第二章总复习 用
人教版七年级地理上册 第二章 总复习 练习题教学课件PPT初一公开课
第二章 陆地和海洋第一节 大洲和大洋地理·人教版·七年级上册1. 下列关于世界海陆分布的叙述,错误的是( )A.海洋主要分布在南半球B.陆地主要分布在北半球C.世界海陆分布相对均匀D.南极大陆被海洋包围答案1.C 世界海陆分布很不均匀,陆地主要分布在北半球,海洋主要分布在南半球,南极大陆被海洋包围。
2. [2022淮安期中]地球穿上衣服后,泡在海水中的部分和没泡在海水中的部分的比例(海陆比例)大约是 ( )A.6∶4B.2∶8C.7∶3D.4∶6答案2.C 概括地说,地球上七分是海洋,三分是陆地,世界上海洋和陆地的比例约为7:3。
3. 读各半球海陆分布示意图,东半球是 ( )答案3.B 读图可知,A是西半球,B是东半球,C是北半球,D是南半球。
4. [2021固原期末]下列数字代号表示正确的是 ( )A.①海洋 ②半岛 ③大陆 ④岛屿B.①半岛 ②海洋 ③大陆 ④岛屿C.①大陆 ②半岛 ③岛屿 ④海洋D.①岛屿 ②半岛 ③大陆 ④海洋答案4.C 读图可判断,①是大陆,②是半岛,③是岛屿,④是海洋。
读图,完成5—7题。
5. 原创地球上的四大洋中,全部位于东半球的是 ( )A.甲B.乙C.丙D.丁答案5.B 全部位于东半球的大洋是印度洋,图中甲是大西洋,乙是印度洋,丙是太平洋、丁是北冰洋,故选B。
6. 表示南美洲的是 ( )A.①B.②C.③D.④答案6.A 据各大洲的轮廓可知,①是南美洲,②是南极洲,③是非洲,④是大洋洲。
7. 下列叙述正确的是 ( )A.①大洲与欧洲相邻B.②大洲位于北半球C.③大洲西临太平洋D.④大洲在七大洲中面积最小答案7.D ①大洲是南美洲,它与北美洲相邻,与欧洲之间隔着大西洋;②大洲是南极洲,位于南半球;③大洲是非洲,它西临大西洋;④大洲是大洋洲,它是面积最小的大洲。
读“北半球海陆分布图”,完成8—9题。
8. 亚洲和北美洲之间的分界线是 ( )A.德雷克海峡B.白令海峡C.直布罗陀海峡D.马六甲海峡答案8.B 亚洲和北美洲之间的分界线是白令海峡。
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.7函数的图象最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )．②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )．(4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？提示f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，求f (x )，g (x )的关系．提示g (x )＝2b －f (2a －x )题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．(×)(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(×)(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．(×)(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．(×)题组二教材改编2．[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋1x的图象关于()A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案C 解析函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故选C.3．[P32T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．下列图象是函数y 2，x <0，－1，x ≥0的图象的是()答案C6．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案y ＝解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝7．(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案(0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图象的辨识例1(1)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是()答案D 解析从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x 0，1e 上单调递减，在区间1e，＋∞ D.(2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案C 解析题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝12x 在同一直角坐标系下的图象大致是()答案B 解析因为函数g (x )＝12为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B.(2)函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为()答案D 解析令f (x )＝1ln|e x －e －x |，则f (－x )＝1ln|e －x －e x |＝1ln|e x －e －x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C.当x >1时，y ＝1ln|e x －e －x |＝1ln (e x －e －x )，显然y >0且函数单调递减，故D 正确．题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是()A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C 解析将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值，得f (x )x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b ，故取不到等号)，所以ab >4.命题点2解不等式例3函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为．答案－π2，－1∪1，π2解析当x ∈0，π2y ＝cos x >0.当x ∈π2，4y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x<0－π2，－1，所以f (x )cos x<0－π2，－1∪1，π2命题点3求参数的取值范围例4(1)已知函数f (x )12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是．答案(0,1]解析作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是．答案解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)(2018·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )()A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值答案C 解析画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为()答案B 解析当x ∈0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；当x ∈π4，3π4时，1＋5，22.∵22<1＋5，∴D ，故选B.(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝ln|x |x B ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x答案A 解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x 2的图象大致为()答案B 解析∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －x x 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e >32，排除C 选项．故选B.二、函数图象的变换问题例2已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()答案D 解析方法一先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法二先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法三当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D.三、函数图象的应用例3(1)已知函数f (x )|，x ≤m ，2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是．答案(3，＋∞)解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m－m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.(2)不等式3sin π2x－12log x<0的整数解的个数为．答案2解析不等式3sin π2x12log x<0，即3sinπ2x<12log x.设f(x)＝3sinπ2x，g(x)＝12log x，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)<g(x)，所以不等式3sin π2x12log x<0的整数解的个数为2.(3)已知函数f(x)sinπx，0≤x≤1，log2020x，x>1，若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是．答案(2,2021)解析函数f(x)sinπx，0≤x≤1，log2020x，x>1的图象如图所示，不妨令a<b<c，由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2020，所以2<a＋b＋c<2021.1．(2018·浙江)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B.令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C.故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是()答案C解析当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.3．已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为()答案A解析先作出函数f(x)＝log a x(0<a<1)的图象，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x<0时的图象，故选A.4.若函数f(x)ax＋b，x<－1，ln(x＋a)，x≥－1的图象如图所示，则f(－3)等于()A．－12B．－54C．－1D．－2答案C解析由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)2x＋5，x<－1，ln(x＋2)，x≥－1，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案D解析与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6．(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)2－x－1，x≤0，f x－1)，x>0，若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为() A．(－∞，1)B．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)答案A解析当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．7．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为．答案{x |x ≤0或1<x ≤2}解析画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0>1，x )≤0<1，x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．8．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝.答案－2解析由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是．答案－13，解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.10．给定min{a ，b }，a ≤b ，，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为．答案(4,5)解析作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )2(1－x )＋1，－1≤x <0，3－3x ＋2，0≤x ≤a的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是．答案[1，3]解析先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x )2＋2x －1，x ≥0，2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是()A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案D解析函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.14．已知函数f (x )＝x |x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是．答案解析f (x )＋1x －1，x >1，1＋11－x，x <1，g (x )＋x ，x ≥0，，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x ＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x －∞，5－12∪1＋52，＋∞15．已知函数f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13logx ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________．答案－∞，74∪94，＋∞解析对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是－∞，74∪94，＋∞16．已知函数f (x )(x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，求实数k 的取值范围．解由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )(x ∈[0,6])的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图知k ，1 6.。
