高中数学第二章平面向量25从力做的功到向量的数量积备课素材北师大版4!
高中数学 第二章 从力做的功到向量的数量积教案 北师大版必修4
从力做的功到向量的数量积●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识. ●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。
●教具准备多媒体辅助教学●教学过程教案设计说明（1）教学理念——以教师为主导，学生为主体教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，因此在教学中不断引导学生去思考，学会去学习。
本节课有较多的概念及性质，尽可能给机会让学生参与，因此在教学过程中设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，增强学生的参与意识，教给了学生获取知识的途径，使学生真正成了教学的主体，通过这样，使学生学有所思，思有所获，产生一种成就感，提高学生的学习兴趣。
（2）教学方法——启发引导式本节课的重点是向量的数量积，围绕这个教学重点，在教学过程中始终贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维为主攻”，设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，逐步领悟数学知识的本质。
（3）教学手段——多媒体辅助教学为了使所创设的问题情景自然有趣，直观，同时为了增大课程容量，更好的突出重点，突破难点，提高课堂效率，因此在教学中利用多媒体演示，既加强教师、学生、媒体三者互动，发挥学生主体作用，提高了学习效率，同时缩短教师板书时间，保证教学任务的完成。
高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积教案北师大版
2.5 从力做的功到向量的数量积整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.图1我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ.功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ,其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ 推进新课 新知探究 提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a ,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2A.b+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a .方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ＜2π时，cos θ＞0,从而a ·b ＞0;当2π＜θ≤π时,cos θ＜0,从而a ·b ＜0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bca =c .但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .图3(3)对于实数a 、b 、c 有(a ·b)c=a (b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立. 讨论结果①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a .(交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); (a .+b )·c =a ·c+b·c (分配律).③1°(a+b )2=(a +b )·(a +b )=a ·a +a .·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;2°(a .+b )·(a .-b )=a .·a .-a .·b +b ·a .-b ·b =a .2-b 2. 提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|Cos θ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1°e ·a =a ·e =|a |cos θ. 2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |. 特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.4°cos θ=||||b a ba ∙. 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.应用示例思路1例1 已知|a .|=3,|b |=4,且a 与b 的夹角θ=150°,求a ·b . 活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念. 解:a ·b =|a ||b |cos θ=3×4×c os150°=12×(-23)=-63. 点评:直接利用向量数量积的定义.例 2 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1,||=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,||2+||2=||2,∴△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°, 从而sin∠A.BC=23,sin∠BAC=21 ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°. 故·+·+·=2×1×c os120°+1×3c os90°+3×2c os150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ). 解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a .·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×c os60°-6×42 =-72.例3 已知|a |=3,|b |=4,且a .与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a .-k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练(007海南三亚)设a 、b 、c 是非零向量,下列命题正确的是( ) A.(a .·b )·c =a .·(b ·c )B.|a .-b |2=|a .|2-2|a .||b |+|b |2C.若|a .|=|b |=|a .+b |,则a 与b 的夹角为60°D.若|a |=|b |=|a .-b |,则a .与b 的夹角为60°解析:设θ是a .和b 的夹角,∵|a |=|b |,∴|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2|a |2-2a ·b =|a |2. ∴cos θ=21. 又∵0≤θ≤180°,∴θ=60°. 答案:D例4 在△A.BC 中,设边BC,CA.,A.B 的长度分别为a,b,c.证明a 2=b 2+c 2-2bcCosA., b 2=c 2+a 2-2cacosB, c 2=a 2+b 2-2acosC.图5证明:如右图,设=c ,=a ,=b ,则a 2=|a |2=||2=·=(AC -AB )·(AC -AB )=(b -c )·(b -c ) =b ·b +c ·c -2b ·c=|b |2+|c |2-2|b ||c |cosA. =b 2+c 2-2bccosA.