高一数学必修2-解析几何初步单元练习
高一北师大版数学必修2第二章 解析几何初步练习题含答案解析 双基限时练19
双基限时练(十九)一、选择题1．过(1,2)，(5,3)的直线方程是( ) A .y －25－1＝x －13－1 B .y －23－2＝x －15－1 C .y －15－1＝x －35－3D .x －25－2＝y －32－3解析 由两点式，可知答案为B . 答案 B2．已知直线2x ＋ay ＋b ＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为－1，2，则a ，b 的值分别为( )A ．－1,2B ．－2,2C ．2，－2D ．－2，－2 解析 令x ＝0，y ＝－b a ＝2，令y ＝0，x ＝－b2＝－1，得b ＝2，a ＝－1，故选A .答案 A3．已知点(x 0，y 0)在直线3x －9y －27＝0上，则x 0－3y 0的值为( )A ．27B ．18C ．9D ．无法确定解析 由题可知，3x 0－9y 0－27＝0，∴x 0－3y 0＝9. 答案 C4．经过点M(1,1)，且在两坐标轴上截距相等的直线是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1 C ．x ＋y ＝2或x ＝yD ．x ＝1或y ＝1解析 若截距为0，则直线方程为y ＝x ，若截距不为0，设l 的方程为x ＋y ＝a ，又l 过M 点，∴1＋1＝a ，∴a ＝2，故l 为x ＋y ＝2，故选C . 答案 C5．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 令x ＝0，y ＝－C B >0，令y ＝0，x ＝－CA >0，知l 过一、二、四象限，不过第三象限，故选C .答案 C6．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则该直线方程为( )A ．15x －3y －7＝0B ．15x ＋3y －7＝0C ．3x －15y －7＝0D ．3x ＋15y －7＝0解析由题意得⎩⎨⎧－A B＝5，A －2B ＋C ＝0，∴⎩⎨⎧A ＝－5B ，C ＝73B.∴直线方程为－5x ＋y ＋73＝0，即15x －3y －7＝0.答案 A 二、填空题 7．经过A(1,3)和B(a,4)的直线方程为________________________________________________________________________．解析 当a ＝1时，直线AB 的斜率不存在，所求直线的方程为x ＝1；当a ≠1时，由两点式，得y －3x －1＝4－3a －1＝1a －1，得y ＝1a －1(x －1)＋3，即x －(a －1)y ＋3a －4＝0.答案 x ＝1，或x －(a －1)y ＋3a －4＝08．经过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程为________________________________________________ ________________________．解析 设所求的直线方程为x a ＋yb ＝1. ∵直线过点P(－5，－4)，∴－5a ＋－4b ＝1 即4a ＋5b ＝－ab ① 又12|a||b|＝5，即|ab|＝10②将①②联立⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab|＝10，得⎩⎨⎧a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求的直线方程为x －52＋y 4＝1，或x 5＋y－2＝1.即8x －5y ＋20＝0，或2x －5y －10＝0. 答案 8x －5y ＋20＝0，或2x －5y －10＝09．过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条．解析 一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)共三条．答案 3 三、解答题10．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点(6，－2)，求直线l 的方程．解 设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 在x 轴上的截距为b ＋1，∴直线l 的方程为x b ＋1＋y b＝1，又直线l 过点(6，－2)，∴6b ＋1＋－2b ＝1，得b ＝1或b ＝2.∴直线l 的方程为x 2＋y ＝1或x 3＋y2＝1.11．已知△ABC 的三个顶点A(3，－4)，B(0,3)，C(－6,0)，求它的三条边所在的直线方程．解 ∵A(3，－4)，B(0,3)，C(－6,0)， ∴k AB ＝3－(－4)0－3＝－73.∴AB 的直线方程为y －3＝－73(x －0)． 即7x ＋3y －9＝0.由截距式得BC 所在的直线方程为x －6＋y3＝1，即x －2y ＋6＝0.由k AC ＝0－(－4)－6－3＝－49，由点斜式得AC 所在的直线方程为 y －0＝－49(x ＋6)， 即4x ＋9y ＋24＝0.12．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．解 设直线l 的横截距为a(a ≠0)，由题意，得纵截距为6－a ， ∴直线l 的方程为x a ＋y6－a ＝1.∵(1,2)在直线l 上，∴1a ＋26－a＝1，解得a ＝2，或a ＝3.当a ＝2时，直线l ：x 2＋y4＝1经过第一、二、四象限，当a ＝3时，直线方程为x 3＋y3＝1，直线经过第一、二、四象限． 综上得所求直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，或x ＋y －3＝0.思 维 探 究13．已知直线l 的斜率为－3且该直线与两坐标轴围成的三角形面积S 不大于3，试求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．解 据题意可设直线l 方程为y ＝－3x ＋b.其中b ≠0. 令y ＝0，得x ＝b 3 .因此S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 3 ||b|＝b 223≤ 3 .解得－6≤b ≤6，又因为b ≠0，故b ∈[－6，0)∪(0，6]．。
北师大版高中数学必修二解析几何初步同步练习(精品试题)
解析几何初步一、 选择题1．直线236x y -=在x 轴、y 轴上的截距分别是（ ）()A 3，2()B 3,2- ()C 3,2- ()D 3,2--2．已知直线l 经过点(3,2)A 、(3,2)B -，则直线l 的斜率为（ ） ()A 0()B 1()C 1- ()D 不存在3．直线22(252)(4)50a a x a y a -+--+=的倾斜角为45o ，则a 的值为（ ）()A 3-()B 2- ()C 2 ()D 34．直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件（ ）()A ,,A B C 同号 ()B 0,0AC BC << ()C 0,0C AB =<()D 0,0A BC =<5．已知直线12y x b =+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，如果AOB ∆的面积（O 为坐标原点）不大于1，那么b 的范围是（ ）()A 1b ≥-()B 11b -≤≤ ()C 1b ≤且0b ≠ ()D 11b -≤≤且0b ≠6．设,,a b c 是两两不等的实数，直线l 经过点(,)P b b c +与点(,)Q a a c +，则直线l 的斜率是（ ）()A 0()B ()C 1()D7．三点(3,1)A ，(2,)B m ，(8,11)C 在同一直线上，则实数m 的值是 （ ）()A 4-()B 3- ()C 2- ()D 1-8．直线的倾斜角为060，直线2l 垂直于直线1l ，则直线2l 的斜率是（ ）AB C3D3-9．已知A (0,8),B (4,0)-,C(m ，－4)三点共线，则实数m 的值是（ ） A6-B 6C 5-D 510．以A (1,1)- B (2,1)-C (1,4)为顶点的三角形是（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 以上都不对11．过点(6,)P m 和点Q (,3)m 的直线与直线250x y -+=平行，则m 的值为（ ） A 3B 4C 5D 612．两直线3430x y --=和68190x y -+=之间的距离为（ ）A 2 B32 C 52D 3 13．下列直线中，斜率为43-，且不经过第一象限的是（）()A 3470x y ++= ()B 4370x y ++= ()C 43420x y +-=()D 44420x y +-=14．已知直线l ：0Ax By C ++=（,A B 不全为0），点00(,)P x y 在l 上，则l 的方程可化为（ ）()A 00()()0A x x B y y C ++++= ()B 00()()0A x x B y y +++= ()C 00()()0A x x B y y C -+-+=()D 00()()0A x x B y y -+-=15．直线l 经过点(1,0)-，且通过一、二、三象限，它与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则直线l 的方程是（ ）()A 440x y +-=()B 440x y ++=()C 440x y --=()D 440x y -+=16．在直线x y =到)1,1(-A 距离最短的点是 （ ）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（－1，－1）D ．（21,21-）17．x 轴上点到)2,2(),1,2(-B A 两点距离的最小值为（ ） A ．3B ．17C ．5D ．1718．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足 （ ）A ．0≠mB ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m19．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为 M （1，－1），则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32C ．－23 D ． －3220．△ABC 中，点A(4，－1),AB 的中点为M(3，2),重心为P(4，2)，则边BC 的长为（ ）A ．5B ．4C ．10D ．821．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）A ．(0，0) B．(0，1)C ．(3，1)D ．(2，1)22．如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．两直线22x ay a +=+与1ax y a +=+平行时，a 的值是（ ）()A 12a =()B 12a =-()C 1a = ()D 1a =-24．如图，若直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则（ ）()A 123k k k <<()B 132k k k <<()C 312k k k << ()D 321k k k <<25．下列说法的正确的是 （ ）A ．经过定点的直线都可以用方程表示3B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程表示C ．不经过原点的直线都可以用方程表示D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程表示26．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．B ．－3C ．D ．327．直线在轴上的截距是（ ）A ．B ．－C ．D ．28．若点),4(a 到直线0134=--y x 的距离不大于3，则a 的取值范围为 （ ）A ．)10,0(B ．]10,0[C ．]331,31[ D ．),(+∞-∞29．已知两定点A(－3，5)，B(2，15)，动点P 在直线3x －4y ＋4＝0上，当PA ＋PB 取 最小值时，这个最小值为 （ ）A ．513B ．362C ．155D ．5＋10230．圆222420x y x y ++-+=的圆心坐标和半径分别为( )()A (1,2),3- ()B (1,2),3- ()C (1,-()D (1,-31．圆的方程为22220x y kx y k ++++=，当圆面积最大时，圆心坐标为（ ）()A (1,1)-()B (1,1)-()C (1,0)-()D (0,1)-32．如果圆220x y Dx Ey F ++++=关于直线2y x =对称，则（ ）()A 2D E = ()B 2E D = ()C 20E D += ()D D E =33．圆心为(2,1)-的圆，在直线10x y --=上截得的弦长为那么，这个圆的方程为（ ） A 22(2)(1)4x y -++=B 22(2)(1)2x y -++=C22(2)(1)4x y ++-= D22(2)(1)2x y ++-=34．圆2268240x y x y +-++=关于直线0y =对称的圆的方程是（ ） A 22(3)(4)1x y ++-=B 22(4)(3)1x y -++=C22(4)(3)1x y ++-=D 22(3)(4)1x y -+-=35．方程1x -= ）A 一个圆B 两个圆C 半个圆D 两个半圆36.直线l 经过点A （2,1），且与直线x – y -4 = 0和x 轴围成等腰三角形，则这样的直线的条数共有 （ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条37．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)A 关于xoy 平面对称点为B ，关于原点的对称点为C ，则B,C 间的距离为（ ） AB C D 38．直线1x y +=与圆222220x y x y +-+-=的位置关系是（ ） A 相切 B 相交但直线不过圆心 C 相离 D相交且直线过圆心 39．直线0x my m ++=(1)m ≠±与圆22(1)1x y +-=的位置关系 是（ ）()A 相离 ()B 相交 ()C 相切()D 根据m的值而定40．已知半径为1的动圆与定圆22(5)(7)16x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A ．22(5)(7)25x y -++=B ．22(5)(7)3x y -++= 或22(5)(7)15x y -++=C ．22(5)(7)9x y -++=D ．22(5)(7)25x y -++= 或22(5)(7)9x y -++=41．若圆x 2+ y 2- 2x - 4y=0的圆心到直线x – y + a = 0的距离为2，则a 的值( )A 、-2或2B 、12或32C 、2或0D 、-2或042．圆x 2+ y 2=9与圆(x-1)2+(y+1)2=16的位置关系是( ) A 、相交 B 、内切 C 、外切 D 、相离 43．若点A(2a , a-1)在圆x 2+ y 2– 2y-4=0的内部，则a 的取值范围是( )A 、-1<a<1B 、0<a<1C 、-1<a<15D 、15-<a<144、直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于E 、F 两点，则△EOF(o 为原点)的面积为( )A 、32B 、34C 、 D45、圆：x 2+ y 2– 4x + 6y = 0和圆：：x 2+ y 2– 6x = 0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A 、x+y+3=0B 、2x-y-5=0C 、3x-y-9=0D 、4x-3y+7=046、圆：x 2+y 2- 2x - 2y + 1 =0上的点到直线x – y = 2的距离最大值是( )A 、2B 、C 、1+2D 、1+47、与直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是( ) A 、3x-2y+2 =0 B 、2x+3y+7=0 C 、3x-2y-12=0 D 、2x+3y+8=048、以点(2，-1)为圆心且与直线3x - 4y + 5 = 0相切的圆的方程为( )A 、(x-2)2+ (y+1)2= 3 B 、(x+2)2+ (y-1)2= 3 C 、(x-2)3+ (y+1)2= 9 D 、(x+2)2+ (y-1)2= 9 49、若直线ax + by = 4与圆C ：x 2+ y 2= 4有两个不同交点，则点P( a,b)圆C 的位置关系是( )A 、在圆内B 、在圆外C 、在圆上D 、不确定 50、已知圆C ：x 2+ y 2- 2x + 4y = 0,则通过原点且与圆C 相切的直线方程为( )A 、y=-2xB 、y=-12x C 、y=12x D 、y= 2x二、填空题1、直线l 的倾斜角为-60αo ，则α的范围为__________2、若A(1)，B(3，直线l 过原点，且与线段AB 有公共点，则直线l斜率的范围是________3、已知直线l的倾斜角为45o，且在y轴上的截距为-4，则直线l的斜截式方程为______4、过两点(-2,2)，(2，3)的直线的点斜式方程为________5、直线l的y轴与x轴上的截距分别为12与-12，则直线l的方程为_______6、经过两点A(1,2)B(3，-2)的直线，在y轴与x轴上的截距分别为a,b,则a+b=______7、将方程2x+3y+4=0,化为截距式方程，其结果为________8、与直线x+y=1斜率相等，且过点(1,2)的直线方程的一般式为________9、已知A(0，-1),B(-2a,0 ),C(1,1),D(2,4),若直线AB与直线CD 平行，则a的值为_______10、过点P(m,n)引一直线，使其倾斜角为直线l：x – y – 3 = 0的倾斜角的两倍，则该直线的方程是_______11、若直线l1：x+by=1与直线l2:x-y=a的交点坐标是(0，2)，则a+b=_______12、在平面直角坐标系中，若直线x+y+a=0与直线x-3y=0的交点在第三象限，则a的取值范围是_______13、已知点M(x,-4)与N(2,3)间的距离为，则x的值为__________14、与直线3x+4y=4平行，并且距离等于2的直线方程是__________15、圆(x-1)2+(y+1)2=2的周长为_________16、已知点A(-4，-5)，B( 6，-1), 则以线段AB为直径的圆的标准方程是_________17、圆x2 + y2 - 4x + 6y + m = 0的直径为6，则m=________18、过点O(0,0)，A(1,1)B(1，-5)的圆的一般方程是__________19、若圆(x-a)2 + (y-b)2 = r2与y轴相切，则a与r的关系为________20、已知直线x=a与圆(x-1)2+y2=1相切，则a=__________21、过圆x2 + y2 = 1和圆x2 + y2- 2x - 2y + 1=0的交点的直线方程是_________22、圆x2 + y2 = 1与圆x2 + y2 - 6x - 8y +9 = 0的公切线有______条23、点P(2,3，4)在xOy 平面内的射影的坐标为_______24、点B是点A(1,2，3)在坐标平面yOz内的射影，则OB等于________，25、已知点A在x轴上，点B的坐标为(1,2，0)，且|AB|=26、直线3x + 4y - 13 = 0与圆(x-2)2 + (y-3)2 = 1的位置关系是_______27、直线y=x-1上的点到圆x2 + y2 + 4x - 2y + 4 =0的最近距离是______28、与圆x2+(y-2)2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有______条29、圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5,2)和(3，-2)的圆的方程为________30、已知直线l的斜率为k(≠0)，它在x轴、y轴上的截距分别为k、2k，则直线l的方程为______三、解答题1、已知三角形的顶点为A(2,4)、B(0，-2)、C(-2,3)求：（1）AB边上的中线CM所在直线的方程；（2）△ABC的面积。
数学必修二第二章解析几何初步试卷及答案
