优化习题教学 提高解题效率
高中物理的习题教学
浅谈高中物理的习题教学习题教学是高中物理教学的重要组成部分。
习题教学有助于学生透彻理解和巩固所学知识，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和创新性。
在教学中教师应针对学生实际情况和认知水平，精心选编习题，善于发动学生，更多地给学生思考的时间和空间，让课堂活跃起来，真正让学生做学习的主人。
因此，习题教学是高中物理教学的重要环节，本文拟对此谈一些个人的粗浅体会。
一、要让学生掌握解题的基本步骤和方法要想顺利而正确地解题必须熟练掌握解题的基本步骤和方法，解题的基本步骤和方法包括：（1）审好题。
首先要仔细阅读题目，把题目的意思搞清楚，确定研究对象，分析题目的物理意义，判断问题的类型，明确题目的已知条件和所要求解决的问题，进而发掘题目中隐含着的一些条件。
（2）画好草图帮助分析。
画草图包括示意图、电路图、受力图等。
根据题意，可作图的，应作出示意图，示意图可使题目形象化、具体化、可帮助问题的分析，容易看出各物理量间的关系。
养成作图的习惯是提高解题能力的重要措施之一。
画草图，不要求画得华丽好看，只要求突出物理意义即可。
如求解牛顿运动定律应用的题型时，应画出运动分析、受力分析草图，把题目的意思寄寓在草图中，这样，不但一目了然，能帮助分析题意，而且还能迅速地找出各阶段间的物理联系。
（3）找出已知条件和所求的物理量。
一般学生往往认为题目中的已知数值就是已知条件，其实已知条件并不一定都是数值，已知条件在题目中一般有两种表现形式：一、直接已知条件。
就是有关物理量的已知数值；二、间接已知条件。
有的已知条件，在题目中不是直接告诉我们的。
例如“电灯正常发光”就是指电灯发光时达到额定电压和额定功率；“两电荷间的库仑引力为f”，说明两电荷电性相反，库仑力表现为引力；“用电器接在照明电路中”，可知用电器两端的电压为220v。
像这种间接告诉已知条件的题目不少，应学会找这类已知条件的方法。
（4）选好公式。
根据题目意思、已知条件和所求的量，找出各物理量间关系，选出公式，进行计算。
练习题提升学生的学习效果
练习题提升学生的学习效果练习题在教育中扮演了重要的角色，它不仅可以帮助学生巩固所学知识，还可以提升学习效果。
本文将探讨练习题如何有效地提升学生的学习效果，并给出相关建议。
1. 增强记忆力和理解能力练习题能够帮助学生巩固课堂所学知识，并通过不断的重复练习加深对知识的记忆。
同时，练习题也能帮助学生巩固对知识的理解，加深对知识点之间关联的认识。
通过练习题的反复练习，学生能够更好地掌握知识，提高记忆力和理解能力。
2. 发现和弥补知识漏洞练习题可以帮助学生发现自己的知识漏洞，并及时采取措施进行弥补。
当学生在练习过程中发现自己对某个知识点掌握不牢固时，可以立刻查漏补缺，并及时向老师请教。
练习题能够帮助学生主动了解自己的学习情况，并针对性地进行学习。
3. 提高解题能力和应用能力练习题通常涵盖各种题型和难度级别，学生通过解答各类练习题可以提高解题能力。
不同类型的练习题能够让学生面对不同的问题和场景，培养他们的应变能力和解决问题的能力。
练习题的多样性可以使学生从各个角度去思考问题，并且在实践中锻炼自己。
4. 培养自主学习和自我评价能力练习题的完成过程是学生自主学习的过程，能够培养学生主动学习、独立思考和解决问题的能力。
通过对练习题的反复练习和自我评价，学生能够逐渐建立起自己的学习方法和学习规划，提高自己的学习效果。
练习题提升学生的学习效果需要注意以下几点：1. 知识点全面覆盖练习题应该覆盖课程中的所有重要知识点，确保学生能够全面理解和掌握所学内容。
同时，还应该注意练习题的难度适中，既要考察基础知识，又要培养学生的拓展思维和解决问题的能力。
2. 具有针对性和系统性练习题应该针对学生的学习需求和短板进行设计，注重系统性培养学生的解题思路和方法。
通过逐步提高难度和递进训练，帮助学生建立知识框架，形成扎实的学习基础。
3. 及时反馈和指导学生在解答练习题的过程中，需要得到及时的反馈和指导。
老师可以通过批改练习题、讲解解题思路或组织讨论等方式，帮助学生发现错误并及时纠正，在学习中不断进步。
优化课堂解题教学提高学生解题能力
在繁多的习题中， 将那些貌似不同实则相同的“ 问题” 集聚在一起， 通过分析总结， 找出其共性， 使学生通过 解一道题的训练， 掌握解一类题的方法。 三、 一题多‘ ， .变”拓展延伸 教学中， 教师宜精选适当的典型题目， 引导学生 对其条件和结论进行加工 、 改造和引伸 ， 充分挖掘问 题的内涵和外延。通过将 问题步步深人 ， 把学生学习 中的知识再现过程转化为知识的发现过程 生思路 。
!
学生甲:“ 当x=1或V 了时， 原题中所有分式均有意
义。”
出发，沿BC边向点C以2厘米/秒的速 A l一 r,
度移动。 如果P,Q两点在分别到达B,
C两点后就停止移动。
( 1)运动开始后第t秒时， 五边形APQCD的面积为S
平方厘米， 写出S与t的函数关系式 ， 并指出自变量t的取 值范围。(2)t为何值时S最小? 并求出S的最小值。 演变2.将上题 中的矩形置于 y 平面直角坐标系中， 又得新题。 C(3,6) A 2. ( 1998年湖北咸宁地区中 考题 )如图， 在直角坐标系内， 过
I I
O B
人得， =1或V 了一 原式= 1. 解完后我说此题解答有误 ， 要学生找出错在哪里? 学生百思不得其解， 一致认为此题化简正确 ， 解方程正 确， 代入求值也正确。 经启发:“ 求解分式问题应注意什么? ” 答: “ 分母不能为零， 分母为零时分式无意义。”
1厘米/秒的速度移动， 同时点0 从点B
求证 :BE=DC.
