高中数学第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念教学案新人教B必修3

1．1.1 算法的概念预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)在数学中算法是如何定义的？(2)算法有哪四种描述方式？(3)设计算法的两个要求是什么？[新知初探]1．算法 (1)概念：说法①：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤． 说法②：按照要求设计好的有限的确切的计算序列． (2)作用：这样的步骤或序列能够解决一类问题． 2．算法的描述方式 方式⎩⎪⎨⎪⎧自然语言数学语言形式语言算法语言框图3．设计算法的两个要求(1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能重复使用．(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果．[小试身手]1．下列叙述不能称为算法的是( )A ．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海B ．解方程4x ＋1＝0的过程是先移项再把x 的系数化成1C ．利用公式S ＝πr 2计算半径为2的圆的面积得π×22D ．解方程x 2－2x ＋1＝0 答案：D2．算法的有限性是指( ) A ．算法必须包含输出B ．算法中每个操作步骤都是可执行的C ．算法的步骤必须有限D ．以上说法均不正确 答案：C3．以下有六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话．写出一个打本地电话的算法________(只写序号)．解析：按照打本地电话的基本操作流程来写，应是③②①⑤④⑥. 答案：③②①⑤④⑥ 4．给出一个问题的算法 S1 输入a .S2 若a ≥4，则执行S3；否则执行S4. S3 y ＝2a . S4 y ＝a 2. S5 输出y .当输入的值a ＝5时，则输出的y 值为________． 解析：所给问题是求函数值问题．已知函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，a ≥4，a 2，a <4，所以当a ＝5时，y ＝10.答案：10算法概念的理解[典例] A ．描述算法可以有不同的方式，可用形式语言也可用其它语言B ．算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题C ．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果D ．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果[解析] 算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题．算法过程要求一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，只能有唯一结果，而且经过有限步后，必须有结果输出后终止，描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言及形式语言等．[答案] A有关算法概念的解题策略(1)判断题应根据算法的特点进行求解；(2)步骤要有限，前后有顺序，步步都明确．特别注意能在有限步内求解某一类问题，其中的每个步骤必须是明确可行的，不能模棱两可，对同一个问题可设计不同的算法．[活学活用]下列各式中S 值不可以用算法求解的是( ) A ．S ＝1＋2＋3＋4B ．S ＝12＋22＋32＋…＋1002C ．S ＝1＋12＋…＋110 000D ．S ＝1＋2＋3＋4＋…解析：选D 由算法的有限性知，D 不正确，而A 、B 、C 都可以通过有限步骤操作，输出确定结果.算法的设计[典例] [解] 圆台如图所示，算法如下： S1 令r 1＝2，r 2＝4，h ＝4. S2 计算l ＝r 2－r 12＋h 2.S3 计算S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l . S4 输出运算结果．设计具体问题的算法的一般步骤(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤；(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．[活学活用]已知函数f(x)＝x2，g(x)＝2x－log2x(x≠0)．(1)写出求g(f(x))的值的一个算法；(2)若输入x＝－2，则g(f(x))输出的结果是什么？解：(1)S1 输入x的值(x≠0)．S2 计算y＝x2的值．S3 计算z＝2y－log2y的值．S4 输出z的值．(2)当x＝－2时，由上面的算法可知y＝4，z＝24－log24＝14，故输出的结果为14.算法在实际生活中的应用[典例] 汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取手续费，超过5 000元的一律收取50元手续费．试写出汇款额为x元时，计算银行手续费的一个算法．[解] 算法步骤如下：S1 输入自变量x的值；S2 判断x的范围，若x≤100，则y＝1，若100<x≤5 000，则y＝x×0.01，若5 000<x≤1 000 000，则y＝50；S3 输出函数值y.实际生活问题算法设计的步骤(1)弄清已知，明确要求；(2)建立过程模型；(3)根据过程模型设计算法步骤，在写算法时应简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现出思维的严密性和完善性．[活学活用]一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？解：S1 把银元分成3组，每组3枚；S2 将其中两组分别放在天平两边，如果左右不平衡，则假银元就在轻的那一组；如果左右平衡，则假银元就在未称的第3组；S3 从含有假银元的那一组中任取两枚银元放在天平两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．[层级一 学业水平达标]1．计算下列各式中S 的值，能设计算法求解的是( ) ①S ＝12＋14＋18＋ (12100)②S ＝12＋14＋18＋…＋12100＋…；③S ＝12＋14＋18＋…＋12n (n ≥1且n ∈N ＋)．