二次函数解析式图象和性质专题
二次函数的图像与性质专题训练
二次函数的图象与性质专题【知识点1 二次函数的配方法】二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)配方成顶点式y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a 2, 对称轴为2b x a =−,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭,.【题型1 二次函数的配方法】【例1】用配方法将下列函数化成y =a (x -h )2+k 的形式,并指出抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标.(1)y =2x 2+4x -1 (2)y =12x 2﹣2x +3; (3)y =(1﹣x )(1+2x );【知识点2 二次函数的五点绘图法】利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =−+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.【题型2 二次函数的五点绘图法】【例2】已知抛物线y =x 2﹣2x ﹣3(1)写出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、与x 、y 轴交点;(2)选取适当的数据填表格,并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象.【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】①二次项系数a :a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. ②一次项系数b :在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置,概括的说就是“左同右异”. ③常数项c :总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】【例3-1】如图所示的四个二次函数图象分别对应 ①y =ax 2, ②y =bx 2, ③y =cx 2, ④y =dx 2,则a ,b ,c ,d 的大小关系为 .(用“>”连接)【例3-2】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像如图,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b>am2+bm;④a-b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,x1+x2=2.其中正确的有()A.②④B.②⑤C.①②③D.②③⑤【例3-3】函数y=ax2﹣a与y=ax+a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.【知识点4 二次函数图象的平移变换】平移步骤:①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=−+,确定其顶点坐标()h k,;②平移规律概括成八个字“左加右减,上加下减”.【题型4 二次函数图象的平移变换】【例4】要得到函数y=﹣(x﹣2)2+3的图象,可以将函数y=﹣(x﹣3)2的图象()A.向右平移1个单位,再向上平移3个单位B.向右平移1个单位,再向下平移3个单位C.向左平移1个单位,再向上平移3个单位D.向左平移1个单位,再向下平移3个单位【知识点5 二次函数图象的对称变换】2y ax bx c=++关于x轴对称,得到2y ax bx c=−−−;关于y轴对称,得到2y ax bx c=−+;()2y a x h k=−+关于x轴对称,得到()2y a x h k=−−−;关于y轴对称,得到()2y a x h k=++;2y ax bx c=++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c=−+−;()2y a x h k=−+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=−+−;【题型5 二次函数图象的对称变换】【例5】在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2a﹣b)x+b+1与y=﹣x2+(a+b)x+a﹣4关于x轴对称,则a+b的值为()A.﹣5B.3C.5D.15【变式5-1】抛物线y=﹣(x+2)2关于y轴对称的抛物线的表达式为.【变式5-2】在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x+3绕着原点旋转180°,所得抛物线的解析式是()A.y=﹣(x﹣1)2﹣2 B.y=﹣(x+1)2﹣2C.y=﹣(x﹣1)2+2D.y=﹣(x+1)2+2【题型6 利用二次函数的性质判断结论】【例6】对于抛物线y=﹣2(x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1:③顶点坐标为(﹣1,3);④x>﹣1时,y随x的增大而减小,其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4【变式6-1】关于抛物线y =x 2﹣(a +1)x +a ﹣2,下列说法错误的是( )A .开口向上B .当a =2时,经过坐标原点OC .不论a 为何值,都过定点(1,﹣2)D .a >0时,对称轴在y 轴的左侧【变式6-2】对于二次函数y =x 2﹣2mx ﹣3,有下列结论:③ 它的图象与x 轴有两个交点;②如果当x ≤﹣1时,y 随x 的增大而减小,则m =﹣1;③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m =1;④如果当x =2时的函数值与x =8时的函数值相等,则m =5.其中一定正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上)【题型7 利用二次函数的性质比较函数值】【例7】已知二次函数y =x 2﹣2x ﹣3的自变量x 1,x 2,x 3对应的函数值分别为y 1,y 2,y 3.当﹣1<x 1<0, 1<x 2<2,x 3>3时,y 1,y 2,y 3三者之间的大小关系是( )A .y 1<y 2<y 3B .y 2<y 3<y 1C .y 3<y 1<y 2D .y 2<y 1<y 3【变式7-1】抛物线y =x 2+x +2,点(2,a ),(﹣1,﹣b ),(3,c ),则a ,b ,c 的大小关系是( )A .c >a >bB .b >a >cC .a >b >cD .无法比较大小【变式7-2】已知点A (b ﹣m ,y 1),B (b ﹣n ,y 2),C (b +m+n 2,y 3)都在二次函数y =﹣x 2+2bx +c 的图象上, 若0<m <n ,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A .y 1<y 2<y 3B .y 2<y 3<y 1C .y 3<y 1<y 2D .y 1<y 3<y 2 【题型8 利用二次函数的性质求字母的范围】【例8】已知抛物线y =﹣(x ﹣2)2+9,当m ≤x ≤5时,0≤y ≤9,则m 的值可以是( )A .﹣2B .1C .3D .4【变式8-1】若抛物线y =(x ﹣m )(x ﹣m ﹣3)经过四个象限,则m 的取值范围是( )A .m <﹣3B .﹣1<m <2C .﹣3<m <0D .﹣2<m <1【题型9 利用二次函数的性质求最值】【例9】若实数m 、n 满足m+n =2,则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_______.【变式9-2】抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)过A (4,4),B (2,m )两点,点B 到抛物线对称轴的距离记为d ,满足0<d ≤1,则实数m 的取值范围是( )A .m ≤2或m ≥3B .m ≤3或m ≥4C .2<m <3D .3<m <4*【题型10 二次函数给定范围内的最值问题】【例10】若二次函数y =﹣x 2+mx 在﹣1≤x ≤2时的最大值为3,那么m 的值是( )A .﹣4或72B .﹣2√3或72C .﹣4 或2√3D .﹣2√3或2 √3【变式10-1】已知二次函数y =mx 2+2mx +1(m ≠0)在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2,则m =( )A .3B .﹣3或38C .3或−38D .﹣3或−38 【变式10-2】若二次函数y =x 2﹣2x +5在m ≤x ≤m +1时的最小值为6,那么m 的值是 .二次函数的图象与性质— 易错精选 —1. 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,下面五条信息:①c <0;②ab <0; ③a ﹣b +c >0;④2a ﹣3b =0;⑤c ﹣4b >0.你认为其中正确的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2. 如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论:①abc >0;②2a ﹣b =0;③4ac ﹣b 2<0;④若点B (﹣,y 1)、C (﹣,y 2)为函数图象上的两点,则y 1>y 2;⑤am 2+bm <a ﹣b (m 为任意实数);其中,正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .43. 在平面直角坐标系中,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,现给出以下结论:①abc <0;②c +2a <0;③9a ﹣3b +c =0;④a ﹣b ≥m (am +b )(m 为实数),其中正确的结论有 .(只填序号)4. 已知二次函数y =ax 2+bx+c (a≠0)的图像如图,有下列6个结论:①abc<0;②b<a ﹣c ;③4a+2b+c>0;④2c<3b ;⑤a+b<m (am+b ),(m≠1的实数)⑥2a+b+c>0,其中正确的结论的有_____.5. 如图是抛物线21(0)y ax bx c a =++≠图像的一部分,抛物线的顶点坐标为(1,3)A ,与x 轴的一个交点为(4,0)B ,点A 和点B 均在直线2(0)y mx n m =+≠上.①20a b +=;②>0abc ;③抛物线与x 轴的另一个交点时(4,0)−;④方程23ax bx c ++=−有两个不相等的实数根;⑤4a b c m n −+<+;⑥不等式2mx n ax bx c +>++的解集为14x <<.上述六个结论中,其中正确的结论是_____________.(填写序号即可)6. 在同一个平面直角坐标系xOy 中,二次函数211y a x =,222y a x =,233y a x 的图象如图所示,则123,,a a a 的大小关系为___________(用“>”连接).。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一,掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2,其中a表示开口方向和抛物线开口大小,x^2表示自变量的平方。
根据a的正负,抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时,抛物线开口向上,顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴;当a<0时,抛物线开口向下,顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上,加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式,其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负,抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0,c>0时,抛物线开口向上,顶点坐标为(0,c),对称轴为y轴;当a>0,c0时,抛物线开口向下,顶点坐标为(0,c),对称轴为y轴;当a<0,c<0时,抛物线开口向下,顶点坐标为(0,c),对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式,二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k,其中(h,k)表示顶点坐标。
