实变函数与泛函分析课程教学大纲汇总
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110047课程名称：实变函数与泛函分析英文名称：Real variable analysis And Functional analysis课程类别：专业基础课学时：50学分：3适用对象：信息与计算科学专业本科考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％先修课程：数学分析和高等代数二、课程简介中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning.三、课程性质与教学目的本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
实变函数与泛函分析I课程教学大纲
实变函数与泛函分析I课程教学大纲（总学时数：48，学分数：3）一、课程的性质、任务和目的实变函数是数学专业必修课之一，是近代分析数学领域的基础。
本课程数学思想与方法密集，是进一步掌握现代数学理论，开展理论和应用研究必不可少的基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握实变函数的基本理论、基本知识与基本方法，为以后进一步的深入学习打下坚实的基础。
二、课程基本内容和要求（一）集合1.集合（1）集合的概念（理解）（2）集合的表示（掌握）（3）集合的运算（掌握）2.对等与基数（1）集合的对等（理解）（2）集合的基数（理解）（3）Bernstein定理（掌握）3.可数集合（1）可数集合的概念（理解）（2）可数集合的性质（掌握）（3）常见的可数集合（掌握）4.不可数集合（1）不可数集合的概念（理解）（2）常见的不可数集合（了解）重点：对等、基数、可数集合、不可数集合难点：对等（二）点集1.度量空间（1）距离的概念（理解）（2）度量空间的概念（理解）（3）邻域及性质（掌握）（4）n维欧氏空间（掌握）2.聚点、内点、界点（1）聚点的概念（理解）（2）内点的概念（理解）（3）界点的概念（理解）3.开集、闭集、完备集（1）开集的概念（理解）（2）闭集的概念（理解）（3）完备集的概念（理解）（4）有限覆盖定理（掌握）4. 直线上开集、闭集及完备集的构造（1）直线上开集的构造（掌握）（2）直线上闭集及完备集的构造（掌握）（3）康托尔三分集（了解）重点：聚点、内点、界点、开集、闭集难点：完备集（三）测度论1.外测度（1）外测度的概念（理解）（2）外测度的性质（掌握）2.可测集（1）可测集的概念（理解）（2）可测集的性质（掌握）3.可测集类重点：外测度、可测集的概念及相关理论难点：不可测集的构造。
（四）可测函数1.可测函数及性质（1）可测函数的概念（理解）（2）可测函数的性质（掌握）2.叶果洛夫定理（掌握）3.可测函数的构造（掌握）4.依测度收敛（1）依测度收敛的概念（理解）（2）依测度收敛的性质（掌握）重点：可测函数、依测度收敛难点：可测函数的构造（五）积分论1.非负简单函数的勒贝格积分（1）非负简单函数勒贝格积分的概念（理解）（2）非负简单函数勒贝格积分的性质（掌握）2.非负可测函数的勒贝格积分（1）非负可测函数勒贝格积分的定义（理解）（2）非负可测函数勒贝格积分的性质（掌握）（3）Levi定理（掌握）（4）Foutou引理（掌握）3.可测函数的勒贝格积分（1）可测函数勒贝格积分的概念（理解）（2）可测函数勒贝格积分的性质（掌握）（3）Lebesgue积分的绝对连续性（掌握）（4）Lebesgue控制收敛定理（掌握）重点：非负函数的积分的定义，可积函数的性质难点：一般可积函数的积分定义、性质。
《泛函分析》课程教学大纲
《泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：泛函分析英文名称：Functional analysis课程类别：选修课学时：54学分：3适用对象: 数学类本科生考核方式：考察先修课程：数学分析，高等代数，实变函数二、课程简介《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，是高等师范院校数学专业的一门重要专业课，它是在学生掌握了数学分析、高等代数的理论知识的基础上，继实变函数之后开设的。
本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等。
通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，工程技术等领域有很大帮助。
三、课程性质与教学目的1、本课程是数学基础之一，授课对象为数学专业学生。
在讲授和学习时，应注重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的逻辑思维习惯，让学生掌握全面考虑问题的思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他现代专业数学理论课。
2、本课程主要内容包括：⑴度量空间和赋范线性空间；⑵有界线性算子和连续线性泛函；⑶内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等内容。
3、本大纲的教学总时数为54学时（含习题课），各章节教学时数的具体分配，请参考附表。
4、本课程以课堂讲授为主，讨论辅导为辅，课堂练习与课外作业相结合。
5、在制定本教学大纲时，为了明确对教学大纲中所列具体内容的要求程度，将本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分，对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。