一、 题多 法 ， 优” .巧 一 “” 择“ 求‘ ”
一题多法可引导学生沿着不同的途径去思考问 通过多“ 并比 找出新颖、 法” 较， 独特又简单的解法。 例1.(义教《 代数》 三册P66A组 ( 3)题)
高中化学优化习题教学论文
高中化学优化习题教学的几点做法摘要：习题教学与习题练习的设计、组织、实施、检测，是新课程改革实施者面临的重要的课题。
本文根据先进的教学理论，提出优化习题教学的几点原则和方法，以期对提高课堂教学质量有所帮助。
关键词：习题教学；选题；解题；分层教学中图分类号：g632 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2012）24-271-01习题教学与习题练习是化学教学的主题之一，是概念、性质、公式和原理教学的延续和深化。
科学地实施化学习题教学，能够加深学生对所学知识、技能的理解和掌握，对发展学生的自学阅读能力、分析综合能力，提高学生的思维品质，具有十分重要的作用。
目前化学习题教学存在的主要问题是：老师以一种批判式的心态去唱独角戏，学生的参与程度不高，课堂气氛死气沉沉，特别是哪些本来就比较后进的同学更感觉索然无味。
再看学生的学习效果，讲过的习题错误依旧，强调的方法却不能得心应手，见到化学题仍是提心吊胆，步履艰难。
因此优化习题教学势在必行。
一、精心选择习题，优化教学内容习题教学成功与否，选题是关键。
精心选择例题、习题，不仅有助于学生理顺解题思路，明确解题规范，提高思维能力，而且可以提高课堂效率，减轻学生负担，使学生在最短的时间内获得最大的收获。
选题主要遵循下列原则。
l、针对性即教师要针对教学内容，学生掌握知识的情况，选择那些具有普遍指导意义典型的习题做例题，选择能配合例题的思路和方法的习题作为学生的练习题。
2、梯度性对于思维跨度比较大的例题，选题设计时应注重知识的梯度，从简单的设问开始逐渐加大难度，最后达到最高点。
比如：进行“计算水溶液中水电离出的c（h+ ）和c（oh—）”教学时，若直接设计一个题目：0.1mol/lhcl溶液中水电离出来的c（h+ ）是多少？大多数学生会感到茫然，不知道从何入手。
这样是设计不符合认知规律，当然达不到预期效果。
如果将题目设计成如下有梯度的习题，效果会好很多：①0.1mol/lhcl溶液中c（h+ ）是多少？由什么物质电离出来？②0.1mol/lhcl溶液中c （oh—）是多少？由什么物质电离出来？③0.1mol/lhcl溶液中水电离出来的c（h+ ）是多少？这样的台阶设计，不仅使每一位学生都会产生解题成功的喜悦感，而且暗示给学生一条思考方式，使之思维条理化，从而提高学生的综合分析能力。
提高习题教学有效性两条途径
提高习题教学有效性的两条途径习题是数学教学内容的重要组成部分，对学生能力的培养起着不可替代的作用。
笔者在本文中就其略谈管见，仅供同仁参考。
一、编设题组，提炼通性通法所谓题组教学，系指围绕某一教学目的，精选一批题目，按教学顺序分成若干组，将知识、方法、能力穿插于其中的一种习题教学方法。
对习题课而言，通常按以下模式组题：探讨题组（由具有一定深度，便于渗透思想方法，容易引发深入探究，容易提炼通性通法的典型题目组成，通常不超过10个）；作业题组（同上“作业题组”）。
对复习课而言，通常按以下模式组题：整合题组（把章节或单元内容以知识要点的形式整合成题组，形式可以灵活多样，重在明确知识来龙去脉，完善知识结构，构建知识系统树。
题量不限，要能覆盖完相关内容和知识点）；典例题组（把章节或单元内容中出现的概念、知识以及数学思想、方法、能力、观念、意识等以题型的形式揉合组建的典型问题题组，利用题组沟通知识的内在联系，促进知识网络的形成。
题量视难度、时间、密度、效果等灵活掌握，以求师生共同参与、充分探究，起到模板、示范的作用）；作业题组（同上“作业题组”）。
编设题组，教师首先要吃透教材、课标，明确教学目标，这样才能有针对性地选题。
当然广泛涉猎、遍阅课外资料也是成功筛选、整合、充实、组织题组的重要前提。
组题时，强调层层推进、螺旋上升、拾级登高，体现解题规律，揭示来龙去脉，归纳通性通法，切忌随心所欲、胡乱拼凑。
采用题组教学，由于要对教材作重新处理，要按照题组层次编拟教学计划，设计教学程序，因而对教师的要求更高、更全面。
教师必须做有心人，平时注意搜集各种题型、题目并分门别类整理，以便提取应用。
二、一题多思，绽放数学智慧问题是数学的心脏，数学是思维的体操。
通过解题发展学生的思维能力，是数学教学的中心问题。
但是，过多、过密、盲目地解题，不仅不会促进学生思维能力的发展与形成，反而容易窒息学生的智慧，使学生疲劳，兴趣降低。
只有闻一知十、举一反三、触类旁通地解题，才能激发学生兴趣，提升他们的思维品质，而一题多思无疑是一种十分有效的方法。
怎样才能有效地利用高中数学教材？
怎样才能有效地利用高中数学教材？如何才能有效地利用高中数学教材？高中数学教材是学生学习的重要工具，其有效利用对学生理解知识、掌握技能、培养数学思维至关重要。
作为教育专家，我个人建议从以下几个方面着手，才能将高中数学教材的价值最大化：一、整体把握教材结构，构建知识体系1. 通读教材目录和引言: 了解教材的整体框架、内容编排逻辑以及各部分之间的联系，从而宏观把握知识体系。
2. 分析章节内容: 明确每章节的教学目标、重点内容、难点突破，并根据学生的实际情况制定相应的学习计划。
3. 重视知识点间的联系: 关注不同章节内容之间的衔接和融合，帮助学生构建完整的数学知识体系，避免碎片化学习。
二、探索理解教材内容，掌握核心概念1. 精读教材内容: 认真阅读理解每节内容，并对重要概念、定理、公式进行标记，加深理解和记忆。
2. 分析例题和习题: 理解例题的解题思路和方法，并尝试独立完成习题，巩固所学知识。
3. 注重知识的应用和拓展: 鼓励学生积极思考，尝试将所学知识应用到实际问题解决中。
三、增强学生参与，优化教学设计1. 了解学生学习基础: 参照学生不同的学习基础和学习习惯，制定全面的教学策略，避免“一刀切”。
2. 创设有效学习情境: 利用形象的课堂互动、分组讨论、项目式学习等方式，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。
3. 注重方法和技巧的传授: 帮助学生掌握学习方法和解题技巧，培养和训练学生的数学思维能力和问题解决能力。
四、利用多种辅助工具，提高学习效率1. 合理利用课本配套练习册: 通过习题练习巩固所学知识，并提高解题能力。
2. 利用网络资源: 依靠网络平台搜索相关知识点、学习视频、学习资料等，补充和拓展教材内容。
