彭万霞--弧长和扇形面积--先
北师大版九年级数学下册：3.9《弧长及扇形面积》说课稿
北师大版九年级数学下册：3.9《弧长及扇形面积》说课稿一. 教材分析《弧长及扇形面积》这一节是北师大版九年级数学下册的一个重要内容。
它是在学生学习了圆的相关知识的基础上进行讲解的，对于学生来说，他们对圆已经有了初步的认识。
本节课主要介绍了弧长和扇形面积的计算方法，这两个概念在数学中有着广泛的应用。
教材通过生动的实例和具体的计算，帮助学生理解和掌握这两个概念。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，他们对于图形的认识已经比较成熟，对于圆的相关知识也有了一定的了解。
但是，学生在学习这一节内容时，可能会对弧长和扇形面积的计算方法感到困惑，因此，我会在教学中重点解释这两个概念的计算方法，并通过具体的例子让学生更好地理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解弧长和扇形面积的概念，掌握它们的计算方法，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过实例分析和计算，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极探究的学习态度。
四. 说教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.难点：理解弧长和扇形面积的概念，并能够灵活运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法和实例分析法进行教学。
通过讲解和举例，让学生更好地理解弧长和扇形面积的概念和计算方法。
同时，我还会运用多媒体手段，如PPT等，来辅助教学，使课堂更加生动有趣。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出弧长和扇形面积的概念，激发学生的兴趣。
2.讲解：讲解弧长和扇形面积的计算方法，并通过具体的例子让学生更好地理解。
3.练习：让学生进行一些相关的练习题，巩固所学知识。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
5.作业布置：布置一些相关的作业，让学生进一步巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.弧长及扇形面积的概念2.弧长的计算方法：弧长 = 半径 × 圆心角（弧度制）3.扇形面积的计算方法：扇形面积 = 1/2 × 弧长 × 半径八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现和作业完成情况进行评估。
华师大版数学九年级下册《弧长和扇形的面积》说课稿2
华师大版数学九年级下册《弧长和扇形的面积》说课稿2一. 教材分析华师大版数学九年级下册《弧长和扇形的面积》是本节课的主要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了圆的性质、三角函数等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要目标是让学生了解弧长和扇形面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过引入实际问题，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式，从而培养学生的探究能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质和三角函数有一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生通过探究活动，自己发现并理解弧长和扇形面积的计算公式。
同时，学生对于实际问题的解决能力还需要进一步的培养。
三. 说教学目标本节课的教学目标有三点：1.让学生了解弧长和扇形面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.培养学生的探究能力和解决问题的能力。
3.通过对实际问题的解决，培养学生的应用意识和实践能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是弧长和扇形面积的计算方法的推导和应用。
学生需要通过探究活动，自己发现并理解弧长和扇形面积的计算公式。
同时，学生还需要学会如何运用这些公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用探究式教学法和情境教学法。
通过引导学生参与探究活动，让学生自己发现并理解弧长和扇形面积的计算公式。
同时，我还将运用多媒体教学手段，以形象直观的方式展示弧长和扇形面积的计算过程，帮助学生更好地理解和掌握这些知识。
六. 说教学过程1.导入：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何计算弧长和扇形面积。
2.探究活动：引导学生通过实验、观察、讨论等方式，发现并理解弧长和扇形面积的计算公式。
3.讲解与示范：对弧长和扇形面积的计算方法进行讲解和示范，让学生明确计算步骤和注意事项。
4.练习与拓展：布置一些实际问题，让学生运用所学知识进行解答，巩固所学内容，并进一步培养学生的应用意识和实践能力。
专题24.4 弧长和扇形面积讲练-2021年初中数学九年级上册同步讲练(教师版含解析)
专题24.4弧长和扇形面积典例体系(本专题共91题57页)一、知识点1.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr 2.圆锥与侧面展开图(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.(2)计算公式：S 侧=πrl ，S=πr(l+r)二、考点点拨与训练考点1：计算弧长典例：(2020·吉林长春·初三一模)如图，BC为⊙O直径，点A是⊙O上任意一点(不与点B、C重合)，以BC、AB为邻边的平行四边形ABCD的顶点D在⊙O外．(1)当AD与⊙O相切时，求∠B的大小．(2)若⊙O的半径为2，BC＝2AB，直接写出AC的长．【答案】(1)∠B＝45°；(2)4 3【解析】解：(1)连接OA，如图1所示：∵AD与⊙O相切，∴AD⊥OA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴OA⊥BC，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠B＝45°；(2)连接AC，如图2所示：∵BC 为⊙O 直径，∴∠BAC ＝90°，∵BC ＝2AB ，∴∠ACB ＝30°，∴∠B ＝60°，∴∠AOC ＝2∠B ＝120°，∴AC 的长为1202180π⋅⨯＝43π．方法或规律点拨本题是与圆有关的综合题，涉及圆的基本性质、平行四边形的性质、切线性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、弧长公式等知识，综合性强，难易适中，认真分析，寻找这些知识的关联点并灵活运用是解答的关键．巩固练习1．(2020·黄山市徽州区第二中学一模)如图，在Rt △ABC 中，以BC 的中点O 为圆心的⊙O 分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，DE 的长为()A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】B【解析】连接OE 、OD ，设半径为r ，∵⊙O 分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∵O 是BC 的中点，∴OD 是中位线，∴OD=AE=12AC ，∴AC=2r ，同理可知：AB=2r ，∴AB=AC ，∴∠B=45°，∵∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴DE =901180π⨯=2π故选B2．(2020·辽宁龙城·一模)如图，菱形OABC 的边长为4，且点A 、B 、C 在⊙O 上，则劣弧BC 的长度为()A ．3πB ．23πC ．83πD ．43π【答案】D【解析】连接OB ，∵四边形OABC 是菱形，∴OC ＝BC ＝AB ＝OA ＝4，∴OC ＝OB ＝BC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB ＝60°，∴劣弧BC 的长为60441801803n r ππ⨯==π，故选：D ．3．(2020·江苏镇江市索普初级中学月考)如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F，则BF的长为_____．【答案】8 15π【解析】连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，∴∠FCD=60°，∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，∴∠BCF=48°，∴BF的长=4828 18015ππ⨯⨯=，故答案为815π．4．(2020·江苏南京·月考)如图，在66⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作ABC的外接圆，则BC的长等于_____．【答案】5 2【解析】∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB ＝2，AC ，BC ，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴连接OC ，则∠COB ＝90°，∵OB ＝∴BC 的长为：90180π⋅＝2故答案为：2．