最新2018年福建省中考数学试卷(A)及答案
2018福建中考数学A卷解析
2018年福建省中考数学A试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．-、-2、0、π中，最小的数是（）1．（2018福建A卷，1，4）在实数3- B.-2 C. 0 D. πA．3【答案】B-=3，根据有理数的大小比较法则（正数大于零，负数都小于零，正数大于一切负数，比较即可．解：【解析】∵3-＜π，∴最小的数是-2．故选C．∵-2＜0＜3【知识点】有理数比较大小2．（2018福建A卷，2，4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆柱 B.三棱柱 C.长方体 D.四棱锥【答案】C【解析】思路一：充分发挥空间想象能力，让俯视图根据主视图长高，再利用左视图进行验证即可．思路二：分别根据球，圆柱，圆锥，立方体的三视图作出判断．三棱柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形；四棱锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是有对角线的四形；长方体的三视图都是长方形，由此得这个几何体是长方体，故选C．【知识点】三视图的反向思维3．（2018福建A卷，3，4）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )A．1，1，2 B.1，2，4C. 2，3，4D.2，3，5【答案】C【解析】三数中，若最小的两数和大于第三数，符合三角形的三边关系，则能成为一个三角形三边长，否则不可能．解：∵1＋1=2 ，∴选项A不能；∵1＋2＜4，∴选项B不可能；∵2＋3＞4，∴选项C能；∵2＋3=5，∴选项D不能．故选C．【知识点】三角形三边的关系4．（2018福建A卷，4，4）一个n边形的内角和是360°，则n等于( )A．3 B.4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】先确定该多边形的内角和是360゜，根据多边形的内角和公式，列式计算即可求解．解：∵多边形的内角和是360゜，∴多边形的边数是：360゜=(n-2)×180°，n=4.【知识点】多边形；多边形的内角和5．（2018福建A卷，5，4）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于( )A．15° B.30° C. 45° D. 60°【答案】A【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB=60°，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD ，AD 是BC 的垂直平分线，∴BE=CE ，∴∠EBC =∠ECB=45°，∴∠ECA=-60°-45°=15°. 【知识点】等边三角形性质，三线合一 6．（2018福建A 卷，6，4）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是( )A ．两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B. 两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C. 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D. 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 【答案】D【解析】事先就知道一定能发生的事件是必然事件，所以两枚骰子向上一面的点数之和大于1是必然事件；事先知道它有可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件，所以两枚骰子向上一面的点数之和等于12是随机事件；事先知道它一定不会发生的事件是不可能事件，所以两枚骰子向上一面的点数之和等于1、两枚骰子向上一面的点数之和大于12是不可能事件.故选D.【知识点】必然事件；随机事件；不可能事件；7. （2018福建A 卷，7，4）已知43m m 的估算正确的是( ) A ．23m << B. 34m << C. 45m << D. 56m << B【答案】B【解析】本题考查了算术平方根的估算．解：因为1＜3＜4134132<42=，∴34m <<．故选B ．【知识点】算术平方根的概念及求法8. （2018福建A 卷，8，4）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是 ( )A ．5152x y x y ì=+ïí=-ïî B. 5152x y x y ì=-ïí=+ïî C. 525x y x y ì=+ïí=-ïî D. 525x y x y ì=-ïí=+ïî【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系.由“绳索比竿长5尺”，可得x =y +5；再根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，可列得方程152x y =-.所以符合题意的方程组是5152x y x y ì=+ïí=-ïî.【知识点】二元一次方程组的实际应用9. （2018福建A 卷，9，4）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于 ( )A ．40° B. 50° C. 60° D. 80°【答案】D【解析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求出结果. 解：∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°，∵∠ACB =50°，∴∠A =90°-∠A C B =40°，∠BOD =2∠A =80°. 【知识点】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理10.（2018福建A 卷，10，4）已知关于x 的一元二次方程()()21210a x bx a ++++=有两个相等的实数根，下列判断正确的是 ( )A ．1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 B.0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 C.1和-1都是关于x 的方程20x bx a ++=的根 D. 1和-1不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根【答案】D【解析】根据一元二次方程有两个相等的，方程根的判别式等于零，从而建立关于a 、b 的等式，再逐一判断20x bx a ++=根的情况即可. 解：由关于x 的方程()()21210a x bx a ++++=有两个相等的实数根，所以△=0，所以错误!未找到引用源。
2018年福建省中考数学试卷A卷含参考解析
2018年福建省中考数学试卷A卷含参考解析2018年中考数学试卷（A卷）..参考答案与试题解析..一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共40分）1．（4.00分）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是..（）A．|﹣3|B．﹣2 C．0 D．π【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，.|﹣3|=3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，故最小的数是：﹣2．故选：B．2．（4.00分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是..（）A．圆柱B．三棱柱C．长方体D．四棱锥【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得..【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意；B、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意；C、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意；D、四棱锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图是四边形，不符合题意；故选：C．3．（4.00分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．故选：C．4．（4.00分）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：（n﹣2）•180=360，解得n=4．故选：B．5．（4.00分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，故选：A．6．（4.00分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；故选：D．7．（4.00分）已知m=+，则以下对m的估算正确的（）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6【分析】直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵m=+=2+，1＜＜2，∴3＜m＜4，8．（4.00分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．B．C．D．【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：．故选：A．9．（4.00分）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，10．（4.00分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．二、细心填一填（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上）11．（4.00分）计算：（）0﹣1=0．【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）进行计算即可．【解答】解：原式=1﹣1=0，故答案为：0．12．（4.00分）某8种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118，124，则这组数据的众数为120．【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数．【解答】解：∵这组数据中120出现次数最多，有3次，∴这组数据的众数为120，故答案为：120．13．（4.00分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= 3．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=×6=3．故答案为：3．14．（4.00分）不等式组的解集为x＞2．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＞2，∴不等式组的解集为x＞2，故答案为：x＞2．15．（4.00分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=﹣1．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF﹣BC=1+﹣2=﹣1，故答案为：﹣1．16．（4.00分）如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为6．【分析】根据双曲线y=过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y=x+m代入y=，整理得x2+mx﹣3=0，由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，所以a、b是方程x2+mx﹣3=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=﹣m，ab=﹣3，那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形=AC•BC=m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m=0的面积公式得出S△ABC时，△ABC的面积有最小值6．【解答】解：设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y=x+m代入y=，得x+m=，整理，得x2+mx﹣3=0，则a+b=﹣m，ab=﹣3，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．=AC•BC∵S△ABC=（﹣）（a﹣b）=••（a﹣b）=（a﹣b）2=（m2+12）=m2+6，∴当m=0时，△ABC的面积有最小值6．故答案为6．三、专心解一解（本大题共9小题，满分86分，请认真读题，冷静思考解答题应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）17．（8.00分）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，②﹣①得：3x=9，解得：x=3，把x=3代入①得：y=﹣2，则方程组的解为．18．（8.00分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．19．（8.00分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m=+1．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题．【解答】解：（﹣1）÷===，当m=+1时，原式=．20．（8.00分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．【分析】（1）作∠A'B'C=∠ABC，即可得到△A'B′C′；（2）依据D是AB的中点，D'是A'B'的中点，即可得到=，根据△ABC∽△A'B'C'，即可得到=，∠A'=∠A，进而得出△A'C'D'∽△ACD，可得==k．【解答】解：（1）如图所示，△A'B′C′即为所求；（2）已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，===k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，求证：=k．证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，∴AD=AB，A'D'=A'B'，∴==，∵△ABC∽△A'B'C'，∴=，∠A'=∠A，∵=，∠A'=∠A，∴△A'C'D'∽△ACD，∴==k．21．（8.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．【解答】解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°，AD=AB=10，∴∠ABD=45°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠BDF=∠ABD=45°；（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AB=8，AB=AD=10，∴AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5．22．（10.00分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日搅件数超过40，超过部分每件多提成2元．如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图：（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，井说明理由．【分析】（1）根据概率公式计算可得；（2）分别根据平均数的定义及其意义解答可得．【解答】解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有4天，所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率为=；（2）①甲公司各揽件员的日平均件数为=39件；②甲公司揽件员的日平均工资为70+39×2=148元，乙公司揽件员的日平均工资为=[40+]×4+×6=159.4元，因为159.4＞148，所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．23．（10.00分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；（2）设AD=xm，利用矩形面积得到S=x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a2．【解答】解：（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10，答：AD的长为10m；（2）设AD=xm，∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a ﹣a2．24．（12.00分）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE ⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【分析】（1）先判断出BC∥DF，再利用同角的补角相等判断出∠F=∠PCB，即可得出结论；（2）先判断出四边形DHBC是平行四边形，得出BC=DH=1，再用锐角三角函数求出∠ACB=60°，进而判断出DH=OD，求出∠ODH=20°，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB，∴∠PBC=∠PCB，∴PC=PB；（2）如图2，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥DC，∵BC∥DE，∴四边形DHBC是平行四边形，∴BC=DH=1，在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，∴∠ACB=60°，∴BC=AC=OD，∴DH=OD，在等腰三角形DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，设DE交AC于N，∵BC∥DE，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠DOC=20°，∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC∥DE，∴∠BDE=∠CBD=20°．