根据a的正负,抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时,抛物线开口向上,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h;当a<0时,抛物线开口向下,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上,加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负,抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0,k>0时,抛物线开口向上,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h;当a>0,k0时,抛物线开口向下,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h;当a<0,k<0时,抛物线开口向下,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标,然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
(整理)第10讲二次函数图象和性质
第10讲 二次函数(一)专题一:二次函数的图像与性质(一)知识点梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a >02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式,其中 h = , k = .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 5、图象的平移:将二次函数y=ax 2 (a ≠0)的图象进行平移,可得到y=ax 2+c ,y=a(x -h)2,y=a(x -h)2+k 的图象.⑴ 将y=ax 2的图象向上(c >0)或向下(c< 0)平移|c|个单位,即可得到y=ax 2+c 的图象.其顶点是(0,c )形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同. ⑵ 将y=ax 2的图象向左(h<0)或向右(h >0)平移|h|个单位,即可得到y=a(x -h)2的图象.其顶点是(h ,0),对称轴是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同.⑶ 将y=ax 2的图象向左(h<0)或向右(h >0)平移|h|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位,即可得到y=a(x -h)2 +k 的图象,其顶点是(h ,k ),对称轴是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同.(二):经典考题精讲例1、二次函数y=ax 2+bx 2+c 的图象如图所示,则a 0,b 0,c 0.(填“>”或“<”=.)例2、二次函数y=ax 2+bx +c 与一次函数y=ax +c 在同一坐标系中的图象大致是图中的( )例3、在同一坐标系中,函数y=ax 2+bx 与y=xb的图象大致是图中的( )例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x 2+0.9x +10表示,而且左右两条抛物线关于y 轴对称,你能写出右面钢缆的表达式吗?例5、图中各图是在同一直角坐标系内,二次函数y=ax 2+(a +c )x +c 与一次函数y=ax +c 的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )例6、抛物线y=ax 2+bx +c 如图所示,则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 .例7、已知二次函数y=(m -2)x 2+(m +3)x +m +2的图象过点(0,5)(1)求m 的值,并写出二次函数的表达式; (2)求出二次函数图象的顶点坐标、例8、 如图所示,有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ,PQ=PR=5cm ,QR=8cm ,点B 、C 、Q 、R 在同一直线ι上.当CQ 两点重合时,等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动,t 秒后,正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2.解答下列问题:(1)当t=3秒时,求S 的值; (2)当t=5秒时,求S 的值;三:拓展与应用1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2.将抛物线23y x =-向上平移一个单位后,得到的抛物线解析式是 .3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象,那么a 的值是 .4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是( ) A.-2 B.2 C.-1 D.15. 请写出一个开口向上,对称轴为直线x =2,且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x 的取值范围是( )A .-1≤x≤3B .-3≤x≤1C .x≥-3D .x≤-1或x≥38. 二次函数c bx ax y ++=2(0≠a )的图象如图所示,则下列结论: ①a >0; ②c >0; ③ b 2-4a c >0,其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 第3题图第6题图9. 已知二次函数243y ax x=-+的图象经过点(-1,8).(1)求此二次函数的解析式;(2)根据(1)填写下表.在直角坐标系中描点,并画出函数的图象;(3)根据图象回答:当函数值y<0时,x的取值范围是什么?专题二:二次函数与一元二次方程(一):【知识梳理】1.二次函数与一元二次方程的关系:(1)一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3)当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时,则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;当二次函数y=ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时,则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根(二):【经典考题剖析】1.已知二次函数y=x2-6x+8,求:(1)抛物线与x轴J轴相交的交点坐标;(2)抛物线的顶点坐标;(3)画出此抛物线图象,利用图象回答下列问题:①方程x2-6x+8=0的解是什么?②x取什么值时,函数值大于0?③x取什么值时,函数值小于0?2.已知抛物线y=x2-2x-8,(1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点;(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积.3.如图所示,直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ,∠BAC=90o, 过C 作CD ⊥x 轴,垂足为D (1)求点A 、B 的坐标和AD 的长(2)求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm ,BC=12cm ,点P 从点A 出发,沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动,同时点Q 从点B 出发,沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动,回答下列问题:(1) 设运动后开始第t (单位:s )时,五边形APQCD 的面积为S(单位:cm 2),写出S 与t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围 (2)t 为何值时S 最小?求出S 的最小值5. 如图,直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点P 是线段AB 的中点,抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O (原点)。
初中数学中考[函数]第3讲二次函数图像性质与解析式
初中数学中考[函数]第3讲二次函数图像性质与解析式二次函数是数学中的重要内容之一,它在初中数学中被广泛讨论和研究。
本讲将进一步学习二次函数的图像性质和解析式,以更深刻地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像性质1. 对称性:二次函数的图像关于直线x= -b/2a对称。
也就是说,二次函数f(x) = ax² + bx + c的图像在直线x= -b/2a上的对应点的函数值相等。
2.开口方向:二次函数的开口方向取决于系数a的正负。
当a>0时,二次函数的图像开口向上;当a<0时,二次函数的图像开口向下。
3. 判别式:二次函数方程ax² + bx + c=0的判别式D=b²-4ac可以决定二次函数的零点情况。
当D>0时,方程有两个不相等的实数根;当D=0时,方程有两个相等的实数根;当D<0时,方程没有实数根。
4.最值点:当a>0时,二次函数的最小值点就是函数的最值点;当a<0时,二次函数的最大值点就是函数的最值点。
二、二次函数的解析式一般情况下,二次函数的解析式为:f(x) = ax² + bx + c (a≠0)解析式中的a、b、c分别代表二次函数的系数。
系数a决定了二次函数的开口方向和开口的大小,系数b和c决定了二次函数的位置。
三、二次函数的解析式与图像的关系通过二次函数的解析式可以很方便地确定二次函数的图像。
1.开口方向:根据二次函数的解析式的系数a的正负可以判断二次函数的开口方向。
2.对称轴:二次函数解析式中的-b/2a,即x=-b/2a,是二次函数的对称轴。
3. 零点:将二次函数解析式中的f(x)等于零,求解二次方程ax² + bx + c=0,可以得到二次函数的零点。
4.最值点:当a>0时,二次函数的最小值点就是函数的最值点,可以通过求解最值点的横坐标,即-b/2a,再代入解析式求解得到最值点的纵坐标;当a<0时,二次函数的最大值点就是函数的最值点,计算方法同上。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义:一般地,形如y=ax^2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式:y=a(x-h)2+k,其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线,a为抛物线的开口方向和大小,h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向:由a的符号决定,a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。
2.对称性:二次函数图像关于y轴对称,即若点(x,y)在图像上,则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点:二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点,顶点式y=a(x-h)^2+k中,(h,k)为顶点坐标。
4.轴:二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根,与y轴的交点为c/a。
5.增减性:当a>0时,二次函数图像在顶点左侧单调递减,在顶点右侧单调递增;当a<0时,二次函数图像在顶点左侧单调递增,在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点:根据顶点式y=a(x-h)^2+k,直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴:对称轴为x=h。
3.求开口大小:开口大小由a的绝对值决定,绝对值越大,开口越大。