第二章 物质的分类 总复习
4．酸、碱、盐、氧化物 (1)酸：电离时生成的阳离子全部是氢离 子的化合物。 (2)碱：电离时生成的阴离子全部是氢氧 根离子的化合物 (3)盐：电离时生成金属阳离子(或⑰ ____铵_离__子_____)和酸根阴离子的化合物。 (4)氧化物：由⑱_两__种__元__素_____组成，其 中一种元素是氧的化合物。
第二章 化学物质及其变化
第1节 物质的分类
考点一 物质的组成
知识梳理 1．元素、物质及微粒间的关系 (1)宏观上物质是由元素组成的，微观上物 质是由①__分__子____、②__原__子____或③ ____离__子__构成的。 ①分子：保持物质_化__学__性__质___的最小微粒。 ②原子：化学变化中的最小微粒。 ③离子：带电荷的⑤__原__子____或原子团。 ④原子团：在许多化学反应里，作为一个整 体参加反应，如同⑥_一__个__原__子_____一样的原 子集团。
解析 食品干燥剂应无毒、无味、无腐蚀性， 硅胶、CaCl2以及加工后植物纤维都可用作 食品干燥剂。P2O5吸水生成磷酸，不可用。 CaCl2·6H2O无吸水性，C项错误。
高考支招 纯净物和混合物的区别
考点二 物质的分类 交叉
u 知识梳理
1．分类法 常用的两种是①__交__叉__分__类__________法 和②__树__状__分__类__________法。由于物质 分类可以有不同的标准，也就是说对某一物 质而言在不同的分类标准下可以归为不同的 类别。
(2)元素：具有⑦_相__同__核__电__荷__数_____的一 类原子的总称。
①金属元素：原子的最外层电子数目一般 ⑧___少__于__4_个_______。
②非金属元素：原子的最外层电子数目一 般⑨____多__于__或__等__于__4_个__。
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的奇偶性与周期性
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f (x )，g (x )的奇偶性，那么函数f (x )±g (x )，f (x )·g (x )的奇偶性有什么结论？提示在函数f (x )，g (x )公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f (x )满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)；(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )．提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)题组二教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________.答案－2解析f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f 32______.答案1解析f 32＝f －124×－122＋2＝1.4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是()A ．－13 B.13C.12D ．－12答案B 解析∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.答案3解析∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36；(2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )2＋x ，x <0，x 2＋x ，x >0.解(1)－x 2≥0，2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0.∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)－x 2>0，－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A ．f (x )＝x ＋sin 2xB ．f (x )＝x 2－cos xC ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案D解析对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＝－x f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A ．y ＝xB ．y ＝－x 3C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案B解析由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y＝x ＋1x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.题型二函数的周期性及其应用1．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.答案－2解析f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________.答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝1－f(2)，所以f(4)＝－1f(2)＝－12－3＝－2－ 3.故f(2020)＝－2－ 3.3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f(1)＋f(2)＋________.答案2－1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f(1)＋f(2)＋＝0＋f(0)＋＝f(0)＋＝f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2021)＝________.答案－12解析设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________.答案e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析∵当x >0时，－x <0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________.答案1解析∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0.∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f 12＝f 32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以ff (－1)＝f (1)，故从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．答案[－1,0]解析因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0－a －2＝a 2≤0，1－a ≤0，≤0，≥－1，即－1≤a ≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x |(10x －10－x )，则不等式f (1－2x )＋f (3)>0的解集为()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案A解析由于f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f (1－2x )＋f (3)>0等价于f (1－2x )>－f (3)＝f (－3)，所以1－2x >－3，x <2，故选A.(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，解不等式f (x )>f (2x －1)．解由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得13<x<1.所以符合题意的x思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)，当x ，12时，f(x)＝12log(1)x ，则f(x)()A．减函数且f(x)>0B．减函数且f(x)<0 C．增函数且f(x)>0D．增函数且f(x)<0答案D解析当x ，12时，由f(x)＝12log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间－12，f(x)<0.由f(x)知，函数的周期为32，f(x)<0.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[3,5]B．[－1,1]C．[1,3]D．[－1,1]∪[3,5]答案D解析由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则在区间(－∞，0)上单调递减，又f(1)＝－1，f(3)＝1，则f(－1)＝－1，f(－3)＝1，要使得－1≤f(x－2)≤1，即1≤|x－2|≤3，即1≤x－2≤3或－3≤x－2≤－1，解得－1≤x≤1或3≤x≤5，即不等式的解集为[－1,1]∪[3,5]，故选D.(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)3，x≤0，(x)，x>0，解不等式f(6－x2)>f(x)．解∵g(x)是奇函数，∴当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，∴－3<x<2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断例1(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3,7]B．[4,5]C．[5,8]D．[6,10]答案B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案D解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(3)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则满足f (a －2)>0的实数a 的取值范围为__________．答案{a |a >4或a <0}解析∵偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，∴不等式f (a －2)>0等价于f (|a －2|)>f (2)，即|a －2|>2，即a －2>2或a －2<－2，解得a >4或a <0.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案B解析函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于()A ．－3B ．－54C.54D ．3答案A 解析由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x .A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案D解析由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f (1)等于()A ．－2B ．0C ．2D ．1答案A解析∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，∴f (1)＝0，124＝－2，∴f (1)＝－2.5．(2018·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为()A ．(2，＋∞)(2，＋∞)(2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．(2018·海南联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，当x ∈[0,6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，若f (a )＝1(a ∈[0,2020])，则a 的最大值是()A ．2018B ．2010C ．2020D ．2011答案D解析由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，可得f (－x )＝f (12＋x )，即f (x )＝f (12＋x )，故函数的周期为12.令log 6(a ＋1)＝1，解得a ＝5，∴在[0,12]上f (a )＝1的根为5,7；又2020＝12×168＋4，∴a 的最大值在[2004,2016]上，即2004＋7＝2011.故选D.7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ________．答案－ln 2解析由已知可得ln 1e2＝－2，所以f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－ln 2.9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案9解析由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案1e，e 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝由f (ln t )＋2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.11．已知函数f (x )x 2＋2x ，x >0，，x ＝0，2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)－2>－1，－2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________.答案1解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1.14．(2018·天津河西区模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1，0≤x <1，－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m的最大值是()A ．－1B ．－13C ．－12D.13答案B解析易知函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则由f (1－x )≤f (x ＋m )，得|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，即g (x )＝(2m ＋2)x ＋m 2－1≤0在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，当m ＝－1时，g (x )＝0，符合要求，当m ≠－1(m )＝(3m －1)(m ＋1)≤0，(m ＋1)＝(m ＋1)(3m ＋1)≤0，解得－1<m ≤－13，所以－1≤m ≤－13，即m 的最大值为－13.15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为______________________________．答案2解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2](－2)<0，(2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)的值．解因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝0.。
