人教版数学高考(文)一轮复习训练：第九章规范练44直线与圆、圆与圆的位置关系

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高考数学一轮复习第九章9.4直线与圆圆与圆的位置关系课件文北师大版

的方程.
2.过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
3.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0b)(y-b)=r2.
4.过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程
2022
第九章
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
必备知识预案自诊
02
关键能力学案突破
必备知识预案自诊
【知识梳理】
1.直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),
圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次
2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利
用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式(组)解决.
对点训练1(1)已知直线l过点P(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其
斜率k的取值范围为(
A.(-2 2,2 2)
B. -
)
2 2
,
4 4
C.(- 2, 2)
D.
成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
对点训练2(1)(2020全国1,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所
截得的弦的长度的最小值为(
)
(2)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两

2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

高考数学复习知识点专题强化训练47 直线与圆、圆与圆的位置关系

高考数学复习知识点专题强化训练专题(四十七) 直线与圆、圆与圆的位置关系A级——夯基保分练1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能解析：选C 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．2．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0解析：选B 由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.3．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选D 由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.4．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )A．3 B．4C．2 3 D．8解析：选B 连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝55，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝25×55＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B.5．(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )A. 6B.5C．－ 6 D．－5解析：选BD 因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝±5，故选B 、D.6．(多选)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．10解析：选AD 圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72的圆心C 的坐标为(3,3)，半径r ＝62，因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为22，则有d ＝|6－m |1＋1＝22，解得m ＝2或10，故选A 、D.7．(2020·湖南长沙月考)设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，C 为圆心，且△ABC 的面积等于4，则实数m ＝________.解析：设CA ，CB 的夹角为θ，圆的半径为r .所以S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，得θ＝π2.易知圆心C 到直线l 的距离为2，所以|4m －1|m －12＋2m ＋12＝2，解得m＝－12或－72.答案：－12或－728．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是__________________．解析：依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P (0,1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C (1,0)，半径为r ＝2.则易知定点P (0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC ⊥l 时，直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝09．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心坐标为(a,0)(a >0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以3＋0＋m ＝0，解得m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝010．(一题两空)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，则此时切线l 的方程为____________； (2)满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程为____________．解析：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，当l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0. 答案：(1)x ＝1或3x ＋4y －15＝0 (2)2x －4y ＋1＝011．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ―→·ON ―→＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1.解得4－73＜k ＜4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k 2＋8.由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.12．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ，∴半径r ＝|OC |.∵|OC |2＝t 2＋4t2，∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2.令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t,0)．令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t .∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.B 级——提能综合练13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选AB 圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，则圆心为C (2,0)，半径R ＝2.设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PACB 为正方形，故有PC ＝2R ＝22，∴圆心到直线y ＝k (x ＋1)的距离小于或等于PC ＝22，即|2k －0＋k |k 2＋1≤22，解得k 2≤8，可得－22≤k ≤22， ∴实数k 的取值可以是1,2.故选A 、B.14．(2020·河南洛阳二模)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD ―→＝5DB ―→，则r ＝________.解析：如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE |＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE |＝|EB |，不妨令|AD |＝5m (m >0)，由3AD ―→＝5DB ―→可得 |BD |＝3 m ，|AB |＝8m ，则|DE |＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2，①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m )2，②联立①②，解得r ＝10.答案：1015．已知圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，174，B ⎝⎛⎭⎪⎫－318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .(1)求圆C 的方程； (2)求直线l 的方程．解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－b 2，即716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334b ＋b 2，解得b ＝4. 则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－42＝12，所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝12.(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±22，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则OP ―→·OQ ―→＝0，所以OP ⊥OQ ，满足题意．当直线l 的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线l 的方程与圆C 1的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，则Δ＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－1)＝4(k 2－m 2＋1)＞0，即1＋k 2＞m 2，则x 1＋x 2＝－2km 1＋k 2，x 1x 2＝m 2－11＋k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2m 2－11＋k 2－2k 2m 21＋k2＋m 2＝m 2－k 21＋k 2，又OP ⊥OQ ，所以OP ―→·OQ ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－11＋k 2＋m 2－k 21＋k 2＝0，故2m 2＝1＋k 2，满足Δ＞0，符合题意．因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝12相切，所以圆心C (0,4)到直线l 的距离d ＝|m －4|1＋k 2＝22，即m 2－8m ＋16＝1＋k22，故m 2－8m ＋16＝m 2，得m ＝2，故1＋k 2＝8，得k ＝±7.故直线l 的方程为y ＝±7x ＋2.综上，直线l 的方程为x ＝±22或y ＝±7x ＋2. C 级——拔高创新练16．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a ＞－52.则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，亦即2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。

第9章第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系

题型一 • 例1
直线与圆的位置关系
m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5.
• (1)无公共点； • (2)截得的弦长为2； • (3)交点处两条半径互相垂直．
• 【思路】
判断；
(1)无公共点即相离，用圆心到直线的距离d>r
• (2)充分利用直角三角形； • (3)两半径互相垂直，形成等腰直角三角形．
成直角三角形表示出切线长，可以设出点的坐标，将其转
化为函数的最值求解；也可根据平面几何的知识将其转化
为圆心到直线上的点的距离的最小值，直接求解．
【解析】方法一：圆 C 的方程化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝ 1，圆心为 C(－2，－2)，半径 r＝1. 设直线 l 上任意一点 P(x，y)，则由 x＋y＝1，得 y＝1－ x. 则|PC|＝ x＋22＋y＋22 ＝ x＋22＋1－x＋22 ＝ 2x2－2x＋13.
• 3．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是( • A．相交 • C．外切 B．内切 D．内含
)
• 答案
• 解析
B
两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆
心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r1＝1，r2＝2. • ∵|O1O2|＝1＝r2－r1.
方法二：圆 C 的方程化为(x＋2)2＋(y＋2)2＝1，圆心为 C(－2，－2)，半径 r＝1. 设过点 P 的切线与圆相切于点 Q，则 CQ⊥PQ. 故|PQ|＝ |PC|2－r2＝ |PC|2－1. 故当|PC|取得最小值时，切线长最小．
显然，|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离 |－2－2－1| 5 2 d＝＝ 2 ，所以切线长的最小值为 2 2 1 ＋1 5 22 46 2 －1＝ 2 .