4.求与坐标轴的交点:与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根,与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性:根据a的符号,判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题:利用二次函数图像解决实际问题,如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题:利用二次函数图像研究几何图形的性质,如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题:利用二次函数图像研究物理现象,如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换:对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换,如向左平移h个单位,得到y=a(x+h)2+k;向右平移h个单位,得到y=a(x-h)^2+k。
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ,则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4,且经过点(1,5),
则该抛物线的解析式是_________,将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位,得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中,通过画出二次函数 = + ,
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12(x-1)
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1(x-1)
2
2
4 x
-2
2
y - 1(x+1)
2
-4
-6
-8
二次函数的图象、解析式和性质
二次函数的系数与图象的关系
二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为系数 a的符号决定了抛物线的开口方向,a>0时开口向上,a<0时开口向下 a的绝对值决定了抛物线的开口大小,|a|越大,开口越小 b和c决定了抛物线的位置,b和c的值越大,抛物线越往y轴正方向移动
二次函数的开口大小与二次项系数的关系
XX
二次函数的图象、解析式和性质
单击添加副标题
汇报人:XX
目录
01
单击添加目录项标题
02
03
二次函数的解析式
04
二次函数的图象 二次函数的性质
01
添加章节标题
02
二次函数的图象
二次函数的标准形式
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c 二次函数的标准形式是y=ax^2+c,其中a和c是常数,且a≠0 二次函数的开口方向由系数a决定,a>0时开口向上,a<0时开口向下 二次函数的顶点坐标为(0,c),对称轴为y轴
b和c决定了抛物线的位置,其中 b和c的值可以根据具体的函数表 达式来确定。
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a的符号决定了抛物线的开口方向, 当a>0时,抛物线开口向上;当 a<0时,抛物线开口向下。
二次函数的顶点坐标可以通过配 方的方法求得,顶点的横坐标为 x=-b/2a,纵坐标为y=(4acb^2)/4a。
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二次函数的开口方向
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c,其中a决定了开口方向 当a>0时,开口向上 当a<0时,开口向下 开口方向与函数的极值和最值有关
二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)
例1.1.3若 是二次函数,则 的值是__________.
例1.1.4二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则代数式1-a-b的值为( )
A.-3
B.-1
C.2
D.5
随练1.1已知函数① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,其中二次函数的个数为()
随练1.2已知函数 ,当 _________时,它是二次函数.
4.已知抛物线经过两点,且这两点的纵坐标相等时,可用对称点式求解函数解析式(交点式可视为对称点式的特例).
一.考点:二次函数解析式的求法.
二.重难点:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 轴有交点,即 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
随练5.1已知一个二次函数过 , , 三点,求二次函数的解析式.
随练5.2将二次函数 化为 的形式,结果为()
A.
B.
C.
D.
随练5.3已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式.
随练5.4已知二次函数y=x2+bx+c经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的解析式是____.
2.画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 轴的交点,与 轴的交点.
一.考点: 的图象和性质.
二.重难点: 的图象和性质,参数对图像的影响.
三.易错点:利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像.
题模一:y=a^2+bx+c的图象和性质
例4.1.1已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()
九年级二次函数一轮复习教案-图像性质、系数、解析式
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号:年级: 九年级课时数:3学员姓名:辅导科目:数学学科教师:许晶晶授课类型C二次函数的图像与性质C 二次函数的图像与系数的关系C二次函数解析式的求法授课日期时段教学内容一、专题精讲1.二次函数的定义:形如cbxaxy++=2(a≠0,a,b,c为常数)的函数为二次函数.2.二次函数的图象及性质:⑴二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,其顶点是原点,对称轴是y轴;当a>0时,抛物线开口向上,顶点是最低点;当a<0时,抛物线开口向下,顶点是最高点;a越小,抛物线开口越大.y=a(x-h)2+k的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k)。
⑵二次函数cbxaxy++=2的图象是一条抛物线.顶点为(-2ba,244ac ba-),对称轴x=-2ba;当a>0时,抛物线开口向上,图象有最低点,且x>-2ba,y随x的增大而增大,x<-2ba,y随x的增大而减小;当a<0时,抛物线开口向下,图象有最高点,且x>-2ba,y随x的增大而减小,x<-2ba,y随x的增大而增大.注意:分析二次函数增减性时,一定要以对称轴为分界线。
首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧,然后再根据具体情况分析其大小情况。
解题小诀窍:二次函数上两点坐标为(yx,1),(yx,2),即两点纵坐标相等,则其对称轴为直线221xxx+=。
⑶当a>0时,当x=-2ba时,函数有最小值244ac ba-;当a<0时,当 x=-2ba时,函数有最大值244ac b a-。
3.图象的平移:将二次函数y=ax 2 (a ≠0)的图象进行平移,可得到y=ax 2+c ,y=a(x -h)2,y=a(x -h)2+k 的图象.⑴ 将y=ax 2的图象向上(c >0)或向下(c< 0)平移|c|个单位,即可得到y=ax 2+c 的图象.其顶点是(0,c ),形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同.⑵ 将y=ax 2的图象向左(h<0)或向右(h >0)平移|h|个单位,即可得到y=a(x -h)2的图象.其顶点是(h ,0),对称轴是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同.⑶ 将y=ax 2的图象向左(h<0)或向右(h >0)平移|h|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位,即可得到y=a(x -h)2+k 的图象,其顶点是(h ,k ),对称轴是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同.注意:二次函数y=ax 2 与y=-ax 2的图像关于x 轴对称。
二次函数图像性质与解析式
第一节 二次函数图像性质及解析式【知识要点】1、二次函数图像与系数:二次函数一般式()02≠++=a c bx ax y 中c b a ,,的符号判断,通常情况下可以通过图象识别。
a 的符号:b 的符号:c 的符号: b a ±2的符号:c b a +±的符号:引申:42a b c ±+,93a b c ±+,111842a b c ±+ ac b 42-的符号:2、二次函数图像的变换3、二次函数图像的增减性4、二次函数解析式板块一:二次函数的图像与系数例1、(2018•宁波)如图,二次函数2y ax bx =+的图象开口向下,且经过第三象限的点P .若点P 的横坐标为1-,则一次函数()y a b x b =-+的图象大致是( )A .B .C .D .变式、 (2018•德州)如图,函数221y ax x =-+和(y ax a a =-是常数,且0)a ≠在同一平面直角坐标系的图象可能是( )A .B .C .D .例2、(2018•资阳)已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,OA OC =,则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式:①2414ac b a-=-;②10ac b ++=;③0abc >;④0a b c -+>.其中正确的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个变式1、(2017•黄石)如图,是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象,对下列结论:①ab >0, ②abc >0,③241acb<,其中错误的是_______.(只填序号)变式2、(2017锦江区)如右上图,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象过点(-1,2),下列结论:①abc >0;②a +b +c >0;③2a +b <0;④b <-1;⑤b 2-4ac <8a ,正确的结论是_______.(只填序号)例3、(2018•抚顺)已知抛物线c bx ax y ++=2(0<2a ≤b )与x 轴最多有一个交点.以下四个结论:①0abc >;②该抛物线的对称轴在1x =-的右侧; ③关于x 的方程210ax bx c +++=无实数根;④2a b cb++≥. 其中,正确的结论是_____ __.(只填序号)变式、(2018•绥化)抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示,与x 轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是1x =.下列结论中:正确的结论是_______.(只填序号) ①0abc >;②20a b +=;③方程23ax bx c ++=有两个不相等的实数根;④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(2,0)-;⑤若点(,)A m n 在该抛物线上,则2am bm c a b c ++≤++.板块二、图象变换例1、(2018•烟台)如图, 二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -,(3,0)B . 下列结论:①20a b -=;②22()a c b +<;③当13x -<<时,0y <;④当1a =时, 将抛物线先向上平移 2 个单位, 再向右平移 1 个单位, 得到抛物线2(2)2y x =--.正确的是( )A .①③B .②③C .②④D .