自动控制原理第二章复习总结（第二版）
⾃动控制原理第⼆章复习总结（第⼆版）第⼆章过程装备控制基础本章内容：简单过程控制系统的设计复杂控制系统的结构、特点及应⽤。
第⼀节被控对象的特性⼀、被控对象的数学描述（⼀）单容液位对象1．有⾃衡特性的单容对象2．⽆⾃衡特性的单容对象（⼆）双容液位对象1．典型结构：双容⽔槽如图2-5所⽰。
图2-5 双容液位对象图2-6 ⼆阶对象特性曲线2．平衡关系：⽔槽1的动态平衡关系为：3．⼆阶被控对象：1222122221)(Q K h dt dh T T dt h d T T ?=+++式（2-18）就是描述图2-5所⽰双容⽔槽被控对象的⼆阶微分⽅程式。
称⼆阶被控对象。
⼆、被控对象的特性参数（⼀）放⼤系数K（⼜称静态增益）（⼆）时间常数T（三）滞后时间τ（1）．传递滞后τ0（或纯滞后）：（2）．容量滞后τc可知τ=τ0+τc。
三、对象特性的实验测定对象特性的求取⽅法通常有两种：1．数学⽅法2．实验测定法（⼀）响应曲线法：（⼆）脉冲响应法第⼆节单回路控制系统定义：（⼜称简单控制系统），是指由⼀个被控对象、⼀个检测元件及变送器、⼀个调节器和⼀个执⾏器所构成的闭合系统。
⼀、单回路控制系统的设计设计步骤：1．了解被控对象2．了解被控对象的动静态特性及⼯艺过程、设备等3．确定控制⽅案4．整定调节器的参数（⼀）被控变量的选择（⼆）操纵变量的选择（三）检测变送环节的影响（四）执⾏器的影响⼆、调节器的调节规律1．概念调节器的输出信号随输⼊信号变化的规律。
2．类型位式、⽐例、积分、微分。
（⼀）位式调节规律1．双位调节2．具有中间区的双位调节3．其他三位或更多位的调节。
（⼆）⽐例调节规律（P ）1．⽐例放⼤倍数（K ）2．⽐例度δ3．⽐例度对过渡过程的影响（如图2-24所⽰）4．调节作⽤⽐例调节能较为迅速地克服⼲扰的影响，使系统很快地稳定下来。
通常适⽤于⼲扰少扰动幅度⼩、符合变化不⼤、滞后较⼩或者控制精度要求不⾼的场合。
（三）⽐例积分调节规律（PI ）1．积分调节规律（I ）（1）概念：调节器输出信号的变化量与输⼊偏差的积分成正⽐==?t I t I dt t e T dt t e K t u 00)(1)()(式中：K I 为积分速度，T I 为积分时间。
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第9节：函数模型及其应用(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第9节函数模型及其应用考试要求1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关的模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关的模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关的模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.()2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.114.(2022·江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log21＋SN来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为()A.0.1WB.1.0WC.3.2WD.5.0W5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－f（b）－f（a）b－a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是__________.考点一利用函数图像刻画变化过程1.已知高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像是()2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图像，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )－720x ＋1，0＜x ≤1，15＋920x －12，1＜x ≤30.则下列说法错误的是()A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%3.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是________(填序号).4.(2021·西安调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝12t＋a；④y＝t＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.考点二二次函数模型例1(1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100kg.训练1(1)(2021·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.(2)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为30－52R万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A.[4，8]B.[6，10]C.[4%，8%]D.[6%，10%]考点三指数、对数函数模型例2(1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是()A.6B.5C.4D.3(2)(2021·唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取10＝3.2)训练2(2021·贵阳调研)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？考点四分段函数模型例3小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？训练3某校高三(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)满足如图所示的函数关系，已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系(具体数据如下表所示).t(天)281624Q(斤)38322416(1)根据提供的图像和表格，写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式；(2)写出销售水果的日收入y(元)与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收入最大？最大为多少元？1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是()2.(2022·绵阳诊断)某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021000≈7.37，lg 7≈0.845)()A.y ＝0.25xB.y ＝1.002xC.y ＝log 7x ＋1D.y ＝x10－13.(2021·全国大联考)如图，矩形花园ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ 足够长，则围成该花园所需要篱笆的()A.最大长度为8米B.最大长度为42米C.最小长度为8米D.最小长度为42米4.(2022·兰州质检)设光线通过一块玻璃，光线强度损失10%，如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后光线的强度为y，则y＝k·0.9x(x∈N+)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据：lg3≈0.477)()A.9B.10C.11D.125.(2021·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同D.前6个月的平均收入为40万元7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为________米.8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.9.(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元.(参考数据：1.02255≈1.118，1.04015≈1.217)10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q 10 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝42a－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＋2，80≤a≤120，，120<a≤160，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？12.(2022·保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，其计算式子为U＝kcq2·(1R＋1R＋x1－x2－1R＋x1－1R－x2)，其中，kc为静电常量，x1，x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R＋x1－x2＝1＋x1－x2R R＋x1＝R1＋x1R R－x2＝R1－x2R(1＋x)－1≈1－x＋x2，则U的近似值为()A.kcq2x1x2R3B.－kcq2x1x2R3C.2kcq2x1x2R3D.－2kcq2x1x2R313.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1).其中星等为m i的天体的亮度为E i(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)()A.1.24B.1.25C.1.26D.1.2714.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg n A来记录A菌个数的资料，其中n A为A 菌的个数.现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<P A<5.5(注：lg2≈0.3).则正确的说法为________(写出所有正确说法的序号).。
微积分第二章复习资料
§1.6 极限的四则运算法则
lim 定理：若 lim f ( x ) = A 、 g ( x ) = B，则有：
1. lim[ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B
半年后的本利和 A0 (1 + )
r m 如一年分m期计息，则一年后的本利和 A0 (1 + ) m
由于资金运转过程是持续不断进行的，所以计息分 期越细越合理 ，也就是让m→∞（也就是利息随时 计入本金），于是一年后的本利和
2. lim (1+ f (x))
f ( x)→0 1 f ( x)
1
f ( x)
=e
=e
3 x+4 2 5x 2.lim(1− ) 例：1.lim(1+ ) x→∞ x→∞ 2x 3x 注：碰到幂指函数，可以考虑用第二个重要极限求
解，方法是凑指数。
x +1 3.lim x→∞ x − 2
选证2
2x2 − x + 2 例：lim x→2 x2 + 4
注1：求初等函数在 x → x 0 时的极限，如果把 x = x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
2x − 3 例：lim 2 x →1 x − 5 x + 4
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
5x2 + 2x −1 例：lim x →∞ 3x 2 − 1
练习： 1.lim sin 5x = 5 ： x→0 3x 3 sin( x −1) 1 2.lim 2 = x→ 1 2 x −1 sin 2x 2 3.lim = x→ tg3x 0 3
固体物理第二章复习
式中
B
1
6
;
A2
A
4B
'N 1
A12
j
a12 j
A6 , A12 是仅与晶体结构有关的常数。
'N 1
A6
j
a6 j
3.原子晶体、金属晶体和氢键晶体
(1)原子晶体
结构：第Ⅳ族、第Ⅴ族、第Ⅵ族、第Ⅶ族元素都可以形成
原子晶体。
结合力： 共价键 (2)金属晶体
饱和性 方向性
层一共有 8 个量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就 是共价结合的 “饱和性”.