5．(2020·山西太原五中一模)如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm ，则该莱洛三角形的周长为_____cm ．【答案】6π【解析】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长6063=6180⨯⨯=⨯ππ(cm)故答案为6π6．(2020·广东其他)如图，90MON ︒∠=，动线段AB 的端点A ，B 分别在射线,OM ON 上，点C 线段AB 的中点，点B 由点O 开始沿ON 方向运动，此时点A 向点O 运动，当点A 到达O 时，运动停止，若20AB cm =，则中点C 所经过的路径长是_______________．【答案】5πcm【解析】解：连接OC ，∵90MON ︒∠=，C 为AB 中点，∴OC=1102AB cm =，∴点C 所经过的路径为以O 为圆心，以OC 为半径的弧，且弧所对的圆心角为90°，∴中点C 所经过的路径长为90105180ππ=cm ．故答案为：5πcm7．(2018·华中师范大学第一附属中学光谷分校月考)在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上．(1)画出△ABC 向上平移4个单位后的△A 1B 1C 1；(2)画出△ABC 绕点O 顺时旋转90°后的△A 2B 2C 2，并求出点A 旋转到A 2所经过的路线长．【答案】(1)见解析；(2)图见解析，π【解析】(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；点A 旋转到A 2所经过的路线长为：2124ππ⨯=．8．(2020·山东滨州·月考)在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABC 向右平移2个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；则A 1坐标为______．(2)将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 2；则C 2坐标为______．(3)求在(2)的旋转变换中，点C 到达C 2的路径长(结果保留π)．【答案】(1)详见解析，(2，5)；(2)详见解析，(2，3)；(3)132π【解析】解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求．A 1(2，5)．故答案为(2，5)．(2)△A 2B 2C 2即为所求．则C 2(2，3)．故答案为(2，3)．(3)点C 的运动路径为9013131802ππ=．9．(2020·山东滨州·月考)如图，已知Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转，得到Rt △DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在AB 边上．(1)求点A 旋转到点D 所经过的路线的长；(2)若点F 为AD 的中点，作射线CF ，将射线CF 绕点C 顺时针方向旋转90°，交DE 于点G ，求CG 的长．【答案】(1)点A 旋转到点D 所经过的路线的长为3π；(2)CG ＝1．【解析】(1)∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，∴AC ＝12AB ＝1，∠A ＝60°，∵CA ＝CD ，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∴点A 旋转到点D 所经过的路线的长＝160180π⋅⋅＝3π．(2)∵△ACD 是等边三角形，AF ＝FD ，∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠DCB ＝30°，∵∠FCG ＝90°，∴∠DCG ＝60°，∵∠CDG ＝∠A ＝60°，∴△DCG 是等边三角形，∴CG ＝CD ＝AC ＝1．10．(2020·广西其他)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,4)A ，(1,1)B ，(3,1)C ．(1)画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △；(2)画出ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的222A B C △；(3)在(2)的条件下，点C 运动的路径对应的弧长为______(结果保留π)．【答案】(1)△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；见解析；(2)△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示；见解析；(3)2．【解析】解：(1)△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示：(2)△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2，如图所示：(3)∵OC 221+3=10，∴点C 经过路径长901010=1802π⋅．考点2：由弧长求扇形半径(圆心角)典例：(2020·扬州中学教育集团树人学校初三二模)如图，将等边△ABC 的边AC 逐渐变成以B 为圆心、BA 为半径的AC ，长度不变，AB 、BC 的长度也不变，则∠ABC 的度数大小由60°变为()A ．(60π)°B ．(90π)°C ．(120π)°D ．(180π)°【答案】D【解析】解：设∠ABC 的度数大小由60变为n ，则AC=180n AB π´，由AC=AB ，解得n=180π故选D ．方法或规律点拨本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l=180n r π是解题的关键．巩固练习1．(2019·乐清市英华学校月考)在⊙O 中，∠AOB=120°，弧AB 的长为8π，则⊙O 的半径是()A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】解：由题意得：1208180180n r r l πππ===，解得：12r =；故选C ．2．(2019·河北涿鹿·期末)起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm ，当物体向上提升3πcm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心旋转的角度为()A ．54︒B ．27︒C ．60︒D ．108︒【答案】A 【解析】解：设半径OA 绕轴心旋转的角度为n°根据题意可得103180n ππ⨯=解得n=54即半径OA 绕轴心旋转的角度为54°故选A ．3．(2020·辽宁双台子·初三一模)一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角的度数是()A ．80°B ．90°C ．100°D ．120°【答案】B【解析】解：∵弧长是π，半径是2，∴2180n ππ=，解得：90n =︒故选：B ．4．(2020·扬州市江都区国际学校初三三模)已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为()A ．60°B ．30°C ．90°D ．120°【答案】A 【解析】解：∵180n rl π=∴1801802606l n r πππ⋅===°故选：A 5．(2020·浙江泰顺·初三二模)一段圆弧的半径是12，弧长是4π，则这段圆弧所对的圆心角是()A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】解：根据弧长公式有：4π＝12180n π,解得：n ＝60．故选：A ．6．(2020·安定区中华路中学三模)一个扇形的弧长是20cm π，面积是2240cm π，则这个扇形的圆心角是___度．【答案】150【解析】根据扇形的面积公式12S lr =可得：1240202r ππ=⨯，解得r =24cm ，再根据弧长公式20180n r l cm ππ==，解得150n =︒.故答案为：150.7．(2020·甘肃肃州·初三二模)已知一个扇形的弧长为2π，扇形的面积是4π，则它的半径为________．【答案】4【解析】解：由扇形的面积公式1=2S lr 可得：1422ππ=⨯⨯r ，解得4r =，故答案为4．8．(2020·哈尔滨市第四十七中学初三三模)已知扇形的半径为5，弧长为103π，那么这个扇形的圆心角为__________度．【答案】120【解析】解：扇形的半径为5，弧长为103π，设扇形的圆心角为n ，可得5101803n ππ⨯=，解得n=120．故答案为：120．9．(2020·黑龙江哈尔滨·初三二模)一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为_______度．【答案】120【解析】解：设扇形圆心角度数为n ，半径为r ，∵弧长为6π，面积为27π，∴62360n r ππ=⨯，227360n r ππ=⨯，解得n=120，r=9，故答案为：12010．(2020·黑龙江哈尔滨·一模)已知扇形半径是9cm ，弧长为4cm π，则扇形的圆心角为__________度．【答案】80【解析】根据94180180n r n l πππ⨯===解得n=80故答案为：8011．