3. 积极参与数学竞赛和活动: 参与竞赛和活动，增强学生的学习热情，提升学生的数学素养和应用能力。
五、崇尚学习反思，不断创新学习策略1. 及时总结学习成果: 不定期回顾学习内容，整理学习笔记，将知识系统化、简明化。
初中数学解题思路教学方法优化提高学生数学解题能力的有效方式
初中数学解题思路教学方法优化提高学生数学解题能力的有效方式数学是一门需要逻辑思维和解题技巧的学科，对于初中生来说，掌握有效的解题思路和教学方法是提高数学解题能力的关键。
本文将介绍一些优化的教学方法，帮助学生提高数学解题能力。
一、培养问题意识在解题过程中，学生首先需要培养问题意识。
这意味着学生在遇到问题时，能够主动思考并有条理地提出问题。
教师可以通过讲解解题思路、引导学生观察题目，培养学生的问题意识。
例如，教师可以提出一个问题，并引导学生一步步分析，找出问题的关键点，加深学生对问题的理解。
二、拓宽解题思路为了提高学生的数学解题能力，教师应该帮助学生拓宽解题思路。
一种方法是通过举例子，教会学生灵活运用各种解题方法。
例如，在解决代数方程时，学生可以通过代入法、化简法等多种方法来解题，而不局限于只使用一种方法。
这样做可以培养学生的灵活性和创造性思维。
三、引导学生归纳总结在解题过程中，学生应该逐步形成归纳总结的能力。
通过归纳总结，学生可以将解题思路和方法系统化地整理起来，为以后遇到类似问题时提供参考。
教师可以通过讲解解题思路的套路和方法，引导学生进行归纳总结。
通过这种方式，学生可以更好地掌握数学解题的规律和方法。
四、注重实际应用学生在解题过程中，应该注重将数学知识应用到实际问题中。
通过与实际问题的结合，学生能够更好地理解数学概念和运用方法。
教师可以设计与实际生活相关的数学问题，引导学生进行解题思考。
例如，在解决几何问题时，可以设置真实场景，让学生将抽象的数学知识应用到具体情境中。
五、提供多样化的资源为了优化初中数学解题教学，教师应该提供多样化的教学资源。
这包括教材、习题集、作业和在线学习平台等。
多样的资源能够满足学生不同层次和兴趣的需求，激发学生学习数学的兴趣。
同时，通过合理选择教学资源，教师可以帮助学生找到适合自己的解题方法，提高解题效率。
总结起来，初中数学解题思路教学方法的优化是提高学生数学解题能力的有效方式。
提高高三化学习题讲评课效率——精讲、精练、反思
数。 对金属铜的测定得到 以下结果 ： 晶胞为面心立方最
密堆积 ， 边长 为３ ６ １ ｐ ｍ。又知铜 的密度为９ ． ０ ０ ｇ ・ ｃ ｍ － ３ ， 则
一 一
１ ． 讲试题 所涉及 的知识点
面对新题 型时 ， 很 多同学往往觉 得很难 ， 解 题时无 从下手， 其结症主要是不知道题 目考查的知识点。因 此，在习题讲评时，应说明题 目所涉及的化学基础知
分别加入 等质量 的铁粉 ， 反应完毕 ， 生成气体 的质量 比 为３： ４ ， 则加入铁粉 的质量 为
一
、
题可能有多种解法。在讲评时， 讲完一种解法， 还要 问一问学 生或让学生想 一想 ： 本题还有其 它解法吗？ 哪 种解法更好 ？ 若某一条件改变 了 ， 这题会变成什么样 的试 题？ 又该怎么去解呢 ？ 通过一题多解 ， 一题多变 ， 使 学生一题 多得 ，从 方法 上领会解 题过程 中的审题 、 破 题、 答题 的方式和奥秘 等 ， 培养 良好的思维 品质 。从而 探索出新 的解题途 径 ， 寻求最佳 的解题方法 ， 提高解题 效率 。 例２ 现 有３ ｍ ｏ ｌ ・ Ｌ － １ 的盐 酸和硫 酸溶 液 各 １ ０ ０ ｍ Ｌ ，
化学习题类型繁多 ， 归类讲解 ， 通过多题的求解， 总结出这类或相似题型的解题方法和技巧，可更有效
地强化学生的解题能力， 提高解题效率。 例３ 常温下某弱酸的酸式盐Ｎ ａ ｍ 溶液中ｃ ＯＨ － ） ＜ ｃ （ Ａ ２ － ） ， 下列有关该溶液的说法中正确的是
Ａ ．溶液的ｐ Ｈ＞７
Ｄ ． 常温下， Ｎ ａ Ｂ 溶液 的ｐ Ｈ ＝ ８ ， ｃ
ｍｏ ｌ － Ｌ － ０
＿ Ｉ ｃ （ １ ３ － ） ＝ ９ ． ９× １ ０ － ７
把握问题实质,提高解题能力——以高中数学解题教学实践课为例阐述
用，达到优化教学的意识，因此，作为一线教师，在解题教学时，要把握问题的实质，能够根据题目特点恰当地选择最恰
当的解题策略甚至一题多解来实施教学。
关键词 实质 解题能力 解题教学
中图分类号：G633.6
文献标识码：A
1 问题的提出 如今，学生学习数学知识归根结底还是要落实到解题上 来。解题不仅是学习数学的出发点，也是数学学习的落脚点。 解题作为数学学习的一种重要手段，也是衡量个人数学能力 的主要指标和检验数学学习效果的重要途径。解题是把所学 的基本概念、基本公式和法则等迁移到不同情境下的数学应 用，解题过程也要融入数学思想方法和解题方法技巧，是锻炼 学生逻辑思维能力和数学推理能力的最佳途径，通过解题能 够使学生牢固地掌握知识，灵活地运用知识，因此解题教学在 数学教学中占有重要的地位。 2 提高学生解题能力的重要性 现阶段，绝大多数学生没有经常温故学习的习惯，多数只 能做到偶尔回顾当天所学的内容，有部分学生认为只能通过 考试或解题来了解自己的学习水平，途径较单一；而对于解题 后作进一步的思考，会想一想题目有哪些变化的学生则更少。 此外，很多老师提倡“题海战术”，学生只顾多做题目，而 不重视做题的质量；只注重做题结果，而不重视解题的过程及 解题后的反思。这样一来，学过的知识遗忘快，这类学生往往 只注重知识个体而忽略整体，缺乏系统性的总结。 在学习数学中解题，在解题中学习数学。但在解题教学 实际中不能单纯地为了解题而解题，也不应一味地追求解题 的数量而忽视解题的质量我认为在要求学生解题时，应鼓励 学生自我探索，发现规律，不断鼓励学生对讲评内容，尤其是 自己出错的知识点进行“二次思维”。加深学生对该知识的印 象，避免重蹈覆辙。要在解题教学中紧紧抓住方法、技巧这些 关键点，针对问题特点优化解题教学过程，因此，学生在解题 中要具备反思的能力和养成反思的习惯，经常进行自我诊断 和反思，引导学生反思是有效提高解题效率的重要措施，使数 学题在解题教学中因教法的优化而产生最大效应。 3 提高学生解题能力的的途径 新视域下，高中数学主要考察学生对基本知识的掌握和 应用，考核学生正确解决具体问题的能力。而高中数学主要 的特点是，较强的逻辑性思维，较复杂的命题思路，较系统的 知识结构。尤其是在现行的教育背景下，笔者就如何提高学 生解题能力，简要地介绍了大致以下几种途径。 3.1 转变思维方式，对解法进行创新 传统的高中数学教学大都是让学生依照着书本上的所谓
多做习题,提高解题能力,轻松应对各类考试!
