度下降速度更快，收敛更快。
因此，牛顿法适用于单峰性函数问题，同时由于牛顿法已经充分利用二阶信息，因此在解决问题时更加精确，准确性更高。
但牛顿法的计算量比梯度法大，所以不适合大规模的非线性规划问题。
此外，当一些细节信息不准确时，牛顿法可能会导致计算数值不稳定和影响收敛性。
三、共轭梯度法共轭梯度法是非线性规划的另一种解法方法。
共轭梯度法沿预定义的方向向梯度下降，使梯度下降的方向具有共轭性，从而避免了梯度下降法中的副作用。
基于共轭梯度的方法需要存储早期的梯度，随着迭代的进行，每个轴线性搜索方向的计算都会存储预定的轴单位向量。
共轭梯度方法的收敛速度比梯度方法快，是求解非线性规划的有效方法。
四、拟牛顿法拟牛顿法与牛顿法的思路不同，它在目标函数中利用Broyden、Fletcher、Goldfarb、Shanno（BFGS）算法或拟牛顿法更新的方法来寻找下降方向。
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
线性规划知识点
线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的相关知识点。
一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。
目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。
1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。
1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。
二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。
2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。
2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。
三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。
对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。
3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。
4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。
4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。
五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。
对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。
线性规划问题的解法与应用
线性规划问题的解法与应用线性规划是一种数学优化方法，用于求解最大化或最小化目标函数的线性约束问题。
线性规划问题的解法涉及到多种算法和技巧，并且具有广泛的应用领域。
本文将介绍线性规划问题的解法以及其在实际应用中的案例。
一、线性规划问题的基本形式线性规划问题的基本形式可以表示为：Max (or Min) Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中各变量的系数；a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中各变量的系数；b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数；x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法通常包括下列步骤：1. 建立模型：根据实际问题和约束条件，确定目标函数和约束条件的形式，并定义决策变量。
2. 简化模型：对模型进行适当的变化和转化，以便于求解。
例如，可以通过引入松弛变量、人工变量或者对偶问题来简化原始问题。
3. 求解模型：根据简化后的模型，通过线性规划算法求解最优解。
常用的线性规划算法包括单纯形法、内点法、分支定界法等。
根据具体情况选择合适的算法。
4. 分析并优化解：分析最优解的意义和解的特点，并进行问题的优化。
如果最优解满足实际需求，则问题得到解决；否则，可以对模型进行进一步优化或者调整。
三、线性规划问题的应用线性规划问题的应用非常广泛，几乎涉及到所有需要进行决策的领域。
以下是一些常见的线性规划应用案例：1. 生产计划问题：生产计划通常需要在有限的资源下最大化产量或者利润。
线性规划可以帮助确定最佳的生产计划，以实现最大化目标。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种优化问题求解方法，用于在给定的约束条件下，寻觅一个线性目标函数的最优解。