(2020·全国单元测试)已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为10π，求圆心角的度数．【答案】120︒【解析】解：圆心角的度数1801801012015l n r πππ⨯===︒．考点3：图形中扇形和不规则图形面积计算典例：(2020·江苏东台·初三月考)如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ．(1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为4，∠C=67.5°，求阴影部分的面积．【答案】(1)详见解析；(2)S 阴影=4π﹣8．(1)证明：如图1，连接OD ，OB OD =，ABC ODB∴∠=∠AB AC∴=ABC ACB∴∠=∠ODB ACB∴∠=∠//OD AC∴DF 是O 的切线，DF OD∴⊥DF AC∴⊥(2)如图2，连接OE ，DF AC AB AC⊥=，67.5ABC C ∴∠=∠=︒45BAC ∴∠=︒OA OB=90AOE ∠=︒O 的半径为4，29041=44483602S ππ⨯∴-⨯⨯=-阴影方法或规律点拨本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、扇形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．1．(2019·阳江市江城区教育教学研究室二模)如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =，则阴影部分图形的面积为()A ．4πB ．2πC ．πD ．23π【答案】D【解析】连接OD ．∵CD ⊥AB ，∴12CE DE CD ===(垂径定理)，∴S △OCE =S △ODE ，∴阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°(圆周角定理)，∴OC=2，∴260223603OBD S ππ⨯==扇形，∴阴影部分的面积为23π．故选：D ．2．(2020·山东初三一模)如图，菱形ABCD 的边长为4，且AE BC ⊥，E 、F 、G 、H 分别为BC 、CD 、DA 、AB 的中点，以A 、B 、C 、D 四点为圆心，半径为2作圆，则图中阴影部分的面积是()A ．34-πB ．32πC ．832-πD ．34-π【答案】D 【解析】∵点E 为BC 的中点，且AE ⊥BC ，∴AB=AC ，∴AB=BC=AC ，∴∠B=60°，BE=EC=12BC=2，∴22224223AB BE -=-=，∴ABCD BC •AE 3S ==菱形，2AGH BEH CEF DGF S S 24S S ππ+++==扇形扇形扇形扇形，∴图中阴影部分的面积是：34π-．故选：D ．3．(2020·厦门市翔安区教师进修学校(厦门市翔安区教育研究中心)其他)如图，在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为2时，则阴影部分的面积为()A ．2π﹣4B ．4π﹣8C ．2π﹣8D ．4π﹣4【答案】A【解析】如图，连接OC .∵C 是弧AB 的中点，∠AOB ＝90°，∴∠COB ＝45°，∵四边形CDEF 是正方形，且其边长为∴∠ODC ＝∴在Rt △ODC 中，，OC==4∴S 阴影＝S 扇形OBC －S △ODC ＝2454360π⨯-12－4，故选A.4．(2020·广西西乡塘·期末)如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S 1+S 2＝12，且AC +BC ＝10，则AB 的长为()A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】解：由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1+S 2＝12，∴12×π×22AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭+12π×22BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭+12AC ×BC ﹣12π×22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12，∴AC ×BC ＝24，AB ==故选：A ．5．(2020·福建宁化·期中)如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为8π，则此扇形的半径为()A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D 【解析】由题意可知：∠AOB ＝2∠ACB ＝2×40°＝80°，设扇形半径为r ，故阴影部分的面积为2808360r ππ=，故解得：16r =，26r =-(不合题意，舍去)，故选D ．6．(2020·湖北江岸·月考)如图，平行四边形ABCD 中8AB cm =，14BC cm =，以点B 为圆心AB 长为半径画弧交BC 于点E ，以点C 为圆心CD 长为半径画弧交BC 于点F ，三角形CDE 的面积为212cm ，阴影部分的面积为_____2cm ．(π取3进行运算)【答案】40【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=8cm ，∠B+∠C=180°，∵三角形CDE 的面积为212cm ，∴平行四边形的面积为122146⨯⨯=562cm ，∵以点B 为圆心AB 长为半径画弧交BC 于点E ，以点C 为圆心CD 长为半径画弧交BC 于点F ，∴28360ABE B S π∠⋅⋅=扇形2cm ，28360CDF C S π∠⋅⋅=扇形2cm ，∴=()ABCD CDF ABE S S S S --阴影扇形扇形=ABCDABE CDF S S S +-扇形扇形=28360C π∠⋅⋅+28360B π∠⋅⋅﹣56=218038360⨯⨯﹣56=96-56=40(2cm )，故答案为：40．7．(2019·乐清市英华学校期中)如图，在扇形AOB 中，120AOB ︒∠=，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC OA ⊥．若=OA _____．π+【解析】解：作OE AB ⊥于点F ，在扇形AOB 中，120AOB ︒∠=，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC OA ⊥．=OA 90AOD ︒∴∠=，90BOC ︒∠=，OA OB =，30OAB OBA ︒∴∠=∠=，tan 3023OD OA ︒∴=⋅=⨯=，4=AD ，2262AB AF ==⨯=，OF =，2BD ∴=，∴阴影部分的面积是：2230223602AOD BDOOBC S S S ππ∆∆⨯⨯-++-==+扇形，π+．8．(2020·河南二模)如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠C =30°，BC B 为圆心，AB 为半径作弧交AC 于点E ，则图中阴影部分面积是______________．【答案】64π-【解析】连接BE ，∵在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，30C ∠=︒，3BC =；∴1AB =，60BAE ∠=︒；∵BA BE =；∴ABE ∆是等边三角形；∴图中阴影部分面积是：22601313360464ππ⨯⨯-=-．故答案为：364π-．9．(2020·高邮市外国语学校初中部月考)已知扇形的圆心角为150°，它的面积为240πcm 2，那么扇形的半径为__________．【答案】24cm ．【解析】解：∵扇形的圆心角为150°，它的面积为240πcm2，∴设扇形的半径为：r ，则：240π=2150360r π⨯⨯解得：r=24cm ．故答案为：24cm ．10．(2020·丹阳市横塘初级中学月考)如图，三圆同心于O ，AB =6cm ，CD ⊥AB 于O ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】94π【解析】解：阴影部分的面积2211694424r πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：94π．11．(2020·山东济南·中考真题)如图，在正六边形ABCDEF 中，分别以C ，F 为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r ，∴2120224360r ππ⨯⨯=，2224,3r ππ∴=236,r ∴=解得r ＝6．(负根舍去)则正六边形的边长为6．故答案为：6.12．(2020·福建省福州屏东中学二模)如图，在ABC 中，CA CB =，90ACB ∠=︒，2AB =，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90︒的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为______【答案】142π-【解析】解：连接CD ，∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠B=45°，∵点D 为AB 的中点，∴DC=12AB=BD=1，CD ⊥AB ，∠DCA=45°，∴∠CDH=∠BDG ，∠DCH=∠B ，在△DCH 和△DBG 中，CDH BDG CD BD DCH B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DCH ≌△DBG(ASA)，∴S 四边形DGCH =S △BDC =12S △ABC =12×12AB•CD=14×2×1=12．