梯形中位线和三角形中位线综合应用
沪教版八年级数学-三角形梯形的中位线-教师版
在△ABC 中①、BC AB F E 、为、 的中点 ②、∵M 、N 分别是BC 、AC 的中点∴线段EF 是 △ABC 的中位线 ∴ 线段MN 是△ABC 的中位线2）、三角形有 3 条中位线，它们构成的三角形叫中点三角形。
3）、三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
4）、在△ABC 中，AB =3，BC =5，CA =7，顺次连结三边中点得△DEF 的周长为___7.5______.5）、在△ABC 中，D 、E 、F 分别 为AB 、BC 、CA 的中点，△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长是 20 。
6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是__ 24 。
结论：中点三角形的周长等于原三角形的 一半 . 7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__10结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_二、中点四边形1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫 中点四边形2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关 1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形； 2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是矩形；3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是正方形； 4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是平行四边形。
5）、任意四边形的中点四边形是平行四边形；菱形的中点四边形是矩形；矩形、等腰梯形的中点四边形是菱形；正方形的中点四边形是正方形。
三、梯形中位线1、定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半 。
热身练习1．若三角形三条中位线长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是 24 cm 2。
2．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 7:9 ． 3. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为 22 ． 4. 若等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，则它的周长是＿22＿＿cm ．415. 已知等腰梯形的上、下底长分别为 2cm 和6cm ，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 16 cm 2．6. 已知三角形三边长分别为a 、b 、c ，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( C )A. (a+b+c)B. (a+b+c)C. (a+b+c)D. (a+b+c)7．若等腰梯形较长的底等于对角线，较短的底等于高，则较短的底和较长的底的长的长度之比是 （ D ） A.1:2 B. 2:3 C.4:1 D. 3:58．直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（ C ）A. B. a C. D. 都不对9．在梯形ABCD 中，AB//CD ，DC ：AB=1：2，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，则 （D ） A.1：4 B. 1：3 C. 1：2 D. 3：410. 如图，在直角梯形ABCD 中，点O 为CD 的中点，AD ∥BC,试判断OA 与OB 的关系？ (OA=OB)（10题图） （11题图）11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE ⊥DE ，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由． (AD+BC=CD)精解名题例1．已知：如图所示，Rt △ABC 中， A C B D E 90°，、分别为AB 、BC 的中点，点F 在AC 的延长线上， F E C B。
八年级春季班-12-梯形及中位线-教师版
初二数学春季班（教师版）梯形及中位线内容分析本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．知识结构模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形． 【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等． 等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等． 另外：等腰梯形是轴对称图形； 【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形． 等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．【例1】 （1）在周长为30cm 的梯形ABCD 中，上底CD =5cm ，DE ∥BC 交AB 于点E ，则△ADE 的周长为___________cm ；（2）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACB =90°，且AC 平分∠BAD ，∠D =120°，CD =3cm ，则梯形的周长是_________cm ． 【难度】★【答案】（1）20 ； （2）15． 【解析】（1）∵DE //BC ，CD //EB ，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴EB =CD =5，BC =DE ，∴ C △ADE = AD +DE +AE = AD +BC +AE = AD +BC +AB -EB = AD +BC +AB -CD =AD +BC +AB +CD -2CD = 30-10 = 20； （2）∵∠D =120°，∴∠DAB =60°， ∴∠DAC =∠CAB =30°，∴∠B =60°∴BC =AD =CD =3，AB =2BC =6∴C 梯形ABCD = AD +CD +CB +AB = 3+3+3+6 = 15． 【总结】本题考查利用等腰梯形的性质求梯形的周长．例题解析A BC DEDCB AEDCBA【例2】 直角梯形一腰长为12cm ，这条腰和一个底边所成的角为60°，则另一腰长为 ___________cm ，若上底为3cm ，则梯形的面积为__________． 【难度】★【答案】2cm ．【解析】设直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，∠C =60°，CD =12，作DE ⊥BC 于点E ，得矩形ABED ，则AD =BE =3，∵∠C =60°，∴∠CDE =30°，∴CE =12CD =6，DE =AB=，∴S =12（AD +BC ）×AB=2cm ． 【总结】本题考查梯形性质与面积公式的综合运用．【例3】 （1）等腰梯形的两底之差为12cm ，高为6cm ，则其锐角为________；（2）等腰梯形的对角线为17，底边分别为10和20，则梯形的面积是_________． 【难度】★【答案】（1）45°；（2）120．【解析】（1）设等腰梯形ABCD ，AD =BC ，AB //CD ，AB ＜CD作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，在矩形ABFE 中，AB =EF∵CD -AB =12，∴CD -EF =DE +CF =12．∵等腰梯形ABCD ，∴DE =CF =6． 又∵AE =BF =6，∴等腰直角△ADE 中，∠D =45°； （2）如图所示，过点A 作AE ⊥BC 于点E ， 由题知，AD =10，BC =20，AC =17． 由等腰梯形性质结合全等性质，易得52BC ADBE -==， ∴CE =15，∴8AE ==，∴11()(1020)812022S AD BC AE =⨯+⨯=⨯+⨯=．【总结】本题考查梯形常见辅助线的添加及应用．【例4】 等腰梯形的高是腰长的一半，则其中的一个底角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【难度】★★ 【答案】A【解析】设等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，作AE ⊥CD∵12AE AD ，∴∠D =30°，故选A ．【总结】本题考查梯形性质与直角三角形性质的综合运用．【例5】 如右图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O ，有下列四个结论：（1）AC =BD ；（2）梯形ABCD 是轴对称图形；（3）∠ADB =∠DAC ； （4）△AOD ≌△ABO ．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】C【解析】（1）正确；（2）正确；（3）正确；（4）错误，故正确的有三个，选C ． 【总结】本题考查等腰梯形性质的运用．【例6】 下列图形中，两条对角线一定不相等的是（） A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．直角梯形【难度】★★ 【答案】D【解析】正方形，矩形，等腰梯形的对角线都相等． 【总结】本题考查几种特殊四边形对角线性质．【例7】 下列四边形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．梯形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．矩形【难度】★★ 【答案】D【解析】B 中等腰梯形是轴对称图形；C 中平行四边形是中心对称图形； D 中矩形既是轴对称图形又是中心对称．【总结】本题考查几何图形的对称性，要熟知每一个图形的性质．ABCDO【例8】 如右图，已知梯形ABCD 中，BC 是下底，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，且BD ⊥CD ，若梯形周长是30cm ，求此梯形的面积． 【难度】★★【答案】2cm ．【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =30°． ∵AD //BC ，∴∠ADB =∠DBC =30°，∴AB =AD∵BD ⊥CD ，∴∠DCB =60°，∴∠ABC =∠DCB ， ∴AB =CD ． 设AB = CD = AD = x ，Rt △BCD 中，∵∠DBC =30°，∴BC = 2CD = 2x ， ∴30 = x +x +x +2x ，解得：x =6． 作AE ⊥BC ，Rt △ABE 中，∵∠BAE =30°， ∴BE =3，AE= ∴S =12（AD +BC ）AE=2cm ． 【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用．【例9】 如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AD =5，∠D =45°，CD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，求BF 的长． 【难度】★★ 【答案】5 【解析】联结CE∵EG 垂直平分CD ，∴EC =ED ，∠ECD =∠D =45°，∴∠CED =90°， ∵∠A =90°，AD ∥BC ， ∴四边形BAEC 是矩形， ∴BC = AE ．