18.2_勾股定理的逆定理_达标训练(含答案)[1] 2
勾股定理及其逆定理,经典过关题及练习题(含答案)
CBAFEDCB A勾股定理及其逆定理（讲义）一、 知识点睛1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________．2. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．二、精讲精练1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．S 3S 2S 1AB C86C3. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．5. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．6. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +(a -b )2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 7. 如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA =CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE =AB ，连接DE 并延长交AB 于点F ． （1）求证：DE ⊥AB ；（2）若已知BC =a ，AC =b ，AB =c ，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．图2图1b ba ED A ABDEFc c图2b aba ED CBAlcba8. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 110. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．11. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的 钢索？12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．法算出旗杆的高度．13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）DCBAAB C DE F GH图3图2图1h 26246b 106c 125A ．B ．C ．D ．7152024257202425715202425252420157图2图1DCBAA ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4114. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形17. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.18. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：c =____，b =____，h =_____．19. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2请说明理由．勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．有一块土地形状如图所示，∠B =∠D =90°，AB =20米，BC =15米，CD =7BAD CB ．A ．c b c a b a a b c a b c c b a c b a A BCD EF D ．c b a a b c C ．米，则这块地的面积为__________．2．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_____________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°． （1）求BD 的长； （2）证明：BD ⊥BC ； （3）求四边形ABCD 的面积．勾股定理及其逆定理（作业）1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离为____________．DC BAF E D CB A 6. 记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3C ．S 1+S 2=S 3D ．S 12+S 22=S 327. 中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，___________cm 2．8. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．10. 11. 如图，一架长25（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米？12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？b915勾股定理及其逆定理【参考答案】➢ 课前预习1. 大于，互余；2. 121，144，169，196，225，256，289，324，3613. 16A S =9B S = 25C S =A B C S S S +=➢ 知识点睛1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2. 略3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢ 精讲精练1. C2. 169 cm 23. 24.245. 证明略6. 167. 148. AD =12 cm ，AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C14. 符合要求，理由略15. （1）同位角相等，两直线平行．逆命题成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．逆命题不成立． （3）锐角三角形是等边三角形．逆命题不成立．（4）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆命题成立．。
初中数学专题复习勾股定理的逆定理 例题精讲与同步训练(含答案)
勾股定理的逆定理【学习目标】1．能熟练地说出勾股定理的逆定理．2．会应用逆定理判定一个三角形是否是直角三角形． 3．学会通过代数运算证明几何问题的方法． 【主体知识归纳】1．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．2．直角三角形的判定 判定一个三角形是直角三角形，一是利用定义，即证明三角形中有一个角是直角，二是利用勾股定理的逆定理． 【基础知识精讲】1．本节主要是勾股定理的逆定理及其应用，它与勾股定理都是初中阶段所学数学的重要思想——数形结合思想的重要体现．判断三角形的形状是本节命题热点，它常与完全平方公式相配合，通过代数法来证明几何问题．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股弦数)，勾股数是一种重要的数组，找勾股数可以用试验的方法．实际上，人们已证明了许多公式，用公式很容易找出许多组勾股数．例如在△ABC 中，三边长分别为a 、b 、c ，其中a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2＋1，只要用n ＞1的正整数代入公式即可． 