③④变式、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图像解析式为221y x x =--+,则a 、b 、c 的值为( )A 、1,2,4a b c ===-B 、1,2,4a b c ==-=-C 、1,2,4a b c =-==D 、1,2,4a b c =-=-=例2、在平面直角坐标系中,先将抛物线22-+=x x y 关于x 轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )A .22+--=x x yB .22-+-=x x yC .22++-=x x yD .22++=x x y变式、(2017陕西)已知抛物线y =x 2﹣2mx ﹣4(m >0)的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M ′,若点M ′在这条抛物线上,则点M 的坐标为( )A .(1,﹣5)B .(3,﹣13)C .(2,﹣8)D .(4,﹣20)例3、(2018•玉林)如图,一段抛物线42+-=x y (22-≤≤x )为1C ,与x 轴交于0A ,1A 两点,顶点为1D ;将1C 绕点1A 旋转180︒得到2C ,顶点为2D ;1C 与2C 组成一个新的图象,垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点11(P x ,1)y ,22(P x ,2)y ,与线段12D D 交于点33(P x ,3)y ,设1x ,2x ,3x 均为正数,123t x x x =++,则t 的取值范围是 .变式:(2018•兰州)如图,抛物线2145722y x x =-+与x 轴交于点A 、B ,把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ,将1C 向左平移得到2C ,2C 与x 轴交于点B 、D ,若直线12y x m =+与1C 、2C 共有3个不同的交点,则m 的取值范围是 .例4、关于二次函数21:23C y x x =+-的下列四个结论中,正确的结论是 (只填序号).①将1C 的图象向上平移m 个单位后,若与x 轴有没有交点,则4m >; ②将1C 的图象向左平移1个单位后得2C ,则函数2C 的解析式为24y x x =+; ③若3C 的图象与1C 的图象关于x 轴对称,函数3C 的解析式为223y x x =-+-;④若1C 的图象顶点为点D ,且1C 与直线21y x =-+交于A 、B 两点,则ABD ∆的面积为142. 变式、将抛物线y =x 2﹣2x ﹣3的图象向上平移____个单位,能使平移后的抛物线与x 轴上两交点以及顶点围成等边三角形.板块三、二次函数图像对称性及增减性考点一:对称性例1、(长春)在平面直角坐标系中,点A 是抛物线()23y a x k =-+与y 轴的交点,点B 是这条抛物线上的另一点,且//AB x 轴,则以AB 为边的等边ABC ∆的周长为_______.变式1、(山东)抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-2,7),B (6,7),C (3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是____________.变式2、(宁波)已知点A (a ﹣2b ,2﹣4ab )在抛物线y =x 2+4x +10上,则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为__________. 考点二:增减性例1、(2018秋•南岸区校级期中)如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于(1,0)-,(3,0)两点,则下列说法:①0abc <;②0a b c -+=;③20a b +=;④20a c +>;⑤若1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,3(C x ,3)y 为抛物线上三点,且1211x x -<<<,33x >,则213y y y <<,其中正确的结论是 (只填序号).变式、(2018•达州)如图,二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -,与y 轴的交点B 在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),对称轴为直线2x =.下列结论:①0abc <;②930a b c ++>;③若点1(2M ,1)y ,点5(2N ,2)y 是函数图象上的两点,则12y y <;④3255a -<<-.其中正确的结论是 (只填序号).例2、(2017乐山)已知二次函数y =x 2﹣2mx (m 为常数),当﹣1≤x ≤2时,函数值y 的最小值为﹣2,则m 的值是__________.变式1、(2018•潍坊)已知二次函数2()(y x h h =--为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为1-,则h 的值为__________.变式2、(2018•泸州)已知二次函数22233y ax ax a =+++(其中x 是自变量),当2x ≥时,y 随x 的增大而增大,且21x -剟时,y 的最大值为9,则a 的值为__________.板块四、解析式例1、(2018宁晋县模拟)已知一条抛物线经过E (0,10),F (2,2),G (4,2),H (3,1)四点,选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为( ) A .E ,F B .E ,G C .E ,H D .F ,G变式1、(2017厦门期末)已知某二次函数,当x <1时,y 随x 的增大而减小;当x >1时,y 随x 的增大而增大,则该二次函数的解析式可以是( )A .y =2 (x +1)2 B .y =2 (x ﹣1)2 C .y =﹣2 (x +1)2 D .y =﹣2 (x ﹣1)2例2、(2018•安丘市)在直角坐标系中,二次函数经过(2,0)A -,(2,2)B ,(0,2)C 三个点. 该二次函数的解析式为_____________________.变式1、(2018•营口)已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠经过点(3,7)A --,(3,5)B ,抛物线的解析式为____________________________.2、当x =3时,二次函数的最大值是1,且图象与x 轴两交点之间的距离为2,这个二次函数的解析式为_____________.例3、如图,抛物线经过了边长为1的正方形ABOC 的三个顶点,,A B C ,则抛物线的解析式为__________.变式1、(宁波模拟)如右上图,OABC 是边长为1的正方形,OC 与x 轴正半轴的夹角为15o,点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上,则a =__________.变式2、如图,抛物线()()15y x x =--交x 轴于A B 、 两点,P 为顶点,四边形ABCP 是平行四边形,则经过P B C 、、三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式为__________.例4、如图在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(﹣1,2),点B 在第一象限,且OB ⊥OA ,OB =2OA ,求经过A 、B 、O 三点的二次函数解析式.变式、设抛物线y =-x 2+(m +4)x -4m ,其中0<m <4,与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧),若点D 的坐标为(0,-2),且AD ·BD =10,此抛物线的解析式为_____________.例5、(娄底)抛物线21y x mx m =++(﹣) 与x 轴交于点121200A x B x x x (,),(,),<,与y 轴交于点0C c (,),且满足2212127x x x x ++=.求抛物线的解析式.变式、已知:函数23121y ax a x a =+++-() (a 为常数).(1)若该函数与坐标轴有且仅有两个交点,求a 得值.(2)若该函数图象是开口向上的抛物线,与x 轴相交于点1200A x B x (,),(,)两点,与y 轴相交于点C ,且212x x =- 求抛物线的解析式自我提升训练1、(2018•安丘市)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,对称轴是直线1x =-,下列结论:(1)0abc <;(2)24b ac >;(3)320a c +=;(4)5320a b c ++<.其中正确的是( )A .1个B .2个C .3个D .4个2、(2018•广西)将抛物线216212y x x =-+向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为( ) A .21(8)52y x =-+ B .21(4)52y x =-+ C .21(8)32y x =-+ D .21(4)32y x =-+2、 (2017•百色)经过A (4,0),B (﹣2,0),C (0,3)三点的抛物线解析式是________. 4、已知二次函数图象的顶点坐标是(1,-4),且与y 轴交于点(0,-3),此二次函数的解析式为 .5、如图,抛物线223y ax ax =-+经过△ABC 的三个顶点,已知BC ∥x 轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC =BC .则抛物线的解析式为__________.。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质总结二次函数的图像和性质二次函数的图像与性质可以通过解析式、a的取值、开口方向、函数值的增减、顶点坐标、对称轴和图像与y轴的交点来确定。
当a>0时,二次函数的开口向上;顶点坐标在对称轴上方;在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大。
图像与y轴的交点坐标为(0.c)。
当a<0时,二次函数的开口向下;顶点坐标在对称轴下方;在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小。
图像与y轴的交点坐标为(0.c)。
抛物线的平移法则可以通过把抛物线y=ax^2平移k个单位或h个单位得到y=ax^2+k或y=a(x+h)^2的图像。
当k>0时,向上平移;当k0时,向左平移;当h<0时,向右平移。
二次函数的最值公式:当a>0时,函数有最小值,最小值为y=4ac-b^2/4a;当a<0时,函数有最大值,最大值为y=4ac-b^2/4a。
与y轴的交点坐标为(0.c)。
抛物线的开口大小由a决定,a越大开口越小。
二次函数与一元二次方程的关系:二次函数y=ax^2+bx+c 的图像与一元二次方程ax^2+bx+c=0的解有关,即二次函数的顶点坐标和最值问题可以通过一元二次方程的解来求得。
当a>0时,函数有最小值,最小值为y=4ac-b^2/4a,对应一元二次方程的两根。
当a<0时,函数有最大值,最大值为y=4ac-b^2/4a,对应一元二次方程的两根。
当$\Delta>0$时,二次函数与x轴有两个交点;当$\Delta=0$时,二次函数与x轴有一个交点;当$\Delta<0$时,二次函数与x轴没有交点。
当$\Delta\geq0$时,二次函数与x 轴有交点。
(此定理的逆定理也成立。
)7.二次函数的三种常用形式:1) 一般式:$y=ax^2+bx+c$2) 顶点式:$y=a(x-h)^2+k$3) 两根式:$y=a(x-x_1)(x-x_2)$8.一元二次方程的解法:通过求解方程$ax^2+bx+c=0$中的根来解决问题。
