概率论 第一章
概率论第一章随机事件及其概率
B
和事件 A∪B={| ∈ A或B } A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ， A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S 当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
S
(3).事件的积运算 得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中每一个都要发生，
解. 由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。 (1) A、B互不相容即 AB = ，则 P (B – A ) = 0.5； (2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2； (3) 利用加法公式的另一形式： P (A∪B ) = P (A ) + P (B – A )， 得到P (B – A ) = 0.4。
性质5 设A，B是两个事件，若 A B， 则 P (A ) ≤ P (B ) 性质6 对任意的事件A ，有P (A ) ≤1。 证明思路 利用概率定义中的无穷可加以及非负性等。
思考
性质4中如何推广到n个事件的加法公式
例1.11 假定 P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5 ， 分别计算 (1) A、B 不相容；(2) A B； (3) P (A∪B) = 0.7 时概率P (B – A) 的值。
例如从 26 个英文字母中任取2 个排列， 所有不同方式一共有 P262 = 26×25 = 650。
(2) 可以重复的排列
从 n 个不同元素中允许放回任意取 m 个 出来排成有顺序的一列( 即取出的这些元素 可以相同 )。所有不同的排列方式一共有 n×n×…×n = nm
(完整版)概率论第一章随机事件与概率
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
概率第一章 概 率 论
第三节 概率的加法与乘法公式
由条件概率计算公式，可直接推得概率的乘法公式： 例6 讨论抓阄的公平性.设有10个阄中只有一个物阄，10个人不论 先后顺序抓阄，每人只能抓一次、一个阄，试讨论其结果与顺序 无关.
解 设Ａｉ表示第ｉ(ｉ＝１，２，…，１０)个人抓到物阄，则第
６）是随机试验的６个基本事件，由于骰子的对称性，出现各个 基本事件的可能性相同，都为１/６，这个结果是可信的，没有人 会怀疑的．这种计算方法就叫做概率的古典概型方法． (1)有限性——样本空间的元素(基本事件)只有有限个，即Ω＝｛ω １，ω２，ω３，…，ωｎ｝； (2)等可能性——每一个基本事件发生的可能性都相同，即 例2 先后抛掷两枚均匀的硬币，求出现一个正面一个背面的概率.
表格
例1 为实验炮弹在正常条件下的合格率，
第二节 随机事件的概率
对100000发炮弹中的100发炮弹进行发射试验，结果有90发炮弹正 常，合格的频率为９０/１００＝0.9，因此，可以认为该批炮弹的 合格率基本在0.9左右，即任意从中抽取一发炮弹，能正常发射的 可能性为0.9. (1)０≤Ｐ(Ａ)≤１； (2)Ｐ(Ω)＝１； (3)Ｐ(⌀)＝０； (4)若Ａ⊂Ｂ，则Ｐ(Ａ)≤Ｐ(Ｂ)； (5)Ｐ(Ａ)＝１－Ｐ(). 二、概率的古典定义
事件组合而成的事件称为复合事件. 二、事件的关系与运算
在随机试验中有许多事件发生，而这些事件之间往往又有联 系．研究事件之间的各种关系与运算，可以帮助我们更深刻地认 识随机事件． 1.事件的包含与相等
第一节 随 机 事 件
2.事件的和(或并)
图 1-1
第一节 随 机 事 件
事件Ａ与事件Ｂ至少有一个发生的事件，称为事件Ａ与事件 Ｂ的和（或并）事件，记为Ａ∪Ｂ（或Ａ＋Ｂ）（图1⁃2中的阴影 部分）．因此，事件的和可以描述为：当且仅当事件Ａ，Ｂ中至 少有一个发生时，事件Ａ∪Ｂ发生．即Ａ∪Ｂ＝{A，B至少有一 个发生}．
概率第一章
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
《概率论》第1章 事件与概率
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5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AC BC AB
第一章 事件与概率
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在随后的200多年里,概率论不仅在理论上获得了一定 发展,而且在人口统计、保险业、误差理论、天文学等自 然科学中得到了应用.在这一时期,对概率论在理论和应用 方 面 作 出 重 要 贡 献 的 数 学 家 有 雅 格 布 · 努 利 (Jakob 伯 Bernoullii),丹尼尔· 伯努利(Daniel Bernoullii), 棣莫弗(De Moivre), 拉 普 拉 斯 (pace), 欧 拉 (L.Euler), 贝 叶 斯 (T.Bayes), 蒲 丰 (G.Buffon), 高 斯 (F.Gauss), 泊 松 (S.Poisson),布尼亚可夫斯基 (V.Bunjakovskii),切比雪夫 (Chebyshev), 马 尔 可 夫 (A.Markov), 李 雅 普 诺 夫 (A.Lyapunov)等. 尽管18,19世纪,概率论在理论和应用方面得到了很多 成果,但与其它数学分支比较,概率论的发展是缓慢的.甚 至直到20世纪以前概率论还未进入主流数学.其基本原因 是概率论缺乏严密的逻辑基础.
4/27
凯恩斯主张把任何命题都看作事件,例如“明天将下 雨”,“土星上有生命”等等都是事件,人们对这些事件的 可信程度就是概率,而与随机试验无关,通常称为 主观概 率. 米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限, 而作为公理就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通 常称为客观概率.