设BC =x =AE ，∴ED =EC =AB =5-x∵∠FEA =∠GED =45°，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF =AE =x∴BF =BA +AF =5-x +x =5．【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段BF 的长．ABCDOEABCEF G【例10】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =DC ，∠B =60°， （1） 求证：AB ⊥AC ；（2） 若DC =6，求梯形ABCD 的面积． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵AB =CD ，∴∠B =∠DCB =60°，∠BAD =∠D =120°∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30° ∴∠BAC =∠BAD -∠DAC =120°- 30°=90° ∴BA ⊥AC ；（2）∵AB =AD =DC ，DC =6， ∴CD =AD =AB =6 在直角三角形ABC 中，∵∠ACB =30°， ∴BC =2AB =12 作AE ⊥BC ，则AE=∴S 梯ABCD=1()2AD BC AE +=【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用．【例11】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，∠B =2∠E ． 求证：AB =DC ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AC 平分∠BCD∴∠BCA =∠ACD =12∠DCB∵DE //AC ，∴∠E =∠ACB =12∠DCB ∵∠B =2∠E ，∴∠B =∠DCB ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB =CD【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用．ABDCEABDCE【例12】 如图，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点，联结BE 、CD相交于点O ，∠1=∠2． 求证：梯形BDEC 是等腰梯形． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AB AC =， ∴∠DBC =∠ECB在△BCD 与△ECB 中，∠1=∠2，BC =BC ∴△BCD ≌△ECB ，∴BD =CE∵AB =AC ， ∴AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =1(180)2A ︒-∠=∠ABC =∠ACB∴DE //BC ， 又∵BD 与CE 不平行∴四边形BDEC 是梯形，且BD =CE ，∴梯形BDEC 是等腰梯形 【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结．【例13】 如图，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x 秒，当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形? （2）四边形OPQC 能否成为等腰梯形?说明理由． 【难度】★★【答案】（1）x =5； （2）不能．【解析】（1）由题可知：OC =5，BC =10，OA =14．∵BC //OA∴当Q 点在BC 上，且OP =CQ 时，四边形OPQC 是平行四边形 即2x -5= x ，解得：x = 5；（2）作点C 作CE ⊥OA 于点E ，过点Q 作QF ⊥OP 与点F ∵AO //BC ，∴CE =QF当OE =PF =4时，△OCE ≌△PQF ，此时四边形OPQC 为等腰梯形， 即OP =OE +CQ +PF ，∴x =4+（2x -5）+4，解得：x =-3（舍）， ∴四边形OPQC 不能成为等腰梯形．【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用．ABDCEO 12【例14】 如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；（2）若∠BAD =60°，该花圃的面积为S 米²，求S 与x 之间的函数关系式，指出自变量x 的取值范围，并求当S=时x 的值． 【难度】★★★【答案】（1）BC =40-2x ；（2）2S =+（020x <<），x =4．【解析】（1）等腰梯形ABCD 中，AB =CD =x ，∴BC =40-x -x =40-2x ；（2）作BE ⊥AD ，CF ⊥AD在Rt △ABE 中，∵∠ABE =30°， ∴AE =12x ．同理FD =AE =12x ， ∴BE =CF．∴EF =BC =40-2x ， ∴AD =40-x∴()1(4024022BC AD BE S x x +==-+-=（020x <<），当S =x =4或683x =（舍）∴当S=时x 的值为4．【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义．【例15】 已知，一次函数144y x =-+的图像与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，梯形AOBC（O 是原点）的边AC =5，（1）求点C 的坐标；（2）如果一个一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图像经过A 、C 两点，求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★【答案】（1）C （13，4）或（19，4）或（16，5）； （2）46433y x =-+或46433y x =-．【解析】由题可知：A （16，0），B （0，4）．当OB ∥AC 时，点C 坐标为（16，5），当BC ∥AO 时，点C 坐标为（13，4）或（19，4）；（2）∵一次函数的图像经过A 、C 两点，∴C 点坐标不能为（16，5），当A （16，0），C （13，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-+；当A （16，0），C （19，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-． 【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强．EA B DF【例16】 如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，线段AQ 的长度为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出这个函数的定义域； （2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）9(39)y x x =-+≤≤； （2）x =3时，PQ 平分梯形面积．【解析】（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则CD =AE =3，CE =4， 可得：BC =5，所以梯形ABCD 的周长是18．∵PQ 平分梯形ABCD 的周长， ∴x +y =9， ∵06y ≤≤， ∴39x ≤≤， ∴9(39)y x x =-+≤≤；（2）由题可知，梯形ABCD 的面积是18． 因为P 不在BC 上，所以37x ≤≤． 当3≤x ＜4时，P 在AD 上，此时12APQ S xy ∆=， ∵线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy =可得方程组918x y xy +=⎧⎨=⎩，解得：36x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩（舍）；可得方程组92217x y x y +=⎧⎨+=⎩，方程组无解，∴当x =3时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算．QP DCBA解决梯形问题常用的方法① 作高法：使两腰在两个直角三角形中；②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直 的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高 等．【例17】 如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB AD CD ===，AE BC ⊥，垂足为E ，12AE =，则BC 边的长等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．23 【难度】★★ 【答案】D【解析】∵AE BC ⊥，13AB =，12AE =， ∴BE = 5．∵梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，AE BC ⊥， ∴2132523BC AD BE =+=+⨯=， 故选D ． 【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用．模块二：辅助线知识精讲例题解析 A BCDE【例18】 已知梯形ABCD 中，//AD BC ，70B ∠=，40C ∠=，2AD =，10BC =．求DC 的长． 【难度】★★ 【答案】CD = 8．【解析】作DE //AB ，则四边形ABED 是平行四边形．∴AD =BE =2，∠DEC =∠B =70°．在△DEC 中，∠C =40°，∴∠EDC =180°-40°-70°=70°，∴CD =CE =BC -BE =10-2=8． 【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形．【例19】 如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，90A B ∠+∠=，AB b =，CD a =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 的长等于（ ）A ．2b a +B ．3b a +C ．2b a -D ．3b a -【难度】★★ 【答案】C【解析】分别过点F 做FG //AD ，FH //BC ，分别交BA 于点G ，H可得平行四边形DFGA 与平行四边形FCBH∴AG =FD =CF =BH =1122CD a =，∴GH =b -a∵∠A +∠B =90°， ∴可得直角△FGH ，E 是GH 中点∴EF =11()22GH b a =-， 故选C ．【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加．【例20】 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =BC ，BD 交AC 于O ．求证：CO =CD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】作AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，∵AD //BC ，∴AF =DE ．在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴AF =12BC ．∵BC =BD ， ∴DE =12BD ．∴在Rt △BDE 中，∠DBC =30°，∴∠BCD =∠BDC =75°∴∠DOC =∠DBC +∠ACB =75°，∴∠CDO =∠COD =75°， ∴CD =CO ．