中考数学总复习第二编中档专项训练篇中档题型训练一数与式的运算与求值试题
初三数学中考复习数与式专题练习题含答案(K12教育文档)
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天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习数与式专题练习题1．下列实数中，是有理数的为（）A。
2 B．3错误! C．π D．02．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌,实属来之不易,舌尖上的浪费让人触目惊心,据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( )A．5×109千克 B．50×109千克 C．5×1010千克 D．0。
5×1011千克3．若|a－1｜＝a－1，则a的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞14．下列计算正确的是( )A．4x3·2x2＝8x6 B．a4＋a3＝a7C．（－x2）5＝－x10 D．（a－b）2＝a2－b25．如果a＋错误!＝2，那么a的取值范围是（)A．a≤0 B．a≤2 C．a≥－2 D．a≥26．在代数式错误!,错误!（x＋y)，错误!，错误!，错误!，错误!中,分式有____个．7．如图,数轴上点A，B所表示的两个数的和的绝对值是____．8．分解因式：8－2x2＝____ ．9．若a＜错误!＜b，且a，b是两个连续的整数,则a b＝____．10．若分式错误!的值为0,则x的值为____．11．计算：8＋|2错误!－3|－(错误!)－1－(2015＋错误!）0;12．已知x＋y＝－7,xy＝12，求y错误!＋x错误!的值．13．先化简，再求值: 错误!÷（a－错误!),其中a＝2＋错误!，b＝2－错误!;14．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81,35＝243，36＝729，37＝2187，….解答下列问题：（1）32016的末位数字是多少？(2)3＋32＋33＋33＋…＋32016的末位数字是多少?答案：1-——5 DCACB6。
2024年中考数学总复习第二部分考点精练第一单元数与式第4课时分式
＝ x ( x 1)( x 1) x ( x 1)( x 1)
x1
x
x1
x
＝x－1＋(x＋1) ＝2x.
a(a 1)
＝ a1 ，
a
100
当a＝100时，原式＝ 100
1
99 100
.
第4课时 分 式
拔高题
9. (2023滨州)先化简，再求值：a 满足a2－( 1 )－1·a＋6cos 60°＝0.
a
4
(
a a2
2 2a
a2
a
1 4a
4
)，其中a
4
解：原式＝
a
a
4
[
(a 2)(a a(a 2)2
x1 x1 x
第11题图
第4课时 分 式
(1)甲同学解法的依据是___②_____，乙同学解法的依据是__③____； (填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质； ③乘法分配律；④乘法交换律．
第11题图
第4课时 分 式
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
(2)选择甲同学的解法：
原式＝[ x( x 1) x( x 1) ] x2 1
例
先化简，再求值： M
a1
a
2
1
a
，其中a＝100.
解：原式＝ a2 1
a(a 1) a(a 1)
…
第4课时 分 式
解：∵
a2 a(a
1)
1 a(a
1)
a
a
1
1 a2
a
M a1
1 a2
a
，
∴M＝a，
∴原式＝ a2 1a(Fra bibliotek 1) a(a 1)
2024年中考数学总复习第二部分考点精练第一单元数与式第3课时代数式、整式与因式分解
班级：________姓名：________第3课时代数式、整式与因式分解基础题1. (2022湘潭)下列整式与ab2为同类项的是()A. a2bB. －2ab2C. abD. ab2c2. (人教七下P125练习第2题改编)某校七年级举行航天知识竞赛，规定答对一题得10分，答错一题扣5分，若七年级(1)班答对了a道题，答错了b道题，则七年级(1)班的分数为()A. 5a－10bB. 5a＋10bC. 10a－5bD. 10a＋5b3. (2023吉林省卷)下列各式运算结果为a5的是()A. a2＋a3B. a2·a3C. (a2)3D. a10÷a24. (2023扬州)若()·2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是()A. aB. 2aC. abD. 2ab5. (2023营口)下列计算结果正确的是()A. a3·a3＝2a3B. 8a2－5a2＝3a2C. a8÷a2＝a4D. (－3a2)3＝－9a66. (2023重庆A卷)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是()第6题图A. 39B. 44C. 49D. 547. (2023江西)单项式－5ab的系数为________．8. (2023广西)分解因式：a2＋5a＝________．9. (2023兰州)因式分解：x2－25y2＝________．10. (2023凉山州)已知y2－my＋1 是完全平方式，则m的值是________．11. [新设问——结论开放](2023舟山)一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：________．12. (2023湘潭)已知实数a，b满足(a－2)2＋|b＋1|＝0，则a b＝________．13. (2023乐山)若m，n满足3m－n－4＝0，则8m÷2n＝________．14. 观察下列一组数：12，49，38，825，518，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第11个数是________．15. (2023长春)先化简，再求值：(a ＋1)2＋a (1－a )，其中a ＝33.16. (2023舟山)已知a 2＋3ab ＝5，求(a ＋b )(a ＋2b )－2b 2的值．17. (人教八上P112第4题改编)先化简，再求值：(a ＋b )2－(a －b )(a ＋b )＋b (a －2b )，其中a ＝2－1，b ＝2＋1.拔高题18. (2023随州)设有边长分别为a 和b (a >b )的A 类和B 类正方形纸片、长为a 宽为b 的C 类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a ＋b 的正方形，需要1张A 类纸片、1张B 类纸片和2张C 类纸片. 若要拼一个长为3a ＋b 、宽为2a ＋2b 的矩形，则需要C 类纸片的张数为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9第18题图19. (2023济宁)已知实数m 满足m 2－m －1＝0，则2m 3－3m 2－m ＋9＝________． 20. (2023福建)已知1a ＋2b ＝1，且a ≠－b ，则ab －a a ＋b的值为________．创新题21. (2023河北)根据下表中的数据，写出a的值为________，b的值为________.x2 n结果代数式3x＋1 7 b2x＋1a 1x22. (2023丽水)如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m>n且满足am－bn＝2，an＋bm＝4.(1)若a＝3，b＝4，则图①阴影部分的面积是________；(2)若图①阴影部分的面积为3，图②四边形ABCD面积为5，则图②阴影部分的面积是________．图①图②第22题图1. B2. C3. B【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误a2与a3不是同类项，A×无法合并4. A5. B 【解析】A . a 3·a 3＝a 6≠2a 3，故此选项不符合题意；B . 8a 2－5a 2＝3a 2，此选项符合题意；C . a 8÷a 2＝a 6≠a 4，故此选项不符合题意；D . (－3a 2)3＝－27a 6≠－9a 6，故此选项不符合题意．6. B 【解析】由题图可知，第①个图案木棍根数为4＋5×1＝9(根)，第②个图案木棍根数为4＋5×2＝14(根)，第③个图案木棍根数为4＋5×3＝19(根)，第④个图案木棍根数为4＋5×4＝24(根)，…，由此规律可知，第⑧个图案中木棍根数为4＋5×8＝44(根)．7. －58. a (a ＋5)9. (x ＋5y )(x －5y )10. ±2 【解析】∵y 2－my ＋1是完全平方式，∴－m ＝±2，解得m ＝±2.11. x 2－1(答案不唯一) 【解析】∵x 2－1＝(x ＋1)(x －1)，因式分解后有一个因式为(x ＋1)，∴这个多项式可以是x 2－1(答案不唯一)．12. 12 【解析】∵(a －2)2＋|b ＋1|＝0，∴a －2＝0且b ＋1＝0，解得a ＝2，b ＝－1，∴a b ＝2－1＝12.13. 16 【解析】8m ÷2n ＝23m ÷2n ＝23m －n ，∵3m －n －4＝0，∴3m －n ＝4，∴8m ÷2n ＝24＝16. 14.1172 【解析】12＝24＝2×1（1＋1）2，49＝2×2（2＋1）2，38＝616＝2×3（3＋1）2，825＝2×4（4＋1）2，518＝1036＝2×5（5＋1）2，…，∴这一组数的第n 个数是2n （n ＋1）2，当n ＝11时，2n （n ＋1）2＝2×11（11＋1）2＝22122＝1172. 15. 解：原式＝a 2＋2a ＋1＋a －a 2 ＝3a ＋1， 当a ＝33时，原式＝3×33＋1＝3＋1. 16. 解：原式＝a 2＋2ab ＋ab ＋2b 2－2b 2 ＝a 2＋3ab ， ∵a 2＋3ab ＝5， ∴原式＝5.17. 解：原式＝a 2＋2ab ＋b 2－(a 2 －b 2)＋ ab －2b 2 ＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋b 2＋ ab －2b 2 ＝3ab ，当a ＝2－1，b ＝2＋1时， 原式＝3×(2－1)×(2＋1)＝3.18. C 【解析】长为(3a ＋b )、宽为(2a ＋2b )的矩形的面积为(3a ＋b )(2a ＋2b )＝6a 2＋2b 2＋8ab ，需要6张A 类纸片，2张B 类纸片和8张C 类纸片．故选C .19. 8 【解析】∵m 2－m －1＝0，∴m 2－m ＝1，∴2m 3－3m 2－m ＋9＝2m (m 2－m )－m 2－m ＋9＝2m －m 2－m ＋9＝m －m 2＋9＝－(m 2－m )＋9＝－1＋9＝8.20. 1 【解析】∵1a ＋2b ＝1，∴b ＋2a ab ＝1，∴ab ＝2a ＋b ，∴ab －a a ＋b ＝2a ＋b －a a ＋b ＝a ＋b a ＋b＝1.21. 52，－2 【解析】根据表格可知，当x ＝2时，2x ＋1x ＝2×2＋12＝52＝a ；当x ＝n 时，2n ＋1n ＝1，解得n＝－1(使分母不为0，符合题意)，当x ＝n 时，3n ＋1＝b ，将n ＝－1 代入，得b ＝－2.22. (1)25； (2)53 【解析】(1)S 阴影＝a 2＋b 2＝32＋42＝25；(2)由题图①得a 2＋b 2＝3，由题图②得S 四边形ABCD＝（m ＋n ）22＝5，∴(m ＋n )2＝10，∴m 2＋n 2＋2mn ＝10.由am －bn ＝2，可知(am －bn )2＝4，化简，得a 2m 2－2abmn ＋b 2n 2＝4①，由an ＋bm ＝4，可知(an ＋bm )2＝16，化简，得a 2n 2＋2abmn ＋b 2m 2＝16②，①＋②，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝20，∴m 2＋n 2＝203，∴S 阴影＝5－12(m 2＋n 2)＝53.。
中考数学总复习《数与式》专项检测卷(附带答案)
