2014年秋季新版新人教版八年级数学上学期13.3等腰三角形同步练习1

13.3 等腰三角形1．等腰三角形(1)概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等．②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法．破疑点等腰三角形有关概念的认识(1)对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方；(2)等腰三角形顶角可以是直角，是钝角或锐角，而底角只能是锐角．【例1】等腰三角形两边长分别是5 cm和11 cm，则它的周长是( )．A．27 cm B．22 cmC．27 cm或22 cm D．无法确定解析：边长为5 cm的边可能是底，也可能是腰，当5 cm的边是底边时，腰长为11 cm，所以周长为27 cm，当5 cm的边是腰时，则底边长为11 cm，因为5＋5＜11，所以构不成三角形，因此只有一种情况，周长为27 cm.故选A.答案：A2．等腰三角形性质1(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．(2)理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．(3)适用条件：必须在同一个三角形中．(4)应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.【例2－1】已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为( )．A．40° B．80°C．40°或100° D．100°解析：因为并未说明等腰三角形中40°的角是顶角还是底角，所以需要对角进行分类讨论．①当40°的角是底角时，则顶角的度数为：180°－40°×2＝100°；②当40°的角是等腰三角形的顶角时，则顶角的度数为40°.所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°，故选C.答案：C哦，不指明是底角还是顶角时，要分类讨论，还要看三角形内角和是否是180°啊！【例2－2】如图，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求证：∠C＝∠D.分析：由等腰三角形的性质易得∠A＝∠B，由平行线的性质可得∠A＝∠D，∠B＝∠C，等量代换即得∠C＝∠D.证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.∴∠C＝∠D.3.等腰三角形性质2(1)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质．(2)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛．(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．(4)应用模式：如图，在△ABC中，①∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=CD)；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥B C)．解技巧“三线合一”的应用因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝5 cm，求底边BC的长．分析：因为是等腰三角形，所以底边上的高也是底边上的中线，所以BC＝2BD，即可求出BC的长．解：因为AB＝AC，AD⊥BC，所以BC＝2BD＝2×5＝10(cm)．答：底边BC的长是10 cm.4．等腰三角形的判定(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．(2)与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的，性质：线段相等→角相等；判定：角相等→线段相等.(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷．破疑点等腰三角形的判定方法的理解教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种：一是判定定理；二是定义．另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形．但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角形．【例4】如图，BE平分∠ABC，交AC于E，过E作DE∥BC，交AB于D.试证明△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥BC，∴∠EBC＝∠DEB.∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.∴∠DBE＝∠DEB.∴BD＝DE，即△BDE是等腰三角形．5．等边三角形的概念和性质(1)等边三角形①概念：三边都相等的三角形是等边三角形．②认识：它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质．(2)性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.(3)拓展：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它三边相等，三个内角相等，各边上的高、中线，对应的角平分线重合，且长度相等．【例5】 如图，点M 、N 分别在等边△ABC 的边BC 、AC 上，且BM ＝CN ，AM 、BN 交于点Q .求证：∠BQM ＝60°.