数学必修二第二章解析几何初步一、选择题：1.x 轴上任一点到定点（0；2）、（1；1）距离之和最小值是（C ）A ．2B ．22+C ．10D ．15+2.点（4；0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（B ）A ．（-6；8）B ．（-6；-8）C ．（-8；-6）D ．（6；8）3.直线 032=+-y x l ：关于x y -=；对称的直线方程是（C ） A ．032=+-y x B ．032=-+x y C ．032=--y x D ．032=--y x4.过点P （2；1）；且倾斜角是直线l ：01=--y x 的倾斜角的两倍的直线方程为（B ）A ．012=--y xB ．2=xC ．)2(21-=-x yD ．012=--y x5.以点A （-5；4）为圆心；且与x 轴相切的圆的方程是（C ）A ．25)4()5(22=-++y xB ．16)4()5(22=++-y xC ．16)4()5(22=-++y xD ．25)4()5(22=++-y x 6.一条直线过点P （-3；23-）；且圆2522=+y x 的圆心到该直线的距离为3；则该直线的方程为（C ）A ．3-=xB ．233-=-=y x 或C ．015433=++-=y x x 或D ．01543=++y x7.过点A （1；-1）；B （-1；1）；且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（B ）A ．4)1()3(22=++-y xB ．4)1()1(22=-+-y x C ．4)1()3(22=-++y x D ．4)1()1(22=+++y x8.已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0 a ）；有直线l ：03=+-y x ；当直线l 被圆C 截得弦长为32时；a 等于（A ）A ．12-B ．2-2C ．2D ．12+)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈==--+--；所经过的定点是（B ）A ．（5；2）B ．（2；3）C ．（－21；3） D ．(5；9)10.若直线12++=k kx y 与直线221+-=x y 的交点位于第一象限；则实数k 的取值范围是（C ）A ．26-- kB ．061k -C ．061 k -D ．21k 0155,02,0321=--=-+=-ky x l y x l y x l ：：：构成一个三角形；则k 的范围是（C ） A ．R k ∈B ．R k ∈且0,1≠±≠k kC ．R k ∈且10,5-≠±≠k kD ．R k ∈且1,15≠±≠k k12.若点（2；k ）到直线06125=+-y x 的距离是4；则k 的值是（D ） A ．1 B ．－3C ．1或35D ．－3或31713.已知点P （y x ，）在直线l ：01043=-+y x 上；O 为原点；则当OP最小时；点P 的坐标是（A ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛58,56B ．)4,2(C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,5 D ．⎪⎭⎫⎝⎛-53,51 14.若点（2；k ）到直线06125=+-y x 的距离是4；则k 的值是（A ）A ．-3或317B ．-3C ．1或35D ．1二、填空题15．已知点A （2；5）、B （4；－1）；若在y 轴上存在一点P ；使||||PB PA +最小；则点P 的坐标为__(0；3)___．16．直线0632=-+y x 关于点（1；－1）对称的直线方程为 2x+3y+8=0__. 17．若直线l 经过点(－1；3)；且斜率为－2；则直线l 的方程为_2x+y-1=0_． 18．已知一条直线经过点P(1；2)；且斜率与直线y= 2x +3的斜率相同；则该直线的方程是_2x-y=0 ．19．在x 轴上的截距是5；倾斜角为43π的直线方程为 y=-x+5 。
(常考题)北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知直线3y mx m =+和曲线y =（ ）A ．B ．[C ．(D ．[0,72．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1BC ．D ．33．若直线y x b =+与曲线y =b 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B ．2,⎡-⎣C ．-⎡⎣D ．(-4．已知动点M 到()1,1A ，()3,3B -两点的距离相等，P 是圆()2235x y -+=上的动点，则PM 的最小值为（ ）A B ．C ．2D ．25．已知点(,0)A m -，(,0)B m ，R m ∈，若圆22:(3)(3)2C x y -+-=上存在点P ，满足PA PB ⊥，则m 最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，点Q 是圆22(2)(3)3x y -+-=上的动点，则PQ 的最大值为（ ）A ．5B ．5+C ．3+D ．3-7．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ）A ．7B ．21C D 8．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（ ）A B ．35C ．45D9．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．43D ．1210．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过M 、N 、P 作正方体截面，则下列图形中，平面MNP 不与直线A C '垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263-12．空间四边形PABC 的各边及对角线长度都相等，D 、E 、F 外别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论中不成立的是（ ） A ．//BC 平面PDF B ． DF ⊥平面PAEC ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC二、填空题13．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =_____．14．已知圆M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为______．15．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k =________．16．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．17．已知直线l ：230ax y a --+=与圆C ：()()22124x y -+-=相交于P ，Q 两点，则PQ 的最小值为______.18．已知3,1)P 为圆224x y +=上的一点，,E F 为y 轴上的两点，PEF 是以P 为顶点的等腰三角形，直线,PE PF 分别交圆于点,D C ，直线CD 交y 轴于点A ，则CAO ∠=_______．19．在边长为3的菱形ABCD 中，对角线3AC =，将三角形ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________．20．如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF 所成的角的余弦值为______．21．在三棱锥P ABC -中，4PA PB ==，42BC =，8AC =，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为_________． 22．已知正三棱柱木块111ABC A B C -，其中2AB =，13AA =，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.23．如图，在三棱锥A BCD -，,AB AD BC ⊥⊥平面ABD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD 、BD 上，且EF AD ⊥.则下列结论中：正确结论的序号是______.①//EF 平面ABC ；②AD AC ⊥；③//EF CD24．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 上的任意一点，有下面三个命题：①//PB 平面11CC D D ；②1BD AC ⊥；③1BD PC ⊥．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，CB ⊥平面,//PAB AD BC 且22PB BC AD F ===，为PC 中点．（1）求证：//DF 平面PAB ；（2）求直线AB 与平面PDC 所成角的正弦值．26．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点，E 为BC 的中点．（1）求证：//BG 平面PDE ；（2）在棱PC 上是否存在一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理出．27．如图，已知在三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为2的正三角形，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，若直线PB 与平面ABC 所成的角为6π．（Ⅰ）若PB PC >，求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）若PB PC <，求直线AB 与平面PAC 所成角的正弦值．28．如图，四边形ABCD 为矩形，且4=AD ，22AB =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E 为BC 的中点.（1）求证：PC DE ⊥；（2）若M 为PC 的中点，求三棱锥M PAB -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由直线方程得到直线过定点()3,0P -，且斜率为m ，又由曲线24y x =-心，半径2r =的圆的上半圆，在同一坐标系内画出它们的图象，结合图象求解，即可得【详解】由题意，直线()33y mx m m x =+=+，则直线必过定点()3,0P -，斜率为m ， 又由曲线24y x =-是以原点为圆心，半径2r =的圆的上半圆，在同一坐标系内做出它们的图象，如图所示，当直线与半圆切与点A 时，它们有唯一的公共点，此时，直线的倾斜角α满足2sin 3α=， 所以25cos 1sin αα=-=，可得直线的斜率为sin 25tan cos m ααα===， 当直线3y mx m =+的倾斜角由此变小时，两图象有两个不同的交点，直线的斜率m 变化到0为止，由此可得2505m ≤<， 所以直线3y mx m =+和曲线24y x =-有两个不同的交点时，实数m 的取值范围是250,5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，及直线方程的应用，其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象和三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值． 【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0)到直线的距离为222d =圆的半径为1，22817d r -=-= 故选：B ．本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．3．B解析：B 【分析】直线y x b =+与曲线24y x =-有公共点，转化为直线y x b =+与半圆()224,0x y y +=≥有交点，分析几何图形得出有交点的临界情况．【详解】 由24y x =-可得()224,0x y y +=≥，表示圆心 (0,0),2r =的半圆，当y x b =+经过(2,0)时，此时2b =-； 当y x b =+与此半圆相切时，222221(1)r b ==⇒=+-，作出半圆与直线的图象如下，由图象可知，要使直线y x b =+与曲线24y x =-则2,22b ⎡∈-⎣.故选：B 【点睛】 关键点点睛：由24y x =-y x b =+与其有公共点的临界情况，是解决问题的关键.4．A解析：A 【分析】易知M 轨迹为线段AB 的垂直平分线，由此可求得M 轨迹方程；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，由d r -可求得结果. 【详解】M 到,A B 两点距离相等，M ∴点轨迹为线段AB 的垂直平分线，又311312-==---AB k ，AB 中点坐标为()1,2-， M ∴点的轨迹方程为：()221y x -=+，即240x y -+=.由圆的方程知：圆心为()3,0，半径r =∴圆心到直线240x y -+=的距离d ==min PM d r ∴=-==故选：A. 【点睛】结论点睛：直线与圆相离时，圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -（d 为圆心到直线距离，r 为圆的半径）.5．C解析：C 【分析】首先设点(),P x y ，利用0AP BP ⋅=，转化为m =m 的最大值. 【详解】由圆的方程可知，圆的圆心()3,3C ，设(),P x y 则(),AP x m y =+，(),BP x m y =-，()()20AP BP x m x m y ⋅=+-+=，即222m x y m =+⇒=m 的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值，即圆心到原点的距离加半径，即OC r +== 故选：C 【点睛】结论点睛：与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r -；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -；6．B解析：B 【分析】先求出动点P 轨迹方程（圆），再根据两圆位置关系确定PQ 的最大值取法，计算即可得结果. 【详解】设(,)P x y ，因为2PA PB =，所以2222(2)2(1)x y x y ++=-+22(2)4x y ∴-+=因此PQ 最大值为两圆心距离加上两圆半径，即为22(22)3+2+3=5+3-+ 故选：B 【点睛】本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值，考查数形结合思想方法以及基本化简能力，属中档题.7．A解析：A 【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离. 【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得1122==A B AC ，1A BC 为等腰三角形，所以1A BC 的高为7，由对称性可知，111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为112772=⨯⨯=A BC S △，12332ABCS =⨯⨯=，所以111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即2322177h ==. 故选：A.一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.8．B解析：B 【分析】证明//BE AF ，得AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角，在三角形中求解即可． 【详解】连接,AF EF ，∵,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，∴//EF AB ，EF AB =， ∴ABEF 是平行四边形，∴//BE AF ，∴AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角， 设正方体的棱长为2，则111A F D F ==，22215AF DF ==+=，2223cos 25255AF DF AD AFD AF DF +-∠===⋅⨯⨯，异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为35． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．C解析：C因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=， 故()2600x x z -++= 所以()6z x x =-3x =时max 3z =又()143P BCE P ABC E ABC ABCV V V S z ---=-=-因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值()1114343643332P BCE ABC V S-=-=⋅⋅=故选：C 【点睛】关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥E ABC -的高的最大值即可.10．A解析：A 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项，利用假设法推出矛盾，可判断A 选项. 【详解】对于A 选项，连接B C '，假设A C '⊥平面MNP ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，A B ''⊥平面BB C C ''，B C '⊂平面BB C C ''，A B B C '''∴⊥，所以，A B C ''为直角三角形，且A CB ''∠为锐角，因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点，则//MN B C '，所以，MN 与A C '不垂直， 这与A C '⊥平面MNP 矛盾，故假设不成立，即A C '与平面MNP 不垂直；对于B 选项，连接B D ''、A C ''，如下图所示：因为四边形A B C D ''''为正方形，则A C B D ''''⊥，CC '⊥平面A B C D ''''，B D ''⊂平面A B C D ''''，CC B D '''∴⊥， A C CC C ''''=，B D ''∴⊥平面A CC ''，A C '⊂平面A CC ''，A CB D '''∴⊥，M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点，则//MN B D ''，可得MP A C '⊥， 同理可证A C MN '⊥，MP MN M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP ；对于C 选项，连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ，取A B ''的中点E ，连接C E '、PE ，因为四边形CC D D ''为正方形，则CD C D ''⊥，A D ''⊥平面CC D D ''，C D '⊂平面CC D D ''，C D A D '''∴⊥， CD A D D ''''=，C D '∴⊥平面A CD ''，A C '⊂平面A CD ''，A C C D ''∴⊥，M 、N 分别为DD '、C D ''的中点，//MN C D '∴，A C MN '∴⊥，在正方形A B C D ''''中，E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点，//A E C N ''∴且A E C N ''=， 所以，四边形A EC N ''为平行四边形，所以，//A N C E ''且A N C E ''=， 同理可证四边形CC EP '为平行四边形，//C E CP '∴且C E CP '=， 所以，//A N CP '且A N CP '=，所以，四边形A PCN '为平行四边形， 易得A N CN '=，所以，四边形A PCN '为菱形，所以，A C PN '⊥，MN PN N =，A C '∴⊥平面MNP ；对于D 选项，连接AC 、BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，AA '⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA BD '∴⊥， AC AA A '⋂=，BD ∴⊥平面AA C '，A C '⊂平面AA C '，AC BD '∴⊥，M 、N 分别为CD 、BC 的中点，则//MN BD ，A C MN '∴⊥，同理可证A C MP '⊥，MN MP M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP .故选：A. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．11．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为'2'2'22441626R AF AD AE =++=++6R =2241625DE DF AD AE ==++=2222EF BE BF =+= 在DFE △中，22210cos 222522DE EF DF DEF DE EF +-∠===⨯⨯⨯， 所以DEF ∠为锐角，所以2310sin 1cos 10DEF DEF ∠=-∠=， DEF 的外接圆的半径为5522sin 310DF r DEF ===∠，则球心到DEF 2223R r -=，以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为1R OO +263. 故选：A. 【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.12．C解析：C【分析】由线面平行的判定定理可判断A ；由线面垂直的判定定理可判断B ；反证法可说明C ；由面面垂直的判定定理可判断D. 【详解】对于A ，D ，F 外别是AB ，CA 的中点，//BC DF ∴，DF ⊂平面PDF ，∴//BC 平面PDF ，故A 正确，不符合题意；对于B ，各棱长相等，E 为BC 中点，,BC AE BC PE ∴⊥⊥，PEAE E =，BC ∴⊥平面PAE ，//BC DF ，∴DF ⊥平面PAE ，故B 正确，不符合题意；对于C ，假设平面PDE ⊥平面ABC ，设DE BF O ⋂=，连接PO ，则O 是DE 中点，PO DE ∴⊥，平面PDE平面ABC DE =，PO ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，PO BF ∴⊥，则PB PF =，与PB PF ≠矛盾，故C 错误，符合题意；对于D ，由B 选项 DF ⊥平面PAE ， DF ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查线面关系和面面关系的判定，解题的关键是正确理解判断定理，正确理解垂直平行关系.二、填空题13．【分析】圆L 与圆S 关于原点对称直线l 过原点求出圆L 与圆S 的圆心坐标设出直线l 方程由三个弦长相等得直线方程从而可得弦长d 【详解】由题意圆与圆关于原点对称设则即设方程为则三个圆心到该直线的距离分别为：则 解析：125【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，求出圆L 与圆S 的圆心坐标，设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ． 【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S a a >23,4a =+=，即()()4,04,0S L ∴-，． 设方程为(0y kx k =≠），则三个圆心到该直线的距离分别为：1d =，2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得2421k =， 则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =. 故答案为: 125. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．14．【分析】根据题意只需转化为圆上的点到直线的距离最小即转化为圆心到直线的距离再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹联立两个圆的方程可得所求的直线的方程【详解】⊙M ：则圆心为半径如图连接四边形的面积为要使最 解析：210x y ++=【分析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程. 【详解】⊙M ：222220x y x y +---=，则()()22114x y -+-=，圆心为()1,1，半径2r，如图，连接,,AM BM ，四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，要使||||PM AB ⋅最小，则需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM △的面积最小，因为2,AM =，所以只需 ||PA 最小，又2224,PA PM AMPM =-=-，所以只需直线2++20x y =上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线l 的距离2+1+255d ==，此时,PM l ⊥所以直线PM 的方程为210.x y -+=由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，所以点,,,P A M B 四点共圆，所以以点PM 为直径的圆的方程为22215()()2x y +-=，即2210x y y +--=，联立两个圆的方程2222222010x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩得直线AB 的方程为：210x y ++=.故答案为：210x y ++=.【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.15．7【分析】先将圆的方程化为标准方程设圆心到直线的距离则圆上的点到直线的最大距离为最小距离为（为圆的半径）根据已知条件求出半径从而可求得的值【详解】圆的方程化为标准方程得则圆的半径为设圆心到直线的距离解析：7 【分析】先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离d ，则圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -（r 为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得k 的值. 【详解】圆的方程化为标准方程得()()22112x y k -+-=+，则202k k +>⇒>-，圆的半径为r =设圆心()1,1到直线100x y +-=的距离为d ，d == 当dr 时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -，由已知条件得()()263d r d r r r +--==⇒=，3=，解得7k =.此时，3d ==>，直线100x y +-=与圆()()22119x y -+-=相离，符合题意. 当d r ≤时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为0，由已知条件得66d r r +=⇒=-< 综上，7k = 故答案为：7 【点睛】关键点点睛：解此题的关键在于分类讨论的思想，根据直线与圆的位置关系不同，分别求解，综合即可求解.16．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边解析：,1(4,)13⎛-∞-+∞ ⎝⎭ 【分析】()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论． 【详解】∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，易得直线BC 方程是123x y+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即236131323d ==+，∴min 61311PA d =-=-，又3OC =，∴min314PA=+=，∴PA 的取值范围是6131,413， ∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．17．【分析】首先求出直线所过定点的坐标当时取得最小再根据弦长公式计算可得；【详解】解：因为所以令所以故直线恒过定点又因为故点在圆内当时取得最小因为所以故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系弦长公式 解析：2【分析】首先求出直线所过定点M 的坐标，当PQ MC ⊥时，PQ 取得最小，再根据弦长公式计算可得； 【详解】解：因为230ax y a --+=，所以()()230x a y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，所以23x y =⎧⎨=⎩，故直线恒过定点()2,3M ，又因为()()22213224-+-=<，故点()2,3M 在圆内， 当PQ MC ⊥时，PQ 取得最小， 因为()()2221322MC =-+-= 所以22min 224222PQ r MC =-=-=故答案为：22【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式、两点间的距离公式的应用，关键是掌握直线与圆的位置关系以及应用，属于中档题．18．或【分析】根据题意作出图形过点作x 轴的平行线交圆于点是的角平分线所以为弧的中点再根据中垂线结合平面几何知识求解【详解】过点作x 轴的平行线交圆于点是的角平分线所以为弧的中点所以所以如图1：所以如图2: 解析：30︒或150︒【分析】根据题意，作出图形，过点(3,1)P 作x 轴的平行线，交圆于点()3,1G - PG 是DPC ∠的角平分线，所以G 为弧 CD 的中点，再根据中垂线 OG CD ⊥，结合平面几何知识求解.【详解】过点3,1)P 作x 轴的平行线，交圆于点()3,1G - PG 是DPC ∠的角平分线，所以G 为弧 CD 的中点，所以 OG CD ⊥ ，tan 3GOE ∠=，所以60GOE ∠= ，如图1：090GOA CA ∠+∠= ， 所以030CA ∠=，如图2:0150CA ∠=故答案为：30︒或150︒【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及平面几何的知识，还考查了数形结合的思想和推理论证的能力，属于中档题.19．；【分析】分析菱形的特点结合其翻折的程度判断其外接球球心的位置放到相应三角形中利用勾股定理求得半径利用球的体积公式求得外接球的体积【详解】根据题意画出图形根据长为的菱形中对角线所以和都是正三角形又因 解析：556π； 【分析】分析菱形的特点，结合其翻折的程度，判断其外接球球心的位置，放到相应三角形中，利用勾股定理求得半径，利用球的体积公式求得外接球的体积.【详解】根据题意，画出图形，3的菱形ABCD 中，对角线3AC =所以ABC 和DBC △都是正三角形，又因为二面角B AC D --的大小为2π， 所以分别从两个正三角形的中心做面的垂线，交于O ， 则O 是棱锥B ACD -外接球的球心，且11,2GD OG GE ===， 所以球的半径225R GD OG =+=，所以其体积为3344555()3326V R πππ==⋅=， 故答案为：556π. 【点睛】 思路点睛：该题考查的是有关几何体外接球的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，判断菱形的特征，得到两个三角形的形状；（2）根据直二面角，得到两面垂直，近一倍可以确定其外接球的球心所在的位置； （3）利用勾股定理求得半径；（4）利用球的体积公式求得结果；（5）要熟知常见几何体的外接球的半径的求解方法.20．【分析】由圆柱体积求得底面半径母线长设底面圆心为可得为异面直线与所成的角（或其补角）在对应三角形中求解可得【详解】设圆柱底面半径为则母线长为由得设底面圆心为连接则所以为异面直线所成的角在中所以故答案 解析：63【分析】由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为O ，可得OEF ∠为异面直线AC 与EF 所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得．【详解】设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r ．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ， EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，22OE =，23EF =．所以6cos OE OEF EF ∠==． 故答案为：6．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 21．4【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为（与重合）【详解】解：因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为（与重合）半径 解析：4【分析】取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP ，再根据题意依次计算4EA EB EC EP ====，进而得球O 的球心O 即为E （O 与E 重合）【详解】解：因为BC =8AC =，AB BC ⊥，所以AB =4PA PB ==，所以222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAB ，取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP所以//DE BC ，DE =DP =所以DE ⊥平面PAB ，所以DE PD ⊥，此时，142EB AC EA EC ====， 4EP ==， 所以4EA EB EC EP ====，即球O 的球心球心O 即为E （O 与E 重合），半径为4EA =.故答案为：4.【点睛】本题解题的关键在于寻找球心，在本题中，,PAB ABC △△均为直角三角形，故易得AC 中点即为球心.考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.22．【分析】将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时的点可知点为棱的中点即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时 解析：1:1【分析】将正三棱柱111ABC A B C -的侧面沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M ，可知点M 为棱1BB 的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比.【详解】将正三棱柱111ABC A B C -沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M .由于2AB =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径， M ∴为1BB 的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：1111:1:1C AMB A A CBMC V V --=.故答案为：1:1.【点睛】本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．23．①②【分析】采用逐一验证法根据线面平行线面垂直的判定定理以及线面距离判断可得结果【详解】由共面所以因为平面平面所以平面；故①正确；平面平面所以又因为平面平面所以故②正确；若则平面或EF 在平面ACD 内 解析：①②【分析】采用逐一验证法，根据线面平行，线面垂直的判定定理，以及线面距离，判断可得结果.【详解】由AB AD ⊥，,,EF AD AD EF AB ⊥，共面 ，所以//EF AB ,因为EF ⊄平面ABC ，AB 平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；故①正确； BC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥，又因为AB AD ⊥，AB BC B ⋂=，AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥，故②正确；若//EF CD ，则//EF 平面ACD ，或EF 在平面ACD 内，如图EF 与平面ACD 相交于点E ，显然不成立，故③不正确，故答案为：①②【点睛】本题主要考查了线线、线面之间的位置关系，考查了线面平行的判断以及由线面垂直证明线线垂直，属于中档题.24．①②③【分析】①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错【详解】①如下图所示：因为平面平面平面所以平面故①正确；②连接如下图所示：因为平面所以又因为且所以平面又因为。
新北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．62．若直线y x b =+与曲线y =b 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B ．2,⎡-⎣C ．-⎡⎣D ．(-3．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=4．已知圆()()22:122C x y -++=，若直线24y kx =-上存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ）A ．23k ≤-或0k ≥ B ．38k ≤- C ．38k ≤-或0k ≥D ．23k ≤-5．ABC 中，(1,5)A ，高BE ，CF 所在的直线方程分别为20x y -=，5100++=x y ，则BC 所在直线的方程是（ ）．A ．04=+y xB ．528x y -=C ．350x y +=D ．5328x y -=6．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ） A ．43-B ．54-C ．35D ．53-7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π8．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π9．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．43B ．2C ．4D ．610．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为163，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．24πD ．32π11．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ）A．该四面体外接球的体积为48πB．该四面体内切球的体积为2 3πC．该四面体外接球的表面积为323πD．该四面体内切球的表面积为2π12．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V，该几何体所有棱的棱长之和为L，则（）A．8,14253V L==+B．8,1425V L==+C．8,16253V L==+D．8,1625V L==+二、填空题13．已知圆M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为______．14．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k =________． 15．在极坐标系中,过点22,4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线,则切线的极坐标方程是__________.16．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________．17．在平面直角坐标系xOy 中,A 的坐标为(2,0),B 是第一象限内的一点,以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点,且圆C 在点A ,B 处的切线相交于P ,若P 的坐标为(4,2),则直线PB 的方程为_____. 18．