概率论第一章
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
《概率论》第1章§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
3/29
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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常见模型(3) —— 盒子模型
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 n PN N! (nN)
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1/29
古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
11/29
对于 n 个事件，有
n i 1
1i j n
减二
《概率论》第1章§6独立性
两两独立 三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题 判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第 二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁 的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三 发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别 向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
概率论 第一章
第一章随机事件及其概率习题一1举出几个必然事件、不可能事件和随机事件的例子.解(1)设ｖ１０为10次射击命中次数，则｛５＜ｖ１０≤８＝——随机事件，｛ｖ１０≤１０｝——必然事件，｛ｖ１０＞１０｝——不可能事件；(2)掷一枚骰子试验中，｛出现偶数点｝——随机事件，｛出现ｉ点｝（ｉ＝１，２，…，６）——随机事件，｛出现点数小于7｝——必然事件，｛点数不小于7｝——不可能事件；(3)盒中有2个白球，3个红球，从盒中随机取出3球，则｛取出的3个球中含有红球｝——必然事件，｛取出的3个球中不含红球｝——不可能事件.2互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系：(1)｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ；(2)ｘ＞２０与ｘ≤２０；(3)ｘ＞２０与ｘ＜１８；(4)ｘ＞２０与ｘ≤２２；(5)20个产品全是合格产品与20个产品中只有一个废品；(6)20个产品全是合格产品与20个产品中至少有一个废品.解对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件.对立事件和互不相容事件的共同特点是事件间没有公共的样本点，但两个对立事件的并(和)等于样本空间，即若A与__A是两个对立事件，则A__A＝Φ，A＋__A＝Ω；而两个互不相容事件的并(和)被样本空间所包含，即若A与B是两个互不相容事件，则AB＝Φ，且Ａ＋Ｂ⊂Ω.(1)由于｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∩｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝＝Φ，且｛ｘ｜｜ｘ－a｜＜δ＝∪｛ｘ｜ｘ－a≥δ｝⊂Ｒ，所以事件｜ｘ－a｜＜δ与ｘ－a≥δ是互不相容事件；(2)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Φ，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ≤２０｝＝Ｒ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤20是对立事件；(3)由于｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ＜18｝＝Φ，且｛ｘ｜ｘ＞２０｝∪｛ｘ｜ｘ＜18｝＝R，所以事件x＞２０与x＜１８是互不相容事件；(4)｛ｘ｜ｘ＞２０｝∩｛ｘ｜ｘ≤２２｝≠Φ，所以事件ｘ＞２０与ｘ≤２２是相容事件；(5)设事件Ａ＝｛２０个产品全是合格品｝，事件Ｂ＝｛20个产品中只有一个废品｝，显然ＡＢ＝Φ，Ａ＋Ｂ⊂Ω＝｛２０个产品｝，所以A与B是互不相容事件；(6)设事件Ａ＝｛20个产品全是合格品｝，事件B＝｛20个产品中至少有一个废品｝，显然AB＝Φ，Ａ+Ｂ＝Ω＝｛20个产品｝，所以A与B是对立事件.3写出下列随机试验的样本空间.(1)10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只(取出后不放回)，直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数；(3)测量一汽车通过给定点的速度.解(1)将3只次品都取出，至少要抽取3次，而最多抽取10次即可，故所求样本空间Ω＝｛３，４，…，９，１０｝;(2)最理想的情形是开始生产的10件产品都是正品，故所求样本空间Ω＝｛１０，１１，１２，…｝;(3)若不考虑汽车的运动方向，则所求样本空间Ω＝｛v｜v＞０｝.若考虑汽车的运动方向，θ表示该运动方向与正东方向之间的夹角，则所求样本空间Ω＝｛（vｃｏｓθ，vｓｉｎθ）｜v＞０，０≤θ＜２π＝.4事件A表示在三件被检验的仪器中至少有一件为废品，事件B表示所有的仪器为合格品，问事件(1)Ａ∪Ｂ；（２）Ａ∩Ｂ各表示什么意义?解(1)Ａ∪Ｂ＝Ω; （２）Ａ∩Ｂ＝ .5设A，B，C为三个随机事件，试将下列事件用A，B，C来表示：(1)仅仅A发生；(2)三个事件都发生；(3)至少有两个事件发生；(4)恰有一个事件发生；(5)没有一个事件发生；(6)不多于两个事件发生.解（１）Ａ__B__ C；（２）ＡＢＣ；（３）ＡＢ∪ＡＣ∪ＢＣ；（４）Ａ__B__C∪__AＢ__C∪__A__BＣ；（５）__A__B__C；（６）ＡＢ__ C.7袋内装有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率.解随机试验是从8个球中任取2个，样本空间所包含的样本点总数为n=C28.设事件A={取出两个球均为白球}，此时，事件A包含的样本点数为k=C25，故P(A)= k / n = C25 / C28≈0.357.8一批产品共200个，其中有6个废品，求：(1)这批产品的废品率；(2)任取3个恰有一个是废品的概率；(3)任取3个全是废品的概率.解随机试验是从200个产品中任取3个，样本空间所包含的样本点总数为n=C3200.设事件A i={取出的3个产品中含有i个废品},i=1,3,事件B={这批产品的废品率}.