专题07 二次函数的图像与性质 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料07 二次函数的图像与性质◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 二次函数的解析式(1)一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0);(2)顶点式:y =a (x +h )2+k (a ≠0),其中顶点坐标是(-h ,k ). (3)交点式:y =a (x -x 1) (x -x 2) (a ≠0),其中x 1,x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.知识链接02 二次函数的图像与性质(1)二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象可以由y =x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到.在二次函数y =ax 2(a ≠0)中,二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.(2)二次函数y =a (x +h )2+k (a ≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”; k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. (3)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)具有下列性质:(ⅰ)当a >0时,y =ax 2+bx +c 图象开口向上;顶点为24(,)24b ac b a a--,对称轴为直线x =2b a-;当x 2b a<-时,y 随着x 的增大而减小;当x 2b a>-时,y 随着x 的增大而增大;当x 2b a =-时,函数取最小值y =244ac b a-.(ⅱ)当a <0时, y =ax 2+bx +c图象开口向下;顶点为24(,)24b ac b a a--, 对称轴为直线x =2b a-;当x 2b a<-时,y 随着x 的增大而增大;当x 2b a>-时,y 随着x 的增大而减小;当x 2b a =-时,函数取最大值y =244ac b a-.(4)函数y =ax 2+bx +c 图象作图要领:(ⅰ)确定开口方向:由二次项系数a 决定;(ⅱ)确定对称轴及顶点:对称轴方程为2b x a =-,顶点24(,)24b ac b a a --;(ⅲ)确定图象与x 轴的交点情况:①若△>0则与x 轴有两个交点,可由方程x 2+bx +c=0求出; ②若△=0则与x 轴有一个交点,可由方程x 2+bx +c=0求出; ③若△<0则与x 轴有无交点。
二次函数专题复习讲义
二次函数专题复习专题一:二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -,. 1求m 、c 的值;2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A .第一、二、三象限B .第一、二、四象限C .第二、三、四象限D .第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到;当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息:①0c <;②0abc >;③0a b c -+>;④230a b -=;⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二:二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位:米2与x 单位:米的函数关系式为 不要求写出自变量x 的取值范围.考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式:y=ax 2+bx+ca ≠0;2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式:y=ax-h 2+ka ≠0; 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式:y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式; 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 . 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3;x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算:二次函数的图象经过点(03)A -,,(23)B -,,(10)C -,.1求此二次函数的关系式; 2求此二次函数图象的顶点坐标;3填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少..平移 个单位,使得该图象的顶点在原点. 专题三:二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是A.6 6.17x << B.6.17 6.18x << C.6.18 6.19x <<D.6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、一个交点、没有交点;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根;当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题:1写出方程20ax bx c ++=的两个根.2写出不等式20ax bx c ++>的解集.3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围.4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.图2专题四:利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路:1理解问题;2分析问题中的变量和常量;3用函数表达式表示出它们之间的关系;4利用二次函数的有关性质进行求解;5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位:平方米随矩形一边长x单位:米的变化而变化.1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式;2求支柱EF的长度;3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由.x图1。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0,其中a、b、c是系数,且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac,用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解,若Δ > 0,方程有两个 实数根,若Δ = 0,方程有一个实数根,若Δ < 0 ,方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标,其中$(h, k)$是顶点坐标,$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状,其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数, a≠0),当a>0时,函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线;当a<0时, 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时,二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a);当a<0 时,二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称,那么它的单调性将发生改变;如果一个二次函数图像关于x轴对称,那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
二次函数 图像的性质 求解析式 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
1.抛物线y=ax2+bx+c中,b=4a,它的图象如图,有以下结论:①c>0;②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ;其中正确的为()AA.①②B.①④C.①②③D.①③⑤2.当b<0时,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是()B3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac, 2a+b,a+b+c 四个代数式中,值为正数的有( ) B 123A.4个B.3个C.2个D.1个4.在同一坐标系中,函数y= ax2+c与y= cx(a<c)图象可能是图所示的( )AA B C D5.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图,有以下结论:①b2﹣4c<0;②c﹣b+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.其中正确结论的个数为() C 134A.1B.2C.3D.46.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0)下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(2,y2)是抛物线上的两点,则y1>y2.其中说法正确的是()DA.①②B.②③C.②③④D.①②④7.已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示,则下列结论: ①a ,b 同号; ②当x =1和x =3时,函数值相同; ③4a +b =0; ④当y =-2时,x的值只能取0; 其中正确的个数是( )23 A .1 B .2 C .3 D .4题型八、函数解析式的求法用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式:()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=.一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax 2+bx+c ,然后解三元方程组求解; 1.已知抛物线过A (1,0)和B (4,0)两点,交y 轴于C 点且BC =5,求该二次函数的解析式。
初三数学,二次函数(图像、性质、规律、实际问题)
y=ax^2 (0,0) x=0
y=ax^2+K (0,K) x=0
y=a(x-h)^2 (h,0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a,4ac-b²/4a) x=-b/2a
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣(a绝对值分之根号下△)另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标)
3。一般式,顶点式,交点式,等,区分对称轴,顶点,图像等的差异性。
4。联系实际对函数图像的理解。
5。计算时,看图像时切记取值范围。
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时
(完整版)二次函数图像与性质专题复习
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质:左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质:二、二次函数图象的平移1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-.六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结:3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---;2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+.5. 关于点()m n ,对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数图像参考:十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【例2】求作函数342+--=x x y 的图像。
中考数学专题复习:二次函数图象综合应用
