高等数学上册课件

实数集： R QI .
有理数集 （无理数集、实数集）的稠密性：任意两 个不同的有理数（无理数、实数） 之间都有无穷多 个有理数 （无理数、实数）。 ab b) (ab a 2 实数集的连续性： 实数集与数轴上点的集合之间建 立一 一对应关系。
2 1
.
.
. . o 1
2
.
x
“ 数x ”
书写工整！每周收交作 业 业总数的 1 3。作业的收交 作
和完成情况有一个较详 细的登记，并给出平时 业成绩以 10％ 记入期末总评成绩。
4. 辅导答疑：
时间：待定；地点：南
电话： 15020063032
堂 112 答疑室。
《高等数学练习册》 发放时间、地点及相关要求：
时 间：星期二、三、五（9月20、21、23日） 下午 3：00 — 5：00
o

1 1 13 1 5 2 3 7 8 4 38 2 8 3 4 8
y R( x )



1
x
三. 函数的初等性质
设 y f ( x) , x D . 1．函数的有界性 (1) 若 M 0 , x D f ( x) M , 则称 f ( x ) 在 D 上有界 . (2)若 p ( q ) R, x D f ( x ) p ( f ( x ) q ) , 则称 f ( x ) 在 D 上有上( 下 )界 .
1 2

1
y f ( x)
o
x
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 f ， 并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过 x 的最大整数” . 记作： y [ x] , x R . 称为取整函数
例如：[5.3]= 5 ， [ - 4.9]= 5 .
y
4 3 2 1
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x2 )
x o
o
D
D
x
则称 f ( x ) 当 f ( x )在 D 上单调递增或单调递减 时， 在 D 上是单调 的; f ( x ) 为D 上的单调函数 .
如果 x1 , x2 D, 当 x1 x2时,
恒 有:
f ( x1 ) ( ) f ( x2 ),
D 称为函数 f 的定义域，数 x 对应的数 y 称为 x 的函数值，记作 y f ( x ) ; 函数值的集合：
f ( D) { y y f ( x), x D} M R 称为函数 f 的值域 .
函数传统的习惯符号： y f ( x ) ，
x D .
注意： 定义中的对应法则
工科各专业的后续专 业课的关键和保障。
高等数学的基本内容和方法
高等数学是在实数范围 内，用极限的方法，研 究 函数（主要是初等函数或少 量非初等函数） 性质
的一门课 .
其主要内容包括： 一元函数微积分
函数与极限， 导数、微分及其应用， 不定积分与定积分及其 广义积分 .
1 , 当 x0, sgn x 0 , 当 x 0 , 例3 符号函数 1 , 当 x 0 . x x sgn x ,
sgn x 起了 x 的符号的作用.
（Dirichle,t 1805 1859, 德国） 例4 狄利克莱 函数 1 , 当 x 是有理数时, D( x ) 0 , 当 x 是无理数时.
1.1 函数的概念及其初等性质
1.1.1 预 备 知 识
1.一些常用的符号
“对每一个” . : 表示“对任意一个”或 “至少有一个” . ：表示“存在一个”或 “ 若，则”. ：表示“可推出”或
或充分必要” ：表示“当且仅当”“ 或“等价” .
2.实数集 自然数集： N * {0,1,2,} , 正整数集： Z ( N ) {1,2,3,} ,
实数集是连续的或完备的。
在高等数学中，数与点 说成 “ 点x ” ，反之亦然 .
不加区别，常将
3.常用不等式:
x , x0, 绝对值 : x R , x x , x 0 .
1 . x R, x 0 .
o
2 . x R, x x x .
Z {， 1 ， 0， 1 ， } ， 负整数集： Z {， 2,1} , 整数集：
p ( p, q Z , 有理数： 无限循环小数 或凡能表示为 q
q 0 ) 形式的数 .
p 无限不循环小数 或表示不成 形式的数 . 无理数： q
有理数、 无理数统称为实数.
有理数集： Q {全体有理数 }, 无理数集： I {全体无理数 },
6 . ( 平均值不等式 ) 设 ai 0, i 1,2,, n . 则
o
a1 a2 an a1a2 an 1 1 1 n a1 a2 an ( 几何平均值 ) ( 算术略）
4.邻域: 点 x0 的 实心邻域 : U ( x0 , )
2．函数的单调性
设 y f ( x ) , x D.
恒 有 : f ( x1 ) ( > ) f ( x2 ), （减） 则 称 函 数 f ( x )在 区 间 D上 是单 调 递 增 的.
y
如果 x1 , x2 D, 当 x1 x2时,
y f ( x)
f ( x1 )
y
{ x x x0 } ( x0 , x0 ) .
点 x0 为邻域的中心,
x0
0, 为邻域的半径 .
x0
O
x0
x
点 x0 的 空心邻域：U ( x0 , )
{ x 0 x x0 } ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) .
记作： y { x} , x R . 即 y { x} x [ x] , x R .
显然， x R, 有 0 { x} 1 , x [ x] { x} .
y
1
称为非负小数部分函数
y { x}
1 2
4 3 2 1 o

