2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性

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热传导方程差分格式的收敛性和稳定性【文献综述】

热传导方程差分格式的收敛性和稳定性【文献综述】

文献综述信息与计算科学热传导方程差分格式的收敛性和稳定性在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、数学和计算机三者结合的交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展.计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋梁”.在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时, 除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的是热传导方程.有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格式是否有用, 就要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解, 即收敛性的概念. 此外, 还有一个重要的概念必须考虑, 即差分格式的稳定性. 因为差分格式的计算过程是逐层推进的, 在计算第n +1层的近似值时要用到第n 层的近似值 , 直到与初始值有关. 前面各层若有舍入误差, 必然影响到后面各层的值, 如果误差的影响越来越大, 以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖, 这种格式是不稳定的, 相反如果误差的传播是可以控制的, 就认为格式是稳定的. 只有在这种情形, 差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解. 由Lax 等价定理告诉我们, 对于各适定的线性的初值问题, 对相容性的差分逼近来说, 稳定性则是差分方程的解收敛于微分方程的解的充分必要条件. 收敛是差分方程的本质要求, 稳定是差分方程的基本特性, 对于计算的问题来说, 数值稳定性事差分格式必须要具备的条件, 一个不稳定的差分格式, 即使其他方面有很多的优点, 也是不能用来计算的. 可见由于收敛性和稳定性的重要性, 对于他们的研究是非常具有价值的.热传导方程: 2222222.u u u u a t x yz ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 一维热传导方程的初边值问题: 22200120(0,0),()(0),(),()(0).t x x l u u a x l t t x u x x l u t u t t ϕμμ===⎧∂∂==<<>⎪∂∂⎪⎪ =<<⎨⎪⎪⎪ = =>⎩ 用n j u , n j u t ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭, 及22n ju x ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭分别表示初边值问题的解(,)u x t 及其偏导数(,)u x t t ∂∂及22(,)u x t x ∂∂在点(,)j n x t 之值, (,)j n x t 表示求解区域内网格节点. 当初边值问题的解在区域内部适当光滑时, 对任一区域内部的节点(,)j n x t 利用泰勒展开公式, 然后化简得到显示差分格式:1112200220,()()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n nn n j j j j j j n n J U U U U U a t x U j x j J U n t U n t n ϕμμ++-⎧--+-=⎪∆∆⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪⎪⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎩ 这里由于差分方程的解U 与原初边值问题的解u 一般是不同的, 故用不同的记号表示.明显的用上式近似热传导方程的初边值问题, 所忽略掉的项, 即截断误差是2()(())O t O x ∆+∆. 记22()t a x λ∆=∆ 其隐式格式: 111110012(12),()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n n n j j j j j n n J U U U U U j x j J U n t U n t n λλλϕμμ+++-+⎧-++-=⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎪⎩ 其中22()t a x λ∆=∆.参考文献[1] 谷超豪, 李大潜, 陈恕行等. 数学物理方程[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2] 刘盾. 实用数学物理方程[M ]. 重庆: 重庆大学出版社, 1996.[3] 张锁春. 抛物型方程定解问题的有限差分数值计算[M ]. 北京: 科学出版社, 2010.[4] (美)哈伯曼. 实用偏微分方程[M ]. 北京: 机械工业出版社, 2007.[5] 陆金甫, 关治. 偏微分方程数值解法[M ]. 北京: 清华大学出版社, 2003.[6] K. W. Morton, D. F. Mayers. 偏微分方程数值解[M ]. 北京: 人民邮电出版社, 2006.[7] 戴嘉尊, 邱建贤. 微分方程数值解法[M ]. 南京: 东南大学出版社, 2002.[8] 徐琛梅. 一类非线性偏微分方程差分格式的稳定性分析[J ]. 江西科学, 2008,27(3) :227~230.[9] 张天德, 张希华, 王玮. 偏微分方程差分格式的构造[J]. 山东工业大学学报, 1997,26(2) :245~246.[10] P. Darania and A. Ebadian. A method for the numerical solution of integrodifferentialequations [J]. Applied Mathematics and Computation , 2007, 188(1): 657~668.[11] Yang Zhang. A finite difference method for fractional partial differential equation [J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 215(2):524~529.。

差分方程模型的稳定性分析

差分方程模型的稳定性分析
Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability
摘要I
AbstractII
目录III
引言1
1、差分方程的定义及其分类1
(1)差分算子:1
2.差分方程的求解与稳定性判断方法:2
(1)差分方程的求解:2
摘 要
微分方程是研究数学的一个重要分支,是本科期间我们必须掌握的基本知识,而本文我们研究的是一个递推关系式,也称差分方程。它是一种离散化的微分方程,是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见,比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定,又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法,随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程,进而研究线性差分方程的稳定性,最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。
(2)差分方程:
定义2:含有未知函数及未知函数差分的等式,我们称为差分方程,它的一般表达形式为:
由(1)与(2)的关系,可以将阶数为 的差分方程写为
或者
我们称 不显含 时的方程为自治差分方程。形如 表示一阶差分方程; 表示n阶差分方程。
(2)差分方程的分类:
差分方程可以分为两大类:其一为线性差分方程,它是指当 是 的线性函数时,称 为线性差分方程;也就是说 的次数都为 ,其二为非线性差分方程,它是指当 是 的非线性函数时,称 为非线性差分方程。显而易见,非线性差分方程求解比线性差分方程求解复杂,因此它的解的性态也比较难分析,本文我们只研究线性差分方程解的性态。

收敛性与稳定性

收敛性与稳定性

λ
表明Euler格式是条件稳定的。 表明 格式是条件稳定的。 格式是条件稳定的
再考察隐式Euler格式 格式(28),由于 λ 再考察隐式 格式 ,
<明隐式Euler格式是恒稳 (无条件稳定)的。 格式是恒稳 无条件稳定) 表明隐式 格式是 定
y' = λy, λ < 0 y(0) = y0
这个问题有准确解
(26) )
y = y0 e
λx
先考察Euler格式的收敛性。问题(26)的Euler格式 格式的收敛性。问题( ) 先考察 格式的收敛性 格式 具有形式
yn+1 = (1+ λh) yn
从而数值解
(27) )
yn = (1 + hλ ) y0
λxn
y n +1 = y n + hλ y n +1 y n +1 1 yn = 1 − hλ
从而数值解
1 n ) yn = y0 ( 1 − hλ 1− hλ nhλ hλ hλ 1−hλ ) ] = y0 [(1 + 1 − hλ
当 h→0 时
yn → y0e
λxn 1− hλ
→ y0e
λxn
= y( xn )
因而问题( )隐式Euler格式的是收敛性。 格式的是收敛性。 因而问题(26)隐式 格式的是收敛性
3.4.2 稳定性问题
前面关于收敛性问题的讨论有个前提, 前面关于收敛性问题的讨论有个前提,必须假定差分方 法的每一步计算都是准确的。实际情形并不是这样, 法的每一步计算都是准确的。实际情形并不是这样,差分方 程的求解还会有计算误差, 程的求解还会有计算误差,譬如由于数字舍入而引起的扰动 。这类扰动在传播过程中会不会恶性增长,以至于“淹没”了 这类扰动在传播过程中会不会恶性增长,以至于“淹没” 差分方程的“真解” 这就是差分方程的稳定性问题。 差分方程的“真解”!这就是差分方程的稳定性问题。 实际计算时, 实际计算时,希望某一步所产生的扰动值在后面的计算 中能够被控制,甚至是逐步衰减的。 中能够被控制,甚至是逐步衰减的。

差分方程方法总结

差分方程方法总结

差分方程方法总结差分方程是用来描述离散时间系统行为的一种数学工具。

它们在许多领域中都有广泛的应用,包括物理学、工程学、经济学等。

本文将总结差分方程方法的基本原理和常见应用。

差分方程的基本原理是通过描述系统在不同时间点上的状态来推导出系统的动态行为。

差分方程可以应用于任何离散时间系统,这些系统的行为只在特定时间点上进行观察和量化。

差分方程的一般形式为:y(n+1)=f(y(n),y(n-1),...,y(n-k))其中,y表示系统在时间点n的状态,f是一个给定的函数,k表示差分方程的阶数,表示系统在过去k个时间点上的状态对当前状态的影响。

