初中八年级奥数竞赛-专题09 二次根式的概念与性质_答案.doc
初中数学专题复习二次根式的概念、性质和乘法精讲精练(含答案)
二次根式的概念、性质和乘法重点与难点：二次根式的概念、二次根式的乘法运算和二次根式的大小比较.一、知识点（1）式子a （a ≥0）叫做二次根式，对它的理解要把握以下两点： ①式子a 只有在a ≥0时才叫做二次根式，3-不是二次根式； ②二次根式是指式子的外在形式。
4=2，4是二次根式，而2不是二次根式。
（2）二次根式的运算性质：()a a =2（a ≥0），a a =2， b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）二、例题：例1、下列各式中哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？（1）12+x ；（2）2-a （a ≥2）；（3）b a -；（4）3m （m ≥0） 解：（1）（2）是二次根式，它们都符合a （a≥0）的条件。
（3）因为无法判断a －b 是否大于等于0，所以不是二次根式；（4）是一个三次根式例2、x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）3-x ；（2）x 5-；（3）1+x ；（4）21--x x 分析：一个式子要有意义则要求被开方数大于等于0，分母不为0 解：（1）由x －3≥0得x≥3，∴当x≥3时式子3-x 在实数范围内有意义（2）由－5x≥0得x≤0，∴当x≤0时式子x 5-在实数范围内有意义（3）∵|x|≥0，∴|x|+1>0 ，∴无论x 取任何值1+x 都有意义（4）由⎩⎨⎧≠-≥-0201x x 得x≥1且x ≠2，∴当x≥1且x≠2 时式子有意义例3、化简2a －（3-a ）2－a -3解：原式只有当a －3≥0才有意义，因此a≥3，于是a -3=a －3原式=2a －（a －3）－（a －3）=2a例4、把下列各式写成平方差的形式，再在实数范围内分解因式：（1）9x 2－5 （2）x 4－36 （3）x 2－23x+3解：（1）9x 2－5=（3x ）2－()25=（3x+5）（3x －5） （2）x 4－36 =（x 2+6）（x 2－6）=（x 2+6）[x 2－（6）2]=（x 2+6）（x+6）（x －6）（3）x 2－23x+3= x 2－23x+（3）2=（x －3）2例5、化简和计算：（1）180=562⨯=562⨯=65（2）548b a =()()b b a 2222222⨯=2a 2b 2b 2（3）5522+-a a （a<5）=()25-a =5-a =5－a注：此题最后一步容易误为a －5，应当紧记a a =2 （4）22b a b a -⋅-=()b a b a b a b a b a b a b a +-=+-=+-⋅-2))(( 注：此题应当避免中间计算出现2)(b a -的形式，从而不必讨论a －b 的符号。
奥数知识点汇总初二
奥数知识点汇总初二初二阶段的奥数学习，对于提升数学思维和解决问题的能力有着重要作用。
以下为大家汇总初二奥数常见的知识点。
一、二次根式1、二次根式的定义：形如\（＼sqrt{a}（a\geq0)＼）的式子叫做二次根式。
2、二次根式的性质：＼（＼sqrt{a^2}＝｜a|＼）＼（＼sqrt{ab}＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}（a\geq0,b\geq0)＼）＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝（a\geq0,b>0)＼）3、二次根式的运算：二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。
二次根式的乘除：乘法法则为\（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＝＼sqrt{ab}（a\geq0,b\geq0)＼），除法法则为\（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝（a\geq0,b>0)＼）二、勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为\（a\）、＼（b\），斜边长为\（c\），那么\（a^2 ＋ b^2 ＝ c^2\）。
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长\（a\）、＼（b\）、＼（c\）满足\（a^2 ＋ b^2 ＝ c^2\），那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足\（a^2 ＋ b^2 ＝ c^2\）的三个正整数，称为勾股数。
三、平行四边形1、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等。
平行四边形的对角相等，邻角互补。
平行四边形的对角线互相平分。
2、平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
四、特殊的平行四边形1、矩形：性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
(完整word版)八年级数学培优竞赛专题09二次根式的概念与性质
