2020年全国初中数学竞赛试题及答案

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2020年全国初中数学竞赛试题汇编及参考答案-《数学周报》杯二

2020年全国初中数学竞赛试题汇编及参考答案《数学周报》杯二一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）（1）已知实数x y ，满足 42424233y y x x ，，则444y x 的值为（ A）．（A ）7 （B ）1132 （C ）7132 （D ）5解：因为20x ，2y ≥0，由已知条件得212444311384x 2114311322y ，所以444y x 22233y x 2226y x 7．（2）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为n m ,，则二次函数2y x mx n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数.由题意知＝24m n ＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P .（3）有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．（4）已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a ．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ B ）．（A 52 （B ）1（C 32（D ）a解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D ，则120ECA EAC ．又因为1160180222ABO ABD 120 ，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ．（5）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ D ）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种解：设12345a a a a a ，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a 是奇数，则2i a 是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）（6）对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v ．若关于x 的方程1()4x a x有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a ，或1a ．解：由1()4x a x ，得21(1)(1)04a x a x ，依题意有 210(1)(1)0a a a ，，解得，0a ，或1a ．（7）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s y x 66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x 33． ②由①，②可得 x s 4 ，所以 4 x s ．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．。

2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(多份)及答案

保证原创精品　已受版权保护2020年全国初中数学竞赛试题（多份）及答案一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则b a ba 的值为【】A 、3B 、6C 、2D 、32．已知a ＝2020x ＋2020，b ＝2020x ＋2020，c ＝2020x ＋2020，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于【】A 、65B 、54C 、43D 、32ABC DEF G保证原创精品　已受版权保护4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3，y ＝b 2－2c ＋3，z ＝c 2－2a ＋3，则x 、y 、z 中至少有一个值【】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于05．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【】A 、72＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72 D 、112＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【】A 、22b a B 、22b ab a C 、b a 21D 、a ＋b二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为。

8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则bc c a 的值为。

9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝。

2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(含答案)