共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”.
10. 为什么许多金属为密积结构? 金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的
(2)结合力： 范德瓦尔斯力。
(3)配位数： 通常取密堆积,配位数为12。
(4)互作用势能：
u(r )
4
12
6
r r
U ( R)
2 N
A12
R
12
A6
R
6
雷纳德-琼斯势
r1 rA a, a1 1, r2 rB 2a, a2 2, r3 rC 3a, a3 3,
2( 1 1 1 1 ) ln( 1 x ) x x2 x3 x4
第二章 第2讲 力的合成与分解-2025高三总复习 物理(新高考)
第2讲力的合成与分解[课标要求]1．了解力的合成与分解；知道矢量和标量。
2．会应用平行四边形定则或三角形定则求合力。
3．能利用效果分解法和正交分解法计算分力。
考点一力的合成1．合力与分力(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力，那几个力就叫作这个力的分力。
(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。
2．共点力：作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。
3．力的合成(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则①平行四边形定则：求两个互成角度的力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量首尾相连，从而求出合矢量的方法，如图乙所示。
自主训练1两个力的合成及合力的范围如图为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π)，下列说法中正确的是()A．合力大小的变化范围是0≤F≤14NB．合力大小的变化范围是2N≤F≤10NC．这两个分力的大小分别为6N和8ND ．这两个分力的大小分别为2N 和8N 答案：C解析：由题图可知，当两力夹角为π时，两力的合力为2N ，而当两力夹角为π2时，两力的合力为10N ，则这两个力的大小分别为6N 、8N ，故C 正确，D 错误；当两个力方向相同时，合力大小等于这两个力的大小之和14N ；当两个力方向相反时，合力大小等于这两个力的大小之差2N ，由此可见，合力大小的变化范围是2N ≤F ≤14N ，故A 、B 错误。
自主训练2作图法求合力(2023·浙江嘉兴模拟)如图所示，某物体同时受到共面的三个共点力作用，坐标纸小方格边长的长度对应1N 大小的力。
甲、乙、丙、丁四种情况中，关于三个共点力的合力大小，下列说法正确的是()A ．甲图最小B ．乙图为8NC ．丙图为5ND ．丁图为1N答案：D解析：由题图可知，F 甲＝2N ，方向竖直向上；F 乙＝45N ，方向斜向右下；F 丙＝25N ，方向斜向左上；F 丁＝1N ，方向竖直向上；则题图丁的合力最小，为1N ，故选D 。
中考数学总复习知识点总结：第二章 代数式
第二章代数式考点一、整式的有关概念（3分）1.代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意:单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如,这种表示就是错误的,应写成。
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如是6次单项式。
考点二、多项式（11分）1.多项式几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数, 叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母, 按照代数式指明的运算, 计算出结果, 叫做代数式的值。
注意: （1）求代数式的值, 一般是先将代数式化简, 然后再将字母的取值代入。
（2）求代数式的值, 有时求不出其字母的值, 需要利用技巧, “整体”代入。
2.同类项所有字母相同, 并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
3.去括号法则（1）括号前是“+”, 把括号和它前面的“+”号一起去掉, 括号里各项都不变号。
（2）括号前是“﹣”, 把括号和它前面的“﹣”号一起去掉, 括号里各项都变号。
4.整式的运算法则整式的加减法: （1）去括号；（2）合并同类项。
整式的乘法:),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n =22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=-整式的除法:注意: （1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘, 结果是一个多项式, 其项数与因式中多项式的项数相同。
（3）计算时要注意符号问题, 多项式的每一项都包括它前面的符号, 同时还要注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中, 有同类项的要合并同类项。
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
人教版七年级生物下册 第二章 总复习 练习题教学课件PPT初一公开课
第二章 人体的营养生物·人教版·七年级下册第一节食物中的营养物质1. [2021四川宜宾期末]下列物质既是人体细胞的组成成分,又能提供能量的是 ( )A.糖类、维生素、蛋白质B.糖类、脂肪、无机盐C.脂肪、糖类、蛋白质D.蛋白质、脂肪、水答案1.C 【解题思路】 食物中含有的六大类营养物质中,糖类、脂肪、蛋白质既是人体细胞的构成成分,又能为人体生命活动提供能量。
2. [2021河北沧州期末]学校进行春季越野比赛时,运动员们所消耗的能量主要来自 ( )A.馒头、米饭B.鸡蛋、鲜奶C.蔬菜、水果D.花生、奶酪答案2.A 【解题思路】 人体生命活动所需要的能量,主要是由糖类提供的,馒头、米饭的主要成分是糖类。
3. [2021贵州黔东南中考]青少年要多吃蛋、奶、鱼、肉等富含蛋白质的食物。
因为蛋白质是 ( )A.容易消化、吸收的物质B.建造身体的重要原料C.主要的供能物质D.重要的备用能源物质答案3.B 【解题思路】 瘦肉、鱼、奶、蛋和豆类等食物中含有较多的蛋白质,蛋白质是建造和修复身体的重要原料,人体的生长发育以及受损细胞的修复和更新,都离不开蛋白质。
4. [2021山东临沂期末]在进行探究实验“测定某种食物中的能量”时,小明提出的问题是“花生仁与核桃仁哪个含能量多”。
下列关于他制订的计划和探究过程的叙述,不正确的是 ( )A.测定的花生仁与核桃仁的质量应相等B.在锥形瓶内加等质量的水,并插入温度计C.重复实验3次,取平均值进行比较D.实验中水吸收的热量等于食物实际所含的能量答案4.D 【解题思路】 实验所测得的能量低于食物实际所含的能量,因为食物在燃烧时,放出的能量并没有全部被水吸收,有一部分能量用于加热仪器,还有一部分能量散失到了环境中,D错误。
5. [2021山东临沂期中]一日三餐,我们在享用美食的同时,也获得了人体所需的营养物质,下列关于营养的叙述,错误的是 ( )A.食物中含有糖类、脂肪、蛋白质、水、无机盐和维生素等六类营养物质B.糖类是主要的能源物质,脂肪是重要的备用能源物质C.干重相同的牛肉、花生和面粉中,含能量最多的是牛肉D.蛋白质是建造和修复身体的重要原料,受损细胞的修复和更新,都离不开蛋白质答案5.C 【解题思路】 牛肉的主要成分是蛋白质,花生的主要成分是脂肪,面粉的主要成分是糖类,干重相同的糖类、蛋白质和脂肪中,脂肪含能量最多,C错误。
八年级上册数学-第二章-知识点复习总结
第二章：实数本章的知识网络结构：知识梳理： 知识点一：平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二：算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
(3) 算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； C.81的平方根是3±； D.0没有平方根； （2）下列各式正确的是 （ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
人教版数学七年级上册第二章整式的加减全章总复习课件
， =
， =
×
×
×
×
=
， =
， 所以第7个数为： =
；
×
×
×
(2)由（1）可得：第n个数是
(3)根据题意可得：
=
(+)
×
，∴
；
(4)解：原式 = − + − + − +
=−
解：ab2−3a2b−3(ab2−a2b)
=ab2−3a2b−(3ab2−3a2b)
=ab2−3a2b−3ab2+3a2b
Байду номын сангаас
直接化简求值法
=−2a2b
当a=2，b=−1时，原式=−2╳22 ╳(−1)=4.
