2019-2020年高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修1
高中数学《幂函数》教案 新人教A版必修1
高中数学《幂函数》教案新人教A版必修1【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念.2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.【教学策略】【教学顺序】复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.（板书：.,,,,,12132 -=====x y x y x y x y x y ）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x ，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成ax y =的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中α是常数.自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.请同学们举出一个具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习1．指出下列函数中的幂函数..,,,,5xy x y x y x x y xy 51222===+==探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数..,,,,,212132--======x y x y x y x y x y x y请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数y x =与2y x =的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题；4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）总结性质虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0>α时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0<α时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．再来观察当0<α时的函数图象，（演示几何画板，显示0<α时图象，隐藏0>α时图象）幂函数在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当自变量x 取值从右边趋于0时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴，但不与y 轴相交，当自变量x 取值趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴，但不与x 轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0>α时，幂函数都过原点，在),0[+∞上是增函数；当幂指数0<α时，在),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．0>α 0<α在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；在),0[+∞上是增函数 在),0(+∞上是减函数 图象过原点在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析例1 比较下列两个代数式值的大小：.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(323225.15.123234343----++a a a分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.（1）解：考察幂函数43x y =，因为43x y =在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以43434.23.2<.以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(323225.15.12323----≤+>+>a a a例2 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 解：要使3232x x y ==有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．∵f （－x ）＝3232)(x x =-＝f （x ）， ∴函数32x y =是偶函数； x1 2 3 4 … y x = 01 1.59 2.08 2.52 …幂函数32x y =在［0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．思考与讨论幂函数)(R x y ∈=αα，当,5,,3,1 =α（正奇数）时，函数有哪些性质？ （演示画板）定义域为R ，值域为R ，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数. 当,6,,4,2 =α（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论. 课堂练习2．幂函数43x y =的单调递增区间是________.答案：[)+∞,0 3．2121211.1,9.0,2.1===-c b a 的大小关系是________.答案a >b >c归纳小结本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法. 布置作业作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示xe ——泰勒公式.)(!!3!2132R x n x x x x e nx∈++++++=。
高中数学 (幂函数)示范教案 新人教A版必修1
2.3 幂函数整体设计 教学分析幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x -1,y ＝x 21等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x 2,y=x -1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1课时教学过程导入新课 思路11.如果张红购买了每千克1元的水果w 千克,那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p 是w 的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a 2,这里S 是a 的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a 3,这里V 是a 的函数. 4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S 21,这里a 是S 的函数.5.如果某人t s 内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t -1km/s,这里v 是t 的函数. 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式,且底数都是变量).（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:幂函数）.思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数. 推进新课 新知探究 提出问题问题①:给出下列函数:y=x,y=x 21,y=x 2,y=x -1,y=x 3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢? 问题④:画出y=x,y=x 21,y=x 2,y=x -1,y=x 3五个函数图象,完成下列表格.问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？ 问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示. 讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:一般地,形如y=x α（x∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.如y=x 2,y=x 21,y=x 3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. ③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 21,y=x 2,y=x 3,y=x -1的图象. 列表:图2-3-1让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.⑥幂函数y=x α的性质.（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）； （2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x 2的图象都在y=x 图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x 2的图象都在y=x 的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x 向原点靠近时,图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴,当x 慢慢地变大时,图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 应用示例思路1例1判断下列函数哪些是幂函数. ①y=0.2x;②y=x -3;③y=x -2;④y=x 51.活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=x α（x∈R ）的函数称为幂函数,变量x 的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.解：①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;②y=x -3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;③y=x -2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; ④y=x 51的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数. 