中考数学总复习《数与式》专项检测卷（附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（共20小题） 1．（2022•无锡）分式32x-中x 的取值范围是( ) A ．2x ≠B ．2x ≠-C ．2x -D ．2x2．（2022•无锡）下列运算正确的是( ) A ．2222a a -=B ．224()ab ab =C ．236a a a ⋅=D ．844a a a ÷=3．（2022•钢城区）7-的相反数是( ) A ．7-B ．17-C ．7D ．174．（2022•陕西）计算：32(4)(a b -= ) A ．538a bB ．6216a bC ．628a b -D ．5216a b5．（2022•陕西）2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F 运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景．其中，数据500000用科学记数法可以表示为( ) A ．60.510⨯B ．45010⨯C ．4510⨯D ．5510⨯6．（2022•陕西）21-的绝对值为( ) A ．21B ．21-C ．121D ．121-7．（2022•德州）下列实数为无理数的是( ) A ．12B ．0.2C ．5-D 38．（2022•德州）已知2M a a =-，2(N a a =-为任意实数），则M N -的值( ) A ．小于0B ．等于0C ．大于0D ．无法确定9．（2022•德州）下列运算正确的是( ) A ．22423a a a +=B ．236(2)8a a =C ．326a a a ⋅=D ．222()a b a b -=-10．（2022•淮安）计算23a a ⋅的结果是( ) A ．2aB ．3aC ．5aD ．6a11．（2022•淮安）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为( ) A ．80.1110⨯B ．71.110⨯C ．61110⨯D ．61.110⨯12．（2022•攀枝花）2的平方根是( ) A ．2B ．2±C 2D ．213．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为( ) A ．3B ．aC ．baD ．212x y14．（2022•攀枝花）实数a 、b 在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是( )A ．2b >-B ．||b a >C ．0a b +>D ．0a b -<15．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅=C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=16．（2022•内蒙古）实数a 在数轴上的对应位置如图所示，21|1|a a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -17．（2022•淄博）计算3262(2)3a b a b --的结果是( ) A ．627a b -B ．625a b -C ．62a bD ．627a b18．（2022•淄博）若实数a 的相反数是1-，则1a +等于( ) A ．2B ．2-C ．0D ．1219．（2022•淄博）下列分数中，和π最接近的是( ) A ．355113B ．22371C ．15750D ．22720．（2022•巴中）下列运算正确的是( ) A 2(2)2-- B ．111()33-=- C ．236()a a =D ．842(0)a a a a ÷=≠二、填空题（共5小题）21．（2022•无锡）我市2021年GDP 总量为14000亿元，14000这个数据用科学记数法可表示为 ．22．（2022•038(1)--= ．23．（2022•黄石）计算：20(2)(20223)--= ． 24．（2022•襄阳）化简分式：ma mba b a b+=++ ．25．（2022•菏泽）若22150a a --=，则代数式244()2a a a a a --⋅-的值是 ． 三、解答题（共6小题） 26．（2022•无锡）计算： （1）1|5|(2)tan 45--+-+︒； （2）26142m m m----． 27．（2022•陕西）计算：115(2)28()3-⨯-+⨯-．28．（2022•内蒙古）先化简，再求值：2344(1)11x x x x x -+--÷--，其中3x =． 29．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32)2tan 45-+--︒； （2）化简：23(1)93a a a ÷+--． 30．（2022•阜新）先化简，再求值：22691(1)22a a a a a -+÷---，其中4a =．31．（2022•徐州）计算： （1）202211(1)|33|()93--+--+；（2）22244(1)x x x x+++÷．一、选择题（共14小题）1．（2023•绥化一模）2±是4的( )区域模拟A ．平方根B ．相反数C ．绝对值D ．倒数2．（2023•达州一模）12023-的倒数的绝对值是( ) A ．2023B ．12023C ．2023-D ．12023-3．（2023•汶上县一模）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成?．其中中国高铁运营里程超40000000米．则数据40000000用科学记数法可表示为( ) A ．80.410⨯B ．7410⨯C ．84.010⨯D ．6410⨯4．（2023•张家口二模）“中国智造”势在必行．据2023年1月21日消息，英特尔公司定购了一台AML 公司的约23亿元人民币的最先进的EUV 光刻机；据2022年9月8日消息，武汉购买了一台价格约为5亿元人民币的非EUV 光刻机．由于美国的干涉，我国买不到最先进的EUV 光刻机；就连我国购买较低端的DUV 光刻机，美国近期都开始干涉．据2022年8月14日的消息：“中国已经购买了700多台AML 公司的光刻机．”这700台光刻机，按平均每台2亿元人民币计算，总共约合是人民币( ) A ．111.410⨯元B ．121.410⨯元C ．101410⨯元D ．120.1410⨯元5．（2023•沭阳县一模）计算33()ab 的结果是( ) A ．6abB ．36a bC ．6a bD ．39a b6．（2023•寻乌县一模）下面的计算正确的是( ) A ．326a a a ⋅=B ．222()a b a b -=-C ．326()a a -=D ．55a a -=7．（2023•明光市一模）下列运算错误的是( ) A 42=±B ．2124-=C ．22232a a a -=D ．633a a a ÷=8．（2023•明光市一模）把多项式424a a -分解因式，结果正确的是( ) A ．22(2)(2)a a a a -+B ．22(4)a a -C ．2(2)(2)a a a +-D ．22(2)a a -9．（2023•张家口二模）下列计算不正确的是( ) A 222+=B 222C 0.452=D 1232=10．（2023•韩城市一模）下列运算正确的是( ) A ．3515m m m ⋅= B ．235()m m -=- C ．23246()m n m n -=D ．22321m m -=11．（2023•兴隆台区一模）下列运算正确的是( ) A 255=± B ．0.40.2= C ．3(1)1--=-D ．222(3)6m m n -=-12．（2023•泰山区一模）在实数：(6)--，-5，0，|3|-中，最小的数是( ) A ．(6)--B ．5-C ．0D ．|3|-13．（2023•白塔区校级一模）化简 的结果是（ ） A ．﹣3B ．±3C ．3D ．914．（2023•黄浦区二模）设a 是一个不为零的实数，下列式子中，一定成立的是( ) A ．32a a ->-B ．32a a >C ．32a a ->-D ．32aa>二、填空题（共10小题）15．（2023•兴隆台区一模）分解因式：2()9()a x y y x -+-= ． 16．（2023•梁园区一模）计算：3|5|8---= ．17．（2023•潮南区一模）若与y n +3x 4是同类项，则（m +n ）＝ ．18．（2023•海曙区一模）若2(2)30a b -++=，则2023()a b +的值是 ． 19．（2023•慈溪市一模）在1-，-2，1，0这四个数中，最小的数是 ． 20．（2023•崂山区一模）计算：433(2)x y xy ÷-= ． 21．（2023•364 ． 22．（2023•1205． 23．（2023•杨浦区二模）如果关于x 的二次三项式25x x k -+在实数范围内不能因式分解，那么k 的取值范围是 ．24．（2023•张店区一模）化简22()m n mn n m m m--÷-的结果为 ．三、解答题（共7小题）25．（2023•大丰区一模）计算：40218()2sin 453π---︒． 26．（2023•长安区四模）计算：2021(2)3(3)()3--︒+--． 27．（2023•1125()|234cos302-+-︒． 28．（2023•青海一模）先化简，再求值：2221111()()aba b ++-，其中11()2a -= 1b =．29．（2023•齐齐哈尔模拟）（1）计算：202302(1)(2022)(3)12tan 60π-⨯-÷-︒︒； （2）因式分解：22222()4x y x y +-．30．（2023•襄垣县一模）（131148(2)()1224-⨯-（2）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 分解因式：22(3)(3)x y x y +-+．解：原式(33)(33)x y x y x y x y =++++--⋯⋯第一步(44)(22)x y x y =+-⋯⋯第二步 8()()x y x y =+-⋯⋯第三步 228()x y =- ⋯⋯第四步任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a ，b 表示为 ；任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 ． 31．（2023•官渡区校级模拟）已知：2420a a --=． （1）求2(4)1a a --的值； （2）求证：42204a a -=-；（3）若24251100404a b a a -=-+ 以下结论：0b > 0b = 0b < 你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．1．下列实数中 比3-小的数是( ) A ．2-B ．1C ．0D ．π-2．太阳的主要成分是氢 氢原子的半径约为0.000000000053m ．这个数用科学记数法可以表示为( ) A ．100.5310-⨯B ．105.310-⨯C ．115.310-⨯D ．125310-⨯考前押题3．（1）计算：011(32)()4cos30|123-++︒--； （2）因式分解：29x y y -．4．已知2a b += 2ab = 求32231122a b a b ab ++的值．5．如图 约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M 、P ； （2）将整式P 因式分解； （3）P 的最小值为 ．参考答案一、选择题（共20小题）1．【答案】A有意义【解答】解：分式3-2x∴-≠x20解得2x≠故选：A．2．【答案】D【解答】解：222-=故A错误不符合题意；2a a a2224()=故B错误不符合题意；ab a b235⋅=故C错误不符合题意；a a a844÷=故D正确符合题意；a a a故选：D．3．【答案】C【解答】解：7-的相反数为7故选：C．4．【答案】B【解答】解：32-a b(4)2322a b=-(4)()62=；16a b故选：B．5．【答案】D【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5⨯．510故选：D．6．【答案】A【解答】解：21-的绝对值为21故选：A．7．【答案】D是分数属于有理数故本选项不合题意；【解答】解：A．12B．0.2是有限小数属于有理数故本选项不合题意；C．5-是整数属于有理数故本选项不合题意；D3故本选项符合题意；故选：D．8．【答案】C【解答】解：M N-2(2)=---a a a222=-+a a2=-+(1)1a2a-(1)02a∴-+(1)11∴-大于0M N故选：C．9．【答案】B【解答】解：A ．因为22223a a a += 故A 选项不符合题意； B ．因为236(2)8a a = 故B 选项符合题意； C ．因为23235a a a a +⋅== 故C 选项不符合题意； D ．因为222()2a b a ab b -=-+ 故D 选项不符合题意． 故选：B ．10．【答案】C【解答】解：235a a a ⋅=． 故选：C ．11．【答案】B【解答】解：711000000 1.110=⨯． 故选：B ．12．【答案】D【解答】解：因为2(2)2±= 所以2的平方根是2故选：D ．13．