2020年全国初中数学竞赛试题（含答案）考试时间 2020年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21 m ，21 n ，且)763)(147(22 n n a m m =8，则a 的值等于（）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）93．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y 上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2（D ）h >24．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A ）2020 （B ）2020 （C ）2020 （D ）20205．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QA QC的值为（）（A ）132 （B ）32（C ）23 （D ）23 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2020，c －a =2020．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为．7．如图，面积为c b a 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则b ca 的值等于．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2020米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A !’B !’C !’D !’E !’A !’…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301 a a a ，则 a 10的值等于．( x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知a bx，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312 x ．试写出一个满足条件的x ；（1）（第7题图）ABCDGFE求所有满足条件的x ．（2）12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222 a a c b ①542 a a bc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE·AC=CE·KB ．A14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第第一试求符合条件且周长不超过解由等式可得30的三角形的个数.令a b m,b c n ,那么a c m n ，其中m,n 均为自然数、选择题：〔此题总分值42分，每题 7分〕1.假设a,b,c 均为整数且满足(a b)10(a c)101，那么 |a b| |b c| |c a |1.B . 2.C . 3.4.2. 假设实数a,b,c 满足等式 2、一5 3|b|4、,5 9|b|6c , 那么c 可能取的最大值为0.B . 1.假设a,b 是两个正数，且C . 2.a 1~b~ 1 .B . a b33.0, 那么假设方程x 2 3x 1. D . - a b32.1 0的两根也是方程ax 2 bx0的根，那么a b 2c 的值为—13.B . — 9.C . 6.在厶ABC 中， CAB 60 , D , E 分不是边AB ,A . 5 . CDB 2 CDE ,那么 DCBD . 0.15 °B . 20° .C . 25° . AC 上的点，且 AED(30° .60 , ED DB CE, B )关于自然数n ，将其各位数字之和记为a n ,如a 2009 2 0 0 9 11 , a 2010 2 3，那么a 3Il la2009a201028062. 二、填空题: B . 28065. 〔此题总分值28 分, C . 28067. 每题7分〕 D . 28068.1 .实数X, y 满足方程组19,x y 1,那么x 2132.二次函数ybx c 的图象与x 轴正方向交于 A , B 两点，与y 轴正方向交于点 C . AB、3AC ,CAO 30，那么 3.在等腰直角△ ABC 中，AB = BC = 5, P 是厶 ABC 内一点，且 PA = ,PC = 5,那么 PB = _ . 10 4.将假设干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要显现，且任意中间夹有球的两个球必为同一种颜色的球 .按这种要求摆放，最多能够摆放 _______ 15_个球. 5个或10个第二试〔A 〕.〔此题总分值20分〕设整数a,b,c 〔 a b c 〕为三角形的三边长，满足a 2 b 2 2c ab ac bc 13,(a b)2 (b c)2 (a c)2 26因此，等式①变为m 2 n 2 (m n)226，即1)(2)设m,n 是方程的两个整数根，且m n .(c (c 2n mn 13由于m,n 均为自然数，判定易知，使得等式②成立的〔1〕当 m 3,n 1 时，b c 1 , a b 3 c1) c c 4，解得c 3.又因为三角形的周长不超过号.因此3m,n 只有两组：m 3,和m 1,n 1 n 3.4 .又a,b,c 为三角形的三边长，因此30,即 a b c (c 4) (cc 25，因此c 能够取值4, 5, 6, 7 8,对应可得到5个符合条件的三角形 3〔2〕当m 1,n3时，b c 3, a b 1 c 4.又a,b,c 为三角形的三边长，因此3) c c 解得c 1•又因为三角形的周长不超过30,即a b c (c 4) (c3)c a ，即30,解得c a ，即30，解得23 •因此1 3综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为 5+ 6= 11.