∴S 阴影=S 扇形DEF -S △BDC =2901360π⨯-12=4π-12．故答案为4π-12．13．(2020·广东二模)如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】233π【解析】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴△ABD∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△DBH(ASA)，∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD＝260212236023ππ⨯-⨯⨯=-．故答案是：23π-14．(2020·全国月考)如图，在扇形ABO 中，∠AOB ＝90°，C 是弧AB 的中点，若OD ：OB ＝1：3，OA ＝3，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】98π﹣4．【解析】解：连接OC ，过C 作CE OB ⊥于E ，90AOB ∠=︒Q ，C 是弧AB 的中点，45AOC BOC ∴∠=∠=︒，OCE ∴∆是等腰直角三角形，:1:3OD OB =，3OA =，232322CE ∴==，1OD =，∴图中阴影部分的面积245319136028CODCOB S S ππ∆⋅⨯=-=-⨯=-扇形，故答案为：984π-．15．(2020·广东其他)如图，四边形ABCD 和AEFG 都是正方形，点,E G 分别在,AB AD 上，点F 在扇形ADB 的DB 上，已知正方形ABCD 的边长为1，则图中阴影部分的面积为________________．【答案】3π24-【解析】解：如图，连接AF ，正方形ABCD 的边长为1，点F 在扇形ADB 的DB 上1,90AF AD A ︒∴==∠=四边形AEFG 为正方形,AE EF ∴=且2221AE EF AF +==，即221AE =，解得22AE =∴正方形ABCD 的面积为1，正方形AEFG 的面积为2221(22AE ==，扇形的面积为29013604ππ︒︒⋅⋅=∴阴影部分的面积=1314224ππ-+=-.16．(2020·江苏泰州·初三月考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠BCD ＝30°，CD ＝，则阴影部分面积S 阴影＝_____．【答案】23π【解析】解：连接OC ．∵AB ⊥CD ，∴BC BD =，CE ＝DE ∴∠COD ＝∠BOD ，∵∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，∴∠COB ＝60°，∵OC ＝OB ＝OD ，∴△OBC ，△OBD 都是等边三角形，∴OC ＝BC ＝BD ＝OD ，∴四边形OCBD 是菱形，∴OC//BD ，∴S △BDC ＝S △BOD ，∴S 阴＝S 扇形OBD ，∵OD ＝sin 60ED ︒＝2，∴S 阴＝2602360π∙∙＝23π，17．(2018·开江县中小学教学研究室一模)如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm 的O ，AB 所对的圆心角的度数为90︒，弓形ACB (阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为_____________．(结果保留π)【答案】23248()cm π+【解析】连接OA 、OB ，∵∴∠AOB=90°，∴AOB S =188322⨯⨯=(2cm )，()236090848π360ACB S π-⨯==扇形(2cm )，则弓形ACB 胶皮面积为(3248π+)2cm ．故答案为：(3248π+)2cm ．18．(2020·西藏日喀则·一模)如图，折扇完全打开后，OA ，OB 的夹角为120°，OA 的长为18cm ，AC 的长为9cm ，求图中阴影部分的面积S ．【答案】81πcm 2【解析】解：∵OA=18，AC=9，∴OC=OA-AC=9∴22120181209=1082781360360S πππππ⨯⨯-=-=阴影(cm 2)答：阴影部分的面积S 为81πcm 2．考点4：图形变换过程中形成的图象面积计算典例：(2020·江苏新沂·初三三模)(1)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝2．将ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至AB C ''△的位置，点B ，A ，C '在同一条直线上，则线段BC 扫过的区域面积为．(2)①在ABC ，∠ACB=45°，∠ABC=30°，AB=4cm ，则BC=；②将ABC 绕点A 顺时针旋转120°得到AB C ''△，在旋转过程中求线段BC 所扫过的面积．【答案】(1)512π；(2)①(2cm +；②163π【解析】解：(1)Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2AB =，112122BC AB ∴==⨯=，322AC =⨯=，150BAB ∴∠'=︒，()AC B ACB BAB CAB BAB CAB S S S S S S S ''''''∴=+-+=-△△阴影扇形扇形扇形扇形21502536012ππ⨯⨯=-．故答案为：512π．(2)①过点A 作AD BC ⊥，在Rt △ABD 中，30ABC ∠=︒，4cm AB =，∴3cm BD =，2cm AD =，在Rt ACD △中，45ACD ∠=︒，∴2cm CD AD ==，∴(23cm BC BD CD =+=+，故答案为：(23cm +；②(22221202212041202120216=3603603603603S πππππ⨯⨯⨯⨯-+-=阴．方法或规律点拨本题考查了旋转的性质，以及弧长的计算，扇形的面积的计算，(1)中推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．巩固练习1．(2020·广东宝安·初三三模)如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC 绕点B 顺时针旋转120到11A BC V 的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为()A ．77π338B ．47π338C ．πD ．4π33+【答案】C【解析】∵O 、H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，∴△OBH ≌△O 1BH 1，利用勾股定理可求得BH=437+=，所以利用扇形面积公式可得()()2212012074360360BH BC πππ-⨯-==．故选C ．2．(2020·全国课时练习)如图，在AOC ∆中，31OA cm OC cm ＝，＝，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90后得到BOD ∆，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为()2cm ．A ．2πB ．2πC ．178πD ．198π【答案】B【解析】解：AOC BOD ∆∆≌，∴阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积229039012360360πππ⋅⨯⋅⨯=-=故选B ．3．(2020·北京海淀区101中学温泉校区初三三模)如图，将ABC 绕点C 按顺时针旋转60︒得到A B C ''V ，已知6AC =，4BC =，则线段AB 扫过的图形的面积为()A ．23πB ．83πC ．6πD ．103π【答案】D【解析】解：ABC ∆绕点C 旋转60︒得到△A B C ''，ABC \D @△A B C ''，ABC A B C S S D ⅱ\=V ，60BCB ACA ∠'=∠'=︒．AB Q 扫过的图形的面积ABC A B C ACA BCB S S S S D ⅱⅱ=+--V 扇形扇形，AB ∴扫过的图形的面积ACA BCB S S ⅱ=-扇形扇形，AB ∴扫过的图形的面积11103616663p p p =-=．故选：D ．4．(2020·恩施市白果乡初级中学其他)有一张矩形纸片ABCD ，其中4=AD ，以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，如图(甲)，将它沿DE 折叠，使A 点落在BC 上，如图(乙)，这时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是_______．【答案】433π【解析】如图，点O 为半圆的圆心，过点O 作作OH ⊥DK 于H ，∵以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，∴AD=2CD ，∵∠C=90º，∴∠DAC=30º，∴∠ODK=30º，∵OD=OK ，∴∠DOK=120º，∠ODK=∠OKD=30º∴扇形ODK 的面积为120443603ππ⨯=，∵∠ODK=∠OKD=30º，OD=2，∴OH=1，DH=KH==，∴DK=∴△ODK 的面积为112⨯⨯=∴半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是4(3π，故答案为：4(3π．5．