25．（14.00分）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．【分析】（1）由抛物线经过点A可求出c=2，再代入（﹣，0）即可找出2a﹣b+2=0（a≠0）；（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b=0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解；②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣+2）、点N的坐标为（x2，﹣+2），由O、M、N三点共线可得出x2=﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），∴c=2．又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，∴a（﹣）2+b（﹣）+c=0，∴2a﹣b+2=0（a≠0）．（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，∴b=0．∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，∴△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°，又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC•cos30°=，OD=OC•sin30°=1．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．∵点C在抛物线上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2．②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．直线OM的解析式为y=k1x（k1≠0）．∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且=，∴﹣x1+=﹣x2+，∴x1﹣x2=﹣，∴x1x2=﹣2，即x2=﹣，∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP=2OA=4，∴点P的坐标为（0，4）．设直线PM的解析式为y=k2x+4，∵点M的坐标为（x，﹣+2），∴﹣+2=k2x1+4，∴k2=﹣，∴直线PM的解析式为y=﹣+4．∵﹣•+4==﹣+2，∴点N′在直线PM上，∴PA平分∠MPN．。
2018年福建省中考数学A卷试卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共34页） 数学试卷 第2页（共34页）绝密★启用前福建省2018年初中学业毕业和高中阶段学校招生考试（A 卷）数 学（本试卷满分150分,考试时间120分钟）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在实数3-，2-，0，π中，最小的数是（ ）A .3-B .2-C .0D .π 2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）A .圆柱B .三棱柱C .长方体D .四棱锥3.下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）A .1，1，2B .1，2，4C .2，3，4D .2，3，5 4.一个n 边形的内角和为360°，则n 等于（ ）A .3B .4C .5D .65.如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，则ACE ∠等于（ ）A .15°B .30°C .45°D .60°6.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）A .两枚骰子向上一面的点数之和大于1B .两枚骰子向上一面的点数之和等于1C .两枚骰子向上一面的点数之和大于12D .两枚骰子向上一面的点数之和等于12 7.已知m =m 的估算正确的（ ）A .23m ＜＜B .34m ＜＜C .45m ＜＜D .56m ＜＜8.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A .5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩B .5152x y x y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩C .525x y x y =+⎧⎨=-⎩D .525x y x y =-⎧⎨=+⎩9.如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点B ，AC 交O 于点D ，若50ACB ∠=︒°，则BOD ∠等于（ ）A .40°B .50°C .60°D .80°10.已知关于x 的一元二次方程21210a x bx a ++++=（）（）有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ）A .1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根B .0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根C .1和1-都是关于x 的方程20x bx a ++=的根D .1和1-不都是关于s x 的方程20x bx a ++=的根毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共34页） 数学试卷 第4页（共34页）第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请把答案填在题中的横线上）11.计算：01-=⎝⎭.12.某8种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118，124，则这组数据的众数为 .13.如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AB =，D 是AB 的中点，则CD = .14.不等式组31320x x x ++⎧⎨-⎩＞＞的解集为 .15.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上.若AB CD = .16.如图，直线y x m =+与双曲线3y x=相交于A ，B 两点，BC x ∥轴，AC y ∥轴，则ABC △面积的最小值为 .三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分8分）解方程组：1,410.x y x y +=⎧⎨+=⎩18.（本小题满分8分）如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AD ，BC 分别相交于点E ，F .求证：OE OF =.19.（本小题满分8分）先化简，再求值：22111m m m m +-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中1m =.20.（本小题满分8分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求：（1）根据给出的ABC △及线段A B ''，A A A ∠'∠'=∠（），以线段A B ''为一边，在给出的图形上用尺规作出A B C '''△，使得A B C '''△∽ABC △，不写作法，保留作图痕迹；（2）在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.数学试卷 第5页（共34页） 数学试卷 第6页（共34页）21.（本小题满分8分）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =.线段AD 由线段AB 绕点A按逆时针方向旋转90°得到，EFG △由ABC △沿CB 方向平移得到，且直线EF 过点D .（1）求BDF ∠的大小； （2）求CG 的长.22.（本小题满分10分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资＋揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元； 乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资.若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元.如图是2018年4月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图：（1）现从2018年4月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；（2）根据以上信息，以2018年4月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题： ①估计甲公司各揽件员的日平均件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说明理由.23.（本小题满分10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD MN ≤.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.（1）若20a =，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共34页） 数学试卷 第8页（共34页）24.（本小题满分12分）已知四边形ABCD 是O 的内接四边形，AC 是O 的直径，DE AB ⊥，垂足为E . （1）延长DE 交O 于点F ，延长DC ，FB 交于点P ，如图1.求证：PC PB =； （2）过点B 作BC AD ⊥，垂足为G ，BG 交DE 于点H ，且点O 和点A 都在DE 的左侧，如图2.若AB 1DH =，80OHD ∠=︒，求BDE ∠的大小.25.（本小题满分14分）已知抛物线2y ax bx c =++过点(02)A ，. （1）若点（0）也在该抛物线上，求a ，b 满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点11M x y (，)，22N x y (，)都满足：当1x ＜2x ＜0时，12120x x y y (-)(-)＞；当120x x ＜＜时，12120x x y y (-)(-)＜.以原点O 为心，OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B ，C ，且ABC △有一个内角为60°. ①求抛物线的解析式；②若点P 与点O 关于点A 对称，且O ，M ，N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠.5 / 17福建省2018年初中学业毕业和高中阶段学校招生考试（A 卷）数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】B【解析】解：在实数3-，-2，0，π中，33-=，则203π--＜＜＜，故最小的数是：2-.故选：B. 分析：直接利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案. 2.【答案】C【解析】解：A 、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意；B 、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意；C 、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意；D 、四棱锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图是四边形，不符合题意.故选：C. 分析：根据常见几何体的三视图逐一判断即可得. 3.【答案】C【解析】解：A 、112+=，不满足三边关系，故错误；B 、124+＜，不满足三边关系，故错误；C 、234+＞，满足三边关系，故正确；D 、235+=，不满足三边关系，故错误.故选：C. 分析：根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解. 4.【答案】B【解析】解：根据n 边形的内角和公式，得：2180360n =(-)，解得4n =.分析：n 边形的内角和是2180n (-)，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n .故选：B. 5.【答案】A.【解析】解：∵等边三角形ABC 中，AD BC ⊥， ∴BD CD =，即：AD 是BC 的垂直平分线， ∵点E 在AD 上， ∴BE CE =， ∴EBC ECB ∠=∠，数学试卷 第11页（共34页）数学试卷 第12页（共34页）∵45EBC ∠=︒， ∴45ECB ∠=︒， ∵ABC △是等边三角形， ∴60ACB ∠=︒，∴15ACE ACB ECB ∠=∠-∠=︒. 故选：A.分析：先判断出AD 是BC 的垂直平分线，进而求出45EBC ∠=︒，即可得出结论. 6.【答案】D【解析】解：A 、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；B 、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；C 、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；D 、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；故选：D.分析：根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可. 7.【答案】B【解析】解：∵2m12，∴34m ＜＜.故选：B.. 8.【答案】A【解析】解：设索长为x 尺，竿子长为y 尺，根据题意得：5,1 5.2x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩故选：A.分析：设索长为x 尺，竿子长为y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组. 9.【答案】D【解析】解：∵BC 是O 的切线， ∴90ABC ∠=︒，∴9040A ACB ∠=︒-∠=︒，由圆周角定理得，280BOD A ∠=∠=︒，7 / 17故选：D.分析：根据切线的性质得到90ABC ∠=︒，根据直角三角形的性质求出A ∠，根据圆周角定理计算即可. 10.【答案】D.【解析】解：∵关于x 的一元二次方程21210a x bx a ++++=()()有两个相等的实数根，∴2210(2)4(1)0a b a +≠⎧⎨∆=-+=⎩，，∴1b a =+或(1)b a =-+.当1b a =+时，有10a b +=-，此时1-是方程20x bx a ++=的根； 当(1)b a =-+时，有10a b ++=，此时1是方程20x bx a ++=的根. ∵10a +≠， ∴1(1)a a +≠-+，∴1和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根. 故选：D.分析：根据方程有两个相等的实数根可得出1b a =+或(1)b a =-+，当1b a =+时，1-是方程20x bx a ++=的根；当(1)b a =-+时，1是方程20x bx a ++=的根.再结合1(1)a a +≠-+，可得出1和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根.第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】0【解析】解：原式110==-，故答案为：0. 分析：根据零指数幂：01(0)a a =≠进行计算即可. 12.【答案】120【解析】解：∵这组数据中120出现次数最多，有3次， ∴这组数据的众数为120. 故答案为：120.数学试卷 第15页（共34页）数学试卷 第16页（共34页）分析：根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数. 13.【答案】3【解析】解：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴116322CD AB ==⨯=. 故答案为：3.分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答. 14.【答案】2x ＞【解析】解：313,2x x x ++⎧⎨-⎩＞①＞0,②∵解不等式①得：1x ＞，解不等式②得：2x ＞， ∴不等式组的解集为2x ＞，分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可. 15.1【解析】解：如图，过点A 作AF BC ⊥于F ，在Rt ABC △中，45B ∠=︒，∴2BC =，1BF AF AB ===， ∵两个同样大小的含45︒角的三角尺， ∴2AD BC ==，在Rt ADF △中，根据勾股定理得，DF =∴121CD BF DF BC =+==-，分析：先利用等腰直角三角形的性质求出2BC =，1BF AF ==，再利用勾股定理求出DF ，即可得出结论. 16.【答案】69 / 17【解析】解：设3A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，3B b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则3C a b ⎛⎫⎪⎝⎭，.将y x m =+代入3y x =，得3x m x+=， 整理，得230x mx +=-， 则a b m +=-，3ab =-，∴222))((412a b a b ab m -+=+=-. ∵1•2ABC S AC BC =△ 222133=()213()••()21()21(12)2162a b a b b a a b ab a b m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭-=-=-=+=+ ∴当0m =时，ABC △的面积有最小值6. 