【总结】本题考查梯形的常用辅助线—做梯形的高，把梯形问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形性质解题．ABCDEG ABCDFHOABCDEF【例21】 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥，若两底长分别为a b 、，试列出这个梯形的面积S 用a b 、表示的等式．【难度】★★【答案】21()4a b +．【解析】过点D 作DE //AC 交BC 延长线于点E ， 则可得平行四边形ADEC ．∵等腰梯形ABCD 中，AC =BD ， ∴△BDE 是等腰三角形， ∴BE =BC +CE =BC +AD =a +b ．过D 作DF ⊥BC 于点F ，等腰直角△DBE 中，DF =11()22BE a b =+，∴BDE ABCD S S ∆=梯形=211()24BE DF a b ⋅=+．【总结】本题考查梯形辅助线的作法，通过平移对角线将等腰梯形转化为等腰三角形的问题．【例22】 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BOC =60°，AC =10cm ，求梯形的高DE 的长． 【难度】★★【答案】．【解析】等腰梯形ABCD 中，∵OB =OC ，∠BOC =60°，可得等边△OCB ， ∴∠DBC =∠ACB =60°∵AC =BD =10，∴在直角△BDE 中，BE =152BD =，∴DE =．【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用．ABCDEO EF【例23】 如图，在梯形ABCD 中，()0//9012AD BC BC AD D BC CD >∠===，，，045ABE ∠=，若AE =10，则CE =__________．【难度】★★★ 【答案】4或6．【解析】过点B 作DA 的垂线交DA 延长线于M ，M 为垂足,延长DM 到G ，使得MG =CE ，联结BG ， 可得四边形BCDM 是正方形．∴BC =BM ，∠C =∠BMG =90°，EC =GM ， ∴△BEC ≌△BMG ， ∴∠MBG =∠CBE ∵∠ABE =45°，∴∠CBE +∠ABM =45°，∴∠GBM +∠ABM =45°， ∴∠ABE =∠ABG =45°，∴△ABE ≌△ABG ，AG =AE =10设CE =x ，则AM =10-x ，∴AD =12-（10-x ）=2+x ，DE =12-x ． 在Rt △ADE 中，由AE 2=AD 2+DE 2，解得：x =4或x =6． 故CE 的长为4或6．【总结】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，注意辅助线的添加方法，将问题转化为解直角三角形的问题．三角形中位线的定义和性质：1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 3. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．模块三：中位线知识精讲A BCD E MG【例24】 （1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是； （3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是； （4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是； （5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是； （7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是． 【难度】★【答案】（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形； （6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形． 【解析】利用三角形中位线性质可证明．【总结】本题考查中位线性质和四边形判定方法，注意对相关规律的总结．【例25】 （1）点D 、E 、F 分别是ABC 三边的中点，DEF 的周长为10cm ，则ABC 的周长为；（2）ABC 三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ，则ABC 的面积为． 【难度】★【答案】（1）20cm ；（2）242cm ．【解析】（1）2()20ABC C AB BC AC DE EF DF ∆=++=++=cm ．（2）∵三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ， 且2223+45=， ∴可知△ABC 是直角三角形，∴168242S =⨯⨯=2cm ．【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用．例题解析【例26】 如图，ABC 中，B ∠，C ∠的平分线BE ，CF 相交于点O ，AG BE ⊥于点G ，AH CF ⊥于点H ．（1）求证：//GH BC ；（2）若9AB =厘米，14AC =厘米，18BC =厘米， 求GH 的长． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2.5cm ．【解析】（1）分别延长AH ，AG 交BC 于M ，N 两点∵CH 是角平分线，CH ⊥AM∴可得△ACM 是等腰三角形，同理△ABN 也是等腰三角形． ∴H 、G 分别是AM 、AN 边上的中点， ∴GH //BC ；（2）由（1）得CA =CM =14cm ，BA =BN =9cm∴MN =CM +BN -BC =14+9-18=5， ∴GH =1522MN =， 即GH =2.5cm ．【总结】本题考查了等腰三角形的性质，与三角形的中位线定理的综合运用，注意通过添加辅助线得到等腰三角形是本题的关键．【例27】 如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC 内，AE 平分BAC ∠，CE AE ⊥，点F 在边AB 上，EF //BC ．（1） 求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2） 线段BF 、AB 、AC 之间有怎么样的数量关系?并证明． 【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2BF +AC =AB ． 【解析】（1）延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CG ，AE 平分∠BAC∴△AEG 与△ACE 中，∠GAE =∠CAE ，AE =AE ，∠AEG =∠AEC∴△AGE ≌△ACE ∴AG =AC ，即△AGC 是等腰三角形，∴E 是GC 的中点． ∵D 是CB 的中点，∴DE //BA ， ∵EF //BD ， ∴四边形BDEF 是平行四边形； （2）∵ED 是△BCG 的中位线， ∴ED =12BG ．又∵平行四边形BDEF ，∴ED =BF ，∴BF =12BG ，即BG =2BF ．∵AG =AC ， ∴2BF +AC =BG +AG =BA ．【总结】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，用中位线的性质解题．HGOF ECBA MNABC D EFG【例28】 如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥交于点O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，30DBC ∠=，求证：AC =MN ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AD //BC ， ∴∠ADO =∠DBC =30°．∴在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，OA =12AD ，OC =12BC ，∴AC =OA +OC =1()2AD BC +．∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN =1()2AD BC +， ∴AC =MN ．【总结】本题考查梯形中位线的性质和直角三角形中性质的综合运用．【例29】 如图所示，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，交OB 于点F ，求证：CE =2OF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】取AE 的中点G ，联结OG∵正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ， ∴OG //CE ，CE =2OG∴∠AOG =∠ACB =45°，∠GOB =∠OBC =45°． ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠CAE =22.5°，∴∠EGO =∠EAC +∠AOG =22.5°+45°=67.5°， ∴△OFG 中，∠OFG =180°-67.5°-45°=67.5°， ∴∠OFG =∠EGO ， ∴OG =OF ， ∴CE =2OF ．【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用，注意利用角度得到等腰三角形．ABCD MN OABCDEF OG【例30】 如图所示，在四边形ABCD 中，CD AB >，E 、F 分别是AC 、BD 的中点．求证：1()2EF CD AB ≥-． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】取AD 中点G ，联结EG ，FG∵E 、F 分别是AC 、BD 的中点，∴12EG CD =，12FG AB =．∵CD ＞AB ，∴EG ＞FG ．在△EFG 中，EF ＞EG -FG =1()2CD AB -，当AB //CD 时，F 、E 、G 三点共线，1()2EF CD AB =-，∴1()2EF CD AB ≥-．【总结】本题考查三角形中位线定理和三角形三边关系的综合运用．【例31】 如图1所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的外角平分线，过点A 作AF BD ⊥，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证1()2FG AB BC AC =++．（1）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． 【难度】★★★【答案】（1）1()2FG AB AC BC =+-（2）1()2FG BC AC AB =+-．【解析】（1）图2中，分别延长AG 、AF 交BC 于H 、K ，易证△BAF 与△BKF 全等．∴AF =KF ，AB =KB ，同理可证AG =HG ，AC =HC ，∴FG =12HK又∵HK =BK -BH =AB +AC -BC ，∴1()2FG AB AC BC =+-；A BCDEFGC（2）图3中，分别延长AG 、AF 交BC 或延长线于H 、K易证△BAF 与△BKF 全等∴AF =KF ，AB =KB ，同理可证AG =HG ，AC =HC∴FG =12HK又∵HK =BH -BK =BC +AC -AB∴1()2FG BC AC AB =+-．【总结】本题考查直角三角形性质，等腰三角形性质，角平分线性质以及全等三角形的判定等知识点的综合运用．【例32】 如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AN ，BN ，DM ，CM 划分四边形所成的7个区域的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，6S ，7S ，那么恒成立的关系式是( )．A ．2S +6S =4SB ．1S +7S =4SC ．