四、理论教学内容与教学基本要求1、第一章度量空间和赋范线性空间（14学时）(1) 度量空间的进一步例子(2) 度量空间中的极限，稠密集，可分空间（几类特殊的点集，稠密性与可分性）(3) 连续映射（度量空间上的连续映射）(4) 柯西(Cauchy)点列和完备度量空间(5) 度量空间的完备化（完备的距离空间，第一第二类型集，距离空间的完备化）(6) 压缩映射原理及其应用(7) 线性空间(8) 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间教学目的及要求：要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
《泛函分析》课程教学大纲
《泛函分析》课程教学大纲课程编码：171210140课程性质：专业方向限选课程适用专业：统计学专业所需先修课数学分析高等代数实变函数论学时学分：32学时1.5学分编写单位：数学与信息科学系一、课程说明1、课程简介：泛函分析课程是数学与应用数学专业的专业课程，是数学分析的后续课程，是近代数学中的一个重要分支，在古典分析、线性代数、线性微分方程、积分方程、变分学、逼近论等的开展基础上逐渐形成。
其内容已渗透到逼近论、偏微分方程、概率论、最优化理论等各方面.近年来，在工程技术上更是获得了广泛而有效的应用.它的开展受到了数学物理方程和量子力学的推动，后来又整理、概括了经典分析和函数论的许多成果，因此学习泛函分析时需要学生掌握分析、代数、概率论、拓扑学等基本知识，是数理方程、稳定性理论等后续课程的必要基础课程.2、教学目的要求：通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握度量空间，赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为学习数学的其它专业课打下扎实的理论基础.3、教学重点难点教学重点：离散度量空间、序列空间、有界空间、可测函数空间的性质、度量空间中极限、稠密集、可分空间的概念、用极限的形式和集合对应关系给出两个重要定理、空间的结构理论，度量收敛；完备度量空间的定义、压缩映照原理及其应用、对向量组的线性相关、线性无关定义的理解和判定向量组的线性相关性、三个定理的内容；有界线性算子与连续线性泛函，算子的范数，经典空间，l p的共地空间、内积空间，施瓦茨不等式，直交投影，希尔伯特空间中的规范正交系，贝塞尔不等式，帕塞瓦尔不等式，同构映射，连续线性泛函，自共朝，本章难点柯西积分定理的证明、刘维尔定理的应用.本章内容第一节复积分的概念及其简单性质1.1复变函数积分的定义1.2复变函数积分的计算问题1.3复变函数积分的基本性质第二节柯西积分定理2.1不定积分2.2柯西积分定理的推广2.3柯西积分定理推广到复围线的情形第三节柯西积分公式及其推论3.1柯西积分公式3.1解析函数的无穷可微性3.2柯西不等式与刘维尔定理3.3摩勒拉定理第四章解析函数的幕级数表示法（8学时）教学目标1、使学生掌握复级数的基本概念及其相关性质，能够深刻认识理解复级数与实级数在概念、性质、定理上的区别与联系；2、使学生理解并掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理.本章重点.1、理解并掌握复级数的基本性质；2、理解并掌握幕级数敛散性的判别，收敛域的求法以及和函数的求法；3、能够熟练掌握并运用直接展法和间接展法，将某些解析函数展成泰勒级数,牢记sin z,cosz,—匚,一匚的展式，并注意展式的可展范围; 1-Z 1 + Z4、深刻理解解析函数零点的孤立性、唯一性定理及最大模定理，并能够综合运用证明有关数学问题.本章难点事级数的和函数在其收敛圆周上的状况、解析函数零点的孤立性、唯一性定理、最大模原理.本章内容第一节复级数的基本性质1.1复数项级数1.2一致收敛的复函数项级数1.3解析函数项级数第二节累级数1.1塞级数的敛散性1.2收敛半径的求法、柯西一阿达玛公式1.3基级数的解析性第三节解析函数的泰勒展式3.1泰勒定理3.2累级数的和函数在其收敛圆周上的状况3.3 一些初等函数的泰勒展式第四节解析函数零点的孤立性、唯一性定理4.1解析函数零点的孤立性4.3最大模原理第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点（6学时）教学目标使学生理解并掌握解析函数的罗朗展式的概念与展法，并注意与泰勒级数进行相关性质的比拟.深刻理解并牢固掌握可去奇点、极点、本性奇点的概念及等价定义.为下一章残数理论的学习打下坚实的基础.本章重点1、理解并掌握解析函数的罗朗展式以及罗朗级数与泰勒级数的关系.熟练掌握解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式的基本方法与技巧；5.理解并深刻认识孤立奇点的三种类型及分类方法，熟练掌握可去奇点、极点、本性奇点的概念及等价定义；6.了解解析函数在无穷远点处的性质.本章难点解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式的基本方法与技巧.本章内容第一节解析函数的罗朗展式1.1双边塞级数1.2解析函数的罗朗展式1.3罗朗级数与泰勒级数的关系1.4解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式第二节解析函数的孤立奇点2.1孤立奇点的三种类型2.2可去奇点2.3极点2.4本质奇点第六章留数理论及其应用（6学时）教学目标1、使学生理解并掌握留数的定义及留数定理，会利用留数定理求解复积分与实积分，并知晓其内在联系与区别.深刻理解留数定理与柯西积分定理、柯西积分公式之间的关系；2、理解并掌握辐角原理、儒歇定理，会判定复方程根的个数及存在范围. 本章重点1、理解并掌握留数的定义及留数的求法；2、深刻理解并熟练掌握留数定理并能够灵活运用留数定理求解复积分3、了解用留数定理计算实积分的理论及基本方法；4、深刻理解并熟练掌握辐角原理、儒歇定理，会判定复方程根的个数及存在范围.