分析：根据双曲线3y x =过A ，B 两点，可设3A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，3B b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则3C a b ⎛⎫⎪⎝⎭，.将y x m =+代入3y x =，整理得230x mx +=-，由于直线y x m =+与双曲线3y x =相交于A ，B 两点，所以a 、b 是方程230x mx +=-的两个根，根据根与系数的关系得出a b m +=-，3ab =-，那么222))((412a b a b ab m -+=+=-.再根据三角形的面积公式得出211•622ABC S AC BC m ==+△，利用二次函数的性质即可求出当0m =时，ABC △的面积有最小值6.17.【答案】解：1,410,x y x y +=⎧⎨+=⎩①②②-①得：39x =， 解得：3x =，把3x =代入①得：2y =-，则方程组的解为3,2.x y =⎧⎨=-⎩【解析】分析：方程组利用加减消元法求出解即可.数学试卷 第19页（共34页）数学试卷 第20页（共34页）18.【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA OC =，AD BC ∥， ∴OAE OCF ∠=∠， 在OAE △和OCF △中，,,,OAE OCF OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOE COF △≌△（ASA ）， ∴OE OF =.【解析】分析：由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA OC =，AD BC ∥，继而可证得AOE COF△≌△（ASA ），则可证得结论.19.【答案】解：22111m m m m +-⎛⎫-÷⎪⎝⎭()()2111m m mm m m +-=+-()()111m mm m m +=+-11m =-当1m=时，原式==. 【解析】分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m 的值代入即可解答本题. 20.【答案】（1）解：如图所示，A B C '''△即为所求；（2）已知，如图，ABC A B C '''△∽△，k AB BC A B CA B C A C =='''''='，D 是AB 的中点，D '是A B ''的中点， 求证：DC kD C ''=.证明：∵D 是AB 的中点D '是A B ''的中点， ∴12AD AB =，12A D A B ''=''，∴1212A B AB AB A D A B AD ''''==''， ∵ABC A B C '''△∽△，∴A A CB AB AC =''''，'A A ∠=∠， ∵A A A D AD CC ''''=，'A A ∠=∠， ∴A CD ACD '''△∽△， ∴k CD D C A C CA ''''==. 【解析】分析：（1）作=A B C ABC '''∠∠，即可得到A B C '''△； （2）依据D 是AB 的中点，D '是A B ''的中点，即可得到=，根据ABC A B C '''△∽△，即可得到A A CB AB AC =''''，'A A ∠=∠，进而得出A CD ACD '''△∽△，可得k CD D C A C CA ''''==.21.【答案】解：（1）∵线段AD 是由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到， ∴90DAB ∠=︒，10AD AB ==， ∴45ABD ∠=︒，∵EFG △是ABC △沿CB 方向平移得到， ∴AB EF ∥，∴45BDF ABD ∠=∠=︒；（2）由平移的性质得，AE CG ∥，AB EF ∥， ∴DEA DFC ABC ∠=∠=∠，180ADE DAB ∠+∠=︒， ∵90DAB ∠=︒， ∴90ADE ∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴ADE ACB ∠=∠， ∴ADE ACB △∽△， ∴AD AEAC AB=， ∵8AB =，10AB AD ==， ∴12.5AE =，由平移的性质得，12.5CG AE ==.【解析】分析：（1）由旋转的性质得，10AD AB ==，45ABD ∠=︒，再由平移的性质即可得出结论； （2）先判断出ADE ACB ∠=∠，进而得出ADE ACB △∽△，得出比例式求出AE ，即可得出结论. 22.【答案】解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有4天，所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率为42=3015； （2）①甲公司各揽件员的日平均件数为3813399404413421=3930⨯+⨯+⨯+⨯+⨯件；②甲公司揽件员的日平均工资为70392148+⨯=元，乙公司揽件员的日平均工资为()()3873974085341523630⎡⨯+⨯+⨯++⎤⨯+⨯+⨯⨯⎣⎦ ()()27171523=40463030⎡-⨯+-⨯⎤⨯+⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦=159.4元，因为159.4148＞，所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘. 【解析】分析：（1）根据概率公式计算可得； （2）分别根据平均数的定义及其意义解答可得.23.【答案】解：（1）设m AB x =，则()1002m BC x =-， 根据题意得()1002450x x =-，解得15x =，245x =， 当5x =时，10029020x =-＞，不合题意舍去； 当45x =时，100210x =-， 答：AD 的长为10 m ； （2）设m AD x =， ∴()()21110050125022S x x x ==--+-， 当50a ≥时，则50x =时，S 的最大值为1250；当050a ＜＜时，则当0x a ＜≤时，S 随x 的增大而增大，当x a =时，S 的最大值为21502a a -， 综上所述，当50a ≥时，S 的最大值为1250；当050a ＜＜时，S 的最大值为21502a a -.【解析】分析：（1）设m AB x =，则()1002m BC x =-，利用矩形的面积公式得到()1002450x x =-，解方程得15x =，245x =，然后计算1002x -后与20进行大小比较即可得到AD 的长； （2）设m A D x =，利用矩形面积得到()11002S x x =-，配方得到()215012502S x =--+，讨论：当50a ≥时，根据二次函数的性质得S 的最大值为1250；当050a ＜＜时，则当0x a ＜≤时，根据二次函数的性质得S 的最大值为21502a a -.24.【答案】解：（1）如图1，∵AC 是O 的直径，∴90ABC ∠=︒， ∵DE AB ⊥， ∴90DEA ∠=︒， ∴DEA ABC ∠=∠， ∴BC DF ∥， ∴F PBC ∠=∠，∵四边形BCDF 是圆内接四边形， ∴180F DCB ∠+∠=︒， ∵180PCB DCB ∠+∠=︒， ∴F PCB ∠=∠， ∴PBC PCB ∠=∠， ∴PC PB =；（2）如图2，连接OD ，∵AC 是O 的直径，∴90ADC ∠=︒， ∵BG AD ⊥， ∴90AGB ∠=︒， ∴ADC AGB ∠=∠， ∴BG DC ∥， ∵BC DE ∥，∴四边形DHBC 是平行四边形， ∴1BC DH ==，在Rt ABC △中，AB =tan ABACB BC∠=， ∴60ACB ∠=︒， ∴12BC AC OD ==， ∴DH OD =，在等腰三角形DOH 中，80DOH OHD ∠=∠=︒， ∴20ODH ∠=︒， 设DE 交AC 于N ， ∵BC DE ∥，∴60ONH ACB ∠=∠=︒，∴()18040NOH ONH OHD ∠=︒∠+∠=︒-， ∴40DOC DOH NOH ∠=∠∠=︒-， ∵OA OD =，∴1202OAD DOC ∠=∠=︒， ∴20CBD OAD ∠=∠=︒， ∵BC DE ∥，∴20BDE CBD ∠=∠=︒.【解析】分析：（1）先判断出BC DF ∥，再利用同角的补角相等判断出F PCB ∠=∠，即可得出结论； （2）先判断出四边形DHBC 是平行四边形，得出1BC DH ==，再用锐角三角函数求出60ACB ∠=︒，进而判断出DH OD =，求出20ODH ∠=︒，即可得出结论.25.【答案】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++过点2(0)A ，， ∴2c =.又∵点(0)也在该抛物线上，∴2((0a b c +=+，∴220(0)a a +=≠.（2）①∵当120x x ＜＜时，1212()()0x x y y --＞， ∴120x x -＜，120y y -＜，∴当0x ＜时，y 随x 的增大而增大； 同理：当0x ＞时，y 随x 的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向下， ∴0b =.∵OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ， ∴ABC △为等腰三角形， 又∵ABC △有一个内角为60°， ∴ABC △为等边三角形.设线段BC 与y 轴交于点D ，则BD CD =，且30OCD ∠=︒， 又∵2OB OC OA ===，∴•cos30CD OC =︒=，•sin301OD OC =︒=.不妨设点C 在y 轴右侧，则点C 的坐标为1)-. ∵点C 在抛物线上，且2c =，0b =， ∴321a +=-， ∴1a =-，∴抛物线的解析式为22y x =+-.②证明：由①可知，点M 的坐标为211(2)x x -+，，点N 的坐标为222(2)x x -+，. 直线OM 的解析式为11(0)y k x k =≠. ∵O 、M 、N 三点共线，∴10x ≠，20x ≠，且22121222x x x x -+-+=， ∴121222x x x x -+=-+， ∴1212122()x x x x x x =---， ∴122x x =-，即212x x =-， ∴点N 的坐标为211242x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,-. 设点N 关于y 轴的对称点为点N '，则点N '的坐标为211242x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,-. ∵点P 是点O 关于点A 的对称点， ∴24OP OA ==，∴点P 的坐标为(04)，. 设直线PM 的解析式为24y k x =+， ∵点M 的坐标为21(2)x x +，-， ∴212124x k x +=+-，∴21212x k x +=-，∴直线PM 的解析式为21124x y x +=-+.∵22211122111122(2)4244==2x x x x x x x +-++-+-+， ∴点N '在直线PM 上， ∴PA 平分MPN ∠.【解析】分析：（1）由抛物线经过点A 可求出2c =，再代入(0)即可找出220(0)a a +=≠； （2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向下，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC △为等腰三角形，结合其有一个60︒的内角可得出ABC △为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；②由①的结论可得出点M 的坐标为211(2)x x -+，、点N 的坐标为222(2)x x -+，，由O 、M 、N 三点共线可得出212x x =-，进而可得出点N 及点N '的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N '在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠s.。
2018年福建中考数学A卷试题解析
2018年福建省中考数学A 卷 满分：150分 版本：人教版一、选择题（每小题4分，共10小题，合计40分）1．（2018·福建，1，3分）在实数3-、π、0、–2中，最小的数是 A ．3-B ．–2C ．0D ．π答案：B .解析：负数最小，故选B .2．（2018·福建，2，3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是A ．圆柱B ．三棱柱C ．长方体D ．四棱锥答案：C .解析：从三视图可得，该几何体为长方体.3. （2018·福建，3，3分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是 A ．1、1、2B ．1、2、4C ．2、3、4D ．2、3、5答案：C .解析：C 中，2＋3＞4，满足三边关系，其余选项不满足.4. （2018·福建，4，3分）一个n 边形的内角和360°，则n 等于 A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B .解析：(n －2)×180°＝360°，解得n ＝4.5. （2018·福建，5，3分）如图，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于 A ．15° B ．30° C ．45°D ．60°答案：A .解析：∠ACE ＝∠ACD －∠ECD ＝60°－45°＝15°.俯视图6. （2018·福建，6，3分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是 A ．两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B ．两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C ．两枚骰子向上一面的点数之和大于12D ．两枚骰子向上一面的点数之和等于12答案：D .解析：A 为必然事件，B 、C 为不可能事件.7. （2018·福建，7，3分）m ＝4 ＋3，则以下对m 的估算正确的是 A ．2＜m ＜3B ．3＜m ＜4C ．4＜m ＜5D ．5＜m ＜6答案：B .解析:m ＝2＋3,134＜＜，3＜m ＜4 .8. （2018·福建，8，3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是A ．⎪⎩⎪⎨⎧-=+=5215y x y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧+=-=5215y x y xC ．⎩⎨⎧-=+=525y x y xD ．⎩⎨⎧+=-=525y x y x答案：A .解析:由题意列出方程，为A .9．（2018·福建，9，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB ＝50°，则∠BOD 等于A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°答案：D .解析:∠ABC ＝90°，∴∠A ＝40°，∠DOB ＝2∠A ＝80°.10．（2018·福建，10，3分）已知一元二次方程0)1(2)1(2=++++a b x a 有两个相等的实数根，则下面选项正确的是. A ．1一定不是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根B ．0一定不是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根C ．1和–1都是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根D ．1和–1不都是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根.答案：D .解析:由已知，△()224140a b =+-=，∴a ＋1＝b ，或a ＋1＝－b ，即1－b ＋a ＝0，或1＋b ＋a ＝0，∴1或－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根，当1和－1都是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根时，有a ＋1＝b ＝0，∴a ＝－1，∴不满足原方程为一元二次方程.所以1或－1中仅有一个是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根， 二、填空题：本大题共8个题，每小题4分，满分32分．11．（2018·福建，11，4分）计算：1220-⎪⎪⎭⎫⎝⎛＝ . 答案：0.解析: 021=0.2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭12．（2018·福建，12，4分）某8种食品所含的热量值分别为：120、134、120、119、126、120、118、124，则这组数据的众数为______．答案：120.解析:120为这组数中出现次数最多的数.13．（2018·福建，13，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，D 是AB 的中点，则CD ＝______．答案：3.解析:斜边上的中线为斜边一半，∴CD ＝0.5AB ＝3.14．（2018·福建，14，4分）不等式组⎩⎨⎧>-+>+02313x x x 的解集为 ．答案：x ＞2.解析:分别解不等式可得解集为x ＞2.15．（2018·福建，15，4分）把两个同样大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B 、C 、D 在同一直线上，若AB ＝2，则CD ＝ ．答案：31-.解析:解三角形ACD 可得.16．（2018·福建，16，4分）如图，直线y ＝x ＋m 与双曲线xy 3=交于点A 、B 两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，交BC 点C ，则△ABC 面积的最小值是_______．答案：6.解析:当AB 过原点时，AB 最小，则△ABC 的面积最小，最小值为6. 三、解答题：本大题共9个题，满分86分．17．（2018·福建，17，8分）解方程组: 1410x y x y +=⎧⎨+=⎩①②解：②－①得： 3x ＝9，x ＝3， 将x ＝3代入①得： 3＋y ＝1，y ＝－2，∴原方程组的解为：3,2.x y =⎧⎨=⎩－18．（2018·福建，18，8分）如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 过点O 且与 AD ，BC 分别相交于点E ，F ．