线代期末复习题
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末考试题一、填空题将正确答案填在题中横线上;每小题5分,共25分1. 若022150131=---x ,则=χ__________; 2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 ;3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵;4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵,且3||=A ,则=|2|A ;5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A ;二、选择题 每小题5分,共25分6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时,该二次型为正定A.054<<-tB.5454<<-tC.540<<tD.2154-<<-t7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,求x 的值A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是 A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点0,2,4且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为 A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为 A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 每小题10分,共50分11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式EX B C T=-)(, 求X ;12.问a 取何值时,下列向量组线性相关 123112211,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭;13. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解 当方程组有无穷多解时求其通解;14. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示;15.证明：若A 是n 阶方阵,且，I AA =T，1-=A 证明 0=+I A ;其中I 为单位矩阵 线性代数期末考试题答案一、填空题 1. 5.解析:采用对角线法则,由002)5(03)2(51=----++-⨯⨯x x 有5=x . 考查知识点:行列式的计算. 难度系数:2.1≠λ.解析:由现行方程组有)1(22211111111-=-+==λλλλλD ,要使该现行方程组只有零解,则0≠D ,即1≠λ.考查知识点:线性方程组的求解 难度系数: 3.n n s s ⨯⨯， 解析;由题可知ns ij c C ⨯=)(,则设D CB AC ==,可知D 的行数与A 一致,列数与B 一致,且A 与B 均为方阵,所以A 为s s ⨯阶矩阵,B 为n n ⨯阶矩阵.考查知识点:n 阶矩阵的性质 难度系数:4. 24解析:由题可知,A 为3阶矩阵且3=A ,则24223==A A .考查知识点:矩阵的运算 难度系数:5. E A 3-解析:由032=--E A A 有E E A A =-)3(,此时E A A 31-=-.考查知识点:求解矩阵的逆矩阵 难度系数:二、选择题 6. A解析：由题可知,该二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5212111t t ,而0455212111,0111,1122>--=-->-=>t t t t t t t,可解得054<<-t ;此时,该二次型正定;考查知识点:二次型正定的判断 难度系数7. C解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5,可解得x=-5; 考查知识点:n 阶矩阵特征值的性质 难度系数: 8. D解析：由题可知,A 为n 阶可逆矩阵,则A 的行向量组线性无关; 考查知识点:n 阶可逆矩阵的性质 难度系数:9. A.解析：由题可知,两平面法向量分别为)3,1,0(),2,0,1(21-==n n ,则所求直线的方向向量为k j i n n s ++-=⨯=3221;所以所求直线为14322-=-=-z y x ; 考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程难度系数:10. C.解析：由08215132=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-λλλλλE A ,可解得特征值为4,221=-=λλ 考查知识点:求解矩阵的特征值难度系数:三、解答题11. 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------121012100120001][1210012100120001][1234012300120001100021003210432111)()()(B C B C B C TT T E X B C ，， 考查知识点:矩阵方程的运算求解难度系数:12.解：)22()12(81212121212121||2321-+=------==a a a a aa a a A ，， 当||A =0时即21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ，，线性相关;考查知识点:向量组的线性相关性 难度系数:13.解：①当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解；②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 考查知识点:线性方程组的求解难度系数:14.解：由题可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------==0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321a a a a A ，，，则()34321=a a a a r ，，，,其中321a a a ，，构成极大无关组,且线性关系为 321422a a a a ++-=考查知识点:向量组的秩与 最大无关组 难度系数:15.证明：由题可知,()()A I TA I A I A AA A I A TT+-=+-=+=+=+∴()02=+A I ,即()0=+A I 考查知识点:n 阶方阵的性质 难度系数:。
线性代数期末复习题
线性代数期末复习题《线性代数》综合复习题⼀、单项选择题：1、若三阶⾏列式D 的第三⾏的元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为4、2、1，则D =（）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶⽅阵A 的列向量组，且齐次线性⽅程组AX =O 仅有零解，则（）(A) 1α可由23,αα线性表⽰ (B) 2α可由13,αα线性表⽰ (C) 3α可由12,αα线性表⽰ (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =333231232221131211a a aa a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,????=1010100012P ，则有（）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的⾏向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶⽅阵，且O E A A =+-232，则（）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ??=，矩阵B 满⾜2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13；（B ）19；（C ）14；（D ）13。
线性代数复习题
,
2 )T 3
，= α 2
(
2 3
,
1 3
,
−
2 )T 3
，α=3
( 2 , − 2 , 1)T 是 R3 的一组标准正 3 33
交基，则向量 β = (1,1,1)T 在这组基下的坐标为
.
28．设矩阵 A 的特征多项式 λE − A = (λ + 1)(λ + 5)(λ + 7) ，则 A−1 = __ _ .
A.
r
(α1
,
α
2
,
,
α
r）≥
r(β1,
β
2
,
,
βs )
B. r ≥ s
C. r(α1,α2 ,,αr）≤ r(β1, β2 ,, βs )
D. r ≤ s
14．设α1 , α2 是非齐次线性方程组 AX = b 的两个解，则下列仍为线性方程组 AX = b 的解的
（
）.
A. α1 + α2 B. α1 − α2
3.
已知向量组 α1
=
−421,α
2
=
3 1 2
,α
3
=
−5 3 6
,
α
4
=
−2 2 0
,α
5
=
−8611,
.求向量组的秩
和一个极大线性无关组；将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = a
4.
已知线性方程组
3x1
+2 x2
− 1
1
β1 = 1 ， β 2 = 1 ，则 AX = b 的全部解可表示为
线性代数期末试题
线性代数试题（附答案）一、填空题（每题2分，共20分）1.行列式0005002304324321= 。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。
3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。
4.A 为n n ⨯阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。
5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。
7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。
8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。
9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为 。
10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。
二、单项选择（每小题2分，共12分）1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。
A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ）A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ）A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002（ ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题（每小题9分，共63分）1．计算行列式),2,1,0(0000002211210n i a a c a c a c b b b a i nnnΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中2．当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
线性代数期末复习题