本章难点留数定理与柯西积分定理、柯西积分公式之间的关系.本章内容第一节留数1.1留数的定义及留数定理1.2留数的求法1.3函数在无穷远点的留数1.4用留数定理计算实积分简介第二节辐角原理及其应用2.1对数留数2.2辐角原理2.3儒歇定理三、使用教材及参考书指定教材：钟玉泉编，复变函数论（第三版），高等教育出版社,2001年.参考书：[1]张锦豪、邱维元编，复变函数论，高等教育出版社,2001年.[2]钟玉泉编,复变函数学习指导书,高等教育出版社，1996年.[3]刚家泰，谭欣欣编,复变函数全程学习指导与解题能力训练,大连理工大学出版社,2001年.共辗算子，巴拿赫空间，汉恩一巴拿赫定理，一致有界性定理，逆算子定理，闭图像定理.教学难点：连续映射、空间完备性的证明、压缩映照原理及其应用、对向量组的线性相关、线性无关定义的理解和掌握一些判定定理、Holder不等式和Minkowski不等式的内容；有界线性算子与连续线性泛函；经典空间广〃的共辗空间，各种收敛性之间的各种联系，投影定理，斯捷克洛夫定理，汉恩一巴拿赫定理，一致有界性定理，逆算子定理，闭图像定理.5、教学手段及教学方法建议主要以教师讲授为主，适当的时候可以应用多媒体辅助教学.4、考核方式1）考核形式：考查2）开卷笔试3）期末总评成绩评定方法考试：试卷总分值100分，其中平时作业、期中考试及考勤占总评成绩的40%, 期末考查成绩占总评成绩的60%.5、学时分配表本课程的教学包括如下环节：课堂讲授，主要以教师讲授为主，要求学生课下预习；辅导或习题课，师生互动，边讲边练，解决学生学习过程中出现的一些问题；课外作业，通过对作业的批改，使学生加深巩固对所学内容的理解与掌握。
泛函分析课程教学大纲
（签名）
上海大学理学院（公章）
年月日
内容：规范直交系、直交系的完备性与完全性、直交化定理、可分Hilbert空间、泛函表达式、共轭空间、共轭算子、有界自共轭算子、投影算子的运算及不变子空间、Hermit泛函、有界二次泛函、谱系、谱测度及关系、酉算子的谱分解、谱测度、对称算子与自共轭算子、自共轭算子的谱分解、全连续自共轭算子、乘积谱测度、正常算子的谱分解、算子代数、算子的扩张与膨胀。
4．重点掌握开（闭）集、平均收敛、度量收敛、完备化定理、（C[a,b], L_p）中紧性判定法。
（二）线性算子（20学时）
内容：线性算子的有界性、连续性、算子空间、连续泛函、延拓定理、测度问题
（选）、共轭、强、弱收敛、弱列紧、共轭算子、逆算子定理、共鸣定理及应用、特征值、特征向量、正则点、谱点、不变子空间、全连续算子的谱与不变子空间。
1．了解内积、直交、投影、Hilbert空间、共轭空间概念，（以下为50学时外）
2．理解规范直交系、谱分解、谱测度、对称算子与自共轭算子、算子代数（选）概念
3．掌握并能熟练应用直交系的完备性与完全性、直交化定理、泛函表达式、投影算子的运算及不变子空间、Hermit泛函、有界二次泛函、谱系、谱测度及关系、酉算子的谱分解（以下选讲）、自共轭算子的谱分解、正常算子的谱分解
《泛函分析》课程教学大纲
课程
编号
01025051
01825142
课程
名称
（中文）泛函分析
（英文）Functional Analysis
课
程
基
本
情
况
1．学分：5学时：50（课内学时：50实验学时：）
2．课程性质：学科基础必修课
3．适用专业：理学
教学大纲_实变函数与泛函分析
教学大纲_实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析是高级数学中的一门重要课程，主要涉及实变函数的性质及其应用，以及泛函分析中的函数空间与算子的概念和性质。
本教学大纲旨在培养学生对实变函数与泛函分析的基本理论和方法的理解与应用能力。
一、课程目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.了解实变函数的定义、性质和基本的分析方法；2.掌握实数的完备性和实变函数的连续性、可微性等基本概念与定理；3.熟悉重要的实变函数序列收敛的理论和方法；4.理解一元多项式空间及其上的内积、范数等概念；5.了解泛函分析的基本概念，如线性算子、单射、满射、闭算子等；6.掌握泛函分析中重要的泛函空间和赋范向量空间的性质与应用。
二、教学内容1.实变函数的性质与基本分析方法（12学时）1.1实数的完备性与实变函数的极限概念1.2实变函数的连续与可导性质1.3实变函数的积分与微分概念与定理2.实变函数的序列收敛理论与方法（16学时）2.1一致收敛性与收敛级数理论2.2函数项级数的收敛理论与方法2.3 Weierstrass逼近定理的证明与应用2.4傅里叶级数的概念、性质及展开方法3.一元多项式空间与泛函分析基础（14学时）3.1一元多项式空间及其上的内积与范数3.2一元多项式空间中的正交多项式与勒让德多项式3.3泛函分析的基本概念与定理4.泛函空间与线性算子（18学时）4.1泛函空间的定义与性质4.2无穷维度空间的收敛性与紧性4.3线性算子的基本性质与分类4.4线性算子的连续性与有界性5.算子的谱理论与泛函方程（20学时）5.1线性算子的谱理论与应用5.2巴拿赫空间的定义与性质5.3泛函方程的基本理论与应用5.4泛函方程的解的存在唯一性定理三、教学方法1.理论教学：通过讲述与讲解基本概念与定理，引导学生掌握基本原理和方法。
2.解题指导：通过典型例题和习题，引导学生独立思考问题，掌握解题方法和技巧。
3.讨论与交流：鼓励学生参与讨论，提问和回答问题，促进学生之间的交流与合作。
《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业
实变函数与泛函分析教学大纲应用数学与信息计算等专业使用修订单位：山东财政学院统计与数理学院修订时间： 2009年8月修订课程中文名称：实变函数与泛函分析课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis课程号：30001001学时数：68学分数：4先修课程：数学分析、线性代数适用专业：应用数学与信息计算等专业。