点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断. 变式训练判别下列函数中有几个幂函数？①y=x 31;②y=2x 2;③y=x 32;④y=x 2+x;⑤y=-x 3.解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x 2的系数为2,因此不是幂函数;④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;⑤的变量x 3的系数为-1,因此不是幂函数.例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. （1）y=x 32,（2）y=x23 ,（3）y=x -2.活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.解：（1）要使函数y=x 32有意义,只需y=32x 有意义,即x∈R .所以函数y=x 32的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x 32是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数.（2）要使函数y=x23-有意义,只需y=231x 有意义,即x∈R +,所以函数y=x23-的定义域是R +,由于函数y=x23-的定义域不关于原点对称,所以函数y=x23-是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.（3）要使函数y=x -2有意义,只需y=21x有意义,即x≠0,所以函数y=x -2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x -2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数. 点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组. 例3证明幂函数f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导. 证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性. 证明：任取x 1,x 2∈［0,+∞),且x 1＜x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=21x -x =212121))((x x x x x x ++-=2121x x x x +-,因为x 1-x 2＜0,x 1+x 2＞0,所以2121x x x x +-＜0.所以f(x 1)<f(x 2),即f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数.点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x 1)与f(x 2)的符号要一致. 思路2例1函数y ＝（x 2-2x ）21-的定义域是( )A.{x|x≠0或x≠2}B.（-∞,0）∪（2,＋∞）C.（-∞,0］∪［2,＋∞)D.（0,2） 分析：函数y ＝（x 2-2x ）21-化为y=xx 212-,要使函数有意义需x 2-2x ＞0,即x ＞2或x ＜0,所以函数的定义域为{x|x ＞2或x ＜0}. 答案：B 变式训练函数y ＝（1-x 2）21的值域是( )A.［0,＋∞)B.（0,1］C.（0,1）D.［0,1］ 活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导. 函数的值域要根据函数的定义域来求.函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法. 分析：令t ＝1-x 2,则y ＝t ,因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1. 答案：D点评：注意换元法在解题中的应用. 例2 比较下列各组数的大小：（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨. 比较数的大小,常借助于函数的单调性. 对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.解：（1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x 0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1.（2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x -0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x 0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成. 点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性. 知能训练1.下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x 3C.y=x1 D.y=2x2.下列结论正确的是( )A.幂函数的图象一定过原点B.当α<0时,幂函数y=x α是减函数C.当α>0时,幂函数y=x α是增函数D.函数y=x 2既是二次函数,也是幂函数 3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )A.y=x 3B.y=x 2C.y=x1D.y=x 234.已知某幂函数的图象经过点(2,2),则这个函数的解析式为. 答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x 21拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.①y＝x -1,y ＝x -2,y=x -3;②y＝x21-,y ＝x31-;③y=x,y=x 2,y=x 3;④y=x 21,y ＝x 31.活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示. 解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.图2-3-2 图2-3-3图2-3-4 图2-3-5①观察图2-3-2得到:函数y ＝x -1、y ＝x -2、y=x -3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x 的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x 轴,向上无限接近y 轴,指数越小,向右无限接近x 轴的图象在下方,向上离y 轴越远. ②观察图2-3-3得到: 函数y ＝x21-、y ＝x31-的图象都过点(1,1),且在第一象限随x 的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x 轴,向上无限接近y 轴,指数越小,向右无限接近x 轴的图象在下方,向上离y 轴越远. ③观察图2-3-4得到:函数y=x 、y=x 2、y=x 3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x 的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y 轴近,向下离y 轴近.④观察图2-3-5得到:函数y=x 21、y ＝x 31的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x 的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y 轴近,在点(1,1)的右边离x 轴近.根据上述规律可以判断函数图象的分布情况. 课堂小结1.幂函数的概念.2.幂函数的性质.3.幂函数的性质的应用. 作业课本P 87习题2.3 1、2、3.设计感想幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.习题详解(课本第79页习题2.3) 1.函数y=21x 是幂函数. 2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α, 因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v=k·r 4； （2）把r=3,v=400代入v=k·r 4中,得k=43400＝81400,即v=81400r 4；（3）把r=5代入v=81400r 4,得v=81400×54≈3 086（cm 3/s ）,即r=5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s.。
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修
高中数学（幂函数）示范教案新人教A版必修一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解幂函数的定义和性质；（2）会求幂函数的导数；（3）能够运用幂函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳幂函数的性质，培养学生的逻辑思维能力；（2）利用信息技术手段，展示幂函数的图象，提高学生的直观认知能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点1. 重点：幂函数的定义和性质，幂函数的导数。
2. 难点：幂函数在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习指数函数、对数函数的性质；（2）提问：幂函数是什么？它的图象和性质是怎样的？2. 自主学习：（1）学生自主探究幂函数的定义和性质；3. 课堂讲解：（1）讲解幂函数的定义和性质；（2）讲解幂函数的导数；（3）举例说明幂函数在实际问题中的应用。
4. 课堂练习：（1）学生独立完成练习题；（2）教师点评答案，解答疑问。
5. 课堂小结：（2）教师点评并补充。
四、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 选取两个不同的幂函数，分析它们的性质和图象；五、教学反思1. 反思教学目标是否达成，学生掌握情况如何；2. 反思教学过程中是否存在问题，如何改进；3. 针对学生的反馈，调整教学策略，为下一节课做好准备。
六、教学评价1. 评价内容：学生对幂函数的定义、性质和导数的掌握程度，以及运用幂函数解决实际问题的能力。
2. 评价方式：课堂练习、课后作业、课堂讨论、小组合作等。