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③解析：选B 因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解． 2．结合下面的算法： S1 输入x .S2 判断x 是否小于0，若是，则输出x ＋2，否则执行S3. S3 输出x －1.当输入的x 的值为－1时，输出的结果为( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．3解析：选C 根据x 值与0的关系，选择执行不同的步骤，当x 的值为－1时，应执行x ＋2这一步骤，所以输出的结果应为1，故选C.3．给出下列算法： S1 输入x 的值．S2 当x ＞4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步． S3 计算y ＝4－x . S4 输出y .当输入x ＝0时，输出y ＝________________. 解析：0＜4，执行S3，y ＝4－0＝2. 答案：24．用高斯消去法计算二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝6，x －y ＝4的解．解：S1 计算D ＝3×(－1)－1×(－2)＝－1. S2 D ＝－1≠0，则x ＝6×－1－4×－2－1＝－2，y ＝4×3－6×1－1＝－6.S3 输出x ，y 的值．[层级二 应试能力达标]1．下列对算法的理解不正确的是( ) A ．算法只能用自然语言来描述 B ．算法可以用图形方式来描述C ．算法一般是“机械的”，有时要进行大量重复的计算，它的优点是可以解决一类问题D ．设计算法要本着简单、方便、可操作的原则 解析：选A 由算法的概念和描述方式知，A 不正确．2．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2，在写解此方程组的算法时需要我们注意的是( )A ．a 1≠0B ．a 2≠0C ．a 1b 2－a 2b 1≠0D ．a 1b 1－a 2b 2≠0解析：选C 应用高斯消去法解方程组其实质是利用加减消元法．首先要将两方程y 的系数化为相同即b 1b 2，此时x 的系数分别为a 1b 2和a 2b 1两式相减得(a 1b 2－a 2b 1)x ＝c 1b 2－c 2b 1，要得出x 的值，则需注意a 1b 2－a 2b 1≠0.3．阅读下面的算法： S1 输入两个实数a ，b .S2 若a ＜b ，则交换a ，b 的值，否则执行第三步． S3 输出a .这个算法输出的是( ) A ．a ，b 中的较大数 B ．a ，b 中的较小数 C ．原来的a 的值D ．原来的b 的值解析：选A 第二步中，若a ＜b ，则交换a ，b 的值，那么a 是a ，b 中的较大数；若a ＜b 不成立，即a ≥b ，那么a 也是a ，b 中的较大数．4．对于算法： S1 输入n .S2 判断n 是否等于2，若n ＝2，则n 满足条件；若n >2，则执行S3.S3 依次从2到(n －1)检验能不能整除n ，若不能整除n ，则执行S4；若能整除n ，则执行S1.S4 输出n .满足条件的n 是( ) A ．质数 B ．奇数 C ．偶数D ．约数解析：选A 从题目的条件可以看出，输出的n 没有约数，因此是质数． 5．给出算法步骤如下： S1 输入x 的值；S2 当x <0时，计算y ＝x ＋1，否则执行S3； S3 计算y ＝－x 2； S4 输出y .当输入x 的值为－2,3时，输出y 的结果分别是______．解析：由算法步骤可知，其算法功能是已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，－x 2，x ≥0，当输入x 的值时，求对应的y 值．因为－2<0，所以对应函数解析式为y ＝x ＋1，因此y ＝－2＋1＝－1；当x ＝3时，则对应函数解析式为y ＝－x 2，因此y ＝－32＝－9.答案：－1，－96．使用配方法解方程x 2－4x ＋3＝0的算法的步骤是________(填序号)． ①配方得(x －2)2＝1； ②移项得x 2－4x ＝－3； ③解得x ＝1或x ＝3； ④开方得x －2＝±1.解析：使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行． 答案：②①④③7．已知直角三角形两条直角边长分别为a ，b (a >b )，写出求两直角边所对的最大角θ的余弦值的算法如下：S1 输入两直角边长a ，b 的值； S2 计算c ＝a 2＋b 2的值； S3 ________________________； S4 输出cos θ.将算法补充完整，横线处应填________________．解析：根据题意知，直角三角形两直角边a ，b (a >b )所对最大角θ的余弦值为bc，所以应填“计算cos θ＝b c的值”．答案：计算cos θ＝b c的值8．某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人或3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费．解：设某户有x 人，根据题意，应收取的卫生费y 是x 的分段函数，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3.算法如下： S1 输入人数x .S2 如果x ≤3，则y ＝5；如果x >3，则y ＝1.2x ＋1.4. S3 输出应收卫生费y .9．已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和直线l 2：3x ＋2y －6＝0，求直线l 1与l 2及y 轴所围成的三角形面积，写出解决本题的一个算法．解：S1 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0，得直线l 1，l 2的交点P (－2,6)．S2 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0，得y ＝12，从而得到A (0,12)． S3 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0，得y ＝3，得到B (0,3)； S4 求出△ABP 的底边长|AB |＝12－3＝9； S5 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； S6 根据三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ＝12×9×2＝9.。