同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义.思路2 例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,CD =c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a .,试问四边形ABCD 的形状如何？ 解:∵+BC +CD +=0, 即a +b +c +d =0, ∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即A.B=CD,且BC=DA., ∴四边形A.BCD 是平行四边形. 故=-CD ,即a =-c . 又a ·b =b ·c =-a .·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,四边形ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |=|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的 A.BCD,若AB =a ,BC =b ,则CA =a +b ,DB =a -b 由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a .|,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2. ∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=-21|b |2-|b |2=-23|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(-21)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙,代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b .又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a .⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c ∴|c |2=n b ·c.由已知|c |2=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |c os120°=-4, ∴|b |·4·(-21)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b , ∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②，得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4. 例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.图6证明:菱形ABCD 中,=(如图6), 由于AC =AD +AB ,BD =AD -AB , 可得·BD =(AD +AB )·(AD -AB ) =(AD )2-(AB )2=|AD |2-|AB |2=0,所以⊥BD ，即菱形的两条对角线互相垂直.例4 已知单位向量e 1,e 2的夹角为60°,求向量a =e 1+e 2,b =e 2-2e 1的夹角. 解:由单位向量e 1、e 2的夹角为60°,得e 1·e 2=c os60°=21, 所以a ·b =(e 1+e 2)·(e 2-2e 1) =-2e 1·e 1-e 1·e 2+e 2·e 2 =-2-21+1=-23.① 又|a |2=|e 1+e 2|2=|e 1|2+2e 1·e 2+|e 2|2=3,|b |2=|e 2-2e 1|2=4|e 1|2-4e 1·e 2+|e 2|2=3, 所以|a |=|b |=3.②由①②可得cos θ=213323||||-=⨯-=∙b a b a 又0＜θ＜π,所以θ=120°. 知能训练课本本节练习1—5. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解. 作业课本习题2—53、5.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下: 两个向量a .与b 的向量积是一个新的向量c :(1)c 的模等于以a .及b 两个向量为边所作成的平行四边形的面积; (2)c 垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a .、b 、c 三向量成右手系——设想一个人站在c 处观看a .与b 时,a .按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b ，如图8.图8向量a 与b 的向量积记作a ×b .设a 与b 两个向量的夹角为θ,则|a .×b |=|a ||b |sin θ.在上面的定义中已默认了a 、b 为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则 a ×b =0.向量的向量积服从以下运算律: (1)a ×b =-b ×a ;(2)a ×(b +c )=a ×b +a ×c ; (3)(m a )×b =m(a ×b ). 二、备用习题1.已知a ,b ,c 是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( ) ①|a ·b |=|a ||b ⇔|a ∥b ②a 与b 反向⇔a ·b =-|a ||b | ③a ⊥b ⇔|a +b |=|a -b | ④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |A..1B.2C.3D.4 2.有下列四个命题:①在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 是锐角三角形; ②在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 为钝角三角形; ③△ABC 为直角三角形的充要条件是·=0; ④△ABC 为斜三角形的充要条件是·BC ≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④ 3.设|a |=8,e 为单位向量,a 与e 的夹角为60°,则a 在e 方向上的投影为( ) A..43 B.4 C.42D.8+23 4.设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a ·b )c -(c ·a .)b =0;②|a |-|b |＜|a .-b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④ 5.在△A.BC 中,设=b ,AC =c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( ) A..0 B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________. 7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求: (1)(a -3b )·(2a +b ); (2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+. 9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21. 又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12. ∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ, ∴cos θ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147.。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数