线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即333332222211111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 假设一个行列式等于零，则它必有一行〔列〕元素全为零，或有两行〔列〕完全一样，或有两行〔列〕元素成比例. () 3. 假设行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. () 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. () 5. 假设矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. () 6. 假设矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A )=R (B ). () 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. () 8. 假设向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. () 9. 向量组s ααα,...,,21中，假设1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. () 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. () 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. () 12. 齐次线性方程组一定有解. ()13. 假设λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-λ为1-A 的特征值. () 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. () 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. () 16. 假设矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). () 二、单项选择题 1.设行列式,,2123121322211211n a a a a m a a a a ==则行列式=++232221131211a a a a a a ()2. 行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( )3.四阶行列式111111111111101-------x 中*的一次项系数为 ( )4. 设,..................... ,......... (112)11,12,11,12122122221112111nnn n n nn n n nnn n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D ---==则D 2与D 1的关系是 ( )5.n 阶行列式a b b a bab a D n 0000000000=的值为 ( )6. ,1002103211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A 则=*A ( )7. 设A 是n 阶方阵且5=A ，则=-1T )5(A ( )8. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵)(n m ≠，则以下运算结果是m 阶方阵的是 ( ) 9. A 和B 均为n 阶方阵，且2222)(B AB A B A ++=+，则必有 ( )10. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有 ( ) 11. 设A 是方阵，假设有矩阵关系式AC AB =，则必有 ( ) 12. 方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ，以及初等变换矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001 ,10000101021P P ，则有 ( )13. 设A 、B 为n 阶对称阵且B 可逆，则以下矩阵中为对称阵的是 ( ) 14. 设A 、B 均为n 阶方阵，下面结论正确的选项是 ( )(A) 假设A 、B 均可逆，则A +B 可逆 (B) 假设A 、B 均可逆，则AB 可逆 (C) 假设A+B 均可逆，则A －B 可逆 (D) 假设A +B 可逆，则A 、B 均可逆15. 以下结论正确的选项是 ( )(A) 降秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为满秩矩阵 (B) 满秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为降秩矩阵 (C) 非奇异阵等价于单位阵 (D) 奇异阵等价于单位阵16. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中 ( )(A) 所有r －1阶子式都不为0 (B) 所有r －1阶子式全为0 (C) 至少有一个r 阶子式不为0(D) 所有r 阶子式都不为017. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ， (2) BAC = E ， (3) CAB = E ， (4) CBA = E 中，一定成立的是 ( ) (A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18. 设A 是n 阶方阵，且O A =s (s 为正整数)，则1)(--A E 等于 ( )19. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=412101213A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A 中位于(1, 2)的元素是 ( ) (A) －6 (B) 6 (C) 2 (D) －220. A 为三阶方阵，R (A ) = 1，则 ( )21. 43⨯矩阵A 的行向量组线性无关，则矩阵A T的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组s ααα ..., , ,21和s βββ ..., , ,21均线性无关，则 ( )(A) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββλλλ (2211)(B) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得 (C) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得(D) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21和不全为0的数s μμμ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββμμμ (2211)23. 设有4维向量组621 ..., , ,ααα，则 ( )(A) 621 ..., , ,ααα中至少有两个向量能由其余向量线性表示 (B) 621 ..., , ,ααα线性无关 (C) 621 ..., , ,ααα的秩为4 (D) 上述说法都不对24. 设321 , ,ααα线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( ) 25. n 维向量组)3( ..., , ,21n s s ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( )(A) s ααα ..., , ,21中任意两个向量都线性无关(B) s ααα ..., , ,21中存在一个向量不能用其余向量线性表示(C) s ααα ..., , ,21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (D) s ααα ..., , ,21中不含零向量 26. 以下命题中正确的选项是 ( )(A) 任意n 个n +1维向量线性相关 (B) 任意n 个n +1维向量线性无关 (C) 任意n +1个n 维向量线性相关(D) 任意n +1个n 维向量线性无关27. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0......0...0...221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数行列式D =0，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解28. 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111的系数行列式D =0，把D 的第一列换成常数项得到的行列式01≠D ，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29. A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关(D) A 的行向量线性相关30. A 为n m ⨯矩阵，且方程组b Ax =有唯一解，则必有 ( ) 31. n 阶方阵A 不可逆，则必有 ( )n R <)( )A (A 1)( )B (-=n R A 0=A )C ((D) 方程组0=Ax 只有零解32. n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩为n +1，则此方程组 ( )(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 不能确定其解的数量33. 21 ,ηη是非齐次线性方程组b Ax =的任意两个解，则以下结论错误的选项是 ( )(A) 21ηη+是0=Ax 的一个解 (B) )(2121ηη+是b Ax =的一个解(C) 21ηη-是0=Ax 的一个解(D) 212ηη-是b Ax =的一个解34. 假设4321 , , ,v v v v 是线性方程组0=Ax 的根底解系，则4321v v v v +++是该方程组的 ( )(A) 解向量(B) 根底解系(C) 通解(D) A 的行向量35. 假设η是线性方程组b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则以下选项中是方程b Ax =的解的是 ( ) (C 为任意常数)36. n m ⨯矩阵A 的秩为1-n ，21 ,αα是齐次线性方程组0=Ax 的任意两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0=Ax 的通解为 ( ) 37. n 阶方阵A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A) A 的秩小于n 0 )B (≠A (C) A 的特征值都等于零(D)A 的特征值都不等于零38. A 为三阶方阵，E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为3 ,2 ,1-，则以下矩阵中是可逆矩阵的是 ( )39. 21 ,λλ是n 阶方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为21 ,ξξ，则 ( )(A) 1ξ和2ξ线性相关 (B) 1ξ和2ξ线性无关 (C) 1ξ和2ξ正交(D) 1ξ和2ξ的积等于零40. A 是一个)3( ≥n 阶方阵，以下表达中正确的选项是 ( )(A) 假设存在数λ和向量α使得αA αλ=，则α是A 的属于特征值λ的特征值 (B) 假设存在数λ和非零向量α使得0=-αA E )(λ，则λ是A 的特征值 (C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 假设321 , ,λλλ是A 的三个互不一样的特征值，321 , ,ααα分别是相应的特征向量，则 321 , ,ααα有可能线性相关41. 0λ是矩阵A 的特征方程的三重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有 ( )42. 矩阵A 与B 相似，则以下说法不正确的选项是 ( )(A) R (A ) = R (B ) (B) A = BB A = )C ((D) A 与B 有一样的特征值43. n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件44. n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 的n 个列向量都是单位向量 (C) 1T -=A A(D)A 的n 个列向量是一个正交向量组45. A 是正交矩阵，则以下结论错误的选项是 ( )1 )A (2=A A )B (必为1T 1 )C (A A =-(D) A 的行(列)向量组是单位正交组46. n 阶方阵A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 相似于对角矩阵T 1 )C (A A =-(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组47. A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，AC C B T =，则 ( )(A) A 与B 相似(B) A 与B 不等价 (C) A 与B 有一样的特征值(D) A 与B 合同三、填空题1. 44513231a a a a a k i 是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k = .2. 三阶行列式987654321=D ，ij A 表示元素ij a 对应的代数余子式，则与232221cA bA aA ++ 对应的三阶行列式为.3. 022150131=---x ，则* = . 4. A ，B 均为n 阶方阵，且0 ,0≠=≠=b a B A ，则=T )2(B A ，=-121AB . 5. A 是四阶方阵，且31=A ，则=-1A ，=--1*43A A . 6. 三阶矩阵A 的三个特征值分别为123-,,，则=---*134A A . 7. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211a a aa a a A ，B 是方阵，且AB 有意义，则B 是阶矩阵，AB 是行 列矩阵.8. 矩阵n s ij c ⨯=)( , ,C B A ，满足CB AC =，则A 与B 分别是，阶矩阵. 9. 可逆矩阵A 满足O E A A =--22，则=-1A .10. T 3T 2T 1)2 ,3 ,1( ,) ,0 ,( ,)1 ,1 ,1(===αααy x ，假设321 , ,ααα线性相关，则*，y 满足关系式.11. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性关. 12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大.13. 设A 是43⨯矩阵，3)(=A R ，假设21 ,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，则该方程的通解为.14. A 是n m ⨯矩阵，)( )(n r R <=A ，则齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系中含有解的个数为.15. 方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+32121232121321x x x a a 无解，则a =.16. 