图象性质:二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面.若二次函数解析式为2y ax bx c =++(或2()y a x h k =-+)(0a ≠),则: 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下,a 越大,开口越小. 对称轴 2bx a=-(或x h =). 顶点坐标(2ba-,24)4ac b a -或(h ,)k . 单调性当0a >时,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大(如图1);知识互联网思路导航题型一:二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小(如图2)与坐标轴的交点① 与y 轴的交点:()0c ,; ② 与x 轴的交点:()()1200x x ,,,,其中12x x ,是方程()200ax bx c a ++=≠的两根.图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点. ② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点. ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.Ⅰ当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; Ⅱ当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,判断a ,b ,c ,24b ac -,2a b +,a b c ++,a b c -+的符号【解析】 由图知:图象开口向上,所以0a >;函数的对称轴02bx a=->,所以0b <;函数图象与y 轴的交点小于0,所以0c <;函数图象与x 轴有两个不同的交点,所以240b ac ->;同时12bx a=-<,所以20a b +>;1x =所对应的函数值小于0,所以0a b c ++<; 1x =-所对应的函数值大于0,所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则点()a c ,在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为( ) 例题精讲典题精练A .B .C .D .⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示,A 点的坐标为()02,-,则下列结论中,正确的是( )A .k a b +=2B .k b a +=C .0>>b aD .0>>k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B .⑶D.【例2】 ⑴ 如图,抛物线2y ax bx c =++,OA OC =,下列关系中正确的是()A .1ac b +=B .1ab c +=C .1bc a +=D .1ac b+= )⑵ 如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,若12OB OC OA ==,则b 的值为 .【解析】 ⑴ A .提示:把()0c -,代入2y ax bx c =++即可.⑵ 12-.提示:先把B ()0c ,代入2y ax bx c =++,得1ac b =--,再把()0c ,代入()()2y a x c x c =+-即可.【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示,有以下结论:①ac b 42->0;②01=++c b ;③063=++c b ;④当1<x<3时,()012<c x b x +-+.其中正确的为.⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,有下列8 个结论:①0abc >;②b a c <+;③420a b c ++>;④23c b <;⑤()a b m am b +>+,(1m ≠的实数);⑥20a b += ;⑦240b ac -<,⑧22()a c b +>,其中正确的结论有( )A .2个B .3个C .4个D .5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C .对称轴在y 轴的右边得0ab <(由开口向下得0a <,故0b >),抛物线与y 轴交于正半轴得0c >,∴0abc <,①不正确;当1x =-时,函数值为0a b c -+<,②不正确; 当2x =时,函数值420a b c ++>,③正确;其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等,函数值相等得42a b c c ++=,∴2b a =-代入0a b c -+<,32bc <,即23c b <,④正确;当1x =,∵1m ≠,2max y a b c am bm c =++>++,可知⑤正确;由对称轴12ba-=得20a b +=,故⑥正确;抛物线与x 轴有两个交点,故240b ac ->,故⑦不正确;0a b c ++>,0a b c -+<,故()220a c b +-<,故⑧不正确.对于二次函数()20y ax bx c a =++>(max y 表示y 的最大值,min y 表示y 的最小值) ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数,如图①,函数在顶点处2bx a=-时,取到最值. ⑵ 若2bm x n a<-≤≤,如图②,当x m =,max y y =;当x n =,min y y =. ⑶ 若2bm x n a-<≤≤,如图③,当x m =,min y y =;当x n =,max y y =. ⑷ 若m x n ≤≤,且2b m n a -≤≤,22b b n m a a +>--,如图④,当2bx a=-,min y y =; 当x n =,max y y =.【引例】 ⑴ 若x 为任意实数,求函数221y x x =-+的最小值;⑵ 若12x ≤≤,求221y x x =-+的最大值、最小值; ⑶ 若01x ≤≤,求221y x x =-+的最大值、最小值;b 思路导航例题精讲题型二:二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤,求221y x x =-+的最大值、最小值; ⑸ 若x 为整数,求函数221y x x =-+的最小值.【解析】 ⑴ 套用求最值公式(建议教师讲配方法):当112224b x a -=-=-=⨯时,y 的最小值是24748ac b a -=. ⑵ 由图象可知:当12x ≤≤时,函数221y x x =-+单调递增,当1x =时,y 最小,且21112y =⨯-+=,当2x =时,y 最大,且222217y =⨯-+=.⑶ 由图象可知:当01x ≤≤时,函数221y x x =-+是先减后增,∴当14x =,y 最小,且78y =.∵当0x =时,20011y =⨯-+=;当1x =时, 211121y =⨯-+=>, ∴当1x =时,y 最大,且2y =.⑷ 由函数图象开口向上,且120<4x -≤≤,故当2x =-时,y 取最大值为11,当0x =时,y 取最小值为1.⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯,当0x =时,y 取最小值为1.【点评】 由此题我们可以得到:求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值,得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内.若在,则在顶点处取到一个最值,若不在,则在端点处取得最大值和最小值(其实求出端点值和顶点值,这三个值中最大的为最大值,最小的为最小值).【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数,且121=+=+-n k k m ,则代数式6822+-k k 的最小值 为 .⑵ 已知实数x y ,满足2330x x y ++-=,则x y +的最大值为 .⑶当12x ≤时,二次函数223y x x =--的最小值为( ) A .4- B .154- C .12- D .12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数,且121=+=+-n k k m ,∴m 、n 、k 最小为0,当n =0时,k 最大为:21;∴210≤≤k ,故最小值为2.5.⑵ 4.提示:233y x x =--+,令()222314q x y x x x =+=--+=-++,当1x =-,q的最大值为4.本题属于x 为全体实数,求二次函数的最值,配方法要熟练掌握.⑶ B .提示:二次函数的对称轴为1122b x a =-=>,且抛物线的开口向上,故12x =时,y 的最小值为154-.【例5】 如图,抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ,两点.⑴ 求a 值; ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ,两点(点M 在点N 的左边),221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ,两点(点E 在点F 的左边),观察M N E F ,,,四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;⑶ 设A B ,两点的横坐标分别记为A B x x ,,若在x 轴上有一动点()0Q x ,,且A B x x x ≤≤,过Q 作一条垂直于x 轴的直线,与两条抛物线分别交于C D ,两点,试问当x 为何值时,线段CD 有最大值?其最大值为多少?【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,在抛物线211y ax ax =--+上,∴1191428a a -++=,解得12a =.⑵ 由⑴知12a =,∴抛物线2111122y x x =--+,2211122y x x =--.当2111022x x --+=时,解得12x =-,21x =.∵点M 在点N 的左边,∴2M x =-,1N x =. 当2111022x x --=时,解得31x =-,42x =. ∵点E 在点F 的左边,∴1E x =-,2F x =.∵0M F x x +=,0N E x x +=,∴点M 与点F 关于y 轴对称,点N 与点E 关于y 轴对称. ⑶ ∵102a =>.∴抛物线1y 开口向下,抛物线2y 开口向上. 根据题意,得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,消y可解得12x x ==,则当0x =时,CD 的最大值为2.【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示,求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示,试求a b c ++的取值范围.【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <,又此二次函数图象经过(10),,(01), 则有0a b c ++=,1c =,得(1)b a =-+,∵0a <,据图象得对称轴在y 轴左侧,∴0b <∴()10a -+<,∴1a >-于是有10a -<<. ⑵ 由图象可知0a >.又顶点在y 轴的右侧,在x 轴的下方,则:02ba->,2404ac b a -<,∴0b <. 又∵当0x =时,1y c =-=当0y =时,1x =-,∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<.∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<,即20a b c -<++<.精讲:数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用;二次函数的图像信息:⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性.⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系. ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点,判断c 的大小.⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点,判断24b ac -的正负性.⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标,可得到关于a b c ,,的等式. ⑹ 根据抛物线的顶点,判断244ac b a-的大小.例. 2y ax bx c =++的图象如图所示.