【例题精讲】［例1］如图3—224，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ．求证：(1)222111h b a =+;(2)a ＋b ＜c ＋h;(3)以a ＋b ，h ，c ＋h 为边的三角形是直角三角形． 证明：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∴S △ABC ＝21AB ·CD ＝21AC ·BC ． ∴AB ·CD ＝AC ·BC ，即ch ＝ab ，∴.1112222222222hh c c b a b a b a ==+=+． (2)∵(c ＋h)－(a ＋b)＝(c ＋c ab )－(a ＋b)＝cb c a c c bc ac ab c ))((2--=--+∵c ＞a ，c ＞b ，∴(c ＋h)－(a ＋b)＞0，∴c ＋h ＞a ＋b ，即a ＋b ＜c ＋h ． (3)∵c ＋h ＞a ＋b ，c ＋h ＞h ，∴(c ＋h)2＝c 2＋2ch ＋h 2＝a 2＋b 2＋2ab ＋h 2＝(a ＋b)2＋h 2． ∴以a ＋b ，h ，c ＋h 为边的三角形是直角三角形．说明：本题综合考查几何问题的代数解法，其关键是掌握面积公式、不等式等代数知识． ［例2］如图3—225，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方有一走私艇C 以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私艇A 通知反走私艇B ：A 和C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里，反走私艇B 测得距离C 艇是12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海?解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC ＝90°，又∵AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠ABC ＝90°． 由于MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ．①－②得CE ＝169144131314413144=÷≈0．85(小时)＝51(分)， ∴9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C 最早在10时41分进入我国领海．说明：用勾股定理及逆定理也可以解决诸如上例类似实际问题． 练习 1．填空题(1)若一个三角形三边满足c 2－a 2＝b 2，则这个三角形是__________(2)△ABC 的三边a ＝1．2 cm ，b ＝1．6 cm ，c ＝2 cm ，则∠C ＝__________． (3)已知三角形的三边分别是m 2－1，2m ，m 2＋1，则最大角是__________(4)四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 各边长顺次为3，4，13，12，且∠ABC ＝90°，则四边形ABCD 的面积为__________(5)有一个三角形两边长为4，5，要使三角形为直角三角形，则第三边为__________(6)设a＞b，如果a＋b，a－b是三角形较小的两边，当第三边等于__________时，这个三角形为直角三角形．(7)如图3—226，在Rt△ABC中，E是斜边AB上一点，把△ABC沿CE折叠，点A与点B 恰好重合，如果AC＝4 cm，那么AB＝__________cm．(8)如图3—227，∠ADB＝45°，BD＝1，把△ABD沿直线AD折叠过去，点B落在点B′的位置，标出B′的位置，则BB′的长为__________(9)如图3—228，AD是BC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折过来，点C 落在点C′的位置，如果BC＝4，那么BC′的长等于__________(10)已知四边形ABCD中，AB＝BC＝23，∠ABC＝60°，∠BAD＝90°，且△ACD是一个直角三角形；那么AD的长等于__________.2．选择题(1)已知在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，则三角形为A．锐角三角形; B．钝角三角形; C．等腰三角形; D．直角三角形(2)下列各组能组成直角三角形的是A．4、5、6; B．2、3、4; C．11、12、13; D．8、15、17(3)三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为A．6; B．4.5; C．2.4; D．8(4)下列命题中，假命题是A．三个角的度数之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为1∶3∶2的三角形是直角三角形C．三边长度之比为1∶3∶2的三角形是直角三角形D．三边长度之比为2∶2∶2的三角形是直角三角形(5)在△ABC 中，D 是BC 上一点，若BD ＝5，AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，则△ABC 的面积是( 0A ．30;B ．42;C ．84;D ．100(6)一个三角形三边长分别为20，15，25，那么它的最长边上的高为A ．12．5;B ．12;C ．2215; D ．9 (7)△ABC 三边a 、b 、c 满足｜a ＋b －50｜＋32--b a ＋(c －40)2＝0，则△ABC 为A ．等边三角形;B ．直角三角形;C ．等腰三角形;D ．无法确定3．如图3—229，CD 是△ABC 边上的高，且D 在边AB 上，有CD 2＝AD ·DB ．求证：△ABC 是直角三角形．4．a 、b 为任意正数，且a ＞b ．求证：边长为2ab ，a 2－b 2，a 2＋b 2的三角形是直角三角形．5．已知△ABC 的三边之比为5∶12∶13，求证：△ABC 为直角三角形．6．△ABC 中，AB ＝8 cm ，BC ＝20 cm ，BC 边上的中线AD ＝6 cm ．(1)求证：S △ABC ＝2S △ADC ；(2)求△ADC 的面积S △ADC ．7．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a ＋b ＝4，ab ＝27，c ＝3，试判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由．8．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC ．9．如图3—230，已知BE⊥AD，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC＝23，CD＝3，DE＝3，求证：AD⊥CD．10．如图3—231，一块四边形的草地ABCD，其中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20米，CD＝10米，求这块草地的面积．11．若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断三角形的形状．【思路拓展题】 ●读一读:勾股数如果三个正整数满足于勾股定理逆定理，那么就称这三个数为一组勾股数．3、4、5是最简单的一组勾股数，因为它们满足：32＋42＝52．勾股数是一种重要的数组，那么什么样的数才能组成勾股数呢?