(2020·福建省福州延安中学初三期中)如图，在ABC 中90C ∠=︒，2AC BC ==，将ABC 以点A 为旋转中心，顺时针旋转30°，得到ADE ，点B 经过的路径为BD 点C 经过的路径为CE ，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】π3【解析】由题意可得AB AD ===则阴影部分的面积为222230π(22)30π222π236036023ABC ADEABD ACE S S S S ∆∆⨯⨯⨯⨯+--=+--=扇形扇形6．(2019·广东潮州·其他)如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2cm,60,90BOC BCO ︒︒∠=∠=，将BOC 绕圆心O 逆时针旋转至B OC ''△，点C '在OA 上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为_______2cm ．(结果保留π)．【答案】4π【解析】解：60BOC ∠=︒，△B OC ''是BOC ∆绕圆心O 逆时针旋转得到的，60B OC ∴∠''=︒，BCO ∆≅△B C O ''，60B OC ∴∠'=︒，30C B O ∠''=︒，120B OB ∴∠'=︒，2AB cm =，1OB cm ∴=，12OC '=，32B C ∴''=，2120113603B OB S ππ'⨯∴==扇形，1120436012C OC S ππ'⨯==扇形，∴阴影部分面积113124B C O BCO B OB C OC B OB C OC S SS S S S πππ''∆''''=+--=-=-=扇形扇形扇形扇形；故答案为：14π．7．(2020·沭阳县怀文中学初三月考)如图，将四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转30后得到四边形,AEFG 点D 经过的路径为弧DG ．若6,AD =则图中阴影部分的面积为________________________．【答案】3π【解析】∵将四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°后得到四边形AEFG ，∴S 四边形ABCD =S 四边形AGFE ，AG=AD=6，∴图中阴影部分的面积=S 扇形DAG =23063360ππ⨯=．故答案为：3π．8．(2020·广西兴业·初三其他)如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2cm ，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA 上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为_________cm 2．【答案】4π【解析】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，∴∠OBC=30°，∴OC=12OB=1则边BC 扫过区域的面积为：22112012012=3603604πππ⎛⎫⨯ ⎪⨯⎝⎭-故答案为4π．9．(2020·山东中区·初三二模)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝30°，AB ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°得△CDE ，则图中线段AB 扫过的阴影部分的面积为_____．【答案】233【解析】作AF ⊥BC 于F ，∵∠ABC ＝45°，∴AF ＝BF ＝22AB在Rt △AFC 中，∠ACB ＝30°，∴AC ＝2AF ＝2，FC ＝tan ∠AF ACF ＝，由旋转的性质可知，S △ABC ＝S △EDC ，∴图中线段AB 扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB 的面积+△EDC 的面积﹣△ABC 的面积﹣扇形ACE 的面积＝扇形DCB 的面积﹣扇形ACE 的面积＝260360π⨯﹣260(22)360π⨯＝3π，故答案为：3π．10．(2020·洛阳市第二外国语学校初三二模)如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为_____．(答案用根号表示)【答案】6π﹣2【解析】连接OD ，∵扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，∴AC ＝OC ，OD ＝2OC ＝6，∴CD ==∴∠CDO ＝30°，∠COD ＝60°，∴由弧AD 、线段AC 和CD 所围成的图形的面积＝S 扇形AOD ﹣S △COD ＝2606133602π⨯-⨯362π=-∴阴影部分的面积为6π﹣2，故答案为6π﹣2．11．(2020·江苏宿豫·初三期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为4的正方形ABCD 的中心在原点O 处，且AB ∥x 轴，点P 在正方形ABCD 的边上，点P 从点A 处沿A→B→C→D→A→B→…匀速运动，以点P 为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：(1)当⊙P 第1次与x 轴相切时，则圆心P 的坐标为；(直接写出结果)(2)当圆心P 的运动路程为2019时，判断⊙P 与y 轴的位置关系，并说明理由；(3)当⊙P 第一次回到出发的位置时，即⊙P 运动一周，求⊙P 运动一周覆盖平面的区域的面积．【答案】(1)(﹣2，1)；(2)相切；理由见解析；(3)28+π．【解析】(1)∵边长为4的正方形ABCD 的中心在原点O 处，且AB ∥x 轴，∴A(2，2)，B(-2，2)，C(-2，-2)，D(2，-2)，∵当⊙P 第1次与x 轴相切时，圆心P 在正方形的BC 边上，且点P 到x 轴的距离为1，∴圆心P 的坐标为(﹣2，1)，故答案为：(﹣2，1)(2)⊙P 与y 轴相切，理由：∵正方形ABCD 的边长为4，∴⊙P 运动一周时，圆心P 的运动路程为4×4＝16，∵2019÷16=126……3，∴⊙P 运动了126周多，且AP ＝3，∴圆心P 在AB 上，∴圆心P 的坐标为(﹣1，2)，∴圆心P 到y 轴的距离d ＝3-2=1，∵⊙P 的半径r ＝1，∴d ＝r ，∴⊙P 与y 轴相切；(3)如图，阴影部分面积S ＝4×6+1×4×2﹣2×2+29014360π⋅⨯＝28+π，∴⊙P 运动一周覆盖平面的区域的面积为28+π．12．(2020·武汉市黄陂区第六中学初三其他)在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上．(1)画出△ABC 向上平移4个单位后的△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，则点A 所经过的路径长；线段AC 扫过的面积；(3)直接写出△ABC 的外接圆的半径．【答案】(1)见解析；(2)52π；254π；．【解析】解：如图：(1)△A 1B 1C 1即为所求；(2)将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，则点A 所经过的路径长为：905180π⨯＝52π；线段AC 扫过的面积为：2905360π⨯＝254π；故答案为：52π，254π；(3)△ABC 的外接圆的半径为：OC 2212+5513．(2020·黑龙江初三月考)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，AOB ∆的顶点均在格点上，其中点()4,3A ，()1,3B ，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒后得到11A OB ∆．(1)画出11A OB ∆；(2)在旋转过程中点B 所经过的路径长为________；(3)求在旋转过程中线段AB 、BO 扫过的图形面积之和．【答案】(1)见解析；(2)52；(3)254π【解析】解：(1)11A OB ∆如图所示：(2)由勾股定理得，22125BO =+=，所以，点B 所经过的路程长90551802ππ⋅==；由勾股定理得：2243255OA =+==，∵AB 所扫过的面积11A OA B OB S S =-扇形扇形，BO 扫过的面积1=B OB S 扇形，∴线段AB 、BO 扫过的图形面积之和11112905253604A OA B OB B OB A OA ππS S S S ⋅⋅+====-扇形扇形扇形扇形．考点5：圆锥侧面积计算典例：(2020·西藏日喀则·一模)如图，已知用一块圆心角为270°的扇形铁皮做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，做成的烟囱帽底面圆直径是60cm ，则这个烟囱帽的侧面积是_________cm 2．【答案】1200π【解析】解：∵圆锥的底面直径为60cm ，∴圆锥的底面周长为60πcm ，∴扇形的弧长为60πcm ，设扇形的半径为r ，则270180r π=60π，解得：r=40cm ，∴这个烟囱帽的侧面积是12×60π×40=1200πcm 2故答案为：1200π．方法或规律点拨本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．巩固练习1．(2020·黄山市徽州区第二中学一模)已知圆锥的底面积为9πcm 2，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是()A ．18πcm 2B ．27πcm 2C ．18cm 2D ．27cm 2【答案】A【解析】∵圆锥的底面积为9πcm 2，∴圆锥的底面半径为3，∵母线长为6cm ，∴侧面积为3×6π=18πcm 2，故选A ；2．