差分方程的解可以通过递归方法求得。

给定一个初始条件(通常是系统在初始时间点的状态),可以使用差分方程的递推关系式计算未来时间点上的状态。

例如,对于一个一阶差分方程:y(n+1)=a*y(n)+b其中a和b是常数,可以通过给定的初始条件y(0)求得差分方程的解。

根据递推关系式,可以计算y(1)、y(2)、y(3)等等。

在应用中,差分方程通常用于建模和预测。

通过观察系统在过去时间点上的行为,可以构建一个差分方程来描述系统的动态行为。

然后,可以使用差分方程来预测未来时间点上的系统状态。

这对于许多实际问题是非常有用的,例如经济学中的经济增长模型、工程学中的控制系统等。

此外,差分方程还可以用于分析系统的稳定性和收敛性。

通过分析差分方程的特征根(即差分方程的解的形式),可以得出系统是否稳定或收敛到一个特定的平衡点。

这对于控制系统设计和优化非常重要。

差分方程方法在许多领域中都有广泛的应用。

在物理学中,差分方程可以用于描述离散化的空间或时间系统,例如计算机模拟、粒子追踪等。

在工程学中,差分方程可以用于建模和控制系统,例如电路设计、机器人控制等。

在经济学中,差分方程可以用于经济增长模型、市场预测等。

总结起来,差分方程方法是一种描述离散时间系统行为的数学工具。

它具有简单的原理和应用广泛的特点,并且可以用于建模、预测和分析系统的稳定性和收敛性。

差分方程(2)-稳定性

差分方程(2)-稳定性

0.4474 0.8530
0.4327 0.8469
0.5060 0.8874
0.3548 0.8127
倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论 * * * b 3 .3 x (不) x 子序列 x x , x x k 2k 1 2 k 1 2
单周期不收敛
2倍周期收敛
xk 2 f ( xk 1 ) f ( f ( xk )) f ( 2) ( xk ) (*)
0.4474 0.8530 0.4327 0.8469

0.5405 0.8817 0.3703 0.8278
1 b
97 98
99 100
0.4118 0.4118
0.4118 0.4118
0.6154 0.6154
0.6154 0.6154
0.4794 0.8236
0.4794 0.8236
一阶(非线性)差分方程
*
记 b r 1
(1)的平衡点y*=N
r 1 1 (2)的平衡点 x r 1 b
讨论 x* 的稳定性
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk 1 f ( xk ) (1) 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
* * * x f ( x ) f ( x )( x x ) (2) (1)的近似线性方程 k 1 k
0 x0
x1 1 / 2
x x2
*
1
x
0 x0
x1 1/2 x* x2 1
x
* x (振荡地) x k
x (不) x k
*
k
b=1.7
b=2.6
b=3.3

差分格式的定性分析

差分格式的定性分析
c 2 (1 − r )∆t ∂ 2u 耗散性和稳定性: 耗散项: 2r ∂x 2
∆t 若截断误差项含 O , ∆x ∆t 则须 → 0才相容 ∆x ∆x
若c<0则恒为负,相应差分格式为逆耗散格式,按 Hirt论断,一切逆耗散格式均不稳; 该耗散项为正的条件是 r ≤ 1 或 色散性: 色散项
9
1 Neumann-Richtmyer人为耗散法
(1950,JAP, 21, 232)
在动量方程中加入人为粘性压力项 q N ,其人为粘性系数比例于速度梯度
x (若激波在x向传播)
2 2 ∂u ρ(b∆x) qN = ∂x 0
∂u 当 <0 ∂x 当 ∂u ≥0 ∂x
方案2
U U
max i i min
= max( U id− 1 , U id , U id+ 1 ; U in− 1 , U in , U in+ 1 ) = min( U id− 1 , U id , U id+ 1 ; U in− 1 , U in , U in+ 1 )
max i
此法提高 U
减小 U
式中ρ为密度,u为速度,b为可调参数,一般取b=1.5-2 最后激波区的厚度大致为 δ x = π 即4-5个格距
2 b∆ x ≅ 2 .5b∆x γ +1
10
2 Lapidus人为耗散法
对各分量方程同时加入人为耗散项
(1967, JCP, 2, 154)
∂U ∂F ∂G + + + T x + Ty = S ∂t ∂x ∂y
强耗散格式(或引入人为耗散) 弱耗散格式 激波波头的振荡

偏微分方程数值解:4、差分格式收敛性分析

偏微分方程数值解:4、差分格式收敛性分析

差分格式收敛性分析相容性概念:相容性(consistency):当有限差分网格变小时,截断误差趋于0。

经典显示差分格式:h→,k →截断误差→经典显式差分无条件相容DuFort-Frankel差分格式截断误差条件相容。

绝大多数差分格式为无条件相容!稳定性(stability):计算所得解的全部扰动有界。

条件稳定/无条件稳定数值分析的稳定性概念与偏微分方程无关,它关心的是在求解有限差分方程时由于进行算术运算而产生误差的不稳定增长或稳定衰减问题。

Lax等价定理:对一个适定的定解问题,若给出的差分格式是相容的,则该差分格式收敛的充分必要条件是该差分格式稳定。

算法稳定性是最重要的问题,精度排在其后,只有在稳定的情况下再追求精度。

(1)显式差分为例:误差的传播过程图:(2) Richardson 显式差分来自<https:///wiki/Von_Neumann_stability_analysis >要点:a 误差满足同样的方程b 误差函数的分解(傅里叶分解+分离变量法)Von Neumann stability analysis -稳定性分析Von Neumann条件稳定分析过程两边同除以得到:经典显式差分稳定性条件:Richardson显式差分O(Δ)结论:Richardson显式差分格式无条件不稳定,即使精度高也无用处%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%隐式差分结论:无条件稳定Crank-Nicolson隐式差分结论:无条件稳定加权隐式差分向量函数稳定性:增长矩阵方法增长矩阵可以得到要求矩阵特征值满足。