假设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213211x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ需要满足.17. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，则* =.18. 向量α、β的长度依次为2和3，则向量积[, ]+-=αβαβ. 19. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324 ,201b a ，c 与a 正交，且c a b +=λ，则=λ，c =.20. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b aA 的特征向量，则a =，b =. 21. 三阶矩阵A 的行列式8=A ，且有两个特征值1-和4，则第三个特征值为.22. 设实二次型),,,,(54321x x x x x f 的秩为4，正惯性指数为3，则其规形),,,,(54321z z z z z f 为.23. 二次型233221321342),,(x x x x x x x x f +-=的矩阵为.24. 二次型),,(z y x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050532021，则此二次型=),,(z y x f .25. 二次型31212322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 要满足. 四、行列式计算1. A ，B 为三阶方阵，2 ,1-==B A ，求行列式A AB 1*)2(-.2. 行列式219221612132402-----=D ，求4131211145A A A A ++-.3. 计算n 阶行列式2...010 (201) (02)=n D ，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素是1，其它元素都是0.4. 计算n 阶行列式xaa a xa a ax D n .........=.5. 计算n 阶行列式21...00000 (2100)0 (1)2100...012 =n D .6. 计算行列式dx c b ad c x b a d c b x a d c b ax ++++.7. 计算行列式yy x xD -+-+=1111111111111111.8. 计算行列式3......3 (32)12121+++=n n n n x x x x x x x x x D .五、矩阵计算1. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=042132 ,121043021B A ，求 (1)T AB ；(2)14-A .2. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=115202 ,212241222B A ，且X B AX +=，求*.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020102A ，B 均为三阶方阵，E 为三阶单位阵，且B A E AB +=+2，求B .4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2000120031204312 ,1000110001100011C B ，E 为四阶单位阵，且矩阵*满足关系式E B C X =-T )(，求*.5. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=310021 ,110162031B A ，且B XA =，求*.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问：当k 取何值时，有 (1)1)(=A R ；(2)2)(=A R ；(3)3)(=A R .六、向量组的线性相关性及计算1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1325 ,3214 ,2143 ,21114321αααα，求向量组4321 , , ,αααα的秩和一个最大线性无关向量组，并判断4321 , , ,αααα是线性相关还是线性无关.2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 ,1301 ,3192 ,01414321αααα，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示.3. 当a 取何值时，向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 2121 ,2121 ,2121321ααα线性相关？4. 将向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014 ,131 ,121321ααα规正交化.七、线性方程组的解1. 给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=9410 ,1203 ,4231 ,30124321αααα，试判断4α是否为321 , ,ααα的线性组合；假设是，则求出线性表达式.2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x .3. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x .4. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x kx x x 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.5. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++=+-+2)1(2221)1(321321321kx x k kx x kx kx x x k kx 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.6. 非齐次线性方程组b Ax =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 543215432543215432133453622 3232，问：当a 、b 取何值时，方程组b Ax =有无穷多个解？并求出该方程组的通解.7. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值.8. 设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，321 , ,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解.9. 设非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵()b A A =，A 经过初等行变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→300001311021011λA ，则 (1) 求对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系； (2) λ取何值时，方程组b Ax =有解？并求出通解.八、方阵的特征值与特征向量1. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002 ,10100002y x B A ，假设方阵A 与B 相似，求*、y 的值.2. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010000010010y A 的一个特征值为3，求y 的值. 3. 三阶方阵A 的特征值为1、2、3-，求行列式E A A 231++-的值.4. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与对应的特征向量.5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110A ，求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.7. 矩阵110430102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A , 判断是否存在一个正交矩阵P , 使得1-=P AP Λ为对角矩阵. 8. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=342432220A 的特征值为1、1、8-，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵. 九、二次型1. 当t 取何值时，32312123222132142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型？ 2. 求一个正交变换把二次型123122331(,,)222f x x x x x x x x x =++化成标准形.十、证明题1. 向量组r ααα ..., , ,21线性无关，而r r αααβααβαβ+++=+==... ..., , ,2121211，证明：向量组r βββ ..., , ,21线性无关.2. 设A 、B 都是n 阶对称阵，证明：AB 是对称阵的充要条件是AB = BA .3. 方阵A 满足O E A A =--1032，证明：A 与E A 4-都是可逆矩阵，并求出它们的逆矩阵.4. 设A 、B 为n 阶对称阵，且B 是可逆矩阵，证明：A B AB 11--+是对称阵.5. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*-=n A A .6. 向量b 可由向量组321 , ,a a a 线性表示且表达式唯一，证明：321 , ,a a a 线性无关.7. 设321 , ,ααα是n 阶方阵A 的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记321αααβ++=，证明：β不是A 的特征向量.8. 向量组321 , ,a a a 线性无关，3133222114 ,3 ,2a a b a a b a a b +=+=+=，证明：向量组321 , ,b b b线性无关.9. 设0η是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21 ,ξξ是对应的线性方程组0=Ax 的一个根底解系，证明：(1) 101202, ==++ηηξηηξ都是b Ax =的解；(2) 210 , ,ηηη线性无关.10. A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位阵，E A +可逆，且1))(()(-+-=A E A E A f ，证明：(1) E A E A E 2)))(((=++f ；(2) A A =))((f f .11. 设方阵A 与B 相似，证明：T A 与T B 相似.12. 方阵A 、B 都是正定阵，证明：B A +也是正定阵.13. 设n 阶行列式n D 的元素满足n j i a a ji ij ..., ,2 ,1 , ,=-=，证明：当n 为奇数时0=n D .14. A 为正交阵，k 为实数，证明：假设A k 也是正交阵，则1±=k .15. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，证明：(1) 矩阵AB 是正交阵；(2) 矩阵1-AB 是正交阵.16. 假设A 是n 阶方阵，且T =AA E ，| A | =－1，这里E 为单位阵. 证明：| A +E | = 0.。
大学线性代数期末考试练习题含答案
线性代数练习题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.下列等式中，正确的是（ ）A.2001002001021⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 1233693456456⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1051002⎛⎫= ⎪⎝⎭D.120120035035--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2.设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为（ ）A.3B.2C.1D.03.设向量1α=（-1，4），2α=（1，-2），3α=（3，-8），若有常数a,b 使a 1α-b 2α-3α=0,则（）A.a=-1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2D.a=1,b=24.向量组1α=（1，2，0），2α=（2，4，0），3α=（3，6，0），4α=（4，9，0） 的极大线性无关组为（ ）A.1α，4αB.1α，3αC.1α，2αD.2α，3α5.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）A.1223⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3336-⎛⎫ ⎪-⎝⎭C.0331⎛⎫ ⎪-⎝⎭D.1001-⎛⎫⎪-⎝⎭二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）6.行列式111123149=___ ___.7.已知3维向量α=（1，-3，3），β=（1，0，-1）则α+3β=_ _. 8.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的 通解为__ __.9.设1，2，…，n 是n 阶矩阵A 的n 个特征值，则矩阵A 的行列式|A |=_ ___. 10.二次型f(x 1,x 2,x 3)=x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3的秩为_ __.三、计算题（本大题共8小题，共70分）11.（9分）已知矩阵A =111210101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，B =100210021⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，求：（1）A T B ；（2）| A T B |.12.（9分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100111001A ，B =2153⎛⎫ ⎪⎝⎭，C =132031⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，且满足C AXB =，求矩阵X .13.（9分）求向量组1α=(-1,2,1,0)T ，2α=（0,1,1,2）T ，3α=（1,4,3,4）T ，4α=（1,1,6,4）T 的秩 与一个极大线性无关组.14.（9分）判断线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x 是否有解，有解时求出它的解.15.（9分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 01020101，01=λ是A 的一个特征值，求A 的全部特征值及其特征向量.16.（9分）求一个正交变换将二次型322322214332x x x x x f +++=化为标准形.17.（8分）求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A 的逆矩阵.18.（8分）利用施密特正交化法将向量组()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111,,321a a a 正交化.。
