计算机控制系统-第2章-王万成

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几种重要信号
周期信号：
x(t ) x(t T ) ,周期为 T x[n] x[n N ] ,周期为 N
偶信号：
x(t ) x(t ) x[n] x[n]
奇信号：
x(t ) x(t ) x[n] x[n]
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单位脉冲序列：
0, n 1,
2.3 D/A变换
2.3.1 解码 2.3.2 保持
2.4 信号的数学表示 2.5 线性时不变系统
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2.1 信号的分类及变换
计算机控制系统是模拟部件与数字部件共存的混合系 统, 进行着多种信号的传输和变换。信号的形式按 在时间和幅值上的取值可以分为以下几种。 按时间上的取值分类：
连续信号—在时间轴上的取值是连续的信号，即在某一 时间间隔内，对于所有时间值都有确定的信号 离散信号—在时间轴上的取值是离散的信号，即只在某 些断续的时间值上存在信号，其他时间值上信号无定义
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2.3.2 保持
将解码后的时间上离散、幅值上模拟的脉 冲信号在规定的时间内保持一段时间，从 而使时间上离散的信号变成时间上连续的 信号的过程叫作保持。最常采用的是零阶 保持器，即在一个采样周期内将信号保持 为常数，形成阶梯状的连续模拟信号，如 表2-1中的H点所示。这种将离散时间信号 恢复成连续时间信号的过程，也被称为信 号的恢复。
第2章 信号与系统分析
建议课时数：2学时。 本章内容: 本章介绍计算机控制系统的各种信号形 式及信号的变换过程、连续时间信号和离散时间 信号的数学表示方法，以及一种常见的计算机控 制系统—线性时不变系统。
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第2章 目录
2.1 信号的分类及变换 2.2 A/D变换
2.2.1 采样 2.2.2 量化 2.2.3 编码
而 (b ) T ຫໍສະໝຸດ 2 103不满足采样定理，不能保证 x(t ) 的正确恢复。
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2.4 信号的数学表示
在计算机控制系统中，对连续时间信号采样得到离散时间信号。对于连续时间信号，自 变量是连续可变的，信号在自变量的连续值上都有定义，我们用 t 表示连续时间变量， x(t ) 表示连续时间信号；对于离散时间信号，自变量仅取一组离散值，信号仅在这组自变量的离 散值上有定义，我们用 x[n] 表示离散时间信号，其中 n 为整数，有时也称 x[n] 为离散时间 序列。
更一般地，对输入 x[n] 整数， ak 为任意复常数。
a
k
k
xk [n] 的响应可以写为 y[n] ak y k [n] ，其中 k 为正
k
由上面分析可知，在线性系统中，零输入必然产生零输出。
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例 2.3 有一个离散时间系统,其输入 x[n] 与输出 y[n] 的关系为
y[n] tx[n]
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2.2.1 采样
由上述的采样过程可知，只有采样时刻的 信号被采集，而采样间隔的信号被丢失。 只有采样频率足够高，即采样时刻很密集 的时候，采集的信号才接近原来的连续模 拟信号。采样定理，也叫香农定理，给出 了采样信号不失真地代表输入连续模拟信 号的条件。
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采样定理
采样定理：若连续信号是有限带宽的，且它的最高频率分量为 max ，则当采样频 率 s 2max 时，采样信号可以不失真地表征原来的连续信号，或者说可以从采样信 号不失真地恢复原来的连续信号。这个频率 2max 一般称为奈奎斯特率（ Nyquist rate） ，而 max 一般称为奈奎斯特频率。
图2-2 A/D转换
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2.2.1 采样
把连续模拟信号转变为离散脉冲序列的过程称为 采样，如图2-3所示。输入的连续模拟信号（图23 (a) ），经过采样开关（图 2-3 （ b ）） , 得到矩 形脉冲信号（图2-3（c））。
图2-3 采样过程描述
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2.2.1 采样
图中 T 表示采样周期。采样频率 f s 1 / T ，采样角频率 s 2fs 2 / T 。 为采样开关 的闭合时间，即采样延续时间，它通常远小于采样周期 T ，因此可以近似认为 趋于零，这 样采样输出信号就可以近似用理想脉冲信号来表示（图 2-3（d） ） ，脉冲的强度等于矩形脉 冲的面积。图 2-3 中，连续信号 f (t ) 采样后得到采样信号 f * (t ) ， f * (t ) f [nT ] ，为方 便起见，常写作 f [nT ] f [n] 。采样时原则上不需要保持操作，但加入保持器可以提高采 样的精度。
n0 n0
单位阶跃序列：
0, un 1,
n0 n0
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单位脉冲序列与单位阶跃序列的关系为：
u[n] [n k ]
k 0