它在运筹学、经济学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行详细总结。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量是决策的对象，可以是实数或者非负实数。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，通常表示为Z=c₁x₁+c₂x₂+...+cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为变量。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ≤b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 确定决策变量：根据实际问题，确定需要优化的决策变量，例如生产数量、投资金额等。
2. 建立目标函数：根据问题要求，建立目标函数，明确是最大化还是最小化。
3. 建立约束条件：根据问题给出的限制条件，建立约束条件，包括线性不等式约束和非负约束。
4. 确定问题类型：根据目标函数和约束条件的形式，确定线性规划问题的类型，如标准型、非标准型、混合整数规划等。
5. 模型求解：使用线性规划的求解方法，求得最优解。
四、解法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域内寻觅目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
3. 整数规划方法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
常见的方法包括分支定界法、割平面法等。
五、应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最佳的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
线性规划问题的基本概念及求解方法
线性规划问题的基本概念及求解方法线性规划是一种优化方法，用于找到一个线性方程的最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。
线性规划问题广泛应用于经济、工业、运输、物流等各个领域。
本文将讲述线性规划问题的基本概念和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划问题可表示为：$\max_{x} z = c^Tx$$\text{s.t.} \qquad Ax \leq b$其中，x表示决策变量，z表示目标函数，c和b为常数系数，A为系数矩阵。
目标函数表示要最大化或最小化的数量，约束条件表示限制决策变量取值的条件。
二、线性规划的求解方法线性规划问题的求解方法有两种，即图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法是一种用图形的方式来求解线性规划问题的方法。
它可以用于二元线性规划问题求解，但对于多元线性规划问题，它的应用受到了限制。
对于二元线性规划问题，我们可以将目标函数表示为直线，约束条件表示为线段，然后在可行域内寻找能让目标函数最大或最小的点。
2. 单纯形法单纯形法是一种通过交换决策变量的取值来寻找最优解的方法。
它通过构建初始单纯形表格，逐步利用高斯消元法将问题转化为标准型，然后不断交换基变量和非基变量，直到找到最优解。
单纯形法在求解多元线性规划问题时具有广泛的应用，因为它能够较快地寻找最优解。
但是，它也存在一些问题，例如当问题的维度较高时，算法的计算复杂度会相应增加，计算机的处理能力也会受到限制。
三、线性规划的应用线性规划在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 运输问题运输问题是一种线性规划问题，旨在确定一组产品从生产场所运往销售场所的最优方案。
这种问题通常涉及到对物流成本、物流时间等多种因素的优化。
2. 设备维护问题设备维护问题是一种线性规划问题，旨在通过优化设备的维护策略来最大化设备的使用寿命和效益。
这种问题通常涉及到对机器的使用寿命、维修成本、机器停机时间等多种因素的优化。
3. 生产计划问题生产计划问题是一种线性规划问题，旨在通过对原材料和生产线的安排来优化产品的生产过程。
几类线性规划问题的解法分析
