高等数学BIT8-3三重积分

M f ( i , i , i ) Vi
i 1 n
最后，取极限 n M lim f ( i , i , i ) Vi
||T || 0 i 1
其中 || T || max { Vi 的直径 }
0 i n
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一、三重积分的定义
上的有界 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 任意分成 n 个小闭区域 v1 ， 函数，将闭区域 i 个小闭区域，也 v2 ,, v n ，其中v i 表示第 表示它的体积, 在每个vi 上任取一点( i , i , i ) 作乘积 f ( i , i , i ) v i ，( i 1,2,, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 上的三重积分，记为 f ( x , y , z ) 在闭区域 f ( x , y , z )dv ,
2
y x y
2
r dr (cos sin )d 0
4 3 4
4
cos sin 2
1 4 4 4 (cos sin ) d sin ( )d 3 3 4 4 4 （和差化积）
3 4
小结
二重积分在直角坐标下的计算公式

0

0
（在积分中注意使用对称性）
计算步骤及注意事项 • 画出积分域 积分区域
•
选择坐标系
被积函数 积分区域
被积函数 图示法 不等式 充分利用对称性 利用极坐标变换
• •
确定积分序 写出积分限
•
计算要简便
计算二重积分的几点说明：
1) 化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积
分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由
区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应 先画出积分区域 D 的图形. 2) 第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二 次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于
上限.
3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，
且区域的划分要尽量地简单.
当二重积分的被积函数中含有绝对值函 数、取大或取小函数 (max 或 min ) 等特殊 函数时，如何计算二重积分的值？
极坐标下面积元素
d ? d d
用极坐标曲线网 =常数,（同心圆族） f x , y d D =常数,（射线族） 来划分积分域，规则的子域 i 的面积 y 1 2 2 i = [( ) ] D i 2 1 2 ( ) 2 x O 高阶项 略去 弧长 d
1 (
)
f cos , sin d
若极点在D的内部 则D可以用不等式表示: 0 ( ), 0 2
r ( )
D
O
( )
A
这时有
f x, y d
D
2
0
d
( )
0
f ( cos , sin ) d

即
f ( i , i , i ) vi . f ( x , y , z )dv lim 0 i 1

n
其中 dv 叫做体积元素 .
三重积分的物理背景 以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 一般的三重积分无几何解释，但当被积函数为1 时，表示区域的体积。
(ii ) 对任意点 ( x , y ) D , 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 , I 2 f ( x , y )d .
D2
其中：D2 {( x , y ) D | y 0} .
( 3) 如果 D 关于原点对称 , 那么
(i ) 对任意点 ( x , y ) D , 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 , I 0 .
例3 计算
极点在D的边界上 , 是边界在极点处的切线的极角 圆周在(0, 0)的切线斜率为 y 1 故 , 3 3 4 4
I

1 1 1 2 2 解 D的边界 ( x ) ( y ) 2 2 2
( x y )dxdy, D : x D
一般是将积分区域适当分块，使被积函
数在各子块上都表示为初等函数形式，然后 . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
D
解 先去掉绝对值符号，如图
D

1
y x 2 d
2
D3
2
(x D D
2
y ) d ( y x ) d
(5) 如果 D1、D2 两个区域关于直线 y x 对称 , 那么
f ( x , y )d f ( y , x )d . D D
1 2
例
解 故
计算
(x D
2
2 x 3 y 2)d D : x y a
2 2
2
D关于 x , y 轴及原点及 y = x
b
f ( x, y )d dx
D a
2 ( x )
1 ( x )
f ( x , y )dy. ［Y－型］

D
f ( x , y )d dy
c
d
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx［ . X－型］
（在积分中要正确选择积分次序）
二重积分在极坐标下的计算公式
y
D3
D1
x
O
1D
4
2
D2
极坐标系 是由极点O和极轴OA组成, 点P坐标( , ) 其中 为点P到极点O的距离,
为OA到OP的夹角,0 ,0 2
=常数,（同心圆族）
P ( , )
=常数,（从O出发射线族）

若令极点与xoy直角坐标系

A
O
的原点重合, x轴取为极轴，则 x cos 直角坐标与极坐标的关系为： y sin
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首先,把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积 记为 Vi 其次,在每个小块 Vi 上任取一点 ( i , i , i ) 则 Vi 的质量 M i f ( i , i , i ) Vi 然后对每个小块 Vi 的质量求和：
(ii ) 对任意点 ( x , y ) D , 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 , I 2 f ( x , y )d 2 f ( x , y )d .
D1 D2
(4) 如果 D 关于直线 y x 对称 , 那么
f ( x , y )d f ( y , x )d . D D
a x b, 得
f ( x , y , z )dv
注意
b y2 ( x )
( 2 x 3 y )d 0 D
2 2
对称
对称性性质
1 2 2 ( x y )d x d y d 2D D D
4 1 a 3 d r dr 4 极坐标 2 0 0 2 a
2 2 d 2 a D 区域面积
故
由直角坐标和极坐标的对应关系，得到 二重积分在极坐标下的形式
f ( x, y )d f cos , sin d d
D D
1 ( ) 2 ( ), 若积分区域D：
于是得到在极坐标下 二重积分化为二次积分 的公式： f x, y d
二、直角坐标系中三重积分的计算
方法1 . 先单后重(“投影法”) 方法2 . 先重后单 (“截面法”)
具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择.
机动
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结束
方法①: 先单后重（投影法）
如图， 闭区域 在 xoy
z
z z2 ( x , y )
面上的投影为闭区域D, S1 : z z1 ( x , y ), S2 : z z2 ( x , y ),
D
2 ( )
D
1 ( )

O

2 ( )
A
[


2 ( )
1 ( )
f cos , sin d ]d

O
D
1 ( )
或写作

A
f x, y d d
D

2 ( )
过点 ( x , y ) D 作直线,
a
b
y y1 ( x )
z2 S 2

z1
S1
z z1 ( x , y )
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
从 z1 穿入，从 z2 穿出． x
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z )只看作 z 的 函数，则
F ( x, y)
f (r cos , r sin )rdrd D d f ( r cos , r sin )rdr .
2 ( ) 1 ( )
( ) d 0 f ( r cos , r sin )rdr. 2 d ( ) f ( r cos , r sin )rdr.
若D由两条封闭曲线围成（如图），则
f x, y d
D
2
0
d
( )
r ( )
f ( cos , sin ) d
何时采用极坐标系？
• 当积分区域为扇形，圆形，环形等易于 用极坐标表示的区域 • 而且被积函数中有类似 y 2 2 2 2 , x y , 1 x y x • 时用极坐标可能会带来方便！