(2020·江苏宿迁·二模)一个圆锥的主视图是边长为4cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于()A ．216cm πB ．212cm πC ．28cm πD ．24cm π【答案】C【解析】∵圆锥的主视图是边长为4cm 的正三角形，∴圆锥的母线长为4cm ，底面圆的半径为2cm ，故圆锥底面圆的周长为4πcm ，故圆锥侧面展开图的面积为S ＝12×4×4π＝8π(cm 2).故选C.3．(2020·长沙麓山国际实验学校初三期末)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是A ．25πB ．65πC ．90πD ．130π【答案】B【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r 为5，∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．故选B ．4．(2019·江苏金坛·初三期中)若将半径为12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是()A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm 【答案】D【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π(cm )，∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6(cm )，故选D ．5．(2020·福建福州十八中三模)一个圆锥的底面半径4r =，高3h =，则这个圆锥的侧面积是__________________(结果取整数)．【答案】63【解析】解：圆锥的母线长5=，所以这个圆锥的侧面积=12×2π×4×5=20π≈63．故答案为63．6．(2020·广西玉林·一模)已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长6cm，则它的侧面展开图的面积为________．【答案】18πcm2【解析】底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=12×6π×6=18πcm2.7．(2020·江苏南京·月考)一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为_____．【答案】15π【解析】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，故答案为：15π8．(2020·江苏镇江·其他)已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为_____．(结果保留π)【答案】6π【解析】解：圆锥的侧面积＝12×3×2π×2＝6π．故答案为：6π．9．(2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学初三月考)圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面积为_________(结果保留π)．【答案】3π【解析】解：圆锥的底面周长=2π×1=2π，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为2π，则圆锥侧面积=12×2π×3=3π，故答案为：3π．10．(2020·江苏泰州·初三月考)圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于_____．【答案】30π【解析】解：圆锥侧面积＝12×2π×5×6＝30π．故答案为30π．11．(2020·浙江长兴·初三一模)如图是一个圆锥形雪糕冰激凌外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm．则这个冰激凌外壳的侧面积等于_______2cm．(结果保留 )【答案】36π【解析】这个冰激凌外壳的侧面积为()231236cmππ⨯⨯=，故答案为36π．考点6：有圆锥的侧面积求圆锥的母线等元素典例：(2019·广东郁南·初三月考)若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是()A ．90°B ．100°C ．120°D ．60°【答案】C【解析】设圆心角的度数是n 度．则6180n π⨯=4π，解得：n =120．故选C.方法或规律点拨本题考查扇形弧长公式.利用转化思想将圆锥的底面圆周长转化为圆锥侧面展开图扇形的弧长是解题的关键.巩固练习1．(2020·江苏泰州·初三月考)如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径画圆弧DE 得到扇形DAE (阴影部分，点E 在对角线AC 上)．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是()A 2B ．1C ．22D ．12【答案】D 【解析】∵正方形ABCD 的边长为4∴4AD AE ==∵AC 是正方形ABCD 的对角线∴45EAD ∠=︒∴454=180DE l ππ︒⨯⨯=︒∴圆锥底面周长为2C r ππ==，解得12r =∴该圆锥的底面圆的半径是12，故选：D ．2．(2020·全国课时练习)若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为()A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°【答案】B【解析】设母线长为R ，底面半径为r ，∴底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=πrR ，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr 2=πrR ，∴R=2r ，设圆心角为n ，有180n R π=2πr=πR ，∴n=180°．故选B ．3．(2020·山东岚山·初三期末)圆锥形纸帽的底面直径是18cm ，母线长为27cm ，则它的侧面展开图的圆心角为()A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】解：根据圆锥侧面展开图的面公式为：πrl=π×9×27=243π，∵展开图是扇形，扇形半径等于圆锥母线长度，∴扇形面积为：227243360n ππ⨯=解得：n=120．故选：C ．考点7：圆锥的母线、底面半径等计算典例：(2020·绍兴市越城区成章中学期中)如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点(0,4)A 、(4,4)B -、(6,2)C -，若该圆弧所在圆的圆心为D 点，请你利用网格图回答下列问题：。
华师大版数学九年级下册《弧长和扇形的面积》说课稿3
华师大版数学九年级下册《弧长和扇形的面积》说课稿3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《弧长和扇形的面积》这一节，是在学生已经掌握了圆的性质、弧长和圆周率的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是引导学生探究扇形的面积计算方法，帮助学生理解和掌握扇形面积的求法，以及应用扇形面积解决实际问题。
教材从生活实例出发，引出扇形面积的概念，接着通过探究活动，让学生经历探索扇形面积计算方法的过程，培养学生的动手操作能力和小组合作能力。
然后，教材给出了扇形面积的计算公式，并通过例题和练习题，帮助学生巩固扇形面积的计算方法。
最后，教材还引导学生运用扇形面积解决实际问题，提高学生的应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的性质、弧长和圆周率有一定的了解。
但是，对于扇形面积的计算方法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生通过探究活动，自主发现扇形面积的计算方法，并在教师的引导下，理解和掌握扇形面积的计算公式。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解和掌握扇形面积的计算方法，能够运用扇形面积解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究活动，培养学生的动手操作能力和小组合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和创新意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：扇形面积的计算方法。
2.教学难点：理解扇形面积的计算原理，能够灵活运用扇形面积解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用探究式教学法，引导学生通过动手操作、观察分析、小组合作等方式，自主发现扇形面积的计算方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示扇形面积的计算过程，帮助学生形象直观地理解扇形面积的计算方法。
六. 说教学过程1.导入：通过生活实例，引出扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究活动：让学生分组进行探究，通过动手操作、观察分析，自主发现扇形面积的计算方法。
3.讲解：引导学生总结扇形面积的计算方法，给出扇形面积的计算公式。