3. 评价指标：准确性、逻辑性、创新性、合作精神等。
七、教学拓展1. 对比分析幂函数、指数函数和对数函数的性质及其应用；2. 探讨幂函数在其他学科领域的应用，如物理学、化学等；3. 引入复合幂函数的概念，引导学生进一步探究。
八、教学资源1. 教材：新人教A版高中数学必修教材；2. 课件：幂函数的定义、性质和导数的课件；3. 练习题：幂函数相关练习题及答案；4. 信息技术手段：多媒体投影、网络资源等。
人教A版(2019)必修第一册3.3 幂函数 教案
【新教材】3.3幂函数（人教A 版）幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力． 数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
重点：常见幂函数的概念、图象和性质； 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数p =w 元，这里p 是w 的函数. 问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S =a 2，这里S 是a 的函数.21问题3：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数. 问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长a =S ，这里a 是S 的函数.问题5：如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v =t －1km/s ，这里v 是t 的函数. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本89-90页，思考并完成以下问题 1. 幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
2019-2020年高中数学幂函数教案新课标人教版必修1(A)
2019-2020年高中数学幂函数教案新课标人教版必修1(A)一．教学目标：1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;（2）教学用具：多媒体三．教学过程：引入新知阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.（1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方（4）求算术平方根（5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.探究新知1．幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）（2）（3）（4）（5）一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数上是增函数 证：任取＜则 12()()f x f x -= = = 因＜0，＞0所以，即上是增函数. 思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得，你能否用这种作比的方法来证明上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1） （2） （3） 分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ 作业：P 92 习题 2.3 第2、3 题2019-2020年高中数学幂函数教案新课标人教版必修1(B)三维目标 一、知识与技能1.理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象.2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质. 二、过程与方法1.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.2.使学生进一步体会数形结合的思想. 三、情感态度与价值观1.通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.2.利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.教学重点常见幂函数的概念、图象和性质. 教学难点幂函数的单调性及比较两个幂值的大小. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、创设情景，引入新课（多媒体显示以下5个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数p =w 元，这里p 是w 的函数.问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t－1 km/s，这里v是t的函数.引导学生观察上述例子中函数模型，几个函数表达式的共同特征：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量.结论：变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.（引入新课，书写课题）二、讲解新课1.幂函数的概念师：如果设变量为x，函数值为y，就得到函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x.它们的一般式为y=xα.（得出幂函数的定义，师板书）一般地，函数y=xα叫做幂函数（power function），其中x是自变量，α是常数.合作探究：幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念，明确两者的区别，得出如下结论）结论：从它们的解析式来看有如下区别：幂函数——底数是自变量，指数是常数；指数函数——指数是自变量，底数是常数.2.几个常见幂函数的图象和性质请在同一坐标系内画出幂函数y=x、y=x2的图象.根据同学们的学习经历，请同学们在同一坐标系内画出函数y=x3，y=x－1，y=x的图象.（生动手画图，师巡视，进行个别辅导，明确作以上函数图象的步骤和方法，指导学生借助计算器作出函数y=x3，y=x－1，y=x的图象）.借助计算机利用《几何画板》软件，画出函数y=x3，y=x－1，y=x的图象.合作探索：观察函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象，将你发现的结论写在下表内.（师多媒体显示如下图表，师生共同完成下列表格的填写）y =x y=x2y=x3y=x－1y=x 定义域值域奇偶性单调性定点合作探索：根据上表的内容并结合图象，试总结函数y=x，y=x，y=x，y=x，y=x的共同性质.让学生交流，师结合学生的回答组织学生总结出如下性质：（1）函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象都过点（1，1）；（2）函数y=x，y=x3，y=x－1是奇函数，函数y=x2是偶函数；（3）在第一象限内，函数y=x，y=x2，y=x3，y=x是增函数，函数y=x－1是减函数；（4）在第一象限内，函数y=x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.合作探索：函数y=x3，y=x是增函数，y=x－1在区间（－∞，0）和区间（0，+∞）上是减函数，能否说函数y=x－1在定义域内是减函数？结论：不能说函数y=x－1在定义域内是减函数.理由：如果说函数y=x－1在定义域内是减函数，根据函数单调性的定义，对于定义域（－∞，0）∪（0，+∞）内的任意的自变量的值，当x1、x2∈（－∞，0）∪（0，+∞）且x1＞x2，恒有y1＜y2，但在－2＜1时，（－2）－1＜1－1，不能满足减函数的定义.方法引导：当函数f（x）的定义域不连续时，如果它在两区间上都单调递增或单调递减，不能说函数f（x）在定义域上单调递增或单调递减，需分区间分别叙述函数f（x）在各个区间上的单调性.3.例题讲解【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x；（2）y=x；（3）y=x－2.方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.观察以上函数的解析式，解析式中的自变量x有哪些限制？结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域.师：现在我们就能解决这个问题了.解：（1）函数y=x，即y=，其定义域为R，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减.（2）函数y=x，即y=，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减.（3）函数y=x－2，即y=，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.【例2】证明幂函数f（x）=在［0，+∞）上是增函数.请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答，师板书.证明：设0≤x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=－==，因为x1－x2＜0，+＞0，所以f（x1）＜f（x2），即幂函数f（x）=在［0，+∞）上是增函数.以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得＜1后，要比较f（x1）与f（x2）的大小，要注意分母的符号.合作探究：【例3】比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1；（2）（－），（－），1.1；（3）3.8，3.9，（－1.8）；（4）31.4，51.5.方法指导：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.解：（1）∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y=x中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1.（2）（－）=（），（－）=（），1.1=［（1.1）2］=1.21.∵幂函数y=x在（0，+∞）上单调递减，且＜＜1.21，∴（）＞（）＞1.21，即（－）＞（－）＞1.1.（3）和学生一起分析：利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8＜1，3.9＞1，（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小.（4）和学生一起分析：它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5.