看下面一些简单的勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；… 观察这些勾股数组成的规律，发现：第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第二个数加1，也就是第一个数的平方加1再除以2．结论：如果n 是一个奇数，且n ≥3，那么n 、212-n 、212+n 就是一组勾股数．证明：∵n 2＋(212-n )2＝n 2＋,)21(41244122224224+=+-+=+-n n n n n n ， ∴n 、212-n 、212+n 是一组勾股数．这样，我们任意给出一个奇数(如11，13，…)，同学们就可以写出各组勾股数来． 再看一些简单的勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；…观察这些勾股数组成的规律，发现：第一个数是偶数，第二个数是第一个数的一半的平方减1，第三个数是第一个数一半的平方加1．结论：如果m 是一个偶数，且m ≥4，那么m 、(2m )2－1、(2m)2＋1就是一组勾股数． 证明：∵m 2＋［(2m )2－1］2＝m 2＋(42m )2－22m ＋1＝m 2＋21624m m -＋1＝1616824++m m ,]1)2[()44(222+=+=mm∴m 、(2m )2－1、(2m)2＋1是一组勾股数． 这样，我们任意给出一个偶数(如10，12，…)，同学们就可以写出各组勾股数来．参考答案1．(1)直角三角形 (2)90° (3)90° (4)36 (5)3或41 (6)2222b a (7)42(8) 2 (9)22 (10)3或42．(1)D (2)D (3)D (4)B (5)C (6)B (7)B 3．提示：由AC 2＝AD 2＋CD 2，BC 2＝CD 2＋DB 2， 得AC 2＋BC 2＝2CD 2＋AD 2＋DB 2， 又CD 2＝AD ·DB ，所以AC 2＋BC 2＝AB 2． 4．提示：(a 2＋b 2)2＝(a 2－b 2)2＋(2ab)2．5．提示：设三角形三边长分别为5x ，12x ，13x ．∵(13x)2＝(12x)2＋(5x)2，∴△ABC 是直角三角形． 6．(1)提示：S △ABD ＝S △ACD ；(2)S △ADC ＝24 cm 2．提示：△ABD 是直角三角形．7．△ABC 为直角三角形．提示：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝16－7＝9，∴a 2＋b 2＝c 2． 8．DC ＝9．9．提示：由已知易求BE ＝23，又∵∠EBC ＝60°，BC ＝23，则可证△BCE 是等边三角形，得CE ＝23， 则可证△DEC 是直角三角形．10．1503 cm ．提示：延长AD 、BC 交于点E ，且∠E ＝30°．11．△ABC 是直角三角形．提示：配方得：(a －5)2＋(b －12)2＋(c －13)2＝0，∴a ＝5，b ＝12，c ＝13． 想一想:(略).。
勾股定理及逆定理的应用练习(含答案)
勾股定理的逆定理1.如图所示,△ABC 中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC 的长等于( )A.22B.23C. 6D.236知识点：转化的数学思想、勾股定理知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。
勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
答案：C详细解答：作BC 边上的高AD,△ ABC 中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30° 在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=3 在Rt △ACD 中，∠C=45°，AD=3,所以CD=AD=3， 利用勾股定理可得AC=6。
1．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，线段AB 长为（ ）。
A.2B.3C.4D.33 答案：C分析：欲求AB ，可由AB=BD+AD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD 和AD 。
或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC 和BC 。
详细解答：在Rt △ACD 中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。
CD在Rt △ACB 中，∠A=60°，那么∠B=30°。
在Rt △BCD 中，∠B=30°，又已知CD=3,所以BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。
因此AB=BD+CD=3+1=4，小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。
目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
勾股定理的逆定理专题训练(含答案)
学习好资料欢迎下载勾股定理的逆定理专题训练一、你能填对吗1．ABC∆的两边分别为5，12，另—边c为奇数，且a ＋ b ＋c是3的倍数，则c应为_________，此三角形为________．2．三角形中两条较短的边为a ＋b，a －b（a>b），则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．3．若ABC∆的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋l0c，则此三角形是_______三角形，面积为______．4．已知在ABC∆中，BC＝6，BC边上的高为7，若AC＝5，则AC边上的高为_________．5．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．6．一个三角形的三边分别为7cm，24 cm，25 cm，则此三角形的面积为_________。
二、选一选7．给出下列几组数：①111,,345；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（）．A．①②B．③④C．①③④D．④8．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（）．A．1，2，3 B．4，5，6 C．12，13，14 D．9，40，419．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（）．A．8 B．10 C．11个D．12个10．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋l，那么这个三角形是（）；A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形三、解答题11．如图18－2－5，在ABC∆中，D为BC上的一点，若AC＝l7，AD＝8，CD=15，AB＝10，求ABC∆的周长和面积．12．已知ABC∆中，AB＝17 cm，BC＝30 cm，BC上的中线AD＝8 cm，请你判断ABC∆的形状，并说明理由．13．一种机器零件的形状如图18－2－6，规定这个零件中的∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图（单位：mm），这个零件符合要求吗?14．如图18－2－7，四边形ABCD中，B=90∠，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．15．为了庆祝红宝石婚纪念日，詹克和凯丽千家举行聚会．詹克忽然发现他的年龄的平方与凯丽年龄的平方的差，正好等于他的子女数目的平方，已知詹克比凯丽大一岁，现在他们都不到70岁．请问，当年结婚时，两个人各是多少岁?现在共有子女几人?（在西方，结婚40周年被称为红宝石婚，且该国的合法结婚年龄为16岁）16．有一只喜鹊正在一棵高3 m的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24 m且高为14 m的一棵大树上，巢距离大树顶部1m，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，便立即赶过去．如果它飞行的速度为5m／s，那么它至少需要几秒才能赶回巢中?。