专题09二次根式的概念与性质阅读与思考式子、_ a(a _0)叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有:1•苗 >0 •说明了与a 、a 2 一样都是非负数.4. . ab = •.乳 b ( a >0, b >0)6.若a > b >0,则-.a >、、b >0,反之亦然，这是比较二次根式大小的基础. 运用二次根式性质解题应注意：(1) 每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围； (2)要学会性质的 正用”与 逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边， 也能够从等式的右边 变形到等式的左边.例题与求解1 i 1ixy - 4-0，那么x - y 的值是2 33 2_______ .( “希望杯”邀请赛试题) 解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题.2.(a > o 通过平方，去掉根号有理化.a a _ 0 -a a 岂0揭示了与绝对值的内在一致性.b >0).给出了二次根式乘除法运算的法则.【例1】设X , y 都是有理数，且满足方程3.5 .【例2】当1<x <2 经化简，J x+2 + J x _ 2 J x _ 1 = _____________解题思路：从化简被开方数入手，注意中a > 0的隐含制约.【例3】若a >0, b >0，且、、a、.a 、一b .a 5、、b ,求2a 3b ab的值.a—b+Jab(天津市竞赛试题) 解题思对已知条件变形，求a , b的值或探求a , b的关系.路：【例4】若实数x , y , m满足关系式：,3x 5y - 2-m ; 2x 3y -m = __ y 1 9 9-x,试确定m 的值.(北京市竞赛试题) 解题思路：观察发现(x —199 + y )与(199- x —y )互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口.___ A1例5】已知a "2肓一4门亠市一2_5，求a+b+c的值.(山东省竞赛试题) 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢‘考虑从配方的角度试一试.【例6】在厶ABC中，AB, BC, AC三边的长分别为、、5 , ,10，•-13，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ ABC(即△ ABC三个顶点都在小正方形的顶点处) ，如图1所示.这样不需求△ ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.(1) _____________________________________________ 请你将△ ABC的面积直接填写在横线上：____________________________________________________________ .(2)我们把上述求△ ABC面积的方法叫作构图法. 若厶ABC三边的长分别为'、5a , 2 . 2a，-、17a (a >0),请利用图2中的正方形网格(每个小正方形的边长为 a )画出相应的△ ABC，并求出它的面积.(3)若厶ABC三边的长分别为•- m2 16n2, 9m2 4n2,2 m2n2( m > 0, n > o,且m zn ) 试运用构图法求出这个三角形的面积.(咸宁市中考试题)解题思本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直三角形、正方形等特殊图形求得.能力训练A级Jx_3 _21.要使代数式耳---------- 有意义•则x的取值范围是________________x —4x +3（“希望杯”邀请赛试题）2 •阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答.已知a为实数，化简…-一.解：原式=a •. _a - aL ~a — a -1-a . a3 .已知正数a , b，有下列命题：(1 )若a = 1, b = 1, 则、、ab 三1 ；(2)若1 a=—,b =-5则'、ab _色；222(3)若a = 2, b = 3, 则、、an 乞5；2(4) 若a = 1,b = 5, 则ab 岂3.根据以上命题所提供的信息，请猜想：若 a = 6, b = 7,则,'ab <（黄冈市竞赛试题）c^c 一=0 ,则a ( b + C)的值为44.已知实数a , b , c满足一a -b十』2b +c十5•代数式,x 的最小值是（）B. 1+ 2 D .不存在F列四组根式中是同类二次根式的一组是（）•A . .2.5 和2 .0.5 C. ,a2b 和ab23 a和3b、、b■. ab7c3和ab“希望杯”邀请赛试题）化简\9x2-6x- .3x-5 $的结果是A . 6X —6B . —6X + 6C.—48 .设a是一个无理数，且a , b满足a b —a —b +1 = 0，则b是一个（A .小于0的有理数B .大于0的有理数C.小于0的无理数 D .大于0的无理数已知梟1梟十晶、=3拓#品+4拓其中ab工0,求I.3丿a -5b 、aba b , ab（江苏省竞赛试题））.（武汉市竞赛试题）的值.（山东省中考试颗）10 .已知6「11与6 - 11的小数部分分别是a , b，求ab的值.（浙江省竞赛试题）11.设a , b , c为两两不等的有理数.求证: ] 12+ 1 2 + 12为有理数.Y(a_b) (b_c) (c_a)（北京市竞赛试题）12 •设x , y 都是正整数，且使、、x-116 一 x 100二y ，求y 的最大值.（上海市竞赛试题）满足 1999-a .a-2000 ，则 a - 19992=n 满足 m +4 j mn —2— wn +4 n =3, 那$么 \m +2^n _8 的值为Jm +2 J n +2002（北京市竞赛试题若a , b 满足3需十5 b =7」s = 2V^-3b的取值范围是（全国初中数学联赛试题已知整数x y 满足.x + 2 . y = 50,那么整数对（x , y ）的个数是（（江苏省竞赛试题1=1,那么代数式一+|a 的值为（aC •-D • -5（重庆市中考试题7.