高一数学1.1.2弧度制教案新人教A版
高中数学必修四教案-1.1.2 弧度制(1)-人教A版
1.1.1 弧度制【学情分析】：教学对象是高一的学生，在前面已经系统学习了任意角的概念，学生对用角度来表示角已经相当熟练，在此基础上引进角的另一种度量方式——弧度制。
由于这种度量方式的定义较抽象，是以比值来定义角的大小，不像角度制那样可以看得见，能体会得到，而高一学生的抽象思维水平发展有限，因此应多结合具体实例来说明弧度制的合理性和必要性，从具体实例出发，慢慢抽象概括，最后得角的弧度制定义，这符合学生的认知规律。
【教学三维目标】：一、知识与技能1、1弧度的角的定义；2、弧度制的定义；3、角度与弧度的换算；4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式；5、角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；二、过程与方法1、理解1弧度的角、弧度制的定义；2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；3、熟记特殊角的弧度数；4、理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题；三、情感态度与价值观使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.【教学重点】：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.【教学难点】：理解弧度制定义，弧度制的运用.【课前准备】：计算器、投影机、三角板【教学过程设计】：积公式分别是：180n Rl π=，2360n R S π=，将0n 转换为弧度，得 180n πα=，于是 212S R α=.将l R α=代入上式，即得12S lR =.教师出示例题：例7．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m解： ∵ 360π=∴ )(471514.3453m R l ≈⨯≈⨯=⋅=πα教师出示例题：例8．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162l r r l l r ∴ 扇形的面积2)(221cm rl S ==教师出示例题：例9. 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵165解： cm r 10= ⑴ )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅=(2)rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=∴)(655101211cm l ππ=⨯=教师出示例题：例10. 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数． 解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ， 由题意：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+621102r l r l ⇒0652=+-r r ∴ ⎩⎨⎧==62l r 或⎩⎨⎧==43l r ∴ r l =α=3 或34 教师出示例题：例11.一扇形周长为20cm ，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 分析：最值问题途径有二：一是利用几何意义，从图中直接找到（本例不好找）；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函熟悉弧长公式加深弧长公式的使用。
【新教材】新人教A版必修一 弧度制 教案
2019—2020学年新人教A 版必修一 弧度制 教案一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系。
（6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法 创设情境，引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。
以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制—-—弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备。
二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用。
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用。
三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里,但也有人回答约160英里,请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1。
6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制。
高中数学 1.1.2弧度制教案1 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案
〔三〕给出一般规律ɑ所对弧的长为L ，那么，角ɑ的弧度数的绝对值是|a|=rl 教师引导：继续观察上述表格，看一看∠AOB 的弧度数与∠AOB 的度数的符号有什么关系？〔建立角的集合与实数集之间的一一对应关系，而这种关系在表中很容易发现。
〕 （四）角度制与弧度制的换算360º = 2π rad 180º = π rad 学生回答公式，老师再次强调：必须熟记住180º = π rad ，这是知识的本源.只要记住方法弧度制与角度制的换算就会迎刃而解. 三、应用举例及课 堂练习约15分钟 课本第7页例题1：把67°30′化成弧度；补充：把〔1〕300 ，〔2〕-450化成弧度。
引导学生通过利用换算方法把度换算为弧度，在黑板上写出解题过程.〔强化弧度的表示.〕补充例题2：把(1)54π,(2) 2 化成角度。
引导学生解题，掌握弧度换算为角度的方法〔板书〕.并填写完下表.〔强化互化公式的应用〕再次阐述一一对应关系引入了弧度制之后，角和实数就存在了一一对应的关系〔阐明引入弧度制的优点之一.〕课堂练习：度 00300600 1200 1350 2700弧度4π2π65ππ2π2.将分针拨快15分钟，那么分针转过的弧度数是〔 〕 A -3π B 3π C -2π D 2π 3.5弧度的角所在的象限为〔 〕A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限〔对本节课的重点进行针对性的训练。