差分格式的稳定性与收敛性

差分格式的稳定性与收敛性

差分格式的稳定性与收敛性1 基本概念所谓稳定性问题是指在数值计算过程中产生的误差的积累和传播是否受到控制.在应用差分格式求近似解的过程中,由于我们是按节点逐次递推进行,所以误差的传播是不可避免的,如果差分格式能有效的控制误差的传播,使它对于计算结果不会产生严重的影响,或者说差分方程的解对于边值和右端具有某种连续相依的性质,就叫做差分格式的稳定性.差分格式的收敛性是指在步长h 足够小的情况下,由它所确定的差分解m u 能够以任意指定的精度逼近微分方程边值问题的精确解()m u x .下面给出收敛性的精确定义:设{}m u 是差分格式定义的差分解,如果当0h → 并且m u x →时,有()0m u u x -→,则称此格式是收敛的.2 差分方程的建立对于二阶边值问题'''()(),,(),(),Lu u q x u f x a x b u a u b αβ⎧≡-+=<<⎨==⎩ (1) 其中()q x 、[](),,()0.f x C a b q x ∈≥将区间[],a b 分成N 等份,记分点为,0,1,,,m x a mh m N =+=⋅⋅⋅ 这里步长b a h N-=.利用泰勒公式,得''1121[(()2()()]()m m m m m u x u x u x u x R h+--+=- (2) 其中 2(4)11(),(,)12m m m m m h R u x x ξξ-+=-∈(3) 把式(2)代入式(1)中的微分方程,有1121()[(()2()()]()()h m m m m m m L u x u x u x u x q x u x h+-≡--++ ()m m f x R =+ (4) 略去余项m R ,便得到(1)式中的微分方程在内部节点m x 的差分方程;再考虑到式(1)中的边界条件,就得到边值问题(1)的差分方程11201(2)()(),,,,h m m m m m m m N L u u u u q x u f x a x b h u u αβ+-⎧≡--++=<<⎪⎨⎪==⎩(5) 解线性代数方程组(5),得()m u x 的近似值m u .01,,,N u u u ⋅⋅⋅称为边值问题(1)的差分解.从上面的推导过程可以看出,在节点m x 建立差分方程的关键是在该点用函数()u x 的二阶中心差商代替二阶导数,最后用差分算子h L 代替微分算子L 就产生差分方程(5).记 ()()()m m h m R u Lu x L u x =-,称()m R u 是用差分算子h L 代替微分算子L 所产生的截断误差.由式(2),二阶中心差商代替二阶导数所产生的截断误差m R ,从式(4)和式(5)可以得出(())m h m m R L u x u =-,m R 称为差分方程(5)的截断误差.3 讨论差分方程组(5)的解的稳定性与收敛性引理3.1(极值原理) 设01,,,N u u u ⋅⋅⋅是一组不全相等的数,记01{,,,}N S u u u =⋅⋅⋅,11(),1,2,,1,h m m m m m m m L u a u b u c u m N -+=++=⋅⋅⋅- (6) 其中0,0,0,.m m m m m m b a c b a c ><<≥+(1) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≤=⋅⋅⋅-,则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值;(2) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≥=⋅⋅⋅-,则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中负的最小值.证 首先用反证法证明(1).假设在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值,记为M ,那么{}0max 0m m NM u ≤≤=>,由于S 中的数不全相等,一定存在某个(11)i i N ≤≤-,使得i u M =,并且1i u -与1i u +中至少有一个小于M .于是11()h i i i i i i i L u a u bu c u -+=++11i i i i i b M a u c u -+=++()0i i i b M a c M >++≥这与0h i L u ≤矛盾,从而(1)得证.同理可证明(2).现在运用极值原理论证差分方法的稳定性及收敛性.定理3.2 差分方程组(5)的解m u 满足{}111max ,()()max ,1,2,,1,2m m m m m N u x a b x f m N αβ≤≤-≤+--=⋅⋅⋅- (7) 证 把方程组 00,1,2,,1,,h m N L u m N u u αβ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩和 0,1,2,,1,0h m m N L u f m N u u ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩的解分别记为(1)m u 和(2)m u ,其中差分算子h L 由式(5)定义,则方程组(5)的解m u 为(1)(2)m m m u u u =+ (8)由极值原理可知 {}(1)max ,,1,2,,1m u m N αβ≤=⋅⋅⋅-. (9)接下来再估计(2)m u ,考虑差分方程11201(2),1,2,,1,0m m m N v v v M m N h u u +-⎧--+==⋅⋅⋅-⎪⎨⎪==⎩(10)其中 {}0max m m NM f ≤≤= 容易验证该微分方程是从边值问题'',()()0v M v a v b ⎧-=⎨==⎩ (11) 得到的,而在此边值问题的解是 ()()()2M v x x a b x =--. 因为()v x 是x 的二次函数,它的四阶导数为零,从式(2)、(3)看到()v x 在点m x 的二阶中心差商与''()m v x 相等,因此差分方程(10)的解等于边值问题(11)的解,即()()()02m m m m M v v x x a b x ==--≥. 另一方面,(2)(2)(2)(2)00()0,0,h m m h m h m m m m N N L v u L v L u q v M f v u v u ±=±=+±≥±=±=由极值原理可知 (2)0,m mv u ±≥ 即 (2)()(),1,2,, 1.2m m m m M u v x a b x m N ≤=--=⋅⋅⋅-(12) 综合式(8)、(9)、(12)就得到式(7).定理3.2表明差分方程(5)的解关于边值问题(1)的右端项和边值问题是稳定的,亦即当f 、α、β有一个小的改变时,所引起的差分解的改变也是小的.定理3.3 设()u x 是边值问题(1)的解,m u 是差分方程(5)的解,则22(4)()()max (),1,2,, 1.96m m a x b b a u x u h u x m N ≤≤--≤=⋅⋅⋅-(13) 证 记 ()m m m u x u ε=-,由式(3)、(4)、(5)可知0,1,2,,1,0,h m m N L R m N εεε==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩ 其中m R 由式(3)定义.从定理3.2得111()()max 2m m m m m N x a b x R ε≤≤-≤-- 22(4)()max ().96a xb b a h u x ≤≤-≤ 式(13)给出了差分方程(5)的解的误差估计,而且表明当0h →差分解收敛到原边值问题的解,收敛速度为2h .4 小结收敛性和稳定性是从不同角度讨论差分法的精确情况,稳定性主要是讨论初值的误差和计算中的舍入误差对计算结果的影响,收敛性则主要讨论推算公式引入的截断误差对计算结果的影响.使用既收敛有稳定的差分格式才有比较可靠的计算结果,这也是讨论收敛性和稳定性的重要意义.参考文献[1] 李瑞遐、何志东.微分方程数值方法,上海:华东理工大学出版社[2] 黄明游、冯果忱.数值分析(下册)北京:高等教育出版社,2008[3] 杨大地、王开荣.数值分析.北京:科学出版社,2006[4] 袁东锦.计算方法——数值分析.南京:南京师范大学出版社.2007[5] 李清扬等.数值分析(第4版).武汉:华中科技大学出版社.2006。

第五讲——显式差分和隐式差分(5)

第五讲——显式差分和隐式差分(5)
a=zeros(135,135); for i=1:135 a(i,i)=1; end; for i=1:7 a(15*i+1,15*i+2)=-0.25; a(15*i+1,15*i+16)=-0.25; a(15*i+1,15*i-14)=-0.25; end for i=1:7 a(15*i+15,15*i+14)=-0.25; a(15*i+15,15*i+30)=-0.25; a(15*i+15,15*i)=-0.25; End a(1,2)=-0.25; a(1,16)=-0.25; a(121,122)=-0.25;
G(Y (t ), Y (t t )) 0
例子:
1. 显式差分格式:
左端:n+1时刻的值; 右端:n时刻的值。
特点:结构简洁,直接求解,求解速度快。
但是,时间步长需满足:
显式差分格式才能得到稳定的数值解,否则,数值解将会不稳定而振荡。
显示差分格式示意图
2. 隐式差分格式:
时间一阶精度 空间二阶精度
a(121,106)=-0.25; a(135,134)=-0.25; a(135,120)=-0.25; a(15,14)=-0.25; a(15,30)=-0.25; for i=2:14 a(i,i-1)=-0.25; a(i,i+1)=-0.25; a(i,i+15)=-0.25; end for i=122:134 a(i,i-1)=-0.25; a(i,i+1)=-0.25; a(i,i-15)=-0.25; end for i=1:7 for j=2:14; a(15*i+j,15*i+j-1)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j+1)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j+15)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j-15)=-0.25; end end

差分方程稳定性PPT课件

差分方程稳定性PPT课件
则称 a是差分方程(1-1)的平衡点.
又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定
的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞),
则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且 仅当|a|<1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
讨论 x* 的稳定

SUCCESS
THANK YOU
2020/9/29
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的
根 (1)的近似线性方 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 程
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
y
yk 1
yk
ryk (1
k
N
)
(1)
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
yk 1
(r
1) yk

2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性

2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性

u t
n j
t

1 2

2u t 2
n j
t 2

1 6

3u t 3
n j
t 3

(t 4
)
un j 1

u
n j


u x
n
j
x

1 2

2u x2
n
j
x2

1 6

3u x3
u unj
是离散化误差,而
r

u
n j

u
n j
就是舍入误差。根据
收敛性条件,当
lim
t 0
e
n j

0,差分方程收敛于微分方程。而
r
数学
x0
性质讨论,就属于稳定性所要讨论的范围。由此可知,稳定性是讨
论在计算过程中,某一时刻,某一点产生计算误差,随着计算时间
增加,这个误差是否能被抑制的问题。
粗看起来,差分方程相容性要求时,差分方程逼近于微分 方程,似乎差分方程数值解也应该收敛于微分方程精确 解。事实上,当我们在证明相容性时,已经假定了差分 方程数值解就是微分方程精确解,在对微分方程进行展 开时,截断误差中已经忽略了离散化误差的存在。因此, 差分方程相容性并不能保证其收敛性。
(3) 差分方程同样也有两种不同形式的收敛性:有条件收敛 和无条件收敛。
e0j
O(x, t)
(d)
在t=0时,差分方程的初始条件应该是完全准确的,即:
u
0 j
(x j
),e0j

u0

u0j

差分方程模型的稳定性分析及其应用毕业设计论文

差分方程模型的稳定性分析及其应用毕业设计论文

差分方程模型的稳定性分析及其应用The Stability Analysis and Application of the Differential Equation Model毕业设计(论文)原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺:所呈交的毕业设计(论文),是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。

尽我所知,除文中特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果,也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。

对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体,均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。

作者签名:日期:指导教师签名:日期:使用授权说明本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计(论文)的规定,即:按照学校要求提交毕业设计(论文)的印刷本和电子版本;学校有权保存毕业设计(论文)的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务;学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文;在不以赢利为目的前提下,学校可以公布论文的部分或全部内容。