二.〔此题总分值 25分〕等腰三角形△ ABC 中，AB = AC , 的内切圆OI 与BC 边的切点，作MD//AC ，交O I 于点D.证明： PD 是O I 的切线. 证明过点P 作O I 的切线PQ 〔切点为Q 〕并延长，交 BC 于点N.因为CP 为/ ACB 的平分线，因此/ ACP = / BCP. 又因为PA 、PQ 均为O I 的切线，因此/ APC = / NPC. 又 CP 公共，因此△ ACP ◎△ NCP ，因此/ PAC =Z PNC. 由 NM = QN , BA = BC ,因此△ QNM BAC ,故/ NMQ =Z ACB ，因此 MQ//AC. 又因为 MD//AC ，因此 MD 和MQ 为同一条直线. 又点Q 、D 均在O I 上，因此点Q 和点 23，因此c 能够取值2, 3, 4, 5, 6, 7,对应可得到6个符合条件的三角形3/ C 的平分线与AB 边交于点P , M ABCD 重合，故PD 是O 的切线• 三.〔此题总分值25分〕二次函数y x 2 bx c 的图象通过两点 P (1,a), Q (2,10a). 〔1〕假如a, b, c 差不多上整数，且c 8a ，求a, b,c 的值. 〔2〕设二次函数 2 y x bx c 的图象与x 轴的交点为 A 、B ,与y 轴的交点为 x 2 bx c 0的两个根差不多上整数，求△ ABC 的面积. bx c 的图象上，故1 b c 解得b 9a 3, c8a 2.8a 2 9a 3,. 口〔1〕由 c b 8a 知解得19a 3 8a,又a 为整数，因此a2, b 9a 3 15, c解点P (1,a)、Q (2,10a)在二次函数 2a 3. 8a 2 14.C.假如关于x 的方程a , 4 2a c 10a ,由根与系数的关系可得 m n b 3 9a , mn c 2 8a ，消去a ，得9mn 8(m n) 6,10 2 1/ m —, m —, m ——, 解得m 1，或 9或 9或 93n 2, 13 7 2n —, n -, n -,9 9 3又m,n 是整数，因此后面三组解舍去，故 m 1,n 2.号.因此3 c 25，因此c 能够取值4，5，6, 7, 8,对应可得到5个符合条件的三角形〔2〕当m 1,n3时，b c 3， a b 1 c 4.又a,b,c 为三角形的三边长，因此(c 3) c c 4，解得c 1.又因为三角形的周长不超过30,即a b c (c 4) (c 3) c 30，解得23 23c .因此1 c ，因此c 能够取值2，3，4，5，6，7,对应可得到6个符合条件的三角形.3 3综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为 5+ 6= 11.54，分解因式，得(9m 8)(9n 8) 10.—9m8 1,亠 9m 8 2,亠 9m 8 因此或或 9n 8 10, 9n 8 5, 9n 8 因此，b (m n) 3， c mn2，二次函数的解析式为 y x 2 3x 2 .(c 1易求得点A 、B 的坐标为〔1,0〕和〔2,0〕，点C 的坐标为〔0,2〕，因此△ ABC 的面积为一2第二试〔B 〕a 2b 2c 2 ab ac bc解不妨设a bc ，由等式可得2 2(a b) (b c)(a 2c)226①令 a b m,b cn ，那么a c m n ，其中m,n 均为自然数.因此，等式①变为 2m 2 2n (m n)26，即2 2m n mn 13②由于m,n 均为自然数，判定易知，使得等式②成立的〔1〕当 m 3,n 1 时，b c 1， a b 3 c1) c c 4，解得c 3.又因为三角形的周长不超过m, n 只有两组: m 3,和n 1m 1, n 3.4 .又a,b,c 为三角形的三边长，因此30，即卩 a b c (c 4) (c1)(2 1) 2 1 .13，求符合条c a ，即30，解得c a ，即两边同时乘以9,得81mn 72(m n)10,亠 9m 8 5, 或1, 9n 8 2,〔此题总分值20分〕设整数a,b,c 为三角形的三边长，满足件且周长不超过 30的三角形的个数〔全等的三角形只运算1次〕第二试〔C 〕〔此题总分值20分〕题目和解答与〔B 〕卷第一题相同• 〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同•〔此题总分值25分〕设p 是大于2的质数，k 为正整数.假设函数y x 2 px (k 1)p 4的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值.解由题意知，方程x 2 px (k 1)p 4 0的两根x 1, x 2中至少有 '个为整数.由根与系数的关系可得 x 1X2p, x 1x 2 (k 1)p 4，从而有(X 1 2)(X 2 2) X 1X 22(x 1X 2) 4 (k 1)p①〔1〕假设k 1，那么方程为: x 2 px 2( p2) 0，它有两个整数根2和2 p〔2〕假设k 1，那么k 1 0.因为x 1 x 2p 为整数，假如 X 1,X 2中至少有-个为整数，那么 X 1,X 2差不多上整数k 1k 1假如m 为负整数，那么(m 1)p 0 , 0，从而(m 1)p0 ,与②式矛盾mm综上所述，k 1 .二. 〔此题总分值三. 〔此题总分25分〕题目和解答与〔 25分〕题目和解答与〔 A 〕卷第二题相同 A 〕卷第三题相同又因为 p 为质数，由①式知 p 1X 1 2 或 p|X 22 .不妨设 p 1 X 1 2 ，那么可设 x 1 2mp 〔其中m 为非零整数〕，那么由①式可得c k 1 X 2 2 -m故(X2) (X 2 2) mp k 1 即X x 2 4 mpk 1mm又X-i X 2p , 因此 p 4 mp ——1，即mk 1 (m 1)p4②m假如m 为正整数，那么 (m 1)p(1 1) 3 6 , k 1k 0,从而(m 1)p - 16，与②式矛盾mm 因此，k 1时，方程x 2px (k 1) p 4不可能有整数根.。

