学年九年级数学下册第26章二次函数262二次函数的图象与性质2621二次函数y=ax.docx
九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 26.2.2.4 二次函数yax
26．2 二次函数的图象与性质2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 第4课时 二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与性质知|识|目|标1．类比一元二次方程的配方法，会将二次函数的一般式化为顶点式．2．通过画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，应用观察、类比、归纳的方法得出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．目标一 能化二次函数的一般式为顶点式例1 教材补充例题已知二次函数y ＝－12x 2＋6x －10.(1)用配方法将它改写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式； (2)用顶点的坐标公式法将它化成顶点式．【归纳总结】化一般式为顶点式的方法：(1)配方法：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c a ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋2·b 2a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b24a. (2)顶点坐标公式法：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .目标二 掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质例2 高频考题对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是()A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值－3C．图象的顶点坐标为(－2，－7)D．图象与x轴有两个交点【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法：(1)直接观察函数图象得最大(小)值；(2)配方法；(3)用顶点的坐标公式求最大(小)值．()例3 高频考题如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－2－3所示，那么A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0【归纳总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与a，b，c的符号之间的关系：特别地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当横坐标x＝1时，图象上的对应点的纵坐标为a＋b＋c ；当横坐标x ＝－1时，图象上的对应点的纵坐标为a －b ＋c .知识点一 把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化为顶点式若把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 展开，将发现y ＝a(x －h)2＋k ＝ax 2－2ahx ＋(ah 2＋k)，也就是说，二次函数y ＝a(x －h)2＋k 可以化为二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的形式．反过来，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 也可以通过配方法转化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式．具体过程如下： y ＝ax 2＋bx ＋c＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c a＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋2·b 2a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2＋4ac －b 24a .因此，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝________，顶点坐标为________________． 知识点二 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c图象a>0a<0性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸． (2)对称轴是直线x ＝－b2a，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a . (3)在对称轴的左侧，即当x________时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸． (2)对称轴是直线x ＝－b2a，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .(3)在对称轴的左侧，即当x________时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的即当x________时，y 随x 的增大而增大． (4)抛物线有最低点，当x ＝________时，y 有最小值，y 最小值＝________右侧，即当x________时，y 随x 的增大而减小． (4)抛物线有最高点，当x ＝________时，y 有最大值，y 最大值＝________已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，试确定m 的取值X 围． 解：这里a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上， 对称轴是直线x ＝－m －12.∵当x ＞1时，y 随x 的增大而增大， ∴－m －12＝1，解得m ＝－1.以上解答过程正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 解：(1) y ＝－12x 2＋6x －10＝－12(x 2－12x ＋20)＝－12(x 2－12x ＋36－36＋20)＝－12[(x －6)2－16]＝－12(x －6)2＋8.(2) ∵a ＝－12，b ＝6，c ＝－10,∴顶点横坐标x ＝－b 2a ＝6, 顶点纵坐标y ＝4ac －b24a ＝8，∴y ＝－1 2(x －6)2＋8.例2[解析] B ∵二次函数y ＝－14x 2＋x －4 可化为y ＝－14(x －2)2－3，得出对称轴是直线x ＝2，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，所以选项A 错误；当x ＝2时，y 有最大值－3，所以选项B 正确；图象的顶点坐标是(2，－3)，所以选项C 错误；图象的顶点在横轴下方，抛物线的开口向下，与横轴没有交点，所以选项D 错误．例3[解析] A 根据图象开口向下，得a<0；根据图象的对称轴在y 轴右侧，得－b2a >0，故b>0；根据图象与y 轴的交点在y 轴正半轴，得c>0.故选A . 【总结反思】[小结] 知识点一 －b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a知识点二 <－b 2a >－b 2a －b 2a 4ac －b24a<－b 2a >－b 2a －b 2a 4ac －b24a [反思] 不正确．正确：这里a ＝1>0，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝－m －12.∵当m>1时，y 随x 的增大而增大， ∴－m －12≤1，解得m ≥－1.。
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性
∴－3＝9a，∴a＝－3. ∴抛物线对应的函数关系式为 y＝－13(x＋2)2. (2) 抛物线 y＝－31(x＋2)2 的对称轴是直线 x＝－2，顶点坐标为(－2，0)． (3)∵a＝－13＜0，∴抛物线的开口向下， ∴当 x＜－2 时，y 值随 x 值的增大而增大．
第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
知识点二 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
a的 二次函数
符号
图象
图象的 图象 图象的 开口方 的对 顶点坐
向 称轴 标
函数值的变 化情况
最值
y＝a(x-h)2 a>0
当 x>h 时，y
图象有最
随 x 的增大
___低___点，
__向__上__
直线 x=h
第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
(2)抛物线 y＝a(x－h)2 可由抛物线 y＝ax2 向左(或右)平移得到． 当 h>0 时，抛物线 y＝ax2 向____右____平移 h 个单位，得到抛 物线 y＝a(x－h)2； 当 h<0 时，抛物线 y＝ax2 向____左____平移|h|个单位，得到抛 物线 y＝a(x－h)2.