2.5 从力做的功到向量的数量积典题精讲例1若|a |=1，|b |=2，(a -b )⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A.30°B.45°C.90°D.135°思路解析：设a 与b 的夹角为θ，∵（a -b ）·a =0.∴|a |2-b ·a =0.∴b ·a =1.∴cos θ=||||b a b a ∙=22. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案：B绿色通道：求向量a 与b 的夹角的步骤：（1）计算b ·a ，|a |，|b |；（2）计算cos 〈a ，b 〉；（3）根据范围确定夹角的大小.变式训练1已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.思路分析：求a 与b 的夹角余弦值，只要求出a ·b 与|a |、|b |即可.解：∵（a +3b ）⊥（7a －5b ）,∴（a +3b ）·（7a －5b ）=0.∴7a 2+16a ·b －15b 2=0.①又∵（a －4b ）⊥（7a －2b ）,∴（a －4b ）·（7a －2b ）=0.∴7a 2－30a ·b +8b 2=0.②①－②得46a ·b =23b 2，即有a ·b =21b 2=21|b |2. 代入①式，得7|a |2+8|b |2－15|b |2=0，故有|a |2=|b |2，即|a |=|b |.∴cos〈a ，b 〉=21||||||21||||2==∙b b b b a b a . 又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉=60°，即a 与b 的夹角为60°.变式训练2已知△ABC 中，a =5，b =8，·=-20，试求C.有个同学求解如下：解：如图2-5-4，∵||=a =5，||=b =8，图2-5-4 218520||||-=⨯-=CA BC . 又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析：这位同学的解答不正确，其原因就在于没能正确理解向量夹角的定义.由于BC 与CA 两向量的起点并不同，故∠C≠〈BC ，CA 〉,而是∠C＋〈BC ,CA 〉=180°，则cos 〈, 〉218520-=⨯-=. 又∵0°≤〈BC ,CA 〉≤180°，∴〈BC ,CA 〉=120°.∴∠C=60°.所以这位同学的解答不正确，∠C=60°；批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么这道题就能做对了，请你再试试吧.例2已知向量a 、b 不共线，且|2a +b |=|a +2b |，求证：（a +b ）⊥（a －b ）.思路分析：可以证明（a +b ）与（a －b ）垂直，转化为证明（a +b ）与（a －b ）的数量积为零.也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.证法一：∵|2a +b |=|a +2b |，∴（2a +b )2=（a +2b )2.∴4a 2+4a ·b +b 2=a 2+4a ·b +4b 2.∴a 2=b 2.∴（a +b ）·（a －b ）=a 2－b 2=0.又a 与b 不共线，a +b ≠0，a －b ≠0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.证法二：如图2-5-5所示，在平行四边形OCED 中，设=a ，=b ,A 、B 、N 、M 分别是OC 、OD 、DE 、EC 的中点.图2-5-5则有2a +b =OC +OB =OC +CM =OM ，a +2b =+=+=ON ,a +b =21,a -b =BA =NM . ∵|2a +b |=|a +2b |，∴|OM |=|ON |.∴△OMN 是等腰三角形.可证F 是MN 的中点. ∴OE ⊥BA . ∴⊥. ∴21⊥BA . ∴（a +b ）⊥（a －b ）.绿色通道：证明向量垂直的两种方法：①应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.②应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练向量a 、b 均为非零向量，且|a |=|b |，求证：(a -b )⊥(a ＋b ）.思路分析：转化为证明向量(a -b )和(a ＋b )的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.证法一：如图2-5-6所示，在平行四边形OACB 中,图2-5-6 设OA =a ,OB =b ,则a -b =，a+b =OC ， ∴|OA |=|OB |.∴四边形OA ＣB 是菱形.∴OC ⊥BA .∴⊥OC ，即(a -b )⊥(a ＋b ）.证法二：∵|a |=|b |，∴(a -b )·(a ＋b ）=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0.∵a 、b 均为非零向量,∴a -b ≠0，a ＋b ≠0.∴(a -b )⊥(a ＋b ）.问题探究问题（1）在Rt△ABC 中，∠BA C=90°，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉； （2）在等边△ABC 中，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（3）由（1）和（2）你发现了什么结论，并加以证明.导思:归纳、猜想、证明是人类认识世界和发现世界的主要手段，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.探究：（1）∵∠BA C=90°，∴cos〈AB ,AC 〉=0. ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+||2=||2. (2)∵||2=||2=||2,〈,〉=60°， ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+|AC |2-||2=||2=|BC |2.(3)可发现如下结论：在△ABC 中，有 ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2； ||2+|BC |2-2|||BC |cos 〈,BC 〉=|AC |2； |CA |2+|CB |2-2|CA ||CB |cos 〈CA ,CB 〉=|AB |2. 可以用语言叙述：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.此结论称为余弦定理.证明：如图2-5-7，在△ABC 中，有-=,图2-5-7 ∴(-AB )2=2BC . ∴2AB +2AC -2·=2BC ,即|AB |2+|AC |2-2|AB ||AC |cos 〈AB ,AC 〉=|BC |2. 同理可证：||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2; ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2.。
高中数学-第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4
π
b=|a||b|cos θ=5×5×cos = ,
a·
3
2
=
所以|a+b|= ( + )2 = 2 + 2 + 2·
25 + 25 + 25=5 3.
|a-b|= (-)2 =
=
2 + 2 -2·
25 + 25-25=5.