华东师大版初中九年级下册数学说课稿 第27章 圆弧长和扇形面积
《弧长和扇形面积》说课稿各位老师:大家好!我说课的课题是《弧长和扇形面积》，以下我将从教材分析、教学目标设计与教学过程设计等六个方面对本节.课的教学设计进行说明。
一、教材分析《弧长和扇形面积》是义务教育教科书，北师大版九年级下册第三章《圆》第九节，即中考复习指导第六单元第二十五节的内容。
这节课是对《弧长和扇形面积》的系统复习，本课时内容在《初中数学课程标准》中明确指出“会计算弧长及扇形的面积”，同时，本节内容在和中考中分别以选择题和填空题的形式出现，因此，在中考中本节内容也是一个重要的考点。
二、教学目标设计本节课的教学目标如下:1．在复习巩固弧长、扇形面积计算的基础上，会计算弓形面积。
2.掌握不规则图形的面积的计算方法，培养学生观察、理解能力。
l3.通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透整体与局部的关系。
教学重点:复习巩固弧长、扇形面积的计算，会计算弓形面积。
教学难点:掌握不规则图形的面积的计算方法，培养学生观察、理解能力。
三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节:考情分析、考点聚焦，温习回顾、典例分析、课堂小结、课后作业、课后反思。
第一环节:考情分析《初中数学课程标准》中明确提出“会计算弧长及扇形的面积”。
同时本节内容在和中考中分别以选择题和填空题的形式出现,因此在中考中本节内容也是一个重要的考点。
第二环节:考点聚焦，温习回顾1．弧长及扇形（1）半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式:l=nπr/180，变形公式有: n＝180l/πr，r＝180l/nπ。
(2)扇形的定义:有组成圆心角的两条华径和圆心角所对的弧围成的图形。
(3)半径为r，n°的圆心角所对的扇形面积公式:s=nπr2/360＝1/2lr。
(4)扇形的周长:C=l+2r 。
2．弓形（1）弓形的定义:由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
(2)弓形的周长=弦长＋弧长。
（3）弓形的面积。
3．求面积的四种常见方法(1)利用公式法直接求扇形的面积;(2)利用公式法求不规则图形的面积;(3)利用割补法求不规则图形的面积;(4)利用等面积替换法求不规则图形的面积。
湘教初中数学九年级下册《2.6 弧长与扇形面积 》课堂教学课件 (3)
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义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两 条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，阴影部分是一个扇形， 记作扇形OAB．
A
O· B
探究
如何求扇形的面积？
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则 AD 1 AB 1 2.6 1.3 22
又得∠OAD=30°
COSOAD AD
OA
A
D
B
O·
OA AD 1.3 2.6 3
COSOAD COS30 3
S
nπR
120 3.14 2.63源自315.7cm2180
180
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圆心角为n°的扇形的面积是（
n 1 πr2
360
）
根据以上的探究，我们得出：
半径为r 的圆中，圆心角为n°扇形的面积S为
S nπr 2 nπr r 1 lr, 360 180 2 2
A 1°B
O · n°
C
其中l是n°的圆心角所对的弧长．
如图，圆O的半径为1.5cm,圆心角∠AOB=58°, 求扇形OAB的面积（精确到０.1cm2)
1.设圆O的半径为r,你能求出圆心角为1°的扇形的面积吗?
由于圆是旋转对称图形,因此圆心角为1 °的扇形能够互相重合,
1 从而圆心角为1 °的扇形的面积等于圆面积的_____3_6_0_____,
1 即____3__6_0____
πr 2
A 1°B
专题 弧长及扇形的面积-九年级数学下册教学课件(北师大版)
n倍
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
n R
360
2
要点归纳
扇形面积公式
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形
面积的计算公式为
n R 2
S扇形 =
360
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，
它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推
导过程记忆）.
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
的帽子底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积
是（ ）
A．480πcm2
B．60πcm2
C．240πcm2
D．120πcm2
【答案】C
【分析】从图中可以看出小帽的底面圆周长就扇
形的弧长，根据此求出扇形的面积．
【详解】根据圆的周长公式得：圆的底面周长
=20π．
∵圆的底面周长即是扇形的弧长，
×
∴扇形面积S=
= ，
故选：C．
3．小明将直径为6cm的半圆绕点A逆时针旋转60°
设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积
是（
）
A．4.5πcm2
B．6πcm2
C．9πcm2
D．18πcm2
【答案】B
【详解】解：∵S阴影=S半圆AB`+S扇形ABB`-S半圆AB，
而根据旋转的性质可知S半圆AB`=S半圆AB，
作半圆，分别交BC、AC于点D、E．
(1)若∠BAC=50°，求弧BE的长；
(2)连结DE，求证：BD=DE．
【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理求得
∠BOE=100°，根据弧长公式进行计算即可求解；
（2）连接OE,OD，AD，证明OD是△ABC的中位线，
24.4弧长和扇形的面积-甘肃省永靖县刘家峡中学人教版九年级数学上册教案
举例：在讲解弧长和扇形面积计算时，通过具体例子（如圆的1/4部分对应的弧长和面积），让学生掌握计算方法，强调公式中各参数的含义。
2.教学难点
-弧长和扇形面积公式的推导：理解从圆心角所对的弧长和扇形面积与半径的关系，推导出计算公式。
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对弧长和扇形面积的概念理解上存在一些困难。在引入新课时，虽然我通过日常生活中的例子来激发学生的兴趣，但似乎有一部分学生对这些概念的实际意义还是感到困惑。我意识到，在今后的教学中，我需要更多地结合实际情境，让学生从直观上理解这些几何概念。
在讲授新课的过程中，我发现当解释弧长和扇形面积的计算公式时，学生们对圆心角的度量单位转换掌握得不是很好。我尝试通过举例和图示来帮助他们理解，但效果似乎并不理想。我反思，这里可能需要更多的实际操作和练习，让学生在动手实践中加深对公式的理解和应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《24.4弧长和扇形的面积》。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量弯曲道路长度或计算不规则图形面积的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索弧长和扇形面积的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“弧长和扇形面积在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
弧长和扇形的面积优质课教学设计一等奖及点评
《24.4弧长和扇形的面积》教学设计一、内容和内容解析 1、内容弧长和扇形面积公式 2、内容解析和扇形面积”，弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式，应用弧长和扇形面积公式可以计算一些与圆有关的周长和面积，也可以解决一些简单的实际问题，学习这两个公式也为圆锥侧面积公式的推导，打下了基础。
弧长公式是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来，运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧长和扇形面积公式的推导及运用。
二、目标和目标解析 1、目标（1）理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积。
（2）在弧长和扇形面积公式的探究过程中，体会从特殊到一般及类比的数学思想。
2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能够理解1°的圆心角所对的弧长等于圆周长的3601，所对的扇形面积等于面积的3601；能够发现n °的圆心角所对的弧长和扇形面积都是1°的圆心角所对的弧长和扇形面积的n倍；能利用弧长表示扇形面积，并能利用公式计算弧长和扇形面积。
达成目标（2）的标志：弧长和扇形面积公示的推到过程中，引导学生发现弧长与扇形圆周长，扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，并在此过程中体会转化、类比及从特殊到一般的思想进而达成目标。