第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
总结反思
小结 知识点一 二次函数y=a(x-h)²的图象与二次函数y=ax²的图象的关系
(1)二次函数 y＝a(x－h)2 的图象与 y＝ax2 的图象的形状完全 ___相__同___，但位置___不__同___；y＝a(x－h)2 的图象的顶点坐标为 (h，0)，对称轴为直线___x_=_h ___．
(___h__， 而__增__大__；当 __0___) x<h 时，y 随
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质
第26章 二次函数二次函数y =ax 2的图象与性质1．关于抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知抛物线y ＝ax 2()a >0经过A ()－2，y 1，B ()1，y 2两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>03．在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1)y ＝3x 2；(2)y ＝－13x 2.4．当物体自由下落时，下落的高度h (m)与下落时间t (s)之间的关系式是h ＝12gt 2(g 为定值，g 取9.8 m/s 2)，这表明h 是t 的函数．(1)当t ＝1、2、3时，求出物体的下落高度h ； (2)画出函数h ＝12gt 2的图象．5．已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( )A B C D6．[2018·株洲]已知二次函数y ＝ax 2的图象如图，则下列表示的点有可能在反比例函数y ＝a x的图象上的是( )A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(2，3)D ．(2，－3)7．[2018·岳阳]在同一直角坐标系中，二次函数y ＝x 2与反比例函数y ＝1x(x >0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A (x 1，m )、B (x 2，m )、C (x 3，m )，其中m 为常数，令ω＝x 1＋x 2＋x 3，则ω的值为( )A ．1B ．mC ．m2D.1m8．[2018·孝感]如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)、B (1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是______________．9．已知直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴相交于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D .若∠AOB ＝60°，AB ∥x 轴，AB ＝2，求a 的值．10．二次函数y ＝3x 2的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，求菱形OBAC的面积．11．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1＝x 2(x ≥0)与y 2＝x 23(x ≥0)的图象于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2的图象于点E ，求DEAB的值．12．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m. (1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)设正常水位时桥下的水深为 2 m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．参考答案【分层作业】 1．B 2．C 3．解：列表：3(2)描点，连线，图略．4．解：(1)把t ＝1、2、3分别代入关系式h ＝12gt 2，可求得h 1＝12×9.8×12＝4.9(m)，h 2＝12×9.8×22＝19.6(m)， h 3＝12×9.8×32＝44.1(m)．(2)列表：答图在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数h ＝12gt 2的图象，如答图所示．5．C 6．C【解析】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∴点(2，3)可能在反比例函数y ＝ax的图象上． 7．D【解析】根据题意可得A ，B ，C 三点有两点在二次函数图象上，一点在反比例函数图象上．不妨设A ，B 两点在二次函数图象上，点C 在反比例函数图象上．∵二次函数y ＝x 2的对称轴是y 轴，∴x 1＋x 2＝0.∵点C 在反比例函数y ＝1x (x >0)上，∴x 3＝1m ，∴ω＝x 1＋x 2＋x 3＝1m .8．x 1＝－2，x 2＝1【解析】∵抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)、B (1，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1， 即方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1. 9． 解：∵AB ∥x 轴，∴点A 、B 关于y 轴对称． ∵AB ＝2，∴AC ＝BC ＝1. ∵∠AOB ＝60°， ∴OC ＝3，AD ＝ 3. 又∵点A 在第二象限， ∴点A 的坐标是(－1，3)． ∴3＝a ·(－1)2，解得a ＝ 3.10．