2021高考数学复习专题直线与圆、圆与圆的位置关系(文精练)

专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2020·福建省厦门市科技中学模拟)直线kx －2y ＋1＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定2．(2020·江西省鹰潭市一中模拟)若直线x ＝5与圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则a ＝( ) A ．13B ．5C ．－5D ．－133．(2020·山东省日照市实验中学模拟)与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．(2020·河南省卫辉一中模拟)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π65．(2020·湖北省武汉市四中模拟)已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且OA →·OB→＝2，则k ＝( )A ．2B ．± 2C ．±2D.26．(2020·湖南省邵阳模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定7．(2020·广东省深圳市松岗中学模拟)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]8．(2020·重庆市合川中学模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－149．(2020·四川省攀枝花市三中模拟)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ .10．(2020·湖北荆州中学模拟)过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为．11．(2020·云南昆明第三中学模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为．12．(2020·贵州凯里一中模拟)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于M ，N ，点P 在圆C 上，且△MPN ＝π3，则实数a ＝ .13．(2020·浙江温州中学模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．14．(2020·吉林省实验中学模拟)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)若△APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 15．(2020·湖南浏阳一中模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC △BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．(2020·山西康杰中学模拟)如图所示，圆C ：x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0.(1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)．过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B .问：是否存在实数a ，使得△ANM ＝△BNM ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2020·福建省厦门市科技中学模拟)直线kx －2y ＋1＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定【答案】A【解析】直线kx －2y ＋1＝0恒过定点⎝⎛⎭⎫0，12，且0＋⎝⎛⎭⎫12－12＜1，所以点⎝⎛⎭⎫0，12在圆内，故直线和圆恒相交，故选A. 2．(2020·江西省鹰潭市一中模拟)若直线x ＝5与圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则a ＝( ) A ．13 B ．5 C ．－5 D ．－13【答案】B【解析】圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9－a .其圆心坐标为(3,0)，半径r ＝9－a (a ＜9)．由直线x ＝5和圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则圆的半径r ＝5－3＝2，即9－a ＝2.解得a ＝5，故选B.3．(2020·山东省日照市实验中学模拟)与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】A【解析】两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.4．(2020·河南省卫辉一中模拟)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6 【答案】A【解析】由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A. 5．(2020·湖北省武汉市四中模拟)已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，则k ＝( )A ．2B ．± 2C ．±2 D.2【答案】B【解析】圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，设OA →与OB →的夹角为θ，则 2×2×cos θ＝2，解得cos θ＝12，θ＝π3，△圆心到直线l 的距离为2cos π6＝3，可得|－3|1＋k 2＝3，解得k ＝± 2. 6．(2020·湖南省邵阳模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【解析】由题意知a 2＋b 2＞1，圆心O (0,0)到直线ax ＋by －1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，因此直线和圆相交，故选B.7．(2020·广东省深圳市松岗中学模拟)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]【答案】A【解析】由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6.故选A.8．(2020·重庆市合川中学模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14【答案】B【解析】圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.9．(2020·四川省攀枝花市三中模拟)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ .【答案】22【解析】由题意知圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－(2)2＝2 2.10．(2020·湖北荆州中学模拟)过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为．【答案】－53【解析】因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)，所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0，圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.11．(2020·云南昆明第三中学模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为．【答案】4π【解析】圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.12．(2020·贵州凯里一中模拟)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于M ，N ，点P 在圆C 上，且△MPN ＝π3，则实数a ＝ .【答案】4或8【解析】由△MPN ＝π3可得△MCN ＝2△MPN ＝2π3，在△MCN 中，CM ＝CN ＝2，△CMN ＝△CNM ＝π6.则圆心C (3，－3)到直线l 的距离d ＝2sin π6＝1，即|3－3×(－3)－a |1＋3＝1，解得a ＝4或a ＝8.13．(2020·浙江温州中学模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．【解析】(1)x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，所以曲线是以(－1,3)为圆心，3为半径的圆．由已知得直线过圆心，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.(2)设直线PQ ：y ＝－x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，y ＝－x ＋b ，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋12.又OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2－b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，将x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋12代入上式得b 2－2b ＋1＝0，所以b ＝1，所以直线PQ 的方程为y ＝－x ＋1.14．(2020·吉林省实验中学模拟)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)若△APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．【解析】(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2，设P (a,2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，△点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65，125.(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，△该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，165.15．(2020·湖南浏阳一中模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC △BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【解析】(1)不能出现AC △BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC △BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．(2020·山西康杰中学模拟)如图所示，圆C ：x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0.(1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)．过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B .问：是否存在实数a ，使得△ANM ＝△BNM ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0，得x 2－(1＋a )x ＋a ＝0，由题意得Δ＝(1＋a )2－4a ＝(a －1)2＝0，解得a ＝1，故所求圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2－y ＋1＝0. (2)令y ＝0，得x 2－(1＋a )x ＋a ＝0，即(x －1)(x －a )＝0，所以M (1,0)，N (a,0)．假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 2＋y 2＝4，得 (1＋k 2)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 21＋k 2，x 1x 2＝k 2－41＋k 2.因为△ANM ＝△BNM ，所以y 1x 1－a ＋y 2x 2－a＝0. 因为y 1x 1－a ＋y 2x 2－a第 11 页共 11 页＝k [(x 1－1)(x 2－a )＋(x 2－1)(x 1－a )](x 1－a )(x 2－a )，而(x 1－1)(x 2－a )＋(x 2－1)(x 1－a )＝2x 1x 2－(a ＋1)(x 2＋x 1)＋2a ＝2·k 2－41＋k 2－(a ＋1)·2k 21＋k 2＋2a ＝2a －81＋k 2，所以2a －81＋k 2＝0，解得a ＝4. 当直线AB 与x 轴垂直时，也成立．故存在实数a ＝4，使得△ANM ＝△BNM .。

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)，所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |，即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2，解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三易得直线l 过定点(1，1)，把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22，弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4，所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°，所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2，两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆，所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163，故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4；令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。

2025年高考数学一轮复习-9.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

第九章
第四节
直线与圆、圆锥曲线
直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(
×
)
提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两
圆外切或内切,故(3)错误;
(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(
√
)
提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内
切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12 +12 -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(22 +22 -
x= 或x+2 y-5 =0
______________________.
【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r= 2;
当过P的直线斜率不存在,即直线方程为
x= 2时,直线与圆C相切;
设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x- 2),即kx-y- 2k+2=0,