线性代数期末考试题及答案
《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末测试题及其答案一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵ns ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ）A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t7．已知矩阵BA xB A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B.1≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ）A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y xC.14322+=+=-z y xD.24322+=+=z y x10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(， 求X 。
线性代数期末考试试题及答案
第一学期一．填空题（每小题3分，共15分）1．()013121221110⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎝⎭()15202. 若n 阶方阵A 的秩 r n <, 则A = 0 ．3．设0=x A ，A 是5阶方阵，且=)(A R 3, 则基础解系中含 2 个解向量．4．若３阶矩阵A 的特征值为２，２，３，则=A 12 ．5．设21,λλ是对称阵A 的两个不同的特征值，21,p p 是对应的特征向量，则=],[21p p0 ． 二．选择题（每小题3分，共15分）1．若A 为3阶方阵，且2=A ，则2A -=( C )． Ａ．-4 Ｂ．4 Ｃ．-16 Ｄ．162．设B A ,为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有（ Ｂ ）．Ａ．O A =或O B = Ｂ．0=A 或0=B Ｃ． O B A =+ Ｄ．0=+B A3．设n 元线性方程组b x A=，且n b A R A R ==),()( ，则该方程组( Ｂ )Ａ．有无穷多解 Ｂ．有唯一解 Ｃ．无解 Ｄ．不确定 4．设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ A ） A ．组成单位正交向量组 B. 都是单位向量 C. 两两正交 D. 必含零向量 5．若二次型()f '=x x Ax 为正定, 则对应系数矩阵A 的特征值( Ａ )Ａ．都大于0； Ｂ．都大于等于0； Ｃ．可能正也可能负 Ｄ．都小于0三．（8分）计算行列式2111121111211112D =的值． 解．21234314211111111111121112110100555112111210010111211120001r r D r r r r r r r r -=+++-=- 四．（8分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100210321A ，求1-A ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100 010 001 100210321) (E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100 010 021100210101221r r1323100 121010 0122001 001r r r r -⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1002101211A （或用伴随矩阵）五．（8分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--03203 0432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=321131111111A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→210042001111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000021001111 通解方程组⎩⎨⎧=-=--02043421x x x x x ，基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111ξ ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12012ξ ，通解为2211ξξ k k +，（21,k k 为任意常数）六．(8分)已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32111α ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11112α ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=53313α ，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示．解：()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==513312311111,,321ααα A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→220110220111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000110111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000110201 极大无关组21,αα，且2132ααα -=．七．（10分）讨论λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++2321321321)1( )1(0)1( λλλλλx x x x x x x x x(1) 有唯一解； (2) 无解； (3) 有无穷多解．解：法1 )3(1111111112+-=+++=λλλλλA（１） 当0≠λ且3-≠λ时，有0≠A ，方程组有惟一解；（２）当3-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=93 0 112121211A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→600033300211，3)(2)(=<=A R A R ，所以无解；（３）当0=λ时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→000000000111A ， 1)()(==A R A R ，方程组有无穷多解．法2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=220001111111110111λλλλλλλλλλλλA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+→2)2(000111λλλλλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+→)1()3(0000111λλλλλλλλ 八．（8分）用配方法将二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +--=化为标准形，并求可逆的线性变换．（或上届题？）解：232223312132162)44(),,(x x x x x x x x x f --++=232223162)2(x x x x --+=，令⎪⎩⎪⎨⎧==+=33223112x y x y x x y ，即⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311 2y x y x y y x ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100010201y y y x x x ， 变换矩阵,100010201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C .01≠=C 标准形23222162y y y f --= ．九．（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400032020A 的特征值与最大特征值所对应的特征向量．解：)1()4(2+--=-λλλE A ，特征值.1,4321-===λλλ当421==λλ时，解0)4(=-x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0211ξ ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002ξ ，A 的对应于421==λλ的全体特征向量为2221ξξη k k +=， 0(2221≠+k k ）．十．（每小题5分，共10分）1． 设向量组321,,ααα线性无关，讨论向量组 112123,,αααααα+++的线性相关性． 解：令112123123()()0,k k k αααααα+++++= 即 123123233()()0k k k k k k ααα+++++=因为321,,ααα 线性无关，所以有123223 000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，由于方程组只有零解，故112123,,αααααα+++线性无关。
大学线性代数期末试卷及答案
大学线性代数期末试题一、填空题（每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线性代数期末考试复习题