证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝CA ，∠ABC ＝∠BCA ＝60°. 在△ABM 和△BCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCA ，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN (SAS)． ∴∠BAM ＝∠CBN .∴∠BQM ＝∠BAM ＋∠ABN＝∠CBN ＋∠ABN ＝∠ABC ＝60°. 6．等边三角形的判定(1)判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．(2)判定方法：等边三角形的判定方法有三种：一是定义，另运用两个定理．(3)拓展理解：对于判定定理①，有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形．解技巧 巧用条件证明等边三角形 在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明．若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理①；若已知该三角形是等腰三角形，则选判定定理②.【例6】 如图，等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．解：△APQ 是等边三角形． 理由：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°. 在△ABP 和△ACQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，∴△ABP ≌△ACQ (SAS)． ∴AP ＝AQ ，∠BAP ＝∠CAQ .∴∠PAQ ＝∠CAQ ＋∠CAP ＝∠BAP ＋∠CAP ＝∠BAC ＝60°. ∴△APQ 是等边三角形．7．含30°角的直角三角形的性质(1)性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．(2)应用模式：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AC＝12 AB.(3)理解：①该性质是含有30°角的特殊的直角三角形的性质，一般的直角三角形没有这个性质，更不能应用；②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系；③该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．解技巧巧用含30°角的直角三角形的性质在有些题目中，若给出的角是15°角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两内角和将15°的角转化为30°的角后，再利用这个性质解决问题．【例7】如图，∠C＝90°，D是CA的延长线上一点，∠D＝15°，且AD＝AB，则BC＝__________AD.解析：∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠D＝15°.∴∠BAC＝30°.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BC＝12AB＝12AD.答案：1 28．等腰三角形性质和判定的综合应用类似于全等三角形的性质和判定的关系，等腰三角形的性质和判定很多时候也是综合运用的．一方面等腰三角形是特殊的三角形，由等腰三角形性质，可以知道许多相等的线段，相等的角，还能知道垂直关系，成倍数关系的线段或角，所以有时通过判定是等腰三角形来证明角相等、线段相等或垂直关系等；另一方面通过等腰三角形性质和判定的运用，直接由线段相等得到角相等，由角相等到线段相等，省去了全等的证明，简化了过程，因此很多时候，等腰三角形性质和判定的应用更广泛．注意：等腰三角形性质和判定的应用前提是在同一个三角形中．【例8】如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高，求证：CD＝AB＋BD.图1 图2证明：如图2，在DC上截取DE＝BD，连接AE，又∵AD是BC边上的高线，∴AD垂直平分BE.∴AB＝AE，∴∠B＝∠AED.∵∠AED＝∠C＋∠CAE，∠B＝2∠C，∴∠C＋∠CAE＝2∠C.∴∠CAE＝∠C.∴AE＝CE.∴AB＝CE.∴CD＝AB＋BD.9.巧用“三线合一”性质解题(1)性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”性质；(2)应用：它是等腰三角形特有的性质，这条线段是中线、高，也是角平分线，它包含有线段相等、角相等、垂直等关系，涉及量多，应用广泛，是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法．构造“三线合一”解决等腰三角形问题 在等腰三角形问题中，最常添加的辅助线就是作底边上的高，或作顶角的平分线，或作底边上的中线，这样就可以由其中一线得到其他两线，从而知道更多的条件，以便更好地完成计算、证明．【例9】 已知：如图a 所示，△ABC 中，AB ＝AC ，BF 是AC 边上的高，求证：∠FBC ＝12∠BAC .图a 图b证明：如图b ，过A 点作BC 的垂线，垂足为E ， 则∠CAE ＋∠C ＝90°，∵AB ＝AC ， ∴AE 平分∠CAB ，即∠CAE ＝12∠BAC .∵BF 是AC 边上的高， ∴∠FBC ＋∠C ＝90°. ∴∠CAE ＝∠FBC .∴∠FBC ＝12∠BAC .10.等边三角形的应用等边三角形也称正三角形，它是最特殊的三角形，它除了三边相等，三个内角相等，且每个角都是60°外，还具有很多特殊的性质：如，证明两个等边三角形全等只要有一边相等即可；同一个等边三角形的高、中线、角平分线都相等，并且任何一条高(或中线、顶角的平分线)将等边三角形都分成全等的两个含有30°角的直角三角形；它的高和边长也存在着特殊的比例关系，因此已知是等边三角形，就可以知道其中的许多等量关系．