求证：OE ＝OF ，证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DO ＝OB ，AD ∥BC ， ∴∠EDO ＝∠OBF ， 在△EOD 和△FOB 中， EOD FOBEDO FBO OD OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠, ∴△EOD ≌△FOB (AAS ), ∴OE ＝OF .19．（2018·福建，19，8分）化简求值：m m m m 11122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其中13+=m 解：原式2211=m m m mm m +-⎛⎫-÷⎪⎝⎭()()111=m m m m m+-+÷()()1=11m mm m m +⨯+-1=1m -∵13+=m∴原式＝11313311m ==-+-.20．（2018·福建，20，8分)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC 及线段A B '',∠A '（∠A '＝∠A ）.以线段A B ''为一边，在给出的图形上用尺规作出△C B A '''，使得：△C B A '''∽△ABC .不写作法，保留作图痕迹;②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.解：①如下图，△C B A '''即为所求做的三角形.②已知：△C B A '''∽△ABC ,CD 和C E '分别为AB 和A B ''边上的中线， 求证：'E'CD C ＝'C'BC B . 证明：∵CD 和C E '分别为AB 和A B ''边上的中线，∴BD ＝12AB ,'B E ＝1''2A B , ∴'1''2BD B E AB A B ==, ∴'''BD ABB E A B =, ∵△C B A '''∽△ABC ， ∴∠'''CBA C B A =∠，''''BC ABB C A B =， ∴''C'BD BCB E B =， ∴△B C E ''∽△BCD ， ∴'E'CD C ＝'C'BCB . 21．（2018·福建，21，8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.线段AD 由AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得到，且直线EF 经过点D ，． （1）求∠BDF 的大小； （2）求CG 的长．思路分析：（1）由DF ∥AB ，可得∠FDB ＝∠DBA ＝45°.（2）由平移知AE ＝CG ，易证△ADE ∽△ACB ，从而列比例求解.解：（1）由旋转知，AB ＝AD ，∠DAB ＝90°， ∴∠ABD ＝∠ADB ＝12（180°－90°）＝45°， 由平移知：DF ∥AB ， ∴∠BDF ＝∠ABD ， ∴∠BDF ＝45°，（2）由平移知EG ∥AC ，EG ＝AC ，∴四边形ACGE 是平行四边形，又∠C ＝90°，∴四边形ACGE 是矩形，∴AE ∥CF ，∠EAC ＝90°，AE ＝CG ， 又∵∠DAB ＝90°，∴∠EAB ＋∠EAD ＝∠CAB ＋∠EAB ， ∴∠DAE ＝∠CAB ， 由（1）知DF ∥AB ， ∴∠EDA ＋∠DAB ＝180°， ∴∠EDA ＝90°，∠EDA ＝∠C ， ∴△AED ∽△ABC ，∴AE ADAB AC=， ∴10108AE =，∴AE ＝252， ∴CG ＝252. 22．（2018·福建，22，10分）．甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下： 甲公司为“基本工资金＋揽件提成” ．其中基本工次为70元/日，每揽收一件抽成2元； 乙公司无基本工资，仅揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元． 下图是四月份两家公司人均揽件数条形统计图： （1）现从四月份的30天中随机抽取1于，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不 含40）的概率；（2）根据以上信息，以四月份的屡依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数； ②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员， 如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识 帮他选择，并说明了理由．解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的共有4天，所以所求的概率P ＝42=3015. （2）①设甲公司各揽件员的日平均揽件数为x ，则： 3813+399+404+413+421=30x ⨯⨯⨯⨯⨯＝40＋213+(1)9+13+21=3930x -⨯-⨯⨯⨯=（）.即甲公司各揽件员的日平均揽件数为39.②由①及甲公司工资方案可知，甲公司揽件员的日平均工资为70＝39×2＝148（元）.由条形统计图及乙公司工资方案可知，乙公司揽件员的日平均工资为： ()()[38739740853]415236159.430⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯⨯=（元）.因为159.4＞148，所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘.23．（2017·福建，23，10分）如图，一个矩形菜园ABCD ，一边AD 靠墙（墙MN 长为a 米，MN≥AD ），另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成．（1）当前a ＝20米时，矩形ABCD 的面积为450平方米，求AD 长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值． 思路分析：（1）由矩形面积公式列方程求解.（2）设AD ＝y 米，同（1）列出面积关于y 的函数关系式，注意a 的取值范围，分类讨论.解：（1）设AD ＝x 米，则BD ＝x 米， AB ＝CD ＝12(100－x ）＝（50－12x ）米, 依题意有： x （50－12x ）＝450，整理得：x 2－100x ＋900＝0，解得x ＝90或x ＝10， ∵MN ＝a ＝20，MN ＞AD ， ∴x ＝90＞20不合题意，舍去， ∴x ＝10，即AD 长为10米.（2）设AD ＝y ，则，AB ＝CD ＝（50－12y ）米， 满足： 01500.2y y ⎧⎪⎨-⎪⎩＞；＞，解得：0＜y ＜100， 设矩形ABCD 的面积为S ，则： S ＝y （50－12y ）＝－12y 2＋50y ＝－12(y －50)2＋1250， ①若a ≥50，则当y ＝50时，S 最大＝1250.②若当0＜a ＜50，则当0＜y ≤a 时，S 随y 的增大而增大，故当y ＝a 时，S 最大＝50a －212a .综上，当a ≥50时，矩形菜园ACBD 的面积的最大值是1250平方米.当0＜a ＜50时，矩形菜园ABCD 的面积的最大值是（50－212a ）平方米.24．（2017·福建，24，12分）24．(12分)如图1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 为直径，DE ⊥AB ，垂足为 E ，交⊙O 于点F ．(1)延长DE 交⊙O 于点F ，、延长DC 、FB 交于点P ，求证：PB ＝PC ；(2) 如图2，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为G ，BG 交DE 于点H ．且点O 和点A 都在DE 的左侧，若AB ＝3，DH ＝1，∠OHD ＝80°，求∠BDE 的大小．思路分析：（1）易得DF ∥BC ，只需证明∠PCB ＝∠PDF ＝∠PFD ＝∠PBC 即可. （2）不难得出四边形DHBC 由平行四边形，从而tan ∠ADB ＝tan ∠ACB ＝AB :BC ＝3， 所以∠ADB ＝∠ACB ＝60°，连接OD 可得∠ODH ＝20°，由∠ODA ＝∠DAC ＝∠DBC ＝∠EDB °可得答案.解：（1）∵AC 为直径， ∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°， 又DF ⊥AB ，∴∠ADE ＝∠ABC ＝90°， ∴DF ∥BC ，∴∠PCB ＝∠PDF ，∠PBC ＝∠PFD ，∵DF ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠ABF ＋∠DFB ＝90°， ∵∠ADC ＝∠ADF ＋∠CDF ＝90°， ∵=AF AF ，∴∠ADF ＝∠ABF ， ∴∠PDF ＝∠PFD ， ∴∠PCB ＝∠PBC ， ∴PB ＝PC .（2）连接OD ，∵BG ⊥AD ，∴∠BGD ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BGD ＋∠ADC ＝180°， ∴BG ∥CD ，∴四边形DHBC 为平行四边形，∴DH ＝BC ＝1，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝BC AB , ∴∠ACB ＝60°， ∴∠CAB ＝30°，∴BC ＝DH ＝12AC ，∴DO ＝HD ，∴∠DOH ＝∠DH 0＝80°， ∴∠ODH ＝20°，∵∠EDB ＝∠DBC ，=DC DC , ∴∠DAC ＝∠DBC ， 又OD ＝OA ， ∴∠ODA ＝∠OAD , ∴∠ADO ＝∠BDH ， ∵=AB AB ,∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°，∴∠ADO ＋∠ODH ＋∠BDE ＝60°， ∴∠ADO ＝∠BDH ＝20°，即∠EDB ＝20°.25．（2017·福建，25，14分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A (0，2) ． (1)若点(2-，0)也在该抛物线上，求a ，b 满足的关系式；(2) 抛物线上任意不同两点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)都满足：当x 1＜ x 2＜0时，0))((2121>--y y x x ；当0＜x 1＜ x 2时，0))((2121<--y y x x ．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且△ABC 有一个内角为60°． ①求抛物线解析式；②若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：P A 平分∠MPN ．思路分析：（1）把(2-，0)和(2-，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 可得.（2）①由题意，不难得出抛物线开口向下，对称轴为y 轴，b ＝0,结合等边三角线的性质，求出C 的坐标，进而得出抛物线的解析式.②M 、N 、O 三点共线，则分类讨论当M 和N 关于y 轴对称时，和不关于y 轴对称时两种情况.求出∠MPO 和∠NPO 正切值的大小，作差,结合韦达定理求解.（福建地区韦达定理不可直接使用）解：（1）A (0，2)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得：c ＝2. 将点(2-，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 可得：220a b c +=，∴2a 2＋2＝0. （2）①由题意，当x 1＜ x 2＜0时, x 1－ x 2＜0，∵0))((2121>--y y x x∴y 1－y 2＜0，即当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大， 同理，有当0＜x 1＜x 2时， 0))((2121<--y y x x 可知当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴y 轴为抛物线的对称轴，∴x ＝02b a-=, ∴b ＝0.∴y ＝ax 2＋2.由⊙O 及抛物线的对称性可知，AB ＝AC ，∵△ABC 中有个内角为60°，∴△ABC 为等边三角形,连接OC ，可得O 为三角形ABC 的外心，∴中心角∠AOC ＝120°，∴∠COD ＝30°，OC ＝OA ＝2，∴OD ＝OC •cos 30CD ＝ OC •sin 30°＝1，∴点)1C -，将点)1C -代入 y ＝ax 2＋2可得：a ＝－1， ∴y ＝－x 2＋2， ②如图，∵M ，O ，N 三点在同一条直线上，若，M 、N 关于y 轴对称，由抛物线的对称性可得 P A 平分∠MPN ,若M 、N 不关于y 轴对称，可设直线MN 解析式为：y ＝kx （k ≠0），与抛物线解析式y ＝－x 2＋2联立可得：x 2＋kx －2＝0，由求根公式得：N x =，M x =y M ＝kx M ，y N ＝kx N∴2M N x x ⋅==－，M N x x k +==－，过点M 作MH ⊥y 轴于H ，过点N 作NG ⊥PH ，则PH ＝y P －y M ＝4－kx M ，MH ＝－x M ，∴tan ∠MPH ＝4M M x MH PH kx -=-，同理可得tan ∠NPG ＝4N N x GN PG kx =-， 则：()()()()()()()4244440,44444444M N N M N M N M N N M M M N M N M N M N x x kx x x x kx x x kx x x k k kx kx kx kx kx kx kx kx -++-+-+---====--------∴tan ∠MPH ＝tan ∠NPG ，∴∠MPH ＝∠NPG ，综上可得P A 平分∠MPN .。
【优选】福建省2018年中考数学试题(A卷,含答案)
2018年福建省中考数学试卷（A ）及答案一、选择题(40分)1． 在实数3-、π、0、–2中，最小的是( ) ．(A) 3- (B) –2 (C) 0 (D)π 2．一个几何体的三视图如右所示，则这个几何体可能是 ( ) ． (A)圆柱 (B)三棱柱 (C )长方体 (D)四棱锥 3．下列各组数中，能作为三角形三条边长的是( ) ． (A) 1、1、2 (B) 1、2、4 (C) 2、3、4 (D) 2、3、54．一个n 边形的内角和360°，则n 等于( ) ． (A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 65．在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在AD 边上， 若∠EBC =45°，则∠ACE =( ) ．(A)15° (B)30° (C) 45° (D)60°6．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是 ( ) ．(A) 两枚骰子向上一面的点数之和大于1 (B) 两枚骰子向上一面的点数之和等于1 (C) 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 (D) 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 7．已知m =34+，则以下对m 的估算正确的是 ( ) ．(A) 2<m <3 (B)3 <m < 4 (C) 4<m <5 (D)5 <m <6 8．古代 “绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．” 其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是( ) ． (A) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=5215y x y x (B)⎪⎩⎪⎨⎧+=-=5215y x y x (C) ⎩⎨⎧-=+=525y x y x (D) ⎩⎨⎧+=-=525y x y x 9．如图，AB 是⊙O ，的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ， 若∠ACB =50°，则∠BOD = ( ) ． (A) 40° (B) 50° (C) 60° (D) 80°，10．已知一元二次方程0)1(2)1(2=++++a b x a 有两个相等的实数根，则下面选项正确的是( ) ． (A)1一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (B)0一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (C) 1和–1都是方程x 2+bx +a =0的根 (D) 1和–1不都是方程x 2+bx +a =0的根 二、填空题(24分)11．计算：1220-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=___0___． 12．某8种食品所含的热量值分别为：120、134、120、119、126、120、118、124，则这组数据的众数为__120____．(2题)俯视图 (5题)A(19题)ABCD13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，D 为AB 的中点，则CD = __3_____14． 不等式组⎩⎨⎧>-+>+02313x x x 的解集为__x >2_____．15．把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三 角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，另外三角板的 锐角顶点B 、C 、D 在同一直线上，若AB =2，则CD =___3–1____． 16．如图，直线y =x +m 与双曲线xy 3=交于点A 、B 两点，作BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，交BC 点C ，则S △ABC 的最小值是___6_____． 三，解答题(共86分)17．(8分)解方程组: ⎩⎨⎧=+=+1041y x y x18．(8分)如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 过点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ．求证：OE =OF ，19．(8分)化简求值：m m m m 11122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其中13+=m20．(8分)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①如图，∠A'=∠A .