典型例题
(2).若多项式x2+2x−8=0,求2x2+4x−17的值.
分析：没有直接求出的x值，如果把x2+2x看成一个整体，
+
=
+
.
，
是第12个数；
−
+ − + ⋯+ −
+
，
典型例题
②.图形的规律.
一张长方形桌子可坐6人，按图3将桌子拼在一起.
（1）2张桌子拼在一起可坐________人，4张桌子拼在一起可坐
________人，n张桌子拼在一起可坐________人；
华东师大版七年级总复习资料
七年级数学上册期末总复习第二章总复习知识要求：1、有具体情境中，理解有理数及其运算的意义；2、能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.3、借助数轴理解相反数与绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值.4、经历探索有理数运算法则和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理解有理数的运算律，并能利用运算律简化运算，及能运用有理数及其运算律解决简单的实际问题.知识重点：绝对值的概念和有理数的运算（包括法则、运算律、运算顺序、混合运算）是本章的重点. 知识难点：绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算是本章的难点. 考点：绝对值的有关概念和计算，有理数的有关概念及混合运算是考试的重点对象. 教学过程设计：一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数.2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴数轴有三要素：原点、正方向、单位长度.画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.4、相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数.0的相反数是0，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等.5、绝对值（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 二、有理数的运算 1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数.（2）有理数加法的运算律：加法的交换律 ：a+b=b+a ；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.2、有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数.（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算； 3、有理数的乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba ；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac.（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a 和b 互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.4、有理数的除法有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数.这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0.5、有理数的乘法（1）有理数的乘法的定义：求几个相同因数a 的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“na ”其中a 叫做底数，表示相同的因数，n 叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n 个a 相乘，不是n 乘以a ，乘方的结果叫做幂.（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数 6、有理数的混合运算（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序.比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.练习：一、选择题：1、下列说法正确的是（ ） A 、非负有理数即是正有理数 B 、0表示不存在，无实际意义 C 、正整数和负整数统称为整数 D 、整数和分数统称为有理数2、下列说法正确的是（ ）A 、互为相反数的两个数一定不相等B 、互为倒数的两个数一定不相等C 、互为相反数的两个数的绝对值相等D 、互为倒数的两个数的绝对值相等 3、绝对值最小的数是（ ）A 、1B 、0C 、– 1D 、不存在4、计算())2(244-+-所得的结果是（ ）A 、0B 、32C 、32-D 、165、有理数中倒数等于它本身的数一定是（ ） A 、1 B 、0 C 、-1 D 、±16、（– 3）–（– 4）+7的计算结果是（ ） A 、0 B 、8 C 、– 14 D 、– 87、（– 2）的相反数的倒数是（ ） A 、21 B 、21- C 、2 D 、– 2 8、化简：42=a ，则a 是（ ）A 、2B 、– 2C 、2或– 2D 、以上都不对 9、若21-++y x ，则y x +=（ ）A 、– 1B 、1C 、0D 、310、有理数a ，b 如图所示位置，则正确的是（ ）A 、a+b>0B 、ab>0C 、b-a<0D 、|a|>|b| 二、填空题 11、（– 5）+（– 6）=________；（– 5）–（– 6）=_________. 12、（– 5）³（– 6）=_______；（– 5）÷6=___________.13、()=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-2122_________；21244⨯-=________.14、()=⨯-27132__________；=÷-9132________. 15、=-+-20032002)1(1_________；16、平方等于64的数是___________；__________的立方等于– 64 17、75-与它的倒数的积为__________. 18、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2，则a+b=_______；cd=______；m=__________. 19、如果a 的相反数是– 5，则a=_____，|a|=______，|– a – 3|=________. 20、若|a|=4，|b|=6，且ab<0，则|a-b|=__________. 三、计算：（1）22)5()25(848-÷--÷- （2）145)2(535213⨯-÷+- （3）)2(3)3(322-⨯+-÷- （4）)32()4(824-⨯-÷-（5）)3()6()2(16323-⨯---÷+- （6）⎥⎦⎤⎢⎣⎡÷-⨯+-95)31(53.1四、某工厂计划每天生产彩电100台，但实际上一星期的产量如下所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 –1 +3 –2 +4 +7 –5 –10比计划的100台多的记为正数，比计划中的100台少的记为负数；请算出本星期的总产量是多少台？本星期那天的产量最多，那一天的产量最少？五、某工厂在上一星期的星期日生产了100台彩电，下表是本星期的生产情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 –1 +3 –2 +4 +7 –5 –10比前一天的产量多的计为正数，比前一天产量少的记为负数；请算出本星期最后一天星期日的产量是多少？本星期的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最少？