推荐版高考物理二轮复习第一板块力学选择题锁定9大命题区间第6讲掌握“两条定律”破解天体运动问题讲义

第6讲 ⎪⎪掌握“两条定律”，破解天体运动问题[考法·学法]一、抓住两条基本思路，求解天体质量、密度基础保分类考点[全练题点]1．宇航员在地球上的水平地面将一小球平抛，使小球产生一定的水平位移，当他登陆一半径为地球半径2倍的天体后，站在该天体水平地面上以和在地球上完全相同的方式平抛小球，测得小球的水平位移大约是地球上平抛时的4倍，宇航员由此估算该天体的质量M 1约为(式中M 为地球的质量)( ) A ．M 1＝12M B ．M 1＝2MC ．M 1＝14MD ．M 1＝4M解析：选C 根据平抛规律可计算星球表面重力加速度，竖直方向h ＝12gt 2，水平方向x ＝vt ，可得g 1＝116g ，再由星球表面万有引力公式G Mm R 2＝mg ，R 1＝2R ，可得M 1＝M4，C 正确。

2．[多选]被誉为嫦娥5号“探路尖兵”的载人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为嫦娥5号任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础。

已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s ，航天器与月球的中心连线扫过的角度为θ，引力常量为G ，则( ) A ．航天器的轨道半径为θs B ．航天器的环绕周期为2πtθC ．月球的质量为s 3Gt 2θD ．月球的密度为3θ24πGt2解析：选BCD 根据几何关系得：r ＝sθ，故A 错误；经过时间t ，航天器与月球的中心连线扫过的角度为θ，则：t T ＝θ2π，得：T ＝2πtθ，故B 正确；由万有引力充当向心力而做圆周运动，所以：G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，所以：M ＝4π2r 3GT 2＝4π2⎝ ⎛⎭⎪⎫s θ3G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt θ2＝s 3Gt 2θ，故C 正确；人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，月球的半径等于r ，则月球的体积：V ＝43πr 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫s θ3 ，月球的密度：ρ＝M V ＝s 3Gt 2θ43π⎝ ⎛⎭⎪⎫s θ3＝3θ24πGt 2，故D 正确。

3.[多选](2018届高三·湖南师大附中调研)某行星外围有一圈厚度为d 的发光带(发光的物质)，简化为如图甲所示模型，R 为该行星除发光带以外的半径。

现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确地观测，发现发光带绕行星中心的运行速度v 与到行星中心的距离r 的关系如图乙所示(图中所标为已知)，则下列说法正确的是( )A ．发光带是该行星的组成部分B ．该行星的质量M ＝v 02RGC ．行星表面的重力加速度g ＝v 02RD ．该行星的平均密度为ρ＝3v 02R4πG R ＋d3解析：选BC 若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v ＝ωr ，v 与r 应成正比，与图像不符，因此发光带不是该行星的组成部分，故A 错误；设发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：G Mm r 2＝m v 2r ，得该行星的质量为：M ＝v 2r G ；由题图乙知，r ＝R 时，v ＝v 0，则有：M ＝v 02RG ，故B 正确；当r ＝R 时有mg＝m v 02R ，得行星表面的重力加速度g ＝v 02R ，故C 正确；该行星的平均密度为ρ＝M43πR3＝3v 024πGR2，故D 错误。

[全能备考]1．求解天体质量和密度的两条基本思路(1)由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR。

(2)由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2，平均密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3。

若卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2。

可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

2．估算天体质量和密度时的三个易误区 (1)不考虑自转时，有GMm R 2＝mg ，若考虑自转，则在两极上才有：G MmR2＝mg ，而赤道上则有G Mm R 2－mg ＝m 4π2T 自2R 。

(2)利用G Mm r 2＝m 4π2T2r 只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。

(3)注意区分轨道半径r 和中心天体的半径R ，计算中心天体密度时应用ρ＝M43πR 3，而不是ρ＝M43πr 3。

二、结合匀速圆周运动模型考查万有引力定律重难增分类考点[典题例析][典例] (2016·全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。