方法总结：（1）在第（1）题中，底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（2）在第（2）题中，通过观察发现，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小.在比较幂值大小问题时，分析数据特征，合理变换数据形式，是比较数值大小的方法之一.（3）在第（3）题中，若所给的几个数底数和指数都不能化成相同的，可分组分别根据各自对应的函数的单调性比较大小，再借助于中间量1，－1或0这些中间桥梁来比较它们的大小.（4）在第（4）题中，底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较.4.目标检测（1）下列函数中，是幂函数的是A.y=－xB.y=3x2C.y=D.y=2x（2）下列结论正确的是A.幂函数的图象一定过（0，0）和（1，1）B.当α＜0时，幂函数y=xα是减函数C.当α＞0时，幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数（3）函数y=x的图象大致是（4）幂函数f（x）=ax（m∈Z）的图象与x轴和y轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a和m.答案：（1）C （2）D （3）D （4）a=1，m=1，3，5，7.三、课堂小结1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象和性质.3.幂值的大小比较方法.四、布置作业板书设计2.3 幂函数1.幂函数的概念2.幂函数的性质一、幂函数的图象和性质探索过程二、例题解析及学生训练三、幂值大小比较的方法总结四、课堂小结与布置作业。
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修
高中数学(幂函数)示范教案新人教A版必修一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数的定义和性质；2. 掌握幂函数的图像和几何特征；3. 学会运用幂函数解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、分析和探究，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；2. 利用信息技术辅助教学，提高学生对幂函数图像的理解和应用能力。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力；2. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的应用意识。
二、教学重点与难点重点：1. 幂函数的定义和性质；2. 幂函数的图像和几何特征；3. 幂函数在实际问题中的应用。
难点：1. 幂函数的性质的推导和证明；2. 幂函数图像的分析和理解；3. 幂函数在实际问题中的灵活运用。
三、教学过程1. 导入：1.1 复习相关概念：函数、指数函数、对数函数；1.2 提问：幂函数在实际生活中有哪些应用？2. 知识讲解：2.1 引入幂函数的概念；2.2 讲解幂函数的性质；2.3 分析幂函数的图像和几何特征。
3. 案例分析：3.1 分析实际问题，引入幂函数；3.2 利用幂函数解决实际问题。
4. 课堂练习：4.1 练习幂函数的性质和图像分析；4.2 运用幂函数解决实际问题。
四、作业布置1. 复习幂函数的定义和性质；2. 分析幂函数的图像和几何特征；3. 运用幂函数解决实际问题。
五、教学反思本节课通过引入幂函数的概念，讲解幂函数的性质，分析幂函数的图像和几何特征，以及运用幂函数解决实际问题，旨在培养学生对幂函数的理解和应用能力。
在教学过程中，注意引导学生观察、分析和探究，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
利用信息技术辅助教学，提高学生对幂函数图像的理解和应用能力。
在作业布置方面，注重巩固所学知识，培养学生的自主学习能力。
在教学反思中，要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行针对性教学，提高教学效果。
六、教学拓展1. 介绍幂函数在其他领域的应用，如物理学、化学、经济学等；2. 探讨幂函数与其他函数的关系，如指数函数、对数函数等；3. 引导学生进行课外阅读，了解幂函数的历史和发展。
2019_2020学年高中数学第二章2.3幂函数教案新人教A版必修1
2．3 幂函数[目标] 1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点] 幂函数的定义、图象和性质． [难点] 利用幂函数的性质解决有关问题.知识点一 幂函数的概念[填一填]一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y ＝2x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝(x ＋1)3是幂函数吗？ 提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数． 2．幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)有何区别？提示：幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x中，底数是常数，指数是自变量． 知识点二 幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x12 的图象如下图．[答一答]3．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x 12 .(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.4．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．知识点三幂函数的性质[填一填]五类幂函数的性质[答一答]5．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？提示：α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数；α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数．类型一 幂函数的概念[例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m －13为幂函数，则m 等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．－2[答案] (1)B (2)C[解析] (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.(2)由幂函数的定义可知m 2－3m ＋3＝1， 即m 2－3m ＋2＝0.解得m ＝1或m ＝2.故选C.幂函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1] (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( C )A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)已知函数y ＝(m 2＋2m －2)xm ＋2＋2n －3是幂函数，则m ＝－3或1，n ＝32.解析：(1)由幂函数定义知k ＝1，把⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入y ＝x α得α＝12，∴k ＋α＝32.选C.(2)因为函数y ＝(m 2＋2m －2)xm ＋2＋2n －3是幂函数，由幂函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得m ＝－3或1，n ＝32.类型二 幂函数的图象[例2] 下图是幂函数y ＝x m、y ＝x n与y ＝x －1在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1 [答案] B[解析] 由y ＝x m 的图象是横卧抛物线形，知0<m <1；由y ＝x n的图象是双曲线，知n <0.作直线x ＝x 0(0<x 0<1)，与y ＝x n 、y ＝x －1的图象分别交于点A 、B ，由“点低指数大”知n <－1.故选B.在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．[变式训练2] 幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x 12的图象经过的区域对应的序号有( D )A．④⑦ B．④⑧C．③⑧ D．①⑤解析：∵x－x＝x(x－1)，当0<x<1时，x－x<0，即x<x<1，∴幂函数y＝x 12的图象经过区域①；当x>1时，x－x>0，即x>x>1，∴幂函数y＝x 12的图象经过区域⑤.类型三幂函数的性质应用[例3] 比较下列各组中三个数的大小．[分析] 本题考查幂函数及指数函数的单调性．比较幂值大小的方法[变式训练3] 比较下列各组中两个值的大小：1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( B ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－12．如果幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为( D ) A.12B ．2C ．1D ．4 解析：设f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，解得α＝－12.∴f (x )＝x －12 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝4. 3．函数y ＝x 13的图象是( B)解析：∵函数y ＝x13是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A ，D.当x >1,0<α<1时，y ＝x α在直线y ＝x 下方，排除C ，选B.4．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为－12.解析：∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12.5．比较下列各题中两个幂的值的大小：解：(1)∵y ＝x 12 为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9，∴1.1 12 >0.9 12.——本课须掌握的三大问题1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．