2022届高考数学一轮复习专练44直线与圆圆与圆的位置关系含解析

专练一、选择题1．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是() A ．相切 B ．相交但不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离2．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋16＝0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是()A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切3．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是() A ．1＋2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 24．两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有() A ．4条B ．3条 C ．2条D ．1条5．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝() A ．0B. 3C.33或0D.3或0 6．已知直线l 经过点(0,1)且与圆(x －1)2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝22，则直线l 的斜率k 的值为()A ．1B ．－1或1C ．0或1D ．17．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是()A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 8．[2020·全国卷Ⅰ]已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为()A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝09．[2020·全国卷Ⅲ]若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12二、填空题10．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是________．11．已知直线l ：kx －y －k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2－2y －7＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．12．过点P (1，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，则切线方程为______________．[能力提升]13．(多选)[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知点P 在圆(x －5)2＋ (y －5)2＝16上，点A (4,0)，B (0,2)，则()A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝3 2D ．当∠PBA 最大时，|PB |＝3 214．[2020·全国卷Ⅱ]若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为()A.55B.255C.355D.45515．已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________.16．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4，若点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，则1a ＋9b的最小值为________．专练44 直线与圆、圆与圆的位置关系1．B 圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2－2－5|22＋12＝5<6，∴两圆相交但不过圆心．2．B ∵x 2＋y 2＝4的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝2，又x 2＋y 2＋6x －8y ＋16＝0可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9，其圆心C 2(－3,4)，半径r 2＝3，又圆心距|C 1C 2|＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5＝r 1＋r 2，∴两圆相外切．3．A x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心C (1,1)，半径为1，圆心C到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2，∴圆上的点到直线距离的最大值为d ＋r ＝2＋1.4．B 圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆C 2：(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴圆心C 1(2，－1)，C 2(－2,2)，半径r 1＝2，r 2＝3，圆心距|C 1C 2|＝(－2－2)2＋(2＋1)2＝5，r 1＋r 2＝5，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，∴两圆C 1与C 2外切，∴它们有3条公切线．5．D 由题意得圆心(0,1)到直线kx －y ＋3k ＝0的距离为1，即：|－1＋3k |k 2＋1＝1得k ＝0或k ＝ 3.6．D 由题意得圆心(1,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离d 为d ＝|k ＋1|k 2＋1＝4－(2)2，得(k ＋1)2＝2(k 2＋1)，得k ＝1.7．B x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，则圆心(－1,1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|12＋12＝2，由题意得2＋22＝2－a ，∴a ＝－4. 8．D 如图，由题可知，AB ⊥PM ，|PM |·|AB |＝2S 四边形APBM ＝2(S △P AM ＋S △PBM )＝2(|P A |＋|PB |)， ∵|P A |＝|PB |， ∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－|AM |2＝4|PM |2－4，当|PM |最小时，|PM |·|AB |最小，易知|PM |min ＝54＋1＝5，此时|P A |＝1，AB ∥l ，设直线AB 的方程为y ＝－2x ＋b (b ≠－2)，圆心M 到直线AB 的距离为d ＝|3－b |5，|AB |＝4|P A ||PM |＝45，∴d 2＋⎪⎪⎪⎪AB 22＝|MA |2，即(3－b )25＋45＝4，解得b ＝－1或b ＝7(舍)．综上，直线AB 的方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.故选D.9．D 解法一(直接计算法)：由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 为y ＝kx ＋m ，直线l 与曲线y ＝x 的切点为A (x 0，y 0)．由导数的几何意义可知12x 0＝k ，即x 0＝12k ，点A 既在直线l 上，又在曲线y ＝x 上，∴⎩⎨⎧y 0＝kx 0＋m ，y 0＝x 0.∴kx 0＋m ＝x 0，即k ·⎝⎛⎭⎫12k 2＋m ＝12k ，化简可得m ＝14k ，又∵直线l 与圆x 2＋y 2＝15相切，∴|m |1＋k2＝55，将m ＝14k 代入化简得16k 4＋16k 2－5＝0，解得k 2＝14或k 2＝－54(舍去)．∵y ＝x 的图象在第一象限，∴k >0，∴k ＝12，∴m ＝12，∴l 的方程为y ＝12x ＋12.故选D.解法二(选项分析法)：由选项知直线l 的斜率为2或12，不妨假设为2，设直线l 与曲线y＝x 的切点为P (x 0，y 0)，则12x 012－＝2.解得x 0＝116，则y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫116，14，显然点P 在圆x 2＋y 2＝15内，不符合题意，所以直线l 的斜率为12，又直线l 与圆x 2＋y 2＝15相切，所以只有D 项符合题意，故选D.10．相交解析：解法一：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交．解法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．解法三：(点与圆的位置关系法)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．11．2 6解析：x 2＋y 2－2y －7＝0可化为x 2＋(y －1)2＝8，∴圆心(0,1)到直线kx －y －k ＋2＝0的距离d ＝|－1－k ＋2|k 2＋1＝|1－k |k 2＋1，∴|AB |＝28－k 2－2k ＋1k 2＋1＝27＋2k k 2＋1又－1≤2kk 2＋1≤1，∴|AB |min ＝2 6.12．x ＝1或8x －15y －53＝0解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝1，当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＋3＝k (x －1)，即：kx －y －k －3＝0，由题意得 |4k －2－k －3|k 2＋1＝3，得k ＝815，∴切线方程为8x －15y －53＝0.13．ACD 圆()x －52＋()y －52＝16的圆心为M ()5，5，半径为4，直线AB 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0，圆心M 到直线AB 的距离为||5＋2×5－412＋22＝115＝1155>4，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为1155－4<2，最大值为1155＋4<10，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当∠PBA 最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM ⊥PB ，||BM ＝()0－52＋()2－52＝34，||MP ＝4，由勾股定理可得||BP ＝||BM 2－||MP 2＝32，CD 选项正确．故选ACD.14．B 设圆心为P (x 0，y 0)，半径为r ，∵圆与x 轴，y 轴都相切，∴|x 0|＝|y 0|＝r ，又圆经过点(2,1)，∴x 0＝y 0＝r 且(2－x 0)2＋(1－y 0)2＝r 2，∴(r －2)2＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝1或r ＝5.①r ＝1时，圆心P (1,1)，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2－1－3|22＋(－1)2＝255；②r ＝5时，圆心P (5,5)，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|10－5－3|22＋(－1)2＝255.故选B.15．－2 5解析：解法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.解法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－(－2)×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.16．8解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x ＋y ＝2.点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，∴a ＋b ＝2，∴1a ＋9b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋9b (a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋9a b ≥12×(10＋6)＝8，当且仅当b a ＝9a b ，即b ＝3a 时取等号，所以1a ＋9b的最小值为8.。