2S +3S =4SD ．1S +6S =4S【难度】★★★ 【答案】B【解析】过A 作AE ⊥DC 于点E ，过M 作MH ⊥DC 于H ， 过点B 作BQ ⊥CD 于Q ， 则AE //MH //BQ ．∵M 是AB 中点，∴H 是EQ 中点，即MH 是梯形AEQB 的中位线，∴2MH =AE +BQ∵34612MDC S S S S DC MH ∆++==⨯⨯，6712BNC S S S NC BQ ∆+==⨯⨯，1312ADN S S S DN AE ∆+==⨯⨯，又DN =CN∴76131122S S S S NC BQ ND AE +++=⨯⨯+⨯⨯1()2DN AE BQ =⨯+11222DN MH DN MH CD MH =⨯=⨯=⨯∴7613346S S S S S S S +++=++， ∴174S S S +=．【总结】本题考查面积与等积变换的应用，主要考查学生的计算和推理能力．【例33】 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E 、F 分别是CD 、AB 的中点，延长AD 、BC ，分别交FE 的延长线于点H 、G ；求证：AHF BGF ∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】联结AC ，取AC 中点M ，联结EM 、FM∵E 是CD 的中点，M 是AC 中点∴EM =12AD ，EM //AD∵M 是AC 的中点，F 是AB 的中点∴MF //BC ，MF =12BC∵AD =BC ，∴EM =MF ， ∴∠MEF =∠MFE ∵EM //AH ，∴∠MEF =∠AHF ， ∵FM //BG ，∴∠MFE =∠BGF ． ∴∠AHF =∠BGF【总结】解题此题的关键是掌握分析题中的各种信息条件，此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半．【习题1】 有两个角相等的梯形是（）A ．等腰梯形B ．直角梯形C ．一般梯形D ．直角梯形或等腰梯形 【难度】★ 【答案】D【解析】如果两个相等的角是同一底上，则梯形是等腰梯形， 如果两个相等的角是同旁内角，则梯形是直角梯形． 【总结】本题考查等腰梯形判定方法和梯形性质．随堂检测M【习题2】下列命题中，真命题是（）A．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是矩形B．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形C．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是等腰梯形D．顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是直角梯形【难度】★【答案】B【解析】等腰梯形两条对角线相等，可以用三角形中位线性质给予证明．【总结】本题考查中位线性质和菱形判定方法．【习题3】已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是( ) A．78°或120°B．102°或60°C．120°或78°D．60°或120°【难度】★【答案】B【解析】另外两个内角分别是180°-78°=102°，180°-120°=60°．【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题4】下列命题，错误命题的个数是( )①若一个梯形是轴对称图形，则此梯形一定是等腰梯形；②等腰梯形的两腰的延长线与经过两底中点的直线必交于一点；③一组对边相等而另一组对边不相等的四边形是梯形；④有两个内角是直角的四边形是直角梯形.A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】B【解析】③、④错误．【总结】本题考查等腰梯形性质，根据四边形以及梯形的性质举例得出是本题解题关键．【习题5】 如图，在ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，且AD AB ⊥，4AD =，6AB =．求AC 的长．【难度】★★【答案】AC =10． 【解析】∵D 、E 分别是中点，∴DE 是△ABC 的中位线∴DE //AB ，12DE AB ==3，∠ADE =90°， ∴AE =5， ∴AC =10．【总结】本题考查中位线性质的运用．【习题6】 等腰梯形两底之差等于一腰长，求它的底角的度数． 【难度】★★【答案】60°、60°或120°、120°．【解析】设四边形ABCD 是等腰梯形，其中AB //CD ，AD =BC ，DC -AB =AD ， 过点A 作AE //BC 交CD 于点E ，可得平行四边形ABCE ．∴AB =CE ，AE =BC ， ∴AD =BC =AE =CD -AB =DE ， ∴△ADE 是等边三角形， ∴∠D =60°， ∴梯形的底角度数为60°、60°或120°、120°．【总结】本题考查等腰梯形性质与等边三角形性质的综合运用．【习题7】 如图，四边形ABCD 中，AD 不平行BC ，现给出三个条件：①CAB DBA ∠=∠，②AC BD =，③AD BC =．请从上述三个条件中选择两个条件，使得本题添上这两个条件后能够推出ABCD 是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）． 【难度】★★ 【答案】①②或②③．【解析】由①②或②③均可证明△ADB ≌△BCA ．过点D 作DE //BC 交AB 于点E∴∠DAB =∠CBA =∠DEA ，∴AD =DE =BC又DE //BC ，∴四边形DEBC 是平行四边形，∴CD //AB ∵AD 不平行BC ，∴四边形ABCD 是梯形 ∵AD =BC ，∴梯形ABCD 是等腰梯形【总结】本题主要考查等腰梯形的判定方法，涉及等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰梯形的判定方法是解题关键．AB CD EBD CAE【习题8】 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 上的中点，5AB =，7CD =．求四边形EFGH 的周长． 【难度】★★ 【答案】12【解析】∵E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 上的中点， AB =5，CD =7， ∴EF //AB ，GH //AB ，EH //CD ，FG //CD∴EF =2.5，EH =3.5，∴四边形EFGH 是平行四边形 ∴四边形EFGH 的周长=2（EF +EH ）=12．【总结】本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题9】 在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =4，AD =4，CD=B =60°，∠C =30°，E 为AB 上一个动点(与A 、B 不重合)，EF //CD ，交BC 于点F ，联结DE 、CE ． （1）求梯形ABCD 的面积；（2）设BE =x ，四边形CDEF 的面积为y ，求出y 与x 的函数解析式；（3）是否存在这样的点E ，使四边形CDEF 的面积为梯形ABCD 面积的三分之二． 【难度】★★★【答案】（1）；（2）y =++；（3）BE． 【解析】（1）分别过点A 、D 作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，可得：BG =2，GH =4，CH =6，AG =DH=CD=∴1()2ABCD S AD BC AG =+=梯形（2）∵EF //CD ， ∴∠EFB =∠DCB =30°，∵∠B =60°，∴∠BEF =90°． ∴BF =2x ，EF，BEFS ∆= △ADE 中，AE =4-x ，AD =4，作DK ⊥BA 交BA 延长线于K ， ∵∠BAD =120°，∴DK=∴ADE S ∆=， ∴y =ABCD ADEBEF S S S ∆∆--==+（3）由题意，得：23+=⨯解得：x（舍负）， ∴BE． 【总结】本题考查梯形的综合解题，考查知识点较多运用数形结合，分类讨论是解题关键．HFE DCBA GA BCDE F H【习题10】 已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27?（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】（1）344y x =+； （2）167t =； （3）7(08)2244(818)8184(1823)55tt S t t t t ⎧<≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<<⎩．【解析】（1）设BC 解析式为y =kx +b ，代入B （8，10），C （0，4），解得直线BC 的解析式为：344y x =+；（2）∵D 是线段BC 中点，∴D （4，7）．∵27OPDC COAB S S =四边形梯形， ∴1121744(104)82272t ⨯+⨯⨯=+⨯⨯，解得：167t =；（3）当P 点在OA 上时，S =17722tt ⨯⨯=(08)t <≤；当P 在AB 上时，OPA BPD OCD COAB S S S S S ∆∆∆=---梯形=1111(410)8448(8)(18)4244(818)2222t t t t +⨯-⨯⨯-⨯⨯---⨯=-+<≤； 当P 在BD 上时，S =OCD OPA ABP COAB S S S S ∆∆∆---梯形=818455t -+（18＜t ＜23）； 当P 在OD 上时，S =0，（舍） ∴7(08)2244(818)8184(1823)55tt S t t t t ⎧<≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<<⎩．【总结】本题综合性较强，考查中位线性质与一次函数的综合运用，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．【作业1】能识别四边形ABCD是等腰梯形的条件是（）A．AD//BC，AB=CD B．∠A：∠B：∠C：∠D=3：2：3:2C．AD//BC，AD≠BC，AB=CDD．∠A+∠B=180°，AD=BC【难度】★【答案】C【解析】只有一组对边平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形．【总结】本题考查等腰梯形判定方法．【作业2】（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，下底BC为8cm，上底AD为6cm，∠ADB=60°，那么AC的长为__________；（2）已知梯形的中位线长为9厘米，上底长是下底长的一半，那么下底的长是__________厘米．【难度】★【答案】（1）cm；（2）12．【解析】（1）在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴BA=在Rt△ABC中，AC（2）设上底为x，下底为y，则有9212x yx y+=⨯⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：y=12，∴下底为12厘米．【总结】本题考查梯形性质与中位线定理的综合运用．【作业3】若梯形中位线被它的两条对角线分成三等份，则梯形的两底之比为（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5【难度】★【答案】A【解析】设梯形ABCD中，AB//CD，AD和BC的中点分别是E、F，AC，BD分别交EF于点H，G，易证AB=2EG，CD=2GF．∵EG=GH=HF，∴GF=2EG，∴CD=2AB．【总结】本题考查梯形中位线的性质的运用．课后作业【作业4】 如图所示，直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，垂直于底的腰AB 的长为b ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．abB ．12abC ．14ab D ．2ab【难度】★★ 【答案】B【解析】∵EF 是梯形中位线，∴E 是AB 中点，∴AE =BE =12b∴1111122222DEC DEF EFC S S S S a b a b ab ∆∆∆==+=⋅+⋅=阴．【总结】本题考查梯形中位线定义，性质及面积公式的综合运用．【作业5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【难度】★★ 【答案】B【解析】①③正确，②④错误，故选B ． 【总结】本题考查梯形中位线的运用．∵BC =BA ，∴∠BCA =∠BAC ，∴∠DCA =∠BCA 可证△ADC ≌△AEC ，∴CD =CE =4，BE =16， ∴AE =AD =12；（2）S =1()1442AD CD AB +=．【总结】本题考查全等三角形判定方法，勾股定理及梯形面积公式的综合运用．A BE A BCDEF。