请用尺规作出△A' B' C'．使得：△A' B' C'.∽△ABC .(保留痕迹，不写作法)②根据图形，画出一组对应边上的中线，根据图形写出已知，求证，并证明．EA A' B'(13题)A21．(8分) 已知Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =8，AB =10．将AD 是由AB 绕点A 逆时针旋转90°得到的，再将△ABC 沿射线CB 平移得到△EFG ，使射线FE 经过点D ，连接BD 、BG ． （1）求∠BDF 的度数； （2）求CG 的长．解：构辅助线如图所示： （1）∠BDF =45°（2）AD=AB=10，证△ABC ∽△AED ，CG=AE=AD AC AB ⨯=10810⨯=22522．(10分)甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资金+揽件提成” ．其中基本工次为70元/日，每揽收一件抽成2元；乙公司无基本工资，仅揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元． 下图是四月份两家公司人均揽件数条形统计图：（1）现从四月份的30天中随机抽取1于，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不 含40）的概率；（2）根据以上信息，以四月份的屡依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说明了理由．23．(10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米旧墙MN ．某人利用一边靠旧墙和另三边用总长100米的木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ．（1）若a =20，所围成的矩形菜园ABCD 的面积为450平方米时，求所利用旧墙AD 长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．24．(12分)如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，DE ⊥AB 交AB 于点E ，交⊙O 于点F ． (1)延长DC 、FB 相交于点P ，求证：PB =PC ； (2) 如图2，过点B 作BG ⊥AD 于点G ，交DE 于H ．若AB =3，DH =1， ∠OHD =80°，求∠EDB 的度数．解：（1）易证：DF ∥BC ，从而CD=BF 和1==BF CDPB PC∴PB=PC ； （2）连接OD ，设∠EDB=x ，则∠EBD=90°–x ，易证：四边形BCDH 为□， AC=2 ∴BC=DH=1，∠CAB = 30° ∴∠ADB=∠ACB=60° OD=OA=r =1=OH ∴∠ODH=180°–2∠O HD=180°–2×80°=20° ∴∠OAD=∠ODA =∠ADB –（∠ODH+ x ）=60°–（20°+ x ）=40°–x 又∵∠AOD=2∠ABD=120° ∴180°–2（40°–x ）=120°，解之得：x =20°25．(14分)已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (0，2) ． (1)若图象过点(2-，0)，求a 与b 满足的关系式；(2) 抛物线上任意两点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)都满足x 1< x 2<0时，0))((2121>--y y x x ；0<x 1< x 2时，0))((2121<--y y x x ．以原点O 为圆心，OA 为半径作⊙O 交抛物线于另两点B 、C ，且△ABC中有一个内角为60°． ①求抛物线解析式；②P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：P A 平分∠MPN ．解：(1)由抛物线过A(0，2) 得：c=2 又图象过(2-，0)，∴0= a (2-)2+b (2-)+2∴a =b 22–1 (图1)(图2)(2)依题知抛物线：y =ax 2+2，AB=AC ，AD ⊥BC ． ①又△ABC 中有一个内角为60°，∴△ABC 是正△． 连接OC ，则OC=OA=2， ∴C(3，–1) 从而有y =–x 2+2，②设直线MN ：y =kx ，则kx =–x 2+2， x 2+ kx –2=0x 1 + x 2 = –k ，x 1 x 2 =–2， x 2 = –k –x 1∵O 、M 、N 三点共线，故不妨令M 左，N 右 作ME ⊥y 轴于E ，NF ⊥y 轴于F ，则P(0，4) tan ∠1=PE ME =114y x --=114kx x --=22114x x kx x ⋅--=221214x x kx x x -2tan ∠2=PF NF=224y x -=224kx x -=11224x x kx x ⋅-=211214x kx x x x -=kx +221∴∠1=∠2即：PA 平分∠MPN ．10．已知一元二次方程0)1(2)1(2=++++a b x a 有两个相等的实数根，则下面选项正确的是( ) ． (A)1一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (B)0一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (C) 1和–1都是方程x 2+bx +a =0的根 (D) 1和–1不都是方程x 2+bx +a =0的根 第10题解析：由△=(2b )2–4(a +1)2=0得：b =±(a +1)，且a +1≠0，所以：b ≠0 ①当b =–(a +1)时，x =1是方程x 2+bx +a =0的根②a +1≠0，a 可以取0，故x =0是方程x 2+bx +a =0的根 ③当b=a +1时，x =–1是方程x 2+bx +a =0的根但b =–(a +1)和b=a +1不能同时成立，即x =1和x =–1为方程根不能同时成立，故选(D) 16．如图，直线y =x +m 与双曲线xy 3=交于点A 、B 两点，作BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，交BC 点C ，则S △ABC 的最小值是________．解析：x3=x +m ， x 2+mx –3=0由y =x +m 知：AC=BC=x A –x B =∆=122+m∴ S △ABC =221BC =6)12(2122≥+m。
【精品】福建省2018年中考数学试题(A卷,含答案)
2018年福建省中考数学试卷（A ）及答案一、选择题(40分)1． 在实数3-、π、0、–2中，最小的是( ) ．(A) 3- (B) –2 (C) 0 (D)π 2．一个几何体的三视图如右所示，则这个几何体可能是 ( ) ． (A)圆柱 (B)三棱柱 (C )长方体 (D)四棱锥 3．下列各组数中，能作为三角形三条边长的是( ) ．(A) 1、1、2 (B) 1、2、4 (C) 2、3、4 (D) 2、3、54．一个n 边形的内角和360°，则n 等于( ) ． (A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 65．在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在AD 边上， 若∠EBC =45°，则∠ACE =( ) ．(A)15° (B)30° (C) 45° (D)60°6．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是 ( ) ．(A) 两枚骰子向上一面的点数之和大于1 (B) 两枚骰子向上一面的点数之和等于1 (C) 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 (D) 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 7．已知m =34+，则以下对m 的估算正确的是 ( ) ．(A) 2<m <3 (B)3 <m < 4 (C) 4<m <5 (D)5 <m <6 8．古代 “绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．” 其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是( ) ． (A) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=5215y x y x (B)⎪⎩⎪⎨⎧+=-=5215y x y x (C) ⎩⎨⎧-=+=525y x y x (D) ⎩⎨⎧+=-=525y x y x 9．如图，AB 是⊙O ，的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ， 若∠ACB =50°，则∠BOD = ( ) ． (A) 40° (B) 50° (C) 60° (D) 80°，10．已知一元二次方程0)1(2)1(2=++++a b x a 有两个相等的实数根，则下面选项正确的是( ) ． (A)1一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (B)0一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (C) 1和–1都是方程x 2+bx +a =0的根 (D) 1和–1不都是方程x 2+bx +a =0的根 二、填空题(24分)11．计算：1220-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=___0___． (2题)俯视图 (5题)A(19题)ABCD12．某8种食品所含的热量值分别为：120、134、120、119、126、120、118、124，则这组数据的众数为__120____． 13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，D 为AB 的中点，则CD = __3_____14． 不等式组⎩⎨⎧>-+>+02313x x x 的解集为__x >2_____．15．把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三 角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，另外三角板的 锐角顶点B 、C 、D 在同一直线上，若AB =2，则CD =___3–1____． 16．如图，直线y =x +m 与双曲线xy 3=交于点A 、B 两点，作BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，交BC 点C ，则S △ABC 的最小值是___6_____． 三，解答题(共86分)17．(8分)解方程组: ⎩⎨⎧=+=+1041y x y x18．(8分)如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 过点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ．求证：OE =OF ，19．(8分)化简求值：m m m m 11122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其中13+=m20．(8分)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①如图，∠A'=∠A .请用尺规作出△A' B' C'．使得：△A' B' C'.∽△ABC .(保留痕迹，不写作法)②根据图形，画出一组对应边上的中线，根据图形写出已知，求证，并证明．EA A'B'(13题)A21．(8分) 已知Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =8，AB =10．将AD 是由AB 绕点A 逆时针旋转90°得到的，再将△ABC 沿射线CB 平移得到△EFG ，使射线FE 经过点D ，连接BD 、BG ． （1）求∠BDF 的度数； （2）求CG 的长．解：构辅助线如图所示： （1）∠BDF =45°（2）AD=AB=10，证△ABC ∽△AED ，CG=AE=AD AC AB ⨯=10810⨯=22522．(10分)甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资金+揽件提成” ．其中基本工次为70元/日，每揽收一件抽成2元；乙公司无基本工资，仅揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元．下图是四月份两家公司人均揽件数条形统计图：（1）现从四月份的30天中随机抽取1于，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不 含40）的概率；（2）根据以上信息，以四月份的屡依据，并将各公 司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说明了理由．23．(10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米旧墙MN ．某人利用一边靠旧墙和另三边用总长100米的木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ．（1）若a =20，所围成的矩形菜园ABCD 的面积为450平方米时，求所利用旧墙AD 长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．24．(12分)如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，DE ⊥AB 交AB 于点E ，交⊙O 于点F ． (1)延长DC 、FB 相交于点P ，求证：PB =PC ；(2) 如图2，过点B 作BG ⊥AD 于点G ，交DE 于H ．若AB =3，DH =1， ∠OHD =80°，求∠EDB 的度数．解：（1）易证：DF ∥BC ，从而CD=BF 和1==BF CDPB PC∴PB=PC ； （2）连接OD ，设∠EDB=x ，则∠EBD=90°–x ，易证：四边形BCDH 为□， AC=2 ∴BC=DH=1，∠CAB = 30° ∴∠ADB=∠ACB=60° OD=OA=r =1=OH ∴∠ODH=180°–2∠O HD=180°–2×80°=20° ∴∠OAD=∠ODA =∠ADB –（∠ODH+ x ）=60°–（20°+ x ）=40°–x 又∵∠AOD=2∠ABD=120° ∴180°–2（40°–x ）=120°，解之得：x =20°25．(14分)已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (0，2) ． (1)若图象过点(2-，0)，求a 与b 满足的关系式；(2) 抛物线上任意两点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)都满足x 1< x 2<0时，0))((2121>--y y x x ；0<x 1< x 2时，0))((2121<--y y x x ．以原点O 为圆心，OA 为半径作⊙O 交抛物线于另两点B 、C ，且△ABC中有一个内角为60°． ①求抛物线解析式；②P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：P A 平分∠MPN ．解：(1)由抛物线过A(0，2) 得：c=2 又图象过(2-，0)，∴0= a (2-)2+b (2-)+2(图1)(图2)∴a =b 22–1 (2)依题知抛物线：y =ax 2+2，AB=AC ，AD ⊥BC ． ①又△ABC 中有一个内角为60°，∴△ABC 是正△． 连接OC ，则OC=OA=2， ∴C(3，–1) 从而有y =–x 2+2，②设直线MN ：y =kx ，则kx =–x 2+2， x 2+ kx –2=0x 1 + x 2 = –k ，x 1 x 2 =–2， x 2 = –k –x 1∵O 、M 、N 三点共线，故不妨令M 左，N 右 作ME ⊥y 轴于E ，NF ⊥y 轴于F ，则P(0，4) tan ∠1=PE ME =114y x --=114kx x --=22114x x kx x ⋅--=221214x x kx x x -2tan ∠2=PF NF=224y x -=224kx x -=11224x x kx x ⋅-=211214x kx x x x -=kx +221∴∠1=∠2即：PA 平分∠MPN ．10．已知一元二次方程0)1(2)1(2=++++a b x a 有两个相等的实数根，则下面选项正确的是( ) ． (A)1一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (B)0一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (C) 1和–1都是方程x 2+bx +a =0的根 (D) 1和–1不都是方程x 2+bx +a =0的根第10题解析：由△=(2b )2–4(a +1)2=0得：b =±(a +1)，且a +1≠0，所以：b ≠0 ①当b =–(a +1)时，x =1是方程x 2+bx +a =0的根②a +1≠0，a 可以取0，故x =0是方程x 2+bx +a =0的根③当b=a +1时，x =–1是方程x 2+bx +a =0的根但b =–(a +1)和b=a +1不能同时成立，即x =1和x =–1为方程根不能同时成立，故选(D) 16．如图，直线y =x +m 与双曲线xy 3=交于点A 、B 两点，作BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，交BC 点C ，则S △ABC 的最小值是________．解析：x3=x +m ， x 2+mx –3=0由y =x +m 知：AC=BC=x A –x B =∆=122+m∴ S △ABC =221BC =6)12(2122≥+m。
年福建省中考数学试卷(a)及答案