2020年全国初中数学竞赛试题及答案

１nm L F HK DE OAB C全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的实数解的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解：选（A ）。

当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20解：选（B ）。

只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解：选（D ）。

设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，20ct at b ++=三式相加得：2()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=，所以ab c ca b bc a 222++＝333a b c abc ++＝33abcabc= 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心解：选（B ）。

2020年全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案：八

2020年全国初中数学竞赛试题八答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）10 （D ）12 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，，都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（﹣1，0）（D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223yx =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）。

(2020年整理)全国初中数学竞赛试题及答案.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a，b，c22||()||a abc a b c-++-+可以化简为（）．（A）2c a-（B）22a b-（C）a-（D）a1（乙）．如果22a=-11123a+++的值为（）．（A）2-（B2（C）2 （D）22（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b<<，那么1121a ab a b++++，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）214a-（C）12（D）143（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．30ADC∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（A）23（B）4（C）52（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．OAB CED（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100L ，　，，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A ）XXXX （B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是。

2020年全国初中数学竞赛试题(多份)及答案

2020年全国初中数学竞赛试题（多份）及答案一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba b a -+的值为【】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝2020x ＋2020，b ＝2020x ＋2020，c ＝2020x ＋2020，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【】A 、0B 、1C 、2D 、3 3．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于【】A 、65B 、54C 、43D 、32 A BC DE F G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【】 A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于05．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【】A 、72-＜a ＜52B 、a ＞52C 、a ＜72-D 、112-＜a ＜0 6．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【】A 、22b a +B 、22b ab a ++C 、()b a +21 D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为。

8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为。

9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝。

2020年七年级数学竞赛初赛试卷及答案解析

第 1 页共 8 页2020年七年级数学竞赛初赛试卷一．填空题（共11小题）1．我们知道：1+2+3=3×(3+1)2=6，1+2+3+4=4×(4+1)2=10，那么1+2+3+…+100＝． 2．计算：(−2007)5×(−3.25)5×(−23)5×(−1446)5×(−413)5= ．3．设四位数abcd 满足a 3+b 3+c 3+d 3+1＝10c +d ，则这样的四位数的个数为．4．一商店在某一时间以每件a 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，若卖出这两件衣服商店共亏损8元，则a 的值为．5．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有个．6．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣a ﹣1＝0的根都是一整数，那么符合条件的整数a 有个．7．如图，在一个4×4的方格棋盘的A 格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格，那么这枚棋子走28步后到达B 处．（填“一定能”或“一定不能”或“可能”）8．观察下列各等式：第一个等式：22−12−12=1，第二个等式：32−22−12=2，第三个等式：42−32−12=3…根据上述等式反映出的规律直接写出第四个等式为；猜想第n 个等式（用含n 的代数式表示）为．9．观察下列一组数，按规律在横线上填写适当的数，−12，36，−512，720，……，第7个数是．10．满足25{x }+[x ]＝25的所有实数x 的和是（其中[x ]表示不大于x 的最大整数，{x }＝x ﹣[x ]表示x 的小数部分）．11．两个多位正整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为调和数”例如：49与76，因为4+9＝7+6＝13，所以49与76互为“调和数”；又如：225与18，因。