一、课程的性质和任务1. 课程性质《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。
《实变函数》课程结合抽象测度与积分理论, 介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。
通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。
同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。
《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。
学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。
《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业
实变函数与泛函分析教学大纲应用数学与信息计算等专业使用修订单位：山东财政学院统计与数理学院修订时间：2009年8月修订课程中文名称：实变函数与泛函分析课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis 课程号：30001001学时数：68学分数：4先修课程：数学分析、线性代数适用专业：应用数学与信息计算等专业。
一、课程的性质和任务1. 课程性质《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。
《实变函数》课程结合抽象测度与积分理论, 介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。
通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。
同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。
《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。
学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。
《泛函分析》教学大纲
《泛函分析》教学大纲课程编码：110819课程名称：泛函分析学时/学分：54/3先修课程：《数学分析》、《实变函数》适用专业：数学与应用数学开课教研室：分析与方程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的一门专业选修课，是现代数学中的一个较新的重要分支，它综合地运用分析、代数和几何的观点与方法，研究分析数学，现代物理和现代工程技术提出的许多问题。
2．课程任务：通过该课程的学习，使学生掌握泛函分析中的基本概念、基本方法。
初步了解其思想方法对现代纯粹数学与应用数学、理论物理及现代工程技术理论等问题的渗透，为今后更进一步的数学研究工作打下坚实的基础。
二、课程教学基本要求在概要讲述和掌握实变函数中的集合论和欧氏空间中的点集等预备知识的基础上，理解和掌握度量空间的定义、性质及其上度量的特征，熟练掌握度量空间的典型例子；线性赋范空间的定义和性质及典型的Banach空间例子；内积空间的定义和性质；Hilbert空间及其特征；理解线性有界算子（线性连续泛函）的概念、性质，了解线性算子空间和共轭空间的理论；初步理解和掌握空间中的四大基本定理；泛函延拓定理；一致有界性定理；逆算自定理和闭图象定理；理解线性算子的谱理论初步等。
成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章距离空间与赋范空间1．教学基本要求通过本章学习使学生理解空间的线性结构和度量结构以及两者的结合，其中包括度量空间、赋范线性空间和内积空间，以及它们的拓扑结构和空间结构等。
2．要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章教学使学生理解泛函分析研究的对象，掌握度量空间的定义及度量空间中极限、稠密集、可分空间的概念，能够对具体的问题进行判断；进一步了解连续映射的概念；掌握完备的度量空间；理解压缩映射原理，掌握压缩映射原理，能够应用压缩映射原理证明实际问题；掌握线性空间、赋范线性空间和Banach空间。
实变函数与泛函分析-教学大纲
实变函数与泛函分析-教学大纲第一篇：实变函数与泛函分析-教学大纲实变函数与泛函分析教学大纲Functions of Real Variables and Functional Analysis一、基本信息适用专业：信息技术专业课程编号：教学时数：72学时学分：4 课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版曹广福.高等教育出版社参考书[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue 积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。
三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。
期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。