线性规划问题经常出现在高考数学试题中.此类问题通常会要求同学们从实际问题中抽象出二元一次不等式，在了解二元一次不等式的几何意义的基础上，画出二元一次不等式组所表示的平面区域，并求出最优解.但问题中的目标函数经常会有所变化，常见的形式有直线型、分式型、平方型，且解法各不相同.下面结合实例，谈一谈三类线性规划问题的解法.一、直线型目标函数直线型的目标函数一般形如z =ax +by (ab ≠0)，这类问题通常要求根据二元一次不等式组，求目标函数z =ax +by (ab ≠0)的最值.求解此类线性规划问题，一般需将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式方程：y =-a b x +z b，根据二元一次不等式组画出可行域后，在可行域内讨论直线的截距zb的最值.通过求直线的截距zb的最值来间接求出z 的最值.例1.设x ，y 满足ìíîïïx -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥-2,则z =2x +y 的最大值为.解：画出ìíîïïx -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥-2,表示的可行域，如图1中的阴影部分所示，由{x +y -2≤0,y ≥-2,可得{x =4,y =-2,平移直线y =-2x +z ，可知当直线y =-2x +z 经过点()4,-2时，该直线在纵轴上的截距最大，即在()4,-2点处，z 取大值，可得z max =2×4-2=6．由于直线的截距有正有负，所以取最值的情形有所不同.当b >0时，截距zb取最大值，此时z 也取最大值，当截距zb 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值，此时z 取最小值，当截距z b取最小值时，z 取最大值．图1图2例2.某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg ，其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅能保证供应谷物饲料50000kg ，问怎样混合饲料，才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元，由题意可得ìíîïïïïx +y ≥35000，y ≥15x ，0≤x ≤50000，y ≥0，则z =0.28x +0.9y ，作出以上不等式组所表示的平面区域，如图2中阴影部分所示，联立x +y =35000和y =15x ，可得x =875003，y =175003，则A (875003,175003)，作一组平行直线y =-2890+10z9（即图2中虚线），当直线经过可行域内的点A (875003,175003)时，直线的纵截距最小，此时z 最小.故当x =875003，y =175003时，即将谷物饲料和动物饲料按5:1的比例混合时，成本最低.本题是一道实际应用问题.解答此类线性规划问题，需首先仔细读题，根据题意设出变量，建立关于变量的不等关系式以及目标函数.而本题中的目标函数为直线型，所以需将其转化为直线的截距式，在可行域内寻找直线的截距取最小值时的点，即可解题.一般地，线性目标函数的最优解一般会在可行域的顶点或边界处取得，我们可以重点研究可行域的顶点或边界上的点.二、分式型目标函数分式型目标函数一般形如z =y -bx -a.求解此类线性规划问题，需根据目标函数的几何意义：已知点(a ,b )与可行域内的点(x ,y )连线的斜率.当斜率取最大值时，z 取最大值；当斜率取最小值时，z 取最小值.而直线的斜率k =tan a 受倾斜角a 影响：（1）当倾斜角a 为魏上茗43当直线经过点(1,6)时，直线的斜率取得最大值，最大值为6；当直线经过点直线的斜率最小，此时yx取得最小值，最小的取值范围是éëùû95,6，所以本题选A.本题的可行域在第一象限，所以只需讨论直线的范围内的变化情况，可将直线y=zx在可行域内找出直线的倾斜角最大或即斜率取最值时的点，即可解题.图4图5例5.设实数x,y满足ìíîïïx+y-6≥0,x+2y-14≤0,2x+y-10≤0,则x2+y的最小值为____．解：x2+y2表示可行域内的点P(x,y)到原点的距离，作出不等式组表示的平面区域,如图5中的阴影部分所示，过点O作OA垂直于直线x+y-6=0，垂足为A在可行域内），所以原点到直线x+y-6=0的距离，就是点P(x,y)到原点距离的最小值，由点到直线的图3。
线性规划学习线性规划的解法
线性规划学习线性规划的解法线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。
线性规划的主要目标是在给定的线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。
本文将介绍线性规划的基本概念和解法。
Ⅰ. 线性规划的基本概念线性规划问题通常可以表示为以下形式：给定一组线性约束条件和一个线性目标函数，求解目标函数的最大值或最小值。
其中，线性约束条件可以表示为一组形如ax1 + bx2 + … + c ≤ d的不等式，线性目标函数为z = cx1 + dx2 + … + e。
Ⅱ. 线性规划的解法线性规划问题的求解方法有多种，下面将介绍其中两种常用的解法：单纯形法和内点法。
1. 单纯形法单纯形法是一种逐步改进的方法，通过迭代寻找最优解。
具体步骤如下：（1）初始化：将线性规划问题转化为标准型，并找到一个可行基本解。
