高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件2 新人教A版必修1
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高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1
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16
【解析】 (1)方程 x5－x－1＝0，即 x5＝x＋1，令 F(x)＝x5 －x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1.
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17
在同一平面直角坐标系中，函数 f(x)与 g(x)的图像如右图， 显然它们只有 1 个交点．
两函数图像交点的横坐标就是方程的解． 又 F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0， ∴方程 x5－x－1＝0 的一根在区间(1,2)内．
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12
思考题 1 下列图像与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求 函数零点的是( )
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13
【思路】 观察四个函数图像，看哪些函数没有变号零点的， 便不能用二分法求函数零点．
【解析】 这四个图像中，只有图像 A 中的函数无变号零 点．故选 A.
【答案】 A
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14
题型二 判断证明方程的根所在区间问题
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18
(2)令 F(x)＝x3－3x＋1，它的图像一定是连续的，又 F(－2) ＝－8＋6＋1＝－1<0，
F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0， ∴方程 x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内． 同理可以验证 F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1<0， F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3<0， ∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．
第三章 函数的应用
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1
3.1 函数与方程
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2
3.1.2 用二分法求方程的近似解
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3
课时学案 课时作业
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4
要点 1 二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区间的两 个端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
人教A版高中数学必修一《3.1.2用二分法求方程的近似解》课件.pptx
3，4，5题
提出问题
一元二次方程可以用公式求根,但是没有公 式可以用来求方程lnx+2x-6=0的根,能否 利用函数的有关知识来求它的根呢？
Z.x.x. K
研讨新知
我们已经知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内有零点；进一步的问题是，如何找到这个 零点呢？
如果能够将零点的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下,我们 我要说 可以得到零点的近似值.
;… 在有限次重复相同的步骤后,在一定的精度 下,可以将所得到的零点所在区间上任意的 一点(如:端点)作为零点的近似值。
例 根据下表计算函数f (x) lnx 2x 6 在区 间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
解:观察上表知:0.007813<0.01, 所以x=2.53515625≈2.54为函数 给这种方法取个名字? f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。
(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 (2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) (3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b)) 4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b)；否则得复2～4
作业
P92习题3.1A组：
A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) 0 ·1 ·2
C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞)
略解:由题意f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(-1)<0.得 :d=0,a+b+c=0,8a+4b+2c=0,-a+b-c<0.求得 b<0.选A.
例4.已知函数 f (x) mx2 (m 3)x 1 的图象 与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实 数m的取值范围是( ).
提出问题
一元二次方程可以用公式求根,但是没有公 式可以用来求方程lnx+2x-6=0的根,能否 利用函数的有关知识来求它的根呢？
Z.x.x. K
研讨新知
我们已经知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内有零点；进一步的问题是，如何找到这个 零点呢？
如果能够将零点的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下,我们 我要说 可以得到零点的近似值.
;… 在有限次重复相同的步骤后,在一定的精度 下,可以将所得到的零点所在区间上任意的 一点(如:端点)作为零点的近似值。
例 根据下表计算函数f (x) lnx 2x 6 在区 间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
解:观察上表知:0.007813<0.01, 所以x=2.53515625≈2.54为函数 给这种方法取个名字? f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。
(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 (2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) (3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b)) 4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b)；否则得复2～4
作业
P92习题3.1A组：
A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) 0 ·1 ·2
C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞)
略解:由题意f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(-1)<0.得 :d=0,a+b+c=0,8a+4b+2c=0,-a+b-c<0.求得 b<0.选A.
例4.已知函数 f (x) mx2 (m 3)x 1 的图象 与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实 数m的取值范围是( ).