(2)由2 =16,得| |=4,又| + |=| −
1
因此 cos θ=- ,从而 θ=120°.选 C.
2
答案:C
(2)解:如图所示,在平面内取一点 O,作=a, =b,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,使||=| |,
∴四边形 OACB 为菱形,OC 平分∠AOB,这时=a+b,=a-b.
)
(2)向量的数量积运算满足(a·
b)·
c=a·
(b·
c). (
)
(3)已知 a≠0,且 a·
c=a·
b,则 b=c. (
)
(4)在△ABC 中,| |=5,| |=6,∠ABC=60°,则 · =15.
(
)
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解析:设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,
∵a·c=b·c,
∴|a|·|c|cos θ1=|b|·|c|cos θ2.
∵c≠0,∴|a|cos θ1=|b|cos θ2.
答案:D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的
高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积学案北师大版必修4
§5从力做的功到向量的数量积1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难)点[基础·初探]教材整理向量的夹角及数量积阅读教材P93～P96内容，完成下列问题．1．向量的夹角(1)射影|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(也叫投影)．(2)数量积已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．(3)规定零向量与任一向量的数量积为0.(4)几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积．(5)性质①若e 是单位向量，则e·a ＝a·e ＝|a |cos θ.②若a⊥b ，则a·b ＝0；反之，若a·b ＝0，则a⊥b ，通常记作a⊥b ⇔a·b ＝0. ③|a|＝a·a ＝a 2. ④cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．⑤对任意两个向量a ，b ，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b 时等号成立． (6)运算律已知向量a ，b ，c 与实数λ，则： ①交换律：a·b ＝b·a ；②结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量的数量积仍是一个向量．( ) (2)若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( )(3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ>0⇔a ·b >0.( ) (4)对于任意向量a ，b ，总有(a ·b )2＝a 2·b 2.( ) (5)a ·b a 2＝ba.( ) 【解析】 (1)×.两向量的数量积是一个数量．(2)×.∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝0，∴a ＝0或b ＝0或cos θ＝0. (3)√.(4)×.由数量积定义知，错； (5)×.a ·b a 2＝|a ||b |cos θ|a 2|＝|b |cos θ|a |. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]已知|a |；(2)(a ＋b )2；(3)(a－b )2；(4)a 2－b 2.【精彩点拨】 利用两个向量的数量积公式a·b ＝|a||b|cos θ，|a |2＝a 2及运算律计算．【自主解答】 由题知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5. (1)a·b ＝|a||b|cos θ＝4×5×cos 60°＝10. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝42＋2×10＋52＝61. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝42－20＋52＝21. (4)a 2－b 2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9.1．求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a |和|b |；③利用数量积的定义：a·b ＝|a ||b |cos θ求解．要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．[再练一题]1．已知|a |＝10，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°.求： (1)a·b ；(2)a 在b 方向上的射影； (3)(a －2b )·(a ＋b )； (4)(a －b )2.【解】 (1)a·b ＝|a ||b |cos 120°＝10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－20.(2)a 在b 方向上的射影为|a |cos 120°＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5. (3)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2＋a·b －2a·b －2b 2＝a 2－a·b －2b 2＝|a |2－|a ||b |cos 120°－2|b |2＝100－10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×42＝88.(4)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝100－2×10×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＝100＋40＋16＝156.(1)|a ＋b |； (2)|3a －4b |.【精彩点拨】 利用公式|a |2＝a 2进行计算．【自主解答】 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. (1)因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2·a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－4)＋22＝12， 所以|a ＋b |＝2 3.(2)因为|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， 所以|3a －4b |＝419.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a 2＝|a |2，最后勿忘开方．2．一些常见等式应熟记： (a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．[再练一题]2．已知|a |＝4，|b|＝3，(2a －3b )(2a ＋b )＝61，求|a ＋b |.【导学号：66470054】【解】 因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4a 2＋2a ·b －6a ·b －3b 2＝61， 所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又因为|a |＝4，|b |＝3，所以4×42－4a ·b －3×32＝61， 所以a ·b ＝－6.|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.[探究共研型]探究1 【提示】 [0，π]．探究2 设a 与b 都是非零向量，若a ⊥b ，则a ·b 等于多少？反之成立吗？ 【提示】 a ·b ＝0⇔a ⊥b .探究3 |a ·b |与|a |·|b |的大小关系如何？为什么？对于向量a ·b ，如何求它们的夹角θ？【提示】 |a ·b |≤|a |·|b |，|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|. 