〕1，2，3题学生口答，教师多媒体展示，并再次强调互化的两种方法。
rad 01745.01801≈=︒π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；〖板书设计〗。
2019-2020学年高中数学 1.1.2弧度制教案教案 新人教A版必修4.doc
一、引入 回忆： 度量角的大小第一种单位制—角度制的定义 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 ，它的单位是rad 读作弧度（1）弧度制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：AOB=1rad AOC=2rad周角=2rad1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
or C 2rad1rad r l=2r o A A B（2）角度制与弧度制的换算 抓住：360=2rad ∴180= rad∴ 1=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例1 把'3067化成弧度解：⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2 把rad π53化成度解： 1081805353=⨯=rad π 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin 表示rad 角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P8） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集三．例题分析 课本例3 正角 零角 负角正实数 零 负实数。
高中数学 1.1.2弧度制说课稿 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案
1.1.2《弧度制》说课稿我说课的内容是必修4第一章第一节第二课时《弧度制》。
下面我将从教材分析﹑教法与学法﹑教学过程﹑板书设计、教学反思五个方面进行阐述。
一、教材分析：⒈内容要求：①新课程标准对于《弧度制》的要求是“了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化”。
②实际上高考对弧度制的考察没出过单独的题目，都是掺杂在其他题目中，或者说对它的考察倾向于计算工具的考察。
③另外，本节课有着承上启下的作用。
学生在初中已经学过角的度量单位“度”，本节课还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备。
此外，弧度制统一了度量弧与半径的单位，大大简化了有关公式及运算。
⒉教学目标：知识目标：理解1弧度概念，能进行弧度与角度的互化。
能力目标：我在本节课的教学过程中设置了3个探究，由此提高学生自主解决问题的能力；情感目标：也是通过上述3个探究使学生体验主动提出问题，自主解决问题的快乐；同时懂得事物之间是相互联系的、相互转化的；懂得用联系的观点来看待问题。
⒊教学重点、难点：重点：理解弧度制的意义，能进行角度制与弧度制的互化。
难点：1弧度角定义的合理性。
4．课时的安排及教具准备用一课时来完成这一节内容，使用的教具是多媒体。
二、教法与学法：⒈学情分析：一方面，学生已经学习过角度制的定义；加之教材内容编排上由浅到深、层层递进，因此本节课采用以下教学方法：⑴小组合作教学法：将学生分成8个小组，每组6人左右以便于学生自主探究；⑵运用“问题解决”的教学模式，层层递进的设置一些问题，逐渐的将学生引入到教学过程中，进而获取问题的答案；具体到本节课中，体现为：3次提出问题，学生3次探究，解决3个问题这样一个流程。
另一方面，我所授课的班级学生的基础不是很扎实，平时大部分学生比较懒，不愿意动脑筋，但反应速度还是比较快的。
所以在教学过程中我采取循序渐进的方法，加深他们对基础知识的理解，并加强课堂巩固训练。
2.教法和依据我在本节课中，采用学案导学，学案提前一天下发，上课前我对小组长进行了培训，以此引领学生通过自主学习和小组合作探究的方法进行教学，必要时老师给予适当的点评和补充。
高中数学(1.1.2弧度制)教案新人教A版必修4
1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要•现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单1位进行度量，并且一度的角等于周角的，记作1 °.360°通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法•在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性•这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的- 对应，为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的•通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性•通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的•进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点三维目标1•通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制.2•通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣• 重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算•教学难点：弧度的概念及其与角度的关系• 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.（类比导入）测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.（情境导入）利用古代度量时间的一种仪器一一日晷，或者利用普遍使用的钟表•实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法一一弧度制.要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系一一弧的度数等于圆心角的度数随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角,相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数. 圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线（有向线段）的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①：在初中几何里我们学习过角的度量,1。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制教案 新人教A