中位线及其应用
中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积．分析由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．解由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以由条件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，从而 AD=8(厘米)，由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以BC=2EG=2×6=12(厘米)，显然，AD是BC上的高，所以例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．(1)求证：GH∥BC；(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．分析若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．(1)证分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)．从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)，从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．(2)解由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．又BC=18厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．从而MN=18-4-9=5(厘米)，说明 (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．分析由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．证连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．从而A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以AB⊥BC，BC∥PQ．从而AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四边形A′B′C′D′是矩形，所以A′C′=B′D′．①说明在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：分析在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点．证取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，所以在△EFG中，EF＞EG-FG．③由①，②，③例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．分析本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．证取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以因为AD=AB+CD，所以从而∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：AA1+EE1=FF1+DD1．分析显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．证连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四边形，它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D 的公共中位线，所以即 AA1+EE1=FF1+DD1．练习十四1．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长．2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．4．如图2-61所示．在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是CD，AB的中点，延长AD，BC，分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF．5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．6．如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．7．已知在四边形ABCD中，AD＞BC，E，F分别是AB，CD。
八年级数学寒假班讲义二第14讲-三角形、梯形的中位线
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师： 年级：辅导科目： 授课日期时间主题三角形、梯形的中位线学习目标1．理解三角形、梯形的中位线概念；2．掌握三角形、梯形中位线的性质定理，并能用其进行计算和论证；3. 能综合运用三角形、梯形、以及其他特殊四边行有关知识进行计算与证明．教学内容1、 上次课后巩固作业复习；2、 互动探索1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 2．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 练习：1．已知梯形的中位线长为9cm ，上底长5cm ，那么下底的长是 cm ； 2．梯形的中位线长为20cm ，高为4cm ，则其面积为 cm ²；3．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b (a <b )的比是（ ） A 、12 B 、13 C 、23 D 、254．△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______． 参考答案：1．13； 2．80； 3． A ； 4．18．EDFBCAEF AD BC【知识梳理1】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 【例题精讲】例1：在梯形ABCD 中，EF 分别是对角线BD 和AC 的中点，求证：1()2EF BC AD =-参考答案：联结DF 并延长交BC 与G ，证明△ADF ≌△CGF ，再根据三角形中位线可得试一试：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点．已知两底的差是8，两 腰和是12，求△EFG 的周长。
参考答案：联结AE 并延长，交CD 于点H ．∵AB ∥CD ， ∴∠ABE ＝∠HDE ，∠EAB ＝∠EHD ， 又∵E 为BD 中点， ∴BE ＝DE ．∴△AEB ≌△HED ． ∴DH ＝AB ，AE ＝EH ． ∵F 为AC 中点； ∴EF ＝12HC ＝12 (CD —DH )＝ 12(CD —AB )＝4 ∵点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点 ∴EG ＝12BC ， FG ＝12AD ； ∴EG+ FG ＝12(BC+AD )＝6 ∴△EFG 的周长为10例题2：问题1：我们把依次联结任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次联结各边中点得到的中点四边形EFGH ．这个中点四边形EFGH 的形状为 ；说明理由．EFA DBC EFA D BCG FEB DCA H GFEB DCA问题2：将问题1中的四边形特殊化后，又能都到什么特殊的中点四边形？ 总结一下，完成下表：基础图形 顺次联结其各边中点所得的四边形 （在图中画出并指出四边形类型）平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形问题3：根据问题2的探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？参考答案：问题1：平行四边形； 证明：联结AC ，∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点， ∴EF ∥AC ，EF ＝12AC FGEHA BCDFGEHABCD同理：HG ∥AC ，HG ＝12AC ∴EF ∥HG ，EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 问题2：略；问题3：中点四边形的形状是由原四边形对角线的数量和位置关系决定的，当原四边形对角线相等时为菱形，对角线垂直时为矩形，对角线相等且垂直时为正方形．例题3：如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC 内，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．参考答案：（1）证明：延长CE 交AB 于点G ，∵AE ⊥CE ，∴∠AEG ＝∠AEC ＝90º，又∵∠GAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ，∴△AGE ≌△ACE ． ∴GE ＝EC ．∵BD ＝CD ，∴DE //AB ．∵EF //BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形．（2）解：∵四边形BDEF 是平行四边形，∴BF ＝DE ．∵D 、E 分别是BC 、GC 的中点，∴BG ＝2BF ＝2DE ． ∵△AGE ≌△ACE ，∴AG ＝AC ，∴2BF ＝AB –AG ＝AB –AC ．例题4：如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ＝BC ，对角线AC 、BD 的交点O ，∠AOB ＝60°，又S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点． 求证：△SPQ 是等边三角形．FEDBCAGFEDBCA参考答案：证明：联结CS ，BP ． ∵四边形ABCD 是等腰梯形，且AC 与BD 相交于O ， ∴可得出：△CAB ≌△DBA ， ∴∠CAB ＝∠DBA ， 同理可得出：∠ACD ＝∠BDC ，∴AO ＝BO ，CO ＝DO ． ∵∠AOB ＝60°， ∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形． ∵S 是OD 的中点， ∴CS ⊥DO ．在Rt △BSC 中，Q 为BC 中点，SQ 是斜边BC 的中线，∴SQ ＝12BC ． 同理BP ⊥AC ． 在Rt △BPC 中，PQ ＝12BC ． 又∵SP 是△OAD 的中位线，∴SP ＝12AD ＝12BC ． ∴SP ＝PQ ＝SQ ．