1.设A ,B ,C 为n 阶矩阵，且A 可逆，下列结论成立的是（）(A).若AC AB =，则C B = (B).若CB AB =，则C A = (C).若O BC =，则O B = (D).若O AB =，则O A =或O B =2.若5734111113263278----=D ，则D 中第一行元素的代数余子式的和为（） (A).-1 (B).-2 (C).-3 (D).03.设A ,B 为n 阶非零矩阵，且O AB =，则A ,B 的秩为（）(A).必有一个等于零 (B).都小于n (C).一个小于n ，一个等于n (D).都等于n4.设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（）(A). 133221,,αααααα+++ (B). 321211,,αααααα+++ (C).133221,,αααααα--- (D). 1332213,2,αααααα+++5.要使TT )1,0,2(,)1,0,1(21-==ξξ都是线性方程组0=Ax 的解，只要系数矩阵A 为（）. (A). ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112213321(B). ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211121 (C). ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123020010(D). ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-020010 二、填空题（15分）1. 四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是_____．2. 齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =_____.3. 设A 为5阶方阵，*A 为其伴随矩阵，且3=A ，则=*A .4. 设A 是n 阶矩阵，满足O E A A =++322，则1-A =_____．5. 设A 是n 阶矩阵，对于0=Ax ，若每个n 维向量都是解，则=)(A R . 三、（10分）求行列式1332141121524321=D ． 四、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=145243121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=223B 满足B AX =，求1-A 和X . 五、（15分）判断向量组T T T a a )3,2,2(,),2,0(,)3,1,(321===ααα的线性关系. 六、（15分）对矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7236311232201012A ，求A 的列向量组的秩、最大无关组、并表示其他向量. 七、（15分）求线性方程组⎩⎨⎧=-+--=-+12624321421x x x x x x x 的通解，并用基础解系表示.1.设A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则=kA （ ）. (A) A k (B) A k (C) A k n (D) A k n2.设A 为n m ⨯阶矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为1r ，矩阵AC B =的秩为r ，则（）(A) 1r r > (B) 1r r < (C) 1r r = (D) 1r r ,的关系依C 而定3.设n 元齐次方程组0=Ax 的系数矩阵为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）(A) n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r >4.n 维向量组)2(,,,≥s s 21ααα 线性相关的充要条件是（）(A) s 21ααα,,, 中至少有一个零向量 (B) s 21ααα,,, 中至少有两个向量成比例(C) s 21ααα,,, 中任意两个向量不成比例 (D) s 21ααα,,, 中至少有一个向量可以被其余向量所表示5.设321ξξξ,,是0=Ax 的基础解系，则该方程组其余的基础解系还可以表示为（）(A) 133221ξξξξξξ-++,, (B) 321ξξξ,,的一个等秩向量组 (C) 321211ξξξξξξ+++,, (D) 133221ξξξξξξ---,,二、填空题（15分）6. 261365415432a a a a a a 为六阶行列式的元素乘积，前面应冠以_______号．7. 6427811694143211111=D 中第三行元素的代数余子式的和∑=413j j A =__________． 8. =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4131211135111111________． 9. 设A 是n 阶矩阵，满足E A A -=22，则1)2(--E A =_____．10. n 维零向量一定线性 （相关/无关）．三、（10分）求行列式1232145121524321=D ．四、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=130140121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123B 满足B AX =，求1-A 和X . 五、（15分）设向量组T T T k k )2,1,1(,)1,,1(,)1,1,(321===ααα，向量T k k ),,1(2=β，则k 取何值时（1）β不能由321,,ααα线性表示；（2）β可以由321,,ααα线性表示，且表示法唯一；（3）β可以由321,,ααα线性表示，且表示法不唯一六、（15分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5244423232201012A ，求A 的列向量组的秩、最大无关组、并表示其他向量. 七、（15分）求线性方程组⎩⎨⎧=-+--=-+12624321421x x x x x x x 的通解，并用基础解系表示.1.设A ,B ,C 为n 阶矩阵，且A 可逆，下列结论成立的是（）(A).若AC AB =，则C B = (B).若CB AB =，则C A = (C).若O BC =，则O B = (D).若O AB =，则O A =或O B =2.若5734111113263278----=D ，则D 中第一行元素的代数余子式的和为（） (A).-1 (B).-2 (C).-3 (D).03.设A ,B 为n 阶非零矩阵，且O AB =，则A ,B 的秩为（）(A).必有一个等于零 (B).都小于n (C).一个小于n ，一个等于n (D).都等于n4.n 维向量组)2(,,,≥s s 21ααα 线性相关的充要条件是（）(A) s 21ααα,,, 中至少有一个零向量 (B) s 21ααα,,, 中至少有两个向量成比例(C) s 21ααα,,, 中任意两个向量不成比例 (D) s 21ααα,,, 中至少有一个向量可以被其余向量所表示5.设321ξξξ,,是0=Ax 的基础解系，则该方程组其余的基础解系还可以表示为（）(A) 133221ξξξξξξ-++,, (B) 321ξξξ,,的一个等秩向量组 (C) 321211ξξξξξξ+++,, (D) 133221ξξξξξξ---,,二、填空题（15分）11. 615243342516a a a a a a 为六阶行列式的元素乘积，前面应冠以_______号．12. =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4131211143211111________． 13. 设A 是n 阶矩阵，满足A A 32=，则1)(-+E A =_____．14. 设A 是2阶矩阵，3=A ，*A 是A 的伴随矩阵，求*1A A +-=________．15. 向量组321,,ααα线性无关的充要条件是______．三、（10分）求行列式1332101121024321=D ．四、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212B 满足B AX =，求1-A 和X . 五、（15分）判断向量T )9,6,2,0(-=β是否可由向量组T T T )3,5,1,1(,)2,1,2,1(,)2,3,3,1(321-=---==ααα，如果可以，写出表达式. 六、（15分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7236311232201012A ，求A 的列向量组的秩、最大无关组、并表示其他向量. 七、（15分）求线性方程组⎩⎨⎧=----=-+14624321421x x x x x x x 的通解及基础解系. 一、填空题1. 排列6137524的逆序数是 ．2. 若齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-0052023232321kx x x x x x x 有非零解，则k = .3. 设A 为3阶方阵，且3=A ，则=A 5 .4. 向量组4321,,,αααα线性无关的定义是 ．5．向量组1234,,,αααα线性相关的定义是_____________.6. 53(1)无解的充要条件是 ___________________________________;(2)当____________时，方程组有无穷多解，这时通解含有 _____个自由未知量.7.行列式=301120111 .8.设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++444342418765A A A A .9.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，则=-1)3(A . 10.设T )2,1,1(1-=α，T )1,3,1(2-=α，则=-2124αα . 二、选择题1.设B A 、为n 阶方阵，则下列选项中恒成立的是( )． A. BA AB =B. ))((22B A B A B A +-=-C. AB A A B A -=-2)(D. T T T B A AB =)(2.设n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关，则下列结论正确的是( )．A. s ααα,,,21 中至少有一向量可由其余向量线性表示B. s ααα,,,21 中存在部分组线性相关C. s ααα,,,21 中没有零向量D. s ααα,,,21 中存在两个向量对应成比例3. 下列),,(z y x f 为二次型的是( )．A. yz xy x 422++B. z xyz x 4222++C. 142++yz xD. 2242yz xy x ++4. 对矩阵m n n m B A ⨯⨯,，下列运算有意义的是( )．A. T ABB. 2AC. A B TD. AB5. 设4321,,,αααα是三维实向量组，则( )．A ．4321,,,αααα一定线性无关B ．1α一定可由432,,ααα线性表出C ．4321,,,αααα一定线性相关D ．321,,ααα一定线性无关 6. 设321ξξξ,,是0=Ax 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为( )．A. 133221ξξξξξξ-++,,B. 321ξξξ,,的一个等秩向量组C. 133221ξξξξξξ+++,,D. 133221ξξξξξξ---,, 7.设A 为3阶方阵,行列式2=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则=--*1)2(A A ( )． A.1627 B. 2716 C. 1627- D. 2716- 8.设A ,B ,C 为n 阶矩阵，且A 可逆，下列结论成立的是（）(A).若AC AB =，则C B = (B).若CB AB =，则C A = (C).若O BC =，则O B = (D).若O AB =，则O A =或O B =9.设A ,B 为n 阶非零矩阵，且O AB =，则A ,B 的秩为（） (A).必有一个等于零 (B).都小于n (C).一个小于n ，一个等于n (D).都等于n10.设A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则=kA （ ）.(A) A k (B) A k (C) A k n (D) A k n11.设A 为n m ⨯阶矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为1r ，矩阵AC B =的秩为r ，则（）(A) 1r r > (B) 1r r < (C) 1r r = (D) 1r r ,的关系依C 而定12.设n 元齐次方程组0=Ax 的系数矩阵为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）(A) n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r >13．设行列式1111304=zy x ，则行列式=1111034222zy x （ ） A ．32 B ．1 C ．2 D ．38 14. 设矩阵m n n s B A ⨯⨯,，则下列运算有意义的是 ( )A. T ABB.2A C.BA D. AB15.设n s j i a A ⨯=)(，s m j i b B ⨯=)(，则( ) A. BA 是m n ⨯矩阵； B. BA 是n m ⨯矩阵；C. BA 是s s ⨯矩阵；D. BA 未必有意义.16．设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）（A ）所有1r -阶子式都不为0；（B ）所有1r -阶子式全为0；（C ）至少有一个r 阶子式不为0； （D ）所有r 阶子式都不为0。
线性代数期末试题及答案