答图解：连结BC 交OA 于点D ，如答图． ∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥O A. ∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°， ∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B (t ，3t )， 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2， 解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1，∴BD ＝1，OD ＝ 3. ∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝23， ∴菱形OBAC 的面积＝12×2×23＝2 3.11．解：设A 点坐标为(0，a )(a ＞0)， 则x 2＝a ，解得x ＝a ， ∴点B (a ，a )． 又∵x 23＝a ，则x ＝3a ，∴点C (3a ，a )． ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为3a ， ∴y ＝(3a )2＝3a ，∴点D 的坐标为(3a ，3a )． ∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为3a ， ∴x 23＝3a ，∴x ＝3a ， ∴点E 的坐标为(3a ，3a )， ∴DE ＝3a －3a ，∴DEAB＝3a－3aa＝3－ 3.12．解：(1)设该抛物线的解析式是y＝ax2.结合图象，把(10，－4)代入，得100a＝－4,∴a＝－125，则该抛物线的解析式是y＝－125x2.(2)当x＝9 m时，则有y＝－125×81＝－3.24，4＋2－3.24＝2.76(m)，所以水深超过2.76 m时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．。
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.3求二次函数的表达式
c＝－3，
c＝－3.
则所求的二次函数的表达式是 y＝x2＋2x－3.
第五页，共三十三页。
【点悟】 知道抛物线上的三点，通常用一般式建立方程组求待定系数 a、b、 c.有时需要仔细分析，发现所给出的点的特征与联系，也可采用简捷灵活的方法．
第六页，共三十三页。
类型之二 已知抛物线的顶点和另一点，求函数关系式 顶点为12，－94的抛物线过点 M(2，0)，求抛物线的解析式．
5．[2018·云南]已知二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象经过 A(0，3)、B(－4， －92)两点．
(1)求 b、c 的值； (2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否存在公共点？若有，求公 共点的坐标；若没有，请说明理由．
第十七页，共三十三页。
解：(1)∵二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象经过 A(0，3)、B(－4，－92)两 点，
理由．
第八页，共三十三页。
解：(1)因为铅球的路线最高处点 B 的坐标为(6，4)，即抛物线的顶点坐标为 (6，4)，
故设这个抛物线关系式为 y＝a(x－6)2＋4， 且当 x＝0 时，y＝2， 所以 2＝a·(－6)2＋4，解得 a＝－118， 所以这个抛物线的关系式为 y＝－118(x－6)2＋4(x≥0)．
第二十六页，共三十三页。
(2)根据二次函数的对称性可知 MD＝MC，要求|MB－MD|的值最大，就是求 |MB－MC|的值最大，由三角形两边之差小于第三边，得当点 B，C，M 在同一 条直线上时，|MB－MD|的值最大，为 BC 的长．
由一次函数和二次函数交于 A、B 两点，得 21x2＋25x＋3＝21x＋3， 解得 x＝－4 或 x＝0，
∴点 A 关于 x 轴的对称点 A′的坐标为(2，－2)．
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质
2.二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2的图象与性质
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
1
学习指南
★教学目标★ 1．会作二次函数y＝ax2的图象． 2．能正确说出函数y＝ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2
★情景问题引入★ 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为4 m，拱顶距离水面2 m. (1)求出这条抛物线表示的函数的解析式； (2)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽 度不得小于2 m．求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
15
当堂测评
1．[2018·南关区校级一模]对于函数y＝5x2，下列结论正确的是( C ) A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下 C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值，y的值总是正的
16
2．抛物线y＝－
2 3
x2的图象开口_向__下__，对称轴是__y_轴__，顶点坐标为_(0_，___0_) ，
3
知识管理