【答案】C【解答】解：A 、3是单项式 故本选项不符合题意； B 、a 是单项式 故本选项不符合题意； C 、b a不是单项式 故本选项符合题意； D 、212x y 是单项式 故本选项不符合题意； 故选：C ．14．【答案】B【解答】解：由数轴知 12a << 32b -<<- A ∴错误||b a > 即B 正确0a b +< 即C 错误0a b -> 即D 错误．故选：B ．15．【答案】C【解答】解：3332a a a += 故A 错误 不符合题意； 2111a a b a b b b b÷⋅=⋅⋅= 故B 错误 不符合题意； 22222(1)21111a a a a a a a ---===---- 故C 正确 符合题意； 3326()b b a a= 故D 错误 不符合题意； 故选：C ．16．【答案】B【解答】解：根据数轴得：01a << 0a ∴> 10a -<∴原式||11a a =++-11a a =++-2=．故选：B ．17．【答案】C【解答】解：原式62626243a b a b a b =-= 故选：C ．18．【答案】A【解答】解：实数a 的相反数是1- 1a ∴=12a ∴+=．故选：A ．19．【答案】A【解答】解：355 3.1416113≈； 223 3.140871≈； 157 3.1450=； 22 3.14287≈因为 3.1416π≈所以和π最接近的是355113． 故选：A ．20．【答案】C【解答】解：A 2(2)2- 选项错误 不符合题意；B 、11()33-= 选项错误 不符合题意； C 、236()a a = 选项正确 符合题意； D 、844(0)a a a a ÷=≠ 选项错误 不符合题意；故选：C ．二、填空题（共5小题）21．【答案】41.410⨯．【解答】解：414000 1.410=⨯ 故答案为：41.410⨯．22．【答案】3-．【解答】解：原式21=-- 3=-．故答案为：3-．23．【答案】3．【解答】解：原式41=- 3=．故答案为：3．24．【答案】m ．【解答】解：原式ma mba b +=+()m a b a b +=+m =故答案为：m ．25．【答案】15．【解答】解：244()2a a a a a --⋅-22442a a a a a -+=⋅-22(2)2a a a a -=⋅-22a a =-22150a a --=2215a a ∴-=∴原式15=．故答案为：15．三、解答题（共6小题）26．【答案】（1）112；（2）22m +．【解答】解：（1）原式1512=-+112=；（2）原式62(2)(2)(2)(2)m m m m m m -+=++-+-24(2)(2)m m m -=+-22m =+．27．【答案】9-．【解答】解：原式10163=- 1043=-+-9=-．28．【答案】22x x +-- 5-．【解答】解：原式223(1)11(2)x x x x ---=⋅-- 2(2)(2)11(2)x x x x x +--=-⋅-- 22x x +=-- 当3x =时 原式3232+=-- 5=-． 29．【答案】（1）4；（2）13a +． 【解答】解：（1）原式5121=+-⨯ 512=+-4=；（2）原式(3)(3)3a a a a a =÷+-- 3(3)(3)a a a a a-=⨯+- 13a =+． 30．【答案】3a a- 14． 【解答】解：原式2(3)21()(2)22a a a a a a --=÷---- 2(3)3(2)2a a a a a --=÷-- 2(3)2(2)3a a a a a --=⋅-- 3a a -=当4a =时 原式43144-==．31．【答案】（1）43-； （2）2x x +． 【解答】解：（1）202211(1)|33|()93--+--+13333=+--+43=-；（2）22244(1)x x x x +++÷ 222(2)x x x x +=⋅+ 2x x =+．一、选择题（共14小题）1．【答案】A【解答】解：2±是4的平方根． 故选：A ．2．【答案】A【解答】解：12023-的倒数是2023- 12023∴-的倒数的绝对值是|2023|2023-=． 故选：A ．3．【答案】B区域模拟【解答】解：740000000410=⨯． 故选：B ．4．【答案】A【解答】解：11200000000700140000000000 1.410⨯==⨯元． 故选：A ．5．【答案】D【解答】解：33()ab333()a b =39a b =．故选：D ．6．【答案】C【解答】解：A 、32a a a ⋅= 故原计算错误 不合题意； B 、222()2a b a b ab -=+- 故原计算错误 不合题意； C 、326()a a -= 故原计算正确 符合题意； D 、54a a a -= 故原计算错误 不合题意； 故选：C ．7．【答案】A【解答】解：A 42= 故A 符合题意；B 、2124-= 故B 不符合题意； C 、22232a a a -= 故C 不符合题意； D 、633a a a ÷= 故D 不符合题意；故选：A ．8．【答案】C【解答】解：原式22(4)a a =- 2(2)(2)a a a =+-． 故选：C ．9．【答案】C【解答】解：A 、原式2= 所以A 选项正确 不合题意； B 、原式2= 所以B 选项正确 不合题意； C 、原式10= 所以C 选项错误 符合题意； D 、原式2= 所以D 选项正确 不合题意． 故选：C ．10．【答案】C【解答】解：A 、358m m m ⋅= 故A 不符合题意； B 、236()m m -=- 故B 不符合题意； C 、23246()m n m n -= 故C 符合题意； D 、22232m m m -= 故D 不符合题意； 故选：C ．11．【答案】C【解答】解：A 255 故A 不符合题意； B 100.4= 故B 不符合题意；C 、3(1)1--=- 故C 符合题意；D 、22(3)9m m -= 故D 不符合题意；故选：C ．12．【答案】B【解答】解：(6)6--= |3|3-=50|3|(6)∴-<<-<--．故选：B ．13．【答案】C【解答】解：＝3．故选：C ．14．【答案】A【解答】解：A ．32a a ->- 故本选项符合题意；B ．若1a =- 则32a a < 故本选项不符合题意；C ．若1a = 则32a a -<- 故本选项不符合题意；D ．若1a =- 则32a a< 故本选项不符合题意． 故选：A ．二、填空题（共10小题）15．【答案】()(3)(3)x y a a -+-．【解答】解：2()9()a x y y x -+-2()(9)x y a =--()(3)(3)x y a a =-+-故答案为：()(3)(3)x y a a -+-16．【答案】3-．【解答】解：3|5|8----5(2)=---52=-+3=-故答案为：3-．17．【答案】﹣1．【解答】解：∵与y n +3x 4是同类项∴m +3＝4 n +3＝1∴m ＝1 n ＝﹣2∴m +n＝1+（﹣2）＝﹣1．故答案为：﹣1．18．【答案】1-．【解答】解：由题意得 20a -= 30b +=解得2a = 3b =-所以 20232023()(23)1a b +=-=-．故答案为：1-．19．【答案】2-．【解答】解：|1|1-=|2|2-=21> 21∴-<-2101∴-<-<<∴在1-2- 1 0中最小的数为：2-．故答案为：2-．20．【答案】18x-．【解答】解：原式4333(8)x y x y=÷-1 8x=-．故答案为：18x-．21．【答案】4．【解答】3644=．故答案为：4．22．【答案】0．【解答】解：原式52510=2525==．故答案为：0．23．【答案】254k>．【解答】解：关于x的二次三项式25x x k-+在实数范围内不能分解因式就是对应的二次方程250x x k -+=无实数根∴△2(5)42540k k =--=-<254k ∴>． 故答案为：254k >． 24．【答案】1m n-． 【解答】解：原式222m n m mn n m m--+=÷ 2()m n m m m n -=⋅- 1m n=-． 故答案为：1m n -． 三、解答题（共7小题）25．2．【解答】解：40218()2sin 453π---︒212212=-+- 12212=-+2=26．【答案】5-．【解答】解：2021(2)3(3)()3--︒+--34319=+-4119=-+-5=-．27．【答案】533-【解答】1125()|234cos302-+-︒ 352(23)4=-+--522323=-+533=-28．【答案】222a ba b + 32．【解答】解：2221111()()a b a b ++-22222()a b b a ab a b +-=+2222222a ab b b a a b +++-=22222ab b a b +=222a ba b += 当11()22a -== 1b =时 原式2222121⨯+⨯=⨯424+=32=．29．【答案】（1）829；（2）22()()x y x y +-．【解答】解：（1）原式11192332=-⨯÷+139=-+ 829=； （2）原式2222(2)(2)x y xy x y xy =+++-22()()x y x y =+-．30．【答案】22()()a b a b a b -=+- 进行乘法运算 8()()x y x y +-．【解答】解：（1）原式1143(8)()2324=-⨯--1143238()24=+⨯- 2342=- 232=；（2）原式(33)(33)x y x y x y x y =++++--⋯⋯第一步(44)(22)x y x y =+-⋯⋯第二步8()()x y x y =+-⋯⋯第三步228()x y =-．⋯⋯第四步任务一：以上变形过程中 第一步依据的公式用字母a b 表示为22()()a b a b a b -=+-；任务二：以上分解过程第四步出现错误 具体错误为进行乘法运算 分解因式的正确结果为8()()x y x y +-．故答案为：22()()a b a b a b -=+- 进行乘法运算 8()()x y x y +-．31．【答案】（1）3；（2）见解答；（3）0b >．【解答】（1）解：2420a a --= 242a a ∴-=2(4)1a a ∴--2281a a =--22(4)1a a =--221=⨯-3=；（2）证明：2420a a --=224a a ∴-=222(2)(4)a a ∴-= 即4224416a a a -+= 42204a a ∴-=-；（3）解：0b > 证明如下： 由（2）知42204a a -=-42204a a ∴=-4222()(204)a a ∴=-84240016016a a a ∴=-+ ∴842110040164a a a =-+由（2）知42204a a -=-42204a a ∴=-∴421514a a =-4242481511411004044a a b a a a a -∴===-+2420a a --=0a '≠40a ∴>0b ∴>．1．【答案】D【解答】解：A 、|2||3|-<- 因此23->- 故A 不符合题意； B 、31-< 故B 不符合题意； C 、30-< 故C 不符合题意； D 、|||3|π->- 因此3π-<- 故D 符合题意． 故选：D ．2．【答案】C【解答】解：110.000000000053 5.310-=⨯． 故选：C ．3．【解答】解：（1）原式3134232=++⨯- 4=； （2）原式2(9)y x =-考前押题(3)(3)y x x =+-．4．【解答】解：原式32231122a b a b ab =++ 221(2)2ab a ab b =++21()2ab a b =+2a b += 2ab =∴原式12442=⨯⨯=．5．【答案】（1）520x -；（2）4(2)(2)P x x =+-；（3）16-．【解答】解：（1）根据题意得：2(3420)3(3)M x x x x =----22342039x x x x =---+520x =-；223420(2)P x x x =--++ 22342044x x x x =--+++ 2416x =-；（2）2416P x =-24(4)x =-4(2)(2)x x =+-；（3）2416P x =- 20x∴当0x =时，P 的最小值为16-． 故答案为：16-。
中考数学总复习 第二编 中档题型突破专项训练篇 中档