等边三角形的判定也具有自己独特的特点，可以由普通三角形满足条件直接判定，也可以在等腰三角形的基础上进行判定．【例10】 (学科内综合题)如下图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE ＝EF ＝FC 的道理．证明：如下图，分别连接OE 、OF ，∵E 、F 分别是OB 、OC 垂直平分线上的点，∴OE ＝BE ，CF ＝OF . ∴∠OBE ＝∠BOE .∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°. ∵OB 平分∠ABC ，∴∠OBE＝12∠ABC＝12×60°＝30°.∴∠OEF＝∠OBE＋∠BOE＝60°.同理∠OFE＝60°，∴△OEF为等边三角形．∴OE＝OF＝EF.∴BE＝EF＝FC.11．面积法证明等腰三角形的性质面积法是解决几何问题常用的一种的方法，它巧妙地运用面积之间的关系，通过计算的方式，求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷，更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的方法．面积法的运用，一般以同一个三角形的面积是相等的为基础，运用不同求法，即底不同、高不同、但面积都等于底×高的一半，或将一个图形分解成不同的图形来求面积，但面积之和相等．通过面积相等联系起各量之间的关系，再运用等式的性质，通过化简求出某些线段的长，或计算出某些线段之间的数量(如比例)关系．解技巧巧用面积法证明线段的关系因为直角三角形的特殊性，所以面积法最常用在直角三角形中求斜边上的高，有时也用在等腰三角形中证明线段相等或求线段的和．12．等腰三角形中的“二推一”模式应用在等腰三角形问题中，“等边、角平分线(等角)、平行”是出现最多，最常见的数量与位置关系，若这三个关系出现在同一图中，一般以其中任意两个条件为题设，推导、证明出第三个条件成立，因此我们称它为等腰三角形中的“二推一”．(1)基本图形：等腰三角形中的“二推一”一般有两种情况，一种是角平分线在外，要用到一个外角等于和它不相邻的两内角和；另一种是角平分线在内，基本图形如图①和图②所示，演变图形类型较多，主要有以下几种：(2)方法：通过角相等作为纽带，将线段相等、线段平行联系起来，在此过程中要用到等量代换得出的角相等，方式一般是：边相等→角相等转化→平行；平行→角相等转化→边相等.【例11】如图1，已知，在△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，G为底边BC上任一点，GF⊥AB，GE⊥AC，垂足分别为F、E.求证：GF＋GE＝BD.分析：要证明BD＝GF＋GE，按常规思路将BD分成两段，如图2，证明BH＝GF，DH＝GE.所以过G作BD的垂线，通过证明三角形全等和判定是矩形完成，既复杂又超出现在所学，但用面积法却简单得多．如图3，连接AG，运用面积法，分别表示出△ABG和△ACG的面积，由于同一三角形面积是相等的，所以S △ABC ＝S △ABG ＋S △ACG ，所以12AB ·GF ＋12AC ·GE ＝12AC ·BD ，由于AB ＝AC ，经过等量代换和化简即可得到GF ＋GE ＝BD .证明：连接AG ，如图3，则S △ABC ＝S △ABG ＋S △ACG ＝12AB ·GF ＋12AC ·GE ，∵AB ＝AC ，∴S △ABC ＝12AC ·(GF ＋GE )．又∵S △ABC ＝12AC ·BD ，∴12AC ·(GF ＋GE )＝12AC ·BD .∴GF ＋GE ＝BD . 【例12－1】 如图，在△ABC 中，∠CAE 是△ABC 的外角，在下列三项中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠CAE ；③AD ∥BC ，选择其中两项为题设，另一项为结论，组成一个真命题，并证明．分析：任意两项组合，第三项当结论组成命题都成立，都是真命题．以①②为题设，以③为结论为例．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠CAE ＝∠B ＋∠C ，∴∠C ＝12∠CAE .∵AD 平分∠CAE ，∴∠DAC ＝12∠CAE .∴∠C ＝∠DAC ，∴AD ∥BC . 【例12－2】 如图，已知△ABC 中，AC ＋BC ＝24，AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，MN 过O 点，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为___．解析：因为AO 是∠BAC 的角平分线， 所以∠BAO ＝∠CAO .因为MN ∥BA ，所以∠BAO ＝∠AON . 所以∠CAO ＝∠AON .所以AN ＝ON . 同理BM ＝OM ，所以△CMN 的周长＝CN ＋CM ＋MN ＝CN ＋CM ＋ON ＋OM ＝CN ＋CM ＋AN ＋BM ＝AC ＋BC ＝24. 答案：24【例12－3】 如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线BO 、CO 相交于点O ，OE ∥AB ，OF ∥AC ，△OEF 的周长＝10，求BC 的长．解：∵OE ∥AB ，∴∠BOE ＝∠ABO . ∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO ＝∠OBE . ∴∠BOE ＝∠OBE .∴BE ＝OE .同理可得CF ＝OF ，∵△OEF 的周长＝10， ∴BC ＝BE ＋EF ＋CF ＝OE ＋EF ＋OF ＝10.即BC的长为10.。