设等式•axia]4\、ayia=・xiai 、..aiy 在实数范围内成立，其中x , y , a 是两两不同3 2 + _ 2的实数•则代数式翌豊的值为（ -xy y 8 .已知；25 - x - = 15 - x - 2，则=25 - x 1^ x 的值为(已知x ，y 为实数，y — I dx 21，则 5x + 6y =x -3已知实数9 .设 a , b , c 是实数，若 a + b + c = 2-、a ■ 1 + 4-.'： b ■ 1 + 6〔. c-2 — 14,求ab c bc a c a 的值.3 3 3 1 1 1 10.已知 ax 3= by 3= cz 3,+ — + — = 1，求证: xyz11 .已知在等式二s 中，a , b , c , d 都是有理数, ex +d (1 )当a , b , c , d 满足什么条件时， s 是有理数,(2)当a , b , c , d 满足什么条件时， s 是无理数.(“希望杯”邀请赛试题)12.设s I"!2冷小寺+古…卜命+爲，求不超过S 的最大整数⑸.13. 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点 B , D 作AB 丄BD , ED 丄BD ，连结AC , EC ,已知AB = 5, DE = 1 , BD = 8,设 CD = x .(1) 用含x 的代数式表示 AC + CE 的长； (2) 请问点C 满足什么条件是 AC + CE 的值最小？3 根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式J x 2+4+J(12-x f +9的最小值.(北京市竞赛试题)3ax 2by 2x 是无理数.求:八年级数学培优竞赛专题二次根式的掇念与性质911 13 11叭(昙十±>—4}+(寺犷1|'片1加"0刮 2 (式三。
二次根式及经典习题与答案
二次根式及经典习题与答案二次根式的知识点汇总二次根式的概念是指形如√a的式子，其中被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
需要注意的是，因为负数没有平方根，所以当a<0时，二次根式无意义。
为了使二次根式有意义，只需要满足被开方数大于或等于零，即a≥0.此外，二次根式的非负性也是一个重要的知识点，即√a表示a的算术平方根，且当a≥0时，√a是一个非负数。
二次根式的性质包括：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是，当被开方数是负数时，需要先将其化为绝对值形式，再根据绝对值的意义进行化简。
综上所述，二次根式的知识点包括概念、取值范围、非负性、性质等。
在解题时，需要注意化简时的符号变化和取值范围的限制。
4.当x满足什么条件时，(1-x)²是一个二次根式。
5.在实数范围内分解因式：x⁴-9=(x²+3)(x²-3)，x²-22x+2=(x-11-√119)(x-11+√119)。
6.若4x²=2x，则x的取值范围是x=0或1/2.7.已知(x-2)²=2-x，则x的取值范围是x=1-√2或1+√2.8.化简：x²-2x+1÷(x-1)，结果是x-1.9.当1≤x≤5时。
10.把a-√a的根号外的因式移到根号内，等于√a(a-1)。
11.使等式(x-1)²+x-5=。
成立的根号外的因式是x-1.12.若a-b+1和a+2b+4互为相反数，则(a-b)²=4.13.在式子x²,2,y+1(y=-2),-2x(x²+1),x+y中，二次根式有3个。
14.下列各式一定是二次根式的是a²+1.15.若2/a-7/a³=2/a²-a，则(2-a)²-(a-3)等于1-2a。
16.若A=√(a²+4)/2，则A=(a+2)/2.17.若a≤1，则(1-a)³化简后为1-a³。
八年级数学二次根式常考必考知识点总结
二次根式是指形如√a的表示形式，其中a为一个非负实数。
在八年级数学中，二次根式是一个非常重要且常考的知识点。
下面是对八年级数学二次根式常考必考知识点的总结：1.二次根式的定义：√a表示一个非负实数x，使得x的平方等于a。
其中，a被称为被开方数，x被称为开方根。
2.二次根式的性质：-非负实数的二次根式是唯一确定的。
-如果a≥0，则√a≥0。
-如果a≥0，则(√a)²=a。
3.二次根式的化简：-如果被开方数是一个完全平方数，则可以直接得出其简化形式，如√4=2-如果被开方数可以分解为两个完全平方数的乘积，则可以使用分解法简化，如√12=√(4×3)=2√3-如果被开方数是一个分数，则可以使用有理化方法简化，如√(1/4)=1/√4=1/24.二次根式的运算：-二次根式可以进行加减运算，只要被开方数相同，可以直接相加或相减。
如√2+√2=2√2-二次根式可以进行乘法运算，使用分配律进行展开相乘，然后根据二次根式的性质进行简化。
如(√2+√3)(√2-√3)=2-3=-1-二次根式可以进行除法运算，使用有理化方法进行化简，然后根据二次根式的性质进行简化。
如(√5)/(√2)=(√5)/(√2)×(√2)/(√2)=(√10)/25.二次根式的混合运算：-二次根式可以与整数、分数和其他二次根式进行混合运算。
-混合运算的步骤是先进行内部运算（例如，括号中的运算），然后进行外部运算（例如，开方）。
-在混合运算中，注意运算顺序和运算法则的正确应用，避免出错。
6.二次根式的应用：-二次根式经常出现在几何问题中，如计算边长、面积和体积。
-二次根式也经常出现在实际生活中的计算中，如物体的质量和长度的计算。
以上是八年级数学中关于二次根式的常考必考知识点的总结。
掌握这些知识点，可以帮助学生正确理解和运用二次根式，提高解题能力和数学思维能力。
同时，通过反复练习相关题目，也能够加深对二次根式的理解和掌握。
八年级奥数：二次根式的运算