学习至此，请完成课时作业22学科素养培优精品微课堂与幂函数有关的简单不等式问题开讲啦与幂函数有关的不等式是形如[f (x )]α>[g (x )]α的不等式，通常利用幂函数y ＝x α的定义域和单调性将其转化为关于x 的不等式组来求解．[典例] 已知幂函数y ＝xp －3(p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1) p 3 <(3－2a ) p3的实数a 的取值范围．[分析] 先根据y ＝x p －3的单调性和奇偶性及p ∈N *确定p 的值，再利用函数y ＝x p3 的单调性列不等式求解．[解] 因为函数y ＝x p －3在(0，＋∞)上是减函数，所以p －3<0, 即p <3，又因为p ∈N *，所以p ＝1或p ＝2.因为函数y ＝xp －3的图象关于y 轴对称，所以p －3是偶数，所以p ＝1，即y ＝x －2，(a＋1) 13 <(3－2a ) 13 .因为函数y ＝x 13 在(－∞，＋∞)上是增函数，所以a ＋1<3－2a ，即a <23，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23. [对应训练] 已知f (x )＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．解：由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，∴－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3. 又n＝2k，k∈Z，∴n＝0或n＝2.当n＝0或n＝2时，f(x)＝x 13 .∵f(x)＝x 13在R上单调递增，∴f(x2－x)>f(x＋3)等价于x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．。
2019-2020学年高中数学 2.3幂函数教学设计 新人教A版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 2.3幂函数教学设计 新人教A 版必修1教学目的：1．通过实例，了解幂函数的概念．2．具体结合函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解幂函数的变化情况．3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导． 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 一、新课导入先看五个具体的问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数； （2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为a ，求立方体的体积3a V =，这里V 是a 的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a =，这里a 是S 的函数； （5）如果某人t s 内骑车进行了1km ，那么他骑车的平均速度1-=t v km/s ，这里v 是t 的函数．讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数． 从上述函数中，我们观察到，它们都是形如y x α=的函数．二、师生互动，新课讲解： 1、幂函数的定义一般地，函数αx y =)(R a ∈叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数．对于幂函数αx y =，我们只讨论1,21,3,2,1-=α时的情形． 2、幂函数的图象在同一直角坐标系内作出幂函数x y =； 21x y =； 2x y =；1-=x y ；3x y =的图象．观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．3、幂函数的性质 1）．五个具体的幂函数的性质（1）函数x y =； 21x y =； 2x y =；3x y =和1-=x y 的图象都通过点（1，1）；（2）函数x y =；3x y =；1-=x y 是奇函数，函数2x y =是偶函数；（3）在区间),0(+∞上，函数x y =，2x y =，3x y =和21x y =是增函数，函数1-=x y 是减函数； （4）在第一象限内，函数1-=x y 的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近． 2）．一般的幂函数的性质（1）所有的幂函数αx y =在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数； α>1时，图象向上，靠近y 轴； 0<α<1，图景向上，靠近x 轴； α=1是条直线。
《幂函数》教案5(新人教A版必修1)
幂函数教学目标： ?????? 知识与技能：通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用。
?????? 过程与方法：能够类比研究一般函数、指数函数的过程与方法,来研究幂函数的图象和性质。
?????? 情感、态度、价值观：体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。
教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
教学难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律。
教学过程：一．温故知新复习指数函数、对数函数的定义形如)1,0(≠>=a a a y x 的函数称指数函数；形如)1,0(log ≠>=a a x y a 的函数称指数函数。
提问：之前还学过哪些函数？生答：一次函数、二次函数、反比例函数、正比例函数。
将这些函数的特殊形式写出：12,,-===x y x y x y提问：这些是指数函数吗？若不是说出它们与指数函数的相同点与不同点。
生答：相同点：幂的形式。
不同点：自变量x 的位置。
引出上述三个函数的一般形式αx y =，从而引出课题-------幂函数二．幂函数定义1．幂函数的定义：一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数叫称为幂函数(power function), 其中x 是自变量，α是常数。
概念辨析：在下列函数中哪些是幂函数？（1）x y 2= （2）x x y -=3 （3）2)2(-=x y （4）41xy = 同桌讨论，给出观点例1：已知幂函数y=f(x)的图像过点（4，2），试求出这个函数的解析式。
解：设αx y =，又过（4，2），所以212124x y =⇒=⇒=αα三．探究幂函数图象与性质可通过研究几个常见幂函数的图象与性质------在同一坐标系中画出21312,,,,x y x y x y x y x y =====-函数的图象，然后观察图象，归纳特征。
学生活动：在事先发给他们的作图纸上通过描点法画图。
教师巡视并辅导。
师生一起校对所画图象的正确性，并根据图象编成幂函数操，（帮助学生记图的同时，也提高学生学习的兴趣）。
2019-2020学年新人教A版必修一 幂函数 教案
个体差异性辅导教案学科：数学任课教师：授课时间：年月日（星期）姓名/班型/ 人班年级教材总课时____第____课教学目标知识目标：能力目标：重点难点课题：一、要点回顾二、课堂导入三、考点解析1．幂函数及其图像性质(1)定义：形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中，是自变量，是常数．注：如图，牢记常见五大幂函数图像与性质；(2)幂函数的图象及性质①位置：幂函数图像必过第象限，必不过第象限，当幂函数为偶函数时，图像过第象限；当幂函数为奇函数时，图像过第象限．②定点：α>0时，幂函数图像过定点，α<0时，幂函数图像过定点；③第一象限单调性：α>0时，幂函数在(0，＋∞)上单调，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上单调；④凹凸性：第一象限内，当α<0或时，幂函数图像是的；当0<α<1时，幂函数图像是的；注：从x轴正方向按逆时针，幂指数α由变．四、经典例题【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4, 8)，①求f(x)的解析式；②画出f(x)的草图．变式训练1：1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f (12)=________.2．请把相应的幂函数图象代号填入表格．① 23y x =； ② 2y x -=； ③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =； ⑥ 43y x =； ⑦ 12y x -=； ⑧ 53y x =.3．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m m 23＋－是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．【例2】(1)如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1(2)比较下列各组中幂值的大小： (1)30.8和30.7； (2)(2)0.60.3和1.20.3； (3) 和 ；变式训练2：1．如图是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( ) A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－122．比较幂的大小：a ＝1.30.7，b ＝0.71.3，c ＝0.81.3；【例3】已知幂函数y ＝x 23－－2m m (－1<m <3，m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，(1)求函数f (x )的关系式； 212318.1函数代号① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图象代号(2)若(a ＋1)-3m <(3－2a )-3m ，求a 的取值范围．变式训练3：1．解下列不等式：(1)()()2121231x x -<+； (2)()()323231--->+x x ；五、实战训练1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f (log 216)＝( )A ．2B ．22C ． 2D ．122．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．13y x =B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝ 3．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)223＋－m m x 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝________. 