作者签名:日期:学位论文原创性声明本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。

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作者签名:日期:年月日导师签名:日期:年月日注意事项1.设计(论文)的内容包括:1)封面(按教务处制定的标准封面格式制作)2)原创性声明3)中文摘要(300字左右)、关键词4)外文摘要、关键词5)目次页(附件不统一编入)6)论文主体部分:引言(或绪论)、正文、结论7)参考文献8)致谢9)附录(对论文支持必要时)2.论文字数要求:理工类设计(论文)正文字数不少于1万字(不包括图纸、程序清单等),文科类论文正文字数不少于1.2万字。

偏微(03)相容性收敛性稳定性

偏微(03)相容性收敛性稳定性

1
2.1 有限差分格式的截断误差
u 2u a 2 , x R, t 0, 1.3 t x u x,0 g x , x R 1.4
n 1 un u j j

a
n n un 2 u u j 1 j j 1
h
2
0
(1.14)
扩散方程(1.3)的隐式差分格式(1.14)
n 1 j
Lh u u a u
n j
n j
n j 1
u
n j

(1 a )Iu aTu
n j
n j
a0 1 a , a1 a
Sun j
1 n un u j j

a
n un u j 1 j
h
0
2.1 有限差分格式的截断误差
T ( x j , tn ) Su( x j , tn ) Lu( x j , tn )
T x j , tn
不在边界上的任意一点 ( x j , tn )定义截断误差为


u( x j , tn1 ) u( x j , t n )

a
u( x j 1 , t n ) 2u( x j , t n ) u( x j 1 , t n ) h
2
(2.7)
u 2u a 2 , x R, t 0, 1.3 t x u x,0 g x , x R 1.4
1 n un u j j

a
n n un 2 u u j 1 j j 1
h2
T x j , tn
u( x j , tn1 ) u( x j , t n )

第五部分收敛性和稳定性

第五部分收敛性和稳定性
当初值和右端的扰动满足
max s(x) xIh
时,原方程与扰动方程的解对一切 0 h h0 满足估计式
max y%(x) y(x)
xIh
则称该格式是稳定的。
或者:如果一种差分方法在节点值 yn 上大小为 的扰动,在 以后各节点值 ym (m n) 上产生的偏差均不超过 ,则称这
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
en y(xn ) yn
2、欧拉格式的收敛性分析 定理 如果初始条件是准确的,则欧拉格式是收敛的。
3、收敛的意义
收敛性是保证一个算法有效性的重要特征。量化就是 收敛速度(阶)或局部截断误差。
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
二、稳定性ห้องสมุดไป่ตู้
1、定义
对于存在正常数 h0 和对于每个 0 存在一个正常数 ,使得
种方法是稳定的。
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
2、条件稳定和绝对稳定
如果一个算法的稳定是在一定条件下才成立,则称这种稳定 是条件稳定。譬如,步长的选取以保证格式收敛的稳定性。 如果一个算法的稳定是任何条件下都成立,则称这种稳定是 绝对稳定。 3、稳定的意义 稳定性是判别一个算法可用与否的重要条件,在此基础上构 造快捷(收敛速度快!)的方法才是追求的目标。详细分析 在此省略。
例如 初值问题

y ' 30 y(0) 1
y
,
x
[0,1.5]
的准确解为 y e30x
如果用欧拉格式、Runge-Kutta和Adams格式求解,取步长为h 0.1
得到 y(1.5) 的近似解如下表所列
欧拉格式 Runge-Kuatta Adams