二次函数 y＝ax2 的图象与性质 图 象：二次函数 y＝ax2(a≠0)的图象是一条顶点在原点，对称轴是 y 轴的抛 物线．
性 质：(1)当 a>0 时，图象开口向上，顶点是它的最低点，函数有最小值．在对 称轴左侧(x<0)，y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧(x>0)，y 随 x 的增大而增大．
A．(－1，2) B．(1，－2) C．(2，3) D．(2，－3)
25
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴点(2，3)可能在反比例函数 y＝ax的 图象上．
解：列表：
x … －2 －1 0 1 2 … y＝3x2 … 12 3 0 3 12 … y＝－31x2 … －43 －13 0 －13 －43 … (2)描点，连线，图略．
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质1二次函数y=ax2的图象与性质教学课件(
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用. （难点）
导入新课
知识要点
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
这条抛物线关于y轴对称,
3
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的 路线,我们把它叫做抛物线.
练一练：画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
< (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶
点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标
华东师大版九年级数学下册26.2-二次函数的图象与性质26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质课件
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
1 2 2 y x , y 2 x 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x
y
· · · －4 －3 －2 －1 4.5 2
0
1 0.5
2 2 0.5 1
3 4.5 1.5
4 8 2
· · · · · ·
y -4 -2 0 -3 -6 -9 2 4
0 0
1 -1
2 -4
3 -9… …ຫໍສະໝຸດ x议一议根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次 函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. y 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． o x y=x2
yx
2
y ax
2
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
y x
(-1,-1)
2
y ax
(1,-1)
2
(-2,-4)
(2,-4)
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二
次函数y=－x2的图象上吗？ 当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图象上；
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. y 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; o x
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
例 3 [高频考题] 下列说法中错误的是( C ) A．在函数 y＝－x2 中，当 x＝0 时，y 有最大值 B．在函数 y＝2x2 中，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 C．在抛物线 y＝ax2 中，若抛物线的开口向下，则 a＞0 D．不论 a 是正数还是负数，抛物线 y＝ax2 的顶点都是原点
第二十六章 二次函数
26．2 二次函数的图象与性质
第二十六章 二次函数
26．2．1 二次函数y=ax²的图 象与性质
知识目标 目标突破
总结反思
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
知识目标
1．根据画一次函数图象的步骤，能够用描点法作出二次函 数 y＝ax2 的图象．
2．通过对比几个二次函数图象的共同点和不同点，理解二 次函数的性质，并能根据其性质解决问题．
图 26－2－1
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
解：观察图象可以看出： (1)①的函数关系式是 y＝2x2，②的函数关系式是 y＝－2x2. (2)函数 y＝2x2 的图象的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，0)，在 y 轴左 侧，y 随 x 的增大而减小，在 y 轴右侧，y 随 x 的增大而增大．函数 y＝－2x2 的图象的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，0)，在 y 轴左侧，y 随 x 的增大而 增大，在 y 轴右侧，y 随 x 的增大而减小． (3)二次函数 y＝2x2，当 x＝0 时，y 取得最小值 0；二次函数 y＝－2x2， 当 x＝0 时，y 取得最大值 0.
