2003制图基础1

2.4
平面的投影
2.4.1 平面的表示方法
用几何形状表示
b’ a’ c’ a’ b’ c’ c a b a’ b’ c’ c b d d’ a’ b’ c’ c b a’ b’ c’ c b
a b
c
a
a
a
三点
直线和点
两平行线
两相交线
平面图形
2.4.2 平面的投影特性
1. 平面对一个投影面的投影特性
b′ ′
●
●
2
●
b d
a
1 3(4 )
●
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 面的重影点， 面的重影点。 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 面的重影点
★ 同名投影可能相交， 同名投影可能相交， 交点” 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 一个点的投影规律。 交点” ★ “交点”是两直线上 交点 重影点的投影， 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。 的空间位置。
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A● M● B●
●
a● b
●
B ●
●
●
B
A●
●
A● b a●
α
●
b
a≡b≡m
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
●
a″ ″ b″ ″
d″ c″ ″ ″
d c e f
投影特性: 投影特性:
在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性 另外两个投影，反映线段实长。 ② 另外两个投影 反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
b′ ′ a′ ′ a b a″ ″ b″ ″
解决办法？ 解决办法？ A
●
P
●
a′
P B2
●
B1
●
●
b′ ′
B3
●
采用多面投影。
二、点的三面投影
投影面
◆正面投影面（简称正 正面投影面（ 面或V面 面或 面） 水平投影面（ ◆水平投影面（简称水 平面或H面 平面或 面） ◆侧面投影面（简称侧 侧面投影面（ 面或W面 面或 面）
V Z
X
o
W
H
Y
投影轴
●
b′ ′
a
• c
b
a c
●
b
点C在直 在直 线AB上 上
点C不在 不 直线AB上 直线 上
是否在线段AB上 例2：判断点 是否在线段 上。 ：判断点K是否在线段
a′ ′ k′● ′ b′ ′ a k● b a″ ″
●
k″ ″
b″ ″
因k″不在 ″ b″上， ″不在a″ ″ 故点K不在 不在AB上 故点 不在 上。
X a● H Y Z V a′ ′ ●
●
A o
●
a″ ″
a″ 点A的侧面投影 ″ 的侧面投影
空间点用大写字母表 空间点用大写字母表 点的投影用小写 示，点的投影用小写 字母表示。 字母表示。
W
投影面展开
不动
Z Z
绕X轴旋 转 9 0 度
V V a′ ′ ax a H
Y
● ●
az
O
●
a″
W
X
a′ ′
另一判断法? 另一判断法
应用定比定理
因为 ak/kb ≠ a’k’/k’b’ 所以 K不在 上 不在AB上 不在
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为： 空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。 平行、相交、交叉。 投影特性 ⒈ 两直线平行
V
a′ ′
A
b′ ′
B
d′ ′ c′ ′
C D
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a′ ′ A a c c′ ′ k′ ′ C b′ ′ d′ ′ K D d k
交点是两直 线的共有点
B a′ ′ b H a c
•
c′ ′
b′ ′ k′ ′
•
d′ ′
d b
判别方法： 判别方法：
k
若空间两直线相交， 若空间两直线相交，则其同名投影必 相交， 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 影规律。
相交。 例：过C点作水平线 与AB相交。 点作水平线CD与 相交
b′ ′ c′● ′ a′ ′ k′ ′ d′ ′
先作正面投影
a c k
●
d b
⒊ 两直线交叉
a′ ′ c9 9 c
●
1′(2′ ) 3′ ′ ′ ′ 4′ ′
●
d′ ′
为什么？ 为什么？ 投影特性： 两直线相交吗？ 两直线相交吗？
A B A C C B A B
a
b c a b c a c
C
b
平行
垂直
倾斜
投 影 特 性
平面平行投影面-----投影就把实形现 ★ 平面平行投影面 投影就把实形现 ★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线 平面垂直投影面 投影积聚成直线 平面倾斜投影面-----投影类似原平面 ★ 平面倾斜投影面 投影类似原平面