8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题（每小题2分，共20分）1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ，则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ，则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ，且秩(A )=2，则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系，则=)(A r .二、选择题（每小题2分，共20分）1.已知101yxy x aA =，则A 中元素a 的代数余子式11A 等于（ ）.A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）.A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵，且2222)(BAB AB A ++=+，则必有（ ）.A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）.A.0=+B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ，),,(2γβα=B ，其中γβαα,,,21均为3维列向量，若2=A ，1-=B ，则=+B A （ ）.A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组，,)(r A r =下列命题中正确的是（ ）.A .当n m =时，B AX =有唯一解 B .当n r =时，B AX =有唯一解C .当m r =时，B AX =有解D .当n r <时，B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A .1或2B .1或－2C .－1或2D .－1或－28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中（ ）.A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α，则321,,ααα线性无关的充分必要条件是 （ ）.A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解，21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b AX =的通解可表成（ ）.A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题（每小题2分，共20分）1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题（每小题2分，共20分）1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、（8分)解：3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、（10分）解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=，得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、（12分）解：将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以，⑴ 当1k≠-且4k ≠时，()()3r r ==A A ，此时线性方程组有唯一解．⑵ 当1k =-时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解．⑶ 当4k=时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．此时，原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此，原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、（10分）解：记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为：123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、（12分）解：（1）.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。
线性代数试题库(含答案,适合期末复习,考研同学使用)
《线性代数》复习一：选择题1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a = M ，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = （ ）A. 8MB. 2 MC. MD. 6 M2. 若A ，B 都是方阵，且|A |=2，|B |=-1，则|A -1B|=（ ）A. -2B.2C. 1/2D. –1/2 3. 已知可逆方阵13712A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 则A =（ ）A. 2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B. 2713⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭D. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是（ ）A. A =OB. r (A )> 0C. r (A )< nD. r (A ) =05. 设A , B 均为n 阶矩阵, A ≠O , 且AB = O , 则下列结论必成立的是（ ）A. BA = OB. B = OC. (A +B )(A -B )=A 2-B 2D. (A -B )2=A 2-BA +B 2 6. 下列各向量组线性相关的是（ ）A. α1=(1, 0, 0), α2=(0, 1, 0), α3=(0, 0, 1)B. α1=(1, 2, 3), α2=(4, 5, 6), α3=(2, 1, 0)C. α1=(1, 2, 3), α2=(2, 4, 5)D. α1=(1, 2, 2), α2=(2, 1, 2), α3=(2, 2, 1)7. 设AX =b 是一非齐次线性方程组, η1, η2是其任意2个解, 则下列结论错误 的是（ ）A. η1+η2是AX =O 的一个解B. 121122ηη+是AX =b 的一个解C. η1-η2是AX =O 的一个解D. 2η1-η2是AX =b 的一个解8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为（ ）A. 1/6, 1/3, 1/2B. 3, 6, 9C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/3 9. 设A 是n 阶方阵, 且|A |=2, A *是A 的伴随矩阵, 则|A *|=（ ）A. 21B. 2nC. 121-nD. 2n -110. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为（ ）A. x +y =zB. xy =zC. z >xyD. z >x +y参考答案:1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 设2301λλ=-，则λ取值为（ ）A. λ=0或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0且λ≠-3D. λ≠0 2. 若A 是3阶方阵，且|A |=2，*A 是A 的伴随矩阵，则|A *A |=（ ） A. -8 B.2 C.8 D. 1/2 3. 在下列矩阵中, 可逆的是（ ）A. 000010001⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 110220001⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 110011121⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 100111101⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-2A +3E =O , 则A -1=（ ） A. E B. 1(2)3-E A C. 23-A E D. A 5. 设A 1111a a a aa a a a a a a a⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=, 若r (A )=1, 则a =（ ） A.1 B.3 C.2 D.46. 若齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解, 则常数λ= （ ）A.1B.4C. -2D. -17. 设A , B 均为n 阶矩阵, 则下列结论正确的是（ ）A. BA = ABB. (A -B )2=A 2-BA - AB +B 2C. (A +B )(A -B )=A 2-B 2D. (A -B )2=A 2-2 AB +B 28. 已知α1=(1, 0, 0), α2=(-2, 0, 0), α3=(0, 0, 3), 则下列向量中可以由α1, α2, α3线性表示的是（ ）A. (1, 2, 3)B. (1, -2, 0)C. (0, 2, 3)D. (3, 0, 5) 9. n 阶方阵A 可对角化的充分条件是（ ）A. A 有n 个不同的特征值B. A 的不同特征值的个数小于nC. A 有n 个不同的特征向量D. A 有n 个线性相关的特征向量10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =-+，则二次型的正惯性指标为（ ）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. A1. 设A 是4阶方阵，且|A |=2，则|-2A |=（ ）A. 16B. -4C. -32D. 322. 行列式34657128k 中元素k 的余子式和代数余子式值分别为（ ）A. 20，-20B. 20，20C. -20，20D. -20，-20 3. 已知可逆方阵2713⎛⎫⎪⎝⎭=A , 则1-A =（ ） A. 2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B. 2713⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是（ ）A. A =OB. r (A )> 0C. r (A )< nD. r (A ) =0 5. 设A , B 均为n 阶矩阵, 则下列结论中正确的是（ ）A. (A +B )(A -B )=A 2-B 2B. (AB )k =A k B kC. |k AB |=k |A |⋅|B |D. |(AB )k |=|A |k ⋅|B |k 6. 设矩阵A n ⨯n 的秩r (A )=n , 则非齐次线性方程组AX =b （ ）A. 无解B. 可能有解C. 有唯一解D. 有无穷多个解 7. 设A 为n 阶方阵, A 的秩 r (A )=r <n , 那么在A 的n 个列向量中（ ） A. 必有r 个列向量线性无关 B. 任意r 个列向量线性无关C. 任意r 个列向量都构成最大线性无关组D. 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出 8. 已知矩阵44⨯A 的四个特征值为4，2，3，1，则A =（ ）A.2B.3C.4D.24 9. n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是（ ）A. A 有n 个不同的特征值B. A 为实对称矩阵C. A 有n 个不同的特征向量D. A 有n 个线性无关的特征向量 10. n 阶对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是（ ） A. A 的秩为n B. |A |>0C. A 的特征值都不等于零D. A 的特征值都大于零参考答案: 1.D 2. A 3. D 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D 9. D 10. D1. 行列式3462578y x 中元素y 的余子式和代数余子式值分别为（ ）A. 2，-2B. –2，2C. 2，2D. -2，-2 2. 设A , B 均为n (n ≥2)阶方阵, 则下列成立是（ ） A. |A +B |=|A |+|B | B. AB =BAC. |AB |=|BA |D. (A +B )-1=B -1+A -1 3. 设n 阶矩阵A 满足A 2-2A = E , 则(A -2E )-1=（ ）A. AB. 2 AC. A +2ED. A -2E4. 矩阵111122223333⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A 的秩为（ ）A.1B.3C.2D.45. 设n 元齐次线性方程组AX =O 的系数矩阵A 的秩为r , 则方程组AX =0的基 础解系中向量个数为（ ）A. rB. n - rC. nD. 不确定 6. 若线性方程组⎩⎨⎧=+-=+-212321321x x x x x x λ无解, 则λ 等于（ ）A.2B.1C.0D. -17.n 阶实方阵A 的n 个行向量构成一组标准正交向量组，则A 是（ ） A.对称矩阵 B.正交矩阵 C.反对称矩阵 D.|A |=n8. n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充要条件是（ ）A. A 的秩小于nB. A 的特征值至少有一个等于零C. A 的特征值都等于零D. A 的特征值都不等于零9. 设η1, η2是非齐次线性方程组Ax =b 的任意2个解, 则下列结论错误的是（ ） A. η1+η2是Ax =0的一个解 B.121122+ηη是Ax =b 的一个解 C. η1-η2是Ax =0的一个解 D. 2η1-η2是Ax =b 的一个解10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =-+，则二次型的秩为（ ）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1. D 2. C 3. A 4. A 5. B 6. A 7.B 8. D 9.A 10. D1. 设000101a b b a =-=D ，则a ，b 取值为（ ）A. a =0，b ≠0B. a =b =0C. a ≠0，b =0D. a ≠0，b ≠0 2. 若A 、B 为n 阶方阵, 且AB = O , 则下列正确的是（ ） A. BA =O B. |B |=0或|A |=0 C. B = O 或A = O D. (A -B )2=A 2+B 2 3. 设A 是3阶方阵，且|A |=-2，则|A -1|等于（ ）A. -2B. 12-C.2D. 124. 设矩阵A , B , C 满足AB =AC , 则B =C 成立的一个充分条件是（ ）A. A 为方阵B. A 为非零矩阵C. A 为可逆方阵D. A 为对角阵 5. 如果n 阶方阵A ≠O 且行列式|A | =0, 则下列正确的是（ ）A. 0<r (A ) < nB. 0≤r (A )≤ nC. r (A )= nD. r (A ) =0 6. 