八年级奥数：二次根式的运算解读课标（a >0）叫二次根式，二次根式的性质是根式化简的依据，而化二次根式为最简根式，又是根式运算的基础，常用的基本性质有：1．2．3．4．最简二次根式、同类二次根式是二次根式中重要概念，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式．二次根式的运算是在整式、分式运算的基础上发展起来的，因此，恰当运用公式、分解因式、字母化等是二次根式运算中的常用技巧．问题解决例1 （1）已知a <0=__________________． （2）当1≤x ≤2时，经化简，__________________．例2 设，则． A ．24 B ．25 C ．D ．例3 计算（1）)0()(2≥=a a a )0,0(≥≥⋅=b a b a ab )0,0(6>≥=b a a b a |,|2a a ==--+-+1212x x x x 1a 323126120a a a +--=1012)632)(632(+--+（2）（3）例4 阅读材料：黑自双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：， 它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）的有理化因式是___________，分母有理化得______________．（2）计算：；2001)13(2)13(2)13(|199920002001++-+-+)19992001)(19972001(2001)20011999)(19971999(1999)20011997)(19991997(1997--+--+--3)25)(25(,1)32)(32(=-+=-+347)32)(32()32)(32(3232,33333131+=+-++=-+=⨯⨯=74+23231627321-++①②．（3）已知，求的值．例5 （1）设实数x ，y 满足，求x +y 的值．（2）已知实数．x ，y ，满足，求的值．200420031431321211++++++++ 1313,1313-+=+-=y x 44y x +1)1)(1(22=++++y y x x 2002)2002)(2002(2=++++y x x 58664322+----y x y xy x数学冲浪知识技能广场1．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_____________．2．计算：（1） _____________________． （2）________________． （3）________________． 3．观察下列各式请你将猜想到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来是_______________．4．当时，代数式的值为______________． 5．估计的运算结果应在（ ）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间 D．9到10之间6．如图，数轴上与1对应的点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，设点C 表示的数为x ，则（ ）． AB ．C ．D ．27．若化简的结果为，则x 的取值范围是（ ）．A ．x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ．x ≤48．已知整数x 、y 满足，那么整数对（x ，y ）的个数是（ ）． 2|1|a a +-=+---18)21(1221=-+-+)23)(23(32712=+-8214273 514513,413412,312311=+=+=+231-=m m m m -+-2422202132+⨯=+-xx 2|2|168|1|2+---x x x 25x -502=+y xA ．0B ．1C ．2D ．39．计算：（1）；（2）（3）（4）10．已知，求代数式的值．2163)1526-⨯-21812118-++20|52|2009)61(01--+--20)21()23(3632918++-++-21+=x 111222---++x x x x x思想方法天地11．计算的结果是______________．12．已知，则分式的值等于___________．13．已知，则_______________．14．当，化简的结果是_______________．15．a 、b 为有理数，且满足等式，则的值为（ ）．． A ．2 B ．4 C ．6 D ．816．计算的值等于（ ）．17．已知，则的值是（ ）． A ． B ． C ． D ．18．已知则的值是（ ）．A ．3 8．4 C ．5 D ．619．已知实数x ，y 满足，求的值．20．先阅读再化简求值．（1）在化简的过程中，小王和小李的化简结果不一样：小王的化简过程如下：小李的化简过程如下：请判断谁的化简结果正确，并说明理由．2200612008200720062005-+⨯⨯⨯122+=x 15119232----x x x x 2323,2323+-=-+=y x =+x yy x 521+-=a a a a a a a a -+-+-+-22212369324163++⋅=+b a b a +)7103)(32130(-+-+76.A 76.-B 76320.+C 76320.-D )0(0232>=--x y xy x 222292164y xy x y xy x -+-+2349162516272152522=---x x 221525x x -+-2008)2008)(8(22=----y y x x 2007332322--+-y x y x 1027-.52)52()5(522)2(55222222-=-=+⋅-=+⨯-=原式.25)52()5(522)2(222-=-=+⋅-=原式（2）化简求值：已知，求的值（结果保留根号）． 