2025年高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含答案】

参考答案
1．C [由题意可得
＝2，于是圆心 C 到直线 l 的距离 d＝
＝＝
＝r，所以直线和圆相切．故选 C.] 2．C [当切线的斜率不存在时，直线 x＝2 是圆的切线．当切线斜率存在时，设切线方程为 y－3＝k(x－2)，由(0，0)到切线距离为 d＝＝2，得 k＝，
此时切线方程为 y－3＝ (x－2)，即 5x－12y＋26＝0.故选 C.] 3．D [令直线 l 与圆 C 交于点 A，B，依题意，∠ACB＝120°，∠ABC＝30°，而圆 C 的圆心 C(2，0)，半径 r＝2，
可得
＝
，整理得 x2＋(y＋1)2＝4，则圆(x－a)2＋(y－2a
＋ 4)2 ＝ 1 与圆 x2 ＋ (y ＋ 1)2 ＝ 4 有公共点，则 2 －
1≤
≤2＋1，
即 1≤5a2－12a＋9≤9，解得 0≤a≤ .故选 D.]
9．AC [直线 l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由
＝，＝，
解得 k＝；当直线 l 过 B 点时，直线 l 的斜率 k＝＝1，则直线 l 与半圆有
两个不同的交点时，实数 k 的取值范围为， .故选 A.]
5．D [点(－2，－3)关于 y 轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y＋3＝k(x－2)，即 kx－y－2k－3＝0．由反射光线与圆相切，得
＝，
由
消去 y 并化简，得 x2－2x＝0，
＝
解得 x＝0 或 x＝2，所以点 P 的横坐标的取值范围为[0，2].] 14．x＋2y＋1＝0 [⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0 的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2

高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲

高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1. 圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，方程表示圆心为(),C a b ，半径为r 的圆。

2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x⑴当0422>-+F E D 时，表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，的圆； ⑵当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ⑶当0422<-+F E D 时，它不表示任何图形。

3. 圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①2x 和2y 的系数相同，都不等于０；②没有xy 这样的二次项。

二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：①2x 和2y 的系数相等且不为零，即0A C =≠；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+F E D ，其中①、②是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。

4. 圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩()*，并且对于t 的每一个允许值，由方程组()*所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程组()*就叫做这条曲线的参数方程，联系,x y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。

cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩()θ为参数表示圆心为()a ，b ，半径为r 的圆。

5. 直线与圆的位置关系： ⑴点与圆的位置关系：若圆()()222x a y b r -+-=，那么点()000,P x y 在⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-⇔<-+-⇔=-+-⇔220202202022020)()()()()()(r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。

高考数学第一轮单元复习课件第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系

► 探究点2 圆的切线问题
例 2 已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若 C 的切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程； (2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为 M， O 为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的 P 点的坐标.
【思路】 (1)依据截距关系确定切线的斜率，设出直线方程，利用点到直线的距离等于半径求解；
(2)首先确定P点的轨迹方程，从而确定|PM|最短时点 P的坐标满足的关系式.
【解答】 (1)∵切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1.设切线的方程为 y＝x＋b 或 y＝－x＋b，由点到直线的距离公式解得切线的方程为：x＋y －3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.
变式题求圆心在直线 x＋y＝0 上，且过两圆 x2＋y2 －2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0 的交点的圆的方程.
【思路】求出两圆的交点坐标，利用圆心到两交点的距离都相等于半径，求出圆心和半径，也可以利用两交点连结所得弦的垂直平分线与直线x＋y＝0的交点，就是圆心；还可以利用圆系，先设出过两圆点的圆的方程，再求系数.
①
x d 2 y2 r22 ②
将①②两式联立，研究此方程组的解.
如果方程组有解，且只有两解，这时相应的两圆相交于两点。如图 45－2.
图 45－2
如果方程组有唯一解，这时两圆相切(外切或内切) 。如图 45－3.
图 45－3
如果方程组无解，这时两圆外离或内含。如图 45－4.
知识梳理
1.直线与圆的位置关系的判定方法 (1)代数法(或 Δ 法)：看由直线与圆的方程组成的方程组有无实数解。将直线 l 的方程与圆 C 的方程联立，消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程. ①当 Δ＞0 时，方程有两解，此时方程组也有两组实数解，说明直线 l 与圆 C 相交； ②当 Δ＝0 时，方程有唯一解，此时方程组也有唯一一组解，说明直线 l 与圆 C 相切；

高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。

直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2024届高考数学一轮复习

（ − ）＋[ − (−）] ＝ .所以｜ AB ｜＝｜｜ − ＝
.
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（2）已知圆 M ： x 2＋ y 2－2 x －2 y －2＝0，直线 l ：2 x ＋ y ＋2＝0， P
为直线 l 上的动点，过点 P 作圆 M 的切线 PA ， PB ，切点分别为 A ， B .
组不同的解，则直线与圆相交.
（
√
）
（2）（RA选一P92例2改编）若过一点向圆作切线，切线有两条，则点
在圆外.
（
√
）
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（3）（RA选一P96例5改编）若两圆没有公共点，则两圆相离.
（
√
）
（4）（RA选一P98习题2.5第7题改编）若圆 O 1： x 2＋ y 2＋ D 1 x ＋ E 1 y
2. （RA选一P91例1改编）直线 x ＋ y ＋1＝0与圆（ x －1）2＋ y 2＝2的位
置关系是（ A ）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 无法确定
3. （RA选一P98习题2.5第3题改编）已知圆 x 2＋ y 2＝4截直线 y ＝ k （ x
－2）所得弦的长
度为2，则实数 k 的值为（
第八单元
第53课时
解析几何
直线与圆、圆与圆的位置关系
目
录
01
课前自学
02
课堂导学
【课时目标】
理解直线与圆的位置关系；理解圆与圆的位置关系；了
解直线和圆的简单应用.
【考情概述】
直线与圆、圆与圆的位置关系是新高考考查的重点
内容之一，常以选择题、填空题的形式进行考查，难度中等，属于
热点问题.
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2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系跟踪检测文含解析

第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2020届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( ) A．－3 B．1C．－3或1 D.5 2解析：选 C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为 2.由直线与圆相切，得|1＋b|12＋12＝2，解得b＝－3或b＝1，故选C.2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：选A 由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x ＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C 因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－3y ＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y ＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件．5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r>0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由题意得d 2＋22＝6，即（r 2－14）232＝2，所以r 2－14＝±8，所以r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x－1)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C(－1，0)，C 到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意得∠AOB＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：45π9．已知圆C 经过点A(2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．解：(1)设圆心的坐标为C(a ，－2a)，则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1，由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2. B 级·素养提升|练能力|11.过坐标轴上一点M(x 0，0)作圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的两条切线，切点分别为A ，B.若|AB|≥2，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 根据题意，圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径r ＝1，过点M 作圆的切线，切点为A ，B ，则MA⊥AC，MC⊥AB，则S △MAC ＝12×|MA|×|AC|＝12×|MC|×|AB|2.又由|AC|＝1，变形可得|AB|＝2×|MA||MC|，则有|MA||MC|≥22.又由M(x 0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则|MC|2＝x 20＋14，|MA|2＝|MC|2－1＝x 20－34，即可得x 20－34x 20＋14≥12，解得x 0≤－72或x 0≥72，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 故选C.12．(2019届合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C(1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝r 2，∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.13．(2019届洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝________．解析：如图，过O 作OE⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE|＝|EB|，不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3AD →＝5DB →可得|BD|＝3m ，|AB|＝8m ，则|DE|＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2， ①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m)2， ② 联立①②，解得r ＝10.答案：1014．(2019届湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设圆心C(a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．。