四、课程教学内容及课时分配第一章集合与点集要求1、掌握集合的势，可数集2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理主要内容集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理重点集合的势，可数集课时安排（4学时）1、集合的势，可数集2学时2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理2学时第二章 Lebesgue测度要求1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造3、熟练掌握可测函数的收敛性主要内容：Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性重点外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性课时安排（12学时）1、外测度、可测集以及它们的性质4学时2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造4学时3、可测函数的收敛性4学时第三章Lebesgue积分要求：1、熟练掌握可测函数的积分及性质2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理主要内容：可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann 可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理重点可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理课时安排：（16学时）1、可测函数的积分及性质6学时2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件6学时3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理4学时第四章L空间要求：1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性2、熟悉L空间的内积，标准正交基3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：pLp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换重点Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性课时安排（10学时）1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性4学时2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法4学时3、卷积与Fourier变换2学时 pp第五章 Hilbert空间理论要求：1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱主要内容：距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。
泛函分析大纲
《泛函分析》教学大纲数学与应用数学（师范类）专业用一、说明部分（一）课程性质、目的和教学任务泛函分析是数学学科的一门专业限选课程。
本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。
通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
泛函分析的前期课程是《数学分析》《高等代数》《实变函数》。
泛函分析课程主要讲授第一章度量空间和赋泛线性空间，第二章有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间三章内容。
通过泛函分析的教学，具体使学生了解和掌握度量空间，赋泛线性空间，有界线性算子，连续线性泛函的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础。
（二）课程的教学原则和方法本课程的教学原则是逻辑推理和理论分析相结合、讲解法与自学相结合的原则。
教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。
（三）课程的主要内容学时分配本课程为一学期课程，总学时为48学时，其中授课38学时，习题课10学时，各章节安排如下第一章度量空间和赋范线性空间32学时第二章有界线性算子和连续线性泛函10学时第三章内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间6学时（四）课程大纲的编写执笔人执笔人孙丽男黑河学院数学系函数论教研室审定。
二、正文部分第一章度量空间和赋范线性空间（一）教学的目的和要求1.理解泛函分析研究的对象，掌握度量空间的定义及度量空间中极限,稠密集,可分空间的概念，能够对具体的问题进行判断；2.进一步了解连续映射的概念；3.掌握完备的度量空间；4.理解压缩映射原理，掌握压缩映射原理，能够应用压缩映射原理证明实际问题；5.掌握线性空间、赋范线性空间和Banach空间；（二）教学重点1.度量空间2.完备度量空间3.压缩映射原理4.赋范线性空间5.Banach空间（三）教学难点1.完备度量空间2.压缩映射原理3.赋范线性空间（四）主要教学内容及学时分配1.度量空间2学时2.度量空间的极限,稠密集,可分空间4学时3.连续映射4学时4.柯西点列和完备度量空间4学时5.度量空间的完备化2学时6.压缩映射原理及其应用2学时7.线性空间4学时8.赋范线性空间和Banach空间4学时9.习题课6学时第二章有界线性算子和连续线性泛函（一）教学的目的和要求1.掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念；2.掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间；3.掌握线性同构的概念；（二）教学重点1.有界线性算子2.连续线性泛函3.有界线性算子空间4.共轭空间（三）教学难点1.有界线性算子空间2.共轭空间（四）主要教学内容及学时分配1.有界线性算子和连续线性泛函4学时2.有界线性算子空间和共轭空间4学时3.习题课2学时第三章内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间（一）教学的目的和要求1.熟练掌握内积空间中的基本概念2.了解逼近理论并熟练掌握投影定理及其应用（二）教学重点1.内积空间的基本概念2.投影定理（三）教学难点1.投影定理（四）主要教学内容及学时分配1.内积空间的基本概念2学时2.投影定理2学时3.习题课2学时三、考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