差分方程模型的稳定性分析及其应用信息与计算科学毕业设计论文

差分方程模型的稳定性分析及其应用信息与计算科学毕业设计论文

差分方程模型的稳定性分析及其应用The Stability Analysis and Application of the Differential Equation Model专业:2011信息与计算科学姓名:郭甜甜指导教师:申请学位级别:学士论文提交日期:2015年5 月25日学位授予单位:天津科技大学摘要本文首先对差分方程这一门课程进行全面深入的研究,了解差分方程的背景,学习差分方程的理论知识,在此基础上对差分方程的稳定性进行学习.并研究相应的数学模型,不仅使这一类常见问题更容易得到解决,更增加了人们的实践经验.差分方程模型作为一种重要的数学模型可以使复杂的生活问题准确、形象地反映出来,并通过对结果的分析对问题进行评估与改善.我主要研究了五个差分模型,分别为金融问题:其一贷款问题研究了欠款,利率,还款额等的关系,其二养老保险问题研究了交保费,保险收益,利率等的关系;减肥计划模型:此模型研究了节食与运动对维持体重的影响关系,制定了减肥方案并给出了维持体重的办法;市场经济中的蛛网模型:通过产品的销售价格和生产产量建立数学模型,在得出市场经济趋于稳定的条件,并且对结果进行分析,最后探讨了在市场经济不稳定时政府能够采用的干预措施;人口控制与预测模型:研究了人口总数的变化状况;军备力量模型:研究了军备力量参与预测战争时的影响.在整个过程中,用MATLAB软件进行计算和画图.关键词:差分方程;稳定性;数学建模;MATLABABSTRACTThis paper firstly gives a profound and systematic overview of the course of diff erential equation, including its background and the related theories, and uses these kn owledge as a basis to study the stability of the differential equations. Then the study o f the related mathematical model is given, which will not only make solving this kind of common problems easier, but also provide more practical experience for future stu dies. As an important mathematical model, the differential equation can reflect the co mplicated problems in people's life both accurately and vividly. And analyzing the out come of the differential equation will lead to the evaluation and improvement of the p roblem. In this paper, I mainly analyze five types of models by using differential equa tions: the first one is the financial model which can be further divided into two parts --- the loan model which studies the relationship of the debt, the interest rate, the repay ment and other related elements and the endowment insurance model which studies th e relationship of the premium, the insurance proceeds, the interest rate and other relate d elements; the second one is the weight-loss plan model which studies the influence of diet and exercise on keeping fit and has created a plan to lose weight and keep fit; t he third one is the cobweb model in market economy which is created by taking into a ccount the price and production volume of the product and whose outcome is studied after the condition in which the market economy is heading to stability is achieved, an d then discusses about the measures the government can take to enhance its interventi on when the market is unstable; the forth one is the population control and prediction model which studies the pattern of the variation in population; the fifth one is the arm s race model which studies the impact of arms race on predicting wars. In the whole p rocess, I have used the software --- MATLAB to do calculation and drawings.Key words: differential calculation; stability; creating mathematic models; MATLAB目录1 基础知识 (1)1.1差分方程 (1)1.2MATLAB介绍 (3)1.3数学建模 (3)2 金融问题模型 (5)2.1贷款问题 (5)2.2养老保险模型 (6)3 减肥计划模型 (9)3.1问题重述 (9)3.2问题分析 (9)3.3模型假设 (9)3.4符号说明 (9)3.5建立模型 (9)4 蛛网模型 (12)4.1问题重述 (12)4.2问题分析 (12)4.3符号说明 (12)4.4蛛网模型 (12)4.5差分方程模型 (14)4.6干预办法 (15)4.7模型的推广 (16)5 人口的预测与控制模型 (18)5.1问题重述 (18)5.2问题分析 (18)5.3建立模型 (18)5.4模型的扩展 (20)6 军备力量模型 (21)6.1问题重述 (21)6.2问题分析 (21)6.3建立模型 (21)结论 (25)参考文献 (1)致谢 (2)1 基础知识差分方程表达的为有关离散变量的取值与变换的规律.它是根据所要解决的问题,引进过程中或系统的离散变量,依照实际问题中背景的本质、规律、相关联系,写出离散变量符合的关系等式,进而建立差分方程.得到方程的解后利用分析方程的解,或分析方程的解的某些特性(如稳定性、周期性等),进而明确这些离散变量的变换进程的规律,然后再连同其他分析,从而得到原问题的解.1.1 差分方程差分方程的使用范围十分普遍,因为能够使离散变量的逼近与近似来表示连续变量,所以许多模型就可以类似于差分方程模型来解决.所以差分方法既可以在建立离散的数学模型进程中使用,也可以在连续模型化为离散模型的数值计算中广泛的使用.一般来说,但凡涉及到有关变量的规律、本质,便能够使用差分方程模型去表达与分析求解.1.1.1 差分方程的概念差分:对于数列{}n x ,称n x 在n 处的前向差分为差分算子∆:n x x x n n -=∆+1.并且称n x 在n 处的后向差分为差分算子∆:1+-=∆n x x x n n .本文皆是只前向差分.可知n x 是关于n 的函数.进而可以定义为n 处的二阶差分为n x ∆的差分:()n n x x 2∆=∆∆,它反映的为量的增量.同理可以定义()()n k n k x x ∆=∆∆-1为n 处的k 阶差分.差分方程:由某个函数多个不同时期值的符号或者某个函数的差分组成的方程称为差分方程,其中大多形式为 0),...,,,,(2=∆∆∆x n x x x y y y y x F或 0),...,,,,(21=+++n x x x x y y y y x G或 0),...,,,,(21=---n x x x x y y y y x H通过差分方程的性质和定义能够知道,各种表达形式的差分方程能够互相变换,各自相通.差分方程的解:若将某函数代入差分方程,让方程两边相等,那么就称此函数为差分方程的解,要是差分方程的阶数与此方程的所有解中拥有互相独立的任意常数的个数相同,那么就称此解释差分方程的通解,以便体现在变化过程中某一事物的客观规律性,通常依据此事物在初始时刻所处情况,在差分方程上添加一定的条件,称此为初始条件,若初始条件确定了通解中任意常数后,此解称之为差分方程的特解[1].1.1.2 差分方程常用解法常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ (1-1) 其中k a a a ,...,,10是常数,则称方程(1-1)为常系数线性方程.并且称方程 0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a (1-2) 是方程(1-1)相对应的齐次方程.若(1-2)的解形式为n n x λ=,代近方程中可以得到0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ (1-3)则称方程(1-3)是方程(1-1)和(1-2)的特征方程.可见,只要能够得到方程(1-3)的根,就能够求出方程(1-2)的解.一般结果为:如果方程(1-3)存在k 个不相同的实根,那么方程(1-2)有通解:n k k n n n c c c x λλλ+++= (2211)如果方程(1-3)存在m 重根λ,那么方程(1-2)通解可以表示为:()n m m n n c n c c x λ121...-+++=如果方程(1-3)存在两个单复根βαλi ±=,记ϕρλ±=e ,22βαρ+=, αβϕarctan =,那么方程(1-2)通解可以表示为: n c n c x n n n ϕρϕρsin cos 21+=如果方程(1-3)存在m 重复根βαλi ±=,记ϕρλ±=e ,那么方程(1-2)通解可以表示为:()()n n c n c c n n c n c c x n m m m m n m m n ϕρϕρsin ...cos ...1221121-++-+++++++=由上可知,由于方程(1-3)恰好有k 个根,所以方程(1-2)的通解定有k 个相互独立的任意常数.记方程(1-2)的通解为:n X ,若可以得到方程(1-1)的一个特解:*n x ,那么方程(1-1)定有通解:*n n n x X x +=差分方程的Z 变换解法在差分方程的左右取有关n x 的Z 变换,然后写出k n x +的Z 变换,利用n x 的Z 变换)(z F ,最后利用求解代数方程的方法求出)(z F ,同时将)(z F 展开成洛朗级数在0=z 解析圆环域里,此系数即为所要求的n x .1.1.3 差分方程稳定性k 阶常系数线性差分方程(1-1)稳定的充分必要条件为它所相应的特征方程(1-3)所有的特征根k i i ...2,1,=λ满足1<i λ[1].一阶非线性差分方程)(1n n x f x =+ (1-4) 的平衡点*x 由方程)(**x f x =所决定,展开为泰勒形式将)(n x f 在点*x 处,因此: 当()1'<x f 时,方程(1-4)的解*x 是稳定的.当()1'>x f 时,方程(1-4)的平衡点*x 是不稳定的.1.2 MATLAB 介绍MATLAB 为一个面向科学与工程计算的高级语言,一个具有超强能力的数值计算和可视化特点的软件.相对于别的计算机软件,MATLAB 的运行方式与人们计算公式时的思考方法非常类似,它编写程序的过程就如同人们在演算纸上罗列出公式进行求解,这避免了较多的重复、繁琐的机械性的编写程序细节,把重点放在有创造性问题上,在最短的时间内得到更具价值的结果.MATLAB 具有许多特点,比如功能性强、容易学懂、效率高、应用面广泛、操作简单、节约时间等.MATLAB 不仅简单好用,而且数据和图像处理能力很是强大并且可以完成数值分析、管理与调度优化计算、通讯系统设计与仿真、工程与科学绘图等众多功能.现在MATLAB 已经演变成为一种大型软件应用在多科学、多工作平台,被各个国家所接收和认可并在一定程度上体现了国际上计算机软件的总体水平,也成为了众多大学生应该熟练掌握的一项基本技能.本文在研究进程中将会使用到制作图像和求解功能.1.3 数学建模数学建模是通过数学的知识和思想来简单清晰的表示现实问题中的重点方面,以此完成现实中的问题,即通过使用各种数学办法来完成现实问题. 数学建模是一个模拟过程,它是用程序、图像、数学的公式等对实际问题进行抽象、假设、简化后用数学方式描述出来,它可以预料将来的进行情况,可以说明一些客观存在的现象,也可以为有些现象的未来走向提供在特定环境中最合适的方案或相对好的方法.数学模型建立不但要求对现实问题谨小慎微的分析和观察,而且要求熟练应用各个方面的数学知识.建立数学模型多数应有如下几个阶段:最开始应该明确研究的角色、目标以及问题的类型是确定型还是随机型;把问题简单化后列出将要研究的因素,并把这些因素用参量和变量的方式表现出来;应用数学知识和方法表达出问题中变量之间的联系,一般是列成数学表达式,进而建立了数学模型;通过各种数学知识、数学软件等解出模型的解;把模型的结果转换为与实际问题相适应的清晰易懂的语言;最后进行模型的检测与评估.2 金融问题模型2.1贷款问题2.1.1问题重述由于社会经济的飞速增长,人们生活水平的持续攀升,人们的经济需要更加增多.越来越多的人尤其是工薪阶层需要通过贷款来实现一些经济活动,比如买房、买车、向银行贷款等等.作为贷款人必须清楚贷款的整个运行过程,了解每一个细节尤其是要知道还款方式是等额本息还款法、等额本金还款法或是等本等息等额还款法亦或是其他方法.还应清楚贷款总额,各种还款方式每期应还款额,贷款时间以及贷款利率等.2.1.2问题分析在日常生活中较为常用的就是等额本息还款法,因此在本文中只讨论此贷款方法.等额本息还款法即为每期的所要还的钱数是一定的,而每期所还的本金在逐渐增多,利息越来越少,将通过贷款总值、贷款时间、贷款利率、每期还款额这些因素相互的联系建立模型,再通过数学的递推思想得出第k 期的欠款额,令欠款额为零时即可得到每期还款额的表达式[6].2.1.3模型假设● 贷款期间贷款利率一直不变;● 贷款人能如期偿还每期的还款额;● 贷款期间不考虑其他的经济问题影响.2.1.4符号说明0A :贷款总额;N :贷款期限(以月计算);k A :第k 个月的欠款额(0=N A );R :贷款月利率; x :每月还款额. 2.1.5建立模型等额本息还款法中每月所还的钱应等于每月所还的本金加上每月利息,即为R A A A x k k k +-=+1则有第1+k 个月还款后欠款额:()x R A A k k -+=+11第1个月还款后欠款额:()x R A A -+=101第2个月还款后欠款额:()()()x x R R A x R A A -+-+=-+=1112012 第3个月还款后欠款额:()()()()x x R x R R A x R A A -+-+-+=-+=111123023. . .