多做习题，提高解题能力，轻松应对各类考试！引言考试是我们学习生涯中必经的一道关卡。
但是，面对各类考试题目的时候，我们是否经常感到头疼和无措？解题能力是成功应对考试的关键，而多做习题是提高解题能力的有效方法。
本文将从以下几个方面详细阐述多做习题对于提高解题能力和轻松应对各类考试的重要性。
解题能力的定义和重要性解题能力是指我们通过理性思考和运用所学知识，正确解决问题和完成任务的能力。
在学习和工作中，解题能力是我们解决各类问题的基础和关键。
无论是数学题还是语文题，历史题还是物理题，解题能力都是考核我们知识水平和思维能力的主要标志。
因此，提高解题能力是我们在各类考试中取得好成绩的关键所在。
多做习题的益处加深对知识的理解做习题可以帮助我们巩固和加深对所学知识的理解。
通过对习题的解答，我们能够将书本上的抽象知识转化为具体实际问题，在实践中加深对知识的理解。
例如，在数学学科中，我们可以通过做大量的例题和习题，将抽象的数学概念应用到实际问题中，这样我们对于数学的理解就更加深入和全面了。
熟悉各类考题的形式和解题思路做习题还可以帮助我们熟悉各类考题的形式和解题思路。
不同科目的习题通常会涉及到不同的解题方法和思维方式。
通过多做习题，我们可以熟悉各类考题的常见形式和解题思路，提前了解考题出题的规律和出题者的心理。
这样在考试中，我们就能够快速准确地理解题目，找到解题的关键，提高解题效率。
增强应试能力和时间管理能力多做习题还可以增强我们的应试能力和时间管理能力。
考试通常都有时间限制，做习题可以帮助我们适应考试的时间节奏，提高解题速度和应变能力。
通过多做习题，我们可以提前预测和分析考题的难点，从而更好地安排解题策略和时间分配，避免在考试中因时间不够而导致的答题不完整或者错失分数的情况。
多做习题的方法和技巧针对性选择习题在选择习题时，我们应该根据自己的实际情况和学习目标选择针对性的习题。
例如，如果我们想提高数学解题能力，就可以选择一些难度适中又紧密联系的数学习题进行训练。
初中数学习题课教学几点做法
初中数学习题课教学几点做法如何充分体现学生在数学教学中的主体作用，提高数学课堂教学质量，特别是如何上好数学习题课，是摆在我们每位数学教师面前的重要课题。
1、从习题的选取方面来看，应精选习题，习题教学的成功与否，选题是关键，精选习题有助于学生理顺解题思路，明确解题规范，巩固、复习知识，提高思维能力，而且还可以提高课堂效率，减轻学生负担，使学生从题海中解脱出来，在最短的时间内获得最大的收获，由于数学知识的应用灵活多变、题型繁多，讲课时不可能面面俱到，为此教师必须根据所教的内容对所选的习题进行筛选，要少而精，要精选典型的、具有普遍指导意义的习题作为例题，这就要求我们所选的习题尽量的做到，第一所选的习题必须典型，即选择那些从思维方式和解题方法上具有普遍指导意义的典型习题作为例题，第二所选的习题尽量有适当的剃度，也就是说尽量的选一些“跳一跳，够的着”的习题，要利用剃度来加深学生对所学知识的理解和应用，要利用剃度培养学生的思维，培养学生思维的准确性、灵活性、深刻性、发散性，第三所选的习题在设计上应有一定的层次，设计习题时要符合学生的认知规律，尤其对于思维跨度比较大的习题，尽可能设计成一系列的习题，按照从简单到复杂的过程，从简单的设问开始逐渐的加大难度，最后达到最高点，可以采用一题多分、一题多问的方法，利用习题的层次引到学生的思维，使得每一层次的学生均有收获。
第四所选的习题尽可能具有延伸性，习题的延伸就是习题在知识和形成上可以进行生长和变化，通过一题多想、一题多问、一题多变、一题多解、一题多用、一题多分等方法开阔学生的思路，训练学生的发散思维。
第五所选习题的内容必须科学，也就是说所选的习题内容必须严谨，条件必须充足，设问必须合理，习题所考察知识点的理论依据必须正确，如果习题本身有科学性问题，不仅给学生带来错误认识，久而久之还会误导学生。
2、习题讲解方面，习题的选讲应以开发思维、提高能力为重点，在习题讲解中要重视解题的思维过程，不能只着眼于几道习题，更不能将学生引入“题海战术”，而要着重培养学生分析问题、解决问题的能力，在讲解中，教师要根据学生反馈的信息，积极想办法，找关系、抓“题眼”，要从方法步骤着眼，从解题思路入手，引到学生认真分析题意，弄清要求和条件，找出习题所涉及到的知识点，条件和结论之间的关系，抓住解题的关键，形成正确的解题思路和方法，并适当的列出解题格式、要点和注意事项，使学生在解题思路、方法、层次和规范等要求方面受到启发，并通过对典型习题的剖析，引到学生学会观察、分析和总结，使学生通过听讲和指导在解题上不仅可以收到举一反三的效果，更重要的是达到掌握方法、启迪思路、培养能力的目的。
如何提高初中数学习题讲解效率
间， 课堂效率较低 。 （ ３ ） 学生先订 正 ， 教师后讲 解。这种方法相对 于