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
【归纳总结】
二次函数 y＝ax2 的图象与性质的应用： 二次函数的图象与性质一般包括图象的开口方向和对称性、函数值 的变化情况以及最值．运用二次函数的图象与性质解题需注意以下两 点：(1)在二次函数 y＝ax2 中，a 的符号决定图象的开口方向、有最大值 (或最小值)以及函数值的变化情况，反过来，由图象的开口方向、有最 大值(或最小值)以及函数值的变化情况可以确定 a 的符号； (2)利用二次函数的图象与性质解题时，一般要画出草图，利用图象 的直观性解决问题．
2018-2019学年九年级数学下册第26章二次函数26-2二次函数的图象与性质26-2-2-1二次函数y=ax2+k的图象与性质
26．2 二次函数的图象与性质2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质知|识|目|标1．通过作图、比较、思考，会用描点法画二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．2．通过自学、探究、交流，能总结并应用二次函数y＝ax2＋k的性质．目标一理解二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系例1 教材补充例题在同一平面直角坐标系中分别作出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3，y＝－2x2－3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)抛物线y＝－2x2，y＝－2x2＋3和y＝－2x2－3的开口方向、顶点坐标、对称轴分别是什么？(2)试说明抛物线y＝－2x2＋3，y＝－2x2－3分别是由抛物线y＝－2x2怎样变化得到的．【归纳总结】作二次函数y＝ax2＋k的图象：1．作二次函数的图象可以用描点法，在列表时，一定要根据对称轴对称地选取自变量的值．2．y＝ax2＋k y＝ax2y＝ax2－k，简记为“常数项上加下减．．．．”．目标二能总结并应用二次函数y＝ax2＋k的性质例2 教材补充例题 (1)抛物线y＝－3x2＋5的开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________，当x＝________时，函数取得最________值，这个值是________．(2)抛物线y＝7x2－3的开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________，当x＝________时，函数取得最________值，这个值是________．【归纳总结】当a>0时，抛物线y＝ax2＋k的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k)，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，这个值等于k；当a<0时，抛物线y＝ax2＋k的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k)，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，当x＝0时，函数取得最大值，这个值等于k.例3 高频考题二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是()A．抛物线开口向下B．抛物线经过点(2，3)C ．抛物线的对称轴是直线x ＝1D ．抛物线与x 轴有两个交点 【归纳总结】知识点一 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系(1)二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与y ＝ax 2的图象形状完全相同，只是顶点位置不同，对称轴仍为y 轴．(2)二次函数y ＝ax 2＋k 的图象可由二次函数y ＝ax 2的图象________(或________)平移得到．当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向上平移k 个单位，得到二次函数____________的图象；当k<0时，二次函数y ＝ax 2的图象向下平移|k|个单位，得到二次函数____________的图象．知识点二 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质能否通过上下平移二次函数y ＝12x 2的图象，使得到的新的函数图象经过点P(2，－3)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能．因为点P 的纵坐标是－3，所以平移方向是向下，平移距离是3个单位．请找出以上解答过程中的错误，并给出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1[解析] 此题考查二次函数y＝ax2＋k的图象与性质及与函数y＝ax2的图象的关系．解答时，借助图象易得到相应结论．解：列表：描点、连线即可得到如图所示的图象．