已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线； ②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________19．如图，已知直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均相等，3BAD π∠=，E 是棱AB的中点，设平面α经过直线1A E ，且α平面111,B BCC l α=⋂平面112C CDD l =，若α⊥平面11A ACC ，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为_______．20．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；21．一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_______.22．三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，给出如下命题：①ACB △是直角三角形；②此球的表面积等于11π； ③AC ⊥平面PBC ；④三棱锥A PBC -的体积为3. 其中正确命题的序号为______.（写出所有正确结论的序号）23．如图，在三棱锥A BCD -，,AB AD BC ⊥⊥平面ABD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD 、BD 上，且EF AD ⊥.则下列结论中：正确结论的序号是______.①//EF 平面ABC ；②AD AC ⊥；③//EF CD24．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是___________．三、解答题25．如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==.（1）求证：//GE 平面ACD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCD .26．如图，四棱锥P ABCD -中，2PC PD DC AD ===，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，O ､E 分别是棱CD ､PA 的中点.（1）求证：//OE 平面PBC ； （2）求二面角PAB C 的大小.27．如图，在三棱锥P ABC -中，1,2,135AB AC BAC ︒==∠=，1cos ,3BAP AP BC ∠=-⊥．（1）若23BM MC =，求证：PM BC ⊥； （2）当3AP =，且N 为BC 中点时，求AN 与平面PBC 所成角的正弦值． 28．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）//EF 平面PAD【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.2．B解析：B 【分析】直线y x b =+与曲线24y x =-有公共点，转化为直线y x b =+与半圆()224,0x y y +=≥有交点，分析几何图形得出有交点的临界情况．【详解】 由24y x =-可得()224,0x y y +=≥，表示圆心 (0,0),2r =的半圆，当y x b =+经过(2,0)时，此时2b =-； 当y x b =+与此半圆相切时，222221(1)r b ==⇒=+-，作出半圆与直线的图象如下，由图象可知，要使直线y x b =+与曲线24y x =-则2,22b ⎡⎤∈-⎣⎦.故选：B 【点睛】关键点点睛：由y =y x b =+与其有公共点的临界情况，是解决问题的关键.3．D解析：D 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．4．A解析：A 【分析】直接利用直线与圆的位置关系，由于存在点P 使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步利用点到直线的距离公式求出k 的取值范围. 【详解】解：设过点P 的圆C 的两条切线分别与圆相切于,A B , 因为过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，所以四边形APBC 为正方形，此时正方形的对角线长为2，所以只需圆心(1,2)-到直线的距离小于等于2，≤2， 1k -，解得23k ≤-或0k ≥， 故选：A 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查运算能力和转化能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由垂直关系可得AB 和AC 的斜率，进而可得AB 和AC 的方程，分别解方程组可得B ，C 的坐标，进而可得方程. 【详解】解：∵两边AB ，AC 上的高线方程分别为5100++=x y 与20x y -=， ∴它们的斜率分别为15-，12，故AB 和AC 的斜率分别为5，2-， ∴AB 和AC 的方程分别为()551y x -=-，()521y x -=--， 整理为一般式可得50x y -=，270x y +-=联立方程组5020x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，即()0,0B ，同理联立2705100x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得53x y =⎧⎨=-⎩，即()5,3C -，∴BC 所在直线的方程为3050y x --=-，即350x y +=. 故选：C. 【点睛】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的点斜式方程和斜率公式以及方程组的解法，属中档题.6．A解析：A 【分析】化圆C 的方程为22(4)1x y -+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点即可． 【详解】 解：圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得：22(4)1x y -+=，即圆C 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆22:(4)4C x y '-+=与直线2y kx =+有公共点即可．设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ， 则221d k=+，即234k k -，403k ∴-． k ∴的最小值是43-． 故选：A ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．7．A解析：A 【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积． 【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-，222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=， 而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则223R =, 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．9．B解析：B 【分析】根据三视图判断出几何体的结构，利用椎体体积公式计算出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四棱锥，该棱锥满足底面是直角梯形，且侧棱ED ⊥平面ABCD ， 所以其体积为11(12)22232V =⨯⨯+⨯⨯=， 故选：B. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下： （1）首先根据题中所给的几何体的三视图还原几何体；（2）结合三视图，分析几何体的结构特征，利用体积公式求得结果.10．C解析：C 【分析】分析出当平面P AD '⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD '-的体积取最大值，求出AD 、P A '的长，然后将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，计算出该长方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】取AD 的中点E ，连接P E '，由于P AD '△是以P '为顶点的等腰直角三角形，则P E AD '⊥，设AD x =，则1122P E AD x '==， 设二面角P AD B '--的平面角为θ，则四棱锥P ABCD '-的高为1sin 2h x θ=， 当90θ=时，max 12h x =， 矩形ABCD 的面积为4S AB AD x =⋅=，2111216433233P ABCD V Sh x x x '-=≤⨯⨯==，解得22x =将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-， 所以，四棱锥P ABCD '-的外接球直径为22222226R P N P A P D P Q AD AB ''''==++=+=，则6R =，因此，四棱锥P ABCD '-的外接球的表面积为2424R ππ=.故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.11．D解析：D 【分析】先找到几何体原图，再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径，再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -，AB ⊥平面BCD ,42AB =2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ，则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得1222OE BF AB ===所以222(22)2,23R R =+∴=, 所以外接球的体积为343)3233ππ⨯=，所以选项A 错误； 所以外接球的表面积为24(23)48ππ⨯=，所以选项C 错误； 由题得22(42)(22)210AC AD ==+=所以△ACD △的高为24026-=， 设内切球的半径为r ，则1111111(422242222446)24423222232r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 所以2r， 所以内切球的体积为3422)3ππ⨯=（，所以选项B 错误； 所以内切球的表面积为224()2ππ⨯=，所以选项D 正确. 故选：D【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212r a b c =++几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O '，找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .12．A解析：A 【分析】由三视图还原几何体，由棱锥的体积公式可得选项. 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，E 分别为11,BC BC 的中点，该几何体为四棱锥P ABCD -，且PE ⊥平面ABCD ． 由三视图可知2AB =，则5,3PC PB PD PA ====，则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=． 故选：A.【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．二、填空题13．【分析】根据题意只需转化为圆上的点到直线的距离最小即转化为圆心到直线的距离再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹联立两个圆的方程可得所求的直线的方程【详解】⊙M ：则圆心为半径如图连接四边形的面积为要使最 解析：210x y ++=【分析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程. 【详解】⊙M ：222220x y x y +---=，则()()22114x y -+-=，圆心为()1,1，半径2r，如图，连接,,AM BM ，四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，要使||||PM AB ⋅最小，则需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM △的面积最小，因为2,AM =，所以只需 ||PA 最小，又2224,PA PM AMPM =-=-，所以只需直线2++20x y =上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线l 的距离2+1+255d ==，此时,PM l ⊥所以直线PM 的方程为210.x y -+=由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得1x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，所以点,,,P A M B 四点共圆，所以以点PM 为直径的圆的方程为22215()()2x y +-=，即2210x y y +--=，联立两个圆的方程2222222010x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩得直线AB 的方程为：210x y ++=. 故答案为：210x y ++=.【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.14．7【分析】先将圆的方程化为标准方程设圆心到直线的距离则圆上的点到直线的最大距离为最小距离为（为圆的半径）根据已知条件求出半径从而可求得的值【详解】圆的方程化为标准方程得则圆的半径为设圆心到直线的距离解析：7 【分析】先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离d ，则圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -（r 为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得k 的值. 【详解】圆的方程化为标准方程得()()22112x y k -+-=+，则202k k +>⇒>-， 圆的半径为2r k =+设圆心()1,1到直线100x y +-=的距离为d ，d == 当dr 时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -，由已知条件得()()263d r d r r r +--==⇒=，3=，解得7k =.此时，3d ==>，直线100x y +-=与圆()()22119x y -+-=相离，符合题意. 当d r ≤时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为0，由已知条件得66d r r +=⇒=-综上，7k = 故答案为：7 【点睛】关键点点睛：解此题的关键在于分类讨论的思想，根据直线与圆的位置关系不同，分别求解，综合即可求解.15．【解析】试题分析：点的直角坐标为将圆的方程化为直角坐标方程为化为标准式得圆心坐标为半径长为而点在圆上圆心与点之间连线平行于轴故所求的切线方程为其极坐标方程为考点：1极坐标与直角坐标之间的转化；2圆的解析：cos 2ρθ=. 【解析】试题分析：点4π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()2,2，将圆4sin ρθ=的方程化为直角坐标方程为224x y y +=，化为标准式得()2224x y +-=，圆心坐标为()0,2，半径长为2，而点()2,2在圆()2224x y +-=上，圆心与点4π⎛⎫⎪⎝⎭之间连线平行于x 轴，故所求的切线方程为2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程16．0或6【分析】计算得到圆心半径根据得到利用圆心到直线的距离公式解得答案【详解】即圆心半径故圆心到直线的距离为即故或故答案为：或【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数意在考查学生的计算能力和转解析：0或6 【分析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到d =距离公式解得答案. 【详解】222440x y x y ++--=，即()()22129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为d =2d ==，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。
北师大版高中数学必修2-第2章单元综合复习：单元测试：解析几何初步2
解析几何初步一、选择题（每小题5分，共60分）1、设点A(－1,2),B(2,－2),C(0,3),且点M （a,b ）(a ≠0)是线段AB 上一点，则直线MC 的斜率k 的取值范围是( ) A . []1,25- B.[－1,]25- C. [)1,0(]0,25⋃- D.(－),1[)25,+∞⋃-∞ 2、若直线2x －3y+6=0绕它与y 轴的交点逆时针旋转450角，则此时在x 轴上的截距是 ( ) A. 54- B. 52- C. －45 D. 52 3、如果直线沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A. －31B. －3C. 31D . 3 4、∆ABC 的三个顶点为A(4,1),B(－1,－6),C(－3,2),R 为这个三角形三边围成的区域(包括边界)，当P(x,y)在R 中变动时，S=4x －3y 的最大值及最小值为( )A. 14和－18B. 18和－14C.13和－18D. 14和－135、如果直线l 1,l 2的斜率为k 1,k 2，二直线的夹角为θ，若k 1,k 2分别为二次方程x 2－4x+1=0的两根，那么θ为( ) A. ,3π B.4π C.6π D.8π 6、直线4x －3y －2=0与圆x 2+y 2－2ax+4y+a 2－12=0总有两个交点，则a 应满足( )A.－3<a<7B.－6<a<4C.－7<a<3D. －21<a<197、若直线ax+by －3=0与圆 x 2+y 2+4x －1=0切于点P(－1,2)，则ab 的积为( )A. 3B. 2C.－3D. －28、过Q(2,3)引直线与圆x 2+y 2+8x+2y+8=0交于R,S 两点，那么弦RS 的中点的轨迹为( )A.圆(x+1)2+(y －1)2=49B.圆x 2+y 2+2x －2y 41-=0的一段弧 C.圆x 2+y 2+2x －2y －11=0的一段弧 D. 圆(x+1)2+(y －1)2=139、两圆外切于P ，AB 是它们的一条公切线(切点为A,B),若∆PAB 的周长为40,面积为60,则点P 到AB 的距离为( ) A.217 B.1760 C. 17120 D. 17 10、在圆x 2+y 2－5x=0内，过点(23,25)有n 条长度成等到差数列的弦，最小弦长为a ，最大弦长为a n.若公差d ]31,61[∈，那么n 的取值集合是( ) A.{3,4,5} B.{4,5,6,7} C. {3,4,5,6} D. {5,6,7,8}11、若圆C 1:(x －a)2+(y －b)2=b 2+1始终平分圆C 2: (x+1)2+(y+1)2=4的周长，则实数a,b 应满足的关系式是( )A. a 2－2a －2b －3=0B. a 2+2a+2b+5=0C.a 2+2b 2+2a+2b+1=0D. 3a 2+2b 2+2a+2b+1=012、直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得劣弧对的圆心角为( ) A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 二、填空（每小题4分，共20分） 13、由方程x 2+xy －6y 2=0所确定的两条直线的夹角为14、若动点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)分别在直线l 1:x+y －7=0和l 2:x+y －5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为15、设P(x,y)为圆x 2+(y －1)2=1上任意一点，欲使不等式x+y+m 0≥恒成立，则m 的取值范围是 .16、圆C:(x －cos θ)2+(y －sin θ)2=25与直线l:(2m+1)x+(m+1)y －7m －4=0(m ∈R)的位置关系是三、解答题（本大题共6小题，共74分。