若取出的3个产品中含有i个废品，则i个废品必须从6个废品中获得，3-i个合格品必须从194 个合格品中获得，从而事件A i所包含的样本点数为k i=C i6C3-i194 ,i=1,3.故P(B)= 6 / 200 =0.03,P(A1)=k1 / n=C16C2194/C3200≈0.086,P(A3)=k3 /n=C36/C3200≈0.000 02.9两封信随机地向四个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好投入一封信的概率.解将两封信随机地投入四个邮筒，共有4×４＝１６种投法，即ｎ＝１６.设Ａ＝｛第二个邮筒恰好投入一封信｝，此时，需将两封信中的一封放入第二个邮筒，共有2种放法，剩下的一封放入其他三个邮筒中的一个，共有3种放法，从而事件A包含的样本点数为ｋ＝２×３＝６，故Ｐ（Ａ）＝ｋ/ｎ＝６/１６＝３/ ８.10在房间里有10个人，分别佩带着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率；(2)求最大号码为5的概率.解设事件A＝｛最小号码为5｝，事件B＝｛最大号码为5｝，则Ｐ（Ａ）＝Ｃ２５/Ｃ３１0＝１/１２，Ｐ（Ｂ）＝Ｃ２４ /Ｃ３１０＝１/２０.11把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.解设事件Ａ＝｛指定的三本书放在一起｝，将指定的三本书作为一个整体，10本书成为8本，故Ｐ（Ａ）＝k/n=A33A88/A1010≈０.０６７.12甲、乙二人约定1点到2点之间在某处会面，约定先到者等候10分钟即离去.设想两个人各自随意地在1点到2点之间选一个时刻到达该处，问“甲乙二人能会面”这事件的概率是多少?解记事件A＝｛两人能会面｝，以ｘ，ｙ分别表示两人到达时刻，则两人能会面的充要条件为｜ｘ－ｙ｜≤１０，即Ａ＝｛（ｘ，ｙ）：｜ｘ－ｙ｜≤１０｝.这是一个几何概率问题，样本空间为Ω＝｛（ｘ，ｙ）：０≤ｘ，ｙ≤６０｝，Ｐ（Ａ）＝Ｌ（Ａ）/Ｌ（Ω）＝６０２－５０２/６０２＝11/36.13在一间房里有四个人，问至少有两人的生日是在同一个月的概率是多少?解四个人在12个月中任一月出生的可能性是相等的，故基本事件的总数为12４.设事件Ａ＝｛四个人生日均不在同一个月｝，则Ｐ（__A）＝１－Ｐ（Ａ）＝１－A４１２/12４＝７３８/１７２８＝４１/９６.14设有10件样品，编以号码0~9，随机地抽取1件样品，以B表示“取到号码为偶数的样品”；A１表示“取到号码为1的样品”，A２表示“取到号码为2的样品”，Ａ３表示“取到号码大于7的样品”，分别求A１，A２，Ａ３的概率和A１，A２，Ａ３对B的条件概率，并将条件概率与无条件概率做一比较.解由题设可知:Ｐ（A１）＝1/10，Ｐ（A2）＝1/10，Ｐ（A3）＝2/10=1/5，Ｐ（A１｜Ｂ）＝０，Ｐ（A2｜Ｂ）＝ 1/5，Ｐ（A3｜Ｂ）＝ 1/5 .15某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，不超过三次而接通所需要电话的概率是多少?如果已知最后一个数是奇数，那么此概率是多少?解(1)设A={三次中至少有一次接通}, __A={三次每次都不通},A i={第i次接通}(i=1,2,3).易知，__A=__A1__A2__A3，故P(__A1)=9/10, P(__A2__A1)=8/9,P(__A3|__A1__A2)=7/8,从而，P(__A)= P(__A1) P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)= 9/10×8/9×7/8=7/10.故P(A)=1- P(__A)=1-7/10=3/10.(2)若已知最后一个数字是奇数，从0到9有十个数，其中五个是奇数，则P(__A1)=4/5, P(__A2__A1)=3/4,P(__A3|__A1__A2)=2/3,从而，P(__A)= P(__A1) P(__A2__A1)P(__A3|__A1__A2)= 4/5×3/4×2/3=2/5.故P(A)=1- P(__A)=1-2/5=3/5.16考察甲、乙两地出现春旱的情况，以A，B分别表示甲、乙两地出现春旱这一事件.根据以往气象记录知Ｐ（Ａ）＝０．２，Ｐ（Ｂ）＝０．１５，Ｐ（ＡＢ）＝０．０８，求Ｐ（Ａ｜Ｂ），Ｐ（Ｂ｜Ａ）及Ｐ（Ａ∪Ｂ）.解由题设可知:Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ｂ）＝０.０８/０.１５＝8/15，Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ａ＝０.０８/0.２＝２/５，Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝０.２＋０.１５－０.０８＝０.２７.17掷三个均匀骰子，已知第一粒骰子掷出幺点(事件B)，问“掷出点数之和不小于10”这个事件A的条件概率是多少?解设事件B＝｛第一粒骰子掷出幺点｝，事件Ａ＝｛掷出点数之和不小于10｝，由题设可知，若第一粒掷出幺点，第二粒可能掷出3、4、5、6点；若第二粒掷出3点，第三粒必掷出6点；第二粒掷出4点，第三粒可能为5、6点；第二粒掷出5点，第三粒可能掷出4、5、6点；第二粒掷出6点，第三粒可能掷出3、4、5、6点，则Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）/Ｐ（Ｂ）=10/36=5/18.18甲、乙二人射击，甲击中的概率为08，乙击中的概率为07，二人同时射击，并假定中靶与否是独立的，求：(1)中靶的概率；(2)甲中、乙不中的概率；(3)甲不中、乙中的概率.解设A、B分别表示甲中靶、乙中靶两事件，则事件A与B独立，又Ｐ（Ａ）＝０．８，Ｐ（Ｂ）＝０．７，于是，所求概率为(1)Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．８＋０．７－０．７×０．８＝０．９４；(2)Ｐ（Ａ__B）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（__B）＝０．８×（１－０．７）＝０．２４；(3)Ｐ（__AＢ）＝Ｐ（__A）Ｐ（Ｂ）＝（１－０．８）×０．７＝０．１４.19从厂外打电话给这个工厂某一车间要由工厂的总机转进，若总机打通的概率为0.6，车间的分机占线的概率为0.3，假定二者是独立的，求从厂外向该车间打电话能打通的概率.解设A，B分别表示从厂外打电话总机打通、分机打通两事件，则事件A，B独立，又Ｐ（Ａ）＝０．６，Ｐ（Ｂ）＝１－０．３＝０．７，所求概率为Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．６×０．７＝０．４２.20设事件A，B的概率均不为0，证明事件A与B独立及互不相容不会同时成立.