在与其平行的那个投影面上的投影反映实长， ① 在与其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。 并反映直线与另两投影面倾角的实大。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
⑵ 投影面垂直线 铅垂线
a′ ′ b′ ′ a≡b
●
正垂线
c′ ≡ d′ ′ ′
●
侧垂线
e′ ′ f′ ′ e″≡ f″ ″≡ ″
投影特性： 投影特性：
三个投影都不反映 空间线段的实长及与三 个投影面夹角的实际大 小，且与三根投影轴都 倾斜。 倾斜。
二、直线与点的相对位置
判别方法： 判别方法
若点在直线上, ◆ 若点在直线上 则 点的投影必在直线的同 名投影上。 名投影上。并将线段的 同名投影分割成与空间 相同的比例。 相同的比例。即：
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。 ：判断图中两条直线是否平行。
c′ ′ a′ ′ d′ ′ c b d a 如何判断？ 如何判断？ b′ ′ b″ ″ c″ ″ a″ ″ d″ ″
对于特殊位置直线， 对于特殊位置直线， 只有两个同名投影互相 平行， 平行，空间直线不一定 平行。 平行。 求出侧面投影后可知： 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。 不平行。 与 不平行
●
az
●
ax
A O
●
a″ ″ W
X
ay
Y
a
●
ay
Y
ay
H
绕X轴旋 转90度
Z
Z
●
a′′ ′
●
az
●
X
ay
Y
X
ax
A O
●
a″ ″
W
a
●
Y
ay
a
●
ay
H Y
点的投影规律: 点的投影规律
a′a″⊥OZ轴 ① a′a⊥OX轴 ′ ⊥ 轴 ′ ″ 轴 ② aax = a″az = y = 点A到Ｖ面的距离 ″ 到 a′ax = a″ay= z = 点A到Ｈ面的距离 到 ′ ″ aay = a′az = x = 点A到Ｗ面的距离 ′ 到
空间两直线平 则其同名投影 行，则其同名投影 必相互平行 平行， 必相互平行，反之 亦然。 亦然。
d
a c b
H
例1：判断图中两条直线是否平行。 ：判断图中两条直线是否平行。
b′ ′ a′ ′ a c′ ′ c b d d′ ′
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行， 投影互相平行，空间 两直线就平行。 两直线就平行。
用圆规直接量取 a″az=aax ″
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 点在空间的上下、前后、 上下 位置关系。 左右位置关系 左右位置关系。
a′ ′ X a
●
Z
●
●
a″ ″
●
b′ ′
●
b″ ″ YW
判断方法： 判断方法：
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上
投影特征：在所垂直的投影面上的投影积聚 投影特征： 积聚成直线，它与投 积聚 影轴的夹角反映了平面与相应的投影面之间的夹 角；另外两个投影具有类似性 类似性。 类似性
（3）一般位置平面
空间及投影分析： 对三个投影面都倾斜，三个投影都不 空间及投影分析：
反映实形，也没有积聚性。
b’ c’ a’ b a c a” b” c”
投影有积聚性
投影特征： 实形，另外两 投影特征：在所平行的投影面上的投影反映实形 实形 个投影积聚 积聚成直线，且与相应的投影轴平行 平行。 积聚 平行
（2）投影面垂直面
投影有积聚性
空间及投影分析 —— 只垂直一个投影面，对另外两个投
影面倾斜。
类似性 a’ a’ c’ c’ a 积聚性 c b b’ b’ a” a” c” c” 类似性 b” b” 投影有类似性
b
●
YH
B点在 点之 点在A点之 点在 之右、 前、之右、之 下。
重影点： 重影点：
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 影面上的投影重合为一 则称此两点为该 点时，则称此两点为该 投影面的重影点 的重影点。 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( 影加 )
A、C为H面的重影点 、 为 面的重影点
a′ ′
正平线（平行于Ｖ 正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而 水平线（平行于Ｈ 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 正垂线（垂直于Ｖ 侧垂线（垂直于Ｗ 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ 铅垂线（垂直于Ｈ面） 垂直于某一投影面 与其余两投影面倾斜