第九章平面解析几何课时规范练41 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析

课时规范练41直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2021浙江余姚中学月考)直线mx-y+1=0与圆(x-2)2+(y-1)2=5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.与m的值有关2.(2021湖南长沙一中月考)已知圆x2+y2=25,则过圆上一点A(3,4)的切线方程为()A.3x+4y-25=0B.4x+3y-24=0C.3x-4y+7=0D.4x-3y=03.(2021河南安阳一中月考)若直线l:mx+ny+3=0始终平分圆C:x2-2x+y2+3y-1=0,则2m-3n=()A.-6B.-3C.3D.64.(2021安徽合肥一中模拟)“k∈[-2,√3]”是“直线l:y=kx与圆C:(x-2)2+y2=3相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(多选)已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2-6x+2y-40=0,则()A.两圆相交B.公共弦长为4√10C.两圆相离D.公共弦长为2√106.(多选)(2021湖南怀化一模)直线l过点P(1,2)且与直线x+ay-3=0平行.若直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3,则实数a的值可以是()A.0B.34C.43D.-437.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与(x+2)2+(y-2)2=9的公切线有条.8.(2021河北秦皇岛二模)已知直线x+y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4相交于A,B两点,则△ABC的面积为.9.(2021湖北荆州模拟)已知圆C过点A(4,-1),且与直线x-y+1=0相切于点B(-2,-1).(1)求圆C的方程;(2)设直线y=x与圆C相交于M,N两点,求弦长|MN|.综合提升组10.(多选)(2021河北张家口二模)已知直线l:kx+y=0与圆M:x2+y2-2x-2y+1=0,则下列说法中正确的是()A.直线l与圆M一定相交B.若k=0,则直线l与圆M相切C.当k=-1时,直线l被圆M截得的弦最长D.圆心M到直线l的距离的最大值为√211.(多选)(2021山东淄博三模)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√212.(2021山东烟台二中三模)已知直线ax+y-2=0与圆C:x2+y2-2x-2ay+a2-3=0相交于A,B两点,且△ABC为钝角三角形,则实数a的取值范围为.13.若一个圆的圆心是抛物线x2=8y的焦点,且该圆与直线√3x-y-2=0相切,则该圆的标准方程为.过点P(-2,-2)作该圆的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则直线AB的方程为.创新应用组14.(2021北京高三一模)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,B(-1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为() A.2√2 B.3√2C.4√2D.615.阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一;平面上一点P到两定点A,B的距离满足|PA||PB|=t(t>0且t≠1)为常数,则点P的轨迹为圆.已知圆O:x2+y2=1和点A(-12,0),若定点B(b,0)(b≠-12)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ=,△MAB面积的最大值为.课时规范练41 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A 解析因为直线mx-y+1=0过定点(0,1),且(0-2)2+(1-1)2=4<5, 所以点(0,1)在圆内,所以直线和圆相交.故选A .2.A 解析因为圆x 2+y 2=25的圆心为O (0,0),所以直线AO 的斜率k OA =43,所以切线的斜率k=-1k OA =-34,所以切线方程为y-4=-34(x-3),化简得3x+4y-25=0.故选A .3.A 解析由圆C :x 2-2x+y 2+3y-1=0得圆心C (1,-32).因为直线平分圆,所以直线必过圆心(1,-32),则m-32n+3=0,则2m-3n=-6.故选A . 4.B 解析由直线与圆相交,得圆心到直线的距离为d=√k +1<√3,解得k ∈(-√3,√3).因为(-√3,√3)⫋[-2,√3],所以[-2,√3]是直线l 与圆C 相交的必要不充分条件. 故选B .5.AB 解析圆C 1的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50,圆心为(5,5),半径为r 1=5√2. 圆C 2的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=50,圆心为(3,-1),半径为r 2=5√2. ∵圆心距d=√(5-3)2+[5-(-1)]2=2√10,∴|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,∴两圆相交,故选项A 正确,选项C 错误; 设两圆公共弦长为L ,则有(L 2)2+(d 2)2=r 2(r=r 1=r 2),∴L=4√10,故选项B 正确,选项D 错误. 故选AB .6.AD 解析设直线l 的方程为x+ay+c=0(c ≠-3). 因为直线l 过点P (1,2),所以c=-1-2a , 所以直线l 的方程为x+ay-2a-1=0. 圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0),半径为2.因为直线l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3,所以弦心距为1, 所以圆心到直线的距离d=√a 2+1=1,解得a=0或a=-43.故选AD .7.3 解析圆x 2+y 2-4x+2y+1=0整理可得(x-2)2+(y+1)2=4,可得圆心C 1的坐标为(2,-1),半径r 1=2.(x+2)2+(y-2)2=9的圆心C 2的坐标为(-2,2),半径r 2=3,所以圆心距|C 1C 2|=√(2+2)2+(2+1)2=5=r 1+r 2,所以两个圆外切,所以公切线有3条.8.2解析因为圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为C(2,1),半径r=2,所以圆心C到直线x+y-5=0的距离d=√2=√2,所以直线x+y-5=0被圆C:(x-2)2+(y-1)2=4截得的弦长|AB|=2√4-2=2√2,所以△ABC面积S=12×2√2×√2=2.9.解(1)过切点B(-2,-1)且与直线x-y+1=0垂直的直线为y+1=-(x+2),即x+y+3=0,则其过圆心.∵直线AB方程为y=-1,∴AB的中垂线x=1过圆心.联立{x+y+3=0,x=1,解得{x=1,y=-4,∴圆心为(1,-4),∴半径r=√(1+2)2+(-4+1)2=3√2,∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=18.(2)∵直线l的方程为x-y=0,∴圆心C(1,-4)到直线l的距离d=√2,∴|MN|=2√18-d2=√22.10.BCD解析M:x2+y2-2x-2y+1=0,即(x-1)2+(y-1)2=1,是以点(1,1)为圆心,以1为半径的圆.对于A,因为直线l:kx+y=0过原点,且02+02-2×(-2)×0+1>0,所以原点在圆外,所以直线l 与圆M不一定相交,故A错误;对于B,若k=0,则直线l:y=0,直线l与圆M相切,故B正确;对于C,当k=-1时,直线l的方程为y=x,过圆M的圆心,故C正确;对于D,由点到直线的距离公式,得d=√k+1=√k2+1+2kk2+1=√1+2k+1k≤√2(当且仅当k=1时,等号成立),故D正确.故选BCD.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程相减可得-2x+2y-2=0,即得直线AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,所以圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,故D正确.故选ABD.12.(2-√3,1)∪(1,2+√3)解析圆C:x2+y2-2x-2ay+a2-3=0可化为(x-1)2+(y-a)2=4,故圆心为C(1,a),半径为2.当△ABC为等腰直角三角形时,点C到直线的距离d=√a2+1=√2,解得a=2±√3.∵△ABC为钝角三角形,∴0<d<√2.又当a=1时,d=0,∴a的取值范围为(2-√3,1)∪(1,2+√3).13.x2+(y-2)2=4x+2y-2=0解析由题意,圆心坐标为F(0,2).因为该圆与直线√3x-y-2=0相切,所以d=|-2-2|2=2=r,所以圆的标准方程为x2+(y-2)2=4.因为∠FAP=∠FBP=π2,所以点F,A,B,P四点共圆,且FP为该圆的直径,所以圆的方程为(x+1)2+y2=5.又因为x2+(y-2)2=4,联立求解得x+2y-2=0,所以直线AB的方程为x+2y-2=0.14.A解析因为在△ABC中,AB=AC=4,所以BC边上的高、垂直平分线和中线合一,则其“欧拉线”为△ABC边BC的垂直平分线AD.因为B(-1,3),C(4,-2),所以D(32,12).因为直线BC的斜率为3+2-1-4=-1,所以边BC的垂直平分线的斜率为1,所以边BC的垂直平分线方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.因为△ABC的“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,所以圆心M(a,a-3)到“欧拉线”的距离为√2=r,解得r=√2.因为圆心(a,a-3)到直线x-y+3=0的距离为√2=3√2,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为3√2−√2=2√2.故选A.15.234解析设点M(x,y).由|MB|=λ|MA|(λ≥0),得(x-b)2+y2=λ2x+122+y2,整理得(-λ2)x2+(1-λ2)y2-(2b+λ2)x+b2-14λ2=0.因为b=-12,所以|MB|≠|MA|,所以λ≠1,所以1-λ2≠0,所以x2+y2-2b+λ21-λ2x+b2-14λ21-λ2=0,所以{2b+λ21-λ2=0,b2-14λ21-λ2=-1,解得{λ=1,b=-12(舍去)或{λ=2,b=-2.如图所示,S△MAB=12|AB||y M|.由图可知,当|y M|=1,即M的坐标为(0,1)或(0,-1)时,S△MAB取得最大值12-12-(-2)=34.。