证若Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，则有(1)因A，B两事件相互独立，且Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞0，有P（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＞０，故ＡＢ≠Φ，即A、B不互不相容;(2)因ＡＢ＝Φ，故Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Φ）＝０，而Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０，故Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＞０，于是Ｐ（ＡＢ）≠Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），即A与B不相互独立.21有四个大小质地一样的球，分别在其上写有数字1，2，3和“1，2，3”，令Ａｉ＝｛随机抽出一球，球上有数字ｉ｝(ｉ＝１，２，3).试证明A１，A２，Ａ３两两独立而不相互独立.证由题设可知Ｐ（A１）＝1/2，Ｐ（A2）＝1/2，Ｐ（A3）＝1/2,且Ｐ（A１A２）＝1/4= 1/2×1/2,Ｐ（A１A3）＝1/4= 1/2×1/2,Ｐ（A2A3）＝1/4= 1/2×1/2 .以上等式说明A１，A２，Ａ３两两独立.但Ｐ（A１A２Ａ３）＝1/4≠1/2×1/2×1/2＝Ｐ（A１）Ｐ（A2）Ｐ（A3）.可见事件A１A２Ａ３不相互独立.22加工某一零件共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％，3％，5％，3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.解设Ａｉ＝｛第ｉ道工序出次品｝，ｉ＝１，２，３，４.又设Ａ＝｛零件为次品｝，则有Ａ＝A１∪A２∪Ａ３∪Ａ４.由题知，A１，A２，Ａ３，Ａ４相互独立，__A1 ，__A2 ，__A3 ，__A4也相互独立，于是Ｐ（Ａ）＝Ｐ（A１∪A２∪Ａ３∪Ａ４）＝１－Ｐ（________________________4321AAAA⋃⋃⋃）＝１－Ｐ（__A1__A2__A3__A4）＝１－Ｐ（__A1）Ｐ（__A2）Ｐ（__A3）Ｐ（__A4）＝１－０．９８×０．９７×０．９５×０．９７≈０．１２４.23掷三枚均匀骰子，记B＝｛至少有一枚骰子掷出1｝，Ａ＝｛三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样｝，问A，B是否独立?解考虑P(A｜__B)，若__B发生，则三枚骰子都不出现幺点，那么，它们都只有5种可能性(2，3，4，5，6)，比不知__B发生时可能取的点数1，2，3，4，5，6少了一个.从5个数字取3个(可重复取)，其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时，有两个一样的可能性要大些，即Ｐ（Ａ）＜Ｐ（Ａ｜__B).由此推出Ｐ（Ａ）＞Ｐ（Ａ｜Ｂ），故A，B不独立.24一批玉米种子，其出芽率为09，现每穴种5粒，问“恰有3粒出芽”与“不大于4粒出芽”的概率是多少?解设Ａ＝｛恰有3粒出芽了｝，Ｂ＝｛不大于4粒出芽｝.把穴中每一粒种子是否发芽看作一次试验，而各粒种子发芽与否是互不影响的，所以5次试验是相互独立的，故Ｐ（Ａ）＝ｂ３（５，０．９）＝Ｃ３５×０.９３×（１－０．９）２＝Ｃ３５×０．９３×０．１２≈０．０７３，Ｐ（Ｂ）＝１－ｂ５（５，０．９）＝１－Ｃ５５×０．９５×（１－０．９）０＝１－０.９５≈０．４１.25某一由9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是70％，现在该机构对某事件可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率.解显然本问题是：如果9人中超过4人作出正确决策，则可对该事件可行与否作出正确决策，从而设事件Ａ＝｛作出正确决策｝，由题设知，ｎ＝９，p ＝０．７，ｑ＝０．３，于是ｂｋ（ｎ，ｐ）＝ｂｋ（９，０．７）＝Ｃｋ９×０．７ｋ×０．３９－ｋ(ｋ＝５，６，７，８，９)，所以5次试验是相互独立的，故Ｐ（Ａ）＝∑=95kＣｋ９×０．７ｋ×０．３９－ｋ≈0.901.26电灯泡使用寿命在1 000小时以上的概率为02，求3个灯泡在使用1 000小时后，最多只有一个坏了的概率.解利用二项概型，有P n(k≤1)=b0(3,0.8)+b1(3,0.8)＝Ｃ０３×０．８０×０．２３＋Ｃ１３×０．８１×０．２２＝０．１０４.27用三台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94，0.9，0.95，求全部产品中的合格率.解设事件A、B、C分别表示三台机床加工的产品，事件E表示合格品.依题意，Ｐ（Ａ）＝０．５，Ｐ（Ｂ）＝０．３，Ｐ（Ｃ）＝０．２,Ｐ（Ｅ｜Ａ）＝０．９４，Ｐ（Ｅ｜Ｂ）＝０．９，Ｐ（Ｅ｜Ｃ）＝０．９５，由全概率公式Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｅ｜Ａ）＋Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｅ｜Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｅ｜Ｃ）＝０．５×０．９４＋０．３×０．９＋０．２×０．９５＝０．９３.2812个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛时，同时取出了3个，用完后放回去.第二次比赛时，又同时取出3个，求第二次取出3个球都是新球的概率.解以Aｉ（ｉ＝０，１，２，３）表示事件“第一次比赛从盒中任取的3个球中有ｉ个新球”.可知Ａ０,A１,A２,Ａ３是样本空间Ω的一个划分.以B表示事件“第二次取出的球都是新球”.则Ｐ（Ａ０）＝Ｃ３３/Ｃ３１２＝１/220，Ｐ（A１）＝Ｃ19Ｃ23/Ｃ３１２＝27/200,Ｐ（A2）＝Ｃ29Ｃ13/Ｃ３１２＝27/55,Ｐ（A3）＝Ｃ39/Ｃ３１２＝21/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ０）＝Ｃ39/Ｃ３１２＝21/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ1）＝Ｃ38/Ｃ３１２＝14/55,Ｐ（Ｂ｜Ａ2）＝Ｃ37/Ｃ３１２＝35/220,Ｐ（Ｂ｜Ａ3）＝Ｃ36/Ｃ３１２＝1/11.由全概率公式，得Ｐ（Ｂ）＝∑=3iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝１/220×21/55+27/220×14/55+27/55×35/220+21/55×1/11＝1746/12100≈0.14629发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“-”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率08及02收到信号“·”和“-”；当发出信号“-”时，收报台以概率09及01收到信号“-”和“·”.求：(1)收报台收到信号“·”的概率；(2)当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率.