45分钟阶段测试(七)

45分钟阶段测试(七)
一、选择题
1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 2 D ．5
答案 A
解析 因为a 与b 共线，所以－2×2－k ＝0，
即k ＝－4，所以3a ＋b ＝3×(1,2)＋(－2，－4)＝(1,2)．
所以|3a ＋b |＝12＋22＝5，选A.
2．(2014·四川)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
答案 D
解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m,2m )＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)．根据题意可得c ·a |c ||a |＝c ·b |c ||b |，所以5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2. 3．已知A (3，0)，B (0,1)，坐标原点O 在直线AB 上的射影为点C ，则OA →·OC →等于( )
A.54
B.34 C ．－34
D ．1 答案 B
解析 由题意知|AB |＝2，|OC |＝
32
， ∠OAC ＝30°，∠AOC ＝60°，
所以OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos 60° ＝3×32×12＝34.
4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与
CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )
A.14a ＋12
b B.23a ＋13b C.12a ＋14
b D.13a ＋23
b 答案 B
解析 如图，AF →＝AD →＋DF →，
由题意知，△ABE ∽△FDE ，
∴DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，
∴DF →＝13
AB →， ∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13
b .
5.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC
→的值是( )
A.32
B.52 C ．2
D ．3 答案 B
解析 取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，
则OD ⊥BC ，AD →＝12
(AB →＋AC →)， BC →＝AC →－AB →，
所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →
＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →
＝12
(AB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝12(AC →2－AB →2)＝12
×(32－22) ＝52
.故选B. 二、填空题
6．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB
→的坐标是________．
答案 (4,7)
解析 由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.
设点B 为(x ，y )，则(2－x,3－y )＝－2(1,2)，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝7. 所以向量OB →的坐标是(4,7)．
7．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，
CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．
答案 22
解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14
AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316
AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.
8．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且c >b >a ，若向量m ＝(a －b,1)和n ＝(b
－c,1)平行，且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32
时，则b ＝________. 答案 2
解析 由向量m ＝(a －b,1)和n ＝(b －c,1)平行知a ＋c ＝2b ，①
由12ac sin B ＝32⇒ac ＝154
，② 由c >b >a 知B 为锐角，则cos B ＝35
， 即a 2＋c 2－b 22ac ＝35
，③ 联立①②③得b ＝2.
三、解答题
9．(2013·江苏)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；
(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．
(1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，
即a ·b ＝0，因此a ⊥b .
(2)解 因为a ＋b ＝(0,1)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1. 又0<β<α<π，
cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α，
sin α＋sin(π－α)＝1，
sin α＝12，α＝π6或α＝5π6，
当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，
当α＝5π6时，β＝π6.
10.如图所示，A 、B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .
(1)求OA →·OQ →＋S 的最大值；
(2)若CB ∥OP ，求sin(2θ－π6)的值．
解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)．
因为四边形OAQP 是平行四边形，
所以OQ →＝OA →＋OP →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)
＝(1＋cos θ，sin θ)．
所以OA →·OQ →＝1＋cos θ.
又平行四边形OAQP 的面积为S ＝|OA →||OP →|sin θ＝sin θ，
所以OA →·OQ →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π4)＋1.
又0<θ<π，所以当θ＝π4时，
OA →·OQ →＋S 取得最大值2＋1.
(2)由题意，知CB →＝(2,1)，OP →＝(cos θ，sin θ)，
因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.
又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1，
解得sin θ＝55，cos θ＝2
5
5，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝4
5，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝3
5. 所以sin(2θ－π
6) ＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6
＝45×3
2－35×1
2
43－3＝
10.。