2020年高考数学(文科)一轮复习第47讲直线与圆圆与圆的位置关系

听课手册第47讲直线与圆圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相离无实数解(续表)位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相切d=r相交22.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示(R>r)公共点个数几何特征(|O1O2|=d)代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的情况)外离0无实数解外切1两组相同实数解相交2两组不同实数解内切1 两组相同实数解内含0 无实数解常用结论 1.圆的切线(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是x 0x+y 0y=r 2;(2)过圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2;(3)过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x+y 0y=r 2.2.直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长a 的一半12a 及圆的半径r 构成直角三角形,且有r 2=d 2+(12a)2.3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x 2,y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.题组一常识题1.[教材改编] 若直线x-y+1=0与圆(x-a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是 . 2.[教材改编] 圆x 2+y 2-4=0与圆x 2+y 2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线的方程为 ,弦长为 .3.[教材改编] 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是 .4.[教材改编] 圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为 .5.[教材改编] 过坐标原点O 作圆x 2+y 2-6x-8y+20=0的切线,则切点到O 的距离为 .题组二常错题◆索引:求圆的切线或弦长时易忽视切线斜率不存在的情况;两圆相切时易忽视有内切与外切两种情况.6.已知圆C 1:(x-a )2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+b )2+(y+2)2=1相切,则(a+b )2= . 7.过点A (3,5)作圆C :x 2+y 2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为 .8.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2√3,则直线l 的方程为.探究点一直线与圆的位置关系例1(1)[2018·云南昆明二模]已知直线l:y=√3x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2√2,则实数m的值等于()A. -7或-1B. 1或7C. -1或7D. -7或1(2)[2019·河北唐山二中月考]在△ABC中,若a sin A+b sin B-c sin C=0,则圆C:x2+y2=2与直线l:ax+by+√2c=0的位置关系是()A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定[总结反思]判断直线与圆的位置关系的一般方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d<r,则直线与圆相交.(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数来判断.变式题(1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都有可能(2)已知圆C:x2+y2-6x+5=0,则圆心C的坐标为;若直线y=kx与圆C相切,且切点在第四象限,则k的值为.探究点二圆的切线与弦长问题角度1过圆上一点的切线问题例2(1)已知圆的方程是x2+y2=1,则经过圆上一点M(1,0)的圆的切线方程是()A. x=1B. y=1C. x+y=1D. x-y=1(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程是()A. x+2y-5=0B. x-2y+3=0C. 2x+y-4=0D. 2x-y=0[总结反思]过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法:若切线斜率存在,先求切点与圆心连线,再由点斜式方程可求出切线方程;若切线斜率不的斜率k(k≠0),由垂直关系知切线斜率为-1k存在,则由图形得出切线方程x=x0.变式题已知点P(√2+1,2-√2),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,则过点P的圆C的切线方程为.角度2过圆外一点的切线问题例3(1)[2018·茂名一模]从坐标原点O向圆C:x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为.(2)若直线y=k(x+3)与圆x2+y2-2x=3相切,则k= .[总结反思]处理切线、弦长问题的策略:(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.变式题 [2018·重庆三诊] 已知圆O 的方程为x 2+y 2=1,过第一象限内的点P (a ,b )作圆O 的两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则a+b 的最大值为 ( ) A. 3 B. 3√2 C. 4√2 D. 6角度3 有关弦长问题例4 (1)[2018·全国卷Ⅰ] 直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A ,B 两点,则|AB|= . (2)[2018·湖南益阳4月调研] 已知斜率为1,且在y 轴上的截距b 为正的直线l 与圆C :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为√3,则b= .[总结反思] 解有关弦长问题的两种方法:(1)几何法:直线被圆截得的半弦长 l2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形,且r 2=(l 2)2+d 2.(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x 或y 的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2或|AB|=√1+1k 2·|y 1-y 2|=√1+1k 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2(k ≠0).变式题已知直线l :kx-y-3=0与圆O :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则k=( )A. 2B. ±√2C. ±2D. √2探究点三圆与圆的位置关系例5 (1)[2018·四川绵阳三诊] 已知圆C 1:x 2+y 2=r 2,圆C 2:(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)交于不同的A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,给出以下结论:①a (x 1-x 2)+b (y 1-y 2)=0;②2ax 1+2by 1=a 2+b 2;③x 1+x 2=a ,y 1+y 2=b.其中正确结论的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(2)[2018·辽宁丹东二模] 圆心坐标为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x-6y+4=0相外切,则C 的方程为( )A. x 2+y 2+4x+2=0 B. x 2+y 2-4x+2=0C. x2+y2+4x=0D. x2+y2-4x=0[总结反思](1)判断两圆的位置关系,有两种方法:一是代数法,联立两圆方程,消去其中一个未知数,通过对所得方程的根进行判断,从而可得两圆关系;二是几何法,通过计算两圆的圆心距与两圆的半径和或差进行比较,从而可得两圆的位置关系.(2)当两圆相交时,公共弦所在直线的方程可由两个圆的方程相减得到,而且在解决圆的有关问题时,注意合理利用圆的几何性质简化计算.变式题(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离(2)过两圆x2+y2+4x+y=-1和x2+y2+2x+2y+1=0的交点的圆中面积最小的圆的方程为.(3)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是.完成课时作业(四十七)。