应用探究乐园：21．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，S 为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：（其中）． （1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S ；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．22．已知，求x 的值．526-=x )1(24).2121(2--++-x x x x =-+-])2([41222222c b a b a S ② ))()((c p b p a p p S ---=2c b a p ++=x x x x x 71357139722=+-+++。
八年级上册数学二次根式知识点总结
八年级上册数学二次根式知识点总结一、二次根式的概念。
1. 定义。
- 一般地，形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
其中“√()”称为二次根号，a 叫做被开方数。
例如√(4)，√(x + 1)(x≥ - 1)都是二次根式。
- 要注意被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。
例如√(-2)就不是二次根式，因为被开方数-2<0。
2. 最简二次根式。
- 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：- 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例如√(8)不是最简二次根式，因为8 = 2^3，√(8)=√(2^3) = 2√(2)，而√(2)是最简二次根式。
- 被开方数不含分母。
例如(1)/(√(2))不是最简形式，将其分母有理化得到(√(2))/(2)，√(2)是最简二次根式。
二、二次根式的性质。
1. (√(a))^2=a(a≥0)- 例如(√(3))^2=3，(√(x + 1))^2=x + 1(x≥ - 1)。
2. √(a^2)=| a|=<=ft{begin{array}{l}a(a≥0) - a(a < 0)end{array}right.- 当a = 3时，√(3^2)=|3| = 3；当a=-3时，√((-3)^2)=| - 3|=3。
3. √(ab)=√(a)·√(b)(a≥0,b≥0)- 例如√(12)=√(4×3)=√(4)·√(3)=2√(3)。
4. √(frac{a){b}}=(√(a))/(√(b))(a≥0,b > 0)- 例如√(frac{8){2}}=(√(8))/(√(2))=(2√(2))/(√(2)) = 2。
三、二次根式的运算。
1. 二次根式的加减法。
- 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式（被开方数相同的二次根式）合并。
- 例如计算√(12)+√(27)-√(48)：- 先化简：√(12)=2√(3)，√(27)=3√(3)，√(48)=4√(3)。
(word完整版)初二数学二次根式概念及性质讲义
二次根式的概念1、判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、计算 ： (1) 2)4((2) （3）2)5.0(（4）2)31(3、 x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③ 4、（1）若a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数【总结】 1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是a ≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2.2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。
【拓展延伸】1、(1)在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.(3)已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。
2、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：5 0.35(2)在实数范围内因式分解72-x 4a 2-11【练习】A 组(一)填空题：1、2)3(x --2123⎪⎪⎫ ⎛2、 在实数范围内因式分解：（1）x 2-9= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)（2） x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)（二）选择题：1、计算（ ）A. 169B.-13C±13 D.132、已知的值不能确定3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A. 3= 2)3( B 0.5=2)5.0( C .2)3.0(=0.3 D 2)75(=35B 组（一）选择题：1、下列各式中，正确的是（ ）。
八年级数学 二次根式的性质与运算 练习题及答案
解析：（1）根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解；
（2）根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行判断.