解设事件B＝｛收到信号“·”｝，Ａ０＝｛发出信号“·”｝，A１＝｛发出信号“-”｝.显然Ａ０,A１构成一个完备事件组，且Ｐ（Ａ０）＝０．６，Ｐ（A１）＝０．４，Ｐ（Ｂ｜Ａ０）＝０．８，Ｐ（Ｂ｜A１）＝０．１.(1)应用全概率公式，有Ｐ（Ｂ）＝∑=1iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝０．６×０．８＋０．４×０．１＝０．５２.(2)应用贝叶斯公式有Ｐ（Ａ０｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ0）Ｐ（Ｂ｜Ａ0）/∑=1iＰ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）＝0.6×0.8/0.52≈０．９２３.30设某种病菌在人口中的带菌率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假定Ｐ（阳性｜带菌）＝０．９９，P(阴性｜带菌)＝０．０１，Ｐ（阳性｜不带菌）＝０．05P(阴性｜不带菌)＝０．95.设某人检出阳性，问他“带菌”的概率是多少?解设A＝｛某人检出阳性｝，Ｂ１＝｛带菌｝，Ｂ2＝｛不带菌｝.由题设知Ｐ（Ｂ1）＝０．８３，Ｐ（Ｂ2）＝１－０．８３＝０．１７，Ｐ（Ａ｜Ｂ1）＝０．９９，Ｐ（Ａ｜Ｂ2）＝０．０５，故所求的概率为Ｐ（Ｂ1｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ1）/Ｐ（Ａ）＝Ｐ（B1）Ｐ（Ａ｜B1）/∑=2jＰ（B j）Ｐ（Ａ｜B j）＝(０.８３×０.９９)/(０.８３×０.９９＋０.１７×０.０５)＝０.８２１７/(０.００８５＋０.８２１７)≈０.９８９８.31设有五个袋子，其中两个袋子(品种A1)每袋有两个白球和三个黑球，另外两个袋子(品种A2)每袋有一个白球和四个黑球，还有一个袋子(品种A3)中有四个白球和一个黑球，(1)从五个袋中任挑一袋，并从这袋中任取一球，此球为白球的概率；(2)从不同品种的三袋中任挑一袋，并由其中任取一球，结果是白球(事件B)，问这球由三个品种的袋子中取出的概率各是多少?解(1)设事件B表示“取到白球”，A i表示“从五个袋中取到A i品种袋子”（ｉ＝１，２，３），故Ｐ（A1）＝2/5, Ｐ（A2）＝2/5,Ｐ（A3）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A1）＝2/5,Ｐ（Ｂ｜A2）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A3）＝4/5,利用全概率公式，所求概率为Ｐ（Ｂ）＝∑=31iＰ（A i）Ｐ（Ｂ｜A i ）＝Ｐ（A1）Ｐ（Ｂ｜A1）＋Ｐ（A2）Ｐ（Ｂ｜A2）＋Ｐ（A3）Ｐ（Ｂ｜A3）＝2/5×2/5＋2/5×1/5＋1/5×4/5＝10/25＝2/5 .(2)设事件B＝｛取到白球｝，A i＝｛从不同品种三袋中取到品种A i 袋子｝（ｉ＝１，２，３），根据题设，欲求下述三个条件概率Ｐ（Ｂ｜A1）,Ｐ（Ｂ｜A1）,Ｐ（Ｂ｜A1）. 于是Ｐ（A1）＝1/3 ,Ｐ（A2）＝1/3,Ｐ（A3）＝1/3,Ｐ（Ｂ｜A1）＝2/5 ,Ｐ（Ｂ｜A2）＝1/5,Ｐ（Ｂ｜A3）＝4/5. 利用全概率公式，取到白球概率为Ｐ（Ｂ）＝∑=31iＰ（A i）Ｐ（Ｂ｜A i）＝1/3×2/5＋1/3×1/5＋1/3×4/5＝7/15.再由贝叶斯公式，有Ｐ（Ａ1｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ1）Ｐ（Ｂ｜Ａ1）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi ）＝(1/3×2/5)/7/15＝2/7.Ｐ（Ａ2｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ2）Ｐ（Ｂ｜Ａ2）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi ）＝(1/3×1/5)/7/15＝1/7.Ｐ（Ａ3｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ3）Ｐ（Ｂ｜Ａ3）/∑=31iＰ（Ａi）Ｐ（Ｂ｜Ａi ）＝(1/3×4/5)/7/15＝4/7.。
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
概率论第一章
在相同的条件下，多次抛一枚均匀的硬币，设事件 A =“正面朝上” ， 观察 n 次试验中 A 发生的次数．
试验者 德.摩根 蒲丰 费勒 K.皮尔逊 K.皮尔逊
n
2048 4040 10000 12000 24000
nA
1061 2048 4979 6019 12012
f n ( A)
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
第五章 大数定律和中心极限定理
第六章 数理统计的基本概念 第七章 参数估计 第八章 假设检验
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算
§1.2
§1.3 §1.4 §1.5
概率的定义及其性质
古典概型与几何概型 条件概率 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类： 一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现 象成为随机现象。 如何研究随机现象呢？
1.1.2 随机试验
例1-1： E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；
E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数；
E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差； E6: 在区间 0， 1 上任取一点，记录它的坐标。
例1-5 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AB)=0.8, P(AB)=0.3, 求P(B). 解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.
概率论第一章
I Ai = A1 I A2 I L I An = { A1 , A2 , ... An同 时 发 生}
i =1 ∞
I Ai = A1 I A2 I L = { A1 , A2 , ...同时 发 生}
i =1
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
事件间的关系及运算-3
4 差事件：A-B={e|e∈A且e∉B} 当且仅当A发生，B不发生时， 事件A-B发生
称
fn
( A)
=
n( A) n
为事件A的频率.
Ø 频率f n(A)会稳定于某一常数(稳定值).
Ø 用频率的稳定值作为该事件的概率.