（2）选择进基变量：从非基变量中选择一个可以增大目标函数值的变量作为进基变量。
（3）选择出基变量：由于选择进基变量而产生的新的解是非可行解，需要选择一个基变量作为出基变量，并进行调整。
（4）迭代：重复进行步骤2和步骤3，直到找到满足条件的最优解。
2. 内点法内点法是一种基于迭代的方法，通过寻找线性规划问题的可行解来逼近最优解。
具体步骤如下：（1）初始化：将线性规划问题转化为标准型，并找到一个可行解。
（2）构造路径方程：引入一个路径参数，并构造路径方程，将线性规划问题转化为一系列等价的非线性问题。
（3）迭代：通过求解路径方程的解，逐步逼近最优解。
Ⅲ. 实例分析下面通过一个实例来说明线性规划问题的解法。
假设有一家制造公司生产两种产品A和B，分别需要通过机器X和机器Y进行加工。
机器X每小时可工作6小时，机器Y每小时可工作4小时。
产品A通过机器X加工需要1小时，产品B需要2小时；产品A通过机器Y加工需要2小时，产品B需要1小时。
产品A的利润为3万元，产品B的利润为2万元。
问该公司如何安排生产，才能使利润最大化？解：首先，设产品A的产量为x，产品B的产量为y，则目标函数为z = 3x + 2y。
线性规划问题中的不等式解法
Part Four
不等式解法的改进 和优化方法
不等式解法的改进方法
迭代法：通过不断迭代逼近最优解，提高解的精度和稳定性 梯度下降法：利用函数梯度的性质，快速找到最优解 牛顿法：利用泰勒级数展开，以二次收敛速度逼近最优解 内点法：针对约束优化问题，通过迭代逼近最优解
不等式约束的求解方法：常用的求解方法有单纯形法、梯度法、牛顿法等。
Part Two
不等式解法的原理 和步骤
不等式解法的原理
线性规划问题的定义和分类
不等式解法的概念和适用范围
不等式解法的原理和数学模型
不等式解法的步骤和算法流程
不等式解法的步骤
列出不等式
移项
合并同类项
化简不等式
不等式解法的注意事项
04 不 等 式 解 法 的 改 进 和优化方法
Part One
线性规划问题的定 义和分类
线性规划问题的定义
线性规划问题是一种数学优化问题，旨在找到一组变量的最优组合，使得某个线性目标函数 达到最大或最小值。
该问题通常被建模为一组线性不等式约束下的线性目标函数。
这些不等式表示某些变量的取值范围或限制条件。
不等式解法在解决实际问题中的应用技巧和注意 事项
确定问题类型：判 断是否适合使用不 等式解法
建立不等式模型： 根据问题实际情况， 建立不等式模型
解不等式：使用适 当的方法求解不等 式
验证解的有效性： 在实际问题中验证 解的可行性和正确 性
THANKS
汇报人：XX
线性规划问题中的不等式约束
定义：线性规划问题中的不等式约束是指在一组线性不等式约束条件下，求线性目标 函数的最大值或最小值。
解线性规划问题
解线性规划问题线性规划问题是数学中的一种重要问题，广泛应用于运筹学、经济学和管理学等领域。
它的求解方法有很多种，下面将介绍两种主要的解线性规划问题的方法：单纯形法和内点法。
一、单纯形法单纯形法是解线性规划问题最常用的方法之一。
它的基本思想是从一个可行解出发，通过不断调整进入和离开基变量，逐步接近最优解。
具体步骤如下：1. 设置线性规划问题的标准型：将目标函数和约束条件转化为标准形式，即目标函数为最小化形式的线性函数，约束条件为一组线性不等式。
2. 初始化：确定初始可行解，选择初始基变量。
3. 检验最优性：计算当前可行解的目标函数值，若满足最优性条件则终止算法，得到最优解；否则进入下一步。
4. 选取离开基变量：根据离开变量的选择准则，确定需要离开的基变量。
5. 选取进入基变量：根据进入变量的选择准则，确定需要进入的基变量。
6. 更新基变量：通过更新基变量，得到新的可行解。
7. 重复步骤3-6，直到找到最优解。
二、内点法内点法是一种通过变量逐渐趋近可行域内部，实现对线性规划问题的解的方法。
与单纯形法相比，内点法在渐近性和稳定性方面具有优势。
内点法的主要思想是引入一个惩罚函数，目标函数加上此惩罚函数之后，约束条件变成等式。
然后通过求解惩罚函数的极小值来逼近原问题的最优解。
具体步骤如下：1. 设置线性规划问题的标准型：将目标函数和约束条件转化为标准形式。
2. 初始化：确定初始可行解，选择初始内点。
3. 更新内点：通过逐步调整内点，使其逼近可行域内部。
4. 求解惩罚函数：将目标函数和约束条件转化为一个待求解的非线性优化问题，通过求解此问题来逼近原线性规划问题的最优解。
5. 重复步骤3-4，直到找到最优解。
通过使用单纯形法和内点法，我们可以解决各种线性规划问题。
无论是单纯形法还是内点法，都有其优缺点和适用范围，选择合适的方法来解决具体问题是非常重要的。
非线性规划问题的求解方法
输入参数语法：
x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
4、其它求解算法
（1）间接法 （2）直接法
直接搜索法 以梯度法为基础的间接法
无约束规划的Matlab求解函数 数学建模案例分析（截断切割，飞机排队）
（1）间接法