4．若(3－2m )12>(m ＋1)12，则实数m 的取值范围为________．5．比较下列各题中两个幂的值的大小：(1) 和 ； (2) 和； (3) 和 ；六、课外巩固1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(12，22)，则log 2f (2)=( ) A ．12 B ．－12C ．2D ．－2 2．已知幂函数f (x )＝x a ，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜1B ．a ＜1C ．a ＞0D ．a ＜03．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －14．已知幂函数f (x )的图象经过点(4,2)，则f (x )的增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．[0，＋∞)D ．(1，＋∞)5．设 ， 则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 21-x 35x 32x 521.1529.01.1)52(9.0)52(9.01.11.19.0525352)53()52()52(===c b a ，，二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－2m －2)x－4m －2在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m 的值是________． 7． 从小到大依次是________． 8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n ＞(－13)n ，则n ＝_____. 三、解答题9．比较下列各组数的大小：10．已知幂函数y ＝f (x )经过点(2，18). (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．1．如图，函数y ＝ 的图象是( ) 2．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )A ．0.76＜60.7＜log 0.76B ．0.76＜log 0.76＜60.7C ．log 0.76＜60.7＜0.76D ．log 0.76＜0.76＜60.73．解不等式：()()5353231---<+x x4．已知幂函数f (x )＝x 21m +m (m ∈N *)．(1)求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．七、课堂小结检查签字 学科组长： 日期： 教学主管：41412125.625.016.0，，--。
2019-2020学年新人教A版必修一 幂函数 学案
2019-2020学年新人教A 版必修一 幂函数 学案1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图像和性质2.(1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常量． (2)常见的5种幂函数的图像(3)常见的5种幂函数的性质知识拓展1．幂函数的图像和性质(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )(4)函数y ＝122x 是幂函数．( × )(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × ) 题组二 教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内是减少的，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a ＜－3D ．a ≤－3答案 D解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内是减少的可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D. 题组三 易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2， f (x )＝2(5)2a x－－(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )答案 D解析 由a ＋b ＋c ＝0和a >b >c 知，a >0，c <0， 由c <0，排除A ，B ，又a >0，排除C.6．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图像的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上是减少的，∴y min ＝2－6＋3＝－1.题型一 求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________． 答案 f (x )＝12x 2－2x ＋1解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)，∴4a －1＝1， ∴a ＝12，∴f (x )＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ，由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图像关于y 轴对称， ∴－a ＝－⎝⎛⎭⎫－2ab ，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.题型二 二次函数的图像和性质命题点1 二次函数的图像典例 两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图像可能是( )答案 D解析 函数f (x )图像的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图像的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b2a与－a2b同号，故两个函数图像的对称轴应该在y 轴的同侧．只有D 满足． 命题点2 二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是减少的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上是减少的知⎩⎨⎧a <0，3－a2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a 2a ＝－1，∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－1)解析 f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上是减少的， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，∴a <12.综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，12. 思维升华 解决二次函数图像与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )答案 D解析 由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0，从而由abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B知f (0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝－b2a＜0，B 错误．(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由题意得a ＞2x －2x 2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.题型三 幂函数的图像和性质1．已知点⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图像上，则f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数答案 A解析 设f (x )＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数．2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c答案 B解析 由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近x 轴，由题图知a ＞b ＞c ＞d ，故选B. 3．若a <0，则0.5a ，5a ，5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减少的，且15<0.5<5，所以5a <0.5a <5－a. 思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例 (12分)设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．思想方法指导 研究二次函数的性质，可以结合图像进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图像的影响，进行分类讨论． 规范解答解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图像的对称轴为x ＝1.[2分] 当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图像如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；[5分]当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；[8分]当t ＞1时，函数图像如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.[11分]综上可知，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.[12分]1．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( ) A ．先减少后增加 B ．先增加后减少 C ．是减少的 D ．是增加的答案 D2．(2018·江西九江七校联考)若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3 D ．