若方程组123232378902020x x x x x x bx ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩存在非零解, 则常数b =（ ）A.2B.4C.-2D.-47. 设A 为n 阶方阵, 且|A |=0, 则（ ） A. A 中必有两行(列)的元素对应成比例B. A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合C. A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合D. A 中至少有一行(列)的元素全为零8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为（ ）A. 1/6, 1/3, 1/2B. 3, 6, 9C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/3 9. 如果3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2，则下列命题正确的是（ ） A. A 不能对角化 B. 0=AC. A 的特征向量线性相关D. A 可对角化10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =--，则二次型的正惯性指标为（ ）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. D 10. C1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a =M ，则111112132121222331313233444a a a a a a a a a a a a ---=（ ） A. -4M B. 0 C. -2 M D. M2. 设A ij 是n 阶行列式D =|a ij |中元素a ij 的代数余子式, 则下列各式中正确的是（ ） A.10nij ij i a A ==∑B.10n ij ij j a A ==∑ C. 1nij ij j a A D ==∑D.121ni i i a A D ==∑3. 已知100010301⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，200221333⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则|AB |=（ ）A.18B.12C.6D.364. 方阵A 可逆的充要条件是（ ）A. A ≠OB. |A |≠0C. A *≠OD. |A |=1 5. 若A 、B 为n 阶方阵, A 为可逆矩阵, 且AB = O , 则（ ）A. B ≠ O , 但r (B )<nB. B ≠ O , 但r (A )<n , r (B )<nC. B = OD. B ≠ O , 但r (A )=n , r (B )<n 6. 设β1, β2是非齐次线性方程组AX =b 的两个解, 则下列向量中仍为方程组 解的是（ ）A. β1+β2B. β1-β2C. 121(2)2+ββD. 12325+ββ7. n 维向量组α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性无关, β为一n 维向量, 则（ ）A. α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs , β线性相关B. β一定能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出C. β一定不能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出D. 当s =n 时, β一定能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出 8. 设A 为三阶矩阵, A 的特征值为-2, 1, 2, 则A -2E 的特征值为（ ） A. -2, 1, 2 B. -4, -1, 0 C. 1, 2, 4 D. 4, 1, -4 9.若向量α=（1，-2，1）与β=（2， 3，t ）正交，则t =（ ）A.-2B.0C.2D.410. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为（ ） A. x +y =z B. xy =z C. z >xy D. z >x +y参考答案: 1.A 2.C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. D 8. B 9.D 10. C1.行列式3462578y x中元素x的余子式和代数余子式值分别为（）A.–9，-9B.–9，9C. 9，-9D. 9，92.1111234533334344=（）A.2B.4C.0D.13.设A为4阶矩阵, |A|=3,则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（）A.3B.81C.27D.94.设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列各式中不正确的是（）A. (A+B)T=A T+B TB. (A+B)-1=A-1+B-1C. (AB)-1=B-1A-1D. (AB)T=B T A T5.设n阶矩阵A满足A2+A+E=O,则(A+E)-1=（）A.AB. -(A+E)C.–AD. -(A2+A )6.设n阶方阵A,B,则下列不正确的是（）A. r(AB)≤r(A)B. r(AB)≤r(B)C. r(AB)≤min{ r(A)，r(B)}D. r(AB)>r(A)7.已知方程组AX=b对应的齐次方程组为AX=O，则下列命题正确的是（）A.若AX=O只有零解,则AX=b有无穷多个解B.若AX=O有非零解,则AX=b一定有无穷多个解C.若AX=b有无穷解,则AX=O一定有非零解D.若AX=b有无穷解,则AX=O一定只有零解8.已知矩阵10102010x⎛⎫⎪=⎪⎝⎭A的一个特征值是0,则x=（）A.1B.2C.0D.39.与100021012⎛⎫⎪=-⎪-⎝⎭A相似的对角阵是（）A.113⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ B.123⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ C.113⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭Λ D.114⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ10.设A为3阶方阵,A的特征值为1,0,3,则A是（）A.正定B.半正定C.负定D.半负定参考答案: 1. C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. A 10.B1.设A,B都是n阶方阵,k是一个数,则下列（）是正确的。
线性代数期末考试试卷及答案
一、 填空题(每空3分，共15分)1、设A 为n 阶方阵，且3A =，则|3A |= 。
2、设矩阵5678A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A *= 。
（其中A *是A 的伴随矩阵） 3、已知n 阶矩阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。
4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 。
5、二次型22212312133428f x x x x x x x =-+-+的实对称矩阵为 。
二、选择题(每小题3分，共15分)1、12021k k +≠+的充要条件是（ ）（A ）1k ≠ （B ）3k ≠-（C ）1k ≠且3k ≠- （D ）1k ≠或3k ≠-2、若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为（ ） ()A 12 ()B -12 ()C 18 ()D 03、设,A B 都是n 阶方阵，且0AB =，则下列一定成立的是（ ）()A 0A =或0B = (),B A B 都不可逆 (),C A B 中至少有一个不可逆 ()0D A B += 4、向量组()12,,,2s s ααα≥ 线性相关的充分必要条件是（ ）()A 12,,,s ααα 中含有零向量。
()B 12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例。
()C 12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示。
()D 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示。
5、当ad ≠bc 时，1a b c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦=（ ） （A ）d c b a -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（B ）1d b c a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（C ）1d b c a bc ad ⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（D ）1d c b a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦三、（8分）计算行列式411102*********23D -=-四、（11分）求向量组()()()()12342,1,1,1,1,1,7,10,3,1,1,2,8,5,9,11αααα==-=--=的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示。
《线性代数》期末考试复习题
《线性代数》复习题一一、单项选择题⒈已知11122122b b b b =2，则11122111221222b b b b b b -- =( )A.0B.1C.2D.4⒉行列式1 02 1中元素12a 的代数余子式为（）A.0B.1C.2D.-2⒊已知A=a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭ d ,则*A =（ ） A.⎛⎫⎪⎝⎭d -b -c a B.⎛⎫⎪⎝⎭d c b a C.⎛⎫⎪⎝⎭a cb d D.⎛⎫⎪⎝⎭-a c b -d ⒋E 为三阶单位矩阵，E=(,,εεε123)则下列错误的是（ ）A. ,,εεε123为3R 中的一组基。
B. ,,εεε123两两正交。
C. ,,εεε123线性无关。
D.j T i εε =1 （i j ≠）⒌若β可被1s αα线性表示，则下列各式一定成立的有（ ）A.11,s βαα线性无关。
B. 11,s βαα线性相关。
C. 1s αα线性相关。
D.β一定是零向量。
⒍有m 个方程组成的n 元齐次线性方程组AX=0仅有零解，则（ ） A.()()r A r A ≠。
B.()r A n =。
C.det 0A ≠。
D.()0r A =。
⒎若向量(1,1,1)(2,5,)k αβ=-=-、,若0=βαT ，则k=( ) A.3B.2C.-3D.-7⒏若B A ~，则下列各式不完全正确的是 ( )A.det det A B =B.det det T A B =C.1det det A B -=D.det det T A B =⒐若n 阶矩阵A 合同于B ，则（ ） A. 存在n 阶可逆矩阵p 使得T p Ap B =。
B. B A ~ C. detA=detBD. A 与B 有相同的特征值⒑二次型222221121...),...,,(n n n x d x d x d x x x f +++=为正定二次型的充分必要条件是（ ）A.0(1,2)i d i n <=B.二次型矩阵A 可逆C.detA=0D. 0(1)i d i n >=二.填空题⒈已知p 为n 阶初等矩阵，A 为n 阶可逆矩阵，则r(PA)=_________。
线性代数期末复习题目