在非线性最优化问题当中，如果目标函 数能以解析函数表示，可行域由不等式约束 确定，则可以利用目标函数和可行域的已知 性质，在理论上推导出目标函数为最优值的 必要条件，这种方法就称为间接法（也称为
第二步：求 (k) 最优的目标函数
function r=fungetlamada(lamada) %关于lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
三、Matlab求解有约束非线性规划
1. 用fmincon函数求解形如下面的有约束 非线性规划模型
一般形式：
min f ( X ) s.t. AX b
Aeq X beq l X u c(X ) 0 ceq ( X ) 0
求解线性规划问题算法
一 单纯形法求解线性规划问题的步骤
1 将线性规划问题化为标准型
2 将线性规划问题化为典范型，从而可立即得到 一组初始基本可行解，称为初始点x(0)，该点的 目标函数值为Z(x(0))。
3 寻找另一个基本可行解x(1) （由一个典范型化 为另一个典范型） ，使Z(x(1)) <Z(x(0))
6
6/1
3
3/-2
4
4/-1
J=6
0 0 -3
u3 u4 u1
0 0 1 -3
11 01
7
5 M0in J=x11-2x-32 +x3 –3x45 -1 s0.t•. x10+x2 1+3x3+x4 3
-2 0 0-2x20+x3-/-1 =3
-x2 +6x3-x4 +x6=4
x4
1 -2 1 cB xB x1 x2 x3 1 x1 1 1 3 0 x5 0 -2 1 0 x6 0 -1 6
cs ciais 0 -3 -2
1 x1 1 3 2 -3 x4 0 -2 1 0 X6 0 -3 7
3 -11 7
-3 0 0 x4 x5 x6 100 110 -1 0 1 -4 0 0 0 10 1 10 0 01 000
4 继续寻找好的基本可行解x(2) 、x(3)、 x(4) ，使 目标函数值不断下降，直到目标函数值不可能 再被改进。
二由一个典范型化为另一个典范型的过程
迭代的目的是要寻找一个使目标函数更小的基本可行解，为 了达到这个目的，单线形法分两步进行：
第一步：从原来的非基本变量中选出一个使其进入基本变量 中，这个被选中的变量叫进基变量。
线性规划的标准型
线性规划的标准型线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。
在实际应用中，线性规划被广泛运用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
线性规划问题可以分为标准型和非标准型，本文将重点介绍线性规划的标准型。
1. 线性规划的标准型定义。
线性规划的标准型是指目标函数和约束条件都是线性的，且决策变量的取值范围为非负实数。
标准型的数学表达式如下：\[\text{Maximize } \mathbf{c}^T\mathbf{x}\]\[\text{Subject to } \mathbf{Ax} \leq \mathbf{b}\]\[\text{and } \mathbf{x} \geq \mathbf{0}\]其中，\(\mathbf{c}\)为目标函数系数向量，\(\mathbf{x}\)为决策变量向量，\(\mathbf{A}\)为约束条件系数矩阵，\(\mathbf{b}\)为约束条件右端常数向量。
2. 线性规划的标准型特点。
线性规划的标准型具有以下特点：（1）目标函数和约束条件均为线性关系，数学表达简单清晰。
（2）决策变量的取值范围为非负实数，符合实际问题的特点。
（3）标准型问题的解法相对较为简单，有较多的优化算法可供选择。
3. 线性规划的标准型解法。
针对线性规划的标准型问题，可以采用单纯形法、对偶单纯形法、内点法等多种算法进行求解。
其中，单纯形法是最经典的线性规划求解算法之一。
单纯形法的基本思想是通过在可行解空间内移动，逐步逼近最优解。
具体步骤如下：（1）初始化，将初始可行解带入目标函数，得到初始的最优解。
（2）选择入基变量，根据目标函数系数选择一个非基变量作为入基变量。
（3）选择出基变量，根据约束条件确定一个出基变量，使得目标函数值增加最快。
（4）更新基本解，通过基变量的变换，更新当前的基本解。
（5）迭代求解，重复进行步骤（2）至步骤（4），直至达到最优解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x1
1 0 0
0
x 2 x3
x4
x5
θ
1 0 3 1 -1.5 0
4.5 0
0 4 -1 2 0.5
-M -2.5
σ j = c j − z j 27
运 筹 学
第三次迭代
cj
3 b 2 2 6 5 0 0 1
0
0
0
-M
cB xB 3 x1 0 x3 5 x2
x1
1 0 0
0
x 2 x3
x4
x5
θ
0 -1/3 1/3 1 1/3 -1/3 0 1/2 0
运 筹 学
解: 加入松弛变量和剩余变量进行标准 加入人工变量构造初始可行基. 化, 加入人工变量构造初始可行基.