必修2解析几何初步单元检测题及答案
高一数学单元过关检测题（必修2·解析几何初步） 命题人 郑革功（满分100分，检测时间100分钟）一．选择题1. 如果直线0=++C By Ax 的倾斜角为 45，则有关系式Ａ．B A = Ｂ．0=+B A Ｃ．1=AB Ｄ．以上均不可能2. 直线122=-by a x在y 轴上的截距是A. bB. 2bC. 2b -D. b ± 3. 下列命题中正确的是A ．平行的两条直线的斜率一定相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ． 垂直的两直线的斜率之积为-1 D.斜率相等的两条直线一定平行4. 圆2)3()2(22=++-y x 的圆心和半径分别是A ．)3,2(-，1B ．)3,2(-，3C ．)3,2(-，2D ．)3,2(-，2 5. 如果直线l 上的一点A 沿x 轴负方向平移３个单位，再沿y 轴正方向平移１个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是A ．3B ．13 C ．－3 16. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图。
其中实点 建立空间直角坐标系O —xyz 原子所在位置的坐标是A ．（12，12，1） B ．（0，0，1） C ．（1，12，1） D ．（1，12，12）7. 已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-3 8. 已知点P （0，-1），点Q 在直线x-y+1=0上，若直线PQ 垂直于直线x+2y-5=0，则点Q的坐标是 A ．（-2，1） B ．（2，1） C ．（2，3） D ．（-2，-1） 9. 已知三角形ABC 的顶点A （2，2，0），B （0，2，0），C(0，1，4)，则三角形ABC 是A ．直角三角形；B ．锐角三角形；C ．钝角三角形；D ．等腰三角形； 10. 平行于直线2x-y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是A ．2x －y+5=0B ．2x －y －5=0C ．2x ＋y+5=0或2x ＋y －5=0D ．2x －y+5=0或2x －y －5=0 二．填空题11. 如图，直线12,l l 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系是； .12. 如果直线l 与直线x+y －1＝0关于y 轴对称，则直线l 的方程是 . 13. 已知两点A （1，－1）、B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，则实数a 的值是 .14. 直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 .15.直线0323=-+y x 截圆422=+y x 所得的劣弧所对的圆心角为 .16. 连接平面上两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的线段12PP 的中点M 的坐标为1212(,)22x x y y ++，那么，已知空间中两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z ，线段12P P 的中点M 的坐标为 .三．解答题17. 已知一条直线经过两条直线0432:1=--y x l 和0113:2=-+y x l 的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程。
北师大版数学高一必修二 第二章《解析几何初步》单元检测
数学北师版必修2第二章解析几何初步单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于()．A．32B．2C．－1 D．2或－12．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于()．A．8 B．12 C．16 D．193．已知直线l1和l2的夹角平分线为y＝x，如果l1的方程为ax＋by＋c＝0，那么直线l2的方程为()．A．bx＋ay＋c＝0 B．ax－by＋c＝0C．bx＋ay－c＝0 D．bx－ay＋c＝04．圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为()．A．1 B． 2 C．1D．5．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()．A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝27．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是()．A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝208．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()．A．B．C．D．二、填空题(每小题6分，共18分)9．光线从点M(3，－2)照射到y轴上一点P(0,1)后，被y轴反射，则反射光线所在的直线方程为____________．10．若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l的方程为__________．11．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，则直线l的斜率取值范围是________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.求：(1)直线l的方程；(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.13．(12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，点O 为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．14．(12分)已知点P(2,0)及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程．(2)设过点P的直线l1与圆C交于M，N两点，当|MN|＝4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程．(3)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案1答案：D 解析：由a ·(a －1)－2×1＝0得a 2－a －2＝0，∴a ＝2或－1.2答案：A 解析：A 1(－4，－2,3)，A 2(4,2,3)，∴|AA 2|＝8.3答案：A 解析：因为夹角平分线为y ＝x ，所以直线l 1和l 2关于直线y ＝x 对称，其方程为bx ＋ay ＋c ＝0.4答案：C 解析：圆方程化为标准形式为(x －2)2＋(y －2)2＝1，圆心为(2, 2)，所以圆心到直线的距离d =d －1＝1. 5答案：D 解析：由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0.令20,630,x y x +=⎧⎨-=⎩得2,1,x y =⎧⎨=-⎩ ∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．6答案：B 解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上，不妨设为C (a ，－a )，∴r ==解得a ＝1，r =∴圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.7答案：A 解析：由条件O ，A ，B ，P 四点共圆，从而OP 中点(2,1)为所求圆的圆心，半径1|2r OP =(x －2)2＋(y －1)2＝5.8答案：B 解析：由(x －1)2＋(y －3)2＝10，可知圆心为O (1,3)，过E (0,1)的最长弦为圆的直径E 为中点的弦，其长为.因两条弦互相垂直，故四边形ABCD 的面积为12⨯. 9答案：x －y ＋1＝0 解析：点M (3，－2)关于y 轴的对称点为M ′(－3，－2)，故反射光线所在的直线方程为直线M ′P ，其方程为y －1＝1(2)0(3)x ----＝x ，即x －y ＋1＝0. 10答案：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 解析：圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0(D ≠－1)，由点到直线的距离公式，得，即|5|=25D +，解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 11答案：[0,2] 解析：方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1,2)，r =，由题意知l 过圆心，又不过第四象限，所以满足条件的直线应位于l 1与l 2之间(包含l 1，l 2，如图)，k 1＝0，220=210k -=-， ∴0≤k l ≤2.12答案：解：(1)由3420,220,x y x y +-=⎧⎨++=⎩解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩则点P 的坐标是(－2,2)，由于所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.故所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴，y 轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1. 13答案：解：设点P ，Q 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由OP ⊥OQ 得k OP ·k OQ ＝－1，即1212=1y y x x ⋅-，x 1x 2＋y 1y 2＝0.①又(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组22230,60x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0 ②的两个根．∴x 1＋x 2＝－2，124275m x x -=.③ ∵P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3 (x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得12125m y y +=.④ 将③④代入①，解得m ＝3，代入方程②，检验Δ＞0成立，∴m ＝3.14答案：解：(1)直线l 斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3=1，解得34k =-. 所以直线方程为3(2)4y x =--， 即3x ＋4y －6＝0. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件．即直线l 的方程为3x ＋4y －6＝0或x ＝2.(2)由于|CP |d ==，所以d ＝|CP |所以P 恰为MN 的中点．故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0. 由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点，故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)＞0，即－2a ＞0，解得a ＜0.则实数a 的取值范围是(－∞，0)．设符合条件的实数a 存在，由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C (3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2，而k AB ＝a ＝1PCk -， 所以12a =.由于12∉(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB .。
高一北师大版数学必修2第二章 解析几何初步单元测试题试卷含答案解析
第一章测试时间120分钟满分150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α与平面β有不同在一条直线上的三个交点解析梯形有两条边平行，过两条平行直线有且只有一个平面．答案C2．室内有直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线()A．异面B．相交C．平行D．垂直答案D3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交或bα或b∥α答案D4．若三球的半径之比是1:2:3，则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的()A．4倍B．3倍C．2倍D．1倍解析设三个球的半径依次为a,2a,3a，V最大＝43π(3a)3＝36πa3，V1＋V2＝43πa3＋43π(2a)3＝363πa3＝12πa3，V最大V1＋V2＝3.答案B5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案C①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a ∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.A．①②B．②③C．①④D．③④解析根据公理4，知①正确；根据垂直于同一平面的两直线平行可知④正确．答案C7．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有() A．面ABC⊥面DBC B．面ABC⊥面ADCC．面ABC⊥面ADB D．面ADC⊥面DBC解析如图，在四面体ABCD中，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BD∩BC＝B，∴AD⊥面BCD.又AD面ADC，∴面ADC⊥面BCD.答案D8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，下列说法中正确的个数有()①CD⊥面ABB1A1；②BC1∥面A1DC；③面ADC⊥面ABB1A1.A．0个B．1个C．2个D．3个解析 ∵ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，由两平面垂直的性质定理，可知CD ⊥面ABB 1A 1，又CD 面ADC ，故面ADC ⊥面ABB 1A ，故①、③正确，对于②连接AC 1，BC 1，设A 1C ∩AC 1＝O ，则O 为AC 1的中点，又D 为AB 的中点，∴OD ∥BC 1.又OD 面A 1DC ，BC 1面A 1DC ，∴BC 1∥面A 1DC ，故②正确． 答案 D9．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.73 m 3B.92 m 3C.72 m 3D.94 m 3解析 由三视图可知，原几何体如图所示，故V ＝3×13＋12×13＝3＋12＝72 m 3.答案 C10．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起到A ′BD ，使面A ′BD ⊥面BCD ，连接A ′C ，则在四面体A ′BCD 的四个面中，互相垂直的平面有( )①面ABD ⊥面BCD ；②面A ′CD ⊥面ABD ；③面A ′BC ⊥面BCD ；④面ACD ⊥面ABC .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 由于面ABD ⊥面BCD ，故①正确．又AB ⊥BD 则A ′B ⊥BD ，则A ′B ⊥BD ，∴A ′B ⊥面BCD ，故面A ′BC ⊥面BCD ，又CD ⊥BD ，∴面A ′CD ⊥面ABD ，故②③正确，④显然不正确．答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________． 解析 由三视图知，该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的，所以体积是4π×4－2×2×4＝16π－16.答案 16π－1612．若正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高为________．解析 由题可知，上底面三角形的高为2sin60°＝3，下底面三角形的高为8sin60°＝43，故棱台的高h ＝52－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(43－3)×232＝13. 答案1313．已知圆锥的表面积为a m 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则πl ＝2πr ，即l ＝2r，S圆锥表＝πr2＋πrl＝3πr2＝a，则r＝3πa 3π.答案3πa3πm14．如图四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点，当E满足条件：________时，SC∥面EBD.解析当E为SA的中点时，设AC∩BD＝O，连接EO，EB，ED，∵ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点．∴EO∥SC，又SC面EBD，OE面EBD，∴SC∥面EBD.答案E为SA的中点15．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3，BD＝12，则线段CD的长为________．解析连接BC，∵AC⊥l，∴∠CAB＝90°，CB＝AC2＋AB2＝32＋42＝5.又BD⊥l，α⊥β，∴BD⊥平面α.又BCα，∴BD⊥BC.∴CD＝BD2＋BC2＝122＋52＝13.答案13三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(12分)已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．解 设圆台的母线长为l ，则圆台的上、下底面面积为S 上＝π·22＝4π，S 下＝π·52＝25π，∴圆台的两底面面积之和S ＝S 上＋S 下＝29π， 又圆台的侧面积S 侧＝π(2＋5)·l ＝7πl ， 由7πl ＝29π，得l ＝297， 即母线长为297.17．(12分)如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且EH ∥FG .求证：EH ∥BD .证明 ∵EH ∥FG ，EH ⃘面BDC ，FG 面BDC ，∴EH ∥面BDC ， 又EH面ABD ，面ABD ∩面BDC ＝BD ，∴EH ∥BD .18．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.19．(13分)如图，已知P A垂直于正方形ABCD所在平面，E，F 分别是AB，PC的中点，∠PDA＝45°.(1)求证：EF∥面P AD；(2)求证：面PCE⊥面PCD.证明(1)设PD中点为G，连接FG，AG，∵F，G分别为PC，PD的中点，∴FG綊12CD.又E为AB的中点，∴AE綊FG.即四边形EFGA为平行四边形．∴EF∥AG.又EF面P AD，AG面P AD，∴EF∥面P AD.(2)P A⊥面ABCD，∴P A⊥AD，P A⊥CD.又∵在Rt△P AD中，∠PDA＝45°，∴P A＝AD，∴AG⊥PD.又CD⊥AD，CD⊥P A，且P A∩AD＝A，∴CD⊥面P AD，CD⊥AG，又PD∩CD＝D，∴AG⊥面PCD.由(1)知EF∥AG，∴EF⊥面PCD，又EF面PCE，∴面PCE⊥面PCD.20．(13分)如图①，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC，AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF 上的射影O恰为EC的中点，得到图②.(1)求证：EF⊥A′C；(2)求三棱锥F—A′BC的体积．解(1)证法1：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，在四棱锥A′—BCEF中，EF⊥A′E，EF⊥EC，∴EF⊥平面A′EC，又A′C平面A′EC，∴EF⊥A′C.证法2：同证法1 EF⊥EC，∴A′O⊥EF，∴EF⊥平面A′EC.又A ′C 平面A ′EC ，∴EF ⊥A ′C .(2)在直角梯形EFBC 中，EC ＝2，BC ＝4，∴S △FBC ＝12BC ·EC ＝4.又∵A ′O 垂直平分EC ，∴A ′O ＝A ′E 2－EO 2＝3，∴三棱锥F —A ′BC 的体积V F —A ′BC ＝V A ′—FBC ＝13S △FBC ·A ′O ＝13×4×3＝433.21．(13分)如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底面ABCD 对角线的交点．(1)求证：C 1O ∥平面AB 1D 1；(2)求证：A 1C ⊥平面AB 1D 1；(3)若AA 1＝2，求三棱锥A 1—AB 1D 1的体积． 解 (1)证明：设B 1D 1的中点为O 1，∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴C 1O 1綊AO .故AOC 1O 1为平行四边形．∴AO 1∥C 1O ，又AO 1面AB 1D 1，C 1O 面AB 1D 1，∴C 1O ∥面AB 1D 1.(2)证明：∵B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥CC 1，A 1C 1∩C 1C ＝C 1. ∴B 1D 1⊥面ACC 1A 1，A 1C 面ACC 1A 1.∴B 1D 1⊥A 1C . 同理可证A 1C ⊥AB 1.又AB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C ⊥面AB 1D 1.(3)VA 1—AB 1D 1＝VA —A 1B 1D 1＝13×12×2×2×2＝43.。