由|cos θ|≤1，可得|a ·b |≤|a |·|b |.求夹角θ时先求两个向量a ，b 夹角的余弦值．然后根据向量夹角的取值范围求角．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝2e 1＋e 2与b ＝2e 2－3e 1的夹角θ.【精彩点拨】 先求|a |，|b |及a ·b ，再由公式cos θ＝a ·b|a ||b |求解． 【自主解答】 ∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝cos 60°＝12，∴a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(2e 2－3e 1) ＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－72.又∵a 2＝(2e 1＋e 2)2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22＝7，b 2＝(2e 2－3e 1)2＝4e 22－12e 1·e 2＋9e 21＝7，∴|a |＝|b |＝7，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝23π.1．求向量a ，b 的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos θ＝a·b|a||b|求cos θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos θ有两种情形，一种是求出a·b ，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b ，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．2．两向量垂直⇔a·b ＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决．[再练一题]3．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角；(2)求a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．【解】 (1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以|a |2－|b |2＝12.又因为|a |＝1，所以|b |＝|a |2－12＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.(2)因为(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12，所以|a －b |＝22.又因为(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52，所以|a ＋b |＝102. 设a ＋b 与a －b 的夹角为α，则cos α＝a －b a ＋b|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. [构建·体系]1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中正确的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c【解析】 由向量数量积的运算性质，知A ，C ，D 错误． 【答案】 B2．设向量a·b ＝40，|b |＝10，则a 在b 方向上的射影为( ) A ．4 B ．4 3 C ．4 2D ．8＋32【解析】 a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉．由a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝40且|b |＝10，得|a|cos θ＝4.【答案】 A3．已知|a |＝3，|b |＝23，a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角是________.【导学号：66470055】【解析】 设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－33×23＝－12.又因为0°＜θ＜180°，所以θ＝120°. 【答案】 120°4．单位向量i ，j 相互垂直，向量a ＝3i －4j ，则|a |＝________.【解析】 因为|a |2＝a 2＝(3i －4j )2＝9i 2－24i ·j ＋16j 2＝9＋16＝25，所以|a |＝5. 【答案】 55．已知|a |＝1，|b |＝2，设a 与b 的夹角为θ.(1)若θ＝π3，求|a －b |；(2)若a 与a ＋b 垂直，求θ. 【解】 (1)∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a|2－2|a||b|cos π3＋|b |2＝1－22×12＋2＝3－2，∴|a －b |＝3－ 2.(2)若a 与a ＋b 垂直，则a·(a ＋b )＝0， ∴a 2＋a·b ＝0. ∵a·b ＝－|a|2＝－1. ∴cos θ＝a·b |a||b|＝－11×2＝－22.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。
高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积教案 北师大版必修4
2.5从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】（学生阅读教材P 107—108，师生共同讨论）思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对 一般的向量a 和b ，如何定义这种运算？1.力做的功：W = |F |•|s |cos θ θ是F 与s 的夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a •b = |a ||b |cos θ，并规定0与任何向量的数量积为0。
⋅3.向量夹角的概念：范围0︒≤θ≤180︒[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题： ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定。
②两个向量的数量积称为内积，写成a •b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
高二数学 2.5从力做的功到向量的数量积教案 北师大版必修4
2.5从力做的功到向量的数量积（2课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】（学生阅读教材P 107—108，师生共同讨论）思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对 一般的向量a 和b ，如何定义这种运算？1.力做的功：W = |F |•|s |cos θ θ是F 与s 的夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a •b = |a ||b |cos θ，并规定0与任何向量的数量积为0。
⋅3.向量夹角的概念：范围0︒≤θ≤180︒[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题： ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定。
②两个向量的数量积称为内积，写成a •b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。
高中数学第二章平面向量25从力做的功到向量的数量积课件北师大版必修4
规律方法 根据向量垂直的条件即数量积等于 0 可建立参数 的方程，从而可求得参数的值或找到参数之间的函数关系．
已知|a|＝2，|b|＝1，向量 a，b 的夹角为 60°，c＝a＋5b，d ＝ma－2b.当 m 为何值时，c 与 d 垂直？
已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)a·b＝|a||b|cos120° ＝2×3×－12＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－ 3|b|2＝8－15－27＝－34.