第三章 总复习复习内容：列式表示数量关系、单项式、多项式、整式等有关概念以及整式加减运算． 一、本章知识结构框架图二、易错题分析 误区一 书写不规范致误例1 用代数式表示下列语句：（1）比x 与y 的和的平方小x 与y 的和的数 （2）a 的2倍与b 的31的差除以a 与b 的差的立方. 错解（1）（22y x +）－（x+y ） （2）（2a-1/3b ）÷(x+y)剖析：（1）要表示的是“比x 与y 的和的平方小x 与y 的和的数”，应该先求和再求平方即应该是)()(2y x y x +-+，而不应该是（22y x +）－（x+y ）.（2）是书写不规范，除号要用分数线代替，即应该写成3)(312b a ba --. 正解：（1）)()(2y x y x +-+ （2）3)(312b a ba -- 误区二 概念不清致误例2、判断下列各组是否是同类项：（1）0.2x 2y 与0.2xy 2 （2）4abc 与4ac （3）－130与15 （4）-532m n 与423n m（5）-++()()a b a b 332与 （6）7311pq p q n n n n ++与错解：（1）（3）（4）（6）是同类项，（2）（5）不是同类项.剖析：（1）0.2x 2y 与0.2xy 2因为字母x 的指数不同，字母y 的指数也不同，所以不是同类项. （2）4abc 与4ac ，显然第二个单项式中没有字母b 所以不是同类项. （3）都是单独一个数－130和15，是同类项. （4）虽然-532mn 与423n m 字母的排列顺序不同，但相同字母m 的指数相同，n 的指数相同，字母也相同，所以是同类项.（5）将(a+b)看成一个整体，那么-++()()a b a b 332与是同类项. （6）7311pq p q n n n n ++与中，字母相同都是p ，q 并且字母p 的指数都是n+1，q 的指数都是n ，也相同，所以是同类项.解：（1）、（2）不是同类项 （3）、（4）、（5）、（6）是同类项.说明：根据同类项的定义判断，同类项应所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，同类项与系数无关，与字母的顺序无关.（1）题相同字母的指数不相同； （2）题所含字母不同； （5）题将(a+b)看作一个整体.误区三 去括号致错例3 计算()83432x y x y z z --+-+错解：原式＝z z y x y x 23438+-+--=＝z x +=4剖析：去括号时，括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号内各项都要变号，本题是最常见的错误：只改变括号内第一项的符号而忘记改变其余各项的符号.正解：原式=---++83432x y x y z z =-+463x y z （2）括号前的系数不是1 例4 计算()()85322222x yx y ---错解1：原式=--+8562222x y x y =-2422x y 错解2：原式=---85632222x y x y =-2822x y剖析：去括号时，若括号前的系数不是1，则要按分配律来计算，即要用括号外的系数乘以括号内的每一项.本题就是常见的错误：“变符号”与使用“分配律”顾此失彼.正解：原式＝22223658y x y x +--=＝2222y x -=三、经典题型分析 题型一 列代数式1.列代数式的关键是正确掌握数学关联词.2.书写代数式时应注意规范：①代数式中用到乘号，若是数字与数字相乘，要用“³”号；若是数字与字母或字母与字母相乘，通常简写成“²”号或省略不写.②数字与字母相乘时，要把数字写在字母的前面，如“a 的2倍”写成“2a ”而不“a2”.若是带分数与字母相乘，应把带分数化为假分数，如“3225b a 而不是32212b a ” ③代数式中的除的关系，一般应写成分数形式.如a ÷2＝2a.④多项式后面跟单位的，要给多项式加括号，如（ab+cd ）平方米. 例1]用代数式表示（1）a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的2倍. （2）314与x 的积与3除y 的商的和. （3）甲、乙两数之和是25，甲为a ，求比乙的2倍小7的数的立方. （4）甲为x ，乙为y ，求甲、乙两数积与乙数倒数的差.分析：注意和、差、倍、和的平方、平方和这些关联词表达的意思. 解：（1）()()2122222a b a b +-+ （2）1343x y+ （3）[()]22573--a （4）xy y-1点拨： 和是加法运算的结果，差是减法运算的结果，积是乘法运算的结果，商是除法运算的结果，和的平方是先求和再求平方，平方和是先求平方再求和，顺序不同.例2 用代数式表示阴影部分面积.分析： （1）用大半圆的面积减去两个小半园的面积就是阴影部分的面积.（2）阴影部分的面积分两部分，上半部分是长方形的面积减去三角形的面积，下半部分的面积是长方形的面积减去半圆的面积.解：（1）大半圆减去两个小半圆的面积121212222πππ()R r r R +-- （2）上半部分长方形减去三角形面积 S a a a =-=121414222下半部分长方形面积减去半圆面积 S a a =-121822π∴S a a 阴影=-341822π点拨：注意观察图形的特征，有时计算面积，要用割补法.题型二、与整式的概念有关的题型例3. 判断题 （1）-12312，，ab b都是单项式.（ ） （2）单项式－3xy 5的系数是3，次数是五次.（ ） （3）数的运算律对代数式都适用.（ ） 分析：（1）只有数与字母的积的运算的代数式叫做单项式，其中包括单独一个数或一个字母.而1b的分母中含有字母，是数与字母的商，所以它不是单项式.（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，－3xy 5中数字因数是－3，而不是3.就是说系数包括前面的符号.单项式的次数是单项式中所有字母的指数的和.所以－3xy 5的次数是1＋5即六次而不是五次.－3xy 5就是－3xyyyyy 它有六个字母因数，是六次. （3）数的运算律对代数式都适用. 解：（1）³（2）³（3）√点拨：做判断题时，概念一定要清楚，要仔细阅读题目. 例4. 已知多项式，453121225xy x y x y m +--，（1）求多项式中各项的系数和次数. （2）若多项式是八次三项式，求m 的值. 分析：（1）多项式中第一项421xy m +的系数是 4.次数应为所有字母指数的和，所以是2m ＋1＋1＝2m＋2.第二项－5x 2y 2的系数是－5，次数为2＋2＝4.第三项－31x 5y 的系数是－31，次数是5＋1＝6.（2）因为多项式中第二项是4次的，第三项是6次的，均已确定，所以只能第一项是八次的.由（1）知2m ＋2＝8，∴m ＝3. 解：（1）421xm +y 的系数是4，次数是2m ＋2. －5x 2y 2的系数是－5，次数是4.－31x 5y 的系数是－31，次数是6. （2）由（1）中2m ＋2＝8，解得m ＝3.点拨：对于第一个单项式的次数是2m ＋2可能感到并不习惯，通过多次练习，这样对于字母表示数、次数会有较深的认识.在（2）问中由于多项式是八次三项式，而第二项、第三项的次数分别是4次、6次，故只有第一项应是8次，可得方程，求出m 的值.例5. 给出多项式6a 2b 2－3ab ＋4a 4b －8b 5＋7a 3，分别回答下列问题：（1）是几项式？ （2）是几次式？ （3）字母a 的最高次数是多少？ （4）字母b 的最高次数是多少？ （5）把多项式按a 的降幂重新排列； （6）把多项式按b 的降幂重新排列.分析：只要把多项式的项数和次数概念弄清楚，（1）（2）是不难回答的.对于（3）和（4）回答时注意只看题目所要求的字母的次数，而不管其它字母.例如（3）因为多项式6a 2b 2－3ab ＋4a 4b －8b 5＋7a 3中含有字母a 的各项中.a 的指数最大的是4，所以字母a 的最高次数是4. 同样道理可知字母b 的最高次数是5.解：（1）五项式； （2）五次式； （3）a 的最高次数是4； （4）b 的最高次数是5； （5）4a 4b ＋7a 3＋6a 2b 2－3ab 3－8b 5； （6）－8b 5－3ab 3＋6a 2b 2＋4a 4b ＋7a 3.