1.1.2 弧度制一、教学目标：1．理解1弧度的角的意义，了解弧度制的概念，领会定义的合理性；了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；2．在亲历知识的建构过程中，渗透数形结合、特殊到一般等思想方法；3．体验角度制与弧度制的区别、联系与转化，能进行角度与弧度的换算，牢记特殊角的弧度数。
二、教学重点与难点：1、教学重点：弧度制的概念；弧度与角度的换算2、教学难点：弧度制的概念 三、教学策略与手段：采用探究式教学，以问题串的形式引导学生得到弧度制的概念、深入理解概念并应用概念。
利用PPT 和几何画板课件静态动态相结合，展示1弧度的角，帮助学生深入理解概念。
六、教学基本流程：四、教学过程： （一）复习引入1、上节课我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
这些角都是用“度”来度量的，这种用“度”作单位来度量角的制度称为角度制。
回忆一下，在角度制中，1度的角是如何定义的？弧长公式与扇形面积公式是什么？2、在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制，度量重量时，可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度制外，是否也能用不同的单位制呢？ （二）新课讲授问题一：圆心角︒=30n ，当半径r 为1，2，3，4时，计算圆心角n 所对弧长l 与半径r 的比值rl 。
（1）当圆心角不变，半径变化时，rl是定值；（比值是一个实数，因此是10进制，比角度的60进制用起来更习惯）（2）若半径不变，圆心角变化时，rl随圆心角的变化而变化。
因此，弧长与半径的比rl只与圆心角的大小有关，与半径大小无关，我们可以用这个比值来度量角，这就是度量角的另一种单位制——弧度制。
与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。
几何画板演示： （1）1弧度的角rl=1，此时l r =（是一个比︒60的角略小的角）。
最新人教版高中数学必修41.1.2弧度制教学设计
112弧度制一、教目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系(6) 使生通过弧度制的习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系2、过程与方法创设情境引入弧度制度量角的大小通过探究理解并掌握弧度制的定义领会定义的合理性根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式以具体的实例习角度制与弧度制的互化能正确使用计算器3、情态与价值通过本节的习，使同们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系角的概念推广以后在弧度制下角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节习三角函数做好准备二、教重、难点重点理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用难点理解弧度制定义，弧度制的运用三、法与教用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化教用具计算器、投影机、三角板四、教设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=16公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=16公里在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题2弧度制的定义[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)3探究如图半径为r 的圆的圆心与原点重合角α的终边与x 轴的正半轴重合交圆于点A 终边与圆交于点B 请完成表格yxAαOB我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0角的正负主要由角的旋转方向决定4思考如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l 那么a 的弧度数是多少? 角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径 5根据探究中180rad π︒=填空1___rad ︒=1___rad =度显然我们可以由此角度与弧度的换算了 6例题讲解例1按照下列要求把'6730︒化成弧度 (1)精确值；(2)精确到0001的近似值例2将314rad 换算成角度(用度数表示精确到0001)注意角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=另外注意计算器计算非特殊角的方法 7 填写特殊角的度数与弧度数的对应表角的概念推广以后在弧度制下角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应8例题讲评例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =其中R 是半径l 是弧长(02)ααπ<<为圆心角S 是扇形的面积例4利用计算器比较sin1.5和sin85 的大小注意弧度制定义的理解与应用以及角度与弧度的区别9练习教材P109习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1．作业：习题11 A组第789题．2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。