两边同时平方，整理可得a-20142=2015.
答案：2015
小结：在解决含二次根式与绝对值的问题时，要谨记：（1）二次根式的被开方数为非负数；（2）一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数.另外在解题时还要注意整体思想的灵活运用.
例6已知非零实数a，b满足 ，则a+ b等于（）
综上可知x≥- ，且x≠1.
答案：A
小结：在求解有关字母范围问题时，一般要注意以下两个方面：（1）二次根式的被开方数是非负数；（2）分式的分母不为0.
举一反三：
1.（2012·南充）在函数y= 中，自变量x的取值范围是( )
A.x≠ B. C. D.
解析：由二次根式有意义的条件可知1-2x≥0，解得 ；由分式有意义的条件可知 ≠0，即x≠ ；所以x的取值范围是 .
解析：根据 可得x-2y=0，y+2=0，解得x=-4，y=-2，所以
xy=8.
3.若a，b为实数，且满足 ，则b-a的值为（）
A.2 B.0 C.-2 D.以上都不对
解析：由 可得a-2=0，-b2=0，所以a=2，b=0，所以b-a=0-2=-2.
7.已知a，b，c满足 .
（1）求a，b，c的值；
所以a= b=c，故△ABC为等边三角形.
答案：B
小结：解本题的关键在于利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2对所给等式进行变形，变形后再根据几个非负数的和为0则这几个非负数均为0分别求出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状.
八年级数学竞赛讲座二次根式的运算附答案
八年级数学竞赛讲座二次根式的运算附答案第七讲：二次根式的运算二次根式是指形如a(a≥0)的式子，其运算基于以下几个法则：1) ac±bc=(a±b)c(c≥0)；2) ab=a×b(a≥0，b≥0)；3) a/b=a÷b(a≥0，b>0)；4) (a)²=a²(a≥0)。
同类二次根式的合并是二次根式加减的实质，而二次根式除法和混合运算则常常用到有理化概念。
因此，有理化是二次根式中重要的概念。
二次根式的运算是在有理式（整式、分式）运算的基础上发展起来的，因此，解决二次根式问题时，常常需要用到有理式运算的方法和技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等。
例题求解：例1】已知y=(x²-2)/(x²-2-5x+4+5x/(4-5x))，求x²+y²=4-5x。
解析：由于等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，因此，我们从二次根式的定义入手。
通过二次根式的性质，我们可以通过平方去掉根号有理化，揭示与绝对值的内在一致性。
这样，我们就可以充分运用概念解题。
例2】化简1+1/n²+1/(n+1)²，所得的结果为（）A.1+1/n+1/(n+1)B.1-1/n+1/(n+1)C.1+1/n-1/(n+1)D.1-1/n-1/(n+1)解析：待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式。
特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律。
例3】计算：1）(6+4)/(3+2)；2）10+14-15-21/10+14/15+21；3）75+57+…+5+23+1/(315-10-26+33-2+18)。
解析：若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化。
因此，我们需要观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口。
初中数学奥赛专题复习知识梳理+例题精讲第四讲二次根式的运算
卜人入州八九几市潮王学校二次根式的运算【知识梳理】1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。
2、 二次根式具有如下性质：〔1〕()()02≥=a a a ； 〔2〕⎩⎨⎧<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a 〔3〕()00≥≥⋅=b a b a ab ，； 〔4〕()00>≥=b a b a b a ，。
3、二次根式的运算法那么如下：〔1〕()()0≥±=±c c b a c b c a ；〔2〕()()0≥=a a a n n 。
4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，那么当且仅当d b c a==，时， m d c m b a +=+。
5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。
6、最简二次根式与同类二次根式〔1〕一个根式经过化简后满足：被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；被开方数不含分母。
适宜上述这些条件的根式叫做最简根式。
〔2〕几个根式化成最简根式后，假设被开方数都一样，根指数也都一样，那么这几个根式叫做同类根式。
【例题精讲】【例1】254245222+-----=x x x x y ，那么=+22y x ___________________。