中档题型训练(三) 一次函数和反比例函数结合利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式【例1】如图，一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A(1，0)，B(0，－1)两点，且与反比例函数y ＝mx(m≠0)的图象在第一象限交于C 点，C 点的横坐标为2.(1)求一次函数的表达式；(2)求C 点坐标及反比例函数的表达式．【解析】(1)将点A(1，0)，B(0，－1)代入y ＝kx ＋b 即可；(2)将C 点的横坐标代入公式y ＝kx ＋b 即可求出纵坐标，再代入y ＝mx中即可．【学生解答】解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，一次函数的表达式为y ＝x －1；(2)当x ＝2时，y ＝2－1＝1，∴C 点坐标为(2，1)．又C 点在反比例函数y ＝m x (m≠0)的图象上，∴1＝m2，解得m ＝2.所以反比例函数的表达式为y ＝2x .1．(2016乐山中考)如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A(2，2)，B⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n . (1)求这两个函数表达式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)y ＝4x，y ＝－4x ＋10；(2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位长度得y ＝－4x ＋10－m.∵y＝－4x ＋10－m 与y ＝4x只有一个交点，∴－4x ＋10－m ＝4x，∴4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.与面积有关的问题【例2】(2014白银中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx相交于A(－1，a)，B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为点C ，△AOC 的面积是1.(1)求m ，n 的值；(2)求直线AC 的表达式．【解析】(1)因为A(－1，a)，所以B 的横坐标为1，即C(1，0)．再由S △AOC ＝1，得A(－1，2)，再代入y ＝mx 与y ＝nx即可；(2)将A ，C 坐标代入即可．【学生解答】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx相交于A(－1，a)，B 两点，∴B 点横坐标为1，即C(1，0)，∵△AOC 的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y ＝mx ，y ＝nx可得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，k ＋b ＝0.解得k ＝－1，b ＝1，∴直线AC 的表达式为y ＝－x ＋1.2．(2016泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D ，M 分别在边AB ，OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx的图象经过点D ，与BC 的交点为N.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．解：(1)y ＝－6x，y ＝－x －1；(2)把y ＝3代入y ＝－6x得x ＝－2，∴N(－2，3)，即NC ＝2.设P(x ，y)，∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC)·OC＝12OM|y|，即|y|＝9，∴y ＝±9.当y ＝9时x ＝－10，当y ＝－9时x ＝8，∴P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．与最小(大)值有关的问题【例3】一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．【解析】(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于点P ，则点P 即为所求．【学生解答】解：(1)将B(4，1)代入y ＝k x ，得1＝k 4.∴k ＝4，∴y ＝4x ，将B(4，1)代入y ＝mx ＋5，得1＝4m＋5，∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5；(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A(1，4)，∴S ＝12×1×4＝2；(3)作点A关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)，连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求．设直线BN 的关系式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝1，－k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝175，∴y ＝－35x ＋175，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，175.3．(2015宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，－3)，反比例函数y ＝kx(x>0)的图象经过点A ，动直线x ＝t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M ，与直线AB 交于点N.(1)求k 的值；(2)求△BMN 面积的最大值； (3)若MA⊥AB，求t 的值．解：(1)将A 点坐标(8，1)代入y ＝kx，得k ＝8；(2)设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋b ，将A 点坐标(8，1)和B点坐标(0，－3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧1＝8m ＋b ，－3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，b ＝－3，故直线AB 的表达式为y ＝12x －3，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2－3，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，8t ，故MN ＝8t －t 2＋3，S △B MN ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫8t －t 2＋3t ＝－14t 2＋32t ＋4＝－14(t －3)2＋254，∴当t ＝3时，△BMN 面积的最大，最大值为254；(3)过A 作AQ⊥y 轴于点Q ，延长AM 交y 轴于点P ，又AM⊥AB.∴△ABQ∽△PAQ，故AQ BQ ＝PQ AQ ，即84＝PQ 8，∴PQ ＝16，∴P(0，17)．又A(8，1)．∴直线AP 的表达式为y ＝－2x ＋17.∴－2x ＋17＝8x ，解得x 1＝12，x 2＝8，∵A 点的横坐标是8，∴t ＝12.与平移有关的问题【例4】如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k>0，x>0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位后与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx(k>0，x>0)交于点B ，若OA ＝3BC ，求k 的值．【解析】分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A(3x ，32x)，可得B(x ，12x ＋4)．【学生解答】解：∵将直线y ＝12x 向上平移4个单位后，与y 轴交于点C ，∴平移后直线的表达式为y ＝12x ＋4，分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A ⎝⎛⎭⎪⎫3x ，32x ，∵OA ＝3BC ，BC ∥OA ，CF ∥x 轴，∴△BCF ∽△AOD ，∴CF ＝13OD ，又∵点B 在直线y ＝12x ＋4上，∴B(x ，12x ＋4)，∵点A ，B 在双曲线y ＝kx(x>0)上，∴3x ×32x ＝x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，解得x ＝1(x ＝0直接舍去)，∴k ＝3×1×32×1＝92.4．(2016聊城中考)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x 与反比例函数y ＝kx的图象交于关于原点对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是3.(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线y ＝－12x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．解：(1)y ＝－18x ；(2)设平移后的直线y ＝－12x ＋b ，与y 轴交于点D ，连接AB ，BD ，∵AB ∥CD ，∴S △ABD ＝S △ABC ＝48.由于点A ，B 关于原点O 对称，∴点B 的坐标为(6，－3)，即|x A |＝x B ＝6，∴S △ABD ＝S △AOD ＋S △BO D ＝12OD ·|x A |＋12OD ·x B ＝6OD ，即6OD ＝48，OD ＝8，∴平移后的直线为y ＝－12x ＋8.。
2023年中考数学专题复习—— 专项训练(一、二)数与式+方程(组)与不等式(组)
2023年中考数学专题复习—— 专项训练(一)——数与式一、选择题1. -2022的倒数是（ ） A ．2022B ．12022C ．12022-D ．-20222. 下列实数是无理数的是（ ） A ．2-B ．16C ．9D ．113. 如图，表示互为相反数的两个点是（ ）A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D第3题图4. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A 2(2)a b +B 12aC 13D 105. 已知8x ＝10，2y ＝4，则23x +2y 的值为（ ） A ．40 B ．80C ．160D ．2406. x有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．5x ≠B ．0x >C ． 0x 且5x ≠D ．0x7. 寒假期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：4+，0，5+，3-，2+，则这5天他共背诵汉语成语（ ） A ．38个 B ．36个 C ．34个 D ．30个 8. 2|2|0a b a -+-=，则2a b +的值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．109. 已知51x =，51y =，则代数式32()x xy x x y --的值是（ ）A ．2B 5C ．4D ．2510. 设a ，b 是实数，定义一种新运算：2*()a b a b =-．下面有四个推断：①**a b b a =；②222(*)*a b a b =；③()**()a b a b -=-；④*()**a b c a b a c +=+．其中所有正确推断的序号是（ ） A ．①③ B ．①② C ．①③④ D ．①②③④二、填空题11. 13-的绝对值是 ．12. 伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到 450 000 000人，将数据450 000 000用科学记数法表示为 ． 13. 分解因式：34a a -= ．14. 若单项式32m x y 与3m n xy +是同类项，则2m n +的值为 ． 15. 计算221y x x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是 ．16. 如图是由大小相同的线段组成的一系列图案，第1个图案由5条线段组成，第2个图案由8条线段组成，第3个图案由12条线段组成，……按此规律排列下去，则第2022个图案由 条线段组成．第16题图三、解答题 17. 计算：2022120221263345(2)2-⎛⎫++︒-- ⎪⎝⎭．18. 