故△SPQ 为等边三角形※例题5：如图在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且BD ＝CE ，M 、N 分别是BE 、CD 的中点．过 MN 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，线段AP 、AQ 相等吗？为什么？ 答案：AP ＝AQ ，理由：取BC 的中点H ，联结MH ，NH ． ∵M ，H 为BE ，BC 的中点，∴MH ∥EC ，且MH ＝12EC ．同理：NH ∥BD ，且NH ＝12BD ．∵BD ＝CE ，∴MH ＝NH ．∴∠HMN ＝∠HNM ； ∵MH ∥EC ，∴∠HMN ＝∠PQA ， 同理∠HNM ＝∠QP A ． ∴∠APQ ＝∠AQP ， ∴AP ＝AQ补充类试题：已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE 的延长线分别与AD 、BCQPS OC DA BQPS OCDA BQPNMABCD E HQ PN MABCD E的延长线交于H 、G 点． 求证：∠AHF ＝∠BGF ．参考答案：联结AC ，取AC 的中点M ，再分别联结ME 、MF ， ∵E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，∴ME ∥AD ， EM ＝12AD ， MF ∥BC ，MF ＝12BC ． ∵AD ＝BC ， ∴EM ＝MF ， ∴∠MEF ＝∠MFE ． ∵EM ∥AH ，∴∠MEF ＝∠AHF ∵FM ∥BG ，∴∠MFE ＝∠BGF ∴∠AHF ＝∠BGF1．若顺次联结四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是 的四边形； 2．如图，在梯形ABCD 中，已知AD //CB ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，则梯形的中位线长 为 cm ；3．已知：如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝5，AC ＝7，求ED ．GH FEDABC MGH FE DABCDBCA4．如图，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，过C 作AD 的垂线，交AD 的延长线于点E ，F 为BC 中点，联结EF ； 求证：EF //AB .参考答案：1．对角线垂直； 2．132； 3． ED ＝1，提示：延长BE ，交AC 于F 点； 4．提示：延长AB 和CE 交于G 点即可．【巩固练习】1．如图，梯形ABCD 中，E 、F 分别为腰AB 、CD 的中点，若 ∠ABC 和∠DCB 的平分线相交与线段EF 上的一点P ，当EF ＝3时，则梯形ABCD 的周长为 ；EDBCAD FEBCA2．等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是（ ） A 、平行四边形B 、矩形C 、菱形D 、正方形3．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F 、M 分别为AB 、DC 、BC 的中点，且ME ＝ MF ． 求证：梯形ABCD 是等腰梯形．4．如图，已知BE 、CD 分别是△ABC 的角平分线，并且AE ⊥BE 于E 点，AD ⊥DC 于D 点． 求证：（1）DE ∥BC ；（2）DE ＝12(AB +AC −BC )．参考答案：1．12； 2．D ；3．联结AC ，BD ， ∵E 、F 、M 分别为AB 、DC 、BC 的中点， ∴EM ＝12AC ，MF ＝12BD ， ∵ME ＝ MF ， ∴AC ＝BD ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形4．证明：（1）延长AD 、AE ，交BC 于F 、G ； ∵BE ⊥AG ， ∴∠AEB ＝∠BEG ＝90°；∵BE 平分∠ABG ，∴∠ABE ＝∠GBE ；∴∠BAE ＝∠BGE ； ∴△ABG 是等腰三角形；∴AB ＝BG ，即E 是AG 中点； 同理可得：D 是AF 中点； ∴DE 是△AFG 的中位线； ∴DE ∥BC ． （2）由（1）知DE 是△AFG 的中位线，∴DE ＝12FG ； PFE DBCA FEDMA BC FEDMABCED B CAGF ED BCA∵FG＝BG+CF-BC，且AB＝BG，AC＝CF；∴FG＝AB+AC-BC，即DE＝12（AB+AC-BC）【预习思考】1．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是和．2．如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（）A、12 cm2B、18 cm2C、24 cm2D、30 cm23．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A、当AB＝BC时，它是菱形；B、当AC⊥BD时，它是菱形；C、当AC＝BD时，它是正方形；D、当∠ABC＝900时，它是矩形. 4．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。
中位线及其应用
中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。
几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。
b ：一个三角形有三条中位线。
c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
八年级数学下册22.6三角形梯形的中位线3教学设计沪教版五四制
八年级数学下册22.6三角形梯形的中位线3教学设计沪教版五四制一. 教材分析《三角形梯形的中位线》是沪教版八年级数学下册第22章第6节的内容，本节课主要让学生掌握三角形和梯形的中位线定理，并能够运用该定理解决相关问题。
教材通过引入中位线的概念，引导学生探究中位线的性质，进而推导出中位线的长度等于它所对的边的长度，以及中位线平行于第三边。
这一内容是学生进一步学习几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平行线、三角形和梯形的基本知识，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但学生在学习过程中，可能对中位线的概念和性质理解不深，对中位线定理的应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要通过丰富的教学手段，帮助学生理解和掌握中位线定理，提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.让学生理解三角形和梯形的中位线定理，掌握中位线的性质。
2.培养学生运用中位线定理解决实际问题的能力。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重难点：三角形和梯形的中位线定理的推导和应用。
2.难点：学生对中位线定理的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究中位线的性质。
2.利用几何画板和实物模型，帮助学生直观地理解中位线定理。
3.通过例题和练习题，让学生巩固中位线定理的应用。
4.分组讨论和合作交流，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示中位线的性质。
2.准备相关的PPT和教学课件，用于辅助教学。
3.准备一系列的例题和练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习三角形和梯形的基本知识，引导学生思考中位线的作用和意义。
2.呈现（10分钟）利用几何画板和实物模型，呈现三角形和梯形的中位线，引导学生观察和思考中位线的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试找出三角形和梯形的中位线，并测量中位线的长度，验证中位线定理。
三角形中位线与梯形练习#精选.
源尚教育 数学学习内容一、 三角形与梯形的中位线 二、梯形讲 解知识回顾1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。
注意：三角形的中位线有3条。
2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
3．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段注意：（1）不是连结两底中点，是连接两腰的中点；（2）梯形的中线是唯一的。
4．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
1．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm2．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m3．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A ．20081 B ．20091 C ．220081 D ．2200914．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF •的周长是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．405. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为梯形的中位线， EF 交梯形的对角线BD 、AC 于M 、N ，图中有几条三角形的中位线（ ）ED NMFC B AA. 2条B. 3条C. 4条D. 5条6. 如图，梯形的一条对角线BD 将中位线EF 分成的两部分的比为1：2，则梯形上下两底的比为（ ）源尚教育 数学E D MF CBAA. 1：2B. 1：4C. 2：3D. 1：37. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形的一个内角是（ ）A. 90°B. 60°C. 45° D . 30°8. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10cm ，则梯形的高为（ ）D CBAA. 8cmB. 5cmC. 10cmD. 11cm9. 梯形的面积是242cm ，高为6cm ，那么它的中位线长为（ ）A. 8cmB. 30cmC. 4cmD. 18cm10．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是 cm 。
利用自然分材教学理论设计练习、组织教学——以《三角形、梯形中位线定理的综合运用》为例展开
“ 自然分材教学 ” 的理论是熊川武 等教授提 出的 ， 习 内容 四边形 。 即学 随学 生学力差异 自 分化并指 导学生研究 和解决 自己学习 中存 然 （） ２ 若顺 次连结对角 线互相垂 直 的四边形各边 的中点 ， 所得 在 的问题 的教学理论与实践形态 。根据 自然分材教学理论与相关 的四边形是 －。 Ｉ
知 的应用 ， 为 了拓展 性练习 的铺 垫 ， 是 主要提供 “ 普读 生 ” 能积极
３拓展性练习 ， ． 满足全体小导师及部分普读生的学 习需要 拓 展性练习建立在发展性练 习的基础上 ， 目的在于促进学生 建 构新 的知 识 网络 ， 新 旧知识 整合能力 ， 能综合运 用新 旧 培养 并
导师 ” 的指导下 ， 解决拓展性 习题 的话 ， 则跃升 为“ 小导师” 。 简言之 ， 教师提供学 生“ 顺势 为学” 的学 习氛 围。其 旨在弱生 上进 、 优生更优 、 全体学生齐发展 。
（） １顺次连结矩形 四条边 的中点 ， 得的四边形是 所
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。
（） ２顺次连结平行 四边形各边 中点所得到 的四边形是