【稳固一】假设y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，那么xy 的值是___________。
【稳固二】200911+-+-=x x y ，那么=+y x _______________________。
【拓展】假设m 适宜关系式y x y x m y x m y x --⋅+-=-++--+19919932253，求m 的值。
【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 22442+--。
苏科版初中八年级数学下册期末二次根式的定义与性质知识点含答案
苏科版初中八年级数学下册期末二次根式的定义与性质知识点含答案
1、二次根式的定义
（）叫做二次根式，“”叫做被开方数．
2、二次根式有意义的条件
（1）有意义：由二次根式的定义可知，当时，
有意义．
（2）无意义：因为负数没有算术平方根，所以当
没有意义．
3、二次根式的性质
（1（）的非负性
）表示的算术平方根，
）是一个非负数，（）．
（2）二次根式的性质：（）
（3
典例1
（2019
有意义，则的取值范围是 ．
【解答】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
0a a 0a 0a <0a 0a a 0a 0a 0a 22a =0a ()()00a a a a ⎧⎪=⎨-<⎪⎩x 6x 60x -6x 6x
典例2
（2019秋•松桃县期末）计算的结果是
A ．
B ．2
C ．
D ．4
【解答】解：，
故选：．
典例3
（2019春•徐州期末）如图所示，数轴上点所表示的数是
的结果为
．
【解答】解：由数轴知
，
则，
原式，
故答案为：．
2()2-2±22=B A a 1a --1a <-10a +<∴|1|(1)1a a a =+=-+=--1a --。
初二数学二次根式的概念和性质试题
初二数学二次根式的概念和性质试题1.下列根式中属最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、是最简二次根式；B、=，可化简；C、==2，可化简；D、==3，可化简；故选A．2.下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A、C选项的被开方数中均含有未开尽方的因数或因式；D选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不符合最简二次根式的要求．B选项的被开方数虽然是个平方差公式，但是它的每一个因式的指数都是1，因此B选项符合最简二次根式的要求．解：因为：A、=2；C、=|x|；D、=；所以这三个选项都不是最简二次根式．因此符合条件的只有B选项．故选B．3.下列根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（）A．2个B．3个C．6个D．5个【答案】A【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：符合最简二次根式的条件；=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；=，被开方数含分母，不是最简二次根式；=，被开方数含分母；不是最简二次根式；符合最简二次根式的条件；=，被开方数含分母；不是最简二次根式；因此只有，两个符合条件．故本题选择A．4.把化为最简二次根式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题目给出的二次根式中，被开方数含有分母，因此需将根号的分母化去．解：==；故本题选B．5.在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先把各根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可．解：A、=3与被开方数不同，不是同类二次根式；B、=2与被开方数不同，不是同类二次根式；C、=3与被开方数相同，是同类二次根式；D、与被开方数不同，不是同类二次根式．故选C．6.下列运算中，正确的是（）B．与是同类C．（﹣a2）3=a6D．=x﹣1 A．根式【答案】B【解析】A、根据分式的性质解答；B、先化简，再根据同类二次根式的定义解答；C、根据幂的乘方解答；D、利用完全平方公式解答．解：A、错误，结果应为﹣；B、正确，=与是同类二次根式；C、错误，结果应为﹣a6；D、错误，结果应得|x﹣1|．故选B．7.若最简根式与（c为正奇数）是同类根式，则．【答案】a为负奇数，b为正奇数【解析】根据同类根式的根指数相同且被开方数相同列出方程组求解即可．解：∵最简根式与（c为正奇数）是同类根式∴解得∵c为正奇数∴a为负奇数，b为正奇数8.若最简二次根式与是同类二次根式，则m=．【答案】6【解析】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴m2﹣3=5m+3，解得m=6或m=﹣1，当m=﹣1时，=无意义，故m=6．9.在,,,中能与合并的根式有．【答案】,【解析】把能化简的二次根式化简，再确定能与合并的根式．解：∵=2,=2，=2，∴能与合并的根式有,．10.已知最简二次根式和的和是一个二次根式，那么b=，它们的和是．【答案】2 , 2【解析】根据同类二次根式的定义可知：2b+1=7﹣b，求出b的值，继而可算他们的和．解；由题意得：2b+1=7﹣b，解得：b=2，则+=2．故答案为：2，2．。