先化简，再求值：（1）22(1)2(23)y y y y y +--+，其中1y =-；（2）(2)(2)2(2)x y x y x x y -+--，其中1x =，12y =-．19. 计算： （1）121850322（2）2(56)(56)(51)--．20. 先化简，再求值：2224114422a a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中1a =-．21. 在数轴上，四个不同的点A ，B ，C ，D 分别表示数a ，b ，c ，d ，且a b <，c d <． （1）如图①，M 为线段AB 的中点，①当点M与原点重合时，用等式表示a与b的关系为；②直接写出点M表示的数为（用含a，b的代数式表示）；（2）如图②，已知a b c d+=+，①若A，B，C三点的位置如图所示，请在图中标出点D的位置；②a，b，c，d的大小关系为．（用“<”连接）①②第21题图专项训练(二) ——方程（组）与不等式（组）一、选择题1. 下列方程是一元一次方程的是（）A．5x+1﹣2＝0 B．3x﹣2y＝0 C．x2﹣4＝6 D．25 x=2. 如果a ＜b ，那么下列各式中正确的是（ ） A ．a ﹣1＞b ﹣1B ．2a ＜2b C ．﹣a ＜﹣b D ．﹣a +5＜﹣b +53. 一元二次方程220x x -=的解是( ) A ．0x =B ．10x =，22x =C ．10x =，212x =D ．2x =4. 某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a 元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩x 包，则依题意列方程为( ) A ．25a ax x +=+ B ．25a ax x+=+ C ．52a ax x+=+ D ．52a ax x=++ 5. 某党支部响应“精准扶贫”政策，为一贫困户送去种植所需的甲、乙两种树苗．已知乙树苗每棵的价格比甲树苗每棵的价格贵20元，购买72棵乙树苗的价格恰好与购买120棵甲树苗的价格相同，则甲树苗每棵的价格是（ ） A ．40元B ．30元C ．15元D ．10元6. 二元一次方程组()43713x y ax a y +⎧+-⎪⎨⎪⎩＝，＝的解中，x 与y 的值相等，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨，则每辆小货车一次可运货（ ） A ．2吨B ．2.5吨C ．3吨D ．3.5吨8. 设a ，b 是方程x 2+2x-20=0的两个实数根，则a 2+3a+b 的值为（ ） A ．-18 B ．21 C ．-20 D ．189. 已知关于x 的不等式组0320x a x -⎧⎨-⎩＞，＞的整数解共有3个，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣2≤a ＜﹣1B ．﹣2＜a ≤1C ．﹣2＜a ＜﹣1D ．a ＜﹣110. 小刚在解关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠时，只抄对了2a =，1c =，解出其中一个根是1x =．他核对时发现所抄的b 比原方程的b 值小1，则原方程的根的情况是( ) A ．没有实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．另一个根是1x =-D ．有两个相等的实数根二、填空题11. 某学校组织500名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少10人．若设到植物园的人数为x 人，依题意，可列方程为 ．12. 如图，小雨把不等式3x +1＞2（x ﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是 ．第12题图13. 已知二元一次方程组23,23,x y x y +=⎧⎨+=⎩则x +y = ．14. 不等式组420312+12x x x -⎧⎪⎨-⎪⎩≥，＞的最大整数解是 ．15. 当x 的值是 时，代数式58x x --和428xx--的值互为相反数． 16. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，经过 秒，△PBQ 的面积等于8 cm 2．第16题图 三、解答题17. 关于x 的分式方程：223422mx x x x -=--+． （1）当3m =时，求此时方程的解；（2）若这个关于x 的分式方程无解，试求m 的值．18. 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值． 【问题】解方程：2224250x x x x +++=． 【提示】可以用“换元法”解方程．22(0)x x t t +=，则有222x x t +=． 原方程可化为2450t t +-=． 【续解】19.（2021·滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？20. 某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A 款手机进货单价比B 款手机多800元，花38 400元购进A 款手机的数量与花28 800元购进B 款手机的数量相同． （1）求A ，B 两款手机的进货单价分别是多少元？ （2）某周末两天销售单上的数据如表所示：求A ，B （3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28 000元购进A ，B 两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．参考答案专项训练(一)一、选择题（每小题3分，共30分）1.C2.D3.B4.D5.C6.C7.A8.D9.D 10.A 二、填空题（每小题4分，共24分）11.1312.84.510⨯ 13.(2)(2)a a a +-14.2 15.1x y- 16.7078 三、解答题（共46分）17.（6分） 解：原式2022113222⎛⎫=+---⨯ ⎪⎝⎭1312=+122=． 18. （每小题5分，共10分）解：（1）原式3232246y y y y y =+-+-3256y y y =-+-． 当1y =-时，原式()()()3215161=1+5+6=12=--+⨯--⨯-． （2）原式222442x y x xy =--+22342x y xy =--+．当1x =，12y =-时，原式2211314+21311522⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19. （每小题5分，共10分）解：（1）原式==（2）原式()565251=---+1(625)=---1625=--+725=-+．20. （10分）解：原式2(2)(2)11(2)2(2)a a a a a a ⎡⎤+-=+÷⎢⎥---⎣⎦21(2)22a a a a a +⎛⎫=+⋅- ⎪--⎝⎭3(2)2a a a a +=⋅-- 23a a =+．当1a =-时，原式2(1)3(1)132=-+⨯-=-=-． 21. （10分）解：（1）①0a b += ②2a b+ （2）①因为a b c d +=+，所以b d c a -=-．所以DB AC =． 又c d <，所以点D 在数轴上的位置表示如下：②a c d b <<<专项训练(二)一、选择题（每小题3分，共30分）1. A2. B3. C4. B5. B6. B7. B8. D9. A 10. A 二、填空题（每小题4分，共24分）11. x +（2x ﹣10）＝500 12. ﹣3 13. 2 14. ﹣4 15. 3 16. 2或4 三、解答题（共46分）17.（10分） 解：（1）把3m =代入方程，得2323422x x x x +=--+．解得5x =-． 检验：当5x =-时，(2)(2)0x x +-≠， 所以原方程的解为5x =-．（2）去分母，得2232mx x x ++=-（）（），即（m -1）x =-10． 当m -1=0时，整式方程无解，即m =1时，原方程无解． 当m -1≠0时，解得x =101m-． 因为这个关于x 的分式方程无解，所以x =2或x =-2． 当x =2时，101m -=2，解得m =-4；当x =-2时，101m-=-2，解得m =6． 综上所述，m 的值为1或-4或6．18.（10分） 解：移项，得24=5t t +．配方，得()2+2=9t ．解得11t =，2-5t =． 因为220t x x =+，所以221t x x =+．则有221x x +=．配方，得2(1)2x +=．解得112x =-+，212x =- 经检验，原方程的解为112x =-+212x =-．（注：没有检验不扣分）19.（12分）解：（1）设该商品每次降价的百分率为x．根据题意，得60（1-x）2=48.6．解得x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：该商品每次降价的百分率是10%．（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件．根据题意，得[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200．解得a≥5527．因为a为整数，所以a的最小值是6．答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．20.（14分）解：（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元．根据题意，得3840028800800x x=+．解得x=2400．经检验，x=2400是原方程的解．则x+800=2400+800=3200．答：A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元．（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元．根据题意，得5840100,6741100.a ba b+=⎧⎨+=⎩解得3700,2700.ab=⎧⎨=⎩答：A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元．（3）设购进A款手机m部，B款手机n部．根据题意，得3200m+2400n=28 000．化简，得4m+3n=35．因为m，n都是正整数，所以2,9mn=⎧⎨=⎩或5,5mn=⎧⎨=⎩或8,1.mn=⎧⎨=⎩即有三种进货方案：方案一：购买A款手机2部，B款手机9部，利润是（3700-3200）×2+（2700-2400）×9=3700（元）；方案二：购买A款手机5部，B款手机5部，利润是（3700-3200）×5+（2700-2400）×5=4000（元）；方案三：购买A款手机8部，B款手机1部，利润是（3700-3200）×8+（2700-2400）×1=4300（元）．因为3700＜4000＜4300，所以选择方案三获得的总利润最高．。
中考数学 中档题突破 专项训练一 计算求解题
类型二：分式方程的解法 1．解下列分式方程： 1x－－x2＝2－1 x－2.
去分母得：1－x＝－1－2x＋4， 解得：x＝2，
检验：当 x＝2 时，x－2＝0， ∴x＝2 是增根，分式方程无解．
2．解分式方程：2x3－4－x－x 2＝12. 解：方程两边同时乘 2(x－2)，得 3－2x＝x－2.解得 x＝53. 检验：当 x＝53时，2(x－2)≠0. 所以原分式方程的解是 x＝53.
5．(2021·黄梅县模拟)解一元一次不等式组：x＋2 1≤1－5－6 x.
－5x＋3>3（x－2）①，
解：x＋2 1≤1－5－6 x②， 由①得
x<98，由②得
x≤－1，
所以，原不等式组的解集为 x≤－1.
x－1
6．(2021·宜昌模拟)若点 P 的坐标为
3
，2x－9，其中 x 满足不等式
5x－10≥2（x＋1），
检验：当 x＝3 时，5x (x＋2)≠0， 所以，x＝3 是原分式方程的解．
51 6．解分式方程：x2＋3x－x2－x＝0. 解：方程两边同乘 x(x＋3)(x－1)， 得 5(x－1)－(x＋3)＝0，解得 x＝2，
检验：当 x＝2 时，x(x＋3)(x－1)≠0， 所以 x＝2 是原分式方程的解．
x 1 4．(2021·枣庄)先化简，再求值：x2－1÷1＋x－1，其中 x＝ 2－1.
解：原式＝（x＋1）x（x－1）÷x－x 1， ＝（x＋1）x（x－1）×x－x 1， ＝x＋1 1.
12 ∴原式＝x＋1＝ 2 .
5．(2021·广州)已知
m n A＝n－m·
m－3mnn.