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 优秀课件)
f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口 诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（ （B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结精确度为0.1，则何时停 止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)
高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1
(0.687 5,0.75)
0.687 5
f(0.625) <0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
第十八页，共36页。
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以 (suǒyǐ)0.75可作为方程的一个正实数近似解． [题后感悟] (1)二分法解题流程：
到
|a－b|<ε
零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
第五页，共36页。
1．下列函数零点不宜用二分法的是( ) A．f(x)＝x3－8 B．f(x)＝ln x＋3 C．f(x)＝x2＋2 2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x＋1
解析： 由题意(tíyì)知选C. 答案： C
第六页，共36页。
第九页，共36页。
4．用二分法求方程 ln x＝1x在[1,2]上的近似解，
取中点 c＝1.5，求下一个有根区间． 解析： 令 f(x)＝ln x－1x，
f(1)＝－1<0，f(2)＝ln
2－12＝ln
2 e>ln
1＝0，
f(1.5)＝ln 1.5－23＝13(ln 1.53－2)．
因为 1.53＝3.375，e2>4>1.53，
2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个(yī ɡè)正数 零点附近的函数值的参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.375)＝－ 0.260
f(1.5)＝0.625
f(1.437 5)＝ 0.162
f(1.25)＝－ 0.984
f(1.406 25)＝－ 0.054ห้องสมุดไป่ตู้
0.687 5
f(0.625) <0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
第十八页，共36页。
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以 (suǒyǐ)0.75可作为方程的一个正实数近似解． [题后感悟] (1)二分法解题流程：
到
|a－b|<ε
零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
第五页，共36页。
1．下列函数零点不宜用二分法的是( ) A．f(x)＝x3－8 B．f(x)＝ln x＋3 C．f(x)＝x2＋2 2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x＋1
解析： 由题意(tíyì)知选C. 答案： C
第六页，共36页。
第九页，共36页。
4．用二分法求方程 ln x＝1x在[1,2]上的近似解，
取中点 c＝1.5，求下一个有根区间． 解析： 令 f(x)＝ln x－1x，
f(1)＝－1<0，f(2)＝ln
2－12＝ln
2 e>ln
1＝0，
f(1.5)＝ln 1.5－23＝13(ln 1.53－2)．
因为 1.53＝3.375，e2>4>1.53，
2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个(yī ɡè)正数 零点附近的函数值的参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.375)＝－ 0.260
f(1.5)＝0.625
f(1.437 5)＝ 0.162
f(1.25)＝－ 0.984
f(1.406 25)＝－ 0.054ห้องสมุดไป่ตู้
(新课标)高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解 课件2 新人教A版必修1
f(2.625)>0
(2.5, 2.625) f(2.5)<0, f(2.625)>0
2.5625 f(2.5625)>0
(2.5, 2.5625) f(2.5)<0, f( 2.5625)>0
2.53125 f(2.53125)<0
(2.53125, f(2.53125)<0, 2.546875 f(2.546875)
2.5625) f(2.5625)>0
>0
(2.53125, 2.546875)
f(2.53125) <0, f(2.546875) >0
(2.53125, f(2.53125) 2.5390625) <0,
f(2.5390625) >0
2.5390625 f(2.5390625) >0
2.53515625 f(2.53515625) >0
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
f(2.75)>0
区 间 端点的符号
(2, 3) f(2)<0, f(3)>0
(2.5, 3) f(2.5)<0, f(3)>0 f(2.5)<0,
(2.5, 2.75) f(2.75)>0