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
确定概率的古典方法
1° 样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
Ω ={e1,e2,…,en} 2° 每个基本事件ei出现的可能性相等，i=1,2,…,n,
Ex 4. 若在区间( 0, 1) 内任取两个数，则两数之和
小于 6/5 的概率是多少？
-- 刘 赪 --
SWJTU
第三节
第一章
概率的性质
SWJTU
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概率的基本性质 -1
1 P(φ) = 0
∑ ( ) 2
P
5 P( A) + P( A) = 1
6 P(A∪B)≤ P(A)+P(B) 且有概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
-- 刘 赪 --
SWJTU
Ø 概率的加法公式可以推广到更多事件的情形： P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
概率论第一章总结
第一章随机事件及其概率一、内容提要 （一）．随机事件的概率1.随机试验：（i ）在相同的条件下可以重复进行；（ii ）试验有多种可能结果（iii ）所有可能结果可以明确，但试验前不能事先预知哪个结果出现。
记为E2.随机事件:与随机试验结果有关的命题, 简称事件.记为A,B,C……不可能事件和必然事件也视为为随机事件分别记为 φ和Ω.3.基本事件:按照试验的目的和要求所确定的随机试验E 的一个直接可能结果ω称为基本事件或样本点.4.样本空间(基本事件集):试验E 的所有样本点ω构成的集合称为E 的样本空间或基本事件集,记为Ω.即 Ω.={ω}（二）．随机事件的关系和运算1.事件的包含: 若事件A 发生必然导致B 发生.则称A 包含于B 记作 A ⊂B.2.事件的相等:对两个事件A,B.若A ⊂B.且B ⊂A.则称A 与B 相等.记作A=B3.事件的并：“事件A 与B 中至少有一个发生”的事件称为A 与B 的并（或和），记作A B 。
“n 个事件中至少有一个发生”的事件称为这个事件的并(或和).记作12....n A A A 简记为1n i i A =4.事件的差: “事件A 发生而B 不发生”的事件称为A 与B 的差记作A-B5.事件的交(积): “事件A 与B 都发生” 的事件称为A 与B 的交(积).记作A Bn 个事件12,...n AA A 都发生”的事件称为这个事件的交(或积).记作12...n A A A .6. 事件的互斥(互不相容):事件A 与事件B 不能同时发生,则称互斥.即AB φ=7. 事件的互逆(对立): 事件A 与事件B 必有一个发生,但不能同时发生,则称A 与B 互逆,记作A B =或B A = 即满足A B =Ω AB φ=8.完备事件组:若事件12,,,n A A A 必有一个发生,且12,,,n A A A 两两互不相容,即 12,n A A A =Ω ,且(, 1.2...,,)i j A A i j n i j φ==≠（三）．概率的概念1.概率的古典定义:设E 为古典概型,其样本空间Ω包含n 样本点,事件A 含k 样本点,则称k/n 为 事件A 的概率,记作()/P A k n =2.概率的统计定义设在相同条件下重复进行同一试验,n 次试验中事件A 发生的次数为μ,如果随着试验次数的增大,事件A 发生的频率/n μ 仅在某个常数(01)p p << 附近有 微小变化,则称数p 是事件A 的概率, 即()P A p =.3.概率的公理化定义设A 为随机事件, ()P A 为定义在所有随机事件组成的集合上的实函数且满足下列三条公理:公理1 对任一事件A,有0()1P A ≤≤公理2 ()1P Ω= ()0P φ=公理3.对于两两互斥的可数个随机事件12,,,n A A A ..., 有1212(......)()()...()...n n P A A A P A P A P A =++++ 则()P A 称为事件A 的概率.（四）．概率的性质1. ()1P Ω= ()0P φ=2. 对任意两个事件A ，B.有()()()()P A B P A P B P AB =+-若AB φ=,则()()()P A B P A P B =+3.对任意事件A,有()1(P A P A =-)4.对任意个事件12,,...,n A A A .有12(...)n P A A A 11()()n i i j i i j n P A P A A =≤<≤=-∑∑+1()i j k i j k n P A A A ≤<<≤∑-...+12(1)(...)n n P A A A -(-1)若i j A A φ= (,1,2...,)i j n i j =≠ 则121(...)()n n i i P A A A P A ==∑5.若B A ⊂,则()()()P A B P A P B -=-,且()()P A P B ≥（五）．条件概率、 乘法公式1.条件概率 设A ，B 为随机试验E 的两个事件。
概率论第一章
(1) 0 f ( A) 1; (2) f () 1, f () 0; (3) 若A, B互斥, 则 f ( A B) f ( A) f ( B).
推广：(两两互斥事件组) 设 A1 , A2 ,..., An ,... 是样本空间中有限个 或可列个事件，若满足 Ai Aj ,(i j ) ，则称 A1 , A2 ,..., An ,... 是两两互斥的，或称其是两两互斥事件组。 (7) 互逆(对立)事件：若 AB 且A B ，则称A,B为互逆 事件，或称A与B互相对立。逆事件可表示为： A A (8) 完备事件组：设事件组 A1 , A2 ,..., An 为两两互斥事件组，且 A1 A2 ... An ，则称 A1 , A2 ,..., An 是一个完备事件组。 划分 剖分 分解 事件间的运算规律： 与集合运算相似 交换律 结合律 分配律
2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E( X C) E( X ) C
3. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E (CX ) CE ( X )
例如 E ( X ) 5, 则 E ( 3 X ) 3 E ( X ) 3 5 15.