(1)化简 A；
a（a－2） 3－（a－1）（a＋1）
中考数学中档题经典练习卷
中档题练习卷（一）一．选择题（9分）7.以方程组 x ＋y ＝10，2x ＋y ＝6 的解为坐标的点(x ，y )在( ) A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 8.反比例函数y ＝－x2的图象上有三点（x 1，-1),B (x 2，a )，C (x 3，3).当x 3 < x 2< x 1时。
a 的取值范围为( ) A. a > 3 B . a < -1 C . -1< a <3 D . a > 3或a < -19.对于数133，规定第一次操作为13＋33＋33＝55，第二次操作为53＋53＝250，如此反复操作，则第2019此操作后得到的数是（ ）A . 25B . 250C . 55D . 133 二．填空题（9分） 13.化简21+a ＋442-a 的结果是 。
14.如图,平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，AH ⊥CD 于点H ，N 为BC 中点,若∠D ＝68°,则∠NAH ＝ 。
15.如图，双曲线xky =上三点的横坐标依次为3，5，12，阴影部分的面积为2，则k 的值为___________．三．解答题20.(本题8分)如图,点A （0，6），B （2，0），C （4，8），D （2，4），将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE .(1)画出线段CE ，并计算线段CD 所扫过的图形面积；(2)将线段AB 平移得到线段CF ，使点A 与点C 重合,写出点F 的坐标,并证明CF 平分∠DCE.22.（本题10分)某游乐园有一个直轻为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形。
在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式（不要求写自变量的取值范围） (2)王师傅喷水池内维修设备期间，喷水池意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅 站立时必须在离水池中心多少米以外？（3）经检修评信，游乐园决定对喷水池设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩第15 题图24.（本小题满分7分）如图，在平面直坐角标系中，直线221+=x y 与 x 轴交于点A ，与 y 轴交于点C ，抛物线c bx x y ++-=221经过 A ，C 两点，与 x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点.① 连接 BC ，CD ，设直线 BD 交线段 AC 于点 E ，△CDE 的面积为1S ，△BCE 的面积为 2S ，求21S S 的最大值；中档题练习卷（二）一．选择题（9分）7．关于x 、y 的方程组321x y mx y m -=⎧⎨+=+⎩的解满足x>y ，则m 的取值范围是（ ）A ．m <2B ．m >2C ．m <1D ．m >18．如图，已知抛物线y 1=−x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M =y 1=y 2．下列判断：①当x >2时，M =y 1；②若M =2，则x =1．其中正确的有( )A ．①②B ．①C ．②D ．无法判断9.如图，在3×3的网格中，与△ABC 成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有( )A.5个B.6个C.7个D.8个二．填空题（9分）三．解答题（25分）20．(本题8分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt △ABC 的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(−7，1)，点B 的坐标为(−3，1)，点C 的坐标为(−3，3) ．(1)若P (m ，n )为Rt △ABC 内一点，平移Rt △ABC 得到Rt △A 1B 1C 1，使点P (m ，n )移到点P 1(m +6，n )处，试在图上画出Rt △A 1B 1C 1，并直接写出点A 1的坐标为___；CBA（1）求y与x的函数关系式；（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？（3）由于原材料价格上涨，导致每件成本增加a元，结果发现当售价为60元和售价为80元时，利润相同，求a 的值．24．（本题7分）如图，抛物线y＝ax2＋c（a，c为常数，且a≠0）经过点C(0，235)和点P(1，32)(1) 求抛物线的解析式(2) 在抛物线上是否存在点D（不与点P重合），使得以CD为直径的圆恰好经过点P？若存在，试求出点D的坐标，若不存在，请说明理由中档题练习卷（三）一．选择题（9分）7.若二元一次方程组{3153=+=-y x y x 的解为{ax b y ==，则a -b 的值为（ ）A. 1B. 3C.41- D. 47 8.观察“田”字中各数之间的关系：...则a+d -b -c 的值为（ ）A. 52B. -52C. 51D. -519.将函数)0(22≥==x x x y 的图象沿y 轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数x x y 22-=的图象，关于x 的方程a x x =-22在-2＜x ＜2的范围内恰有两个实数根时，a 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 21- D. -1 二．填空题（9分）13. 化简：aaa a ----12112的结果为_______. 14.如图， □ABCD 与 □DCFE 的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°。
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中档题型训练(二) 解方程(组)、不等式(组)及其应用命题规律本专题主要考查方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式(组)的应用，怀化中考中往往以解答题的形式出现，属中档题．复习时要熟练掌握方程(组)与不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确与否．命题预测2017年中考仍会以简单的方程(组)的应用以及不等式(组)的解法作为重点考查.方程(组)的解法【例1】解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2（x－y）3－（x＋y）4＝－112，3（x＋y）－2（2x－y）＝3.【解析】先化简方程组，再灵活选择代入法或加减法．【学生解答】解：原方程组整理得：⎩⎪⎨⎪⎧5x－11y＝－1，①－x＋5y＝3.②由②得x＝5y－3.③将③代入①得25y－15－11y＝－1，14y＝14，y＝1.将y＝1代入③得x＝2.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝1.1．(2016贺州中考)解方程：x6－30－x4＝5.解：x＝30.2．(2016山西中考)解方程：2(x－3)2＝x2－9.解：x1＝3，x2＝9.3．(2016连云港中考)解方程：2x－11＋x＝0.解：x＝－2.4．(2016金华中考)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝5，x＋y＝2.解：⎩⎪⎨⎪⎧x＝－1，y＝3.5．(2016黄石中考)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧9x2－4y2＝36，x－y＝2.解：⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2，y1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝－265，y2＝－365.解不等式(组)【例2】(2015深圳中考)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5<8x ＋7，①43x ＋2>1－23x.②并写出其整数解． 【解析】先求不等式组的解集，在解集中找整数解． 【学生解答】解：解不等式①得x<2，解不等式②得x>－12.把①、②的解集表示在数轴上，故原不等式组的解集是：－12<x<2.其整数解是：0，1.6．(2016苏州中考)解不等式2x －1>3x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．解：x>1.7．(2016南京中考)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≤2（x ＋1），－x<5x ＋12，并写出它的整数解．解：－2<x≤1，其整数解为－1，0，1.8．(2016扬州中考)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x<2（x ＋4），x<x －13＋1，并写出该不等式组的最大整数解．解：－2＜x ＜1，最大整数解为0.方程(组)、不等式(组)的应用【例3】随着铁路客运量的不断增长，重庆火车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月；(2)若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1 500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)【解析】(1)利用两队单独完成此项工程所需的时间关系列出一元二次方程求解即可；(2)利用“甲队工程款＋乙队工程款≤1 500”列出不等式求解．【学生解答】解：(1)设甲队单独完成这项工程需要x 个月，则乙队单独完成这项工程需要(x －5)个月，由题意得x(x －5)＝6(x ＋x －5)．整理得x 2－17x ＋30＝0.解得x 1＝2，x 2＝15.x 1＝2(不合题意，舍去)，故x ＝15，x －5＝10.答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月；(2)设在完成这项工程中甲队施工m 个月，则乙队施工m 2个月，根据题意列不等式，得100m ＋150·m2≤1 500.解得m≤847.∵m 为整数，∴m 的最大整数值为8.答：完成这项工程，甲队最多施工8个月．9．(2016黄冈中考)在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？解：设八年级收到的征文有x 篇，则七年级收到的征文有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2篇，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＋x ＝118，解得x ＝80.∴12x －2＝38(篇)．答：七年级收到的征文有38篇．10．(2016苏州中考)某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？解：设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，12x ＋8y ＝480，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝30.答：中型汽车有20辆，小型汽车有30辆．11．(2016宁夏中考)某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1 km ，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．(1)求每行驶1 km 纯用电的费用；(2)若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？解：(1)设每行驶1 km 纯用电所需要的费用为x 元，则每行驶1 km 纯燃油所需要的费用为(x ＋0.5)元，则76x ＋0.5＝26x，解得x ＝0.26.经检验，x ＝0.26是原分式方程的根且符合题意．即每行驶1 km 纯用电费用为0.26元；(2)从A 地到B 地的距离为26÷0.26＝100(km )，设用电行驶y km ，则燃油行驶(100－y)km ，故0.26y ＋(0.5＋0.26)(100－y)≤39，解得y≥74，即至少用电行驶74 km .12．(2016潍坊中考)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用．假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1 100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x≤100，由50x －1 100>0，解得x>22.又∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；(2)设每辆车的净收入为y 元，当0<x≤100时，y 1＝50x －1 100.∵k＝50>0，∴y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1 100＝3 900(元)；当x>100时，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1005x －1 100＝－15(x －175)2＋5 025，∴当x ＝175时，y 2的最大值为5 025.∵5 025>3 900，∴当每辆车日租金为175元时，每天净收入最多是5 025元．13．(2016湘西中考)某商店购进甲、乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．(1)求甲、乙每个商品的进货单价；(2)若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9 000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10 480元，问有哪几种进货方案？(3)在条件(2)下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？解：(1)设甲商品的进货单价为x 元，乙商品的进货单价为y 元，根据题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝20，20x ＝25y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝80，∴甲商品的进货单价为100元，乙商品的进货单价为80元；(2)设甲商品进货a 件，乙商品进货(100－a)件，⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋80（100－a ）≤9 000，100a ·（1＋10%）＋80（100－a ）·（1＋25%）≥10 480，解得48≤x≤50.∵x 为正整数，∴x ＝48，49或50，则有3种进货方案：第一种，甲商品进货48件，乙商品进货52件；第二种，甲商品进货49件，乙商品进货51件；第三种，甲商品进货50件，乙商品进货50件；(3)根据题意，可得销售利润W ＝100×10%a ＋80(100－a)×25%，即W ＝－10a ＋2 000，∵k ＝－10<0，∴W 随x 的增大而减小，∴当a ＝48时，W 最大＝1 520元．此时乙商品进货的件数为52件．答：当甲商品进货48件，乙商品进货52件时利润最大，最大利润是1 520元．14．(2016昆明中考)春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．解：(1)甲商品每件的进价是30元，乙商品每件的进价是70元；(2)设商场购进甲种商品a 件，则购乙种商品(100－a)件，设利润为w 元，∴a ≥4(100－a)，∴a ≥80，∴w ＝(40－30)a ＋(90－70)(100－a)＝－10a ＋2 000.∵k＝－10<0，∴w 随x 的增大而减小，∴当a ＝80时，w 最大＝－10×80＋2 000＝1 200(元)，∴100－a ＝100－80＝20(件)．答：当商场购进甲商品80件，乙商品20件时获利最大，最大利润为1 200元．15．(2016重庆中考)近期猪肉价格不断走高，引起民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．(1)从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月20日购买2.5 kg 猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？(2)5月20日猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉，并规定其销售价格在5月20日每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价格售出一批储备猪肉．该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%，求a 的值．解：(1)设今年年初的猪肉价格每千克x 元，则2.5×(1＋60%)x≥100，解得x≥25.∴今年年初猪肉的最低价格为25元/kg ；(2)设5月20日该超市猪肉的销售总量为1，则40×14×(1＋a%)＋40(1－a%)×34(1＋a%)＝40(1＋110a%)，令a%＝y ，则原方程可化为40×14(1＋y)＋40(1－y)×34(1＋y)＝40⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋110y ，∴y 1＝0.2，y 2＝0(不合题意，舍去)，∴a ＝20.答：a 的值为20.。