前 两种来说 比较 好。 但是会有一部分学生被教师忽视 ， 那就是学 困 生。因为人数不多的学困生会让其他学生感觉将 这些 比较简单 的
Ｈ Ｂ ＝ ＨＣ （ 等 角对等边 ） Ｂ Ｅ和 Ｃ Ｆ是 ＡＡ Ｂ Ｃ的高
２ ０ １ ３年 ８月 ２ ８日
科教
如何提高初中数学习题讲解效率
文／ 宋广财
摘
要： 余 元庆教授说过 ： “ 习题是 中学数学课本 的重要组成部分。” 习题配备得好不好 ， 直接影响到学生学习质量 的高低。而且，
。
数学 习题有助于学生吸取新 的知识 ， 也 能巩 固所 学的知识 ， 并将 其转化成 为数 学应用能力。 关键词 ： 初 中数学； 习题讲解 ； 数学思想 ； 一题多解 数学 习题是 数学课程 的一个重要组成部分 ，教师通常要根据 习题的具体情况 和学 生数学 习题训练 中反 映出来的理解偏差 、 普
次 方程 ， 实现 了 降幂 的 目的 。 ）
练。 ” 所以， 在授课 的时候 ， 教 师要注意培养学生习题解题能力 的提
解得 ： ｙ ＝ ４或 ｙ 一２ ， 即 一 ３ ｘ ＝ ４或 ｘ ￣３ ｘ ＝ 一 ２ 由ｘ ２ － ３ ｘ 一 ４ ＝ ０得 ： ｌ ＝ 一 １ ， ２ ＝ ４ ； 由ｘ ２ － ３ ｘ ＋ ２ ＝ ０得 ： ｘ ３ ＝ ｌ ， ｘ ：２
・ ． ．
念， 要充分 发挥学生的 主动性 ， 将课 堂面 向全体 学生 ， 以促使学生
获得更好 的发展。
二、 灵 活 多样 的 习题 讲 解 方 法
因此 ， Ｒ ｔ ａＢ Ｅ Ａ Ｒ ｔ ａＣ Ｆ Ａ（ 角 角边 ） ． 。 ＡＢ ＝ ＡＣ ， ＡＡ Ｂ Ｅ ＝ ＣＡＣ Ｆ
如何提高练习题的解题效率
如何提高练习题的解题效率在学习的过程中，我们会做大量的练习题来巩固知识、提高能力。
然而，很多时候我们可能会发现，尽管花费了不少时间和精力在做题上，但解题效率却不尽如人意。
那么，如何才能提高练习题的解题效率呢？以下是一些实用的方法和建议。
一、做好充分的准备1、扎实掌握基础知识要想高效解题，首先要有扎实的基础知识。
如果对基本概念、公式、定理等理解不透彻，在解题时就会感到迷茫和困惑，浪费大量时间。
因此，平时要认真听讲、做好笔记，及时复习和总结所学的知识点，确保基础知识无漏洞。
2、熟悉题型和解题方法不同的学科和知识点往往对应着特定的题型和解题方法。
通过大量的练习和总结，熟悉常见的题型及其解法，可以在遇到类似题目时迅速找到思路，提高解题速度。
例如，数学中的函数问题、几何问题，英语中的阅读理解、写作等，都有一定的规律和技巧可循。
3、做好预习和复习在做练习题之前，先对相关的知识点进行预习，了解大致内容和重点难点，这样在做题时会更加心中有数。
做完练习题后，要及时进行复习，分析错题原因，总结解题经验，以便下次遇到类似问题能够避免错误。
二、认真审题1、理解题意拿到一道题目，不要急于动手解题，而是要仔细阅读题目，理解题目的意思和要求。
明确题目所涉及的知识点、条件和问题，抓住关键信息，避免因误解题意而导致错误或浪费时间。
2、圈画关键词在审题过程中，可以用铅笔圈画出题目中的关键词、数字、条件等重要信息，这样可以帮助我们在解题时更加关注这些要点，减少遗漏和错误。
3、转换题目表述有些题目可能表述比较复杂或隐晦，我们可以尝试将其转换为更简单、直观的形式。
例如，将文字描述转化为数学表达式，将抽象的概念具体化，以便更好地理解和解决问题。
三、制定合理的解题计划1、分析题目类型根据题目所涉及的知识点和题型，确定解题的大致思路和方法。
是需要直接运用公式计算，还是需要通过推理分析得出结论？是单一知识点的考查，还是多个知识点的综合运用？2、选择合适的解题方法针对不同的题目类型，选择最适合的解题方法。
优化习题教学 培育核心素养
优化习题教学培育核心素养
习题教学是教学过程中非常重要的一环，通过习题教学可以帮助学生巩固学习内容、
提高解题能力、培养思维能力等。
如何优化习题教学，培育学生的核心素养，是一项需要
我们认真探索和实践的任务。
本文将从三个方面来探讨如何优化习题教学，培育学生的核
心素养。
一、充分调动学生的参与积极性
习题教学的目的是帮助学生掌握知识、培养解题能力，在习题教学中，我们应该充分
调动学生的参与积极性。
一方面，可以通过对习题进行分类，设置不同难度的题目，让学
生根据自己的实际情况选择适合自己的题目进行解答。
可以通过小组合作、讨论解题策略
等方式，引导学生互相交流、互相学习，激发学生的学习兴趣和解题动力。
二、提供多样化的习题资源
习题教学的效果取决于习题的质量，我们应该提供多样化的习题资源。
一方面，可以
从不同的角度出发，设计习题，让学生能够掌握知识的不同应用和运用方式。
可以设置一
些开放性的习题，引导学生进行创新思考和解题思路的拓展。