高一北师大版数学必修2第二章 解析几何初步练习题含答案解析 双基限时练17
双基限时练(十七)一、选择题1．过点A(－3，2)与B(－2，3)的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135°D ．60°解析 k AB ＝3－2－2－(－3)＝3－23－2＝1.答案 A2．若经过P(－2,2m)和Q(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．1或4D ．1或2解析 由8－2mm ＋2＝1，得m ＝2.答案 B3．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 解析 直线l 可能有两种情形，如图所示，故直线l 的倾斜角为30°或150°.答案 C4．下列各组中，三点共线的是( ) A ．(1,4)，(－1,2)，(3,5) B ．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3) C ．(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，(7,2)D ．(0,0)，(2,4)，(－1,3)解析 利用斜率公式可知答案为C . 答案 C5．若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．m<1B ．m>1C ．m<－1D ．m>－1解析 由l 的倾斜角为锐角，可知k AB ＝m －11－2>0，即m<1. 答案 A6．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若60°<α<135°，则k 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．[－1，3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 由正切函数的图象可知，k ∈(3，＋∞)∪(－∞，－1)． 答案 B 二、填空题7．若点A(4,2)和B(5，b)的连线与C(1,2)，D(3,4)连线的斜率相等，则b 的值为________．解析 由题意，可得b －25－4＝4－23－1＝1，∴b ＝3.答案 38．若A(2，－3)，B(4,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，k 2在同一条直线上，则k ＝________.解析 由题意，得k AB ＝3－(－3)4－2＝k2－35－4，得k ＝12.答案 129．已知直线l 过原点，点M ，N 坐标分别为(3,1)，(1,3)，则当l 与线段MN 相交时l 的斜率的取值范围是______．解析 如图所示，当l 与线段MN 相交时，直线l 的倾斜角α∈[α1，α2]，其中tan α1＝13，tan α2＝31＝3，∴直线l 的斜率k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3三、解答题10．已知A(1,2)，在直线y ＝x 上找一点P ，使PA 的斜率为 2. 解 ∵点P 在直线y ＝x 上，∴设P(x ，x)，由题意，得k PA ＝x －2x －1＝2，得x ＝－2，∴P(－2，－2)．11．已知直线过点A(2m,3)，B(2，－1)，根据下列条件求m 的值．(1)直线的倾斜角为135°； (2)直线的倾斜角为90°； (3)点C(3，m)也在直线上．解 (1)由题意，得3－(－1)2m －2＝tan 135°＝－1，得m ＝－1.(2)由题意，得2m ＝2，得m ＝1.(3)由题意，得3－(－1)2m －2＝m －(－1)3－2，得m ＝± 3.12．设A(m ，－m ＋3)，B(2，m －1)，C(－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求实数m 的值．解 由题意得直线AC 的斜率存在，∴m ≠－1.由题意得k AC ＝3k BC ，∴4－(3－m )－1－m ＝3·4－(m －1)－1－2，得m ＝4， ∴m 的值为4.思 维 探 究13．如图所示，已知点A(－2,3)，B(3,2)，P(0，－2)，过点P 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率的变化范围．解 直线l 是一组绕点P 转动而形成的直线，直线PA 和直线PB 是它的两个极端位置，k PB ＝43，k PA ＝－52.l 从PB 位置逆时针转到PA 位置的过程中，其倾斜角从α1连续变大到钝角α2，其斜率从正数k PB 逐渐变大到＋∞，又从－∞逐渐增大到一个负数k PA ，其中当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以斜率的变化范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞∪⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－52.。
高一北师大版数学必修2第二章 解析几何初步练习题含答案解析 双基限时练22
双基限时练(二十二)一、选择题1．直线3x ＋y －5＝0与x ＋y －1＝0的交点是( ) A ．(2，－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(－2，－1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －5＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.答案 A2．若(－1，－2)为直线ax ＋3y ＋8＝0与x －by ＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．2，12 B .12，2 C ．－2，－12D ．－2，12解析 ∵(－1，－2)为两条直线的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －6＋8＝0，－1＋2b ＝0，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝12.答案 A3．若直线x ＋y ＋3m ＋2＝0与x －y －5m ＋6＝0的交点在第三象限，则m 的取值范围是( )A .12<m<4 B ．－4<m<－12 C ．m>4D ．m<12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋3m ＋2＝0，x －y －5m ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －4，y ＝－4m ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧m －4<0，－4m ＋2<0，得12<m<4. 答案 A4．已知三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0交于一点，则坐标(m ，n)可能是( )A ．(1，－3)B ．(3，－1)C ．(－3,1)D ．(－1,3)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.由三条直线相交于一点，可知m ×1＋n ×2＋5＝0即m ＋2n ＋5＝0，结合选项可知A 项正确． 答案 A5．已知直线l 1：2x ＋y －10＝0，l 2⊥l 1，且l 2过(－10,0)，则l 1与l 2的交点坐标为( )A ．(6,2)B ．(2，－6)C ．(－6,2)D ．(2,6)解析 ∵kl 1＝－2，l 2⊥l 1，∴kl 2＝12. 又l 2过(－10,0)，∴l 2：x －2y ＋10＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋10＝0，2x ＋y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝6.答案 D6．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k)y －5－4k ＝0都过一个定点，则这个定点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(3,1)D ．(3，－1)解析 原直线可化为(2x ＋y －5)＋k(x －y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴交点(3，－1)． 答案 D 二、填空题7．直线l 1：3x ＋4y －5＝0与直线l 2：2x －3y ＋8＝0的交点坐标为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －5＝0，2x －3y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.答案 (－1,2)8．经过直线x ＋y －1＝0和x －y ＋1＝0的交点，且与3x ＋2y ＋6＝0垂直的直线方程为________．解析 所求的直线方程为x ＋y －1＋λ(x －y ＋1)＝0，即(λ＋1)x －(λ－1)y ＋λ－1＝0，k ＝λ＋1λ－1，由k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，则λ＋1λ－1＝23，得λ＝－5，故所求的直线方程为－4x ＋6y －6＝0，即2x －3y ＋3＝0.答案 2x －3y ＋3＝09．已知l 1：x －y －1＝0，l 2：2x －y ＋3＝0，l 3：x ＋my －5＝0，若l 1，l 2，l 3只有两个交点，则m ＝________.解析 ∵l 1与l 2相交，故只需l 1∥l 3，或l 2∥l 3即可，得m ＝－1，或m ＝－12.答案 －1或－12 三、解答题10．设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．解 设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0，整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1，解得λ＝－1，或λ＝－57.∴所求的直线方程为x －y －4＝0，或x ＋y －24＝0.11．三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，求a 的值．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以交点坐标为(4，－2)．代入直线方程ax ＋2y ＋8＝0，得a ×4＋2×(－2)＋8＝0，解得a ＝－1.12．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋(2－a)＝0(a ∈R )． (1)证明直线l 恒过定点；(2)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为(x －1)a ＋x ＋y ＋2＝0(a ∈R )令⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴无论a 为任何实数，直线l 总经过定点(1，－3)． (2)∵直线l 在两坐标轴上截距相等，l 的方程为 (a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0，∴l 的两截距一定存在， ∴a ≠－1，令y ＝0，x ＝a －2a ＋1，令x ＝0，y ＝a －2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝2，或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0.思 维 探 究13．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的两倍的直线l 的方程．解 设所求的直线方程为2x ＋y －8＋λ(x －2y ＋1)＝0即：(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋λ－8＝0，由题意得2＋λ≠0且1－2λ≠0.令x >0，得y ＝λ－82λ－1；令y ＝0，得x ＝8－λ2＋λ.由题意得2·8－λ1－2λ＝8－λ2＋λ，得λ＝8或λ＝－34.当λ＝8时，直线方程为10x －15y ＝0，即2x －3y ＝0； 当λ＝－34时，直线方程为：54x ＋52y －354＝0，即x ＋2y －7＝0. ∴所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋2y －7＝0.。
高一北师大版数学必修2第二章 解析几何初步练习题含答案解析 双基限时练18
双基限时练(十八)一、选择题1．经过点(1，－3)，倾斜角是150°的直线方程是( ) A ．－3x ＋3y ＋9－3＝0 B .3x ＋3y ＋9－3＝0 C .3x －3y ＋9－3＝0 D .3x ＋3y －9＋3＝0解析 由题可知，直线的斜率为k ＝tan 150°＝－33，由点斜式，得y ＋3＝－33(x －1)，即3x ＋3y ＋9－3＝0.答案 B2．直线3x ＋2y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A ．k ＝－32，b ＝3 B ．k ＝－23，b ＝－2 C ．k ＝－32，b ＝－3D ．k ＝－23，b ＝－3解析 由3x ＋2y ＋6＝0，得y ＝－32x －3，知k ＝－32，b ＝－3，答案为C .答案 C3．直线x －y ＋1＝0与坐标轴围成的三角形的周长为( ) A . 2 B ．2＋2 C ．2－ 2D ．22－2解析 令x ＝0，y ＝1，令y ＝0，x ＝－1，故三角形的周长l ＝1＋1＋12＋12＝2＋2，选B .答案 B4．已知直线l 的倾斜角为直线y ＝3x －1的倾斜角的一半，且直线l 过点(3，－4)，则l 的方程为( )A ．y ＋4＝32(x －3) B ．y ＋4＝33(x ＋3) C ．x －3y －3＝0 D ．x －3y －43－3＝0解析 由题可知，k l ＝33，由点斜式可得l 的方程． 答案 D5．若直线l 过点(0,2)，倾斜角的正弦值为45，则此直线方程为( ) A ．4x －3y －6＝0 B ．4x －y ＋6＝0C ．4x －3y ＋6＝0或4x ＋3y －6＝0D ．4x －3y －6＝0或4x ＋3y ＋6＝0 解析 设直线l 的倾斜角为θ，∵sin θ＝45，∴tan θ＝±43，故所求的直线方程为y －2＝43(x －0)，或y －2＝－43(x －0)．即4x －3y ＋6＝0，或4x ＋3y －6＝0. 答案 C6．与直线3x －2y ＝0的斜率相等，且过点(4，－3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝32(x －4) B ．y －3＝32(x ＋4) C ．y ＋3＝23(x －4)D ．y －3＝23(x ＋4)解析 因直线3x －2y ＝0的斜率为32，由点斜式可知所求的直线方程为y ＋3＝32(x －4)．答案 A 二、填空题7．斜率与直线y ＝3x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为________________．解析 由题可知，所求直线的斜率为3，故所求的直线方程为y －3＝3(x ＋4)，即3x －y ＋15＝0.答案 3x －y ＋15＝08．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________.解析 令x ＝0，得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，得a ＝83. 答案 839．已知一直线过点P(1,2)，且斜率与直线y ＝－2x ＋3的斜率相等，则该直线方程是________．解析 由点斜式可得所求直线的方程． 答案 2x ＋y －4＝0 三、解答题10．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7的斜率相等的直线方程；(2)已知直线l 过点(2,0)，且与直线y ＝3(x －2)的夹角为30°，求直线l 的方程．解 (1)∵y ＝2x ＋7的斜率为k ＝2，∴所求直线的斜率k ＝2，又直线过点(1,1)，由点斜式可得l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)∵直线y ＝3(x －2)的斜率为3， ∴其倾斜角为60°，又直线l 与y ＝3(x －2)的夹角为30°，∴直线l 的倾斜角可能为30°或90°，此时，斜率分别为33或不存在，又直线过(2,0)，对应的直线方程分别为y ＝33(x －2)，或x ＝2.11．已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线l 的方程．解 设所求的直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，∵k ＝6， ∴方程为y ＝6x ＋b.令x ＝0，y ＝b ，令y ＝0，x ＝－b 6，∴l 与x 、y 轴的交点分别为(－b6，0)，(0，b)．由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 62＋b 2＝37，得b ＝±6.∴直线l 的方程为y ＝6x±6.12．若A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，且a ＋b ＝2，a ≠b ，直线l 过点(0,2)，斜率与AB 两点连线的斜率相等，求直线l 的方程．解 k AB ＝b 2－a 2b －a ＝a ＋b ＝2，则直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.思 维 探 究13．求与两坐标轴围成的三角形的周长为9，且斜率为－43的直线方程．解 设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b.令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝34b.由题意，得|b|＋34|b|＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b 2＝9.∴|b|＋34|b|＋54|b|＝9，∴b ＝±3.∴所求直线方程为y ＝－43x ＋3或y ＝－43x －3，即4x ＋3y －9＝0或4x ＋3y ＋9＝0.。