中考数学总复习第二编中档专项训练篇中档题型训练一数与式的运算与求值试题
第二编 中档题型突破专项训练篇中档题型训练(一) 数与式运算与求值本专题主要考察实数运算、整式与分式化简与求值，纵观遵义5年中考往往以计算题、化简求值题形式出现，属根底题．复习时要熟练掌握实数各种运算，并注意混合运算中符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式化简时要灵活运用因式分解知识，分式化简求值，还应注意整体思想与各种解题技巧．实数运算【例1】(2021遵义红花岗一模)计算：|－3|＋2sin 45°＋tan 60°－(－13)－1－12＋(π－3)0.【解析】先理清与熟悉每项小单元运算方法，把握运算符号技巧．【学生解答】原式＝3＋2×22＋3－(－3)－23＋1＝3＋1＋3＋3－23＋1＝5.1．(2021莆田中考)计算：|2－3|－16＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫130.解：原式＝3－2－4＋1＝－ 2.2．(2021丹东中考)计算：4sin 60°＋|3－12|－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－1＋(π－2 016)0. 解：原式＝4×32＋(23－3)－2＋1＝23＋23－3－2＋1 ＝43－4.3．(2021茂名中考)计算：(－1)2 016＋8－|－2|－(π－3.14)0. 解：原式＝1＋22－2－1 ＝22－2 ＝ 2.4．(2021岳阳中考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13－1－12＋2tan 60°－(2－3)0.解：原式＝3－23＋23－1＝2.整式运算与求法【例2】(2021遵义一中一模)先化简，再求值：(x ＋y)(x －y)－(4x 3y －8xy 3)÷2xy，其中x ＝－1，y ＝33.【解析】认真观察式子特点，灵活运用乘法公式化简，再考虑代入求值． 【学生解答】原式＝x 2－y 2－2x 2＋4y 2＝－x 2＋3y 2，当x ＝－1，y ＝33时，原式＝－1＋1＝0.5．(2021茂名中考)先化简，再求值：x(x －2)＋(x ＋1)2，其中x ＝1.解：原式＝x 2－2x ＋x 2＋2x ＋1＝2x 2＋1.当x ＝1时，原式＝2×12＋1＝3.6．(2021吉林中考)先化简，再求值(x ＋2)(x －2)＋x(4－x)，其中x ＝14.解：原式＝x 2－4＋4x －x 2＝4x －4.当x ＝14时，原式＝4×14－4＝－3.7．(2021遵义六中二模)x 2－4x －1＝0，求代数式(2x －3)2－(x ＋y)(x －y)－y 2值．解：原式＝4x 2－12x ＋9－x 2＋y 2－y 2＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)，∵x 2－4x －1＝0，即x 2－4x ＝1，∴原式＝12.8．(2021遵义航中一模)多项式A ＝(x ＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3. (1)化简多项式A ；(2)假设(x ＋1)2＝6，求A 值．解：(1)A ＝x 2＋4x ＋4＋2－2x ＋x －x 2－3＝3x ＋3；(2)(x ＋1)2＝6，那么x ＋1＝±6，∴A ＝3x ＋3＝3(x ＋1)＝±3 6.分式化简求值【例3】(2021遵义六中一模)x 2－4x ＋1＝0，求2〔x －1〕x －4－x ＋6x值．【解析】先化简所求式子，再看其结果与条件之间联系，能否整体代入．【学生解答】原式＝2x 〔x －1〕－〔x －4〕〔x ＋6〕x 〔x －4〕＝x 2－4x ＋24x 2－4x ，∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2－4x ＝－1.原式＝－1＋24－1＝－23.9．(2021随州中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1－x ＋1÷x 2＋4x ＋4x ＋1，其中x ＝2－2.解：原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋1－〔x ＋1〕〔x －1〕x ＋1·x ＋1〔x ＋2〕2＝－〔x ＋2〕〔x －2〕x ＋1·x ＋1〔x ＋2〕2＝2－x x ＋2，当x ＝2－2时，原式＝2－2＋22－2＋2＝4－22＝22－1. 10．(2021遵义十六中一模)先化简代数式(3a a －2－a a ＋2)÷aa 2－4，再从0，1，2三个数中选择适当数作为a 值代入求值．解：原式＝3a 〔a ＋2〕－a 〔a －2〕〔a ＋2〕〔a －2〕·〔a ＋2〕〔a －2〕a＝2a 2＋8a 〔a ＋2〕〔a －2〕·〔a ＋2〕〔a －2〕a ＝2a 〔a ＋4〕a ＝2a ＋8.当a ＝1时，2a ＋8＝10.11.(2021遵义十二中一模)先化简，再求值：(a ＋1a ＋2)÷(a－2＋3a ＋2)，其中a满足a －2＝0.解：原式＝a 〔a ＋2〕＋1a ＋2÷a 2－4＋3a ＋2＝〔a ＋1〕2a ＋2·a ＋2〔a ＋1〕〔a －1〕＝a ＋1a －1，当a －2＝0，即a ＝2时，原式＝3. 12．(2021烟台中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－y x －x －1÷x 2－y 2x 2－2xy ＋y 2，其中x ＝2，y ＝ 6.解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－y x－x 2x －x x ×〔x －y 〕2〔x ＋y 〕〔x －y 〕＝－y －x x ×x －y x ＋y ＝－x －y x ，把x ＝2，y ＝6代入得：原式＝－2－62＝－1＋ 3.13．(2021张家界中考)先化简，后求值：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x －2－4x 2－2x ÷x ＋2x 2－x ，其中x 满足x 2－x －2＝0.解：原式＝x 2－4x 〔x －2〕·x 〔x －1〕x ＋2＝〔x ＋2〕〔x －2〕x 〔x －2〕·x 〔x －1〕x ＋2＝x －1，解方程x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，当x ＝2时，原分式无意义，所以当x ＝－1时，原式＝－1－1＝－2.14．(2021河南中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x 2＋x －1÷x 2－1x 2＋2x ＋1，其中x 值从不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x≤1，2x －1<4整数解中选取．解：原式＝x －x 2－x x 〔x ＋1〕·x ＋1x －1＝－x x ＋1·x ＋1x －1＝x 1－x ，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x≤1，2x －1<4得－1≤x<52，当x ＝2时，原式＝21－2＝－2.。
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中档题型训练(三) 一次函数和反比例函数结合命题规律纵观近7年怀化市中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数法确定反比例函数和一次函数表达式及解决相关问题．命题预测根据怀化考题趋势，可以看出此内容仍以基础题为主.利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式【例1】如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A(1，0)，B(0，－1)两点，且与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2.(1)求一次函数的表达式；(2)求C点坐标及反比例函数的表达式．【解析】(1)将点A(1，0)，B(0，－1)代入y＝kx＋b即可；(2)将C点的横坐标代入公式y＝kx＋b即可求出纵坐标，再代入y＝mx中即可．【学生解答】解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k＋b＝0，b＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝1，b＝－1，一次函数的表达式为y＝x－1；(2)当x＝2时，y＝2－1＝1，∴C点坐标为(2，1)．又C点在反比例函数y＝mx(m≠0)的图象上，∴1＝m2，解得m＝2.所以反比例函数的表达式为y＝2x.1．(2016乐山中考)如图，反比例函数y＝kx与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2，2)，B⎝⎛⎭⎪⎫12，n.(1)求这两个函数表达式；(2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y＝kx的图象有且只有一个交点，求m的值．解：(1)y＝4x，y＝－4x＋10；(2)将直线y＝－4x＋10向下平移m个单位长度得y＝－4x＋10－m.∵y＝－4x＋10－m与y＝4x只有一个交点，∴－4x＋10－m＝4x，∴4x2＋(m－10)x＋4＝0，∴Δ＝(m－10)2－64＝0，解得m＝2或18.与面积有关的问题【例2】(2014白银中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx相交于A(－1，a)，B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为点C ，△AOC 的面积是1.(1)求m ，n 的值；(2)求直线AC 的表达式．【解析】(1)因为A(－1，a)，所以B 的横坐标为1，即C(1，0)．再由S △AOC ＝1，得A(－1，2)，再代入y ＝mx 与y ＝nx即可；(2)将A ，C 坐标代入即可．【学生解答】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx相交于A(－1，a)，B 两点，∴B 点横坐标为1，即C(1，0)，∵△AOC 的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y ＝mx ，y ＝nx可得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，k ＋b ＝0.解得k ＝－1，b ＝1，∴直线AC 的表达式为y ＝－x ＋1.2．(2016泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D ，M 分别在边AB ，OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝mx的图象经过点D ，与BC 的交点为N.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．解：(1)y ＝－6x，y ＝－x －1；(2)把y ＝3代入y ＝－6x得x ＝－2，∴N(－2，3)，即NC ＝2.设P(x ，y)，∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC)·OC＝12OM|y|，即|y|＝9，∴y ＝±9.当y ＝9时x ＝－10，当y ＝－9时x ＝8，∴P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．与最小(大)值有关的问题【例3】一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．【解析】(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于点P ，则点P 即为所求．【学生解答】解：(1)将B(4，1)代入y ＝k x ，得1＝k 4.∴k ＝4，∴y ＝4x ，将B(4，1)代入y ＝mx ＋5，得1＝4m＋5，∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5；(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A(1，4)，∴S ＝12×1×4＝2；(3)作点A关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)，连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求．设直线BN 的关系式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝1，－k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝175，∴y ＝－35x ＋175，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，175.3．(2015宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，－3)，反比例函数y ＝kx(x>0)的图象经过点A ，动直线x ＝t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M ，与直线AB 交于点N.(1)求k 的值；(2)求△BMN 面积的最大值； (3)若MA⊥AB，求t 的值．解：(1)将A 点坐标(8，1)代入y ＝kx，得k ＝8；(2)设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋b ，将A 点坐标(8，1)和B点坐标(0，－3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧1＝8m ＋b ，－3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，b ＝－3，故直线AB 的表达式为y ＝12x －3，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2－3，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，8t ，故MN ＝8t －t 2＋3，S △B MN ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫8t －t 2＋3t ＝－14t 2＋32t ＋4＝－14(t －3)2＋254，∴当t ＝3时，△BMN 面积的最大，最大值为254；(3)过A 作AQ⊥y 轴于点Q ，延长AM 交y 轴于点P ，又AM⊥AB.∴△ABQ∽△PAQ，故AQ BQ ＝PQ AQ ，即84＝PQ 8，∴PQ ＝16，∴P(0，17)．又A(8，1)．∴直线AP 的表达式为y ＝－2x ＋17.∴－2x ＋17＝8x ，解得x 1＝12，x 2＝8，∵A 点的横坐标是8，∴t ＝12.与平移有关的问题【例4】如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k>0，x>0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位后与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx(k>0，x>0)交于点B ，若OA ＝3BC ，求k 的值．【解析】分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A(3x ，32x)，可得B(x ，12x ＋4)．【学生解答】解：∵将直线y ＝12x 向上平移4个单位后，与y 轴交于点C ，∴平移后直线的表达式为y ＝12x ＋4，分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A ⎝⎛⎭⎪⎫3x ，32x ，∵OA ＝3BC ，BC ∥OA ，CF ∥x 轴，∴△BCF ∽△AOD ，∴CF ＝13OD ，又∵点B 在直线y ＝12x ＋4上，∴B(x ，12x ＋4)，∵点A ，B 在双曲线y ＝kx(x>0)上，∴3x ×32x ＝x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，解得x ＝1(x ＝0直接舍去)，∴k ＝3×1×32×1＝92.4．(2016聊城中考)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x 与反比例函数y ＝kx的图象交于关于原点对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是3.(1)求反比例函数的表达式；(2)将直线y ＝－12x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．解：(1)y ＝－18x ；(2)设平移后的直线y ＝－12x ＋b ，与y 轴交于点D ，连接AB ，BD ，∵AB ∥CD ，∴S △ABD ＝S △ABC ＝48.由于点A ，B 关于原点O 对称，∴点B 的坐标为(6，－3)，即|x A |＝x B ＝6，∴S △ABD ＝S △AOD ＋S △BO D ＝12OD ·|x A |＋12OD ·x B ＝6OD ，即6OD ＝48，OD ＝8，∴平移后的直线为y ＝－12x ＋8.。