对偶律 自反律
例4 一射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示该射手第i次射 击时击中目标，使用文字叙述下列事件：
A1 A2
A2 A1 A2 A3
A1 A2 A3
前两次至少有一次击中目标 第二次没有击中目标 三次射击至少有一次击中目标 三次射击都击中目标
概率论第一章随机事件与概率
n n P Ai P( Ai ) P( Ai Aj ) P( Ai Aj Ak ) i 1 i 1 n 1 ...... ( 1) P( A1 A2 ...... An )
配对模型(续)
P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), …… P(A1A2……An) =1/n! P(A1A2……An)=
从中有返回地任取n 个. 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：
n M (N M ) m n N
m
n m
n M N M m N N
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n. NhomakorabeaA
事件运算的图示
AB
AB
AB
德莫根公式
A B A B;
n i 1
A B A B
n
Ai
n i 1
Ai ;
i 1
Ai
n i 1
Ai
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
概率论
第一章 随机事件与概率
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的 概率都一样，都是1/2， 谁先能够赢累计达到6 盘，就获得这笔赌金。 但是一个特别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候甲赢了5局， 乙赢 了2局， 问这笔赌金应该如何分配？
第一章 概率论的基本理论
第一章 概率论的基本理论前苏联数学家柯尔莫哥洛夫，1933年创立概率公理化体系。
⎧⎨⎩确定现象随机现象§1. 随机试验例：1E ：抛一枚硬币，观察正反面出现情况； {}1,H T Ω=2E ：将一枚硬币抛三次，观察正反面出现情况；{}2,,,,,,,HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT Ω=3E ：抛两颗色子，观察出现点数和； {}32,3,4,,12Ω=4E ：在一批灯管中任取一只，测试它的寿命； {}40t t Ω=≥ 5E ：将一尺之棰折成三段，观察各段长度；(){}5,,0,0,0,1x y z x y z x y z Ω=>>>++=特点：()()()123⎧⎪⎨⎪⎩试验可以在相同条件下重复进行；试验结果具有多种可能性，但能事先知道所有可能结果；进行试验前不能确定哪一结果出现。
满足上述特点的试验称之为随机试验，通过随机试验来研究随机现象。
§2. 样本空间 随机事件一、 样本空间随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。
样本空间通常用S 或Ω来表示。
（见上节）样本空间的元素——样本点。
二、 随机事件样本空间S 的子集——随机事件（事件），用,,A B C 表示；基本事件，必然事件，不可能事件。
事件A 发生⇔A 中有一样本点出现。
例1、 2E 2S1A ：第一次出现H {}1,,,A H H H H H T H T H HT T = 2A ：三个均出现T {}2A T T T =三、 事件间关系与事件的运算E S ,A B k A S ⊂1. A B ⊂ 事件B 包含事件A A 发生导致B 发生 A B =⇔A ⊂B 且B A ⊂。
2. A B ⋃1nk k A =1k k A ∞=3. A B A B ⋂1nk k A =1k k A ∞=4. A B A B -=5. A B ⋂=∅ ,A B 不相容，互斥6. A B S ⋃=且A B ⋂=∅——,A B 互逆，或对立事件 A B = A S A =- 算律同集合论例 设,,A B C 表示三个随机事件：○1 A 出现，,B C 都不出现 ABC ○2 ,A B 都出现，C 不出现 ABC ○3 三个事件均出现 ABC ○4 三个事件至少有一个出现 A B C ⋃⋃ ○5 三个事件均不出现 A B C ○6 不多于一个事件出现 ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC○7 不多于两个事件出现 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC or ABC ○8 三个事件至少有两个出现 ABC ABCABCABC○9 ,A B 至少有一个出现,C 不出现 ()A B C +⋅ ○10 ,,A B C 中恰好有两个出现 ABC ABC ABC§3. 频率与概率一、 排列、组合复习1. 不可重复排列（不放回） ()()()()!121!rn n A n n n n r n r =---+=-2. 可重复排列 (放回)n 个不同元素取r 个（未必不同）组成的排列种数 rn 3. 不可重复组合rnC n r ⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 乘法原理、加法原理二、 频率1、E, n 次，A, A n()An n f A n=2、性质11121.0()12()13()()()()n n k n k n n n k f A f S A A f A A f A f A f A ≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩=++……、、均不相容………… 例1， P8 例2， P9可见，n 逐渐增大-------()n f A 逐渐趋于一个常数-------------------频率稳定性-------- 统计规律性------- 概率（事件发生可能性的） -----------------概率定义三、 概率 Probability1. 定义： E S A E ⊂ 实数()P A 满足：()()()()()()()1210213,,,,,n i j P A P S A A A i j A A ⎧≥⎪⎪=⎨⎪≠⋅=∅⎪⎩非负性规范性设两两互不相容，即：时则()()()()1212nn P A A A P A P A P A =++++（可列可加性）则称P 为概率，()P A 为事件A 的概率。
概率论第一章知识点总结
概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点：
1. 随机试验：指具有以下三个特征的试验：可以进行多次独立重复；每次试验只有两个可能结果中的一个发生；每次试验发生的概率相同。
2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用S表示。
3. 事件：样本空间的任意子集称为事件，通常用A、B等大写字母表示。
4. 概率：事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间中元素的个数。
5. 概率的性质：对于任意事件A和B，有以下性质：
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容（即A∩B=），则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率：事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
7. 乘法公式：对于任意事件A1，A2，…，An，有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。
8. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式，用于计算复杂事件的概率。
其中全概率公式为：
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)，贝叶斯公式为：P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。
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事件A发生的概率P(A)取值范围是什么？
非负性
0≤P(A)≤1
P(Ω)=1 P(φ)=0
规范性
例如，若我们希望知道某射手中靶的 概率，应对这个射手在同样条件下大量 射击情况进行观察记录.
若他射击n发，中靶 m发，当n很大时，可 用频率m/n作为他中 靶概率的估计.
古典概率
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球 ，其中六个红球，四 个黑球，把球搅匀，蒙上 眼睛，从中任取一球，求 取到红球的概率。
1.4
例1：一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个 是男孩，问另一个也是男孩的概率是多少（假设 生男生女是等可能的）？
条件概率
定义 设Ａ、B是随机试验E的两个随机事件， 且P(A)>0,则称
P( AB) P( B | A) P( A)
为已知事件A发生条件下，事件B发生的条件 概率。
B
AB A
P Ai P( Ai ) i 1 i 1
3.对任一随机事件A,有 P A 1 P( A)
4.设两个事件A、B满足 P(A-B)=P(A)-P(B)
A B，则有
5.对任意事件A、B,则有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
推广到n个事件的和事件概率公式： P( Ai ) P( Ai )
=m/n
m个
n个基本事件
古典概率P(A)的性质？
非负性
0≤P(A)≤1
规范性
有限可加性
P(Ω)=1 P(φ)=0
若事件A1，A2,…,An两两互不相容，则 有 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+…+P(An)
古典概率计算举例
例1.一批产品共有200个，其中6个是废品。求 a.任取一个恰是废品的概率。
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
随机现象
带有随机性、偶然性的现象. 下面的现象哪些是随机现象？ A. 太阳从东方升起；
例 设有n个人,每个人都等可能地被分配到
N个房间中的任意一间去住(n≤N),且设每个
房间可容纳的人数不限,求下列事件的概率:
(1)A={某指定的n个房间中各有一个人住}; (2)B={恰好有n个房间,其中各住一人}; (3) C={某指定的一间房中恰有m(m<n)人}.