2018年福建省中考数学试卷（A ）及答案一、选择题(40分) 1．在实数、、0、–2中，最小的是() ．(A)(B) –2(C) 0(D)2．一个几何体的三视图如右所示，则这个几何体可能是() ． (A)圆柱(B)三棱柱(C)长方体(D)四棱锥3．下列各组数中，能作为三角形三条边长的是( ) ． (A)1、1、2 (B) 1、2、4 (C) 2、3、4(D)2、3、5 4．一个边形的内角和360°，则等于() ． (A)3 (B) 4(C)5 (D)65．在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在AD 边上， 若∠EBC =45°，则∠ACE =( ) ． (A)15°(B)30° (C)45° (D)60°6．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是() ．(A)两枚骰子向上一面的点数之和大于1(B)两枚骰子向上一面的点数之和等于1(C)两枚骰子向上一面的点数之和大于12(D) 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 7．已知m =，则以下对m 的估算正确的是() ．(A)2<m <3(B)3<m <4(C)4<m <5(D)5<m <6(2题)主视图俯视图 (5题)A BE8．古代“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是() ． (A)(B)(C)(D)9．如图，AB 是⊙O ，的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ， 若∠ACB =50°，则∠BOD =() ． (A)40°(B)50°(C)60°(D)80°， 10．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则下面选项正确的是() ．(A)1一定不是方程x 2+bx +a =0的根(B)0一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (C)1和–1都是方程x 2+bx +a =0的根(D) 1和–1不都是方程x 2+bx +a =0的根 二、填空题(24分) 11．计算：=___0___．12．某8种食品所含的热量值分别为：120、134、120、119、126、120、118、124，则这组数据的众数为__120____．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，D 为AB 的中点，则CD =__3_____． 14．不等式组的解集为__x >2_____．15．把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三 角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，另外三角板的 A )ABC D OC BAE A D锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB=，则CD=___–1____．16．如图，直线y=x+m与双曲线交于点A、B两点，作BC∥x 轴，AC∥y轴，交BC点C，则S△ABC的最小值是___6_____．三，解答题(共86分)17．(8分)解方程组:18．(8分)如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF过点O，交AD 于点E，交BC于点F．求证：OE=OF，19．(8分)化简求值：，其中CABEFO(16题)OACBy20．(8分)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①如图，∠A'=∠A .请用尺规作出△A' B' C'．使得：△A' B' C'.∽△ABC .(保留痕迹，不写作法)②根据图形，画出一组对应边上的中线，根据图形写出已知，求证，并证明．21．(8分) 已知Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =8，AB =10．将AD 是由AB 绕点A 逆时针旋转90°得到的，再将△ABC 沿射线CB 平移得到△EFG ，使射线FE经过点D ，连接BD 、BG ． （1）求∠BDF 的度数； （2）求CG 的长． 解：构辅助线如图所示： （1）∠BDF =45°（2）AD=AB=10，证△ABC ∽△AED ， CG=AE===CAA'B'DE22．(10分)甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资金+揽件提成”．其中基本工次为70元/日，每揽收一件抽成2元；乙公司无基本工资，仅揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元．下图是四月份两家公司人均揽件数条形统计图：（1）现从四月份的30天中随机抽取1于，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；（2）根据以上信息，以四月份的屡依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说明了理由．23．(10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米旧墙MN ．某人利用一边靠旧墙和另三边用总长100米的木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ．（1）若a =20，所围成的矩形菜园ABCD 的面积为450平方米时，求所利用旧墙AD 长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．24．(12分)如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，DE ⊥AB 交AB 于点E ，交⊙O 于点F ．(1)延长DC 、FB 相交于点P ，求证：PB =PC ；(2)如图2，过点B 作BG ⊥AD 于点G ，交DE 于H ．若AB =，DH =1，∠OHD =80°，求∠EDB 的度数．CB ADFPOEGAB CDO EH GE(图解：（1）易证：DF∥BC，从而CD=BF和∴PB=PC；（2）连接OD，设∠EDB=x，则∠EBD=90°–x，易证：四边形BCDH为□，AC=2∴BC=DH=1，∠CAB= 30°∴∠ADB=∠ACB=60°OD=OA=r=1=OH∴∠ODH=180°–2∠OHD=180°–2×80°=20°∴∠OAD=∠ODA=∠ADB–（∠ODH+ x）=60°–（20°+ x）=40°–x又∵∠AOD=2∠ABD=120°∴180°–2（40°–x）=120°，解之得：x =20°25．(14分)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A (0，2) ．(1)若图象过点(，0)，求a与b满足的关系式；(2)抛物线上任意两点M(x1，y1)、N(x2，y2)都满足x1< x2<0时，；0<x1< x2时，．以原点O为圆心，OA为半径作⊙O交抛物线于另两点B、C，且△ABC中有一个内角为60°．①求抛物线解析式；②P与点O关于点A对称，且O、M、N三点共线，求证：P A平分∠MPN．解：(1)由抛物线过A(0，2) 得：c=2又图象过(，0)，∴0= a()2+b()+2∴a=–1(2)依题知抛物线：y=ax2+2，AB=AC，AD⊥BC．①又△ABC中有一个内角为60°，∴△ABC连接OC，则OC=OA=2，∴C(，–1)从而有y=–x2+2，②设直线MN：y=kx，则kx =–x2+2，x2+ kx–2=0x1+ x2=–k，x1 x2 =–2，x2=–k–x1∵O、M、N三点共线，故不妨令M左，N右作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，则P(0，4)tan∠1====== tan∠2======MPC BAEOFDN12xy∴∠1=∠2即：PA平分∠MPN．10．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则下面选项正确的是() ．(A)1一定不是方程x2+bx+a=0的根(B)0一定不是方程x2+bx+a=0的根(C)1和–1都是方程x2+bx+a=0的根(D) 1和–1不都是方程x2+bx+a=0的根第10题解析：由△=(2b)2–4(a+1)2=0得：b =±(a+1)，且a+1≠0，所以：b ≠0①当b =–(a+1)时，x=1是方程x2+bx+a=0的根②a+1≠0，a可以取0，故x=0是方程x2+bx+a=0的根③当b=a+1时，x=–1是方程x2+bx +a=0的根但b =–(a+1)和b=a+1不能同时成立，即x=1和x=–1为方程根不能同时成立，故选(D)16．如图，直线y=x+m与双曲线交于点A、B两点，作BC∥x 轴，AC∥y轴，交BC点C，则S△ABC的最小值是________．解析：=x+m，x2+mx–3=0由y=x+m知：AC=BC=x A–x B==∴S△ABC==(16题) OAC By。
福建省2018年中考数学试题(A卷,含解析)-精品
2018年福建省中考数学试卷（A卷）一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共40分）1．（4.00分）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（）A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π2．（4.00分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．长方体D．四棱锥3．（4.00分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，54．（4.00分）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．65．（4.00分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．（4.00分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12D．两枚骰子向上一面的点数之和等于127．（4.00分）已知m=+，则以下对m的估算正确的（）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜68．（4.00分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．B．C．D．9．（4.00分）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°10．（4.00分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根二、细心填一填（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上）11．（4.00分）计算：（）0﹣1= ．12．（4.00分）某8种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118，124，则这组数据的众数为．13．（4.00分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= ．14．（4.00分）不等式组的解集为．15．（4.00分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD= ．16．（4.00分）如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为．三、专心解一解（本大题共9小题，满分86分，请认真读题，冷静思考解答题应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）17．（8.00分）解方程组：．18．（8.00分）如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．19．（8.00分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m=+1．20．（8.00分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．21．（8.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．22．（10.00分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日搅件数超过40，超过部分每件多提成2元．如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图：（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，井说明理由．23．（10.00分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．24．（12.00分）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．25．（14.00分）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O 为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．2018年福建省中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共40分）1．（4.00分）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（）A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，|﹣3|=3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，故最小的数是：﹣2．故选：B．2．（4.00分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．长方体D．四棱锥【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得．【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意；B、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意；C、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意；D、四棱锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图是四边形，不符合题意；故选：C．3．（4.00分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．故选：C．4．（4.00分）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：（n﹣2）?180=360，解得n=4．故选：B．5．（4.00分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，故选：A．6．（4.00分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；故选：D．7．（4.00分）已知m=+，则以下对m的估算正确的（）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6【分析】直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵m=+=2+，1＜＜2，∴3＜m＜4，故选：B．8．（4.00分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．B．C．D．【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：．故选：A．9．（4.00分）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选：D．10．（4.00分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．二、细心填一填（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上）11．（4.00分）计算：（）0﹣1= 0 ．【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）进行计算即可．【解答】解：原式=1﹣1=0，故答案为：0．12．（4.00分）某8种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118，124，则这组数据的众数为120 ．【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数．【解答】解：∵这组数据中120出现次数最多，有3次，∴这组数据的众数为120，故答案为：120．13．（4.00分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= 3 ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=×6=3．故答案为：3．14．（4.00分）不等式组的解集为x＞2 ．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＞2，∴不等式组的解集为x＞2，故答案为：x＞2．15．（4.00分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD= ﹣1 ．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF﹣BC=1+﹣2=﹣1，故答案为：﹣1．16．（4.00分）如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为 6 ．【分析】根据双曲线y=过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y=x+m代入y=，整理得x2+mx﹣3=0，由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，所以a、b是方程x2+mx﹣3=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=﹣m，ab=﹣3，那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形的面积公式得出S△ABC=AC?BC=m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m=0时，△ABC的面积有最小值6．【解答】解：设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y=x+m代入y=，得x+m=，整理，得x2+mx﹣3=0，则a+b=﹣m，ab=﹣3，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．∵S△ABC=AC?BC=（﹣）（a﹣b）=??