第k 个月还款后欠款额:()()()()x x R x R R A x R A A k k k k -+--+-+=-+=--1 (1111)01 应用数学归纳法和等比级数求和公式可得当到达最后期限即N k =时,有0=N A ,带入(2-1)式可得(2-2)式即为等额本息还款法中每月还款额.2.1.6举例买一辆11万元的汽车,首付%30.分12个月还完,年利率为%57.6,分别用等额本息和等额本金还款法计算,并进行分析.等额本息还款法:贷款期限N 为12个月;每月还款额为x所以还款总额803611275.6696=⨯=W 元,其中总利息为3361元.等额本金还款法:其中总利息为2740.24元. 由上可知,等额本金还款法所付的利息相对等额本息还款法要少些,并且还款时间越长,利息差值越大.2.2养老保险模型2.2.1问题重述随着社会的不断发展,人们生活水平的持续攀升,人们平均寿命也有所增加,以至于我国慢慢进入老龄化阶段.为了确保人们老年后的生活有所保障,使得养老保险问题备受关注.现有一保险公司提出了一个养老保险策略,为投保人每月缴费200元一直到59岁末,从60岁开始领取养老金.如果投保人从25岁开始投保,那么60岁以后每月可得2282元养老金,如果投保人从35岁开始投保,那么60岁以后每月可得1056元养老金. 2.2.1问题分析本文要研究此保险公司每月至少要有多少投资收益率才能确保保险责任.即保险公司为确保保险人的保险收益必需利用保险人所交的保费最少收获多少利润.通过缴纳的保费和收益的总值,每月收益率,60岁前每月缴费额,60岁后每月领取额,终止缴纳保险费与终止领取养老金的月份之间的关系建立数学模型.2.1.3模型假设投保人能按期缴纳保险费2.1.4符号说明k F :截止到第k 个月所交保费和收益的总额()M k ,...,0=;r :每月收益率;p :60岁前每月缴费额;q :60岁后每月领取额;N :停缴保险费的月份; M :停领养老金的月份.2.1.5建立模型在全部过程中,可知:()()M N k q r F F N k p r F F k k k k ,...,,11...,1,0,111=-+=-=++=++ (2-3)其中k F 代表的是从投保人开始交保费月后算起的. 所要研究的是在第M 个月时,k F 的数值为多少.若k F 为正数,那么代表保险公司最终获;若k F 为负数,那么代表保险公司最终亏损;若k F 为零,那么代表保险公司最终一无所有,投保人最终获益.2.1.6举例某男子从25岁开始投保,假设男子活到75岁,所以420,2282,200===N q p 0,6000==F M ,由(2-3)式可得:在(2-4)式中,分别取M k N k ==,,可得设r x +=1 利用MATLAB 软件编写代码如下:syms xF=x^600-12.14*x^180+11.41; x=solve(F)由于x 一定大于1,对众多的根进行分析可得,00485.1=x ,即求出每月收益率为:00485.0=r用同样的方法也可求出,35岁开始投保的每月收益率为:00461.0=r3 减肥计划模型3.1问题重述在现代社会中,越来越多的人们尤其女性认为瘦是衡量美的一种重要标准,因此许多自感肥胖的人开始尝试用各种方法减肥,但是减肥药和节食等方法都是存在安全隐患的.专家表明:想要在健康的条件下达到减肥的效果并且维持下去,只有利用控制饮食和进行适当的运动.通常用体重指标(简记BMI )来衡量体重,BMI 为体重(千克)除以身高(米)的平方.当255.18<<BMI 时,体重为正常;当25>BMI 时,体重为超重;当30>BMI 时,体重为肥胖.3.2问题分析一般,但凡人体内的能量守恒被破坏就将会导致体重的变化.人们在饮食过程中吸收热量,以至体重增加;人们又通过运动以及代谢消耗热量,以至体重减少.当然减肥的前提是不伤害身体,所以要求每天吸收的热量不能过多,体重减少的也不能过快了.由此就可以通过体重,吸收热量,消耗热量的关系建立数学模型.3.3模型假设(Ⅰ) 增加的体重与吸收的热量成正比,每吸收8000千卡热量体重增加1千克, 由代谢导致的体重减少与体重成正比,一般一公斤体重每周消耗200千卡到320千卡的热量(每人不同),即为一个70千克的人每天消耗2000千卡到3200千卡的热量[7].(Ⅱ)运动导致的体重减少与体重成正比,并且与运动的时间和形式相关.(Ⅲ)为保证身体的健康,一周内吸收的热量不能小于10000千卡,一周内体重减少不能超过1.5千卡.3.4符号说明)(k w :第k 周末体重;)(k c :第k 周吸收的热量;α:热量转换系数;γ:每小时每千克体重运动消耗的热量(千卡)t :每周运动的时间(小时)1β:代谢消耗系数(因人而异);2β:运动消耗系数3.5建立模型可知体重变化的方程为()()()()(),...2,1,0,1121=+-++=+k k w k c k w k w ββα (3-1)3.5.1减肥计划的提出现为一个具体的人制定减肥计划来探讨此模型的应用.某人高为1.7米,体重为100千克,6.34=BMI ,现在每周平均吸收20000千卡热量,并保证体重不发生改变.现若让此人体重减到75千克并且保持下去,请依照以下三点制定减肥计划:● 当不进行任何运动时计划划分为两个阶段,第一阶段:每周控制饮食慢慢减少吸收的热量,使每周体重减1千克,一直到所吸收热量的最低点(10000千卡);第二阶段:每周吸收的热量维持在下限,直至达到减肥的目标.● 在第二阶段添加运动以加速减肥速度,重新制定第二阶段方案.● 制定一个达到目标体重后保持体重的策略.3.5.2减肥计划的制定(Ⅰ)在不进行运动时,可知02=β,已知20000=c 千卡,100=w 千克,80001=α(千克/千卡),由(5-1)式可得w c w w 1βα-+= 025.01008000200001=⨯==w cαβ 也就是每周每千克体重消耗20010020000=千卡的热量. 第一阶段:需要每周体重减1千克,一直到所吸收的热量成为最低点(10000千卡),可得()()11=+-k w k w ()()k w k w -=0带入(5-1)式可得()()[]αβαββαk w k w k c +-=-=+1)0(111 再将100)0(,025.0,80001===w βα带入上式,又因吸收热量的下限为10000千卡,可得 ()10000200120001≥-=+k k c 说明第一阶段为10周,热量的吸收是依照()9,...,1,0,200120001=-=+k k k c 使得每周体重减少1千克,到第10周末体重减为90千克.第二阶段:每周吸收的热量维持在下限,要将体重减到75千克,由(3-1)可得c k w k w αβ+-=+)()1()1( (3-2)对(5-2)式进行递推并用等比数列求和可得[]βαβαβββαβc c k w c k w n k w nn n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-++-++-=+-)()1()1(...)1(1)()1()(1 (3-3) 将90)(,75)(,10000,025.0,80001==+===k w n k w c βα代入(3-3)可得 50)5090(975.075+-=n (3-4)19975.0lg )4025lg(==n 说明第二阶段为19周,在吸收的热量每周维持在10000千卡时,依照 减到目标体重75千克.(Ⅱ)依据查询资料可知每小时每千克体重各项运动消耗的热量如下:表5-1 各项运动消耗的热量在第二阶段添加运动以加速减肥进程,其中t αγβ=2,在此取003.0=t αγ,故24=t γ,那么(3-4)式中的025.01=β应改为028.021=+ββ,则(3-4)式为6.44)6.4490(975.075+-=n说明如果在第二阶段增加24=t γ的运动(如一周骑10小时自行车或跳8小时的舞蹈),那么第二阶段将会减为14周.(Ⅲ)若想达到目标后保持体重,那么要使每一周吸收的热量都维持某常数c , 并让体重维持不变,由(3-1)式可得()()αββββαw c w c w w 2121+=⇒+-+=可得出:如果不运动,1500075025.08000=⨯⨯=c 千卡;如果运动,1680075028.08000=⨯⨯=c 千卡.4 蛛网模型4.1问题重述在处于完全自由的经济市场里,许多商品的销售和生产明显表现出周期性.主要体现在:在一定时期里商品的生产产量、销售价格和销售量是稳定的,所以这些经济数据在某个时期里是离散变量的形式.商品的销售价格和生产产量是最为关注的两个因素,若要做好经营,获得较好的经济效益,必须掌握好这两个经营过程中的最重要的因素.4.2问题分析由于本期产品的销售价格决定于消费者的需求关系,产品数量越少就会导致价格越高.然而下一期产品的数量决定于供应关系,产品的价格越高生产的数量就越多.市场经济中的产品数量与价格产生的振荡决定于这种供求关系.事实上,存在各种形式的振荡,既有可能振幅越来越小直至趋于平稳,也有可能振幅越来越大,此时若没没有外界的干预(如政府)极有可能致使经济崩溃.通过产品的销售价格和生产产量建立数学模型,在得出市场经济趋于稳定的条件,并且对结果进行分析,再探讨政府能够采用的干预措施在市场经济不稳定时.4.3符号说明k x :第k 时段产品的数量k y :第k 时段产品的数量f K :平衡点在函数f 的斜率的绝对值g K :平衡点在函数g 的斜率的绝对值4.4蛛网模型将时间离散化划分为若干段,产品的一个生产周期即为一个时段,由于在一个时间段中产品的销售价格由产品产量决定,因此可设:)(k k x f y = (4-1) 它是需求函数,体现的是此商品与消费者的需求关系.由于产品的销售产量与价格成反比,故f 是单调递减的函数.由于上一个时段的销售价格决定了下一个时段产品的产量,因此可设: )(1k k y h x =+或)(1+=k k x g y (4-2) g 为h 的反函数,它们都是供应函数,体现的是生产者的供应关系.由于本时段价格与下时段生产产量成正比,故g 是单调递增的函数.通过函数f 和g 反映k x 和k y 的变化过程,把点列),(k k y x 和),(1k k y x +利用对应的几何关系画出来,即将点列()),...,(),,(,,),,(231221122111y x p y x p y x p y x p 连接起来(见图4-1),则将连成折线形似蛛网,因此这种用图形来研究市场经济的稳定性称为蛛网模型.图4-1 图4-2 可见,若点列()),...,(),,(,,),,(231221122111y x p y x p y x p y x p 最终收敛于点),(000y x p ,即00,y y x x n n →→而且点0p 是函数f 和g 的交点,则代表市场经济在未来的一段时间里将会趋向稳定.若没有收敛于一点(见图4-2),则代表市场经济将会趋向不稳定.通常,f 是由消费者的消费能力和需求程度决定的,g 是由生产者的经营能力和生产能力等因素决定的[8].通过分析图形可知:当g f K K <时,点0p 是稳定的;当g f K K >时,点0p 是不稳定的.举例说明蛛网模型:设:产品的本期产品数量s t Q 由上期的销售价格1-t P 决定,那么供给函数是()1-=t s t P f Q ,产品本期的需求量d t Q 由本期产品销售价格t P ,那么需求函数是()t d t P f Q =,那么结合动态供需均衡模型,蛛网模型可以表达为:st d t t s t td t Q Q P Q P Q =--=-=-1γδβα其中γδβα,,,都是正值.由上述三式可得:1-+-=-t t P P γδβα (4-3)因此能够知道第t 期的产品价格是:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----t t t t t t t t t t P P P P P P P βγγβδαβγβγβγβδαβγβγβγβγβδαβγβγβδαβγβδαβδαβγβγβδαβγ111...1...1001202221 由于市场是均衡的,故有均衡价格1-==t t e P P P ,带入(4-3)式得γβδα++=e P ,将其带入上式有 ()e t t e t t P P P P P P +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=βγβγβγ001 (4-4) 对(4-4)式进行分析可得:● 当1<βγ时,那么e t P P →,称为收敛型蛛网; ● 当1>βγ时,那么∞→t P ,称为发散型蛛网; ● 当1=βγ时,那么t P 是常数,称为封闭型蛛网. 4.5差分方程模型分别取函数f 和h 在0p 点附近的近似曲线,可得:0),(00>--=-ααx x y y k k (4-3) 0),(001>-=-+ββy y x x k k (4-4) 将(4-3)和(4-4)合并后能得:,...1,0),(001=--=-+k x x x x k k αβ (4-5) 对(4-5)进行递推可得:())(0101x x x x kk --=-+αβ (4-6) 由(4-6)可得,当∞→k 时0x x k →,则当1<αβ或βα1<时0p 点稳定; 当∞→k 时∞→k x , 则当1>αβ或βα1>时0p 点稳定; 由于α-是0p 点在f 上的切线斜率,β1是0p 点在g 上的切线斜率,则有βα1,==g f K K ,可见差分方程模型与蛛网模型结果是相同的. 从(4-3)可得,α的意义是产品的数量下降一单位时销售价格的上升幅度,因此α代表的是购买者对产品需要的灵敏度,若是生活必需的产品,并且消费者的状态是持币待购,一旦产品的数量缺少,人们就会抢购,则α相对较大.β的意义为这期销售价格上升一单位是产品数量的增加量,因此β代表生产者对产品价格的灵敏度,若生产者贪图当下的高利润,一旦价格上升就增多生产,则β相对较大.4.6干预办法综上可知,当β一定时,α越小,代表购买者对产品需要的灵敏度就越小,越对经济稳定有利;当α一定时,β越小,代表生产者对产品价格的灵敏度就越小,越对经济稳定有利.相反的,当α,β越大时,越对经济稳定不利.图4-3 图4-4存在两种干预办法在市场经济倾向不稳定时,第一种是让α尽可能小,为了更加明显研究0=α的情况,也就是f 的图像为水平直线(见图4-3),此刻市场经济永远是稳定的无论g 如何变化(也就是无论β多大).现实中就相当于控制价格不能变化,不管产品数量为多少,即政府控制物价.第二种是让β尽可能小,为了更加明显研究0=α的情况,也就是g 的图像为竖直直线(见图4-4),此刻市场经济永远是稳定的无论f 如何变化(也就是无α多大).现实中就相当于不管产品的价格为多少,产品数量不能变化,当供不应求时将从其他地方购买或调货过来,当供应多于需要时,收购多于部分. 4.7模型的推广为了更加谨慎生产者在计算下一期的产品数量1+k x 时,不但考虑这期的销售价格k y 也考虑前一期的销售价格1-k y ,则(4-2)式将变为:)2(11-++=k k k y y h x (4-7) (4-2)式的近似直线(4-4)相应的改为:()010122y y y x x k k k -+=--+β(4-8)由于(4-1)式和(4-3)式没有变化,所以合并(4-3)式和(4-8)式可得:(),...2,1,12012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ (4-9) 只要方程的特征根都在单位圆里,那么当∞→k 时0x x k →,即0p 点稳定. (4-9)式的特征方程为:022=++αβαβλλ(4-10)并得出(4-10)的特征根为()4822,1αβαβαβλ-±-= (4-11)当8>αβ时,有()44822αβαβαβαβλ-<---=因而22>λ,故2λ不在单位圆内,所以舍去.当8<αβ时,可由(4-11)式得:22,1αβλ=如果让所有特征根在单位圆里,也就是12,1<λ,所有2<αβ (4-12) (4-12)式即为0p 点稳定的条件.与之前0p 点稳定的条件1<αβ相比,这个模型的βα,的使用范围都放宽了,即稳定性条件变宽了.若要更深一步的研究这个模型,在计算下一期的产品数量1+k x 时,可考虑最近三年来的价格,即)3(211--+++=k k k k y y y h x .。