设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--, 则( )A .0M >B .0M =C .0M <D .不能确定M 为正,为负或为0分析:依题意得0a >,012ba<-<,∴0b <,20a b +>,20a b ->, 又当1x =时,0y a b c =++<,当1x =-时,0y a b c =-+>,故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<,故选C .☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用;(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容,但在目前中考改革创新,部分高中思想下放初中的大 前提下,老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”;1、轴定区间定:2、轴动区间定:例.求2()22f x x ax =-+在[24],上的最大值和最小值. 分析: 先求最小值.因为()f x 的对称轴是x a =,可分以下三种情况:⑴ 当2a <时,()f x 在[24],上为增函数,所以min ()(2)64f x f a ==-; ⑵ 当24a ≤≤时,()f a 为最小值,2min ()2f x a =-;⑶ 当4a >时,()f x 在[24],上为减函数,所以min ()(4)188f x f a ==-.综上所述:2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者:(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+,(1)当3a ≥时,(2)(4)f f ≥,则max ()(2)64f x f a ==-; (2)当3a <时,(2)(4)f f <,则max ()(4)188f x f a ==-.故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评:本题属于二次函数在给定区间上的最值问题,由于二次函数的系数含有参数,对称轴是变动的,属于“轴动区间定”,由于图象开口向上,所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24],的位置关系,分三种情况讨论;最大值在端点取得时,只须比较(2)f 与 (4)f 的大小,按两种情况讨论即可,实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况. 3、轴定区间动:例.若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ,求函数()g t 当[32]t ∈-,时的最值. 分析:2()(1)1f x x =-+,按直线1x =与区间[1]t t +,的不同位置关系分类讨论:若1t >,则2min ()()(1)1f x f t t ==-+;若11t t +≤≤,即01t ≤≤,则min ()(1)1f x f ==; 若11t +<,即0t <,则2min ()(1)1f x f t t =+=+.∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞,内是减函数,在[01],内是常值函数,在(1)+∞,内是增函数,又(3)(2)g g ->,故在区间[32]-,内,min ()1g t =(当01t ≤≤时取得),max ()(3)10g t g =-=.小结:(i )解此类问题时,心中要有图象;(ii )含参数问题有两种:一种是“轴变区间定”,另一种是“轴定区间变”.讨论时,要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系,这是进行正确划分的关键.☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用;(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容,但在目前中考改革创新,部分高中思想下放初中的大 前提下,老师可以针对班里学生层次进行选讲)二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标.因此, 可以借助于二次函数及其图像,利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题.设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x <,ac b 42-=∆,方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f .1.当方程有一根大于m ,另一根小于m 时,对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:()0<m af ;2.当方程两根均大于m 时,对应函数()x f 的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:0>∆, m ab2-,()0>m af ; 3.当方程两根均在区间()n m ,内,对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:0>∆, n abm <<2-,()0>m af ,()0>n af ; 4.当两根中仅有一根在区间()n m ,内,对应函数()x f 的图像有下列四种情形:方程系数所满足的充要条件: ()()0<n f m f ⋅;5.当两根在区间[]n m ,之外时:对应函数()x f 的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:()0<m af ,()0<n af ;6.当两根分别在区间()n m ,、()t s ,内,且s n ≤,对应函数()x f 的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:()0>m af ,()0<n af ,()0<s af , ()0>t af .小结: 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件,一般考虑三个方面:①判别式ac b 42-=∆的符号;②对称轴abx 2-=的位置分布;③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号.例.若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2,求实数m 的取值范围. 分析:令()1222+-+=m mx x x f ,如图得充要条件:()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422>>m m m f m m ,解得4316-≤-m .训练1. 已知:a b c >>,且0a b c ++=,则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的( )A B C D【解析】 B .由a b c >>,且0a b c ++=,可得0a >, 0c <,且过()10,点,由a b c >>,且a b c ++=0,利用不等式性质,可以进一步推出下列不等关系:a b a b >>--,∴112ba -<<, ∴11224b a -<-<.另一方法:∵a b >,∴330a b ->,330a b a b c -+++>,从而得到420a b c -+>.训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <,则对于下列结论:⑴ 当2x =-时,1y =;⑵ 当2x x >时,0y >;⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ;⑷11x <-,21x >-;⑸21x x -=确的结论是______.(只需填写序号)【解析】 ⑴⑶⑷.当2x =-时,代入得1y =,故⑴正确;因为k 的符号不确定,故开口不确定,因此无法确定当2x x >时,0y >,故⑵不正确;联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=,抛物线与x 轴有两个交点,即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根.当1x =-时,y k =-,若0k >,0y k =-<,若0k <,0y k =->,故⑷正确.21x x -=.训练3. 如图所示,二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ,交y 轴于C ,当线段AB 最短时,求线段OC 的长.【解析】 设1(A x ,0),2(B x ,0),思维拓展训练(选讲)则1x ,2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根,则12AB x x =-=== 当4a =时,AB 取最小值,即最短,此时,抛物线为221y x x =--, 可求得C 的纵坐标为1-,即线段OC 的长是1.训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象,先取自变量x 的7个值满足:213276x x x x x x d -=-==-= ,再分别算出对应的y 值,列出表1:表1:x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-,232m y y =-,343m y y =-,454m y y =-,…; 121s m m =-,232s m m =-,343s m m =-,… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系;⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”,列出表2:表2:x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变,判断1s 、2s 、3s 之间关系,并说明理由;⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象,列出表3: 表3: x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心,表3中有一个y 值算错了,请指出算错的y 值(直接写答案).【解析】 ⑴ 123s s s ==;⑵ 123s s s ==.证明:()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=,23432s m m ad =-=. ∴123s s s ==.⑶ 表中的420改为410.题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的( )⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为( )【解析】 ⑴ A .⑵ D .【练习2】 如图所示,二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上,图象经点()12-,和()10,且与y 轴交于负半轴.⑴ 下列四个结论:①0a >;②0b >;③0c >;④0a b c ++=, 其中正确的结论的序号是 . ⑵给出下列四个结论:①0abc <;②20a b +>;③1a c +=;④1a >.其中正确的结论的序号是 .【解析】 ⑴图象开口向上得0a >;对称轴02ba->可得0b <;当0x =时,0y <,即0c <;由1x =时,0y =,即0a b c ++=.故①④.⑵由⑴可知0abc >;对称轴12ba-<,∴20a b +>;∵点()12-,和()10,在抛物线上,代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=,得1a c =-,∵0c <,∴11c ->,即1a >.A BCD复习巩固故②③④.【练习3】 如图,表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象,它与x轴的一个交点为A ,与y 轴交于点B .则b 的取值范围是( )A .20b -<<B .10b -<<C .102b -<< D .01b <<【解析】 B .【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示,⑴判别a ,b ,c 和24b ac -的符号,并说明理由; ⑵如果OA OC =,求证:10ac b ++=【解析】 ⑴ 解:因为抛物线开口向上,0a >.