2019-2020学年高一数学《112 弧度制》学案.doc
2019-2020年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4
2019-2020年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4
【学习目标】
1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；
2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 ； 【重点、难点】
弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 【温故而知新】 1.复习填空
（1）角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 1 度，故一周等于 度，平角等于 度，直角等于 度.
（2）所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 .
【教材助读】
1.认真阅读课本P9—11，理解弧度制，并思考完成以下问题 (1)角的弧度制是如何引入的？
(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？
(4)规定：周角 为1度的角； 叫做1弧度的角. (5)角度制与弧度制相互换算： 1弧度= （度）；1度= （弧度） (6)弧长公式：
(7)扇形面积公式： lr r r n S 2
1
2136022=⋅==απ 【预习自测】
1.将下列表格中特殊角的度数转化为弧度制
2、下列说法中，叙述错误的是( D ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C ．根据弧度的定义，一定等于弧度
D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 3、求半径为，圆心角为所对应的弧长和扇形的面积。 【我的疑惑】
二、课堂互动探究
【例1】1.把下列各角从度化为弧度：
（1） （2） （3） （4） （5）
解：(1) (2) (3) (4) (5)
2019-2020学年数学新人教A版必修4学案：1.1.2 弧度制
1.1.2弧度制
一、三维目标：
知识与技能：（1）理解弧度制的定义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；
（2）能够推导弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式并熟记；（3）能熟练的用
弧度制表示角的集合。
过程与方法：通过学习，认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解。
情感态度与价值观：通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的产生都有它存在的必要性，都会为我们解决现实问题带来方便，从而激发学生的
求知欲。
二、学习重点难点：
重点：1．弧度制的定义．2．用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。
3．角度制与弧度制的换算4．角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系。
难点：对弧度制定义的理解；建立弧度制的意义。
三、学法指导：认真阅读教材的6-9页内容，理解弧度制的定义是基础，掌握角度与弧度的
换算关系是关键。理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性，运算时要
熟练使用弧度制。
四、知识链接：
1.角可以看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
2.按逆时针方向旋转形成的角叫做，按顺时针方向旋转形成的角叫做 .如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个。它的与重合.这样，我们就把角的概念推广到了，
包括、和。
3.我们常在内讨论角.为了讨论问题的方便，我们使角的与重合，角的与重合.那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角。
4.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个，即。
重庆市第八中学校2020-2021学年第一学期高一数学人教A版(2019)5.1.2 弧度制 学案
形的面积.
（4）设扇形的周长为定值 C ，当圆心角 为何值时，扇形的面积 S 最大？最大值为多少？
（5）设扇形的面积为定值 S ,当圆心角 为何值时，扇形的周长 C 最小？最小值为多少？
3
（1）角度制下， l
.S
.
（2）弧度制下， l
.S
.
1
重庆八中高 2023 级远程教育补充讲义集（第五章 三角函数）
题型一：角度制与弧度制的互化
例 1.（1）将下列各角化成 2k k Z, 0 2 的形式，判断各角是第几象限角.
① 4 3
② 315
③ 15 4
④ 32 3
（2）若 与 4 终边相同，则在 2 , 0 内与 终边相同的角为
；负角的弧度数是
；零角的弧度数是
.
要点 3：角度、弧度的换算
（1）角度化为弧度：1 =
.
（2）弧度化为角度：1rad
； 2 =
； =
；=
。
2
（3）一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系：
角度 0
30 45
75 90 120
150 180
360
弧度
π
π
12
3
要点 4：扇形的弧长和面积公式
高中数学第册学案：弧度制含解析
5.1。2弧度制
【素养目标】
1．掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数．（数学运算) 2．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．（数学运算）
3．根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性．（逻辑推理)
【学法解读】
本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借π＝180°，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 度量角的两种制度
(1）角度制．
①定义：用__度__作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的__错误!__为1度角，记作1°。
（2)弧度制
①定义：以__弧度__为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于__半径长__的圆弧所对的圆心角叫做__1弧度__的角．
③表示方法：1弧度记作1 rad.
思考1：圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的？
提示：一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．
知识点2 弧度数
一般地,正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__.
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数
的绝对值是|α|＝__l
r__.
思考2：（1）建立弧度制的意义是什么?