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试第一试一、选择题：〔此题总分值42分，每题7分〕1. 假设,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，那么||||||a b b c c a -+-+-= 〔 B 〕A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．假设实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，那么c 可能取的最大值为〔 C 〕A ．0.B ．1.C ．2.D ．3. 3．假设b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 那么〔 C 〕 A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．假设方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bxc +++=的根，那么2a b c +-的值为〔 A 〕A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，︒=∠60CAB ，D ，E 分不是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,那么=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．关于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，那么12320092010a a a a a +++++= 〔 D 〕A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：〔此题总分值28分，每题7分〕1．实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩那么22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．AC AB 3=，︒=∠30CAO ，那么c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，那么PB ＝．4．将假设干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要显现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多能够摆放____15___个球.第二试〔A 〕一．〔此题总分值20分〕设整数,,a b c 〔a b c ≥≥〕为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，那么a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.因此，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判定易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ 〔1〕当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，因此b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，因此c 能够取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. 〔2〕当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，因此b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，因此c 能够取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．〔此题总分值25分〕等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明过点P 作⊙I 的切线PQ 〔切点为Q 〕并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，因此∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，因此∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，因此△ACP ≌△NCP ，因此∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，因此△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，因此MQ//AC.又因为MD//AC ，因此MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，因此点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．〔此题总分值25分〕二次函数2y x bx c =+-的图象通过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .〔1〕假如,,a b c 差不多上整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.〔2〕设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.假如关于x 的方程20x bx c +-=的两个根差不多上整数，求△ABC 的面积.解点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.〔1〕由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<. 又a 为整数，因此2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.NC A由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.因此981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，因此后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.易求得点A 、B 的坐标为〔1,0〕和〔2,0〕，点C 的坐标为〔0,2〕，因此△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试〔B 〕一．〔此题总分值20分〕设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数〔全等的三角形只运算1次〕.解不妨设a b c ≥≥，由等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，那么a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.因此，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判定易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ 〔1〕当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，因此b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，因此c 能够取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. 〔2〕当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，因此b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，因此c 能够取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第三题相同.第二试〔C 〕一．〔此题总分值20分〕题目和解答与〔B 〕卷第一题相同.二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕设p 是大于2的质数，k 为正整数．假设函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①〔1〕假设1k =，那么方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．〔2〕假设1k >，那么01>-k .因为12x x p +=-为整数，假如21,x x 中至少有一个为整数，那么21,x x 差不多上整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，那么可设12x mp +=〔其中m 为非零整数〕，那么由①式可得212k x m -+=，故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+．又12x x p +=-，因此14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 假如m 为正整数，那么(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 假如m 为负整数，那么(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案讲明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题〔此题总分值42分，每题7分〕此题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个〔不论是否写在括号内〕，一律得0分.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，那么代数式2211a b +的值为〔〕 )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，因此,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 应选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，假设6AB =，5BC =，3EF =，那么线段BE 的长为〔〕 )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，因此△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，因此4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 应选D . 3．从分不写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，那么所组成的数是3的倍数的概率是〔〕)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 因此所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 应选C .4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分不是这两个角的外角平分线，且点,M N 分不在直线AC 和直线AB 上，那么〔〕)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.应选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分不降价10％或20％，假设干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，那么r 的最小值为〔〕)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解容易明白，4天之后就能够显现5种商品的价格互不相同的情形.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定能够表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分不为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数. 因此r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 应选B . 6．实数,x y满足(2008x y =，那么223233x y x y -+-2007-的值为〔〕 )(A 2008-. )(B 2018. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵22(2008)(2008)2008x x y y ----=， ∴2222008200820082008x x y y y y --==+---， 2222008200820082008y y x x x x --==+---，由以上两式可得x y =. 因此22(2008)2008x x --=，解得22008x =，因此22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.应选D .二、填空题〔此题总分值28分，每题7分〕1．设512a -=，那么5432322a a a a a a a+---+=-2-. 解 ∵225135()122a a --===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----. 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，135MAN ∠=︒，那么四边形AMCN 的面积为52解设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，那么AO BD ⊥，22AO OB ==, 2222232(5)()22MO AM AO =-=-=, ∴2MB MO OB =-=. 又135ABM NDA ∠=∠=︒， 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，因此△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 依照对称性可知，四边形AMCN 的面积115222(22222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=△. 3．二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分不为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分不为p ，q ，那么p q +=12解依照题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，因此m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判不式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 因此14p =，14q =-，因此12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2018个位置的数字是 1 .解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；现在还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.因此，排在第2018个位置的数字恰好应该是2的个位数字，即为1.第二试〔A 〕一．〔此题总分值20分〕 221a b +=，关于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ 〔1〕恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解整理不等式〔1〕并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ 〔2〕在不等式〔2〕中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象〔抛物线〕的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式〔2〕关于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，因此它的判不式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 〔3〕消去b ，得42161610a a -+=，因此2a =2a =又因为0a ≥，因此a =a =，因此方程组〔3〕的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此ab 的最小值为14，现在,a b 的值有两组，分不为a b ==a b ==二．〔此题总分值25分〕如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.〔1〕证明：点O 在圆D 的圆周上.〔2〕设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解〔1〕连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，因此△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，因此9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.〔2〕设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，那么222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，因此△BDO ∽△ABC ，因此BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =. 因此22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即22S r ≥，其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.因此圆D 的的半径r 的最小值为22S . 三．〔此题总分值25分〕设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ 〔1〕求a ，b 的值.解〔1〕式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，那么 509650943511m a n a b --== 〔2〕故351160n m a -+=，又2n m =，因此2351160m m a -+= 〔3〕由〔1〕式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，因此2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程〔3〕有整数根，因此它的判不式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=〔t 为自然数〕，那么2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，因此只可能有以下几种情形：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.现在方程〔3〕的解为3m =或5023m =〔舍去〕. 把251a =，3m =代入〔2〕式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试〔B 〕一．〔此题总分值20分〕221a b +=，关于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式 220ay xy bx -+≥ 〔1〕恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在〔1〕式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入〔1〕式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ 〔2〕易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象〔抛物线〕的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式〔2〕关于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，因此它的判不式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 〔3〕消去b ，得42161610a a -+=，因此224a -=或224a +=，又因为0a ≥，因此4a =或4a =. 因此方程组〔3〕的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此满足条件的,a b 的值有两组，分不为a b ==a b == 二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第三题相同.第二试〔C 〕一．〔此题总分值20分〕题目和解答与〔B 〕卷第一题相同.二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解〔1〕式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=，设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，那么 5096509423511m a n a b c ---== 〔3〕故351160n m a -+=，又2n m =，因此 2351160m m a -+= 〔4〕由〔1〕式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，因此22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程〔4〕有整数根，因此它的判不式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=〔t 为自然数〕，那么2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，因此只可能有以下几种情形：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，现在方程〔4〕的解为3m =或5023m =〔舍去〕. 把251a =，3m =代入〔3〕式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入〔2〕式得(27)2b b --=，因此5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。