（a﹣b）=（a﹣b）2=（m2+12）=m2+6，∴当m=0时，△ABC的面积有最小值6．故答案为6．三、专心解一解（本大题共9小题，满分86分，请认真读题，冷静思考解答题应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）17．（8.00分）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，②﹣①得：3x=9，解得：x=3，把x=3代入①得：y=﹣2，则方程组的解为．18．（8.00分）如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE ≌△COF（ASA），则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．19．（8.00分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m=+1．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题．【解答】解：（﹣1）÷===，当m=+1时，原式=．20．（8.00分）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．【分析】（1）作∠A'B'C=∠ABC，即可得到△A'B′C′；（2）依据D是AB的中点，D'是A'B'的中点，即可得到=，根据△ABC∽△A'B'C'，即可得到=，∠A'=∠A，进而得出△A'C'D'∽△ACD，可得==k．【解答】解：（1）如图所示，△A'B′C′即为所求；（2）已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，===k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，求证：=k．证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，∴AD=AB，A'D'=A'B'，∴==，∵△ABC∽△A'B'C'，∴=，∠A'=∠A，∵=，∠A'=∠A，∴△A'C'D'∽△ACD，∴==k．21．（8.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．【解答】解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°，AD=AB=10，∴∠ABD=45°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠BDF=∠ABD=45°；（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AB=8，AB=AD=10，∴AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5．22．（10.00分）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日搅件数超过40，超过部分每件多提成2元．如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图：（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，井说明理由．【分析】（1）根据概率公式计算可得；（2）分别根据平均数的定义及其意义解答可得．【解答】解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有4天，所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率为=；（2）①甲公司各揽件员的日平均件数为=39件；②甲公司揽件员的日平均工资为70+39×2=148元，乙公司揽件员的日平均工资为=[40+]×4+×6=159.4元，因为159.4＞148，所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．23．（10.00分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；（2）设AD=xm，利用矩形面积得到S=x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a2．【解答】解：（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10，答：AD的长为10m；（2）设AD=xm，∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a ﹣a2．24．（12.00分）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【分析】（1）先判断出BC∥DF，再利用同角的补角相等判断出∠F=∠PCB，即可得出结论；（2）先判断出四边形DHBC是平行四边形，得出BC=DH=1，再用锐角三角函数求出∠ACB=60°，进而判断出DH=OD，求出∠ODH=20°，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB，∴∠PBC=∠PCB，∴PC=PB；（2）如图2，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥DC，∵BC∥DE，∴四边形DHBC是平行四边形，∴BC=DH=1，在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，∴∠ACB=60°，∴BC=AC=OD，∴DH=OD，在等腰三角形DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，设DE交AC于N，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠DOC=20°，∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC∥DE，∴∠BDE=∠CBD=20°．25．（14.00分）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O 为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．【分析】（1）由抛物线经过点A可求出c=2，再代入（﹣，0）即可找出2a ﹣b+2=0（a≠0）；（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b=0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解；②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣+2）、点N的坐标为（x2，﹣+2），由O、M、N三点共线可得出x2=﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），∴c=2．又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，∴a（﹣）2+b（﹣）+c=0，∴2a﹣b+2=0（a≠0）．（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，∴b=0．∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，∴△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°，，又∵OB=OC=OA=2∴CD=OC?cos30°＝，OD=OC?sin30°=1．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．∵点C在抛物线上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2．②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．直线OM的解析式为y=k1x（k1≠0）．∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且=，∴﹣x1+=﹣x2+，∴x1﹣x2=﹣，∴x1x2=﹣2，即x2=﹣，∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP=2OA=4，∴点P的坐标为（0，4）．设直线PM的解析式为y=k2x+4，∵点M的坐标为（x，﹣+2），∴﹣+2=k2x1+4，∴k2=﹣，∴直线PM的解析式为y=﹣+4．∵﹣?+4==﹣+2，∴点N′在直线PM上，∴PA平分∠MPN．。
2018年福建中考数学试卷(含解析)
2018年福建省中考数学A试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．-、-2、0、π中，最小的数是（）1．（2018福建A卷，1，4）在实数3- B.-2 C. 0 D. πA．3【答案】B-=3，根据有理数的大小比较法则（正数大于零，负数都小于零，正数大于一切负数，比较即可．解：【解析】∵3-＜π，∴最小的数是-2．故选C．∵-2＜0＜3【知识点】有理数比较大小2．（2018福建A卷，2，4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆柱 B.三棱柱 C.长方体 D.四棱锥【答案】C【解析】思路一：充分发挥空间想象能力，让俯视图根据主视图长高，再利用左视图进行验证即可．思路二：分别根据球，圆柱，圆锥，立方体的三视图作出判断．三棱柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形；四棱锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是有对角线的四形；长方体的三视图都是长方形，由此得这个几何体是长方体，故选C．【知识点】三视图的反向思维3．（2018福建A卷，3，4）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )A．1，1，2 B.1，2，4C. 2，3，4D.2，3，5【答案】C【解析】三数中，若最小的两数和大于第三数，符合三角形的三边关系，则能成为一个三角形三边长，否则不可能．解：∵1＋1=2 ，∴选项A不能；∵1＋2＜4，∴选项B不可能；∵2＋3＞4，∴选项C能；∵2＋3=5，∴选项D不能．故选C．【知识点】三角形三边的关系4．（2018福建A卷，4，4）一个n边形的内角和是360°，则n等于( )A．3 B.4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】先确定该多边形的内角和是360゜，根据多边形的内角和公式，列式计算即可求解．解：∵多边形的内角和是360゜，∴多边形的边数是：360゜=(n-2)×180°，n=4.【知识点】多边形；多边形的内角和5．（2018福建A卷，5，4）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于( )A．15° B.30° C. 45° D. 60°【答案】A【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB=60°，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD ，AD 是BC 的垂直平分线，∴BE=CE ，∴∠EBC =∠ECB=45°，∴∠ECA=-60°-45°=15°. 【知识点】等边三角形性质，三线合一 6．（2018福建A 卷，6，4）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是( )A ．两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B. 两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C. 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D. 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 【答案】D【解析】事先就知道一定能发生的事件是必然事件，所以两枚骰子向上一面的点数之和大于1是必然事件；事先知道它有可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件，所以两枚骰子向上一面的点数之和等于12是随机事件；事先知道它一定不会发生的事件是不可能事件，所以两枚骰子向上一面的点数之和等于1、两枚骰子向上一面的点数之和大于12是不可能事件.故选D.【知识点】必然事件；随机事件；不可能事件；7. （2018福建A 卷，7，4）已知43m m 的估算正确的是( ) A ．23m << B. 34m << C. 45m << D. 56m << B【答案】B【解析】本题考查了算术平方根的估算．解：因为1＜3＜4134<，即132<<42=，∴34m <<．故选B ．【知识点】算术平方根的概念及求法8. （2018福建A 卷，8，4）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是 ( )A ．5152x y x y ì=+ïí=-ïî B. 5152x y x y ì=-ïí=+ïî C. 525x y x y ì=+ïí=-ïî D. 525x y x y ì=-ïí=+ïî【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系.由“绳索比竿长5尺”，可得x =y +5；再根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，可列得方程152x y =-.所以符合题意的方程组是5152x y x y ì=+ïí=-ïî.【知识点】二元一次方程组的实际应用9. （2018福建A 卷，9，4）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于 ( )A ．40° B. 50° C. 60° D. 80°【答案】D【解析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求出结果. 解：∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°，∵∠ACB =50°，∴∠A =90°-∠A C B =40°，∠BOD =2∠A =80°. 【知识点】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理10.（2018福建A 卷，10，4）已知关于x 的一元二次方程()()21210a x bx a ++++=有两个相等的实数根，下列判断正确的是 ( )A ．1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 B.0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 C.1和-1都是关于x 的方程20x bx a ++=的根 D. 1和-1不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根【答案】D【解析】根据一元二次方程有两个相等的，方程根的判别式等于零，从而建立关于a 、b 的等式，再逐一判断20x bx a ++=根的情况即可. 解：由关于x 的方程()()21210a x bx a ++++=有两个相等的实数根，所以△=0，所以错误!未找到引用源。
福建省中考数学试卷及答案
2018 年福建省中考数学试卷（ A ）及答案一、选择题 (40 分 )1． 在实数3 、、 0、– 2 中，最小的是 ()．主视图左视图(A)3(B) – 2(C) 0 (D)2．一个几何体的三视图如右所示，则这个几何体可能是( )．俯视图 (A)(B)(C) 长方体(D)圆柱 三棱柱四棱锥(2 题)3．以下各组数中，能作为三角形三条边长的是()．A(A)1、 1、 2 (B)1 、 2、 4(C) 2 、 3、 4 (D)2、 3、 54．一个 n 边形的内角和 360°，则 n 等于 ( ) ．E(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 65．在等边△ ABC 中， AD ⊥ BC ，垂足为点 D ，点 E 在 AD 边上，若∠=45°，则∠ =( )．EBCACE(A) 15° (B) 30°(C) 45°(D) 60°B CD(5 题 )6．扔掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1 到 6 的点数，则以下事件为随机事件的是( ) ．(A) 两枚骰子向上一面的点数之和大于 1(B) 两枚骰子向上一面的点数之和等于 1 (C)两枚骰子向上一面的点数之和大于12(D) 两枚骰子向上一面的点数之和等于 127．已知 m = 43 ，则以下对m 的估量正确的选项是( )．(A) 2< m <3(B)3 <m < 4(C) 4<m <5 (D)5 < m <68．古代 “绳子量竿” 问题：“一条竿子一条索． 索比竿子长一托， 折回索却量竿， 却比竿子短一托． ” 其粗心为：现有一根竿和一条绳子．用绳子去量竿，绳子比竿长5 尺；假如将绳子对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．设绳子长 x 尺，竿长 y 尺，则切合题意的方程组是 ( )．Cxy 5x y 5x y 5 x y 5 (A)(B)1x y 5(C)(D)1x y 5 2x y 52 x y 522D9．如图， AB 是⊙ O ，的直径， BC 与⊙ O 相切于点 B ， AC 交⊙ O 于点 D ，A O BA若∠ =50°，则∠ = ( ) ．ACBBOD(A) 4 0° (B) 5 0° (C) 60°(D) 8 0°，(19 题 ) 10．已知一元二次方程 ( a 1) x 22b(a 1) 0 有两个相等的实数根，则下边选项正确的选项是 ( )．(A)1 必定不是方程 x 2+bx +a =0 的根 (B)0必定不是方程 x 2+bx +a =0 的根 (C) 1 和– 1 都是方程x2+ + =0 的根 (D) 1 和– 1 不都是方程 x 2+ + =0 的根bx abx a二、填空题 (24分 )11．计算：2 =___0___．1212．某 8 种食品所含的热量值分别为：120、 134、120、 119、 126、120、 118、124，则这组数据的众数为__120____．13．如图，在Rt △中，∠ =90°， =6， D 为 的中点，则 = __ 3_____．AABCACBABABCD3x 1 x 3D14． 不等式组2 0的解集为 __x >2_____．