线性代数期末复习题目一.单项选择题1.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是【】(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [五.特征值,特征向量]2. 设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,A B 分别为A,B 的伴随矩阵，则【】.(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (B) 交换*A 的第1列与第2列得*B -； (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [二.四.矩阵及其运算,行列式]3.设矩阵A =33)(?ij a 满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为【】.(A) 33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [二.四.伴随矩阵,行列式]4.设A,B,C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若B =E +AB ,C =A +CA ，则B -C 为【】(A) E . （B ）-E . （C ）A . (D) -A [二.矩阵及其运算]5 .设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ?矩阵，下列选项正确的是【】（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.[二.向量组的线性相关性]6.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001?? ?= ? ???P ，则【】（A ）1.-=C P AP （B ）1.-=C PAP （C ）.=T C P AP （D ）.=TC PAP[二.矩阵及其运算,初等矩阵]7.设125,,......,均为n 维列向量A 是m n ?矩阵,下列正确的是【】(A) 若125,,......线性相关,则125,......A A A 线性相关 (B) 若125,,......线性相关,则125,......A A A 线性无关 (C) 若125,,......线性无关,则125,......A A A 线性相关 (D) 若125,,......线性无关,则125,......A A A 线性无关 [二.向量组的线性相关性]8.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是【】(A) 122331,,;---αααααα (B) 122331,,;+++αααααα (C)1223312,2,2;---αααααα (D) 1223312,2,2+++αααααα. [二.向量组的线性相关性]9.设矩阵211100121,010112000--???? ? ?=--= ? ? ? ?--A B ，则A 与B 【】(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 既不合同也不相似.[五.矩阵的相似与合同]10.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ，则【】 (A) -E A 不可逆，+E A 不可逆. (B) -E A 不可逆，+E A 可逆. (C) -E A 可逆，+E A 可逆. (D) -E A 可逆，+E A 不可逆.[二.矩阵及其运算,逆矩阵]11.设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A yz ?? ?= ? ???在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【】 (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ;(D) 3. [五.矩阵的特征值]12.设1221??=A 则在实数域上与A 合同的矩阵为【】 (A) 2112-??-??;(B) 2112-??-??;(C) 2112??.;(D) 1221-??-??.[五.矩阵的合同]13.设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,+++a a a a a a 的过渡矩阵为【】.（A ）101220033?? ? ? ???（B ）120023103?? ? ? ???（C ）111246111246111246??- ? ? ?-- ?（D ）111222111444111666??-- ? ? ?-. [三. 向量空间，基，过渡矩阵]14.设 A ,B 均为 2 阶矩阵，,**A B 分别为A ，B 的伴随矩阵，若|A |=2，|B |=3，则分块矩阵00??A B 的伴随矩阵为【】. （A ）32**O B A O （B ）23**?? ???O B A O （C ）32**?? ???O A B O （D ）23**?? ???O A BO [二. 三..四.伴随矩阵，逆矩阵，分块矩阵，行列式]15.设A ，P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且TP A Ｐ＝100010002 ??，若1231223(,,),(,,)==+P Q ααααααα，则T Q AQ 为【】.（Ａ）2101 ?? ? 1 0 ? ?0 0 2?? （Ｂ）11012000 ?? ? ? ? 2?? （Ｃ）20001 ?? ? 0 ? ?0 0 2?? （Ｄ）100020002 ?? ? ? ? ??[二. 四.伴随矩阵，分块矩阵的行列式与逆矩阵]16.设矩阵142242A ab a 2 1?? ?=2 + ? ? + ??的秩为2，则【】.（A ）a =0,b =0（B ）a =0,b ≠0 （C ）a ≠0,b =0 （D ）a ≠0,b ≠0.[一. 矩阵的秩]17.设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则|-2*A |=【】.（A ）52-; （B ）32-; （C ）32 ; （D ）52.[四. 伴随矩阵，方阵的行列式]二.填空题1.设123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα，如果1=A ，那么=B .[四.方阵的行列式]2. 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a = . .[二.四.向量组的线性相关性,行列式] 3.设矩阵2112A ??=-??，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则B = .[四.方阵的行列式]4.设矩阵2112A ??=-??，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则B = .[二.矩阵及其运算]5. 已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)=+-A a a a a ，12(,)=B a a .若行列式||6=A ，则||B = .[四.方阵的行列式] 6．设矩阵0100001000010000?? ?= ? ???A ，则3A 的秩为 . [二.矩阵及其运算,矩阵的秩]7．设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10,=A α，2122=+A ααα则A 的非零特征值为 .[五.矩阵的特征值]8．设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，14--=A E .[五.矩阵的特征值,行列式]9.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ. 若行列式248=-A ,则λ= . [五.矩阵的特征值,行列式]10.设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 则A 的秩为 .[五.矩阵的特征值,行列式]11.若 3 维向量,a β满足2=Taβ，其中T a 为a 的转置，则矩阵T a β的非零特征值为______.[五.矩阵的特征值与特征向量]12.设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若T β相似于200000000 ?? ?，则T βα=___________[五. 相似矩阵，特征值]13.设(1,1,1),(1,0,)k ==αβ，若矩阵Tαβ相似于300000000 ?? ? ? ? ??，则k =_______[五. 相似矩阵，特征值]14.设向量组(1,0,1),(2,1),TTk ==-αβ(1,1,4)=--Ty 线性相关，则k =______ [二.四. 向量组的线性相关性，行列式]三 .解答题1.已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ）求a 的值；（II ）求正交变换=x Qy ，把),,(321x x x f 化成标准形；（III ）求方程),,(321x x x f =0的解. [五. 二次型,矩阵的特征值, 特征向量,正交变换]2.已知三阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵12324636??= ? ???B k （k 为常数），且AB =O , 求线性方程组Ax =0的通解.[二.线性方程组,基础解系,矩阵]3.确定常数a ,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示. [二.向量组的线性相关性]4.已知齐次线性方程组（i ）=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和 (ii)=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求,,a b c 的值. [一.线性方程组求解]5.设??=TAC D CB 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ?矩阵. (I) 计算TP DP ，其中1-??-= ? ??mn E A C P OE ；（II ）利用(I)的结果判断矩阵1--T B C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. [五.分块矩阵,正定矩阵]6.设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足1123=++A αααα，2232=+A ααα，32323=+A ααα.(I) 求矩阵B , 使得123123(,,)(,,)=A B αααααα；（II ）求矩阵A 的特征值；（III ）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]7.已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-??++-=-??++-=?有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2R A =; （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. [二.线性方程组求解]8.设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()11,2,1Tα=--,()20,1,1Tα=-是线性方程组0=Ax 的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ使得=TQ AQ Λ;.(Ⅲ)求A 及63()2A E -,其中E 为3阶单位矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]9.设4维向量组()11,1,1,1,Ta ?=+()22,2,2,2,Ta ?=+()33,3,3,3,Ta ?=+()44,4,4,4Ta ?=+.问a 为何值时1234,,,线性相关? 当1234,,,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. [二.向量组的线性相关性]10.设线性方程组=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值及所有公共解. [二.线性方程组求解]11.设3阶实对称矩阵A 的特征值2,2,1321-===λλλ，且T )1,1,1(1-=α是A 的属于1λ的一个特征向量。
线代期末试题及答案
T AB =______________.2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，123,,βββ是它的 三个解向量，且12(2,6,3),T ββ+=-23(6,8,5),T ββ+=-则该线性方 程组的通解是__________.3. 设123625t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的行向量线性相关，则实数t 满足的条件是 _________.4．令ii A 是三阶矩阵A 的元素ii a 的代数余子式（i =1，2，3），若A 的特征值为3，4，5，则112233A A A ++=__________.5．若101020105A c c ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭是正定矩阵，则c 的取值范围为 ___________.二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，则____________. （1）A+B 为正交矩阵 （2）A-B 为正交矩阵（3） B AB 为正交矩阵（4）k AB 为正交矩阵(k >0为实数)2．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵O A D B O ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵是____________.（1）11A O O B --⎛⎫⎪⎝⎭ （2）11O B A O --⎛⎫⎪⎝⎭ （3） 11B O OA --⎛⎫⎪⎝⎭ （4）11O A BO --⎛⎫ ⎪⎝⎭3． 设α与β是线性无关的单位向量，则α与β的内积必 ____________.（1） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<14.设A 为n 阶可逆矩阵，1*,,T A A A -分别是A 的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若ξ是A 的特征向量，则下列命题中的不正确的是________.（1）ξ是T A 的特征向量 （2）2ξ是1A -的特征向量 （3）3ξ是*A 的特征向量（4） 4ξ是kA 的特征向量（k 为常数）5.设222623222,000222000A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则____ ____. （1）A 与B 是相似的且是合同的 （2）A 与B 是相似的但不是合同的 （3）A 与B 不是相似的但是合同的 （4）A 与B 不是相似的也不是合同的三．（15分）试求五元齐次线性方程组123451234512345330,30,0x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪-++-+=⎨⎪+++-=⎩的解空间V(作为5R 的子空间)的一组规范（标准）正交基。