因为抛物线与y 轴交于负半轴,0c <.又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧,02ba->,即a ,b 异号,由0a >,得0b <. 因为抛物线与x 轴有两个交点,所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根,所以其判别式240b ac ->.⑵ 证明:由于C 点坐标为()0c ,,而OA OC =,所以A 点坐标为()0c ,,把()0A c ,代入2y ax bx c =++,得20ac bc c =++. 因为0c ≠,所以10ac b ++=.题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知:关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证:方程①有两个实数根;⑵ 若10m n --=,求证方程①有一个实数根为1;⑶ 在⑵的条件下,设方程①的另一个根为a . 当2x =时,关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B (点A 在点B 的左侧),平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时,求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明:()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥, ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解:由10m n --=,得1m n -=当x =1时,等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解:由求根公式,得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=, ∴ a m =.当2x =时,222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-,22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图,当l 沿AB 由点A 平移到点B 时,22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =,得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2,m B =1.∵-2<12-<1,∴当m =12-时,CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示,试判断:24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号.【解析】由图像可知0a >,102ba-<<,2404ac b a -<,2000a b c ⋅+⋅+<,0a b c -+=,0a b c ++>,于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->,,,,,.【测试2】 若01x ≤≤,求221y x x =-+的最大值、最小值;【解析】由图像可知:当01x ≤≤时,函数221y x x =-+是先减后增,∴当14x =,y 最小,且78y =. ∵当0x =时,20011y =⨯-+=当1x =时, 211121y =⨯-+=>, ∴当1x =时,y 最大,且2y =.课后测。
二次函数的解析式与图像性质练习题
二次函数的解析式与图象性质练习题1、根据下列条件,求出二次函数的解析式:(1)抛物线2y ax bx c =++经过点(0,1),(1,3),(1,1)-三点. (2)抛物线顶点(1,8)P --,且过点(0,6)A -.(3)已知二次函数2y ax bx c =++的图象过(3,0),(2,3)-两点,并且以1x =为对称轴.(4)已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴的交点;且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为2()y a x h k =-+的形式.2、根据下列条件,求二次函数的解析式:(1)图象经过点(1,3)-,(1,3),(2,6);(2)抛物线顶点坐标为(1,9)-;-,并且与y轴交于(0,8)(3)抛物线的对称轴是直线1-,与y轴交于点(0,12);x=,与x轴的一个交点为(2,0)(4)图象顶点坐标是(2,5)-,且过原点;(5)图象与x轴的交点坐标是(1,0)-且函数有最小值5-,(3,0)-;(6)当2x=时,函数的最大值是1,且图象与x轴两个交点之间的距离为2.3、已知2y ax bx c =++的图象如下,则:a b c ++ 0,a b c -+ 0,2a b - 0.4、如图是二次函数2y ax bx c =++的图象, 下列结论中:①0abc >;①2b a =;①0a b c ++<;①0a b c -+>;①420a b c ++<. 正确的个数是( )A . 4 个B . 3 个C . 2 个D . 5 个5、已知抛物线2y ax bx =+,当0a >,0b <时,它的图象经过象限是( ) A .一 二 三B .二 三 四C .一 二 四D .一 三 四6、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,给出以下结论: ①因为0a >,所以函数y 有最大值; ②该函数的图象关于直线1x =-对称; ③当2x =-时,函数y 的值等于0;④当3x =-或1x =时,函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是( )A .4B .3C .2D .17、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则下列结论中:①0a < 0b > 0c >; ②423a b c ++=; ③22ba->; ④240b ac ->;⑤当2x <时,y 随x 的增大而增大.以上结论正确的 有 (只填序号)(内部资料,仅限学大学生使用)8、抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数是( ) A .3B .2C .1D .09、已知二次函数23(y x x m m =-+为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1,0),则关于x 的一元二次方程230x x m -+=的两实数根是( ) A .11x =,21x =- B .11x =,23x =-C .11x =,22x =D .11x =,23x =10、小兰画了一个函数2y x ax b =++的图象如图,则关于x 的方程20x ax b ++=的解是( )A .无解B .1x =C .4x =-D .1x =-或4x =11、抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点,则m 的值为( ) A .3B .6C .8D .2212、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示, 当函数值0y <时,x 的取值范围为()A .1x <-或3x >B .13x -<<C .1-≤x 或3≥xD .31≤≤-x13、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式: (1)当3x =时,1y =-最小值,且图象过(0,7); (2)图象过点(0,2)(1-,2)且对称轴为直线32x =; (3)图象经过(0,1)(1,0)(3,0);(4)当1x =时,0y =;0x =时,2y =-,2x =时,3y =; (5)抛物线顶点坐标为(1,2)--且通过点(1,10)14、如图,是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的一部分,对称轴是直线1x =.①24b ac >;②420a b c -+<;③不等式20ax bx c ++>的解集是 3.5x ;④若1(2,)y -,2(5,)y 是抛物线上的两点,则12y y <.上述四个判断中正确的是 (填正确结论的序号).15、在同一坐标系内,一次函数y ax b =+与二次函数24y ax x b =+-的图象可能是( )A .B .C .D .16、已知二次函数221y kx x =--的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是( ) A .1k >-B .1k <C .k l -且0k ≠D .1k <且0k ≠ 17、如图,二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分,对称轴为直线12x =,且经过点(2,0),下列说法:①0abc <;②0a b +=;③420a b c ++<;④若1(2,)y -,5(2,2)y 是抛物线上的两点,则12y y <,其中说法正确的是( )A.①②④B.③④C.①③④D.①②。
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二次函数知识点一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质:左加右减。
a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00, y 轴0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下()00,y 轴0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0.a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c , y 轴0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c .0a < 向下()0c ,y 轴0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c .a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ,X=hx h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下()0h ,X=hx h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.4. ()2y a x h k =-+的性质:三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ,X=hx h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值k . 0a < 向下()h k ,X=hx h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值k .五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大;⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结:3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---;2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)2y a x b x c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+.5. 关于点()m n ,对称()2y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点;③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2' 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;3. 二次函数常用解题方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是( )y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式。