[n] u[n] u[n 1]
任何离散时间序列 x[n] 都可以用一串移位的单位脉冲序列的线性组合来表示:
x[n]
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2.3 D/A变换
在图2-1中，从F点到H点经过了解码及保持的过程， 这个过程将计算机处理后的离散数字信号转换为了连 续模拟信号。这个过程也被称为D/A转换，如图2-4所 示。下面分述D/A转换中各部分的原理。
图2-4 D/A转换
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2.3.1 解码 解码就是将二进制编码的数字信 号 ( 如表 2-1 中的 F 点所示 ) 转换为 时间上离散、幅值等于该数字量 的模拟脉冲信号(如表2-1中的G点 所示)。解码和编码一样是无误差 的等效变换。
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例 2.2 一个连续时间信号 x(t ) 从一个截止频率为 c 1000 的理想低通滤波器 的输出得到，下列哪些采样周期能保证 x(t ) 在利用一个合适的低通滤波器后能从 它的样本中得到恢复？
( a ) T 0.5 103 (b) T 2 103 (c) T 104
n
见，当二进制位数越大，则量化误差越小。当量化误差足够小的时候，可以认为量化后 的信号近似于采样信号。
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2.2.3 编码
将量化后的图2-2中的C点信号进行二 进制编码，得到时间上离散、幅值用 一定位数的二进制编码的形式表示的 数字信号，如表2-1的D点所示，这个 过程称为编码。编码只是把量化后的 离散信号转变为二进制编码的形式 （数字信号），没有误差产生，因此 可以看作是无误差的等效变换过程。
在工程实际中，所取的采样频率通常为最高频率分 量的5～10倍。采样频率越高，采样信号越接近输 入的连续信号，但是如果采样频率过高，采样时间 会很长，将会影响系统的实时性。
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采样定理
例 2.1 确定下列各信号的奈奎斯特率：
( a ) x(t ) 1 cos(2000 t ) sin(4000 t )
解：
(b) x(t )
sin( 4000 t ) t
(a)
max max( 0,2000 ,4000 ) 4000
奈奎斯特 率 2max 8000

(b )
max 4000
奈奎斯特率 2max 8000

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2.2.2 量化
连续模拟信号采样后变成了时间上离散、幅值上模拟的信号,即表 2-1 中的 B 点信 号。这种信号不能直接输入计算机,还需将其幅值按最小量化单位 q 的整倍数四舍五入 取整,整量化成离散信号,这个过程就叫量化。 量化后信号变成时间上和幅值上均离散的 信号，即表 2-1 中的 C 点信号。量化的过程可以视为数值分层的过程，信号取整时会产 生误差，最大量化误差为 q / 2 , q 1 / 2 ,其中 n 是 A/D 转换器数字二进制位数。可
该系统满足可加性和齐次性，因此该系统是线性的。
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例 2.4 有一个离散时间系统,其输入 x[n] 与输出 y[n] 的关系为
y[n] x 2 [n]
请判断该系统是否是线性的。
解：该系统对两个任意输入 x1 [n] 、 x 2 [ n] ，输出分别为
y1[n] x12 [n]
2 y2 [n] x2 [n]
请判断该系统是否是线性的。
解：该系统对两个任意输入 x1 [n] 、 x 2 [ n] ，输出分别为
y1[n] tx1[n] y 2 [n] tx2 [n]
这两个输入的线性组合所对应的输出为
t (ax1[n] bx2 [n]) atx1[n] btx2 [n] ay1[n] by2 [n]
而由式（2-1）知
（2-2）
y1[n n0 ] sin{x1[n n0 ]}
比较式（2-2）和式（2-3）得到
（2-3）
y2[n] y1[n n0 ]
因此，根据定义,这个系统是时不变的。
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例 2.6 判断下面的离散时间系统是否是时不变的：
解：
max c 1000
由采样定理知采样频率
s 2max 2000 ,
Ts
2 2 max 2 103 2000
因为ws=2pi/T
( a ) T 0.5 103 和 (c) T 104 满足采样定理，可以保证 x(t ) 的恢复；
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例 2.5 判断下面的离散时间系统是否是时不变的：
y[n] sin{x[n]}
解：令任意输入为 x1 [n] ，则其对应的输出为
y1[n] sin{x1[n]}
将 x1 [n] 时移后输入
（2-1）
x2 [n] x1[n n0 ]
则 x 2 [ n] 对应的输出为
y2[n] sin{x2[n]} sin{x1[n n0 ]}
按幅值上的取值分类：
模拟信号—幅值上连续变化的信号 离散信号—幅值上只取离散值的信号 数字信号—幅值用一定位数的二进制编码的形式表示的 信号
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图2-1计算机控制系统中的信号变换
大家自己先考虑下各点的信号形式