Maxz = 3x1 − x2 − x3 + 0x4 + 0x5 − Mx6 − Mx7
x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x1 + x2 + 2 x3 − 2 x1 + x3 − x5 + x 6 = 11 =3 + x7 = 1
− 2x1 + x − x + x7 = 1
' 3 '' 3
x1,L, x7 ≥ 0
运 筹 学 例: 求解线性规划问题
min z ' = − 3 x 1 + x 2 + x 3
x 1 − 2 x 2 + x 3 ≤ 11 − 4 x1 − 2 x1 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 + x2 + 2 x3 ≥ 3 + x3 = 1
θi i θ
4
C j- Z j
运 筹 学
Cj
CB XB 最优解为 -1 3 -1
b 4 1 9 2
3 -1 -1
x1 x2 x3
θi x1 =x4 x x1 2 3 x4 x5 x6 x7 x2 = 1 1 0 0 1/3 -2/3 2/3 -5/3 x3 = 9 检验数均非正， 检验数均非正，此 0 1 0 0 为最终单纯形表 -1 1 -2 目标函数 1 2/3 -4/3 4/3 -7/3 0 0 值 z=2 1/3- 2/30 0 0 -1/3 -1/3 1/3-M 2/3-M
0 1-3M 3M
MM-1 0 表2
运 筹 学
Cj CB XB 0 -1 -1 b x4 12 x2 1 x3 1 3 -1 -1 0 0 -M-M x6 x7 2 -5 1 -2 0 1
1-M -1 -M
x1 x2 x3 3 0 -2 1 0 0 1 0 0 1 0 表3 0
x4 x5 1 -2 0 -1 0 0 0 -1
0 -1.5 -M-1
σ j = c j − z j 36
运 筹 学
大M法的要点
1、人工变量的引入 2、用大M法处理人工变量 当目标函数求最大，则为-M 当目标函数求最小，则为M
运 筹 学
三、大于等于的约束条件
• • • • 减去剩余变量化为等式 加人工变量 用大M法 用大 法 例如
3x1 + 2 x2 ≥ 18 3x1 + 2 x2 − x3 = 18 3x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 18
运 筹 学
五、变量允许为负值的情况
• • • • 标准化处理 必要时用人工变量 用人工变量时，再用大M法 用人工变量时，再用大M法 例如 min z = − 3 x1 + x 2 + x 3
s .t . x1 − 2 x 2 + x 3 ≤ 11 − 4 x1 + x 2 + 2 x 3 ≥ 3 2 x1 − x 3 = − 1 x1 , x 2 ≥ 0 , x 3自由
运 筹 学
• 处理以后成为
minz = −3x1 + x2 + x − x + 0(x4 + x5 ) + M (x6 + x7 )
' 3 '' 3
s.t. x1 − 2x2 + x − x + x4 = 11
' 3 '' 3
− 4x1 + x2 + 2x − 2x − x5 + x6 = 3
' 3 '' 3
• 然后用单纯形法求解（本例）
运 筹 学
初始单纯形表
cj
3 b 4 12 18
M
5 0 2 2
0 1 0 0
0
0
-M
cB xB
0 x3 0 x4 -M x5
x1
1 0 3
x 2 x3
x4
0 1 0
0
x5
θ
0 4 0 1 6
0
σ j = c j − z j -18