（2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
提示：（1)在弧度制下，角的集合与实数R之间建立起一一对应
的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
高一数学人教A版必修4第一章1.1.2 弧度制 教学设计
长来定义角度，而产生新的角度单位呢？那么我们就先通过简单的计算来看看能不能发现什么规律？
【学生活动】分组讨论，探索研究
探究1：角度为30，60的圆心角，当半径1,2,3,4r =时，分别计算对应的弧长l ，计算后你们能发现什么规律？有没有什么比值或者量是不变的？
30θ=， 1r =时，3011801806n r l πππ⨯⨯=
==，6π
=r l 2r =时，3021801803n r l πππ⨯⨯===，6π
=r l
3r =时，3031801802n r l πππ⨯⨯===，6π
=r l
4r =时，30421801803
n r l πππ⨯⨯===
，6π
=r l 60θ=，1r =时，6011801803n r l πππ⨯⨯===，3π
=r l
2r =时，60221801803
n r l πππ⨯⨯===
，3π
=r l 3r =时，603180180
n r l πππ⨯⨯===，3π
=r l
4r =时，60441801803
n r l πππ⨯⨯===
，3π
=r l 发现结论：圆心角不变则比值不变，这个比值与弧长和半径的大小无关，只和角度大小有关。（抽取两个小组分享他们的发现）
因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是度量角的另外一种单位制——弧度制（客观性，有理可循）。
环节三：归纳概括（新概念和新公式），初步巩固及总结（一收）
【教师活动】弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号1 rad 表示，读作1弧度。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。 如图， 角在形成过程中，射线上的任意一点在旋转过程中，走过的弧长以及圆弧所在圆的半径虽然不同，但是走过的角度是相同的（几何画板展示）
【新课标必修】《弧度制》学案
弧度制
一、课前预习新知
（一）、预习目标：
理解并掌握弧度制的定义；领会弧度制定义的合理性；
（二）、预习内容：
阅读教材填空：
1、角可以用为单位进行度量，1度的角等于。
叫做角度制。
角还可以用为单位进行度量，叫做1弧度的角，用符号表示，读作。
2、正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数
是。如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是
。
这里，α的正负由决定。
3、180°＝ rad
1°＝ rad≈ rad
1 rad＝°≈°
我们就是根据上述等式进行角度和弧度的换算。
4、角的概念推广后,在弧度制下, 与之间建立起一一对应
的关系:每个角都有唯一的一个实数(即 )与它对应;反过来,每一个实数也都有 (即 )与它对应.
二、课内探究新知
（一）、学习目标
（1）理解并掌握弧度制的定义；
（2）领会弧度制定义的合理性；
（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；
（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；
（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；
学习重点：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用；
学习难点：理解弧度制定义，弧度制的运用。
（二）、学习过程
1．核对预习学案中的答案
2．思考下列问题
有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里
3.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
19-03-20高一数学《1.1.2弧度制》(课件)
l | | r
湖南长郡卫星远程学校 制作 19 2017年下学期
探究（二）：度与弧度的换算
思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度 为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算 关系？
180°＝p rad.
思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多 少度？
180 0 180 0 0 1rad 57.30 57 18 湖南长郡卫星远程学校 制作 19
湖南长郡卫星远程学校 制作 19 2017年下学期
二、新知探究
探究1：弧度的概念
思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ 将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是 1°的角.
思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长 如何计算？ 2r l n 360
湖南长郡卫星远程学校 制作 19 2017年下学期
普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4
1.1.2 弧度制
湖南长郡卫星远程学校
制作 19
2017年下学期
一、情景导思
长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量， 物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单 位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角Hale Waihona Puke Baidu大小 是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建 立一个度量角的单位制.
学案4：1.1.2 弧度制
1.1.2弧度制【课标要求】
1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．
【核心扫描】
1．对弧度制概念的理解．(难点)
2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学1．度量角的单位制
(1)角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1
360.
(2)弧度制
①弧度制的定义
长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
②任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个；负角的弧度数是一个；零角的弧度数是零．
③角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.
温馨提示：圆心角α所对的弧长与半径的比值l
r与半径的大小无关，仅与角的大小有关．2．角度制与弧度制的换算
(1)
温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时，角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防止出现π
3＋k ·180°或60°＋2k π等这类错误的写法．
3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 温馨提示：扇形的面积公式S ＝1
2lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底)，可以类
比记忆．在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”的单位，则必须先化成弧度后再计算．
互动探究
高中数学第一章基本初等函数II11任意角的概念与弧度制112弧度制和弧度制与角度制的换算预习导航学案新人教B
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
预习导航
1．弧度制 (1)弧度制．
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制的角，其单位符号为rad ，读作：弧度．
(2)弧度数．
在半径为r 的圆中，弧度为l 的弧所对圆心角为α rad ，则α＝1
r
，弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．
总结：(1)不同半径的圆中相同的圆心角所对的角的弧度数是相同的．
(2)用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如：角α＝10就表示α是10弧度的角．
(3)和角度制相比，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如
6
＋k ·360°或60°＋2k π的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k ·360°＋α等．
(3)度量．
①一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零． ②角α的弧度数的绝对值为|α|＝1
r
(其中l 是以角α作为圆心角所对的弧长，r 是圆的半径)．
(4)弧度制与角度制的比较．
(1)角度制与弧度制的换算．
角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．
注意：(1)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数值相同(都是零)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数值也不同．
2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章1.1.2 弧度制(2)教案
1.1.1 弧度制
【学情分析】：（适用于特色班）
教学对象是高一的学生，在前面已经系统学习了任意角的概念，学生对用角度来表示角已经相当熟练，在此基础上引进角的另一种度量方式——弧度制。由于这种度量方式的定义较抽象，是以比值来定义角的大小，不像角度制那样可以看得见，能体会得到，而高一学生的抽象思维水平发展有限，因此应多结合具体实例来说明弧度制的合理性和必要性，从具体实例出发，慢慢抽象概括，最后得角的弧度制定义，这符合学生的认知规律。
【教学三维目标】：
一、知识与技能
1、1弧度的角的定义；
2、弧度制的定义；
3、角度与弧度的换算；
4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式；
5、角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；
二、过程与方法
1、理解1弧度的角、弧度制的定义；
2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；
3、熟记特殊角的弧度数；
4、理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；
5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题；
三、情感态度与价值观
使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.