(1)由图可知，抛物线y ＝－2x 2，y ＝－2x 2＋3和y ＝－2x 2－3的开口方向相同，都向下；顶点坐标分别为(0，0)，(0，3)，(0，－3)，对称轴都为y 轴．(2)由图可知：抛物线y ＝－2x 2＋3是由抛物线y ＝－2x 2向上平移3个单位得到的；抛物线y ＝－2x 2－3是由抛物线y ＝－2x 2向下平移3个单位得到的．例2[答案] (1)向下 y 轴 (0，5) 增大减小 0 大 5(2)向上 y 轴 (0，－3) 减小 增大 0 小 －3[解析] 分别画出二次函数y ＝－3x 2＋5，y ＝7x 2－3的图象的草图，根据图象填空．例3[解析] DA 项，a ＝2>0，故抛物线y ＝2x 2－3的开口向上，所以A 选项错误．B 项，当x ＝2时，y ＝2×4－3＝5，故抛物线不经过点(2，3)，所以B 选项错误．C 项，抛物线的对称轴为直线x ＝0，所以C 选项错误．D 项，当y ＝0时，2x 2－3＝0，此方程有两个不相等的实数根，所以D 选项正确．备选目标 二次函数y ＝ax 2＋k 与其他函数的关系例 二次函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝2x －3交于点P(1，b)．(1)求a ，b 的值；(2)写出二次函数的关系式，并指出当x 取何值时，函数值y 随x 的增大而减小．[解析] (1)函数图象交点的意义是交点的坐标满足两个函数的关系式，把P(1，b)的坐标代入直线对应的函数关系式，可求出b 的值，再把点P 的坐标代入二次函数关系式，可得a 的值．(2)根据关系式的特点，由二次函数值的变化情况可得x 的取值范围． 解：(1)把点P(1，b)的坐标代入y ＝2x －3中，得b ＝2×1－3＝－1，∴P(1，－1)． 把点P(1，－1)的坐标代入y ＝ax 2＋1中，得a ＋1＝－1，∴a ＝－2.(2)二次函数的关系式为y ＝－2x 2＋1. ∵a ＝－2＜0，∴函数图象开口向下， ∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小． 即当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而减小．【总结反思】[小结] 知识点一 (2)向上 向下 y ＝ax 2＋ky ＝ax 2＋k知识点二 向上 0k 减小 增大 低 小 k向下 0k 增大 减小 高 大 k [反思] 平移距离错了．正确解答如下：方法一：当x ＝2时，y ＝12x 2＝12×22＝2，所以新的函数图象上的点(2，－3)对应原函数图象上的点的坐标是(2，2)，这两点的垂直距离是5，所以平移方向是向下，平移距离是5个单位． 方法二：设平移后的函数图象的关系式为y ＝12x 2＋k.将(2，－3)代入此关系式中，求得k ＝－5.所以平移方向是向下，平移距离是5个单位．。
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26・2二次函数的图象与性质
1. 二次函数尸日/的图象与性质
知I识I目I标
1.根据画一次函数图象的步骤，能够用描点法作出二次函数尸日#的图象.
2.通过对比儿个二次函数图象的共同点和不同点，理解二次函数的性质，并能根据其性质解决问题.
有的放矢
目标一会画二次函数y=ax?的图象例1教材补充例题画二次函数尸一*F的图象.
【归纳总结】
1.画二次函数y=ax?的图象的步骤：
用描点法画二次函数的图象分三步：列表、描点、连线.
列表：根据二次函数的关系式用表格的形式列出部分点的坐标；
描点：把表格中坐标对应的点描到平而直角坐标系内；
连线：用光滑的曲线顺次连结各点.
2.画二次函数尸乩/的图象的川点技巧：
(1)二次函数的图象是轴对称图形，列表时先找到函数图象的对称轴，然后在对称轴两侧对称地取自变量的值；
(2)列好表后，观察表屮各点在坐标系屮对应的大致位置，根据需要画岀平面直角坐标系；
(3)因为二次函数的自变量的取值是一切实数，所以二次函数图象的两端是无限延伸的；
(4)点取得越多，图象越精确，图象必须光滑，顶点不能画成尖的，当描出的相邻两点相距较远时，可先用线段连结这两点，再把此段图象修成光滑的曲线.
目标二能理解二次函数尸的性质
例2教材补充例题已知二次函数尸2#和尸一2#的图象如图26-2-1所示，根据图象回答下列问题：
⑴指出①的函数关系式是什么，②的函数关系式是什么；
⑵写出函数y=2#和y=—2/的图象的对称轴、顶点坐标及对称轴左、右两边y随x的变化情况；
(3)二次函数尸2#和y=—2x何时取得最大值或最小值？
图26-2-1
例3高频考题下列说法中错误的是（）
A.在函数y= — x中，当x=0吋，y有最大值
B.在函数y=2/中，当x>0时，y随x的增大而增大
C.在抛物线尸日#中，若抛物线的开口向下，则a>0
D.不论日是正数还是负数，抛物线尸日#的顶点都是原点
【归纳总结】二次函数尸/的图彖与性质的应用：
二次函数的图象与性质一般包括图象的开口方向和对称性、函数值的变化情况以及最值.运用二次函数的图象与性质解题需注意以下两点：（1）在二次函数中，a的符号决定图象的开口方向、有最大值（或最小值）以及两数值的变化情况，反过來，由图象的开口方向、有最大值（或最小值）以及函数值的变化情况可以确定a的符号；（2）利用二次函数的图象与性质解题时，一般要画出草图，利用图彖的直观性解决问题.