高中数学人教A版必修四1.1.2教学设计《1.1.2 弧度制》
《1.1.2弧度制》一.讲什么1. 教学内容：（1）教学原理：通过类比引出弧度制。
（2）思想方法：运用类比的方法。
（3）能力素养：激发学生探究新知识的兴趣，体验成功的快乐。
2.内容解析：通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量是可以用不同的单位制来度量的。
在单位圆中，弄清1弧度的角的含义，了解弧度制，并能进行弧度制与角度的换算，同事体会到角的集合与实数集R之间可以建立一一对应关系。
遵循了学生的知识发展过程，由浅入深，由已有的知识过渡到未知的知识，让学生体会到探索新知识的乐趣。
二.为何讲1、教学目标：（1）从长度、重量的不同度量制入手，使学生体会到同一个角度是可以用不同的单位制度量。
（2）结合单位圆，弄给出1弧度角的定义，了解弧度制。
（3）引导学生建立角的弧度数的绝对值与圆的半径、弧长的关系。
（4）引出弧度制后，应与角度制进行对比，进行互化。
2、目标解析：（1）类比于现有度量制，让学生易于接受角的不同度量制。
（2）在单位圆中了解弧度制，弄清楚1弧度的角的含义，是学习弧度制的基础和关键。
（3）采用由特殊到一般的思维方式，让学生归纳总结出=l r，求圆心角时，强调其结果是圆心角弧度数的绝对值。
（4）两种度量制之间的转化与互化，使得学生清楚同一大小的角，可以在两种度量制下进行刻画，同时也明确弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度值是以“度”为单位来度量角的单位制。
教学重点：从现有不同度量制入手，引出弧度制，弧度制与角度制之间的转化。
三.怎样讲（一）教学准备1.教学问题（1）弧度制的引入及1弧度角的定义是我们的第一个问题。
1弧度角的概念是如何产生的？怎么理解？这是一种新的度量角的方式，是学生很难理解的。
我们在单位圆中，采用数形结合的方式给出定，学生较易接受。
（2）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关，这是我们遇到的第二个问题。
解决这个难题，我们采用几何画板作图对比即可。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制教案 新人教A版必修4(2)
1.1.2 弧度制
1.知识与技能
(1)理解弧度的意义.
(2)了解角的集合与实数集R之间可建立起一一对应的关系.
(3)熟记特殊角的弧度数.
2.过程与方法
能正确地进行弧度与角度之间的换算,能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题.
3.情感、态度与价值观
(1)通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进,培养学生求异创新的精神.
(2)通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比,让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.
重点:弧度的概念,弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.
难点:“角度制”与“弧度制”的区别与联系.
1.一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为2 km,一列火车用每小时30 km的速度通过,求火车10 s转过的弧度数.
解:∵圆弧半径为R=2 km=2 000 m,速度v=30 km/h= m/s,∴10 s走过的弧长为
m,
∴火车10 s转过的弧度数|α|=.
2.如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q 按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.
解:设P,Q第一次相遇时所用的时间是t s,
则t·+t·=2π,
所以t=4,即P,Q第一次相遇时所用的时间为4 s.
如图,设第一次相遇点为C,第一次相遇时已运动到终边在×4=的位置,
则x C=-=-2,
y C=-=-2,
所以点C的坐标为(-2,-2).
点P走过的弧长为×4=,点Q走过的弧长为×4=.。
新人教A版高一数学必修四第一章 三角函数1.1.2弧度制
[归纳升华] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得 到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
1．将下列角度与弧度进行互化： (1)5611π；(2)－71π2 rad；(3)10°；(4)－855°.
解析： (1)5611π＝5611×180°＝15 330°；
2．5 弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： 因为32π<5<2π，因此 5 弧度的角的终边在第四象限．
答案： D
3．扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为________．
解析： 216°＝216×1π80＝6π5 ，l＝α·r＝6π5 r＝30π，∴r＝25. 答案： 25
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心 角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
[边听边记] (1)由公式|α|＝rl，可知圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原 来的 2 倍时，圆心角大小不变；但扇形面积 S＝12lr，故面积变为原来的 4 倍．
(2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＋2r＝40，则 S＝12lr＝12(40－2r)r＝20r －r2，所以 r＝10 时，扇形面积最大，此时 l＝40－2r＝20，圆心角的弧度数 α＝rl ＝2100＝2.
π (2)如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－ 6 ，
而 75°＝75×1π80＝51π2 ，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6 ＜θ＜2kπ＋51π2 ，k∈Z.