高一北师大版数学必修2第二章 解析几何初步练习题含答案解析 双基限时练21
双基限时练(二十一)一、选择题1．两直线2x＋y－a＝0与x－2y＋b＝0的位置关系是()A．垂直B．平行C．重合D．以上都不对解析2x＋y－a＝0的斜率k1＝－2，x－2y＋b＝0的斜率k2＝12，∵k1k2＝－1，故选A.答案A2．已知直线x＋my＋1＝0与直线m2x－2y－1＝0互相垂直，则实数m为()A．3 2 B．0或2C．2 D．0或32解析由题意，得1·m2＋m(－2)＝0，得m＝0，或m＝2.答案B3．点M(1,2)在直线l上的射影是H(－1,4)，则直线l的方程为()A．x－y＋5＝0 B．x－y－3＝0C．x＋y－5＝0 D．x－y＋1＝0解析k MH＝4－2－1－1＝－1，∴直线l的方程为y－4＝x＋1，即x－y＋5＝0.答案A4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，下面结论正确的个数是()①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC⊥BD；④AC∥BD.A．1个B．2个C．3个D．4个解析∵k AB＝2－(－4)－4－6＝－35，k CD＝12－62－12＝－35，∴AB∥CD.又k AD＝12－22－(－4)＝53，k AD k AB＝－1，∴AB⊥AD，故①②正确．又k AC＝6－212－(－4)＝14，k BD＝12－(－4)2－6＝－4，k AC k BD＝－1.∴AC⊥BD，故③正确．答案C5．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为()A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y－7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0解析设所求的直线方程为3x＋2y＋c＝0，由题意得－3＋4＋c ＝0，∴c＝－1，∴直线l的方程为3x＋2y－1＝0.答案A6．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与l1平行，则a＋b等于() A．－4 B．－2C．0 D．2解析∵k l＝tan135°＝－1，又l1⊥l2，∴kl1＝2－(－1)3－a＝1，得a＝0.又l2与l1平行，∴－2b ＝1，得b ＝－2. ∴a ＋b ＝－2. 答案 B 二、填空题7．经过点(m,2)与(2,3)的直线与斜率为－2的直线垂直，则m 的值为________．解析 由题意，得3－22－m ＝12，得2＝2－m ，m ＝0. 答案 08．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析 由l 1⊥l 2，得k 1k 2＝－1，即－b2＝－1，得b ＝2，当l 1∥l 2时，方程有两个相等的实根，即Δ＝9＋8b ＝0，得b ＝－98.答案 2 －989．若点A(1,3)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点B(－2,1)，则k ＋b ＝________.解析 k AB ＝3－11－(－2)＝23，故k ＝－32，AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫－12，2在y ＝kx ＋b 上．∴2＝－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ，b ＝54. 故k ＋b ＝54－32＝－14.答案 －14 三、解答题10．已知A(1,2)，B(3,1)，求线段AB 的垂直平分线的方程．解 ∵AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.又k AB ＝1－23－1＝－12，又l ⊥AB ，∴k c ＝2.∴AB 的垂直平分线的方程为y －32＝2(x －2)， 即4x －2y －5＝0.11．如图在平行四边形ABCO 中，点C(1,3)． (1)求OC 所在直线的斜率；(2)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在的直线方程．解 (1)k OC ＝3－01－0＝3.(2)∵ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝3.∵CD ⊥AB ，∴k CD ＝－13.由点斜式，得y －3＝－13(x －1)，即x ＋3y －10＝0， 即CD 所在直线的方程为x ＋3y －10＝0.12．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三条高所在的直线方程．解 由斜率公式k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝108＝54，k BC ＝6－60－6＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5，∴AB 边上的高所在的直线的斜率k 1＝－45，由点斜式，得AB 边上的高所在的直线方程为y －6＝－45(x －0)，即4x ＋5y －30＝0，同理得AC 边上的高所在的直线方程为x ＋5y －36＝0，BC 边上的高所在的直线方程为x ＝－2.思 维 探 究13．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1， 即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.。
高一北师大版数学必修2第二章 解析几何初步练习题含答案解析 双基限时练27
双基限时练(二十七)一、选择题1．圆x2＋y2＝1与x2＋y2－2x－2y＝0的位置关系是()A．相交B．相离C．内含D．外切解析圆心距d＝(1－0)2＋(1－0)2＝2<1＋2，且d>2－1，可知答案为A.答案A2．若x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与x2＋y2＋2x－2y－2＝0相外切，则m的值为()A．－5 B．3C．－5或3 D．以上均不对解析x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，x2＋y2＋2x－2y－2＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，由题可知，(m＋1)2＋(－2－1)2＝3＋2，得m＝－5，或m＝3.答案C3．过两圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝13及(x＋2)2＋(y＋1)2＝9的交点的直线方程是()A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0C．5x＋3y＋2＝0 D．5x＋3y－2＝0解析将两圆的方程相减．答案A4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0的公共弦长的最大值为()A．2 2 B．2C. 2 D ．1解析 两圆相交弦所在的直线方程为x ＋y ＋a ＋b ＝0， ∴弦长＝21－⎝⎛⎭⎪⎫a －b 22. ∴当a ＝b 时弦长最大，最大值为2. 答案 B5．若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y ＝1对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．±2D ．2解析 x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，半径为|a |2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＝1，－1－0a2－0＝－1，得a ＝2.答案 D6．圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 两圆的圆心距d ＝(－2－2)2＋(2＋5)2＝65，半径r 1＝1，r 2＝4，∴d >r 1＋r 2，∴两圆相外离，故有4条公切线．答案 D 二、填空题7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 由题可知，两圆的公共弦所在的直线方程为y ＝1a ，圆心O 到直线的距离为1a ，则由弦长公式(3)2＋1a 2＝4，得a ＝1.答案 18．若(x ＋1)2＋y 2＝4与(x －a )2＋y 2＝1相交，则a 的取值范围是________．解析 由题可知(－1－a )2＋(0－0)2∈(2－1，2＋1)，得－4<a <－2，或0<a <2. 答案 －4<a <－2，或0<a <29．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，①x 2＋y 2＝4，②①－②可得l 的方程为x －y ＋2＝0. 答案 x －y ＋2＝0 三、解答题10．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A ，B 两点．(1)求公共弦AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A ，B 两点的圆的方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得x －2y ＋4＝0，所以公共弦AB 所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(2)设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＋λ(x 2＋y 2－2x ＋10y －24)＝0①整理得(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)x ＋(2＋10λ)y －8－24λ＝0，圆心⎝⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，－1＋5λ1＋λ，又圆心在y ＝－x 上， 即λ－11＋λ＝1＋5λ1＋λ，得λ＝－12. 代入①得x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.即所求的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.11．求通过直线2x －y ＋3＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．解 解法1：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x －y ＋3)＝0，配方得标准方程为(x ＋1＋λ)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2－λ22＝(1＋λ)2＋(4＋λ)24－3λ－1.∵r 2＝54λ2＋λ＋4＝54(λ＋25)2＋195，∴当λ＝－25时，半径r ＝ 195最小．∴所求面积最小的圆的方程为5x 2＋5y 2＋6x －18y －1＝0. 解法2：设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，消去y ，得5x 2＋6x －2＝0. ∴判别式Δ>0，AB 中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－35，纵坐标y 0＝2x 0＋3＝95，即圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，95，半径r ＝12·|x 1－x 2|1＋22＝195，∴所求面积最小的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎪⎫y －952＝195.12．已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0相交于A ，B 两点，求公共弦AB 的长．解 解法1：由两圆方程相减，得公共弦AB 所在直线的方程为：4x ＋3y －10＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －10＝0，x 2＋y 2－10x －10y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. 令A (－2,6)，B (4，－2)． 故|AB |＝(－2－4)2＋(6＋2)2＝10.解法2：同法1，先求出公共弦所在直线l 的方程为4x ＋3y －10＝0.过C 1作C 1D ⊥AB 于D ，如图，圆C 1的圆心C 1(5,5)，半径r 1＝52，则|C 1D |＝|20＋15－10|5＝5.∴|AB |＝2|AD |＝2C 1A 2－C 1D 2＝250－25＝10.思维探究13．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax －2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相离？解对圆C1，C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，∴|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a.(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交．(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．。
新版高中数学必修2习题：第二章解析几何初步 2.2.1
§2圆与圆的方程2.1圆的标准方程1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析:设圆心C(0,m),则有-=1,解得m=2,所以圆的方程是x2+(y-2)2=1.答案:A2.如图所示,已知ACB为一弓形,且点A,B,C的坐标分别为(-4,0),(4,0),(0,2),则弓形所在圆的方程为()A.x2+y2=16B.x2+y2=4C.x2+(y+2)2=20D.x2+(y+3)2=25解析:∵圆心在弦AB的中垂线上,∴圆心在y轴上,可设P(0,b).∵|AP|=|CP|,∴=|2-b|,解得b=-3,∴圆心P(0,-3).半径r=|CP|=5,∴圆的标准方程为x2+(y+3)2=25.答案:D3.若点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是()A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0解析:设圆心为C(1,0),则AB⊥CP,∵直线CP的斜率k CP=-1,∴直线AB的斜率k AB=1.∴直线AB的方程是y+1=x-2,即x-y-3=0.答案:A4.若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,0),B(3,0),C(3,4),则该三角形外接圆的方程是()A.(x-2)2+(y-2)2=20B.(x-2)2+(y-2)2=10C.(x-2)2+(y-2)2=5D.(x-2)2+(y-2)2=解析:在平面直角系中作出A,B,C三点,并连接AB,BC,AC,易知△ABC是直角三角形,∠B=90°,所以圆心是斜边AC的中点(2,2),半径是斜边长的一半,即r=,所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.答案:C5.已知A(3,-2),B(-5,4),则以AB为直径的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=25B.(x+1)2+(y-1)2=25C.(x-1)2+(y+1)2=100D.(x+1)2+(y-1)2=100解析:线段AB的中点为C(-1,1),|AB|=--=10,所以以AB为直径的圆即是以C为圆心,以5为半径的圆,圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=25.答案:B6.若直线x+y-3=0始终平分圆(x-a)2+(y-b)2=2的周长,则a+b=()A.3B.2C.5D.1解析:由题意知,圆心(a,b)在直线x+y-3=0上,所以a+b-3=0,即a+b=3.故选A.答案:A7.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的标准方程为.解析:已知圆的圆心为点(-2,1),它关于原点的对称点为(2,-1),即C(2,-1),所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=1.答案:(x-2)2+(y+1)2=18.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是.解析:由--解得所以圆心为(2,4),半径r=.所以圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=20.答案:(x-2)2+(y-4)2=209.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为.答案:410.根据下列条件,求圆的标准方程:(1)圆经过点A(1,1),B(-1,3)且面积最小;(2)圆经过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上.解(1)过A,B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆,可知所求圆的圆心坐标为(0,2),半径r=|AB|=-,故所求圆的标准方程为x2+(y-2)2=2.(2)设点A(1,-1),B(-1,1)的中点为O(0,0),过A,B两点的直线的斜率k AB=-1,∴线段AB的垂直平分线为y=x.由-可知所求圆的圆心坐标为(1,1),半径r=-=2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.11.已知平面直角坐标系中有四个点A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),判断这四个点能否在同一个圆上,为什么?解设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).代入三点的坐标得-解方程组,得所以经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.将----点D的坐标代入圆的标准方程,左边=右边,所以点D在圆上,故A,B,C,D四点能在同一个圆上.★12.已知圆C:(x-)2+(y-1)2=4和直线l:x-y=5,求圆C上的点到直线l的距离的最大值与最小值.解∵圆(x-)2+(y-1)2=4的圆心为(,1),半径为2,且圆心到直线l:x-y=5的距离d=--.∴圆C上的点到直线l的距离的最大值为d+r=-+2=-,最小值为d-r=--2=--.。
高中数学 第二章 解析几何初步单元测试 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题