【教学重点】：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
【教学难点】：理解弧度制定义，弧度制的运用.
学案8：1.1.2 弧度制
1.1.2 弧度制
课标解读：
3．掌握并能运用弧长公式和扇形面积公式．(难点) 知识点1 角度制与弧度制 【问题导思】
1．在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？
2．在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？
1. 角度制与弧度制的定义
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l
r .
知识点2 角度制与弧度制的换算 【问题导思】
角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
1．角度与弧度的互化
1.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数．(重点) 2．了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．(难点)
知识点3 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则
类型1 角度制与弧度制的互化 例1 将下列各角度与弧度互化． (1)67.5°；(2)112°30′；(3)9
4π；(4)3.
[规律方法]
1．在进行角度制和弧度制的换算时，应先将角度制下的含分、秒形式的角化为小数形式并以度为单位后再用公式“π rad ＝180°”换算．
2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记． 变式训练1 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－7
6π；(3)－157°30′.
类型2 用弧度表示终边相同的角
例2已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
[规律方法]
高中数学 第7章 三角函数 7.1.2 弧度制教学案(含解析)高一第一册数学教学案
7.1.2 弧度制
(1)角度制：规定周角的
1
360
为1度的角，用度作为单位来度量
角的单位制叫作角度制．
(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
[提示]“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
2．角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的换算
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．
思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？
[提示] 利用1°＝π
180
rad≈0．017 45 rad 和 1 rad ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫180π°≈57．30°进行弧度与角度的换算． 3．扇形的弧长公式及面积公式 (1)弧度制下的弧长公式：
如图，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧
度数的绝对值是|α|＝l
r
，弧长l ＝|α|r ．特别地，当r ＝1时，
弧长l ＝|α|．
(2)扇形面积公式：
在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2
＝12
lr ．
4．引入弧度制的意义
角的概念的推广后，角的集合与弧度数的集合之间建立了一一对应关系，即角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系；每一个角都对应唯一的一个实数，反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角，为以后三角函数的建立奠定了基础．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大． ( ) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等． ( ) (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度． ( )
高一数学必修第一册2019(A版)_5_1_2_弧度制_导学案(1)
5.1.2 弧度制
1.理解角的集合与实数集间的一一对应；
2.熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；
3、能灵活运用弧长公式、扇形的面积公式。
1.教学重点：角度与弧度的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与运用；
2.教学难点：用扇形的弧长公式、扇形的面积公式解决问题。
1.规定：叫做1弧度的角。
2.一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。
3.弧度与角度的转化：1°= rad;1rad= 。
4.扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：。
一、探索新知
探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？
角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时，
（1）分别计算相对应的弧长l。
（2）分别计算对应弧长与半径之比。
思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？
1.弧度的概念
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角.
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad. 约定：正角的弧度数为正数，
负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为0.
思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度
数是多少?