高考数学(人教,文)专题复习课件：专题9 直线和圆的方程

考法4 两直线的交点与距离
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考点54 两条直线的位置关系
考法3 两直线平行与垂直的判定及应用
1．两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行<->两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直<->两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线互相垂直． (3)已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率(或判定出斜率不存在)，转化为(1)(2)中的情形进行判定． 2．两直线平行与垂直的应用 (1)根据直线的位置关系求参数当点的坐标或直线方程中的系数含有参数时，参数的不同取值决定了两直线不同的位置关系，因此应对参数的取值进行分类讨论，一般将直线斜率分为存在和不存在两种情况． (2)根据直线的位置关系求解直线方程解答这类题通常有两种方法： ①根据l1∥l2k1＝k2，l1⊥l2k1·k2＝－1确定待求直线的斜率，再由点斜式得到直线的方程． ②由两直线平行(垂直)的方程特征设出方程，再由待定系数法求解．
考法1
直线的倾斜角与斜率
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考法1
直线的倾斜角与斜率
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考法2
求直线方程
求直线方程常用的方法 (1)直接法：根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的相应形式，写出方程． (2)待定系数法：利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数)，再确定参数值，然后求出方程，这种方法也称为间接法．
用待定系数法求直线方程的一般步骤： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求参数； ④把所求的参数值代入所设直线方程．