我们也可以引入一些真实生
活案例，让学生能够将所学知识应用到实际生活中去，增强学习的实用性和趣味性。
三、注重思维能力的培养
习题教学不仅是为了帮助学生掌握知识，更重要的是培养学生的思维能力。
在习题教
学中，我们应该注重培养学生的分析问题、解决问题、创新思考等能力。
可以通过引导学
生分析问题的关键点、提供不同的解题方法、鼓励学生解题过程中的思考等方式，来培养
学生的思维能力。
我们还可以设计一些综合性的复杂问题，让学生能够综合运用所学知识、解决实际问题，提高他们的综合素养。
如何提高数学学习效率？
如何提高数学学习效率？如何提高数学学习效率：从理解到应用的策略数学学习效率直接影响着学生对知识的掌握程度和学习兴趣。
如何提高数学自学效率，是学生和教育者都需关注的问题。
本文将从理解和应用两个角度出发，提出提高数学自学效率的策略。
一、注重实际理解，构建数学知识体系1. 理解概念，建立基础：数学学习的本质在于理解概念，而不是死记硬背公式。
学生应注重对数学概念的理解，并能用自己的语言解释概念的含义及应用场景。
例如，理解“比例”的含义，才能灵活运用比例解决实际问题。
2. 联系实际，建立联系：将抽象的数学概念与现实生活联系起来，更容易理解和记忆。
例如，实际测量教室面积，解释面积的概念；用购物场景解释折扣的计算方法。
3. 注重推理，掌握逻辑思维：数学是逻辑思维的体现。
学生应着重培养逻辑推理能力，理解数学证明和推导公式的过程，才能真正掌握数学知识。
例如，在学习几何证明时，要理解每一步严谨推理的依据，并能进行逻辑推理。
4. 运用图表，直观呈现：图表可以帮助学生更直观地理解数学概念和公式，并能快速有效地接受信息整理和分析。
例如，用函数图像理解函数的性质；用流程图理解解题步骤。
二、注重应用，将知识转化为能力1. 练习习题，巩固理解：练习是理解知识、掌握方法的重要途径。
学生应根据自己的学习情况，选择合适的习题进行练习，并及时查漏补缺。
2. 多角度思考，灵活运用：对于一道数学问题，鼓励学生从多个角度思考，找到不同的解题思路，并尝试用不同的方法解决问题。
例如，可以用配方法、公式法、因式分解法等多种方法解一元二次方程。
3. 利用数学工具，提升效率：合理利用计算器、几何画板等工具，可以简化计算、提高解题效率。
例如，使用计算器进行复杂运算，使用几何画板进行图形绘制和分析。
4. 总结反思，提高效率：学习完一个章节或一个知识点后，要及时总结反思，找出学习中的不足，并制定下一步的学习计划。
例如，将错题整理成错题集，以便于反复练习。
三、培养学习兴趣，增强学习动力1. 激发兴趣，消除疑虑：可以通过游戏、竞赛、故事等形式，激发学生的学习兴趣，让他们乐于接受学习过程。
习题课的教案模板初中数学
教学对象：初中一年级学生教学目标：1. 知识与技能：通过习题课的学习，学生能够熟练掌握所学知识，提高解题能力。
2. 过程与方法：培养学生独立思考、分析问题和解决问题的能力，提高逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
教学重点：1. 理解并掌握所学知识，提高解题能力。
2. 培养学生独立思考、分析问题和解决问题的能力。
教学难点：1. 解题思路的拓展和优化。
2. 复杂题型的解题策略。
教学准备：1. 教师准备相关习题，并根据学生实际情况进行分类。
2. 学生准备笔记本、笔等学习用品。
教学过程：一、导入新课1. 复习上节课所学内容，回顾重点知识。
2. 引入本节课的习题课主题，激发学生学习兴趣。
二、讲解习题1. 教师选取具有代表性的习题进行讲解，引导学生分析解题思路。
2. 分析解题步骤，强调解题方法，提高解题效率。
三、学生练习1. 学生独立完成教师布置的习题，教师巡视指导。
2. 学生之间互相讨论，共同解决难题。
四、课堂小结1. 教师总结本节课的重点知识，强调解题技巧。
2. 学生回顾所学内容，提出疑问。
五、布置作业1. 布置与本节课内容相关的课后作业，巩固所学知识。
2. 布置拓展性作业，提高学生综合能力。
教学反思：1. 教师应根据学生的实际情况，调整教学进度和难度，确保每位学生都能跟上教学节奏。
2. 在讲解习题过程中，注重培养学生的解题思路，提高学生的逻辑思维能力。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作精神。
4. 关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的表现，评价学生的参与程度。
2. 解题能力：通过学生完成的习题，评价学生的解题能力。
3. 学习态度：观察学生的学习态度，评价学生的学习积极性。
教学时间：40分钟。
习题训练的重要性与方法,提高学习成绩!