思考2：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。
2.角度与弧度的换算
思考3：一个周角以度为单位度量是多少度，以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？
思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad等于多少度？
人教版高一数学必修第三册《弧度制及其与角度制的换算》教案及教学反思
人教版高一数学必修第三册《弧度制及其与角度制的换算》教案及教学反思
一、教学目标
1.掌握弧度制。
2.熟练掌握角度制和弧度制之间的换算。
3.能够灵活运用角度制和弧度制进行计算。
二、教学重点和难点
1.弧度制的概念和计算方法。
2.角度制和弧度制之间的换算。
三、教学过程
1.引入（5分钟）
教师通过讲述一个故事或引用一个有趣的例子，让学生了
解使用角度制进行计算时可能遇到的问题。通过这个引入，让学生对今天的学习主题——弧度制及其与角度制的换算有所了解，并对其产生兴趣。
2.概念讲解（15分钟）
为了更好地让学生理解弧度制，教师应该把它和角度制进
行对比，逐步介绍弧度制的概念。教师可以在黑板上画一个圆，并解释它的周长是 $2\\pi$ 倍的半径。然后，教师可以用同
样的长度来描述圆心角的大小，这就是弧度制。
3.计算弧度制（20分钟）
接下来，教师应该逐步引导学生计算弧度制。教师可以给
学生一些例子，例如求圆的周长、圆心角的大小等等。在教师
给出题目的同时，应该给出解题思路，让学生能够理解用弧度制进行计算的过程。
4.角度制和弧度制的换算（25分钟）
在学生掌握了弧度制的概念和计算方法之后，教师应该指
导学生如何进行角度制和弧度制之间的换算。教师可以给学生一些例子，并通过讲解解题思路，让学生理解如何将角度制转换为弧度制，以及如何将弧度制转换为角度制。
5.练习（30分钟）
为了帮助学生掌握弧度制及其与角度制的换算，教师应该
给学生留出足够的练习时间。教师可以为学生提供一系列的练习题，让他们在课堂上独自或与同伴联合解答。
6.讲解（10分钟）
高中数学同步学案 弧度制
1.1.2 弧度制
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系．
2．理解“弧度的角”的定义,掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)
3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
1.通过本节课的学习,了解引入弧度制的必要性,理解定义,熟练角度制与弧度制的转换,提升学生数学抽象的核心素养．
2．在类比和数学运用过程中,更好形成弧度概念,建立角的集合与实数集的一一对应关系,培养了学生数学建模和数学运算的核心素养.
1．度量角的两种单位制 (1)角度制
①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1
360．
(2)弧度制
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算
思考：比值l
r
与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关． 3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
弧度
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
3π
2
2π5．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0＜α＜2π)为其圆心角,则：
(1)弧长公式：l＝αR．
(2)扇形面积公式：S＝
1
2
lR＝
1
2
αR2．
1．下列说法中错误的是( )
A．1弧度的角是周角的
1
360
B．弧度制是十进制,而角度制是六十进制
C．1弧度的角大于1度的角
高一数学高效课堂资料学案二 弧度制和弧度制与角度制的换算
探究一 弧度制的概念
1.圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过
程中，射线上的任意一点（端点除外）必然形成一条 圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的， 如AB弧、AB弧……，但都对应同一个 圆心角.
容易发现，在这些同心圆中，同一圆心角α所对的弧 与它所在圆的半径的比值是一个常数，即
①抓关系：抓住关系式π rad=180°是关键.②巧转换：
由它可以得到：度数× =弧度数；弧度数×( 180 )°
180
=度数.
(2)对于一些特殊角的弧度数与度数对应的值在以后解决问题
时经常用到，要熟记.
探究三 弧长公式与扇形面积公式
观察弧长、扇形面积公式，思考下列问题：
l r，S 1 lr. 2
12
12 2
S＝1 lr＝1 6＝3 cm2 ． 2 22 2
3．圆的半径变为原来的 1，而弧长不变，该弧所对的圆心
2
角是原来的_______倍．
【解析】 l r， l ，∵半径变为原来的 1，弧长不变，
r
2
∴圆心角变为
l r
2l r
2.
答案：2
2.根据弧长公式l=αr及扇形面积公式 S 1 lr 可求得.
2
3.设出各量，构造扇形面积S的函数再求最值.
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1.1.2 2019-2020学年高一数学《112 弧度
制》学案
【教学目标】
① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
② 认识弧长公式，能进行简单应用. 【教学重难点】
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
复习案：1.在00~360o 范围内，找出与0
510-终边相同的角，并指出它是第几象限角？
新授探究案：
1.提出问题：初中的角是如何度量的？度量单位是什么？1度的角是怎样定义的呢？
2.定义：
(1)长度等于___________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作ra d 。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做___________。
(2)正角的弧度数是一个______,负角的弧度数是一个_______,零角的弧度数是______.
(3)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是_______.
3．角度制与弧度制如何换算？ 3602π=rad 180π=rad
180
1π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈ 归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
例1(1)0252 （2）0210- (4) 01200
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22 º30′ （2）—160º (3) 0135
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)
4
π
变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—3
4π （3）103π
例3：利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
211(1);(2);(3)22
l R s R S lR αα===
课后练习案：
1、半径变为原来的
12
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。 2、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
3. 0140_____rad = 07______8rad π= 05______6
rad π= 075____rad = 0390____rad = 06_____5rad π= 4.下列各组角中，终边相同的是（ ）
.2,44
A k k k Z ππππ+±∈与 .,22k
B k k Z πππ+∈与 2.2,33
c k k k Z ππππ-+∈与 .(21)3,D k k Z ππ+∈与