点拨：按某一个字母把多项式写成降幂排列（或升幂排列）实际是把这个字母看成主要字母、找出它的次数的大小，利用加法交换律按顺序写出来.此时与其它字母无关.例6、已知2314313521x y x y m n -+-与是同类项，求5m+3n 的值. 分析：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，所以，由x 的指数相同可得：3m-1=5,m=2；由y 的指数相同可得：2n+1=3,n=1，再代入5m+3n 中求值即可.解：因为2314313521x y x y m n -+-与是同类项，所以3m-1=5,m=2；同时2n+1=3,n=1；所以5m+3n ＝5³2＋3³1＝13.点拨：同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，根据同类项的定义可得字母指数的方程，然后再求代数式的值.题型三、求代数式的值例7、 a 是绝对值等于2的负数，b 是最小的正整数，c 的倒数的相反数是-2.求代数式()[]4257232323a b abc a b abc a b -+--的值.分析：由已知条件可知ab c =-==2112，，，然后化简代数式，最后将已知条件代入求值. 解：∵a 是绝对值等于2的负数，∴a =-2 ∵b 是最小的正整数，∴b=1再∵c 的倒数的相反数是-∴=212，c()[]425742575232323232323a b abc a b abc a b a b abc a b abc a babc-+--=--++=() a b c =-==∴=⨯-⨯⨯=-2112521125，，原式点拨：求代数式值的题目，一般是找到代数式中的字母的值，将代数式化简后代入求值. 例8. 当a ba b-+=4时，求243()()()a b a b a b a b -+-+-的值. 分析：本题中根据已知条件很难求出a ，b 的值，观察到b a b a b a b a -++-与互为倒数，可把ba ba b a b a -++-,分别看作一个“整体”，将“整体”的值直接代入求值式，这样就可以避免求其中字母的值，简化了求值过程.这种求代数式值的方法叫整体代入法. 解：∵a b a b a b a b -+=+-=414，∴ ∴243244314813723()()()a b a b a b a b -+-+-=-=-=³³.点拨：求代数式的值，一般用化简求值法，但当代数式中字母的值很难求，而所给的题目又有一定的特殊性时，我们观察到含未知数的部分可以看成一个整体时，我们用整体代入法，这样会使运算简便，问题得解.例9 的值。
第二章函数总复习
4等差中项、等比中项。
例 已知数列 a n }中, a1 60, a n 1 a n 4 10 { b n | a n | 数列 a n }的前项和为 , 数列 b n }的 { Sn { 前项和为Tn , 求Tn
)
例3求下列函数的定义域 log 1/ 2 2) (3 2 x x
（ y 1 ）
1 ( 2) y log (1 ) x2 x
例4求下列函数的值域 并求出单调减区间。 , x 2 2x 3 （ )y 3 1 x 2 2x 1 ( 2)y log 2 1 x
3 2 1 2 2 2 3 2
1 3，求下列各式的值。 (2)已知x x
知识回顾：（）公式 1
(M N ) M log N log ① log a a a
M N log log M log N ② a a a
M (n R) n log ③ log a a loga N a N log a 1 0 log a a 1
n M
lg N
ln N (e 2.71....)
例7计算下式的值： 2 2 lg25 lg8 lg5 lg20 lg 2 3
例8解下列方程：
1 ( x 1) 1 （ ） log ( 2 x ) log 2 2 2 2
2 8) log x 1 (1) log ( x 2 2
例1设集合A B N;映射f : A B 把A中的元素n映射到B中的元素2n n, 则在映射f下，象20的原象是( A 2 B 3 C 4 D 5
例2判断下列各组函数 是否表示同一函数 2 1 x A. y 与y x 1 x 1 1 B y lgx与y lgx2 2 C y (x 1)2 与y x 1 D y x与y logaax
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细菌和真菌
你知道食物变味、面包为什么发霉？
大量细菌繁殖在一起所形成的细菌团，叫菌落
菌落
细菌的结构特点：没有细胞核，有遗传物质 原核细胞，原核生物。
细菌的形态
螺旋形、球形、杆形
真菌
有细胞核、细胞壁、 无叶绿体的生物
有真正的细胞核， 属真核生物
细菌没有细胞核称原核生物
食物上滋生微生物 的条件是什么？
爬行类
• 贴地爬行 • 皮肤覆盖着干燥的角状鳞或甲 • 用肺呼吸（完全靠肺呼吸） • 变温动物、卵生（卵产在陆地上）
脊椎动物－鸟类
讨论：鸟类有什么共同的特征？ 鸟类特征：体表都有羽毛，体温恒定， 一般能够飞翔 （卵生，体温恒定）
讨论：你知道鸟类有那些特点 利于它们的飞翔生活吗？
脊椎动物－哺乳类
没有种子的植物
没有种子，产生孢子 繁殖后代，叫孢子植物。
蕨类植物 孢子植物 苔藓植物 藻类植物
有 种 种 子 子 植
种子有包被
被子植物 裸子植物
蕨类植物
植 物 物
没 有 种 子
种子没有包被
有根
孢 有茎和叶 无根 苔藓植物 子 植 物 没有茎和叶分化 藻类植物
第四节细胞
1590第一台1665胡克
脊椎动物
鱼类 两栖类 爬行类
鸟类 哺乳类
鱼 类
• 皮肤覆盖着鳞片 • 生活在水中 • 用鳃呼吸,靠鳍游动 • 变温动物、卵生
两栖类
• 皮肤裸露、潮湿无鳞（皮肤裸露辅助呼吸） • 幼体生活在水里，有尾无四肢，用鳃呼 吸。 • 成体生活在陆地上或水中，无尾有四肢， 主要用肺呼吸。 • 变温动物、卵生（卵产在水中）
无
细胞学说：
19世纪40年代德国科学家 施莱登和施旺
动物和植物都是由相同的 基本单位——细胞构成的。
两细胞
染色体
母细胞核内出现染色 体，染色体会平均分配 到两个子细胞中去。
四细胞
细胞团
细胞分裂
母细胞
分裂 生长
同时进行生长和分化
同时进行生长和分化
分裂
65第5节显微镜下的各种生物 单细胞的植物：衣藻（鞭毛，眼点） 单细胞的动物：草履虫（纤毛，口沟）
干细沙 的温度 ／０Ｃ 位置 第一次 表面 ４５ ２厘米处 ４０ ４厘米处 ３５ ６厘米处 ２８
干细沙 的温度 ／０Ｃ 第二次 ４８ ４４ ３8 ３0
湿泥土 湿泥土 的温度 的温度 ／０Ｃ ／０Ｃ 第一次 第二次
４０ ３６ ３０ ２２ ４4 ３９ ３2 ２4
根据实验获得的数据，你能得到哪些结论？ 表面的温度变化比内部大 光照时间相同，干细沙（湿泥土）随深度增加，温度降低
分布于四肢、躯 体、心脏、胃、 肠等；
由肌细胞组成。
(有骨骼肌、心肌、 平滑肌)
能收缩舒张， 产生运动。
神经组织 分布在脑、脊 髓、神经中 由神经细胞构 成。 具有接受刺激、 产生并传导兴 奋的功能
它们属于什么组织？
肌肉组织
神经组织
血液－结缔组织
上皮组织
皮肤从外到内可分为：
表皮是由上皮 组织构成。
物质的主要场所
大肠
暂时贮存粪便吸收少 量的水、无机盐、部 分维生素， 没有消 化作用。
构成人体的八大系统 消化系统 呼吸系统 循环系统 泌尿系统 生殖系统 神经系统 运动系统 内分泌系统
细胞
组织 器官
人体
系统
1.生物体的结构和功能单位是细 胞. 2.单细胞生物是一个独立的个体. 3.多细胞生物有明显的结构层次, 由低到高分别是:细胞→组织→ 器官→系统(动物) →个体
空气，水分，温度
控制变量法、对比法
植物的组织
组织：
由许多形态相似、结构和 功能相同的细胞联合在一 起形成的细胞群叫组织。
保护组织
输导组织
营养组织 机
械 组 织
构成植物的各种组织
分 生 组 织
植物组织的作用： 保护组织： 保护作用 营养组织：制造和贮存营养 机械组织：支撑和保护作用 输导组织： 输送物质 分生组织：分裂产生新细胞
“适者生存，不适者淘汰”。这是自然选择结
练习 有人做了如下表内容的实验：
第一组 第二组
实验材料 蝗虫40个
生活环境 放在与蝗虫体色 一致的环境里 实验处理 放在3只鸡 结果 一分钟吃掉6个
蝗虫40个
放在与蝗虫体色不一 致的环境里 放进3只鸡 一分钟全部吃光
上述实验说明了什么?