2022年高考数学总复习考点培优——直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【教材回扣】1．直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：相离相切相交Δ______0Δ______0Δ______0若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r＞0)上，则以P为切点的切线方程为F7______________.3．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：相离外切相交内切内含____________________________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．() 2．若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()3．若两圆相切，则有且只有一条公切线．()4．从两圆的方程中消掉二次项后得到二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()题组二教材改编1．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为()A.102B.10C.265D.22652．已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切，则圆C的方程为() A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝5C．x2＋y2＝7 D．x2＋y2＝493．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．题组三易错自纠1．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]2．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．0＜m＜1 B．－1＜m＜0C．m＜1 D．－3＜m＜13．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________．题型一直线与圆的位置关系的判断[例1](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)[听课记录]类题通法判断直线与圆的位置关系的一般方法1．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．2．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系.巩固训练1：(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为________．题型二圆的切线与弦长问题高频考点角度|圆的切线问题[例2](1)[2020·浙江卷](一题两空)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________.(2)从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．[听课记录]类题通法1.求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法(1)几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程．(2)当斜率存在时，设为k，则切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．[提醒]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况.巩固训练2：(1)(多选题)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线的方程为()A．x＝－2 B．x＝2C．4x－3y＋4＝0 D．4x＋3y－4＝0(2)直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，3)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于________．角度|圆的弦长问题[例3](1)(多选题)[2021·山东德州模拟]直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A．6 B．8C．12 D．16(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5 2 B．102C．15 2 D．202(3)[2020·天津卷]已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则r的值为________．[听课记录]类题通法有关弦长问题的2种求法1．几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝(l2)2＋d2.2．代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2.巩固训练3：(1)[2020·全国卷Ⅰ]已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(多选题)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．x＝0C．3x＋4y－12＝0 D．3x＋4y＋12＝0(3)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.题型三圆与圆的位置关系[例4]已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．[听课记录]类题通法(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.巩固训练4：(1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为()A．相切B．内含C．外离D．相交(2)[2021·山东潍坊模拟]已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围是________．(3)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a＝________.[预测1] 核心素养——直观现象过点P(x 0，y 0)作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1的切线，切点分别为A ，B.若|PA|＝|PB|，则x 20＋y 20的最小值为( )A .52B .54C .54 D ．5 [预测2] 新题型——多选题已知圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )A ．圆M 的圆心在定直线x －y －2＝0上B ．圆M 的面积的最大值为50πC ．圆M 的半径的最小值为1D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为10第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课前基础巩固[教材回扣]＜＝＞＞＝＜x 0x ＋y 0y ＝r 2 d ＞R ＋r d ＝R ＋r R －r ＜d ＜R ＋r d ＝R －r 0≤d ＜R －r [题组练透] 题组一1．× 2.√ 3.× 4.× 题组二1．解析：由已知可知圆C 的圆心为(1,2)，半径为5，圆心到直线的距离为d ＝|3×1－2－6|32＋12＝102.∴|AB |＝2r 2－d 2＝252－⎝⎛⎭⎫1022＝10. 故选B. 答案：B2．解析：由题意知：圆心到直线4x ＋3y －35＝0的距离d 等于半径r .即d ＝3542＋32＝7＝r ，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝49. 故选D.答案：D3．解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.已知圆x 2＋y 2－4＝0的圆心(0,0)，半径r 为2，且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝22＝2，则公共弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：22 题组三1．解析：已知圆的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝2. 则圆心到直线l 的距离为d ＝|2－1＋m |2≤r ＝2. 解得－22－1≤m ≤22－1. 故选D. 答案：D2．解析：已知圆的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝2，则圆心到直线的距离d ＝|1＋m |2＜2，解得－3＜m ＜1，则－3＜m ＜1的一个充分不必要条件是0＜m ＜1或－1＜m ＜0. 故选AB. 答案：AB3．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋1＝3，解得k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y 得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0. 因为Δ＝16m 2＋20＞0，所以直线l 与圆相交．法二 (几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1＜1＜5，故直线l 与圆相交．法三易得直线l 过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜ 5.∴点(1,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交．(2)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.故选A.答案：(1)A (2)A巩固训练1 解析：(1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1.所以直线与圆相交．故选B.(2)∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆， ∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)， ∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部， ∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)．答案：(1)B (2)(－∞，－6) 题型二例2 解析：(1)解法一因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以|b |1＋k 2＝|4k ＋b |1＋k 2＝1，得k ＝33，b ＝－233. 解法二因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以直线y ＝kx ＋b 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k ＋b ＝0.设直线y ＝kx ＋b 的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k ＞0，所以θ＝π6，所以k ＝tan π6＝33，b ＝－2k ＝－233. (2)如图：圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0的标准方程为：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1.圆心C (－2，－2)，半径r ＝1.∴圆心到直线l ：x ＋y －1＝0的距离|CP |＝|－2－2－1|2＝522，则切线长的最小值为：|CP |2－|CQ |2＝252－1＝462.答案：(1)33 －233 (2)462巩固训练2 解析：(1)根据题意，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径r ＝1.过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x ＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设此时切线的斜率为k ，则其方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，则有|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线的方程为4x －3y ＋4＝0.综上可得，切线的方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.故选BC.(2)圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l ：x －3y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2.答案：(1)BC (2)2例3 解析：(1)圆C 的圆心坐标为(－3,3)，半径为6，所以弦长AB 的最大值为圆C 的直径12.又直线y ＝kx －1过点P (0，－1)，当直线CP 与直线y ＝kx －1垂直时，弦长AB 最短，此时|AB |＝262－|CP |2＝262－52＝211，所以211≤|AB |≤12，故选BC.(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.故选B.(3)由题意得，圆心(0,0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋|AB |22＝25，又r ＞0，∴r ＝5.答案：(1)BC (2)B (3)5巩固训练3 解析：(1)将圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程(x －3)2＋y 2＝9，设圆心为C ，则C (3,0)，半径r ＝3.设点(1,2)为点A ，过点A (1,2)的直线为l ，因为(1－3)2＋22＜9，所以点A (1,2)在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B ，D .易知当直线l ⊥AC 时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|AC |＝(3－1)2＋(0－2)2＝22，所以|BD |min ＝2r 2－d 2＝232－(22)2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)将圆的方程化为标准形式为：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，圆心到直线l 的距离为d ＝1，所以|AB |＝24－1＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，易知圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，因为d 2＋|AB |22＝r 2，所以(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3.即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0，故选BC.(3)记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.答案：(1)B (2)BC (3)±5 题型三例4 解析：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时， (5－1)2＋(6－3)2 ＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有43×1＋3－b 432＋1＝11.解得b ＝133±5113.容易验证，当b ＝133＋5113，直线与后一圆相交，舍去．故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，得公共弦的长为 2×(11)2－|4＋3×3－23|42＋322＝27.巩固训练4 解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋y ＋322＝94，∴C 1－1，－32，圆C 1的半径r 1＝32.圆C 2：x 2＋y 2＋4x －3y －36＝0，即(x ＋2)2＋y －322＝1694， ∴C 2－2，32，圆C 2的半径r 2＝132.∴两圆的圆心距|C 1C 2|＝(－2＋1)2＋32＋322＝10.又∵r 1＋r 2＝32＋132＝8，r 2－r 1＝132－32＝5，∴|C 1C 2|＝10＜r 2－r 1＝5，故两圆内含．故选B.(2)由题意易得∠APO ＝12∠APB ＝30°，|OP |＝|OA |sin ∠APO ＝1sin 30°＝2，∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，∴2－1≤|OM |≤2＋1，即1≤|OM |2≤9.∵|OM |2＝a 2＋(a －3)2＝2a 2－6a ＋9，∴1≤2a 2－6a ＋9≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－6a ＋8≥0，2a 2－6a ≤0，解得0≤a ≤3，∴a 的取值范围是[0,3]． (3)两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝6a－a .∵公共弦长为2 3.∴a 2＝(3)2＋6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.答案：(1)B (2)[0,3] (3)±2高考命题预测预测1 解析：如图所示，由圆的切线的性质，得|P A |2＝|PC 1|2－1，|PB |2＝|PC 2|2－1.又|P A |＝|PB |，所以|PC 1|＝|PC 2|，所以点P 在线段C 1C 2的垂直平分线上．因为C 1C 2的垂直平分线为y ＝－21(x －1)＋12，即y ＝－2x ＋52，点P (x 0，y 0)在y ＝－2x ＋52上，所以点P 的坐标满足y 0＝－2x 0＋52，所以x 20＋y 20＝x 20＋－2x 0＋522＝5(x 0－1)2＋54≥54，所以x 20＋y 20的最小值为54.故选B. 答案：B预测2 解析：∵圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，∴直线AM 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y ＝x －2，即x －y －2＝0上，A 正确；设M (a ，a －2)，∴圆M 的半径r ＝|AM |＝a 2＋(a －2＋2)2＝2|a |，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2r 2－(a －2)2＝2a 2＋4a －4＝2，解得a ＝－5或a ＝1，当a ＝－5时，圆M 的面积最大，为πr 2＝50π，B 正确；当a ＝1时，圆M 的半径最小，为2，C 错误；满足条件的所有圆M 的半径之积为52×2＝10，D 正确．故选ABD.答案：ABD。

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考点规范练44 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础巩固
1.设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
3.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()
A.2
B.4
C.6
D.2
4.(2017山西临汾模拟)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()
A.(x-2)2+(y-1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1
D.(x-3)2+(y-1)2=1
5.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()
A.-或-
B.-或-
C.-或-
D.-或-
6.(2017福建泉州一模)过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值
为.
7.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.
8.若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则
r= .
9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的倾斜角.
10.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
能力提升
11.(2017福建宁德一模)已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以为中点的
弦长为()
A.1
B.2
C.3
D.4
12.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是()
A.[1-2,1+2]
B.[1-,3]
C.[-1,1+2]
D.[1-2,3]
13.(2017安徽合肥一模)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为()
A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0
B.3x+4y-12=0或x=0
C.4x-3y+9=0或x=0
D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0
14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.。