【解】 (1)a 在 b 方向上的射影为
|a|cosθ＝5cos150°＝－5
2
3 .
a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos150°＝－10 3.
(2)b 在 a 方向上的射影为|b|cosθ＝a|a·b| ＝96＝32.
∵cosθ＝|aa|·|bb|＝6×9 3＝12，∴θ＝60°.
规律方法 向量 b 在 a 方向上的射影只与向量 b 的模及向量 a 和 b 的夹角有关，而与向量 a 的模没有关系．
类型三 向量的夹角
【例 3】 已知 a，b 是非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|， 求 a 与 a＋b 的夹角．
【思路探究】 依据条件，可以利用向量的数量积定义求解， 也可以利用向量加法运算的几何意义求解．
【解】 解法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2.
又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积 学习数量积的九点注记素材 北师大版必修4
学习a b •r r的九点注记注记1：a r •b r 是指两个向量的数量积，是一个实数，不是向量，该实数的符号由cos θ的符号决定．注记2：a r •b r 是指两个向量的数量积称为内积，其积为一个实数．不能写成a r ×b r ，它称为两个向量的外积，其积仍是一个向量．注记3：a r •b r ＝|a r ||b r |cos θ，其中θ的意义为夹角，即两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段的夹角，不同起点的向量要通过平移成为相同起点的向量，再找夹角．注记4：a r •b r ＝|a r ||b r |cos θ，|a r |cos θ叫做向量a r 在向量b r 上的射影．射影为一个实数，而非向量，可正，可负，可零．注记5：a r •b r ＝0r ，不能推出a r ＝0r ，或b r ＝0r ．有可能是cos θ＝0，如|a r |＝1，|b r |＝2，a r 与b r 的夹角为，则有a r •b r ＝0r ． 注记6：在实数中，有(a •b )c ＝a (b •c )；但在数量积中，(a r •b r )•c r ≠a r •(b r •c r )，由于左端是与c r 共线的向量，而右端是与a r 共线的向量，一般a r 与c r 不共线． 注记7：|a r •b r |≠|a r ||b r |，由于|a r •b r |＝|a r ||b r ||cos θ|≤|a r ||b r |，即应有|a r •b r |≤|a r ||b r |，当且仅当a r 注记8：a r •b r 的符号与a r ，b r 的夹角关系，设a r ≠0r ，b r ≠0r ，a r 与b r 的夹角为θ，则有①θ为锐角时⇔a r •b r ＞0且a r ，b r 不同向， ②θ为钝角时⇔a r •b r ＜0且a r ，b r不反向．注记9：已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bc ⇒a ＝c ；但a r •b r ＝a r •c r (a r ≠0r )，不能推出b r ＝c r ．。
高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积备课素材北师大版必修4
2.5 从力做功到向量数量积备课资料一、向量向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时角速度与线速度之间关系等这类问题需要,就必须引进两向量乘法另一运算——向量向量积.定义如下:两个向量a.与b向量积是一个新向量c:(1)c模等于以a.及b两个向量为边所作成平行四边形面积;(2)c垂直于平行四边形所在平面;(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°角而到达b，如图8.图8向量a与b向量积记作a×b.设a与b两个向量夹角为θ,那么|a.×b|=|a||b|sinθ.在上面定义中已默认了a、b为非零向量,假设这两个向量中至少有一个是零向量,那么a×b=0.向量向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题a,b,c是非零向量,那么以下四个命题中正确个数为( )①|a·b|=|a||b⇔|a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A..1B.2C.32.有以下四个命题:①在△ABC中,假设AB·BC＞0,那么△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,假设AB·BC＞0,那么△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形充要条件是AB·BC=0;④△ABC为斜三角形充要条件是AB·BC≠0.其中为真命题是( )A..①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e夹角为60°,那么a在e方向上投影为( )3 A..43 B.4 C.42 D.8+2 a,b,c是任意非零平面向量,且它们相互不共线,有以下四个命题:①(a ·b )c -(c ·a .)b =0;②|a |-|b |＜|a .-b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△A.BC 中,设AB =b ,AC =c ,那么22)(|)||(|c b c b •-等于( ) A..0 B.21S △ABC △ABC △ABC i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),那么实数m=_____________.a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,那么a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |. 9.|a |=2,|b |=3,a 与b 夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 夹角为锐角,求实数λ取值范围.10.解：|a |=2,|b |=1,a 与b 夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 夹角余弦值. 解答:8.(1)-30+303;(2)3144337+. 9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量数量积定义,得a ·b =2×1×cos3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 夹角为θ,那么m ·n =|m ||n |c osθ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23c osθ,∴cos θ=-147,即向量m 与向量n 夹角余弦值为-147.。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数