中点 的值
2.5 2.75
2.625
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
f(2.75)>0
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度；
区 间 端点的符号
(2, 3) f(2)<0, f(3)>0
(2.5, 2.625) f(2.5)<0, f(2.625)>0
2.5625 f(2.5625)>0
(2.5, 2.5625) f(2.5)<0, f( 2.5625)>0
2.53125 f(2.53125)<0
(2.53125, f(2.53125)<0, 2.546875 f(2.546875)
2.5625) f(2.5625)>0
>0
(2.53125, 2.546875)
f(2.53125) <0, f(2.546875) >0
(2.53125, f(2.53125) 2.5390625) <0,
f(2.5390625) >0
2.5390625 f(2.5390625) >0
2.53515625 f(2.53515625) >0
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
f(2.75)>0
区 间 端点的符号
(2, 3) f(2)<0, f(3)>0
(2.5, 3) f(2.5)<0, f(3)>0 f(2.5)<0,
(2.5, 2.75) f(2.75)>0
中点 的值
2.5 2.75
2.625
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
f(2.75)>0
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 1.确定区间[a, b], 验证f(a)·f(b)＜0, 给定精确度；
区 间 端点的符号
(2, 3) f(2)<0, f(3)>0
人教版高中数学必修1(A版) 用二分法求方程的近似解 PPT课件
3.1.2用二分法求方程的近似解
情境引入
情境一：在一个风雨交加的夜里，从甲地到乙地 的某一处电话线路出现了故障。这是一条长10公 里的线路，其中每隔50米有一个电话杆。你能设 计一种方案，以检查最少的次数查出故障吗？ 情境二：中央电视台“幸运52”节目有一个限时 猜物的游戏：如果在限定的时间内你猜中某种商 品的价格，就把该商品奖励给选手。 现在一部价格在500~1000之间的手机，你能设 计一种可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
重复上面的步骤，得零点x0 (2.5,2.625);
f (2.5) f (2.75) 0, 所以零点在区间（2.5, 2.75）内；
x0 (2.5,2.5625), x0 (2.53125,2.5625), x0 (2.53125,2.5390625), 由于 | 2.5390625- 2.53125| 0.0078125 0.01,
(1)若f (c) 0，则c就是函数的零点； (2)若f (a ) f (c) 0, 则令b c(此时零点x0 (a, c )); (3)若f (c) f (b) 0, 则令a c(此时零点x0 (c, b)).
4.判断是否达到精确度： 即若 | a - c | , 则得到零点的近似值a(或b)； 否则重复2~4.
1 1 x 解：原方程可化为3 1 0,即3 1 x 1 x 1
x
g ( x)
且只有一个交点，所以原方程只有一解x x0 . x 1 x x 令f ( x) 3 3 1, x 1 x 1
f (0) 1 1 1 1 0, 1 1 3 f (0.5) 2 1 0, 3 3 x0 (.05, 0).
h( x )
情境引入
情境一：在一个风雨交加的夜里，从甲地到乙地 的某一处电话线路出现了故障。这是一条长10公 里的线路，其中每隔50米有一个电话杆。你能设 计一种方案，以检查最少的次数查出故障吗？ 情境二：中央电视台“幸运52”节目有一个限时 猜物的游戏：如果在限定的时间内你猜中某种商 品的价格，就把该商品奖励给选手。 现在一部价格在500~1000之间的手机，你能设 计一种可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
重复上面的步骤，得零点x0 (2.5,2.625);
f (2.5) f (2.75) 0, 所以零点在区间（2.5, 2.75）内；
x0 (2.5,2.5625), x0 (2.53125,2.5625), x0 (2.53125,2.5390625), 由于 | 2.5390625- 2.53125| 0.0078125 0.01,
(1)若f (c) 0，则c就是函数的零点； (2)若f (a ) f (c) 0, 则令b c(此时零点x0 (a, c )); (3)若f (c) f (b) 0, 则令a c(此时零点x0 (c, b)).
4.判断是否达到精确度： 即若 | a - c | , 则得到零点的近似值a(或b)； 否则重复2~4.
1 1 x 解：原方程可化为3 1 0,即3 1 x 1 x 1
x
g ( x)
且只有一个交点，所以原方程只有一解x x0 . x 1 x x 令f ( x) 3 3 1, x 1 x 1
f (0) 1 1 1 1 0, 1 1 3 f (0.5) 2 1 0, 3 3 x0 (.05, 0).
h( x )
高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件1 新人教A版必修1
【思路点拨】 f(x)＝0 可变形为 log12x＝4－x，画函 数 y＝log21x 与 y＝4－x 的图象确定交点个数就是函数 f(x) 的零点个数．“精确度 0.1”是要求等分零点所在区间， 直到区间两端点之差的绝对值小于 0.1.