《实变函数与泛函分析》教学大纲
《实变函数与泛函分析》教学大纲前言实变函数是数学科学学院的重要基础课，也是近代数学中最重要，最基本的一个分分支，同时这门课程又是许多后续课程如泛函分析，概率论，微分几何等的基础，泛函分析是数学与信息科学学院高年级学生分析专业方向的选修课程。
本课程是一门重要的数学选修课程，作为数学分析和实变函数课程的深化，具有承上启下的作用，是现代数学最重要的入门课程。
通过这一课程，使学生了解许多数学问题可以通过赋范线性空间的理论而一般地解决。
它一方面为后继课程提供所需的理论基础，同时还为培养学生的抽象思维能力和独立工作能力提供必要的训练。
因而该课程是学习其他数学分支与进一步地科研工作的重要基础和工具。
设置本课程的目的是：通过本学科的学习，培养学生逻辑思维能力及论证能力，并用所学的知识解决某些数学分析中遗留下的问题，为日后更高阶段的学习，特别是研究生阶段的实分析学习打下坚实的基础。
本课程的学习要求是：使学生掌握实变函数与泛函分析的基本概念，基本知识，诸如集合，欧氏空间，Lebesgue测度，Lebesgue可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，空间，空间，Hilbert空间理论，Hilbert空间，Banach空间，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。
先修课程要求：学生修完《数学分析》、《高等代数》等基础课本课程计划：90学时，5学分，选用教材：王声望，郑维行著，《实变函数与泛函分析概要》，高等教育出版社，1998年教学手段：课堂讲授考核方法：闭卷考试教学进程安排表第一章集合一、学习目的熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉R n的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
二、课程内容§1集合及其运算集合的表示法；集合的基本运算；一些常用集合的符号；集合序列的上、下限集。
实变函数与泛函分析教学大纲-数学与信息科学学院
《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编码：110840课程名称：实变函数与泛函分析学时/学分：72/4先修课程：《数学分析》、《复变函数》适用专业：信息与计算科学开课教研室：分析与程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：《实变函数与泛函分析》是大学数学系的重要专业方向课之一，它是数学分析的延续和发展。
2．课程任务：通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。
二、课程教学基本要求实变函数与泛函分析包括两部分内容：“实变函数”与“泛函分析”。
“实变函数”主要学习测度论、可测函数论、积分论、微分与不定积分；“泛函分析”是通过在集合中引入各种结构，包括代数结构，拓扑结构、测度结构、序结构以及这些基本结构的各种复合，形成了各种各样的抽象空间，本课程主要研究这些抽象空间中的距离空间，赋范线性空间，内积空间的性质及其映射(线性算子和线性泛函)性质。
三、课程教学内容第一章 集合1.教学基本要求通过本章的系统学习，使学生熟悉集合列的上极限集、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示，集合的对等、基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念，可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质，自然数集、整数集、有理数集等的可数性，有理数集在实数轴上的稠密性。
2.要求学生掌握的基本概念、理论通过本章教学使学生熟悉集合列的上、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示；掌握单调集合列{Ak}的概念及其极限集的求法。
熟悉集合的对等概念，熟悉对等是一个等价关系；熟悉集合对等的Cantor-Bernstein定理; 掌握集合对等的夹挤定理。
熟悉集合的基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念；掌握可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质; 掌握自然数集、整数集、有理数集等的可数性；掌握有理数集在实数轴上的稠密性；熟悉无理数集、实数集、区间点集等的不可数性。
泛函分析教学大纲
泛函分析教学大纲泛函分析教学大纲一、课程简介泛函分析是现代数学的重要分支之一，其研究对象为函数空间、算子、无限维空间以及相关概念与性质。
本课程将系统介绍泛函分析的基本理论、方法及其应用。
通过本课程的学习，学生将掌握泛函分析的基本概念、方法和技巧，为进一步学习其他数学课程以及解决实际问题打下坚实的基础。