差分格式的定性分析

差分格式的定性分析

通常只关心稳定条件本身,则直接用下述方法:
ε
m
( x
j
, t
n
) = e
α t
n
e
ik
m
x
j
= e
α n ∆ t
e
ik
m
j∆ x
代入差分方程,解出放大因子
e
α ∆ t
稳定性条件是放大因子的模小于等于1。
7
10. 人为耗散和通量改正
即使满足稳定性条件,当计算进行到一定时间步数时,仍 出现不稳定,此源于非线性效应。即使格式自身存在的数 , 值耗散(或叫隐耗散), 在激波区一般不足以克服波头振 荡等计算不稳定现象。故需要在格式中人为加入耗散项。
强耗散格式(或引入人为耗散) 弱耗散格式 激波波头的振荡
过分平滑
为兼顾稳定性和精度,有各种办法,其中广泛应用的是 通量改正法 (Flux-Corrected Transport) 1. 正耗散:从守恒型方程出发,采用强耗散格式,保证无振荡 2. 逆耗散:对差分解在非激波区进行逆耗散,以抵消差分解的耗散误差
A 1 = F H1 − F L 1 第二步:用逆耗散通量 i ± i± i±
2
2
消除耗散
2
U
n +1 i
=U
d i
∆t − (A 1 − A 1 ) i− ∆x i + 2 2
13
U
弱耗散格式
强耗散格式
x 过度的改正将出现波头振荡,故须对逆耗散通量
A
i± 1 2
加以限制
14
AC 1 = C
i± 2
9
1 Neumann-Richtmyer人为耗散法
(1950,JAP, 21, 232)