三、教学问题诊断解析圆的周长和面积公式都是学生已经掌握的内容，学生能够感知到弧长和扇形面积分别与圆周长和面积有关，但是对于公式过程中圆心角的作用不易理解。
教师可以利用特殊情况进行引导：先知道360°的圆心角所对的弧长即圆的周长；然后的180°、90°、1°的圆心角所对的弧长，最后探索n°的圆心角所对的弧长，并通过n°圆心角与1°圆心角的倍数关系得出弧长公式。
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学大教育学科教师辅导教案
组长审核：
学员编号辅导科目数学课时数2课时学员姓名杨乐先年级九年级学科老师彭万霞授课主题弧长和扇形面积
教学目的1.三角形的内切圆和外接圆
2.掌握弧长公式、扇形面积公式
3.掌握圆锥侧面积和全面积计算
教学重点阴影面积的计算
授课日期及时段 2016 年 3 月 27 日 15:00——17:00（第15次课）
教学内容
知识检测
1.如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.
（1）求证：DF垂直平分AC；
（2）求证：FC=CE；
（3）若弦AD=5㎝，AC=8㎝，求⊙O的半径.
知识点1：弧长
1.弧长公式
重点： n 的圆心角所对的弧长公式_____________________.
圆的周长C 与半径R 之间存在关系R C π2=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是
3602R π即180R π.n °的圆心角所对的弧长是180
R
n l π=. *这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。
【例题精讲】
例1.如图，在ABC ∆中，090=∠ACB ,030=∠ABC ,2=AB ，将ABC ∆绕直角顶点C 逆时针旋转060得'''C B A ∆,则点B 转过的路径长为（ ） A.3π B.33π C.3
2π
D.π
例2.如图，在扇形OAB 中，0110=∠AOB ，半径18=OA ，将扇形OAB 沿着过点B 的直线折叠，点O 恰好落在上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则弧AD 的长等于__________.
随堂练习
1.如图1，扇形AOB 中，OA=10， ∠AOB=36︒。
若固定B 点，将此扇形依 顺时针方向旋转，得一新扇形B O A ''， 其中A 点在B O '上，如图2所示，则O 点旋转至O '点所经过的轨迹长度
__________
A
B
O
A
B
O
A ’
O ’ 图1
图2
2.图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，
图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知 AB
的长是_________m ．
3.矩形ABCD 的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A 1B 1C 1D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．
知识点2：扇形面积
重点： n 的圆心角所对的扇形面积公式_____________________.
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。
在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为1°的扇形面积是:
360
2
R π。
于是圆心角为0n 的扇形面积是：
lR R n S 2
1
3602==
π扇（n 也是1°的倍数，无单位）
2m
A
B
C
O
【例题精讲】
例1.如图，扇形AOB 中，半径OA =2，∠AOB =120°，C 是的中点，连接AC 、BC ，则图中阴
影部分面积是（ ） A.﹣2 B ．﹣2
C ．
﹣
D ．
﹣
例2.如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中 阴影部分的面积为（ ） A.（
﹣1）cm 2 B ．（
+1）cm 2 C. 1cm 2
D ．
cm 2
例3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=4，BC=2，分别以AC.BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____________．
随堂练习
1.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的8
1
，则此扇形的圆心角是__________。
2.如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB 与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是_______________(结果保留 ）
3.如图，正三角形ABC 的边长为2，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，以A 、B 、C 三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是 ．
4.如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）．
知识点3：圆锥
1.概念：：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。
其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。
● 圆锥的高h 连结顶点与底面圆心的线段.
● 圆锥的母线l 把连结圆锥顶点和底面圆周上的任意一点的线段 叫做圆锥的母线 ● 底面半径r
● 圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系:
222
l h r
=+
2.圆锥的侧面积和全面积
圆锥底面半径≠扇形半径，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr. (1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧＝________________； (2)圆锥全面积公式：S 圆锥全＝________________； (3)圆锥侧面展开图扇形圆心角公式：θ＝__________. 【例题精讲】
例1.现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（ ）． A.9° B.18° C.63° D.72°
h
r
O l
例2.已知Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，AC= 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）． A ．
π5168 B ．π24 C ．π5
84
D ．π12 例3.小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm ，弧长是π6cm ，那么这个圆锥的高是（ ）
随堂练习
1.一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2.（2015德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5．那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）
A ．288°
B ．144°
C ．216°
D ．120°
1.如图，在ABC Rt ∆中，090=∠C ,030=∠BAC ,BC=1，以B 为圆心，BA 为半径画弧交CB 的延长线与点D ，则弧AD 的长为__________.
2.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE =，CE =1．则弧BD 的长是
（ ） A.
B.
C.
D.
3.如图，AB 切⊙O 于点B ，OA =23，AB =3，弦BC ∥OA ，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．3
2π C ．π
D ．3
2π
4.如图，是某公园的一角，0
90=∠AOB , AB 的半径OA 长是6米，点C 是OA 的中点，点D 在 AB
上，CD//OB,则图中草坪区（阴影部分）的面积是（ ）
A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+3293π平方米
B.
⎪⎭⎫ ⎝⎛+32943π平方米
C.()
393+π平方米 D.⎪⎭
⎫
⎝⎛-3943π平方米
A
C B
第3题第2题
5.如图所示，在△ABC中，∠BAC=30°，AC=2a，BC=b，以AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（）
A. 2πa
B. πab
C. 3πa2+πab
D. πa（2a+b）
6.如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）
A. 42cm
B. 35
C. 26
D. 23
7.小明用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是_______2
cm.。