实践成 果介绍 ， 行学生学 习 内容 的设计要有 梯度 ； 生在课 堂 进 学
（） ３若顺 次连结对角 线相等 的 四边形各 边 的中点 ， 所得 的 四
— —
上根 据 自己的学 习能 力 ， 随机 分成 “ 补读 生 ” 普 读生 ” “ 导 边形是 “ 和 小 师”他们通过对 三类 习题（ ， 下文 提到的基础性 、 发展性 、 拓展性题 （） ４若顺次连结对角线— 目） 掌握 的程度 ， 然 分化 ， 自 如果无法 解决基础 性习题 ， 要别人 边形是 正方形 。 需
程 中， 要将“ 补读 生” 和部 分“ 导师” 小 以及“ 普读 生” 与剩 下的“ 导师” 小 组成 另一种 学 习小组的优 化分组方式 ， 学生顺势 而学， 让 实现 课
三角形、梯形中位线定理教师版
三角形、梯形中位线定理应用练习课、复习题组1知识要点(1)如图1，三角形中位线性质定理的条件是结论是三角形中位线判定定理的条件是结论是(2)如图2，梯形中位线性质定理的条件是_结论是_ 梯形中位线判定定理的条件是_结论是_2.基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。
此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？(1)全等三角形对应边相等；(2)等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；⑷ 角平分线上的点到角的两边距离相等；(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(6)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半;(7)平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)的性质；(8)等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。
二、基本题组1.__________________________________________________ 顺次连结四边形各边中点所得的四边形是_________________________________________ ；2.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 _____________________3._________________________________________________ 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是___________________________________________ ；4._________________________________________________ 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是___________________________________________ ；5.__________________________________________________ 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是_________________________________________ ；6._________________________________________________ 顺次连结梯形各边中点所得的四边形是___________________________________________ 。
九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版知识精讲
九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线1. 等腰梯形：性质：等腰梯形的同一底边上的两个内角相等。
等腰梯形的两条对角线相等。
判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
2. 三角形的中位线定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3. 梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。
【典型例题】例1. 已知等腰梯形ABCD 中，AB=CD ，∠===B AD cm BC cm 601549°，，，求它的腰长。
A D分析：要求腰长，也就是求AB 的长，通过作辅助线将已知条件集中到一个三角形中，过A 作AE//CD 交BC 于E ，得到一个平行四边形AECD 和△ABE ，易知△ABE 是等边三角形，由BE=BC －AD ，这样问题就解决了。
解：过A 作AE//DC 交BC 于E∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴∠=∠=B C 60° 又∵AD//BC ，AE//DC ∴四边形AECD 是平行四边形。
∴====∴=AD EC cm AE DC AB CD AB AE15，，∴△ABE 是等边三角形。
又 BC cm =49∴=-=∴==BE cm AB BE cm49153434()A D例2. 已知：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC=BC+AD ，求∠DBC 的度数。
分析：由等腰梯形的性质得AC=BD ，又题设与对角线有关，考虑平移对角线BD 到AE 的位置，则∠=∠DBC E ，需求∠E ，猜想△ACE 是等边三角形。
解：过A 作AE//BD 交CB 的延长线于E ，则四边形AEBD 是平行四边形。
∴==∴=+=+=AE DB AD BECE BC BE BC AD AC，∵梯形ABCD 是等腰梯形。
三角形梯形中位线
三角形梯形中位线知识点：1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。
（2）三角形的中位线与三角形的中线不同 （3）三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
定理符号语言表达：在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点， ；。
2．梯形中位线：1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
定理符号语言表达：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ；∴ 。
注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系；3）归纳总结出梯形的又一个面积公式：我们知道：S 梯=21(a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积3、中点四边形：1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形；总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。
2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。
3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。
ED BCAEBD A CF图2试一试：1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．2．一个三角形的中位线有_________条．3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm（2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为；6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为；7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为；8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。
三角形、梯形中位线知识的应用高品质版
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结 1、如果图形中有两个以上的中点，一般就具有应用三角形中
位线定理的条件，如果是四边形就可以通过对角线转化为三角 形.
三角形、梯形中位线
初二数学组 范
1、什么叫做三角形的中位线？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 在一个三角形中有几条中位线？有几条中线呢？
2、叙述一下三角形中位线定理.
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
C
D
E
A
B
∵ CD=AD CE=BE
∴ DE∥AB
DE＝
1 2
AB
1、什么叫做梯形的中位线？ 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线. 在一个梯形中有几条中位线？
平行四边 形
矩形 菱形
正方形
7、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的是
平行四边 形
矩形 菱形
正方形
8、顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的是
平行四边 形
矩形 菱形
正方形
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2、叙述一下梯形中位线定理. 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
三角形、梯形中位线定理应用教案
三角形、梯形中位线定理应用教学目标掌握三角形中位线、梯形的中位线的性质定理，能灵活运用三角形中位线定理、梯形中位线定理进行计算和论证；通过探索式教学，发挥主观能动性，锻炼自学能力和探究能力以及语言表达能力。
教学重点掌握三角形、梯形中位线定理，能综合运用三角形、梯形中位线定理以及其他有关知识进行计算与证明并落实书写格式。
教学难点 思路的获得。
教学过程 一、引入通过一道填空题复习上节课所学的三角形中位线定理和梯形中位线定理。
如图1，在△ABC 中， D 、E 、F 是AB 的四等分点，D'、E'、F' 是AC 的四等分点，BC=28，则DD'= ，EE' = ，FF' = 。
图1图2 图3二、新授题组一：通过变式训练1渗透方程思想。
1、如图2，在△ABC 中，D 、E 是AB 边的三等分点，D'、E' 是AC 边的三等分点，若BC=18， 则DD'= ，EE' = 。
2、如图3，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 是AB 的三等分点，E'、F'是CD 的三等分点。
若BC=28，AD=10，则EE' = ，FF' = 。
小结：在做几何计算时，往往会用到方程（组），使得解题思路容易化。
题组二：通过变式训练2体现出三角形中位线定理的应用，并将梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形进行有机的串联。
已知，如图4在△ABC 中，E 、D 分别是AB 、BC 的中点， 1、四边形AEDC 是 形；2、若F 为AC 的中点，则四边形AEDF 是 形；3、 若∠A=90°，则四边形AEDF 是 形； 图44、若要使四边形AEDF 是菱形，则在△ABC 中应添加什么条件 （只能添加一个）；5、若四边形AEDF 是正方形，则△ABC 是 三角形；6、联结EF ，若C △DEF =10cm,则C △ABC = cm ；小结：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转换关系题组三：通过综合应用三角形、梯形中位线定理以及其他有关知识进行计算、证明并落实书C写格式。