【解】 设 y1＝log21x，y2＝4－x，则 f(x)的零点个数 即 y1＝log12x，y2＝4－x 的图象的交点个数，
• 因为f(6.812 5)·f(6.75)＜0，
• 所以x0∈(6.75，6.812 5)．
• 由于|6.75－6.812 5|＝0.062 5＜0.1，
所以函数 f(x)＝log21x＋x－4 最大零点的近似值可取 6.812 5.
• 【答案】 D
• 3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可 以取的初始区间为( )
• A．[－2，1]
B．[－1，0]
• C．[0，1]
D．[1，2]
• 【解析】 由f(－2)·f(1)<0知初始区间可 以取[－2，1]．
• 【答案】 A
4．用二分法求函数 y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的 近似值，验证 f(2)·f(3)＜0，取区间[2，3]的中点 x1＝2＋2 3 ＝2.5，计算得 f(2.5)·f(3)＞0，此时零点 x0 所在的区间是 ________．
易误警示·规范指导
自主学习·基础知识
3．1.2 用二分法求方程的近似解
[学习目标] 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2.了解二 分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难 点)3.会用二分法求一个函数给在定区间内的零点．从而求得方程的近似解．(易 混点)
作出两函数大致图象，如图：
【解】 设 y1＝log21x，y2＝4－x，则 f(x)的零点个数 即 y1＝log12x，y2＝4－x 的图象的交点个数，
• 因为f(6.812 5)·f(6.75)＜0，
• 所以x0∈(6.75，6.812 5)．
• 由于|6.75－6.812 5|＝0.062 5＜0.1，
所以函数 f(x)＝log21x＋x－4 最大零点的近似值可取 6.812 5.
• 【答案】 D
• 3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可 以取的初始区间为( )
• A．[－2，1]
B．[－1，0]
• C．[0，1]
D．[1，2]
• 【解析】 由f(－2)·f(1)<0知初始区间可 以取[－2，1]．
• 【答案】 A
4．用二分法求函数 y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的 近似值，验证 f(2)·f(3)＜0，取区间[2，3]的中点 x1＝2＋2 3 ＝2.5，计算得 f(2.5)·f(3)＞0，此时零点 x0 所在的区间是 ________．
易误警示·规范指导
自主学习·基础知识
3．1.2 用二分法求方程的近似解
[学习目标] 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2.了解二 分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难 点)3.会用二分法求一个函数给在定区间内的零点．从而求得方程的近似解．(易 混点)
作出两函数大致图象，如图：
高中数学人教A版必修1课件：3.1.2用二分法求方程的近似解(共17张PPT)
值的步骤。
2、课标要求：
会用“二分法”求方程的近似解，体会函数的 零点与方程根之间的联系。
3、主要数学思想－“逐步逼近”思想的运用。
作业：
先利用求根公式求出方程2x2-3x-1=0的解， 然后利用计算器，用二分法求出这个方程的
一个近似解（精确度0.2）。
2.求区间a, b 的中点 c ；
3.计算 f (c);
（1）若 f (c) 0 ，则 c 就是函数的零点。
（2）若 f (a) f (c) 0 ，
则令 b c 此时零点 x0 ∈ a, c ;
（3）若 f (c) f (b) 0 ，
则令 a c 此时零点 x0 ∈ c,b ;
4.判断是否达到精确度；若 a b 则得到零点
（2.5，3）
2.75
f(2.75)>0
（2.5，2.75）
2.625
f(2.625)>0
（2.5，2.625）
2.5625
f(2.5625)<0 （2.5625，2.625）
由于｜2.5625-2.625｜=0.0625<0.1， 所以原方程的近似解为x≈2.6 .