3+ 5+ 3M 2M
运 筹 学
第一次迭代
运 筹 学
四、右端常数项为负值的情况
• • • • • 两边同乘以-1 标准化：加上松弛变量或减去剩余变量 必要时加上人工变量 加人工变量时，用大M法 例如 − 3 x1 − 2 x2 + x3 ≤ −18
3 x1 + 2 x2 − x3 − x4 = 18 3 x1 + 2 x2 − x3 − x4 + x5 = 18
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
运 筹 学
用单纯形法求解（见下页）。 用单纯形法求解（见下页）。 • 求解结果出现检验数非正
– 若基变量中含非零的人工变量， 则无可行解； -M为人工变量系数，只要人 – 否则，有最优解。 工变量>0，则目标函数 不可能实现最优。
表4
0
0 -M-M
运 筹 学
§1.4非标准线性规划问题的解法
• • • • • 目标函数求极小问题 等式约束—大 方法 等式约束 大M方法 大于等于的约束条件 常数项为负值的情况 允许变量为负值的情况
运 筹 学
一、目标函数求极小问题
• 目标函数标准化 min Z = max (-Z’) • 检验数最优解检验规则
标准型
cj
3 b 4 12 6
6M
5 0 2 2
5+ 2M
0 1 0 -3
-3M
0
-M
cB xB
3 x1 0 x4 -M x5
x1
1 0 0
0
x 2 x3
x4
0 1 0
0
x5
θ
0 0 6 1 3
0
σ j = c j − z j 12-
运 筹 学
第二次迭代
cj
3 b 4 6 3 5 0 0 1
0
00Βιβλιοθήκη -McB xB 3 x1 0 x4 5 x2
运 筹 学
Cj
CB 0 XB b
3
-1
ι
-1
0
0 -M - M x6 x7 0 1 0 0
x1 x2 x3 1 -4 -2
3-6M
x4 x5 1 0 0 -1 0 0 0 -M
θi
-M -M
x4 11 x6 3 x7 1
-2 1 0
1 2 1
0 11 0 3/2 1 1 0
C j- Z j
3MM -1 3M-1
max z = CX AX = b , X ≥ 0 min z = CX AX = b , X ≥ 0
σj
cj − zj
≤0
≥0
运 筹 学
二、等式约束—大M法
• 人工变量
max z = 3 x1 + 5 x2 s.t . x1 ≤ 4 2 x2 ≤ 12 3 x1 + 2 x2 = 18 x1 , x2 ≥ 0
运 筹 学
• 标准化后
max z = 3 x1 + 5 x2 + 0( x3 + x4 ) s.t . x1 + x3 = 4 2 x2 + x4 = 12 3 x1 + 2 x2 = 18 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
• 可见没有初始单位可行基，加人工变量
运 筹 学
• 大M法
max z = 3 x1 + 5 x2 + 0( x3 + x4 ) − Mx 5 s.t . x1 + x3 = 4 2 x2 + x4 = 12 3 x1 + 2 x2 + x5 = 18 x1 , x2 , L , x5 ≥ 0
表1（初始单纯形表） （初始单纯形表）
运 筹 学
Cj CB XB 0 x4 10 -M x 6 1 -1 x3 1
C j- Z j
3
-1
-1
0
0 -M-M x6 x7
b x1 x2 x3 3 0 -2 1 -2 1 0 0 0 1
x4 x5 1 0 0 -1 0 0 0 -M
θi
0 -1 1 -2 1 0 1