xBC15．把两个同样大小的含45°角的三角板以下图搁置，此中一个三(13 题 )角板的锐角极点与另一个的直角极点重合于点A ，此外三角板的AE锐角极点 、 、 在同向来线上，若 = 2 ，则=___ 3 – 1____．B CDABCD16．如图，直线 y =x +m 与双曲线 3 交于点 A 、 B 两点，作 BC ∥ xB(15 题)DyCx轴， AC ∥ y 轴，交 BC 点 C ，则 S △ABC 的最小值是 ___6_____． y三，解答题 ( 共 86 分)AOx y 1 x17． (8 分 ) 解方程组 :4x y10BC(16 题)18． (8 分 ) 如图， □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 订交于点 O ，EF 过点 O ，交 AD 于点 E ，交 BC 于点 F ．求证： OE =OF ，EADOBF C19． (8 分 ) 化简求值：2m 1 1m 21，此中 m3 1mm20． (8 分 ) 求证：相像三角形对应边上的中线之比等于相像比．要求：①如图，∠ A' =∠ A . 请用尺规作出△ A' B' C' ．使得：△ A' B' C' . ∽△ ABC .( 保存印迹，不写作 法 )②依据图形，画出一组对应边上的中线，依据图形写出已知，求证，并证明．CABA'B'21． (8 分 )已知Rt△ ABC中，∠ B=90°，AC=8，AB=10．将AD是由AB绕点A逆时针旋转90°获得的，再将△ ABC沿射线 CB平移获得△ EFG，使射线FE经过点 D，连结 BD、 BG．（ 1）求∠BDF的度数；F（ 2）求CG的长．解：构协助线以下图：EG（1）∠BDF=45°（2） AD=AB=10，证△ABC∽△AED，CG=AE= ABAD =1010 =25AC82DBAC22． (10 分) 甲、乙两家快递企业揽件员（揽收快件的职工）的日薪资方案以下：甲企业为“基本薪资本+揽件提成”．此中基本工次为70 元 / 日，每揽收一件抽成 2 元；乙企业无基本薪资，仅揽件提成计算薪资．若当天揽件数不超出40，每件提成 4 元；若当天揽件数超出 40，超出部分每件多提成 2 元．以下图是四月份两家企业人均揽件数条形统计图：（1）现从四月份的 30 天中随机抽取 1 于，求这一天甲企业揽件员人均揽件数超出40（不含40）的概率；（2）依据以上信息，以四月份的屡依照，并将各企业揽件员的人均揽件数视为该企业各揽件员的揽件数，解决以下问题：①预计甲企业各揽件员的日均匀揽件数；②小明拟到甲、乙两家企业中的一家应聘揽件员，假如仅从薪资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说了然原因．23． (10 分) 如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米旧墙 MN．某人利用一边靠旧墙和另三边用总长100米的木栏围成一个矩形菜园ABCD，此中 AD≤MN．（ 1）若a=20，所围成的矩形菜园ABCD的面积为450平方米时，求所利用旧墙AD长；（ 2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．24． (12 分) 如图 1，四边形ABCD内接于⊙ O， AC为直径， DE⊥ AB交 AB于点 E，交⊙ O于点 F．(1)延伸 DC、 FB订交于点 P，求证： PB=PC；(2)如图 2，过点B作BG⊥AD于点G，交DE于H．若AB= 3，DH=1，∠OHD=80°，求∠ EDB的度数．D DC GCGO P HOAAE BE B( 图 1)F( 图 2)解：（ 1）易证： DF∥BC，进而 CD=BF和PC CD1∴ PB=PC；PB BF（2）连结 OD，设∠ EDB=x，则∠ EBD=90°–x，易证：四边形 BCDH为□， AC=2∴ BC=DH=1，∠ CAB= 30°∴∠ ADB=∠ ACB=60°OD=OA=r =1=OH∴∠ ODH=180°– 2∠ OHD=180°– 2× 80° =20°∴∠ OAD=∠ ODA=∠ ADB–（∠ ODH+x） =60°–（ 20° + x）=40°–x又∵∠ AOD=2∠ ABD=120°∴180°– 2（ 40°–x） =120°，解之得：x =20 °25． (14 分) 已知抛物线y=ax2+bx+c 过点 A (0，2)．(1)若图象过点 (2， 0) ，求a与b知足的关系式；(2)抛物线上随意两点M( x1，y1)、 N( x2， y2)都知足 x1< x 2<0时，(x1x2 )( y1y2 ) 0 ；0<x1<x2时，( x1x2 )( y1y2 )0 ．以原点O为圆心，OA为半径作⊙O交抛物线于另两点B、C，且△ ABC中有一个内角为 60°．①求抛物线分析式；②P 与点O对于点A对称，且、、三点共线，求证：均分∠．O M N PA MPN解： (1)由抛物线过A(0 ， 2) 得： c=2又图象过 (2，0) ，∴ 0=a(2)2+ (2)+2b∴ =2b– 1a2(2) 依题知抛物线： y =ax 2+2， AB=AC ， AD ⊥ BC ．①又△ ABC 中有一个内角为 60°，∴△ ABC 是正△．连结 OC ，则 OC=OA=2，∴ C( 3 ，– 1)进而有 y =– x 2+2，②设直线 MN ： y =kx ，则 kx = – x 2+2，x 2+ kx –2=0x 1 + x 2 = –k ， x 1 x 2 = – 2， x 2 = – k – x 1∵ O 、 M 、 N 三点共线，故不如令 M 左， N 右yP21AFNOxBDC作 ME ⊥ y 轴于 E ，NF ⊥ y 轴于 F ，则 P(0 ， 4)MEx 1= x 1 =x 1 x 2x 1x 2tan ∠ 1==== M1EPE4y 1 4 kx 1 4 kx 1 x 2 kx 1 x 2 4x 2k2 x 2tan ∠ 2= NF =x 2 =x 2 =x 2 x 1x 1 x 2=1PF 4 y 2 4 kx 2 4 kx 2 x 1 =2x 2 k4x 1 kx 1 x 2 ∴∠ 1=∠ 2即： PA 均分∠ MPN ．10．已知一元二次方程 ( a 1) x 22b (a 1)0 有两个相等的实数根，则下边选项正确的选项是( )．(A)1 必定不是方程 x 2+bx +a =0 的根(B)0必定不是方程 x 2+bx +a =0 的根(C) 1 和– 1 都是方程 x 2+bx +a =0 的根 (D) 1和– 1 不都是方程 x 2+bx +a =0 的根 第 10 题分析：由 △ =(2 b ) 2– 4( a +1) 2=0 得： b = ± ( a +1) ，且 a +1≠ 0，因此： b ≠ 0 ①当 b = – ( a +1) 时， x =1 是方程 x 2+bx +a =0 的根② +1≠ 0， a 能够取 0，故 x =0 是方程 x 2+ =0 的根+abx a③当 b=a +1 时， x =– 1 是方程 x 2+bx +a =0 的根但 b = – ( a +1) 和 b=a +1 不可以同时建立，即 x =1 和 x =– 1 为方程根不可以同时建立，应选 (D) 16．如图，直线= + 与双曲线y3 A BBC xy x m交于点两点，作x、∥y轴， AC ∥ y 轴，交 BC 点 C ，则SA△ABC 的最小值是 ________．3 O分析：2x=x +m ，x +mx – 3=0xBC由 y =x +m 知： AC=BC=x A – x B == m 212(16 题)∴ △12= 1 22(m 12)622。
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2018年福建省中考数学试卷（A ）及答案一、选择题(40分)1． 在实数3-、π、0、–2中，最小的是( ) ． (A) 3- (B) –2 (C) 0 (D)π 2．一个几何体的三视图如右所示，则这个几何体可能是 ( ) ． (A)圆柱 (B)三棱柱 (C)长方体 (D)四棱锥 3．下列各组数中，能作为三角形三条边长的是( ) ．(A) 1、1、2 (B) 1、2、4 (C) 2、3、4 (D) 2、3、5 4．一个n 边形的内角和360°，则n 等于( ) ．(A)3 (B) 4 (C) 5 (D)65．在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在AD 边上， 若∠EBC =45°，则∠ACE =( ) ．(A)15° (B)30° (C) 45° (D)60°6．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是 ( ) ．(A) 两枚骰子向上一面的点数之和大于1 (B) 两枚骰子向上一面的点数之和等于1 (C) 两枚骰子向上一面的点数之和大于12 (D) 两枚骰子向上一面的点数之和等于12 7．已知m =34+，则以下对m 的估算正确的是 ( ) ．(A) 2<m <3 (B)3 <m < 4 (C) 4<m <5 (D)5 <m <68．古代 “绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．” 其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是( ) ．(2题)俯视图 (5题)ABC DO(A) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=5215y x y x (B)⎪⎩⎪⎨⎧+=-=5215y x y x (C) ⎩⎨⎧-=+=525y x y x (D) ⎩⎨⎧+=-=525y x y x 9．如图，AB 是⊙O ，的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ， 若∠ACB =50°，则∠BOD = ( ) ．(A) 40° (B) 50° (C) 60° (D) 80°，10．已知一元二次方程0)1(2)1(2=++++a b x a 有两个相等的实数根，则下面选项正确的是( ) ． (A)1一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (B)0一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (C) 1和–1都是方程x 2+bx +a =0的根 (D) 1和–1不都是方程x 2+bx +a =0的根 二、填空题(24分)11．计算：1220-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=___0___． 12．某8种食品所含的热量值分别为：120、134、120、119、126、120、118、124，则这组数据的众数为__120____．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，D 为AB 的中点，则CD = __3_____14． 不等式组⎩⎨⎧>-+>+02313x x x 的解集为__x >2_____．15．把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三 角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，另外三角板的 锐角顶点B 、C 、D 在同一直线上，若AB =2，则CD =___3–1____． 16．如图，直线y =x +m 与双曲线xy 3=交于点A 、B 两点，作BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，交BC 点C ，则S △ABC 的最小值是___6_____． 三，解答题(共86分) 17．(8分)解方程组: ⎩⎨⎧=+=+1041y x y xA(13题)A18．(8分)如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 过点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ．求证：OE =OF ，19．(8分)化简求值：m m m m 11122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其中13+=m20．(8分)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①如图，∠A'=∠A .请用尺规作出△A' B' C'．使得：△A' B' C'.∽△ABC .(保留痕迹，不写作法)②根据图形，画出一组对应边上的中线，根据图形写出已知，求证，并证明．21．(8分) 已知Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =8，AB =10．将AD 是由AB 绕点A 逆时针旋转90°得到的，再将△ABC 沿射线CB 平移得到△EFG ，使射线FE 经过点D（1）求∠BDF 的度数；（2）求CG 的长． 解：构辅助线如图所示： （1）∠BDF =45°EA A'B'（2）AD=AB=10，证△ABC ∽△AED ， CG=AE=AD AC AB ⨯=10810⨯=22522．(10分)甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资金+揽件提成” ．其中基本工次为70元/日，每揽收一件抽成2元；乙公司无基本工资，仅揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元．下图是四月份两家公司人均揽件数条形统计图：（1）现从四月份的30天中随机抽取1于，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不 含40）的概率；（2）根据以上信息，以四月份的屡依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数； ②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说明了理由．23．(10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米旧墙MN ．某人利用一边靠旧墙和另三边用总长100米的木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ．（1）若a =20，所围成的矩形菜园ABCD 的面积为450平方米时，求所利用旧墙AD 长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．24．(12分)如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，DE ⊥AB 交AB 于点E ，交⊙O 于点F ． (1)延长DC 、FB 相交于点P ，求证：PB =PC ；(2) 如图2，过点B 作BG ⊥AD 于点G ，交DE 于H ．若AB =3，DH =1， ∠OHD =80°，求∠EDB 的度数．解：（1）易证：DF ∥BC ，从而CD=BF 和1==BF CDPB PC∴PB=PC ； （2）连接OD ，设∠EDB=x ，则∠EBD=90°–x ，易证：四边形BCDH 为□， AC=2 ∴BC=DH=1，∠CAB= 30° ∴∠ADB=∠ACB=60° OD=OA=r =1=OH∴∠ODH=180°–2∠OHD=180°–2×80°=20°∴∠OAD=∠ODA=∠ADB –（∠ODH+ x ）=60°–（20°+ x ）=40°–x 又∵∠AOD=2∠ABD=120°(图1)E CBADFPOG (图2)AB CDOE H G∴180°–2（40°–x ）=120°，解之得：x =20°25．(14分)已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (0，2) ． (1)若图象过点(2-，0)，求a 与b 满足的关系式；(2) 抛物线上任意两点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)都满足x 1< x 2<0时，0))((2121>--y y x x ；0<x 1< x 2时，0))((2121<--y y x x ．以原点O 为圆心，OA 为半径作⊙O 交抛物线于另两点B 、C ，且△ABC 中有一个内角为60°． ①求抛物线解析式；②P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：P A 平分∠MPN ．解：(1)由抛物线过A(0，2) 得：c=2 又图象过(2-，0)，∴0= a (2-)2+b (2-)+2∴a =b 22–1 (2)依题知抛物线：y =ax 2+2，AB=AC ，AD ⊥BC ． ①又△ABC 中有一个内角为60°，∴△ABC 是正△． 连接OC ，则OC=OA=2，∴C(3，–1) 从而有y =–x 2+2，②设直线MN ：y =kx ，则kx =–x 2+2， x 2+ kx –2=0x 1 + x 2 = –k ，x 1 x 2 =–2， x 2 = –k –x 1∵O 、M 、N 三点共线，故不妨令M 左，N 右 作ME ⊥y 轴于E ，NF ⊥y 轴于F ，则P(0，4)tan ∠1=PE ME =114y x --=114kx x --=22114x x kx x ⋅--=221214x x kx x x -=221x k +tan ∠2=PF NF=224y x -=224kx x -=11224x x kx x ⋅-=211214x kx x x x -=kx +221∴∠1=∠2即：PA 平分∠MPN ．10．已知一元二次方程0)1(2)1(2=++++a b x a 有两个相等的实数根，则下面选项正确的是( ) ． (A)1一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (B)0一定不是方程x 2+bx +a =0的根 (C) 1和–1都是方程x 2+bx +a =0的根 (D) 1和–1不都是方程x 2+bx +a =0的根 第10题解析：由△=(2b )2–4(a +1)2=0得：b =±(a +1)，且a +1≠0，所以：b ≠0 ①当b =–(a +1)时，x =1是方程x 2+bx +a =0的根 ②a +1≠0，a 可以取0，故x =0是方程x 2+bx +a =0的根 ③当b=a +1时，x =–1是方程x 2+bx +a =0的根但b =–(a +1)和b=a +1不能同时成立，即x =1和x =–1为方程根不能同时成立，故选(D) 16．如图，直线y =x +m 与双曲线xy 3=交于点A 、B 两点，作BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，交BC 点C ，则S △ABC 的最小值是________．解析：x3=x +m ， x 2+mx –3=0由y =x +m 知：AC=BC=x A –x B =∆=122+m∴ S △ABC =221BC =6)12(2122≥+m辍学学生家访记录单（存根）家长，你的孩子 在我校 年级 班 就读，于 年 月 日辍学未返校上课。