1、本节内容：
（1）“二分法”的定义； （2）给定精确度，用“二分法”求函数零点近似
解决问题
游戏规则:给定1～100这100个自然数,请同
学们猜我手中的卡片上写的是哪个自然数， 对于大家每次猜测的结果，我的提示是“对 了”或“大了”或“小了”。如何猜才能以 最快的速度猜出这个数？
1 71013 25
50
100
8
在上述游戏中，每次将所给区间一 分为二，进行比较后得到新的区间，再一 分为二，如此下去，使得所猜数逐步逼近 给出的数。
2、课标要求：
会用“二分法”求方程的近似解，体会函数的 零点与方程根之间的联系。
3、主要数学思想－“逐步逼近”思想的运用。
作业：
先利用求根公式求出方程2x2-3x-1=0的解， 然后利用计算器，用二分法求出这个方程的
一个近似解（精确度0.2）。
2.求区间a, b 的中点 c ；
3.计算 f (c);
（1）若 f (c) 0 ，则 c 就是函数的零点。
（2）若 f (a) f (c) 0 ，
则令 b c 此时零点 x0 ∈ a, c ;
（3）若 f (c) f (b) 0 ，
则令 a c 此时零点 x0 ∈ c,b ;
4.判断是否达到精确度；若 a b 则得到零点
（2.5，3）
2.75
f(2.75)>0
（2.5，2.75）
2.625
f(2.625)>0
（2.5，2.625）
2.5625
f(2.5625)<0 （2.5625，2.625）
由于｜2.5625-2.625｜=0.0625<0.1， 所以原方程的近似解为x≈2.6 .
1、本节内容：
（1）“二分法”的定义； （2）给定精确度，用“二分法”求函数零点近似
解决问题
游戏规则:给定1～100这100个自然数,请同
学们猜我手中的卡片上写的是哪个自然数， 对于大家每次猜测的结果，我的提示是“对 了”或“大了”或“小了”。如何猜才能以 最快的速度猜出这个数？
1 71013 25
50
100
8
在上述游戏中，每次将所给区间一 分为二，进行比较后得到新的区间，再一 分为二，如此下去，使得所猜数逐步逼近 给出的数。
【数学】3.1.2用二分法求方程的近似解课件A版必修1.pptx
1. 二分法定义 二分法是求函数零点近似解的一种计算方法. 2.解题步骤 ①确定初始区间 ②计算并确定下一区间，定端点值符号 ③循环进行，达到精确度。 3.二分法渗透了逼近的数学思想.
作业： 课本P92 习题3.1 A组 1.2.3.
归纳总结
给定精度，用二分法求函数f (x)零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b],验证f(a)f(b) 0,给定精确度ε
2.求区间（a，b）的中点c。
3.计算f（c）；
a
c
b
（1）若f（c）=0，则c就是函数的零点；其中c= a b 2
(2)若f（a）f（c）<0,则零点 x 0(a,c)令bcx0(a,b)
复习
1）对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的 实数x叫函数y=f(x)的零点
2)方程 f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
3）如果函数y=f(x)在[a, b]上的图象是连续不断的一条 曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a, b)内 有零点，即存在c∈(a, b),使得f( c )=0,这个c 就是方程f(x)=0 的根。
y
Oa
b
x
用二分法求方程的近似解
（第一课时）
叶小英
2008.12.9
函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点
如何求出这个零点？
有点困难！？？
提出问题：
1.如何求方程的解： x2-2x-1=0
X=
1 2
（x=2.4142或-0.4142）
2.若不用求根公式能否求出近似解？
3.借助图像 y
-+
作业： 课本P92 习题3.1 A组 1.2.3.
归纳总结
给定精度，用二分法求函数f (x)零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b],验证f(a)f(b) 0,给定精确度ε
2.求区间（a，b）的中点c。
3.计算f（c）；
a
c
b
（1）若f（c）=0，则c就是函数的零点；其中c= a b 2
(2)若f（a）f（c）<0,则零点 x 0(a,c)令bcx0(a,b)
复习
1）对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的 实数x叫函数y=f(x)的零点
2)方程 f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
3）如果函数y=f(x)在[a, b]上的图象是连续不断的一条 曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a, b)内 有零点，即存在c∈(a, b),使得f( c )=0,这个c 就是方程f(x)=0 的根。
y
Oa
b
x
用二分法求方程的近似解
（第一课时）
叶小英
2008.12.9
函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点
如何求出这个零点？
有点困难！？？
提出问题：
1.如何求方程的解： x2-2x-1=0
X=
1 2
（x=2.4142或-0.4142）
2.若不用求根公式能否求出近似解？
3.借助图像 y
-+
高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1[1]
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第三十一页，共40页。
若天平平衡，则剩下的那一枚为假币，到此也就完成任务 了；若天平不平衡，则假币在较轻的那6枚中；将较轻的6枚再 均分为2组，分别(fēnbié)置于天平上测量，则假币将会出现在较 轻的那3枚中；
再从这3枚中任取两枚，若天平平衡，则未取到的那一枚为 假币，若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币．
第七页，共40页。
●温故知新 旧知再现 1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函数，则b的 取值范围为___b_≥_0___. 2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为__－__1,_1_,3___. 3．方程(fāngchéng)log2x＋x2＝2的实数解1的个数为_____.