、总结反思___________________ 小结感悟
「小结
知识点一二次函数丫 = 8乂2的图象
二次函数的图象是一条_________________ ,它是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物
线的_________ .
［点拨］当自变量是全体实数时，抛物线是向上或向下无限伸展的.
知识点二二次函数y=ax?的图象与性质
1.注意：越大，抛物线的开口越小；|小越小，抛物线的开口越大.
2.二次函数的函数值y随x的变化情况要以对称轴为界分左右两部分分别描述.
「反思
晓明用描点法作函数y=/的图彖，过程如下: 解：列表如下：
描点、连线，如图26-2-2所示.
晓明的解答正确吗？如果不正确，存在哪些问题？请你写出正确的解答过程.
教师详解详析
【目标突破】
例1 ［解析］二次函数y=—务2的图象是轴对称图形，顶点坐标是(0, 0),所以列表时从x =0往两边取适当的自变量的值，并计算对应的函数值，再把相应的点描到平而直角坐标系中，然后用光滑的曲线顺次连结各点.
X • • •-3-2-10123• • •
y• ••-4. 5-2-0.50-0. 5-2-4.5• • •
在平面直角坐标系中描点、
解：列表：
例2解：观察图象可以看岀：
⑴①的函数关系式是y=2x2,②的
的图彖, 如图所不.
函数关系式是y=—2x1
(2)函数y=2x，的图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0, 0),在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大.函数y= —2x'2的图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0, 0),在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小.
(3)二次函数y = 2/,当x=0时，y取得最小值0；二次函数『=一2亡，当x = 0时，y取得最大值0.例3 ［答案］C
备选目标二次函数的图象与性质的应用
例己知二次函数y = 2x1
(1)点A(l, a), B( —2, b)均在二次函数y = 2x，的图象上，比较a, b的大小；
⑵M, N是二次函数y = 2x'的图彖上的点，它们的横坐标分别为2和*,在y轴上找一点P, 使得
PM+PN最小.
［解析］⑴根据点A，B均在函数y = 2/的图象上，将横坐标分别代入关系式，求出纵坐标a, b的值，再比较人小，也可以利用图彖进行比较，还可以利用函数值的变化情况比较其大小.(2) 求出点* N 的坐标，再作点M关于y轴的对称点,连结NM',与y轴的交点即为点P. 解：(1)方法一：通过计算得a = 2, b = 8,故3<b.
方法二：画出函数y = 2x?的图象，如图①，并把点A, B描于图上，可得a<b.
方法三：点B(-2, b)与点B' (2, b)关于y 轴对称，点A 与点B'均在对称轴的右侧.因为 在对称轴右侧，函数值y 随x 的增大而增大，且1<2,故a<b. (*，•作点M 关于y 轴的对称点W ,则M' (—2,
8),连结NM',与y 轴的交点即为点P,如图②所示.设NM'所在直线对应的函数关系式为
【总结反思】
［小结］知识点一抛物线顶点 知识点二向上y 轴减小增大低向下y 轴增大减小高
［反思］晓明的解答不正确•错误的原因有三个：一是列表时取的数据不全面；二是没有用光 滑的曲线连结相邻的点；三是所画的抛物线没有向上延长. 正解：列表如下:
X
• ♦ •
-2 -1 0 1 2
• • • 2
y=x
• • •
4
1
1
4
• • •
描点、连线，如图所示.
(2)易得点M, N 的坐标分别为(2, 8),
「一2+ = 8,
y = kx + n,
2).
k= _3,
解得心2,
即y = — 3x + 2,当x = 0时，y=2,所以点P 的。