第二章 解析几何初步(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋2＝0平行，则a 等于( ) A.32 B ．2 C ．－1D ．2或－1解析：选D.由a ·(a －1)－2×1＝0得a 2－a －2＝0，所以a ＝2或－1，经检验均适合题意．2．已知A (－4，2，3)关于xOz 平面的对称点为A 1，A 1关于z 轴的对称点为A 2，则|AA 2|等于( )A ．8B ．12C ．16D ．19解析：选A.A 1(－4，－2，3)，A 2(4，2，3)， 所以|AA 2|＝（4＋4）2＋（2－2）2＋（3－3）2＝8. 3．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心D ．相离解析：选B.圆心(0，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝12＝22<1，所以直线与圆相交，圆心不在y ＝x ＋1上．4．不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( ) A ．(－2，3) B ．(2，－3) C ．(1，0)D ．(0，－2)解析：选A.直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2，3)． 5．两圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－2x ＝0的公共弦所在直线的方程是( )A ．x ＝1B ．x ＝12C ．y ＝xD ．x ＝32解析：选B.将两圆方程相减可直接求得公共弦所在直线的方程为x ＝12.6．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2解析：选C.圆x 2＋y 2－2x －1＝0可化为(x －1)2＋y 2＝2. 设圆心(1，0)关于2x －y ＋3＝0的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －1×2＝－1，2×a ＋12－b 2＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，所以所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝2.7．设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A.12 B.33C.32D. 3解析：选D.如图所示，设过原点的直线方程为y ＝kx ，则与圆有交点的直线中，k max ＝3，所以y x的最大值为 3.故选D.8．过点P (4，2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20解析：选A.由条件O ，A ，B ，P 四点共圆，从而OP 的中点(2，1)为所求圆的圆心，半径r ＝12|OP |＝5，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.9．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B.由(x －1)2＋(y －3)2＝10，可知圆心为O (1，3)，半径为10，过E (0，1)的最长弦为圆的直径210，最短弦为以E 为中点的弦，其长为210－OE 2＝2 5.因两条弦互相垂直，故四边形ABCD 的面积为12×210×25＝10 2.10．已知点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值是( )A ．2 B.4＋52 C.52D.2＋52解析：选 B.AB 所在直线方程为－x ＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0.|AB |＝（－1－0）2＋（0－2）2＝5，圆心(1，0)到直线AB 的距离d ＝45，点P 到直线AB 的最大距离为d ′＝d ＋1＝45＋1.所以△PAB 面积的最大值是12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋1＝4＋52.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．因为A (1，1)，B (0，－1)，k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行线的斜率为k ＝－12，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝012．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a2.因为两直线垂直，所以(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，所以c ＝±5，故ac＝±5.答案：±513．已知两条直线y ＝ax －2与y ＝(2＋a )x ＋1互相垂直，则垂足的坐标为________． 解析：由已知得a ·(2＋a )＝－1，解得a ＝－1，则两条直线的方程分别为y ＝－x －2与y ＝x ＋1，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12，故垂足的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1214．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，则直线l 的斜率取值X 围是________．解析：方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1，2)，r ＝5，由题意知l 过圆心，又不过第四象限，所以满足条件的直线应位于l 1与l 2之间(包含l 1，l 2，如图)，k 1＝0，k 2＝2－01－0＝2，所以0≤k l ≤2.答案：[0，2]15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1， 圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.答案：43三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)三角形的三个顶点是A (4，0)，B (6，7)，C (0，3)． (1)求BC 边上的高所在直线的方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程； (3)求BC 边的垂直平分线的方程．解：(1)BC 边所在的直线的斜率k ＝7－36－0＝23，因为BC 边上的高与BC 垂直，所以BC 边上的高所在直线的斜率为－32.又BC 边上的高经过点A (4，0)，所以BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝－32(x －4)，即3x ＋2y －12＝0.(2)由已知得，BC 边中点E 的坐标是(3，5)．又A (4，0)，所以直线AE 的方程为y －05－0＝x －43－4，即5x ＋y －20＝0.(3)由(1)得，BC 边所在的直线的斜率k ＝23，所以BC 边的垂直平分线的斜率为－32，由(2)得，BC 边中点E 的坐标是(3，5)，所以BC 边的垂直平分线的方程是y －5＝－32(x－3)，即3x ＋2y －19＝0.17．(本小题满分10分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1. (1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1.解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1.所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，解得m ＝－1，m ＝1(舍去)，直线方程为2x －2y －5＝0符合题意，所以m ＝－1. (2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2，当m ＝－12，m ＝2时都符合题意，所以m ＝－12或m ＝2.18．(本小题满分10分)在三棱柱ABO A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90 °，侧棱OO ′⊥平面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．解：如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA 、OB 、OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2，0，0)、B (0，2，0)、O (0，0，0)，A ′(2，0，2)、B ′(0，2，2)、O ′(0，0，2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1，0，1)，设E 点坐标为(0，2，z )，根据空间两点间距离公式得|EC |＝（0－1）2＋（2－0）2＋（z －1）2＝（z －1）2＋5， 故当z ＝1时，|EC |取得最小值，为5， 此时E (0，2，1)为线段BB ′的中点．19．(本小题满分12分)圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1，2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦，(1)当α＝135 °时，求|AB |；(2)当弦AB 被点P 平分时，求出直线AB 的方程；(3)设过P 点的弦的中点为M ，求点M 的坐标所满足的关系式． 解：(1)过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α＝135 °时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0， 所以|OG |＝d ＝|0＋0－1|2＝22.又因为r ＝22，所以|AG |＝8－12＝152＝302， 所以|AB |＝2|AG |＝30.(2)当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2， 所以AB 的点斜式方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.(3)设AB 的中点为M (x ，y )，AB 的斜率为k ，OM ⊥AB ，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x ＋1），y ＝－1k x ，消去k ，得：x 2＋y 2－2y ＋x ＝0，当AB 的斜率k 不存在时也成立，故过点P 的弦的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－2y ＋x ＝0.20．(本小题满分13分)已知圆C 的圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．(1)求圆C 的方程；(2)点M (0，1)与点N 关于直线x －y ＝0对称．是否存在过点N 的直线l ，l 与圆C 相交于E ，F 两点，且使S △OEF ＝22(O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，用计算过程说明理由．解：(1)过切点P (3，－2)且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5. 将y ＝x －5与直线y ＝－4x 联立可得圆心坐标为(1，－4)． 所以半径r ＝（3－1）2＋（－2＋4）2＝2 2. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设N (a ，b )，因为M (0，1)与N 关于x －y ＝0对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12＝a2，b －1a ＝－1，解得a ＝1，b ＝0，即N (1，0)．①当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，原点到直线的距离d ＝1.将x ＝1代入圆的方程得y ＝－4±22，所以|EF |＝42，于是S △OEF ＝12×1×42＝22，满足题意，此时直线l 的方程为x ＝1.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 圆心C (1，－4)到直线l 的距离d ＝|k ＋4－k |k 2＋1＝4k 2＋1，设EF 的中点为D ，连接CD ，则必有CD ⊥EF ， 在Rt △CDE 中，|DE |＝8－d 2＝8－16k 2＋1＝22k 2－1k 2＋1，所以|EF |＝42k 2－1k 2＋1.因为原点到直线的距离d 1＝|k |k 2＋1，所以S △OEF ＝12·42k 2－1k 2＋1·|k |k 2＋1＝22|k |k 2－1k 2＋1＝22，整理得3k2＋1＝0，不存在这样的实数k. 综上所述，所求的直线方程为x＝1.。
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高一数学必修2 解析几何初步-苏教版
一、填空题
1．直线
122=-b y a x 在y 轴上的截距是_______________。
2．如果直线l 上的一点A 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 平移１个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是3． 色实
点代表钠原子，黑点·代表氯原子。
建立空间直角坐标系O —xyz 图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是_______________。
4． 已知直线01=++ny mx 平行于直线0534=++y x ，且在轴上的截距为3
1，则m ，n 的值_______________。
5． 已知点P （0，-1），点Q 在直线01=+-y x 上，若直线PQ 垂直于直线052=-+y x ， 则点Q 的坐标是_______________。
6．已知直线 024=-+y mx 与 052=+-n y x 互相垂直，垂足为 (1，)p 则 =+-p n m _______________。
7． 已知两点(1A ，)1-、(3B ，)3，点(5C ，)a 在直线AB 上，则实数a 的值是____________。
8． 直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是
9．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 所得的劣弧所对的圆心角为 。
10．平行于直线012=+-y x 且与圆52
2=+y x 相切的直线的方程是_______________。
11．若(x P ，)y 在圆()3222=+-y x 上运动，则4
-x y 的最小值等于______________。
12．光线沿直线 12+=x y 射到直线 x y =上,被 x y =反射后的光线所在的直线方程 为____________。
13．已知圆:C ()()422
2=-+-y a x ()0>a 及直线03:=+-y x l ，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，=a ______________。
14．直线l 与圆122=+y x 相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于3，则直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积等于______________。
二、解答题
15．已知一条直线经过两条直线0432:1=--y x l 和0113:2=-+y x l 的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程。
16．已知点A （1,4），B （6,2），试问在直线033=+-y x 上是否存在点C ，使得三角形 ABC ∆的面积等于14？若存在，求出C 点坐标；若不存在，说明理由。
17．一个圆切直线0106:1=--y x l 于点)1,4(-P ，且圆心在直线035:2=-y x l 上，求该圆的
方程。
18．氟利昂是一种重要的化工产品，它在空调制造业有着巨大的市场价值.已知它的市场需 求量1y （吨）、市场供应量2y （吨）与市场价格x （万元/吨）分别近似地满足下列关系：
701+-=x y ， 2022-=x y
当y 1=y 2时的市场价格称为市场平衡价格.此时的需求量称为平衡需求量.
（1）求平衡价格和平衡需求量；
（2）科学研究表明，氟利昂是地球大气层产生臭氧空洞的罪魁祸首，《京都议定书》要求缔约国逐年减少其使用量.某政府从宏观调控出发，决定对每吨征税3万元，求新的市场平衡价格和平衡需求量.
19．已知圆C ： 04422
2=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线m ，使以m 被圆C 截
得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由。
20．已知方程04222=+--+m y x y x 。
（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥（O 为坐标原点），求m ；
（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程。
参考答案
一、填空题
1．2b - 2．－
13 3．（12，12
，1） 4 ．4=m 和3-=n 5．（2，3） 6．20 7 ．7=a 8 ．[)(]2,00,2⋃-∈b 9．60° 10． 2x －y+5=0或2x －y －5=0
11．3 12．2121-=x y 13．12- 14．23 解答题
15．设交点为P ，由方程组23403110
x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得P （5，2）.故25OP k =.设所求直线的斜率为k ，由于它与直线OP 垂直，则152OP k k =-=-，所以所求直线的方程为52(5)2
y x -=--，即52290x y +-=.
16．=，直线AB 的方程为264216
y x --=--，即25220x y +-=， 假设在直线x-3y+3=0上是否存在点C ，使得三角形ABC 的面积等于14，设C 的坐标为(,)m n ，
则一方面有m-3n+3=0①，另一方面点C 到直线AB
的距离为d =，由于三角形ABC 的面积等于14
，则111422AB d ⋅⋅==，|2522|28m n +-=，即2550m n +=②或256m n +=-③.联立①②解得13511m =，5611
n =；联立①③解得3m =-，0n =. 综上，在直线x-3y+3=0上存在点C 13556(,)1111
或(3,0)-，使得三角形ABC 的面积等于14. 17．过点)1,4(-P 且与直线0106:1=--y x l 垂直的直线的方程设为60x y C ++=，点P 的坐标代入得23C =-，即6230x y +-=.
设所求圆的圆心为为(,)M a b ，由于所求圆切直线0106:1=--y x l 于点)1,4(-P ，则满足6230a b +-=①；又由题设圆心M 在直线035:2=-y x l 上，则530a b -=②.联立①②解得3a =，5b =.即圆心M （3，5），因此半径r
=的方程为22
(3)(5)37x y -+-=.
18．（1）由12y y =得70220x x -+=-，∴30x =，此时1240y y ==，平衡价格为30万元/吨，平衡需求量为40吨.
（2）设新的平衡价格为t 万元/吨，则170y t =-+，22(3)20226y t t =--=-，由12y y =得70226t t -+=-，∴32t =，此时12y y ==38，即新的平衡价格为32万元/吨，平衡需求量为38吨.
19．设这样的直线存在，其方程为y x b =+，它与圆C 的交点设为A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则由222440x y x y y x b ⎧+-+-=⎨=+⎩
得2222(1)440x b x b b ++++-=（＊）， ∴12212(1)442
x x b b b x x +=-+⎧⎪⎨+-⋅=⎪⎩.∴1212()()y y x b x b =++=21212()x x b x x b +++.
由O A ⊥OB 得12120x x y y +=，∴212122()0x x b x x b +++=，
即22
44(1)0b b b b b +--++=，2340b b +-=，∴1b =或4b =-. 容易验证1b =或4b =-时方程（＊）有实根.故存在这样的直线，有两条，其方程是 1y x =+或4y x =-
21．解（1）()()m y x -=-+-5212
2，5<∴m （2）设()11,y x M ，()22,y x N ， 则1124y x -=， 2224y x -=， 得
()2121214816y y y y x x ++-=，ON OM ⊥ ，∴21x x +y y 10=
∴()058162121=++-y y y y ，
由⎩⎨⎧=+--+-=0
422422m y x y x y x ，得081652=++-m y y ∴51621=+y y ，5821m y y +=。
代入○1得5
8=m 。
（3）以MN 为直径的圆的方程为
()()21x x x x --+()()021=--y y y y 即()()0212122=+-+-+y y y x x x y x
∴所求圆的方程为05165822=--+y x y x。