因此，发现假币最多需进行4次比较．
第三十二页，共40页。
随堂测评
第三十三页，共40页。
1．若函数f(x)的图象(tú xiànɡ)是连续不断的，且f(0)>0， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点 [答案] D
第十九页，共40页。
用二分法求函数的零点(línɡ diǎn)问题 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一
个正实数零点(精确到0.1)． [解析] 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作
为计算的初始区间，用二分法逐次(zhúcì)计算，列表如下：
第二十页，共40页。
区间
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
若天平平衡，则剩下的那一枚为假币，到此也就完成任务 了；若天平不平衡，则假币在较轻的那6枚中；将较轻的6枚再 均分为2组，分别(fēnbié)置于天平上测量，则假币将会出现在较 轻的那3枚中；
再从这3枚中任取两枚，若天平平衡，则未取到的那一枚为 假币，若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币．
第七页，共40页。
●温故知新 旧知再现 1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函数，则b的 取值范围为___b_≥_0___. 2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为__－__1,_1_,3___. 3．方程(fāngchéng)log2x＋x2＝2的实数解1的个数为_____.
因此，发现假币最多需进行4次比较．
第三十二页，共40页。
随堂测评
第三十三页，共40页。
1．若函数f(x)的图象(tú xiànɡ)是连续不断的，且f(0)>0， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点 [答案] D
第十九页，共40页。
用二分法求函数的零点(línɡ diǎn)问题 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一
个正实数零点(精确到0.1)． [解析] 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作
为计算的初始区间，用二分法逐次(zhúcì)计算，列表如下：
第二十页，共40页。
区间
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解教学精品课件 新人教A版必修1
3.1.2 用二分法求方程的 近似解
第一页，共37页。
(lán mù)
课前预习
栏 目 导 航
课堂 (kètáng)探
究
第二页，共37页。
【课标要求】
1.理解二分法求方程近似解的原理和步骤. 2.能根据具体的函数,借助于学习工具,用 二分法求出方程的近似解. 3.知道二分法是求方程近似解的一种常用 方法,体会“逐步逼近”的思想.
第二十四页，共37页。
(2)精确度ε与等分区间次数之间有什么关系?(若
初始区间选定为(a,b),则区间长度为 b-a,等分 1
ba
次,区间长度变为
;等分 2 次,区间长度变为
2
ba
ba
;则等分 n 次,区间长度变为
.要想达
22
2n
ba
ba
到精确度,需满足 2n <ε n>log2 )
第二十五页，共37页。
第三十四页，共37页。
取中点 x2=2.75,则 h(2.75)>0, ∴x0∈(2.5,2.75); 取中点 x3=2.625,则 h(2.625)<0, ∴x0∈(2.625,2.75); 取中点 x4=2.6875,则 h(2.6875)<0, ∴x0∈(2.6875,2.75). 由于|2.75-2.6875|=0.0625<0.1,所以函数 的零点即 f(x)=x2 与 g(x)=2x+2 的图象的一 个交点的横坐标约为 2.6875. 类似可得另一交点的横坐标为-0.6875.
(C)(0.5,1),f(0.75) (D)(0,0.5),f(0.125)
第二十六页，共37页。
解析:二分法要不断地取区间的中点值进行计 算.由 f(0)<0,f(0.5)>0 知 x0∈(0,0.5).再计 算 0 与 0.5 的中点 0.25 的函数值,以判断 x0 的更准确位置.故选 A.