勾股定理的逆定理练习题(有答案)
勾股定理的逆定理练习题1．小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。
小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是 。
2.在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？ 为什么？3.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
4.一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直？ 为什么？ 5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积。
6、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状 。
7、已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。
求：四边形ABCD 的面积。
第7题 8、根据下列条件，分别判断a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形 （1）a=7,b=24,c=25; (2) a=32,b=1,c=32（ 填序号 ）D9、已知ABC Δ的三边分别a,b,ca=22n m -,b=2mn,c=22n m +(m>n,m,n 是正整数)，ABC Δ是直角三角形吗？说明理由。
10、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。
已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？第10题11、如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=14BC ，求证：AF ⊥EF ．E NABC12、如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
八年级18.2 勾股定理的逆定理(专题课时练含答案)-
18.2 勾股定理的逆定理 (一)一、判断题(每小题3分,共12分)1.在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角.( )2.命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半.”的逆命题是真命题.( )3.勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形.( )4. △ABC 的三边之比是1：1：2，则△ABC 是直角三角形.( ) 二、认真选一选(每小题5分,共25分)1.△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ） A.如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形B.如果c 2= b 2—a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°C.如果（c ＋a ）（c －a ）=b 2，则△ABC 是直角三角形D.如果∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形 2.下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A.a =8，b =15，c =17B.a =9，b =12，c =15C.a =5，b =3，c =2D.a ：b ：c =2：3：43. 以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. 5cm ，12cm ，13cm B. 5cm ，8cm ，11cm C .5cm ，13cm ，11cm D. 8cm ，13cm ，11cm4. ⊿ABC 中，如果三边满足关系2BC =2AB +2AC ，则⊿ABC 的直角是（ ） A.∠ C B.∠A C.∠B D.不能确定 5. 三角形的三边长a 、b 、c 满足ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ） A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 二、请你填一填(每小题5分,共25分)1.若一个三角形的三边长分别是m +1，m +2，m +3，则当m = ，它是直角三角形.2.在⊿ABC 中，若5,7,252222==-=+c b a b a ，则最大边上的高为 .3.一个三角形的三边之比为13:12:5，且周长为60cm ，则它的面积是 2cm . 4.三角形的两边长为5和4，要使它成为直角三角形，则第三边的平方为 . 5.小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。
勾股定理的逆定理_习题训练(含答案)[2]
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勾股定理的逆定理一、基础·巩固1。
满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是（ )A.三内角之比为1∶2∶3 B 。
三边长的平方之比为1∶2∶3C 。
三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶52.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD∥BC，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18－2－4 图18－2－5 图18－2－63。
如图18－2－5,以Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3,且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4。
如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4,E 为AB 中点,F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 ， BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－76。
已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1(k＞1），求证：△ABC是直角三角形.二、综合·应用7。
18.2勾股定理的逆定理 测试(2)有答案