平行线等分线段定理三角形梯形的中位线(含答案)
平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线重点与难点：三角形、梯形中位线的综合运用 一、知识点（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截取的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
（3）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
二、例题：例1、下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心。
（1）线段；（2）直线；（3）平行四边形；（4）圆解： （1）线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点；（2）直线是中心对称图形，对称中心是直线上的任意一点；（3）平行四边形（当然也就包括了矩形、菱形、正方形）是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；（4）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
例2、判断下列说法是否正确：（1）矩形的对边关于对角线交点对称。
（ ） （2）圆上任意两点关于圆心对称。
（ ）（3）两个全等三角形必关于某一点中心对称。
（ ） （4）成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等。
（ ） 解：（1）（4）正确（2）（3）错误例3、在下列图形中既是轴对称图菜，又是中心对称图形的是（ ）①任意平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤正三角形；⑥等腰直角三角形 解：①②③例4、下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） ①平行四边形；②一条线段；③一个角；④圆 解：①＊例5、在△ABC 中，∠A≠90°，作既是轴对称又是中心对称的四边形ADEF ，使D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，这样的四边形可以作（ ）个D C FEBDCF B A3DCEB A21DCF B A解：如图：因为四边形ADEF 是中心对称图形， 所以它一定是平行四边形； 因为四边形ADEF 是轴对称图形， 所以它的对角线互相垂直。
三角形、梯形的中位线
三角形、梯形的中位线【知识要点】1． 三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。
注意：三角形的中位线有3条。
2．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段。
注意：（1）不是连结两底中点 （2）梯形的中位线是唯一的3．（1）三角形的中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
（ ） （ ） 【典型例题】例1．求证：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
例2．如图，在△ABC 中，BD 、CE 为AC 、AB 边上的中线，M 、N 是BG 、CG 的中点。
求证：（1）ME ∥ND ；（2）ME=ND例3．已知：如图所示，正方形ABCD 的对角线交于O ，∠BAC 的平分线交BO 于E ，交BC 于F ，A BC D E A D E F B C ABEDCM NGMN求证：OE=12FC 。
例4．如图，已知在口ABCD 中，BD=2AD ，E 、F 、G 分别是AO 、BO 、CD 的中点。
求证：EF=EG 。
例5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s ，问t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形；等腰梯形？【练习与拓展】1．梯形的中位线长为8cm ，高为4cm ，则梯形的面积为 。
2．△ABC 的面积为16cm 2，则三条中位线组成的三角形面积为。
3．梯形的中位线长为6，上下底之差等于3，则此梯形上下底长分别为 。
4．顺次连结四边形各边中点所得的四边形常称为中四边形。
三角形、梯形的中位线(一)
三角形、梯形的中位线（一）教学目的：使学生掌握三角形中位线定理并能熟练地应用它解决有关问题．教学重点：三角形中位线的概念与性质定理．教学难点：同一法证明．教学过程：一复习提问1.什么是三角形的中线？画出ΔABC的中线．2.叙述平行线等分线段定理及其推论2．3.过ΔABC的边AB中点D作DE∥BC，与AC边相交于E点，点E是AC边的什么点？二新课结合复习提问3，如果我们已知ΔABC中AB、AC的中点D、E，连结D、E的线段DE叫做三角形的中位线．定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．问：ΔABC有几条中位线？画出ΔABC的中位线．再问：三角形的中位线和三角形的中线有什么区别？现在我们来研究三角形中位线的性质．此时可播放动画也可让学生动手画ΔABC的一条中位线DE后，让学生测量DE、BC的长，测量∠ADE=∠ABC的度数．让学生们互相讨论所得的结果，猜想三角形的中位线有什么性质．在学生们提出猜想后作如下推导：如图，DE是ΔABC的一条中位线．如果过D作DE∥BC，交AC于E′，那么根据平行线等分线段定理推论2，E′是AC的中点，可见DE′与DE重合，因此DE∥BC．同样，过D作DF∥AC，交BC于F，则BF=FC，∵四边形DFCE是平行四边形，∴DE∥FC，又∵ FC=BC/2∴DE∥BC/2．因此得：三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．（视学生程度，若有余力还可举出其他几种证明方法[1]，目的在于使学生学习如何添加辅助线．可播放动画来启迪思路）．演示动画：例1 求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，因为已知各边中点，可考虑应用一组对边平行且相等来判定，若连AC，则EF、GH分别是ΔABC和ΔADC的中位线，所以EFA∥C/2，GH∥AC/2，即EF∥GH，所以四边形EFGH是平行四边形．证明：（由学生板演完成）例2 已知四边形ABCD中，AC、BD交于O点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，四边形ABCD与四边形EFGH周长的和等于33厘米．求四边形EFGH的周长．分析：由已知得EF是ΔAOB的中位线，则EF=AB/2，同理可得FG=BC/2，GH=CD/2，HE=DA/2，由此可得四边形EFGH的周长是四边形ABCD周长的一半．解：（由学生板演完成）三小结三角形中位线是三角形的一个重要性质定理，它的特点是：在同一个题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，可以根据具体情况，按需选用．四作业1.已知：三角形的各边分别为6cm，8cm和10cm，求连结各边中点所成三角形的周长．2.已知：梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别是AO、BO、CO、DO的中点．求证：（1）四边形A′B′C′D′是梯形；（2）梯形ABCD的周长等于梯形A′B′C′D′周长的2倍．3.求证：三角形的一条中位线与第三边的中线互相平分．4.求证：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形．注释:下面举出几种简单的方法作为参考．（1）如图，延长中位线DE到F，使EF=DE，连结CF．由∠ADE=∠CFE，得AD∥FC，也可以如图4.10-11，根据对角线互相平分判定四边形ADCF是平行四边形，得到AD∥CF．再由BD=AD，得BD∥CF，所以四边形DBCF是平行四边形，DF∥BC，因为DE=DF/2，所以DE=BC/2．（2）如图4.10-12，作CF∥AB，与DE的延长线交于点F，通过证明∠ADE=∠CFE，得AD∥FC，下面步骤同（1）．教学中可以向学生提示这些证明思路，以活跃学生的思维．但要指出，当一个命题有几种证明方法时，要选用比较简捷的方法进行证明。
中位线及其应用
中位线及其应用【知识梳理】1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5、有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
【例题精讲】【例1】已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，试说明BD=2EF。
【巩固】已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点.求证：12DM ABABDB【例2】已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点 则①四边形EFGH 是__________形②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是__________形 ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是__________形 ④当AC 和BD __________时，四边形EFGH 是正方形。
【巩固】如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点。
（1）求证：四边形MENF 是菱形；（2）若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系，并证明你的结论。
【例3】梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点。
梯形中位线定理说课稿
《中位线定理》说课稿一．教材分析本节是以三角形中位线定理为基础，是学生学完三角形中位线知识之后的应用和深化。
学习并掌握梯形的中位线的概念和性质，有利于提高学生解决四边形中的一些计算、证明和实践性问题的能力。
同时又向学生渗透了类比、转化和数形结合的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
教学的重、难点：（1）重点：梯形中位线的概念及其定理；（2）难点：梯形中位线定理的发现和论证的思想方法。
二．学情分析该年龄段学生思维活跃，求知欲强，已经具备一定的观察、猜想、归纳和推理能力。
但由于他们的说理能力较差，探究易具有盲目性，所以教学过程中我会注意问题设置的针对性与层次性。
三、教学目标：知识目标：理解掌握梯形中位线概念及定理，理解它与三角形中位线的区别与联系。
能力培养：经历观察、猜想、探究、实验、说理验证等数学活动，发展合情推理能力，体会类比、转化、数形结合的思想。
解决问题：会初步运用梯形中位线定理来解决有关问题。
情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识。
在探究、应用知识的过程中体会数学的“好玩”。
四、教法和学法：教法：开放式、探究式教学法。
为学生搭建一个“好玩”的平台。
学法：动手实践、自主探索、合作互助。
给学生指一条“好玩”的路。
五、设计理念学生如果对数学产生兴趣，他就会热爱数学的学习，就可以持久地集中注意力，激发丰富的想象力和创造思维，产生愉悦的情绪体验，形成“爱学——乐学——会学——学会”这样一个良性循环。
为了达到这个目标, 真正体现以学生为本的教学理念，本节课的教学环节设计如下：（一）欣赏对比——品数学之美（二）合作探究——探数学之妙（三）巩固应用——用数学之趣（四）归纳提升——悟数学之法板书设计：。