第一页，共37页。
(lán mù)
课前预习
栏 目 导 航
课堂 (kètáng)探
究
第二页，共37页。
【课标要求】
1.理解二分法求方程近似解的原理和步骤. 2.能根据具体的函数,借助于学习工具,用 二分法求出方程的近似解. 3.知道二分法是求方程近似解的一种常用 方法,体会“逐步逼近”的思想.
第二十四页，共37页。
(2)精确度ε与等分区间次数之间有什么关系?(若
初始区间选定为(a,b),则区间长度为 b-a,等分 1
ba
次,区间长度变为
;等分 2 次,区间长度变为
2
ba
ba
;则等分 n 次,区间长度变为
.要想达
22
2n
ba
ba
到精确度,需满足 2n <ε n>log2 )
第二十五页，共37页。
第三十四页，共37页。
取中点 x2=2.75,则 h(2.75)>0, ∴x0∈(2.5,2.75); 取中点 x3=2.625,则 h(2.625)<0, ∴x0∈(2.625,2.75); 取中点 x4=2.6875,则 h(2.6875)<0, ∴x0∈(2.6875,2.75). 由于|2.75-2.6875|=0.0625<0.1,所以函数 的零点即 f(x)=x2 与 g(x)=2x+2 的图象的一 个交点的横坐标约为 2.6875. 类似可得另一交点的横坐标为-0.6875.
(C)(0.5,1),f(0.75) (D)(0,0.5),f(0.125)
第二十六页，共37页。
解析:二分法要不断地取区间的中点值进行计 算.由 f(0)<0,f(0.5)>0 知 x0∈(0,0.5).再计 算 0 与 0.5 的中点 0.25 的函数值,以判断 x0 的更准确位置.故选 A.
人教A版高中数学必修1第三章3.1.2用二分法求方程的近似解课件
快快动手吧！
借助计算器或计算机用二分法求方程 2+x 3x
=7的近似解（精确到0.1）
20:00:06
20
1.二分法的定义；
2.用二分法求函数零点近似值的步骤。
记忆口诀：定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
3.作业：p92 第3、5题
20:00:06
17
例题分析
例1.用二分法求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内的零点的近似解(精确度0.1)
请看下面的表格：
20:00:06
18
区间
端点的符号
中点的值 中点函数值 的符号
（2，3） f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0
(2.5,3) f(2.5)<0,f(3)>0 2.75 f(2.75)>0
7
分析：如何求方程 x3+3x-1=0 的近似解 x1. （精确度0.1）
-
+
f(0)<0，f(1)>0 0<x1<1
0
1
-
+
f(0)<0，f(0.5)>0 0<x1<0.5
0
- +0.5
1
0 0.25 0.5
1 f(0.25)<0，f(0.5)>0 0.25<x1<0.5
-+
0 0.25 0.375
x0∈(a,c)；
（3）若f(c)·f(b)<0 ，则令a=c，此时零点
x0∈(c,b).
20:00:06
16
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4.函数 f(x)＝log2x＋2x－1 的零点必落在区间( C )
1 (1,2)
解析
1 1 1 15 5 f8＝－ 4 ＜0，f4＝－2＜0，f2＝－1＜0，f(1)＝1＞0，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间
的两个端点逐步逼近
做二分法.
，进而得到零点近似值的方法叫
零点
2.二分法的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证 (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)； ①若f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； ②若f(a)· f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈ (a，c) ).
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点， 即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，
又f(1)＞0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点 c (0,1) 0.5
f(a)
(2)f(a)· f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
f(a)· f(b)＜0 ，给定精确度ε；
③若f(c)· f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈ (c，b) ).
(4)判断是否达到精确度ε：即若
|a－b|＜ε ，则得到零点近
似值a(或b)；否则重复(2)～(4).