几何概率
向该正方形随机投针，求针落在 红色区域A的概率
2.P(Ω)=1
3.对于E的两两不相 P( Ai ) i 1 容的事件A1,A2,…,有 则称实数P(A)为事件A的概率。
P( A )
i 1 i
概率的重要性质
1.不可能事件的概率为0。即P(φ)=0 2.(有限可加性）若随机事件 A1 , A2 ,, An 互 不相容，则 n n
1. A与B互不相容；
2.
B A；
3. P( AB) 1 4
例2 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次 “6”点的概率是多少？ 令 事件A={至少出一次“6”点} A发生 {出1次“6”点} {出2次“6”点} {出3次“6”点} {出4次“6”点} 直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的 对立事件
0.518 0.5069
弗勒 皮尔逊
维尼
10000 24000
30000
4979 12012
14994
0.4979 0.5005
0.4998
频率有什么规律？
频率稳定性 指的是：当各轮试验次数 n1,n2,…,ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现 的频率总在一个定值附近摆动. 而且，试验次数 越多，一般来说摆动越小.
i 1 i 1 n n 1i j n
P( Ai A j )
n 1
1i j k n
P( Ai Aj Ak ) ... 1） P( A1 A2 ... An ) （
例1：已知
别求出 P( BA) 的值。
1 1 P( A) , P( B) , 在下列3种情况下分 2 3
表 3.1 人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994
所有这些概率都是在假定 一个人的生日在 365天的任 何一天是等可能的前提下计 算出来的. 实际上,这个假定 并不完全成立，有关的实际 概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至 少有两人同生日是有利的.
于是
例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率.
解：令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求P( A )
P P( A) r (365) r P365 P ( A) 1 P ( A ) 1 r (365)
r 365
美国数学家伯格米尼曾经做过一个 别开生面的实验，在一个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了22个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟 发现其中有两人同生日.
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
P ( A ) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率 为0.476.
研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小。
1.2
统计概率
在n次重复实验中，事件A出现m次，则 n次实验中，事件A出现的频率 fn(A)=m/n
抛硬币实验
实验者
德摩尔根 蒲丰
抛掷次数n 正面出现次数 m
2048 4040 1061 2048
正面出现频 率m/n
A
几何概型实验
1.样本空间是直线、平面或空间上的某个 区域，含有无限多个样本点； 2.各个样本点对应的基本事件的发生是等 可能的。
r
几何概率定义
设随机实验E的每一个可能结果是等可能地落在 区域Ω上的一点M（称为随机点），且 D , 则点M落在区域D（事件A)上的概率为 D的几何度量 P(A)= Ω的几何度量 其中“测度”即长度、面积或体积等。
再如: 测量一物体的长度，由于仪器及观察受 到的环境的影响，每次测量的结果可能是有 差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量 次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量 值大多落在此常数的附近，越远则越少，因 而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右 基本对称”.
随机现象有其偶然性的一面，也有其 必然性的一面，这种必然性表现在大量重 复试验或观察中呈现出的固有规律性，称 为随机现象的统计规律性. 概率论正是研究随机现象统计规律性的 一门学科. 现在，就让我们一起，步入这 充满随机性的世界，开始第一步的探索和 研究.
B. 明天的最高温度；
C. 上抛物体一定下落；
D. 新生婴儿的体重.
随机现象是不是没有规律?
否！
在一定条件下对随机现象进行大量观测 会发现某种规律性.
例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个 别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性 的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一 定的规律性，如一定的命中率，一定的分 布规律等等.
A ={4次抛掷中都未出“6”点}
的概率.
由于将一颗骰子抛掷4次,共有 6 6 6 6 =1296种等可能结果,
而导致事件 A ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有5 5 5 5=625种 因此
625 P( A) = =0.482 1296
P ( A) 1 P ( A ) =0.518
乘法公式 设A，B为任意事件，若P(A)>0 P(AB)=P(A)P(B|A),
若P(B)>0 P(AB)=P(B)P(A|B) 推广到n个事件的情况
设A1，A2，，An为n个事件，且P( A1 A2 ...An ) 0),则 ... P( A1 A2 ...An ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )...P( An | A1 A2 ...An 1 )
频率
m1 n1 m2 n2 ms ns
稳定在某个值 附近 频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小 是客观存在的，是不以人的意志为转移的客观 规律，这正是随机现象的统计规律性。
概率的统计定义
在相同条件下对实验E重复进行n次，其中事 件A出现m次。当实验次数n充分大时，事件A 出现的频率fn(A)=m/n的稳定值p,称为事件A 的概率，记为P(A). P=P(A)≈fn(A)=m/n
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
3.分配率 4.对偶原则
A B A B ; A B A B
例2：某人连续买了3期彩票，设 Ai 表示事件 Ai “第i期中奖”（i=1,2,3 ）,试用 及对立事 Ai 件 表示下列事件： 1. 3期中至少有1期中奖； 2. 3期都中奖； 3. 3期中恰好有1期中奖； 4. 3期都不中奖； 5. 3期中最多有1期中奖。
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
古典概型实验
1.试验有有限个基本事件 e1, e2, …，eN ,
2.任何两个基本事件不可能同时出现，且 每次实验中各可能结果出现的可能性均相同 这样的实验称为古典概型实验。
概率的古典定义
若试验中只有n个等可能的基本事件，而某 个事件A由其中m个基本事件组成,则m/n为 事件A的概率，即 具有事件A属性的基本事件数 P(A)= 所有可能的基本事件数