2答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8＞0， 解得m ＝1.3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120. 4．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞) 答案 C解析 由题意可知函数f (x )的图像开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图像观察可知0≤a ≤4.5．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关答案 C解析 该二次函数的图像开口向下，对称轴为直线x ＝14， 又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0，∴当x 1，x 2在对称轴的两侧时，14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时，由单调性知f (x 1)<f (x 2)．综上，f (x 1)<f (x 2)．6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)答案 A 解析 不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )＜f (4)＝－2，所以a ＜－2.7．已知P ＝322－，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．(用“>”连接) 答案 P ＞R ＞Q解析 P ＝322－＝⎝⎛⎭⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22＞12＞25，得⎝⎛⎭⎫223＞⎝⎛⎭⎫123＞⎝⎛⎭⎫253，即P ＞R ＞Q .8．已知幂函数f (x )＝12x－，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________． 答案 (3,5)解析 ∵幂函数f (x )＝12x－是减少的，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5.9．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是__________． 答案 (－4,4) 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0，解得－4<a <4.10．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0， 故0<a ≤1.11．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 答案 －1或2解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ＝2，即a ＝2；当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1＝2，此时无解；当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ＝2，∴a ＝－1.综上，a ＝－1或a ＝2.12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13．已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24， f (x )min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24， 则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b 24， 当b ＜0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b ＜0”，选A.14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上是增加的，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)， 当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a －a 24， 当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a －a 24. ①当a 2>1，即a >2时，f (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上是减少的，在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上是增加的，不合题意； ②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意； ③当a 2<0，即a <0时，不符合题意． 综上，a 的取值范围是[0,2]．16．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得，f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立． 又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。
幂函数 教学设计-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《幂函数》教学设计一、教学目标1、了解幂函数概念，借助对具体幂函数图像与性质的探索，体会研究一类函数的基本方法；2、通过作图、观察、归纳具体幂函数的性质，培养学生的抽象概括能力及识图能力，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，提高学生的数学观察和表达能力，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养；3、通过师生、生生间的交流、讨论，培养学生合作、交流、探究的意识品质，让学生在探索、解决问题中获得学习的成就感及自我价值的体现；二、教学重难点1、重点：探索5个具体幂函数的图像与性质，体会研究函数的一般思路；2、难点：将函数图像的感性认识上升到理性认识，归纳概括出共性；三、教学过程(一）新课导入播放一段函数图像舞蹈视频，激发学生热情，快速引入本节课题。
（二）自主学习，构建概念阅读教材P89页五个实际问题，若统一用x表示自变量，请你把它们写成y 关于x的函数解析式？教师活动：y=x,y=x2,y=x3,y=x 12,y=x−1思考问题：观察以上5个具体函数解析式，从形式上看有什么共同的结构特征？【归纳幂函数概念】：一般地，形如y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数问题1：在视频中涉及的幂函数有哪些？请你在列举出一些幂函数。
（三）自主探索，归纳性质为了深入了解幂函数，结合初中一次函数、二次函数的学习经历，你认为我们应该从哪些方面入手？思路1：借助图象---研究性质（顺应初中的研究思路）思路2：从解析式角度研究性质----作图象探究一：探索y=x,y=x2,y=x3,y=x 12,y=x−15个具体幂函数的图象与性质1、在平面直角坐标系中画出函数y=x3、y=x 12与的图像；2、看图像完成表格内容；3、小组之间交流讨论，整体分析这五个具体幂函数的图像的共性与差异；（1）图像均经过（1,1）；（2）图像均经过第一象限；（3）y=x，y=x−1，y=x3是奇函数，y=x2是偶函数；（4）在（0,+∞)上y=x，y=x2，y=x3，y=x 1 2单调递增，y=x−1单调递减探究二：根据5个具体幂函数的性质，你能猜想出一般幂函数具有哪些性质？猜想1：幂函数的图像均经过（1,1）；猜想2：幂函数的图像均经过第一象限；猜想3：当α是奇数时，幂函数是奇函数，当α是偶数时，幂函数是偶函数；猜想4：在（0,+∞)上，当α>0时，幂函数单调递增，当α<0时，幂函数单调递减；...师生活动：利用几何画板动态展示当指数变化时，观察幂函数图像的变化规律，直观验证猜想的正确性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020年高中数学（幂函数）示范教案新人教A版必修1整体设计教学分析幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.三维目标1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.重点难点教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路11.如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.4.如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.5.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式,且底数都是变量).（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课,书写课题:幂函数）.思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:幂函数.推进新课新知探究提出问题问题①:给出下列函数:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数？问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.函数性质y=x y=x2y=x3y=x y=x-1定义域值域奇偶性单调性特殊点图象分布问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示. 讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:一般地,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象.列表:x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x …0 1 1.41 1.73 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …y=x3…-27 -8 -1 0 1 8 27 …y=x-1…- -1 1 …描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.图2-3-1让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.通过观察图象,完成表格.