课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一 二分法概念的理解
例1
是(
下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的
在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则
方程的解所在区间为( A )
A.(1.25,1.5) C.(1.5,2) 解析 B.(1,1.25) D.不能确定
由于f(1.25)· f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5).
1 2 3 4 5
当堂训练，体验成功
[知识链接] 现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你
能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20
元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价
格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？
[预习导引] 1.二分法的定义
f(b)＜0 的函数 y ＝ f(x) ， 对于在区间[a，b]上 连续不断 且 f(a)· 一分为二 ，使区间
解析 由二分法的意义，知选A.
要点二 用二分法求方程的近似解 例2 0.1). 解 令 f(x) ＝ 2x3 ＋ 3x － 3 ，经计算， f(0) ＝－ 3 ＜ 0 ， f(1) ＝ 2 ＞ 0 ， 用二分法求方程 2x3 ＋3x－ 3 ＝0 的一个正实数近似解 ( 精确度
f(0)· f(1)＜0，
“二分法”求函数零点.
跟踪演练1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( B )
解析
函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这
样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只
有B选项符合.
(2) 用二分法求函数 f(x) 在区间 [a ， b] 内的零点时，需要的条
件是( A ) ①f(x)在区间[a，b]是连续不断；②f(a)· f(b)＜0；③f(a)· f(b)＞ 0；④f(a)· f(b)≥0. A.①② B.①③ C.①④ D.①②③
a＋b a＋b C.区间a， 或 ，b内的任意一个实数 2 2
D.x＝a 或 x＝b
1 2 3 4 5
解析 由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确
a＋b ＝0，知选 B. 值，也可能是近似值.由 f 2
答案 B
1 2 3 4 5
3.函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0
1 2 3 4 5
2.定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数 f(x)在区间(a，b)上有一个零点 x0，且 f(a)· f(b)＜0，用二分法
a＋b 求 x0 时，当 f ＝0 时，则函数 f(x)的零点是( 2
)
A.(a，b)外的点
1 2 3 4 5
a＋b B.x＝ 2
规律方法
1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成
两部分 . 二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步 逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求
的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函
数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用
)
解析
按定义， f(x) 在 [a ， b] 上是连续的，且 f(a)· f(b) ＜ 0 ，
才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二 分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足 条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数 值不变号，因此不能用二分法求解.故选A. 答案 A
f(b)
a＋b f( 2 )
f(0)＜0 f(1)＞0 f(0.5)＜0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＞0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)＜0 (0.625,0.7 0.687 f(0.625) 5) 5 ＜0
f(0.75) f(0.625)＜
＝5.625＞0，
∴下一个有根的区间是(2,2.5).
课堂小结
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求 的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断；
区间 (1,2) (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5)
区间中点值xn x1＝1.5 x2＝1.25 x3＝1.375
f(xn)的值及符号 f(x1)＝0.33＞0 f(x2)＝－0.37＜0 f(x3)＝－0.035＜0
∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.
f(2)＝4＞0，
1 ∴函数零点落在区间2，1上.
1 2 3 4 5
5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区
间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________. (2,2.5)
解析 f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5
＞0 f(0.75) ＞0 0 f(0.687 5) ＜0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1， 所以方程 2x3＋3x－3＝0 的一个精确度为 0.1的正实数近似解 可取为0.687 5.
规律方法
1.二分法求方程的近似解的过程可用下面的流程图表示：
2.求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求F(x)＝
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1. 用二分法求函数 f(x) ＝ x3 ＋ 5 的零点可以取的初始区间是 ( A A.[－2,1] ) B.[－1,0] C.[0,1] D.[1,2]
解析 ∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0， f(－2)· f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次 计算.
f(x)－g(x)的近似解问题.
跟踪演练2
用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度
为0.2).参考数据：
x
1.125 1.25 1.375
1.5
1.625 1.75 1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
解 令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0， f(2)＝22＋2－4＞0.
第三章——
函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解
[学习目标]
1.能用二分法求出方程的近似解. 2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“ 逐步逼 近”的思想.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学
挑战自我，点点落实
2 课堂讲义
重点难点，个个击破
3 当堂检测