2020年八年级全国初中数学竞赛试题及答案

2020年八年级全国初中数学竞赛试题及答案2020年全国初中数学竞赛试题一、选择题1.设 $a<b$，$a+b=4ab$，则 $\frac{22}{a-b}$ 的值为【】。

A。

3 B。

6 C。

2 D。

32.已知 $a=1999x+2000$，$b=1999x+2001$，$c=1999x+2002$，则多项式 $a+b+c-ab-bc-ca$ 的值为【】。

A。

0 B。

1 C。

2 D。

33.如图，点 $E$、$F$ 分别是矩形 $ABCD$ 的边 $AB$、$BC$ 的中点，连 $AF$、$CE$ 交于点 $G$，则四边形$AGCD$ 的面积等于【】。

A。

5432 B。

C。

D。

65434.设 $a$、$b$、$c$ 为实数，$x=a-2b+\frac{2}{3}\pi$，$y=b-2c+\frac{2}{3}\pi$，$z=c-2a+\frac{2}{3}\pi$，则 $x$、$y$、$z$ 中至少有一个值【】。

A。

大于 0 B。

等于 0 C。

不大于 0 D。

小于 05.设关于 $x$ 的方程 $ax+(a+2)x+9a=\frac{1}{2}$ 有两个不等的实数根 $x_1$、$x_2$，且 $x_1<1<x_2$，那么 $a$ 的取值范围是【】。

A。

$-\frac{2}{22}0$ C。

$a<-\frac{2}{22}$ D。

$-\frac{5}{77}<a<\frac{2}{22}$6.$A_1A_2A_3\cdots A_9$ 是一个正九边形，$A_1A_2=a$，$A_1A_3=b$，则 $A_1A_5$ 等于【】。

A。

$a^2+b^2$ B。

$a^2+ab+b^2$ C。

D。

$2a^2+2b^2$二、填空题7.设 $x_1$、$x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程$x+ax+a=2$ 的两个实数根，则 $(x_1-2x_2)(x_2-2x_1)$ 的最大值为【】。