习题训练的重要性与方法，提高学习成绩！引言大家好！今天我想和大家讨论一个非常重要的话题，那就是习题训练对于提高学习成绩的重要性以及一些有效的习题训练方法。
在现代社会中，学习成绩直接关系到我们的未来发展和就业机会，因此如何高效地提高学习成绩是每个学生都关注的问题。
而习题训练，作为提高学习成绩的一种有效手段，发挥着重要的作用。
接下来，我将详细介绍习题训练的重要性以及一些实用的方法，希望对大家有所帮助！习题训练的重要性深入理解知识点首先，习题训练可以帮助我们深入理解各个知识点。
在学习过程中，我们通过习题来巩固和应用所学的知识。
当我们阅读教科书或者听老师讲解时，只是获得了一些表面上的理解，并不能真正掌握知识点的本质。
而通过习题训练，我们可以运用所学的知识解决具体问题，从而更好地理解和掌握知识点。
通过反复练习，我们能够更加深入地思考和理解，从而真正掌握知识点。
强化记忆和巩固技能其次，习题训练可以帮助我们强化记忆和巩固技能。
习题是对所学知识的巩固和应用，通过反复练习，我们可以加深对知识的记忆，增强对知识点的掌握程度。
特别是对于一些需要掌握技能的学科，如数学、物理等，通过大量的习题训练能够帮助我们熟练掌握解题方法和技巧，从而提高解题效率。
记得那句古话：“熟能生巧”，只有不断地练习才能真正掌握一门技能。
发现和弥补知识的薄弱点再次，习题训练可以帮助我们发现和弥补知识的薄弱点。
通过习题训练，我们可以及时发现自己对某些知识点的了解不足或理解不清的地方。
当我们遇到做不出来的题目时，我们可以回顾相关的知识点，找出自己的问题所在，从而进一步弥补不足。
这样反复的习题训练可以让我们不断地发现和填补知识的薄弱点，从而提高学习的全面性和深度。
习题训练的方法制定学习计划首先，制定学习计划是习题训练的重要方法之一。
一个好的学习计划能够帮助我们合理安排时间和任务，从而更加高效地进行习题训练。
在制定学习计划时，我们可以根据自己的时间安排和学习进度，确定每天或每周需要完成的习题量，并按照计划有序地进行习题训练。
注重习题教学,优化教学效果
注重习题教学，优化教学效果余元庆教授说过：“习题是中学数学课本的重要组成部分。
习题配备的好不好，直接影响到学生学习质量的高低。
许多优秀中学数学教师的教学质量所以高，一部分原因也是由于习题选择和处理得恰当。
”因此，初中数学课堂教学中，教师应注意引导学生习题的处理方法，提高学生的数学素养。
一、坚持精讲精练精讲精练是与传统的“题海战术”相对的，后者在乎的是习题数量，认为只有多做、做全才能消除初中生的解题盲区；前者以学生的认知盲区与知识差异为基础，在乎的是数学习题的质量，认为只要数学习题能够直接指向学生的能力缺陷，便可起到提升学生应试能力的目的。
可想而知，精讲精练这种习题教学模式更符合初中生的认知需求，是提高数学习题课教学效率的基本条件。
对此，初中数学教师应该根据学生的数学表现与常见解题错误设计数学练习，以精讲精练快速提高学生的数学能力。
二、以错示警，缜密思维在开展初中数学课堂教学的过程中，教师必须注重培养学生的学习习惯，从而不仅能够帮助他们有针对性地纠正自己做错的数学题，而且还可以将数学的具体应用落实在解题步骤中。
也许大多数应用题中设计的数学定理条件均不符合，然而，各个例题却均存在着自身所适用的范围，因此，教师应该引导学生采取复习错题的手段来提高自身的解题效率，进而有利于巩固已经学过的知识点。
三、选择层次感较强的习题初中数学习题的层次感，可以让学生获得不一样层次的知识。
为了达到预想的目标，在教学时，必须要保证教师所讲解的知识是学生认可的，而这也对教师的职业能力提出了较高的要求。
教师自己必须要熟悉习题的解题方法和技巧，才能将方法准确地传输到学生身上。
同时，教师要掌握学生的学习进度和接受知识的范围及能力，可以先从难度最小的习题出发，再逐渐深入难度较高的习题，这是一个循序渐进的过程，而不是一蹴而就的。
总之，初中数学习题课的艺术性较强。
因此，要想提升初中数学习题课教学效率，就一定要以教学理论为基础，通过教师的不断实践和总结归纳来创新数学习题课的教学模式。
练习题教学亮点
练习题教学亮点教师在进行课堂教学时，常常会遇到学生们在做练习题时出现的各种问题。
如何让学生们更好地理解练习题的意义和方法，提高解题能力，是每位教师面临的一个重要课堂教学问题。
本文将介绍一些在练习题教学中的亮点方法，帮助教师更好地引导学生解题。
一、情境引入在进行练习题教学时，教师可以通过一个生动的情境引入，让学生们在解题前先感受到该练习题所蕴含的问题和实际用途。
例如，在教授长方体体积的计算时，教师可以将长方体比作一个实际的物体，让学生们想象自己正在计算一个盒子的体积，从而引发学生们的兴趣和好奇心。
二、示范解题在练习题教学中，教师可以通过示范解题的方式，提供一种解题思路和方法，让学生们更好地理解题目的解题思路。
例如，在解决一道复杂的几何问题时，教师可以详细地演示解题过程，包括图形的绘制、恰当的几何定理的运用等。
通过示范解题，学生们可以更好地掌握解题的步骤和技巧。
三、启发式提问在练习题教学中，教师可以通过启发性的提问，引导学生们思考和探索问题的本质和解决方法。
例如，在解决一个数学应用题时，教师可以问学生们：“这个问题有哪些关键信息？”、“你们觉得用哪种方法能够解决这个问题？”这样的启发性提问可以激发学生的思维，培养学生的解决问题的能力和自主学习的意识。
四、小组合作在练习题教学中，教师可以设置小组合作的环节，让学生们在小组内进行讨论和合作。
通过小组合作，学生们可以相互交流思路和解题方法，共同解决问题。
同时，小组合作也可以培养学生的团队合作精神，提高学生们的合作能力和解题效率。
五、错因分析在学生们完成练习题后，教师可以对学生们的答案进行错因分析，引导学生们发现和纠正错误。
通过错误的批改和分析，学生们可以更好地理解解题思路和方法，并且避免常见的解题错误。
同时，错因分析也可以激发学生们对于学习的思考和对于解题的自主研究。