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中档题型训练(二) 解方程(组)、不等式(组)及其应用方程(组)的解法【例1】解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧2（x －y ）3－（x ＋y ）4＝－112，3（x ＋y ）－2（2x －y ）＝3.【解析】先化简方程组，再灵活选择代入法或加减法．【学生解答】解：原方程组整理得：⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－1，①－x ＋5y ＝3.②由②得x ＝5y －3.③将③代入①得25y －15－11y ＝－1，14y ＝14，y ＝1.将y ＝1代入③得x ＝2.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.1．(2016贺州中考)解方程：x 6－30－x4＝5.解：x ＝30.2．(2016山西中考)解方程：2(x －3)2＝x 2－9. 解：x 1＝3，x 2＝9.3．(2016连云港中考)解方程：2x －11＋x＝0.解：x ＝－2.4．(2016金华中考)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，x ＋y ＝2.解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3.5．(2016黄石中考)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧9x 2－4y 2＝36，x －y ＝2.解：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－265，y 2＝－365.解不等式(组)【例2】(2015深圳中考)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5<8x ＋7，①43x ＋2>1－23x.②并写出其整数解． 【解析】先求不等式组的解集，在解集中找整数解． 【学生解答】解：解不等式①得x<2，解不等式②得x>－12.把①、②的解集表示在数轴上，故原不等式组的解集是：－12<x<2.其整数解是：0，1.6．(2016苏州中考)解不等式2x －1>3x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．解：x>1.7．(2016南京中考)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≤2（x ＋1），－x<5x ＋12，并写出它的整数解．解：－2<x≤1，其整数解为－1，0，1.8．(2016扬州中考)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x<2（x ＋4），x<x －13＋1，并写出该不等式组的最大整数解．解：－2＜x ＜1，最大整数解为0.方程(组)、不等式(组)的应用【例3】随着铁路客运量的不断增长，重庆火车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月；(2)若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1 500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)【解析】(1)利用两队单独完成此项工程所需的时间关系列出一元二次方程求解即可；(2)利用“甲队工程款＋乙队工程款≤1 500”列出不等式求解．【学生解答】解：(1)设甲队单独完成这项工程需要x 个月，则乙队单独完成这项工程需要(x －5)个月，由题意得x(x －5)＝6(x ＋x －5)．整理得x 2－17x ＋30＝0.解得x 1＝2，x 2＝15.x 1＝2(不合题意，舍去)，故x ＝15，x －5＝10.答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月；(2)设在完成这项工程中甲队施工m 个月，则乙队施工m 2个月，根据题意列不等式，得100m ＋150·m2≤1 500.解得m≤847.∵m 为整数，∴m 的最大整数值为8.答：完成这项工程，甲队最多施工8个月．9．(2016黄冈中考)在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？解：设八年级收到的征文有x 篇，则七年级收到的征文有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2篇，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＋x ＝118，解得x ＝80.∴12x －2＝38(篇)．答：七年级收到的征文有38篇．10．(2016苏州中考)某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？解：设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，12x ＋8y ＝480，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝30.答：中型汽车有20辆，小型汽车有30辆．11．(2016宁夏中考)某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1 km ，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．(1)求每行驶1 km 纯用电的费用；(2)若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？解：(1)设每行驶1 km 纯用电所需要的费用为x 元，则每行驶1 km 纯燃油所需要的费用为(x ＋0.5)元，则76x ＋0.5＝26x，解得x ＝0.26.经检验，x ＝0.26是原分式方程的根且符合题意．即每行驶1 km 纯用电费用为0.26元；(2)从A 地到B 地的距离为26÷0.26＝100(km )，设用电行驶y km ，则燃油行驶(100－y)km ，故0.26y ＋(0.5＋0.26)(100－y)≤39，解得y≥74，即至少用电行驶74 km .12．(2016潍坊中考)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用．假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1 100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x≤100，由50x －1 100>0，解得x>22.又∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；(2)设每辆车的净收入为y 元，当0<x≤100时，y 1＝50x －1 100.∵k＝50>0，∴y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1 100＝3 900(元)；当x>100时，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x －1005x －1 100＝－15(x －175)2＋5 025，∴当x ＝175时，y 2的最大值为5 025.∵5 025>3 900，∴当每辆车日租金为175元时，每天净收入最多是5 025元．13．(2016湘西中考)某商店购进甲、乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．(1)求甲、乙每个商品的进货单价；(2)若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9 000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10 480元，问有哪几种进货方案？(3)在条件(2)下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？解：(1)设甲商品的进货单价为x 元，乙商品的进货单价为y 元，根据题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝20，20x ＝25y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝80，∴甲商品的进货单价为100元，乙商品的进货单价为80元；(2)设甲商品进货a 件，乙商品进货(100－a)件，⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋80（100－a ）≤9 000，100a ·（1＋10%）＋80（100－a ）·（1＋25%）≥10 480，解得48≤x≤50.∵x 为正整数，∴x ＝48，49或50，则有3种进货方案：第一种，甲商品进货48件，乙商品进货52件；第二种，甲商品进货49件，乙商品进货51件；第三种，甲商品进货50件，乙商品进货50件；(3)根据题意，可得销售利润W ＝100×10%a ＋80(100－a)×25%，即W ＝－10a ＋2 000，∵k ＝－10<0，∴W 随x 的增大而减小，∴当a ＝48时，W 最大＝1 520元．此时乙商品进货的件数为52件．答：当甲商品进货48件，乙商品进货52件时利润最大，最大利润是1 520元．14．(2016昆明中考)春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．解：(1)甲商品每件的进价是30元，乙商品每件的进价是70元；(2)设商场购进甲种商品a 件，则购乙种商品(100－a)件，设利润为w 元，∴a ≥4(100－a)，∴a ≥80，∴w ＝(40－30)a ＋(90－70)(100－a)＝－10a ＋2 000.∵k＝－10<0，∴w 随x 的增大而减小，∴当a ＝80时，w 最大＝－10×80＋2 000＝1 200(元)，∴100－a ＝100－80＝20(件)．答：当商场购进甲商品80件，乙商品20件时获利最大，最大利润为1 200元．15．(2016重庆中考)近期猪肉价格不断走高，引起民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．(1)从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月20日购买2.5 kg 猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？(2)5月20日猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉，并规定其销售价格在5月20日每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价格售出一批储备猪肉．该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%，求a 的值．解：(1)设今年年初的猪肉价格每千克x 元，则2.5×(1＋60%)x≥100，解得x≥25.∴今年年初猪肉的最低价格为25元/kg ；(2)设5月20日该超市猪肉的销售总量为1，则40×14×(1＋a%)＋40(1－a%)×34(1＋a%)＝40(1＋110a%)，令a%＝y ，则原方程可化为40×14(1＋y)＋40(1－y)×34(1＋y)＝40⎝⎛⎭⎪⎫1＋110y ，∴y 1＝0.2，y 2＝0(不合题意，舍去)，∴a ＝20.答：a 的值为20.。
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第二编 中档题型突破专项训练篇
中档题型训练(一) 数与式的运算与求值
本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值，纵观遵义5年中考往往以计算题、化简求值题的形式出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值，还应注意整体思想和
各种解题技巧．
实数的运算
【例1】(2016遵义红花岗一模)计算：|－3|＋2sin 45°＋tan 60°－(－13)－1－12＋(π－3)0.
【解析】先理清和熟悉每项小单元的运算方法，把握运算的符号技巧．
【学生解答】原式＝3＋2×22
＋3－(－3)－23＋1＝3＋1＋3＋3－23＋1＝5.
1．(2016莆田中考)计算：|2－3|－16＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫130
. 解：原式＝3－2－4＋1＝－ 2. 2．(2016丹东中考)计算：4sin 60°＋|3－12|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋(π－2 016)0. 解：原式＝4×
32
＋(23－3)－2＋1 ＝23＋23－3－2＋1 ＝43－4. 3．(2016茂名中考)计算：(－1)2 016＋8－|－2|－(π－3.14)0.
解：原式＝1＋22－2－1
＝22－2
＝ 2.
4．(2016岳阳中考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－12＋2tan 60°－(2－3)0. 解：原式＝3－23＋23－1＝2.
整式的运算与求法
【例2】(2016遵义一中一模)先化简，再求值：(x ＋y)(x －y)－(4x 3
y －8xy 3)÷2xy，其中x ＝－1，y ＝
33. 【解析】认真观察式子特点，灵活运用乘法公式化简，再考虑代入求值． 【学生解答】原式＝x 2－y 2－2x 2＋4y 2＝－x 2＋3y 2，当x ＝－1，y ＝33
时，原式＝－1＋1＝0.
5．(2016茂名中考)先化简，再求值：x(x －2)＋(x ＋1)2，其中x ＝1.
解：原式＝x 2－2x ＋x 2＋2x ＋1＝2x 2＋1.当x ＝1时，原式＝2×12＋1＝3.
6．(2016吉林中考)先化简，再求值(x ＋2)(x －2)＋x(4－x)，其中x ＝14
. 解：原式＝x 2－4＋4x －x 2＝4x －4.当x ＝14时，原式＝4×14
－4＝－3.
7．(2016遵义六中二模)已知x 2－4x －1＝0，求代数式(2x －3)2－(x ＋y)(x －y)－y 2的值．
解：原式＝4x 2－12x ＋9－x 2＋y 2－y 2＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)，∵x 2－4x －1＝0，即x 2－4x ＝1，∴原式
＝12.
8．(2016遵义航中一模)已知多项式A ＝(x ＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3.
(1)化简多项式A ；
(2)若(x ＋1)2＝6，求A 的值．
解：(1)A ＝x 2＋4x ＋4＋2－2x ＋x －x 2－3＝3x ＋3；(2)(x ＋1)2＝6，则x ＋1＝±6，∴A ＝3x ＋3＝3(x ＋1)＝
±3 6.。