2.5 从力做的功到向量的数量积知识梳理1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，如图2-5-1所示，作OA =a ，OB =b ，则∠A OB 称为a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉.图2-5-1 (2)范围：［0,π］，〈a ，b 〉=〈b ，a 〉.(3)当〈a ，b 〉=2π时，称向量a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .规定零向量与任一向量垂直. (4)当〈a ，b 〉=0时，a 与b 同向；当〈a ，b 〉=π时，a 与b 反向.2.向量的射影图2-5-2已知向量a 和b ，如图2-5-2所示，作=a ，=b ,过点B 作的垂线，垂足为B 1，则1的数量|b |cosθ 叫做向量b 在向量a 方向上的正射影（简称射影）.3.向量的数量积（内积）（1）定义：|a ||b |cosθ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ.（2）理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、为零、为负数.（3）几何意义：向量a 与向量b 的数量积等于a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上的射影|b |cosθ的乘积，或看作是b 的长度｜b ｜与a 在b 方向上的射影|a |cosθ的乘积. 4.向量数量积的性质设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.（1）e ·a =a ·e =|a |cos 〈a ，e 〉.（2）a ·b ⇔a ·b =0.（3）当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |；特别地：a ·a =|a |2或|a |=a a •.（4）cos 〈a ，b 〉=||||b a b a •. （5）|a ·b |≤|a ||b |.5.向量数量积的运算律交换律：a ·b =b ·a ；结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）(λ∈R )； 分配律：（a ＋b ）·c =a ·c ＋b ·c .知识导学1.学好本节，需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算.2.本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.疑难突破1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？剖析：难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比.①从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.②从运算的表示方法上看：两个向量a 、b 的数量积称为内积，写成a ·b ；大学里还要学到两个向量的外积a ×b ，而a ·b 是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.③从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a ·b =0，则a =0或b =0或〈a ,b 〉=2π；在向量的数乘中，若λa =0，则λ=0或a =0；在实数的乘法中，若a ·b =0，则a =0或b =0. 在向量的数量积中：a ·b =b ·c ⇒b =0或a =c 或〈b ，(a －c )〉=2π；在向量的数乘中，λa =λb （λ∈R ）⇒a =b 或a ≠b ；在实数的乘法中，ab =bc ⇒a =c 或b =0.在向量的数量积中：(a ·b )c ≠a ·（b ·c )；在向量的数乘中，（λｍ）a =λ(ｍa )（λ∈R ,m∈R ）；在实数的乘法中，有(a ·b ）c =a ·（b ·c ).④从几何意义上来看：在向量的数量积中，a ·b 的几何意义是a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上的射影|b |cosθ的乘积；在向量的数乘中，λa 的几何意义就是把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小|λ|倍.2.如何应用|a |=a a •来求平面内两点间的距离？剖析：难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底，再代入等式即可.例如：如图2-5-3所示，已知平行四边形ABCD 中，AB=3，AD=1，∠DAB=3π，求对角线AC 和BD 的长.图2-5-3解：设=a ，=b .则|a |=3，|b |=1，〈a ,b 〉=3π. ∴a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=23. 又∵AC =a +b ,DB =a -b ，∴|AC |=132)(222=+•+=+=b b a a b a ，|DB |=72)(222=+•-=-=b b a a b a ，∴AC=13,DB=7.由此可见向量法求平面内两点间的距离的步骤是：①建立平面向量基底或建立平面直角坐标系，将平面内两点间距离转化为向量的长度； ②应用公式|a |=a a •，通过向量运算求出向量的长度；③把向量的长度还原成平面内两点间的距离.。
高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课件1北师大版必修4
| b |cosθ =__|b__| _