18.2勾股定理的逆定理测试（2）一、基础过关：1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为（）．A．16πB．12πC．10πD．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3、梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1mC．等于1m D．小于或等于1m4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图1所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．图1A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，且2a＝3b，c＝213，则a＝_____，b＝_____．6、如图2，矩形零件上两孔中心A、B的距离是_____（精确到个位）．图2图37、如图图3，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．二、能力挑战：8、某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图17－2－10所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成.要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树多少棵.图49、如图5，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，……，a n ，请求出a 2，a 3，a 4的值； （2）根据以上规律写出a n 的表达式．图510、已知：如图6，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC ，D 是垂足．求：AD 的长． 图611、如图7，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B 、A 两点，且知AB ＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？图7三、中考在线：12、图8甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。
18.2勾股定理逆定理(有答案)
18.2勾股定理逆定理课时练一、选择题1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.43,1,45 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5 C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶33.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D5、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形6、下列命题中是假命题的是( )．A ．△ABC 中,若∠B =∠C －∠A ,则△ABC 是直角三角形. B ．△ABC 中,若a 2=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形.C ．△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形.D ．△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形. 7、在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 二、填空题1、△ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .2、三边为9、12、15的三角形，其面积为 .3、已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c ，则此三角形为 三角形.4、在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm .5、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是6、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状 。
八年级数学：勾股定理的逆定理练习(含解析)
八年级数学：勾股定理的逆定理练习（含解析）一、选择题1. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且(a+b)(a-b)=c2,则()A. ∠A为直角B. ∠C为直角C. ∠B为直角D. △ABC不是直角三角形2. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()A. 三内角之比为1∶2∶3B. 三边长的平方之比为1∶2∶3C. 三边长之比为3∶4∶5D. 三内角之比为3∶4∶53. 下列几组数:①9,12,15,②8,15,17,③7,24,25,④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有()A. 1组B. 2组C. 3组 D. 4组4. 以下定理,其中有逆定理的是()A. 对顶角相等B. 互为邻补角的角平分线互相垂直C. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补D. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方5. 下列各组数中,是勾股数的是()A. 14,36,39B. 8,24,25C.8,15,17 D. 10,20,2616. 如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为()A. 90°B. 60°C.45° D. 30°7. 一个三角形三边长a,b,c满足|a-12|+√b-16+(c-20)2=0,则这个三角形最长边上的高为()A. 9.8B. 4.8C.9.6 D. 10评卷人得分二、填空题8. 如图所示,点A为小红家的位置,点B为小明家的位置,点C为学校的位置,三地之间的距离如图,已知学校在小明家的正西方向,则小红家在小明家的方向.9. 若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=时,这个三角形是直角三角形.10. 把命题“如果a>b,那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写为“如果……,那么……”的形式:11. 已知a,b,c是△ABC的三边,且满足|a-3|+√b-4+(c-5)2=0,则此三角形的形状是.评卷人得分三、解答题12. 在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度的方向以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?313. 如图所示,已知△ABC 的三边分别是a ,b ,c ,且a +b =4,ab =1,c =√14,试判断△ABC的形状.14. 如图所示的一块地,已知AD =4m,CD =3m,AD ⊥DC ,AB =13m,BC =12m,求这块地的面积.15. 