保护色有利 细准焦螺旋 镜 壁 物 镜 倾斜关节 镜 座
镜 筒
物镜转换器
压片夹 载物台 集光器 反光镜
比较动物细胞和植物细胞,它们的结构有什么不同？
细胞壁
细胞膜 细胞核 细胞质
液 泡
动物细胞 植物细胞
比较植物细胞与动物细胞的异同
内 容 植物细胞 动物细胞
无 有 有 有
细胞壁 有 细胞膜 有 细胞核 有 细胞质 有 液 泡 有
第一节生物与非生物
1、蜗牛的几种感觉
蜗牛是有感觉的生物体，它有
视觉 触觉 、______ 嗅觉 和 _______ 、______
味觉 ，但没有_______ 听觉 ______ 。
生物与非生物区别表
生物 对刺激有反应 非生物 对刺激没有反应
能生长
需要营养 能繁殖后代 能适应和影响环境 有遗传和变异现象 一般由细胞构成
身体辐 射对称
体型非长或非圆筒型
长或圆筒的体型
扁形 动物
腔肠 动物 体具 棘皮
无贝壳
身体柔软， 有贝壳
身体有许 多体节
身体线形， 不分节
身体、足分节， 有外骨骼
软体 动物
环节 动物
线形 动物
棘皮 动物
节肢 动物
第三节：常见的植物
种子外有果皮 包被的植物
被子植物
(20多万种)
种子裸露的植物
裸子植物
第二节：常见的动物
1、动物的分类：根据特征进行分类
（1） 根据生活环境水生还是陆生，可分为 （2）根据体表有没有羽毛，可分为 （3）根据能不能飞行，可分为 （4）根据胎生还是卵生，可分为 （5）根据体表有没有鳞片，可分为 （6）根据体内有没有脊椎骨，可分为
A14页11题
练一练
现有以下8种动物：麻雀、带鱼、蝴蝶、蚯蚓、蝙蝠、 青蛙、猪、鲸。请根据题意完成下列问题。 （1）根据有无脊椎骨这一标准可把这些动物分为 无脊椎 动物；根据是水生还是陆生这 脊椎 动物和________ _____ 水生 陆生 动物。 一标准可把这些动物分为_____ 动物和______ （2）若把这些动物划分为有翅动物和无翅动物，其 有无翅 分类的标准是_________; 若把这些动物划分为有羽动 有无羽毛 物和无羽动物，其分类的标准是_____________; 若 把这些动物划分为胎生动物和卵生动物，则其分类的 生殖方式 标准是__________. (3) 从以上两小题中，可发现动物有多种的分类方法， 你能得出什么结论？ 答：依据不同的分类标准，其分类结果不同。
适应是相对的，不是绝对的。
提出问题：
为什么蝎子白天把自己藏在数厘米深的沙里？
白天，沙漠中的动物， 如蝎子，往往把自己藏在 数厘米深的沙里。
建立假设
可能是沙子内部的温度比表面低， 蝎子藏在沙子里是为了躲避高温。
设计实验方案
我们用白炽灯加热烧 杯中的干细沙和湿泥 土的实验来证明
获取事实与证据
每隔５分钟测量不同深度两种物质的温度， 记录数据于表中
人体的四大组织：
•上皮组织
•结缔组织
•肌肉组织 •神经组织
上皮组织
分布于皮肤、内 脏器官的表面和 管腔的内表面 由上皮细胞组成； 细胞排列紧密。 有保护、分泌、 吸收和排泄功能
结缔组织 分布广（如血液
软骨、肌腱）；
细胞间隙较大， 细胞间质较多。 有保护、支持、 营养、连接、 运输功能。
肌肉组织
触觉小体和冷敏小体主 要是由 神经 组织构成。
立毛肌主要由肌肉 组织构成。
血液是属于结缔 组织。
第六节：生物体的结构层次
一、什么器官？
（organ)
由多种组织构成的、 具有一定功能的结构叫器 官
植物的器官
叶 茎 根
与植物 制造自 身营养 物质和 生长有 关叫 营养 器官
花 果实 种子
与植物 的生殖 有关有 关叫 生殖 器官
同等情况下，湿泥土比干细沙温度低
检验假设
光照时间相同，干细沙（湿泥土）随深度增 加，温度降低
由于沙漠表面升温较快，且表面和表面以下存在较 大的温差，所以沙漠中的蝎子白天“钻沙”借以躲避 高温环境。 “钻沙”这种行为是对沙漠高温环境的 一种适应。
我 国 特 有 的 珍 稀 动 物
大熊猫
扬子鳄
金丝猴
第七节：生物的适应性和多样性
生物对环境的适应
1、保护色；如：菜青虫、变色龙、雷鸟等 2、拟态；如：竹节虫、枯叶蝶、螳螂等
3、警戒色；如：瓢虫、黄蜂、海葵等
4、生长现象 :向光性、向地性、向水性
5、行为； 蝎子在白天藏在沙里、青蛙的冬眠等
地球上生存的每一种生物都以不同的方式适应着环境，以上各 种方式为有利于捕食、逃避天敌、寻找配偶等等，获得有利的 生存条件，从而使种族得以不断繁衍。
(700种)
种子植物
被子植物
（绿色开花植物）
裸子植物 两者的区别： 被子植物：种子外有果皮包 被，形成果实。 裸子植物：种子没有果皮包 被而裸露，不形 成果实。
荔枝
猕猴桃
沙田柚
板栗
葡萄 银杏
胡萝卜
马铃薯
红薯
菜豆
是果实的有： 荔枝、 菜豆、葡萄、板栗、猕猴桃、沙田柚
不是果实的有： 胡萝卜、红薯、 银杏、马铃薯
朱鹮