目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6倍。

假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A ．1 h B ．4 h C ．8 hD ．16 h[解析] 选B 万有引力提供向心力，对同步卫星有：GMm r 2＝mr 4π2T 2，整理得GM ＝4π2r 3T2 当r ＝6.6R 地时，T ＝24 h若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R 地 三颗同步卫星A 、B 、C 如图所示分布。

则有4π26.6R 地3T 2＝4π22R 地3T ′2解得T ′≈T6＝4 h ，选项B 正确。

[通法点拨]天体运行参量比较问题的两种分析方法 1．定量分析法 (1)列出五个连等式：G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r 。

(2)导出四个表达式：a ＝G Mr 2，v ＝GMr ，ω＝ GMr 3，T ＝ 4π2r3GM。

(3)结合r 大小关系，比较得出a 、v 、ω、T 的大小关系。

2．定性结论法将下述结论牢记于心：r 越大，向心加速度、线速度、动能、角速度均越小，而周期和能量均越大。

[集训冲关]1．[多选](2017·江苏高考)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。

与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km 的圆轨道上飞行，则其( ) A ．角速度小于地球自转角速度 B ．线速度小于第一宇宙速度 C ．周期小于地球自转周期D ．向心加速度小于地面的重力加速度解析：选BCD “天舟一号”在距地面约380 km 的圆轨道上飞行时，由G Mm r2＝m ω2r 可知，半径越小，角速度越大，则其角速度大于同步卫星的角速度，即大于地球自转的角速度，A 项错误；由于第一宇宙速度是最大环绕速度，因此“天舟一号”在圆轨道的线速度小于第一宇宙速度，B 项正确；由T ＝2πω可知，“天舟一号”的周期小于地球自转周期，C 项正确；由G Mm R 2＝mg ，G Mm R ＋h2＝ma 可知，向心加速度a 小于地球表面的重力加速度g ，D 项正确。

2．2016年2月1日15点29分，我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五颗新一代北斗导航卫星。

该卫星质量为m ，轨道离地面的高度约为地球半径R 的3倍。

已知地球表面的重力加速度为g ，忽略地球自转的影响。

则( ) A ．卫星的绕行速率大于7.9 km/sB ．卫星的绕行周期约为8π2R gC ．卫星所在处的重力加速度大小约为 g4D ．卫星的动能大小约为mgR8解析：选D 7.9 km/s 是第一宇宙速度，是卫星最大的环绕速度，所以该卫星的速度小于7.9 km/s ，故A 错误；在地球表面质量为m 0的物体，有GMm 0R2＝m 0g ，所以有GM ＝gR 2，用M 表示地球的质量，m 表示卫星的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm4R2＝m 4π2T 2·4R ＝mg ′＝m v 24R，解得卫星的绕行周期约为T ＝16πRg，卫星所在处的重力加速度大小约为 g ′＝g 16，卫星的动能大小约为E k ＝12mv 2＝mgR8。

故B 、C 错误，D 正确。

3.(2016·四川高考)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。

1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上。

设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )A ．a 2＞a 1＞a 3B ．a 3＞a 2＞a 1C ．a 3＞a 1＞a 2D ．a 1＞a 2＞a 3解析：选 D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有GMm 1R ＋h 12＝m 1a 1，即a 1＝GM R ＋h 12，对于东方红二号，有GMm 2R ＋h 22＝m 2a 2，即a 2＝GM R ＋h 22，由于h 2＞h 1，故a 1＞a 2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a ＝ω2r ，故a 2＞a 3，所以a 1＞a 2＞a 3，选项D 正确，选项A 、B 、C 错误。

三、结合发射或探月，考查卫星变轨问题重难增分类考点[典题例析][典例] [多选]发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。

轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是( )A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度 [思路点拨][解析] 选BD 对于卫星来说，万有引力提供向心力，有GMm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝ma ，得v ＝GMr，ω＝ GM r 3，a ＝GMr2，又r 3>r 1，则v 3<v 1，ω3<ω1，故A 错误，B 正确。

轨道1上的Q 点与轨道2上的Q 点为同一位置，故加速度a 相同，同理，轨道2上的P 点与轨道3上的P 点加速度也相同，故C 错误，D 正确。

[通法点拨]1．两类变轨问题辨析(1)加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即F 引<mv 2r，卫星做离心运动，轨道半径将变大。