高中数学必修4(人教A版)教案—1.1.2弧度制
1. 1.2 弧度制【教学目标】① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【教学重难点】重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 【教学过程】 （一）复习引入.复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题：①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ ② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？ ③ 角的范围是什么？如何分类的？ （二）概念形成初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： (1)角的弧度制是如何引入的？(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？(4)角度制与弧度制的区别与联系? 2．学生动手画图来探究： (1)平角、周角的弧度数(2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ (3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？ 3．角度制与弧度制如何换算？3602π=o rad 180π=o rad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈o 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： 一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整 30° 90° 120° 150° 270°4π3π43πππ2例1、把下列各角从度化为弧度：(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒解：(1)π57 （2）π0625.0 (3) π61(4) π375.0 变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º 解：(1)π81 （2）π67- (3) π320例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π 解：（1）108 º (2)200.5 º (3)114.6 º (4)45 º 变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—34π （3）103π解：（1）15 º （2）-240 º （3）54 º弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式：||l rα=⋅ 因为||l rα=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为．||l r α=⋅扇形面积公式：．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
高中数学 1.1.2弧度制教案 新人教A版必修3
1.1.2弧度制教学目的：认识弧度制，并能解决实际问题。
教学重点：理解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的换算。
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系。
教学方法：启发式。
教具：多媒体。
教学过程：一问题提出1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别是怎样规定的？2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.探究1：弧度的概念思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？思考5：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？思考6：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是多少？-1-2探究（二）：度与弧度的换算思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？思考5：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？知识迁移例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值.例2 (1) 已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的弧长和面积；（2）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.小结作业1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点.作业：P10 习题1.1 A组：6，7，8，9，10.板书设计弧度制1探究1：弧度的概念例12探究（二）：度与弧度的换算例2。
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高一数学 1.1.2弧度制教案 新人教A 版
【教学过程】 （一）复习引入.
复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题：
①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？
② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？
③ 角的范围是什么？如何分类的？ （二）概念形成
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： (1)角的弧度制是如何引入的？
(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？
(3)弧度是如何定义的？
(4)角度制与弧度制的区别与联系?
2．学生动手画图来探究： (1)平角、周角的弧度数
(2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
(3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
3．角度制与弧度制如何换算？
3602π=ra d 180π=ra d
180
1π
=
︒rad 0.01745≈ra d 1ra d =︒)180
(
π
5718'≈
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1)0
252 （2）0
/
1115 (3) 0
30 (4)'3067︒
解：(1)
π5
7 （2）π0625.0 (3)
π6
1 (4) π375.0
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º 解：(1) π81
（2）π6
7-
(3)
π3
20
例2、把下列各角从弧度化为度： （1）3
5π (2) 3.5 (3) 2 (4)
4
π
解：（1）108 º (2)200.5 º (3)114.6 º (4)45 º 变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）
12
π
（2）—
3
4π （3）
103π
解：（1）15 º （2）-240 º （3）54 º
弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式：||l r α=⋅
因为||l r
α
=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为．||l r α=⋅
扇形面积公式：．
说明：以上公式中的α必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8c m ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4 变式练习：
1、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。
答案：
5
6
2、半径变为原来的12
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 2 倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 4cm 2
． 4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦A B
A B 所对的圆心角α 的弧度数为
3
2π ．
(三） 课堂小结： 1、弧度制的定义；
2(1) 1(2) 2
1(3) 2l R
S R
S l R αα===(2)
;R 21(1)S 2
α=
O
A
B
2、弧度制与角度制的转换与区别；
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
（四）作业布置 习题1.1A 组第7，8，9题。
（五）课后检测
1．在A B C ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。
答案：A=
5
π
B=
3
π
C=
15
7π
2．直径为20cm 的滑轮，每秒钟旋转45，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多
少？ 答案：
2
25π
3．选做题
如图，扇形O A B 的面积是2
4c m ，它的周长是8c m ，求扇形的中心角及弦A B 的长。
答案：1sin 4,2==AB α
〖板书设计〗。