二、教学目的1、掌握泛函分析的基本概念、方法和技巧；2、理解并掌握函数空间、算子、无限维空间等基本概念及其性质；3、理解并掌握泛函分析中的重要定理及其证明方法；4、能够运用泛函分析的思想和方法解决实际问题；5、培养抽象思维、逻辑推理和数学表达能力。
三、教学内容第一章绪论1、泛函分析的基本概念和发展历程；2、泛函分析的研究对象和基本方法；3、泛函分析的应用领域和重要性。
第二章函数空间基础1、函数空间的定义和例子；2、函数空间的运算和性质；3、连续函数的概念和性质；4、收敛性和完备性。
第三章线性算子和无限维空间1、线性算子的概念和例子；2、线性算子的性质和运算；3、无限维空间的定义和例子；4、无限维空间的性质和运算。
第四章拓扑和代数基础1、拓扑学的概念和基本概念；2、代数的基本概念和性质；3、群、环、域的基本概念和性质。
第五章泛函分析的核心理论1、紧算子和有界线性算子的概念和性质；2、开映射定理和逆算子定理；3、自伴算子和自伴方程；4、谱理论及其应用。
第六章泛函分析的应用1、微分方程和积分方程的泛函分析解法；2、最优化问题的泛函分析方法；3、控制理论的泛函分析方法；4、其他应用领域。
四、教学方法1、采用讲解、示例、练习相结合的教学方法，强调实际应用和实例分析；2、注重培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，加强数学表达能力的训练；3、利用多媒体技术辅助教学，提高教学效果。
五、教学评估1、课堂表现：包括提问、回答问题、参与讨论等情况；2、作业：包括课后练习、课堂作业、论文等；3、期中考试：考查学生对基本知识和理论的掌握情况；4、期末考试：全面考查学生对课程内容的掌握情况和应用能力。
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《实变函数与泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110047课程名称：实变函数与泛函分析英文名称：Real variable analysis And Functional analysis课程类别：专业基础课学时：50学分：3适用对象：信息与计算科学专业本科考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％先修课程：数学分析和高等代数二、课程简介中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoreticalcourse of mathematics which can be used in variable fields such as engineeringand technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. Theeducational aim in this course is to develop the abilities of students inanalyzing and solving practical problem by the special ways of Real variableanalysis And Functional analysis' thinking and reasoning.三、课程性质与教学目的本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。
本课程要求如下：1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
12. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。
3. 了解Lebesgue积分的概念，掌握收敛定理。
4. 理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。
5. 理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。
四、教学内容及要求第一章集合与测度（一）目的与要求1．使学生认识集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合，度量空间的概念和度量空间中的点集，直线上的测度和可测集，Lebesgue测度及相关理论；2．本章要求学生了解集族的交并关系，了解度量空间的概念和测度及可测集的概念。
（二）教学内容第一节集合与映射1．主要内容集族的交并关系，映射及其性质，集的对等。
2．基本概念和知识点集族的交并关系，映射，集的对等，可数集合。
3．问题与应用（能力要求）了解集族的交并关系，理解映射，集的对等，可数集合。
第二节度量空间1．主要内容度量空间的概念，度量空间中的点集。
2．基本概念和知识点度量空间，收敛性，度量空间的拓扑。
3．问题与应用（能力要求）理解度量空间的概念，理解度量空间的拓扑（包括了有关概念）。
第三节 Lebesgue可测集1．主要内容直线上点集的构造，Cantor三分集，Lebesgue可测集及测度的相关性质。
2．基本概念和知识点FG型集。
Lebesgue可测集，型集和三分集，构造区间，Cantor??3．问题与应用（能力要求）了解直线上点集的构造区间，熟悉Cantor三分集，了解Lebesgue 可FG型集。
型集和测集，?? 2（三）课后练习作业和思考题：第一节课后练习P19之1，2，3，6，8。
第二节课后练习P20之9，11，13，14，16，17；抄题18—28。
第三节课后练习P20之2932，36，37；抄题36，37。
（四）教学方法与手段本章教学主要采用课堂讲授的方法。
第二章可测函数（一）目的与要求要让学生理解简单函数和可测函数，了解可测函数的性质和构造，了解可测函数列的极限。