练习题教学作为课堂教学中的一个重要环节，不仅能够帮助学生们巩固所学的知识，提高解题能力，更能够培养学生们的思维能力、自主学习意识和团队合作精神。
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导学生进 行对 比分 析 ， 且要 有 针 对 性 地 设计 一些 习 而 题， 让学生通过练 习、 讨论来区分 、 掌握．
ｌ Ｏ
十。擞 ・ （１年 ９ 初中 ） ７ ７ ２０ 第 期・ 版 函 数 顶 点 式 解 析 式 后 ， 生 容 易 把 学 Ｙ＝ （ ｈ ＋ ｎ ＋ ） ｋ中 ｋ的 值 理 解 成 二 次 函数 图 象 与 Ｙ轴 交 点 的纵 坐 标 ， 学 时 笔 者 先 引 导 学 生 通 过 对 比 ， 确 教 明 Ｙ （＋ ） ＝ａ ＾ ＋ｋ中的 ｋ Ｙ 与 ＝ ＋ ＋ｃ 的 ｃ 们 的 中 它
堂练 习， 能有效地提高学 生灵活解题 的能 力．
１ 运 用小 步 子 原 则 。 题 实 施 分 层质 疑 例
问题 教 学 是 课 堂 教学 的 重 要 环 节 ， 别 对 教 学 质 量 特
延长线上 呢（ 图 ５所示 ） 如 ？试分别直 接写 出结论 ；
的影响颇 大． 在选 用例题时 ， 师生合 作分 层解 决 问题 ， 层
图 ４ 图 ５
② 就① 中的三个结论选择一个加 以证 明． 对于原练习 ， 相对较简单 ， 只要学 生仔细 审题 ， 由求
证 出发 寻找 需要 的条 件 ， 几乎 都能得 出解 题思 路． 明 证
（） ５ 复杂图形简单化 ， 分解几何 图形 ， 分层 丰富不 同
层 次学生 的几何 图形 想象能力． 如浙教版八年级下 Ｐ ４ １７作业题第 ５题 ， 题为 ： 原
中， ＭＮ上Ｅ ， Ｆ 求证 ： ＭＮ＝ Ｆ Ｅ ；
（ ） 图 ２ 在 正方 形 Ａ Ｃ １如 ， Ｂ Ｄ
图１
或看书求解 ， 或展开讨论 ； 于大 多数学生 ， 他们 自主 对 让
练 习 ， 合两 种 思 想 方 法 运 用 于解 题 ． 综
在这个练习教学 中， 原练 习是适合 程度较 差 的学生 的 ， 变式 训练后 难度层 层提 高 ， 不 同层 次 的学 生提 而 对
已知 ： 图 １ 在 正 方 形 Ａ － 如 ， Ｂ
Ｃ 中 ， 分 别 是 Ｂ Ｃ 上 的 Ｄ Ｅ， Ｃ， Ｄ
线段相 等 ， 较 多的证题 途径 ， 明以线段 为边 的两 个 有 证
三角形 全 等是其 中之一 ， 要求所 有学 生都 能掌 握． 求 探 证 明的途径 ， 一般 有两种 思考 方法 ： 一种是 从 已知 出发
层 夯 实 ， 破难 点 与 重 点 ． 过 分 层 剖 析 ， 学 生 突 破 问 突 通 对
题 障碍是有 好处的． 主要可选择 以下几种方法． （） Ｉ 在课本 中选 择不同要求 的例题 和 发掘 同一 例题 的不同层次教学要求来体现 ； （） ２ 对课 本 习题 选择 不 同层 次 的条件 变换 ， 结合 知 识的纵横联系来体现 ； （ ） 同 一例 题 选 择 不 同层 次 的解 法 （ 多题 一 ３对 或 解 ） 迎合不同层次学生 的解题思维 ； ， （） ４ 以典 型例题 为 生长 点 ， 围绕 同一知 识进 行 分层 变题结构训 练 ；
生 ： Ｐ＝４， 一 ＋ ５ ４＝（ 一１ （ 一４ ． ） ） 生２ｐ＝ 一６， ～５ ： ． 一６＝（ 一６ （ ＋１ ． ） ）
此 刻 ， 堂上 出现 了短 暂 的 停 顿 后 ， 同 学 低 声 说 ， 课 有 选 Ａ 就在此 时， ． 一个 学 生 的发 言 打 破 了 沉 闷．
出更高的要求 ， 通过小步训练 ， 分层 突破 ， 解决 教材 的统
一
性 和 学 生 个 体差 异 的矛 盾 ．
２ 针对 易 混 易 错 知识 。 设计 对 比性 习题 在 教 学 中 ， 于 一 些 易 混 易 错 知 识 ， 但 要 注 意 引 对 不
图 ２ 图 ３
（ ） 正 方 形 Ａ Ｃ 中 ， 是 Ｃ 上 一 动 点 ， 接 ２ 在 ＢＤ 尸 Ｄ 连
生 ３ｐ＝ 一１ 一５ ： ４， ｘ一１ ４＝（ 一７ （ ） ＋２ ． ）
定 义不 同， 接着进行强化训练． 求 出下列函数 的顶 点 坐标 以及 图象与 Ｙ轴 的交点
坐 标
生 ４ｐ＝ 一 ４ 一 ｘ一 ４＝（ ： ２， ５ ２ 一８ （ ３ ． ） 十 ）
至此 ， 同学们 似乎像受 到了什么启发．
・
教材教法 ・
． ・擞 ・ （ ｌ年第９ 初中 幸？ ７ ２ ０ Ｐ ｏ 期・ 版）
９
优 化 习 题 教学 提 高 解 题 效 率
３ ５ ０ 浙江 省 宁波 市镇 海 区仁 爱 中学 翁海 芳 １２ ０ 《 新课程标准》 中明确规定 ： 使学生初 步学会 应用 应
所学 知 识、 法解 决简 单 的实际 问题． 方 解题 是 学生 学 习
过程 中的重 要环节 ， 师有 目的 、 计 划 地精 心设 计课 教 有
，
分别过 点 Ｂ， Ｄ作 Ｂ Ｅ上Ｐ Ｄ ， 足分别为 Ｅ Ｆ Ａ， Ｆ上 垂 ，
（如图 ３ ， ）
① 试探究 Ｂ Ｄ Ｅ Ｅ， Ｆ， Ｆ这 三 条 线 段 具 有 怎 样 的 数 量 关 系？ 若 点 Ｐ在 Ｄ Ｃ的 延 长 线 上 （ 图 ４ ， 么 这 三 条 如 ）那 线 段 的 长 度 之 间 又具 有 怎样 的 数 量 关 系 ？ 若 Ｐ在 Ｃ 的 Ｄ
推 出 可 能 的 结 果 ， 要 与 证 明 的 结 论 比较 ， 至 推 出 要 并 直
点 ，Ｅ上Ｂ ， 证 ：Ｅ＝ Ａ Ｆ求 Ａ 进行 变 式 ， 计 成 如 下 题 设
目：
证 明的结论 ； 另一 种是 从要证 明 的结 论 出发 ， 索要使 探
结论成 立 什么条 件 ， 与已知 对照 ， 并 直至 找到所 需要 并 且是 已知条件． 于变式 训练 如 图 ４ 图 ５ 引 导学 困生 对 ， ，
生５Ｐ 一 ６ 一 一 ６＝（ ９ （ ４ ． ：＝ ３ ， ５ ３ 一 ） ＋ ） 生６ｐ＝ 一 ０ 一 ｘ ５ ： ５ ， ５ 一 ０＝（ —ｔ ） ＋ ） ｏ （ ５．