函数性质y=x y=x2y=x3y=x y=x-1定义域R R R {x|x≥0}{x|x≠0}值域R {y|y≥0}R {y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇奇奇非奇非偶奇单调性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减特殊点(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)图象分布第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ、Ⅱ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.⑥幂函数y=xα的性质.（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.应用示例思路1例1判断下列函数哪些是幂函数.①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.解：①y=0.2x的底数是0.2,因此不是幂函数;②y=x-3的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;③y=x-2的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数;④y=x的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数.点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.变式训练判别下列函数中有几个幂函数？①y=x;②y=2x2;③y=x;④y=x2+x;⑤y=-x3.解：①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量x2的系数为2,因此不是幂函数;④的变量是和的形式,因此也不是幂函数;⑤的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法,一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.解：（1）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R.所以函数y=x的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函数y=x是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数. （2）要使函数y=x有意义,只需y=有意义,即x∈R+,所以函数y=x的定义域是R+,由于函数y=x的定义域不关于原点对称,所以函数y=x是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数. （3）要使函数y=x-2有意义,只需y=有意义,即x≠0,所以函数y=x-2的定义域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函数y=x-2是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域,求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例3证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导.证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性.证明：任取x1,x2∈［0,+∞),且x1＜x2,则f(x1)-f(x2)==212121))((xx xxxx++-=,因为x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以＜0.所以f(x1)<f(x2),即f(x)=在［0,+∞)上是增函数.点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与f(x2)的符号要一致.思路2例1函数y＝（x2-2x）的定义域是( )A.{x|x≠0或x≠2}B.（-∞,0）∪（2,＋∞）C.（-∞,0］∪［2,＋∞)D.（0,2）分析：函数y＝（x2-2x）化为y=,要使函数有意义需x2-2x＞0,即x＞2或x＜0,所以函数的定义域为{x|x＞2或x＜0}.答案：B变式训练函数y＝（1-x2）的值域是( )A.［0,＋∞)B.（0,1］C.（0,1）D.［0,1］活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导.函数的值域要根据函数的定义域来求.函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域,这是复合函数求值域问题,利用换元法.分析：令t＝1-x2,则y＝,因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.答案：D点评：注意换元法在解题中的应用.例2比较下列各组数的大小：（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨.比较数的大小,常借助于函数的单调性.对（1）（2）可直接利用幂函数的单调性.对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里0.30.3可作为中间量.解：（1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1.（2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成.点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.知能训练1.下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x2.下列结论正确的是( )A.幂函数的图象一定过原点B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( )A.y=x3B.y=x2C.y=D.y=x4.已知某幂函数的图象经过点(2,),则这个函数的解析式为.答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x,y＝x;③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y＝x.活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.图2-3-2 图2-3-3图2-3-4 图2-3-5①观察图2-3-2得到:函数y＝x-1、y＝x-2、y=x-3的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.②观察图2-3-3得到:函数y＝x、y＝x的图象都过点(1,1),且在第一象限随x的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近x轴,向上无限接近y轴,指数越小,向右无限接近x轴的图象在下方,向上离y轴越远.③观察图2-3-4得到:函数y=x、y=x2、y=x3的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离y轴近,向下离y轴近.④观察图2-3-5得到:函数y=x、y＝x的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离y轴近,在点(1,1)的右边离x轴近.根据上述规律可以判断函数图象的分布情况.课堂小结1.幂函数的概念.2.幂函数的性质.3.幂函数的性质的应用.作业课本P87习题2.3 1、2、3.设计感想幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解.习题详解(课本第79页习题2.3)1.函数y=是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f（x）=xα,因为点（2,）在图象上,所以=2α.所以α=,即幂函数的解析式为f（x）=x,x≥0.3.（1）因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r4；（2）把r=3,v=400代入v=k·r4中,得k=＝,即v=r4；（3）把r=5代入v=r4,得v=×54≈3 086（cm3/s）,即r=5 cm时,该气体的流量速率为3 086 cm3/s.2019-2020年高中数学（课前预习+课初+课中+课末+课后）§1-1 集合及其运算教案新人教A版必修1【课前预习】阅读教材P2-14完成下面填空1．元素与集合的关系:用或表示；2．集合中元素具有、、3．集合的分类：①按元素个数可分：限集、限集；②按元素特征分：数集，点集等4．集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}；②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集；整数集Z；有理数集Q、实数集R;5．集合与集合的关系:6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；③如果，同时，那么A = B ；如果.④n 个元素的子集有2n个；n 个元素的真子集有2n－1个；n 个元素的非空真子集有2n－2个. 7．集合的运算（用数学符号表示） 交集A∩B= ; 并集A ∪B= ；补集C U A= ，集合U 表示全集. 8.集合运算中常用结论:【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2． 方程 解集为______.3．全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}I =，，则＝ ，＝ ，＝4．设{}220,M x x x x R =++=∈，a =，则{a }与M 的关系是( )A ．{a }=MB ． M{a }C ．{a }MD ．M{a }强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．集合，，求，，6． 设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知,求实数的值.7． 已知集合M=，N=，x ∈R}，求M∩N8．集A ＝－1，3，2－1，集B ＝3，．若，则实数＝强调（笔记）：【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1．已知全集且则等于 A． B． C．D．2．设集合，，则等于（）A． B． C． D．3．已知全集，，则为4．，，且，满足条件的集合是______5．已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝，如果，那么a的值为____ 互助小组长签名：。