3
4
x
2. 上课纪律：
不迟到，不早退，不旷 课，累计缺课超过该课程授 机，严禁上课玩手机 ！
上课必须关闭手 课学时的1 3，不得参加期末考试；
3. 作业： 练习册上的习题为必做 题， （其中每 一章的测验题、往年的 期中期末考试题、期末 模
拟题、课本上的练习题
均为选做题，不交。）
作业要按数学排版格式 一次，每次重点批改作
当 n x n 1 (n Z ) 时，
y [ x]
[ x] n
显然， x R, 有 x 1 [ x] x .
（求极限时有用）
-4 -3 -2 -1 o
-1 1 2 3 4 5 -2 -3 阶梯曲线 -4
x
例2 “ x R, 对应的 y x [ x]” .
定理 函数 f ( x ) 在 D 上有界 函数 f ( x ) 在 D
上既有上界又有下界 .
(3) 若 M 0,xM D f ( xM ) M , 则称 f ( x ) 在 D 上无界.
1 例6 证 明 ： f ( x ) 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无 界 ， x 在 任 何 不 包 含 原 点 的区 闭 间[a , b] 上 有 界. 1 1 证 M ( M ) 0 , x M : 0 x M , M 1 f ( xM ) M. xM 1 f ( x ) 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界; x 而 x [a, b（不包含原点） ] , 即 a xb , 1 1 1 1 , f ( x ) 在 [a , b] 上有界 . b x a x
x0
x0
x0
x
1.1.2 函数的概念
一. 函数的定义 定义 设给定两个非空实数集D 和 M . 若 x D, 按照某种对应法则 f , 对应 唯一确定 的一个实数 y M , 则称 f 是定义在 D 上的函数， 表示为： f : D M ( x y f ( x) )
o
3 . x h (h 0) h x h .
o
4 . x h (h 0) x h 或 x h .
o
5o. x, y R , x y x y x y .
三角不等式 更一般地， xi R (1 i n) , 有
x1 x2 xn x1 x2 xn .
(1) 若x D, f ( x ) f ( x ), 则称 f ( x ) 为偶函数；
否则，f ( x ) 称为非奇非偶函数.
例7 设 f ( x ) 为定义在 ( l , l ) (l 0) 内的任意函数 , 证明 f ( x ) 在 ( l , l ) 内能表成奇函数与偶函
则 称 函 数 f ( x )在 区 间 D上 是单 调 不 减( 增) .
y
y f ( x)
f ( x2 )
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
D
x
o
D
x
3．函数的奇偶性
设 f ( x) 在 D 上定义，且 D 关于原点对称 ,
. (2) 若x D, f ( x ) f ( x ), 则称 f ( x ) 为奇函数
y
1
y D( x )
•
x
y
1
y sgn x