a
B
A
当θ =180°时，
B1
b
O
| b | cosθ =_-_|_b_|_ B
a
A
物理实例中，与位移 ︱Fr ︱cosθ ，即是力
r s
r F
方在向sr 一方致向的上分的力射影Fur1 的 . 长度为
ur
r
F2
F
r
θ
ur
s F1
问题3 平面向量的数量积的定义如何？
2.5 从力做的功到向量的数 量积
物理中我们学过功的概念，一个物体在力
r
r F
的作用
下产生位移 s（如图）
r
F
r
θ
s
力
r F
所做的功W可用下式计算:
rr W F s cos,
其中θ
r
是F
r 与s
的夹角.
当0°≤θ ＜90°时，W＞0, 即力F做正功； 当θ ＝90°时，W＝0，即力F不做功； 当90°＜θ ≤180°时，W＜0，即力F做负功.
| b | cosθ叫作向量 b在 a方向
上的射影(也叫投影)．
B
当θ为锐角时，
b
|b | cosθ__＞___0
O
a B1 A
B
当θ 为钝角时，
b
| b | cosθ _＜__0.
θ
B1 O a A
当θ 为直角时，
| b |cosθ __=__0
B
b
θ
O((BB1) a A
当θ =0°时，
b
O
从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量 积的含义及其物理意义、几何意义.（重点） 2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系. 3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的 一些简单应用.（重点） 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积 判断两个平面向量的垂直关系.（难点）
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2.5 从力做的功到向量的数量积
备课资料
一、向量的向量积
在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:
两个向量a.与b的向量积是一个新的向量c:
(1)c的模等于以a.及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;
(2)c垂直于平行四边形所在的平面;
(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b，如图8.
图8
向量a与b的向量积记作a×b.
设a与b两个向量的夹角为θ,则|a.×b|=|a||b|sinθ.
在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则
a×b=0.
向量的向量积服从以下运算律:
(1)a×b=-b×a;
(2)a×(b+c)=a×b+a×c;
(3)(m a)×b=m(a×b).
二、备用习题
1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )
①|a·b|=|a||b⇔|a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|
③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|
A..1
B.2
C.3
D.4
2.有下列四个命题:
①在△ABC中,若AB·＞0,则△ABC是锐角三角形;
②在△ABC中,若·＞0,则△ABC为钝角三角形;
③△ABC为直角三角形的充要条件是·BC=0;
④△ABC为斜三角形的充要条件是AB·BC≠0.
其中为真命题的是( )
A..①
B.②
C.③
D.④
3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( )
3 A..43 B.
4 C.42 D.8+
2 4.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:
①(a ·b )c -(c ·a .)b =0;②|a |-|b |＜|a .-b |;
③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.
其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
5.在△A.BC 中,设=b ,AC =c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( ) A..0 B.
2
1S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________.
7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.
8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求:
(1)(a -3b )·(2a +b );
(2)|3a -4b |. 9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.
10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为
3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.
解答:
1.C
2.B
3.B
4.D
5.D
6.-2
7.-13
8.(1)-30+303;(2)3144337+.
9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos
3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.
又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2
-8a .·b =4+16-8=12.
∴|n |=23.
设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ.①
又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.
把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ,
∴cos θ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147.。