【VIP专享】高等动力学课程总结

高等动力学课程总结
刚进入博士一年级，所参与的课题是水下机器人的控制研究，进入课题组
的时候，所涉及到的相关课题中的涉及到的很多的运动系统模型基本不知所以然，看了很多关于水下机器人的书籍和文献，但是对其中的一些物理量也缺乏明确认知。

很是庆幸的是开学的时候听从了师兄的意见选修了《高等动力学》的课程，通过这一学期的学习，对分析力学、刚体力学等有了一些了解，对后续的课题研究打下了扎实的基础。

《高等动力学》课程主要包括三个部分的内容，分别是分析力学，刚体力
学和稳定性理论。

分析力学通过引入广义坐标将传统矢量力学的矢量分析方法转化为直接运用数学分析的方法，研究宏观现象中的力学问题。

分析力学的是独立于牛顿力学的描述力学世界的体系；刚体力学包括刚体运动学和刚体动力学两个基本部分内容，主要讲述特殊质点系-刚体在外力作用下的运动规律；运动稳定性理论则主要介绍了稳定性的基本分析方法和判别方法及思路。

分析力学
分析力学的最基本出发点是引入了广义坐标的概念，并利用约束的概念建立了广义坐标变量之间的相互关系，即约束方程。

在此基础上，引入了与矢量力学中牛顿动力学基本定律相对应的动力学普遍方程。

此后在动力学普遍方程的基础上通过不同的变化与数学推导，引出了适用于完成系统的拉格朗日第二类方程，哈密顿正则方程、罗斯方程和适用于非完整系统的拉格朗日第一运动方程、劳斯方程、阿贝尔方程和凯恩方程，在引入各方程的过程中引入了相对应的常见动力学量的广义坐标形式和广义动力学量。

相比于经典力学中矢量力学分析方法，分析力学在分析过程中，完全避免了约束力在方程中出现，极大程度上减小了方程处理的难度。

刚体动力学
刚体的一般运动可以分解为随质心运动的平移和相对质心的转动。

刚体的平移可直接利用质心运动定理转化为质点动力学问题，因而刚体绕定点的转动是刚体动力学的主要内容。

其主要内容包括刚体绕定点转动的运动学和动力学两大部分。

稳定性理论
稳定性理论课程中，主要介绍了运动稳定性理论、Lyapunov 直接法、保守系统的平衡位置与定常运动稳定性、力的结构一起对运动稳定性的影响。

1.水下机器人受力分析
为了设计水下机器人的控制系统，首先需要建立机器人的动力学模型。

在
水下运动的机器人系统是一个非线性的动力学系统，需要确定的参数较多，由于技术和测试条件的限制，有些参数无法准确测定或者无法测定。

为了控制的需要，有必要对系统进行必要的简化，而只考虑对系统性能起主要作用的影响因素，这里主要考虑重力、浮力、推力和水动力对机器人的影响。

重力和重力矩
水下机器人受到地球的引力作用，由此产生的力和力矩要反映到局部坐标
系中去，可表示为
浮力和浮力矩
水下机器人在水中受到浮力作用，由此产生的力和力矩要反映到局部坐标
系中去，可表示为
推动力和推动力矩
水下机器人所受推动力和推动力矩与推力器的布置有关，推力器的布置又与水下机器人的结构、线型、尺度及运动要求有关，属于结构设计范畴。

这里暂不涉及结构设计，只给定各推力器的布置。

要求水下机器人实现 6 自由度的运动，考虑到每对推力器可以取相同或相反的推力方向，因此安装三对推力器就可以实现 6 自由度的运动。

图中以箭头表示推力器，其中推力器T1、T2 位于O'x'y' 平面并且相对于x' 轴对称，实现绕z' 轴的转动及沿x' 轴的平动；推力器T3、T4 位于O'y'z' 平面并且相对于y' 轴对称，实现绕x' 轴的转动及沿y' 轴的平动；推力器T5、T6 位于O'x'z' 平面并且相对于z' 轴对称，实现绕y' 轴的转动及沿z' 轴的平动。

推力器产生的推动力
设第i 个推力器的螺旋桨转速为ni ，螺旋桨直径为Di ，第i 个推力器的推力系数为KTi ，第i 个推力器产生的推力为FTi ，水的密度为ρ。

则有
推力器产生的合力与合力矩
设沿x'、y'、z' 轴方向上的合力分别为Tx′、Ty′、Tz′，作用于x'、y'、z' 轴的合力矩分别为K T 、M T 、N T ，计算如下
水动力和力矩
机器人在水中会受到水动力作用，由此产生的力和力矩要反映到局部坐标系中。

设水流在大地坐标系下的速度为
水流的速度在局部坐标系与大地坐标系之间的变换关系为式中
水流相对于机器人的速度
水流阻力和阻力矩
水流阻力与水下机器人相对水流速度的平方成正比。

设沿x'、y'、z' 轴线方向的水流阻力分别为Fx' 、Fy' 、Fz' ，它们可分别由下式计算
水流产生的阻力矩与机器人角速度平方成正比，由试验测得阻力矩系数(Kx′
、Ky′、Kz′ )后，可以求得流体对水下机器人产生的阻力矩在x'、y'、z' 轴上的投影分别为。

附加质量
水下机器人在流体中加速运动时，对周围的流体也产生作用力，使之产生
加速度，在其周围环绕的做加速运动的流体质量称为附加质量。

为了研究方便，这里近似认为水下机器人是前后左右对称的，则机器人沿三个轴向的附加质量只与各自轴线方向的加速度和角加速度有关。

其中，沿x'、y'、z' 轴线方向
产生的附加质量分别为，沿x'、y'、z' 轴旋转方向的附加质量分别为，它们可由试验测得。

2.机器人动力学模型的建立
基于上述坐标系的建立和受力分析，根据牛顿第二定律和动量矩定理，可
以推导求得水下机器人动力学方程的矩阵表示形式
式中
求解动力学方程就可以得到机器人在局部坐标系中描述的运动规律(即u、v、w、p、q、r)，然后转换到大地坐标系下得到机器人在大地坐标系中描述的运动规律
式中x , y , z——机器人在大地坐标系中沿三个轴向的速度。

用于控制的动力学模型
水下机器人的动力学方程是在局部坐标系中建立的，而轨迹规划及控制都是在大地坐标系中描述的，因此为了研究水下机器人的控制，需要将机器人在大地坐标系中描述的运动参数及控制参数转换到在局部坐标系中描述。

定义水下机器人在大地坐标系中的位置参数及姿态参数分别为
根据式可以得到水下机器人在局部坐标系和大地坐标系之间的速度、加速度、角速度和角加速度的变换关系为
这样，上式组成了水下机器人的控制基础。