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专题09 二次根式的概念与性质
4011112
3118:(x+y - 4)+(1)=0 2332103
2x y
x y x y
π⎧+-=⎪⎪+-⎨
⎪+
-=⎪⎩例提示得
)
211,12,110,11=2
x =+≤≤><∴-
例原式
原式
32:2150=0,0,025b a b a b
=-=>>=例提示得即因
得1990199
4:199
1990199
0,352=0201
23=0
x y x y x y x y x y x y m m x y m -+≥+≥⎧⎧∴+=⎨⎨--≥+≤⎩⎩+--⎧=⎨+-⎩例提示由二次根式定义得即由非负数及其性质得
解得
)
)
2
2
2
1
1)230
2
:-+
+
=例520提示将等式整理配方得
()
(
23761331322
24.11
(),S 2422222
1
432
ABC
ABC
S
a a ABC a a a a a a a
a a a =⨯---
==⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=例和的直角三角形的斜边如图所示位置不唯一
(3)构造△ABC 如图b 所示，
mn n m n m n m n m S ABC 5222
1
232142143=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=∆.
A 级
1.⎩⎨
⎧≠+-≥--,034,
0232
x x x ⎩⎨⎧≠≠≤≥∴,13,
15x x x x 或或15<≥∴x x x 或. 2. 不正确，正确的答案是()a a -⋅-1
3.2
213⎪⎭
⎫
⎝⎛ 4.161- 5.B 6.D 7.D 8.B 9.75 10.23117-
11. 提示:设法证明
()+
-2
1
b a ()
()2
2
2
111
1
1
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+-=-+
-a c c b b a a c c b
12.∵y x x ,100,116+-都为整数，
100,116+-∴x x 必为整数.
设(),,,100,1162
2
为正整数n m n m n x m x <=+=-得
()(),21610011622=---=-x x n m 即()()m n n m -+=216=4×54=2×108.
当108=+n m 时，y 的值最大，最大值为108.
B 级
1.-16
2.2000 提示：由02000≥-a 得2000≥a
3.401
1
- 4.314521-
≤≤s 提示：19
314,19521s b s a -=+= 5.D 6.D 提示：由a a
+=11
得0>a 7.B 8.C 9.66
10.提示：令k cz by ax ===3
3
3
,则
3331,1,1k
c
z k b y k a x =
==
11.(1)
当
,0≠==d c a 时，
d
b
s =
是有理数;当0≠c 时，()d
cx c ad b c a d cx c ad b d cx c a d cx b ax s +-
+=+-++=
++=,其中c a 是有理数，d cx +是无理数,c ad b -是有理数;要使s 为有理数，只有0=-c
ad
b ，即ad b
c =.综上知，当000≠≠==c
d c a 或且且
ad bc =时，s 是有理数.
(2)当0,0≠=d c 时，且s a ,0≠是无理数;当0≠c 时，d
cx c ad b c a d cx b ax s +-
+
=++=, 其中c a 是有理数，d cx +是无理数，c ad b -是有理数，所以，当0≠-c
ad b ，即s ad bc ,≠为
无理数.
综上知，当0,0,0≠≠=d a c 或s ad bc c ,,0时≠≠是无理数.
12. ∵()
()
2
2222
211
21211
11++-++=+++n n n n n n n n ()2
2
1111121+++⋅+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n 1111111111
2
+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=n n n n n n n
n 2000
1
2000200011999113121121111-
=-+++-++-+=∴ S .[]1999=∴S 13.(1)AC+CE=()182522
++
-+x x .
(2)当A,C,E 三点共线时，AC 十CE 的值最小.
(3)如图，作BD=12，过点B 作A B ⊥BD ，过点D 作DE ⊥BD ，且使AB=2,DE=3，连结AE 交BD 于点C ，设BC=x ，则CD =12-x,AE 的长即为()912422
+-+
+x x 的最小值，过点A 作
AF//BD 交ED 的延长线于点F ，则DF=AB=2，EF=ED+DF=5，
AF=BD = 8 , AE=22EF AF + =22512+ =13，即原式的最小值为13.。