——显式差分和隐式差分

——显式差分和隐式差分

边界节点:
A矩阵非零系数减少, 同时引入第一类边界,
方程右端项B向量出现 非零元素。
AX B
组建A和B矩阵,求解线性方程组得到X
A A(135,135)
X X (135,1)
B B(135,1)
%Matlab 2D clear; clc; figure('color','w');
内部节点:
for j=2:n-1 for i=2:m-1;
a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i+1)=1; a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i-1)=1; a((j-1)*m+i,j*m+i)=1; a((j-1)*m+i,(j-2)*m+i)=1; a((j-1)*m+i,(j-1)*m+i)=-4; end end
Tair
Tcap
一阶常微分方程的数值解 首先对时间和温度进行离散:
dT f (T ,t) dt
利用向前差分形式:
t j t0 jt, Tj T (t j )
dT dt
tt j
Tj1 Tj O(t) t
得到以下的显式差分格式:
Tj1 Tj tf (Tj , t j )
Cui, 2013
Cui, 2013
Cui, 2013
Cui, 2013
总结:
1、有限差分方法给出的数值解的精度取决于所用的差分形式(向 前、向后、中心)。
2、偏微分方程的显式有限差分格式通常是有条件稳定的,为了保 证得到精确的数值解,最关键的是需要根据稳定性条件选取正确的 空间和时间步长。
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• 定义:对于一足够光滑函数 u ,若时间步长 t ,空间步长 x
趋近于0时,差分方程截断误差 Rnj 对于每一点 x j , tn 都趋近于
0,则该差分方程 Lunj 0 逼近微分方程 Lu 0,即差分方程与
微分方程是相容的。
• 差分方程相容性可以通过Taylor展开方法来证明。例如,扩散方
而是趋近于某值,或结论并不是对每个点 x j , t都n 成立,则差分方
程就不满足相容性条件,差分方程也就不逼近于微分方程。

相容性条件不仅要求差分方程截断误差R
n j
趋近于0,而且要求差分方
程定解条件截断误差rjn 也同时趋近于0。
④ 差分格式有两种不同形式的相容性,即无条件相容和有条件相容。
定义:在某一个时刻tn存在计算误差

n,若在
j
tn1时刻满足:

n1 j

k

n j


n j
k

0 j
条件,则差分方程是稳定的。
这里定义:
1

n j





n j
2
x
2

2

是某种定义的范数。
下面我们用几个简单的例子来说明差分方程稳定性概念。
(1)对流方程FTFS差分方程为:
• Lax定理:对于适定和线性的初值问题微分方程,若逼近它的差分方程和它
是相容的,则差分方程稳定性是差分方程收敛性的充分和必要条件。
• Lax定理可以形象地表示为:
e0j
O(x, t)
(d)
在t=0时,差分方程的初始条件应该是完全准确的,即:
u
0 j
(x j
),e0j

u0

u0j

0
即:
max j
en1 j
O(x, t)
(e)
即差分方程离散化误差和截断误差是相同数量级,因此,若
R
n j
→0,则:
lim t0
max
j
e
n1 j

0.8u
n j 1ຫໍສະໝຸດ ;当a=1,Δx=0.1,r=1.0,则有:
u
n1 j

u
n j1

当a=1,Δx=0.1,r=2.0,则有:
u
n1 j

u
u j

2u
n j1

图b中给出了上述不同条件下差分方程计算误差的图解。从图中 可以发现,当r=1.0时,差分方程解和微分方程解是一致的;当 r=0.8时,在差分方程解的两端有耗散现象,当r=2.0时,差分方 程解会出现振荡,并且在t=nΔt继续增加时,振荡也继续加剧, 直到计算完全失败。 数值分析表明,FTBS差分方程只有在r 1.0时计算才是稳定,当r >1.0时差分方程计算是不稳定。
程的FTCS差分格式为:
u n 1 j

u
n j
t

un j 1

2u
n j
x2

u
n j 1

0


u n1 j
作为t的函数,在 tn
邻域展开成Taylor级数,把
un j 1
和 u nj1作为x的函数,在 x j 邻域展开成Taylor级数:
u n 1 j

u
n j


n
j
x3


(x4
)
un j 1

u
n j


u x
n j
x

1 2

2u x2
n
j
x2

1 6

3u x3
n
j
x3

(x4
)
u u 将
u
n1 j

nj 1和
n j 1
代入FTCS格式中,即可得到:
u
un1 j

(1 r)unj

ru
, n
j 1
u0j
(xj )
(a)
设求解区域内任意一点 x p ,t p ,它的微分方程精确解为u,
差分方程解为
u
n j
,则离散化误差为
enj
u unj
,把差分方
程和微分方程相减可得离散化误差方程:
en1 j

(1
r)enj

renj1

O(x, t)
计算力学基础
第二章 有限差分方法
2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性
一个微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么, 我们要问,对于这些不同的差分方程是否都同样有效,同样可靠,而 且能得到同样的计算结果呢?
答案是否定的。事实上,不同的差分方程和原方程有完全不同的 对应关系,它们具有各自不同的性质,因此,数值结果也完全不同。 在这些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的;些差分方程只有 在一定的条件下是有效的、可靠的;有些差分方程则是完全无效的、 不可靠的。所以,如何判断和分析差分方程有效性和可靠性就成为非 常必要和现实的问题了。
为离散化误差。
定义2:节点 xp , t p 为微分方程求解区域 内任意一点,当

x xp,t tp
时,差分方程数值解
u
n j
趋近于微分方程
精确解
u
,即
enj

u

u
n j

0
,则差分方程收敛于微分方程。
差分方程收敛性有两种证明方法,直接证明法和数值试验法。
一、直接证明法
对流方程 u a u 0 的FTBS差分格式为: t x
目完全淹没了,所求得差分方程数值解已经没有任何意义了,
因此,FTFS差分方程是不稳定的。
(2)对流方程FTBS差分格式的误差传播方程为:

n1 j


n j

r

n j

n j1

1
r

n j

r
n j1
(b)
当a>0,a t x
1
时,

n1 j

max
j

n j
u t
n j
t

1 2

2u t 2
n j
t 2

1 6

3u t 3
n j
t 3

(t 4
)
un j 1

u
n j


u x
n
j
x

1 2

2u x2
n
j
x2

1 6

3u x3


0
(f)
x0
由此可知,FTBS格式在a>0, a t 1 时,是收敛的。 x
二、数值试验法
数值试验法基本思想是用差分方程求出FTBS数值解,然后和 微分方程精确解进行比较,确定差分方程是否收敛。
直接证明法比较简单,但是只有很少几个差分方程可以采用直 接证明法来证明其收敛性,而数值试验法又非常麻烦,一般来 说,很难用数值试验结果严格证明差分方程是否收敛。总的说 来,不管是采用直接证明法,还是数值试验法,要证明差分方 程收敛性都是比较困难的。
t
1。但是,对于
x
不同的a,Δt,Δx,FTBS差分格式的稳定条件是不同的(见
图b)。

n1 j


n j
r

n j

n j1

1
r

n j

r
n j1
(b)
通过对(b)式的数值分析可知:
当a=1,Δx=0.1,r=0.8,则有:
u n 1 j

0.2u
n j
① 相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的
程度,相容性是有限差分算法(包括有限体积算法)首先必
须满足的有效性条件。
② 相容性要求对于求解区域内任意点 x j , tn ,在 t, x 同时趋近于0,
截断误差Rnj 趋近于0。如果 t, x 不是同时趋近于0或并不趋近于0,

t

2u x2
n j


1 2
2u t 2
t

1 6
3u t 3
t 2


(t
3
)


(x
2
)

n
j

当 t, x 0时,上等式右侧所有项都趋近0,差分方程趋近
于原微分方程,即FTCS差分方程和原方程是相容的。

关于差分方程相容性需要作以下说明:

n j
,而计算到n+100时
刻,(xj,tn+100)点的计算误差将发展到
r

1
100

n j

r100
n j1

假定只有在节点(xj,tn)上存在误差

n j
,其他各节点的计算
误差为零,则若取r=0.8,则

n100 j

1.8100

n j

3.37
1025

n j

由此可以看出,这个计算误差必定会将差分方程精确解原来面
关于差分方程收敛性需要作以下说明: (1) 差分方程收敛性表示差分方程数值解和微分方程精确解
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