（二）教学内容第一节简单函数与可测函数1．主要内容简单函数，简单函数的表示和运算，可测函数，可测函数的判定。
2．基本概念和知识点简单函数，可测函数。
3．问题与应用（能力要求）了解简单函数及其表示和运算，理解可测函数的概念。
第二节可测函数的性质1．主要内容可测函数的运算，可测函数的构造，Lusin定理。
2．基本概念和知识点可测函数的运算，可测函数的构造，Lusin定理。
3．问题与应用（能力要求）了解可测函数的运算，了解可测函数的构造，理解Lusin定理。
第三节可测函数列的收敛性1．主要内容Egoroff定理，依测度收敛概念，Lebesgue定理，Riesz定理。
2．基本概念和知识点Egoroff定理，依测度收敛概念，Lebesgue定理，Riesz定理。
3．问题与应用（能力要求）了解三个定理和依测度收敛的概念。
（三）课后练习作业和思考题：第一节课后练习P38之2，3，6；抄题3第二节课后练习P38之7；抄题10，12，13，14。
第三节课后练习P38之23；抄题25，26，27。
（四）教学方法与手段本章教学主要采用课堂讲授的方法。
第三章Lebesgue积分（一）目的与要求1．本章介绍Lebesgue积分的概念与性质，积分收敛定理，Lebesgue积分与Riemann积分的关系，积分与微分，Fubini定理；2．要求学生理解Lebesgue积分的概念与性质，掌握Fubini定理。
（二）教学内容第一节 Lebesgue积分的概念与性质1．主要内容逐步讲解了可测函数的积分，区分有积分和可积性，讲解了积分的性质。
2．基本概念和知识点有积分和可积性，积分的性质。
3．问题与应用（能力要求）了解积分的定义，了解积分的性质。
第二节积分收敛定理1．主要内容Levi定理，Fatou定理，逐项积分定理，Lebesgue控制收敛定理。
2．基本概念和知识点Levi定理，Fatou定理，逐项积分定理，Lebesgue控制收敛定理。
3．问题与应用（能力要求）理解四个定理的作用。
第三节 Lebesgue积分与Riemann积分的关系1．主要内容定理3.21和定理3.22，给出了Riemann可积的充要条件。
2．基本概念和知识点定理3.21和定理3.22。
3．问题与应用（能力要求）了解定理3.21和定理3.22的内容。
第四节积分与微分1．主要内容讲解有界变差函数和绝对连续函数及相互关系。
42．基本概念和知识点有界变差函数，绝对连续函数。
3．问题与应用（能力要求）了解有界变差函数和它的表示，理解绝对连续函数的作用。
第五节 Fubini定理1．主要内容讲解重积分交换积分次序的Fubini定理。
2．基本概念和知识点Fubini定理。
3．问题与应用（能力要求）2及其上的测度，了解重积分和交换积分次序的Fubini定理。
了解L)R(（三）课后练习作业和思考题：第一节课后练习P68之1，2，3；抄题5，6。
第二节课后练习P69之10，11；抄题7，8，9。
第三节课后练习P69之12；抄题第四节课后练习P69之18；抄题19，24，26。
第五节课后练习P69之；抄题（四）教学方法与手段本章教学主要采用课堂讲授的方法。
第四章线性赋范空间（一）目的与要求本章介绍线性赋范空间的各有关知识和概念，包括收敛性，完备性，列紧性，不动点定理和拓扑空间简介。
（二）教学内容第一节线性空间1．主要内容介绍了线性空间，基和维数，子空间和凸集，空间的同构。
2．基本概念和知识点线性空间，基和维数，子空间和凸集，空间的同构。
3．问题与应用（能力要求）认识无穷维空间和凸集。
第二节线性赋范空间1．主要内容范数，距离，H?lder不等式和Minkowski不等式。
52．基本概念和知识点范数，距离，例，H?lder不等式和Minkowski不等式。
3．问题与应用（能力要求）理解线性空间的范数，距离，掌握H?lder不等式和Minkowski不等式。
第三节线性赋范空间中的收敛1．主要内容讲解收敛点列，等价范数，连续映射，稠密性和可分空间。
2．基本概念和知识点收敛点列，等价范数，连续映射，稠密性和可分空间。
3．问题与应用（能力要求）理解收敛点列，等价范数，连续映射，稠密性和可分空间。
第四节空间的完备性1．主要内容讲解Cauchy列，Banach空间，子空间的完备性和赋范线性空间的完备化。
2．基本概念和知识点Cauchy列，Banach空间，子空间的完备性，赋范线性空间的完备化。
3．问题与应用（能力要求）理解Cauchy列，Banach空间，子空间的完备性，掌握赋范线性空间的完备化和嵌入过程。
第五节列紧性与有限维空间1．主要内容讲解列紧的概念和性质，有限维空间的特征和Riesz引理。
2．基本概念和知识点列紧性，Riesz引理。
3．问题与应用（能力要求）理解集的列紧性，掌握Riesz引理。
第六节不动点定理1．主要内容讲解Banach压缩映像原理，Brouwer不动点定理，Schauder不动点定理。
2．基本概念和知识点Banach压缩映像原理，Brouwer不动点定理，Schauder不动点定理。
3．问题与应用（能力要求）理解Banach压缩映像原理，了解Brouwer不动点定理和Schauder 不动点定理及其应用。
第七节拓扑空间简介61．主要内容讲解开集，闭集，邻域，拓扑。
2．基本概念和知识点开集，闭集，邻域，拓扑，极限点。
3．问题与应用（能力要求）理解开集，闭集，邻域，拓扑，极限点。
（三）课后练习作业和思考题：第一节课后练习P95之1；抄题第二节课后练习P95之2；抄题第三节课后练习P95之4；抄题第四节课后练习P95之3；抄题第五节课后练习P95之8；抄题第六节课后练习P95之10；抄题第七节课后练习（四）教学方法与手段本章教学主要采用课堂讲授的方法。
第五章内积空间（一）目的与要求1．本章讲解内积空间与Hilbert空间，正交与正交补，正交分解定理，内积空间中的Fourier级数；2．要求学生理解内积和内积空间的定义，理解Hilbert空间，了解正交与正交补，了解正交分解定理，了解内积空间中的Fourier级数。