如图,欲从一块三角形下脚料ADB 中截出一个形如△ACD 的工件,其中AD =5dm,AB =14dm,AC =10dm,CD =5√3dm,求剩余部分△ABC 的面积.16. 已知:如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =4,BC =6,CD =5,AD =3. 求四边形ABCD 的面积.四、证明题17. 已知:如图,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,且CD 2=AD ·BD . 求证:△ABC 是直角三角形.18. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,求证:BA⊥AD.参考答案1. 【答案】A【解析】因为(a+b)(a-b)=a2-b2=c2,所以b2+c2=a2.所以△ABC为直角三角形, ∠A为直角,故选A.2. 【答案】D【解析】A项中,由三角形内角和为180°可得,三个内角分别为30°,60°,90°,故此三角形是直角三角形.B项中,令三边长分别为a,b,c,则a2∶b2∶c2=1∶2∶3,∴a2+b2=c2,故满足此条件的三角形是直角三角形.C项中,a∶b∶c=3∶4∶5,设a=3k,则b=4k,c=5k,∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2=c2,∴是直角三角形. D项中的最大角为75°,故不是直角三角形.3. 【答案】D【解析】①中因为92+122=152,所以是勾股数;②中因为82+152=172,所以是勾股数;③中因为72+242=252,所以是勾股数;④中因为(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,所以是勾股数.故选D.4. 【答案】D【解析】A定理的逆命题是“相等的两个角是对顶角”,不正确;B定理的逆命题是“角平分线互相垂直的两个角是邻补角”,∵两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线也互相垂直,∴该逆命题不成立;C定理的逆命题是“如果两个角相等或互补,那么一个角的两边与另一个角的两边分别平行”,∵当两个角相等或互补时,一个角的两边与另一个角的两边可能分别垂直,∴该逆命题不成立;D定理的逆命题为勾股定理的逆定理.综上可知A,B,C三个定理均无逆定理,故选D.55. 【答案】C 【解析】确定勾股数只需验证两小数的平方和与大数平方是否相等. ∵142+362=1 492,392=1 521≠1 492,∴A 项不是勾股数; ∵82+242=640,252=625≠640,∴B 项不是勾股数; ∵82+152=289,172=289,∴C 是勾股数;∵102+202=500,262=676≠500,∴D 项不是勾股数.故选C.6. 【答案】C 【解析】连接AC ,观察图形易知AB =√32+12=√10, BC =√22+12=√5, AC =√12+22=√5,所以△ACB 为等腰三角形,又因为BC 2+ AC 2=AB 2, △ACB 为等腰直角三角形,所以∠ABC =45°.7. 【答案】C 【解析】∵|a-12|≥0,√b -16≥0,(c-20)2≥0,∴由题意得，a-12=0, b-16=0,c-20=0,则有a=12,b=16,c=20.∵a 2+b 2=122+162=400=202=c 2,∴该三角形为直角三角形,c 为斜边.设斜边上的高为h.由面积公式得12ab=12ch ,所以h=bb b=12×1620=9.6.8. 【答案】正北【解析】因为82+152=172,所以△ABC 为直角三角形,即AB 与BC 垂直.9. 【答案】2【解析】因为m +3>m +2>m +1,所以m +3为直角边,根据勾股定理得,(m +1)2+(m +2)2=(m +3)2,解得m =2或m =-2(舍去).所以m =2.10. 【答案】如果ac>bc (c ≠0), 那么a>b【解析】根据命题写出它的逆命题,即原命题的题设是逆命题的结论,原命题的结论是逆命题的题设.11. 【答案】直角三角形【解析】∵|a-3|≥0,√b-4≥0,(c-5)2≥0,结合题意得a-3=0,b-4=0,c-5=0.∴a=3,b=4,c=5,a2+b2=9+16=25=c2,∴△ABC是直角三角形.12. 【答案】如图,甲船航行的距离为BM=8×2=16(海里),乙船航行的距离为BP=15×2=30(海里).∵162+302=1 156=342,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP为直角三角形,且∠MBP=90°,∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.13. 【答案】∵a+b=4,ab=1,∴(a+b)2=42=16,即a2+b2+2ab=16,∴a2+b2=16-2ab=16-2×1=14,又∵c2=(√14)2=14,∴a2+b2=c2,又∵a,b,c是△ABC的三边,根据勾股定理得△ABC为直角三角形.714. 【答案】连接AC (如图).∵AD ⊥DC ,∴在Rt△ACD 中,由勾股定理得AC =√bb 2+bb 2=√42+32=√25=5 m.又∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2, ∴△ABC 为直角三角形,∴这块地的面积为S △ABC -S △ACD =12AC ×BC -12AD ×CD =12× 5×12-12×4× 3=24(m 2).15. 【答案】因为CD 2+AD 2=(5√3)2+52=100=AC 2, 所以△ACD 是直角三角形,且∠D =90°.在Rt△ABD 中,BD =√bb 2-bb 2=√142-52=3√19 (dm),所以BC =BD -CD =(3√19-5√3) dm,所以△ABC 的面积为12BC ·AD =12×(3√19-5√3)×5=15√19-25√32(dm 2).16. 【答案】如图,作DE ∥AB 交BC 于点E ,连接BD , 则可以证明△ABD ≌△EDB (ASA),∴DE =AB =4,BE =AD =3.∵BC =6,∴EC =BC -BE =3,∴EC =EB . ∵DE 2+CE 2=42+32=25=CD 2,∴△DEC 为直角三角形,∴∠DEC =90°. 又∵EC =EB =3,∴△DBC 为等腰三角形,∴DB =DC =5. 在△BDA 中,∵AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2, ∴△BDA 是直角三角形. 易得S △BDA =12×3×4=6,S △DBC =12×6×4=12,∴S △四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.17. 【答案】在Rt△ACD 和Rt△BCD 中, ∵AC 2=AD 2+CD 2,BC 2=CD 2+BD 2,∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2AD ·BD +BD 2=(AD +BD )2=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形.18. 【答案】延长AD 到点E ,使DE =AD ,连接BE .∵点D 是BC 的中点,∴BD =CD .在△ADC 和△EDB 中,CD =BD ,∠ADC =∠EDB ,AD =ED ,∴△ADC ≌△EDB ,∴EB =AC =13,AE =2AD =2×6=12.又∵AB =5,∴AB 2+AE 2=52+122=169=132=BE 2,∴△ABE 是直角三角形,且∠BAE =90°,∴BA ⊥AD .。
初中数学专题复习勾股定理的逆定理 精讲精练(含解答)
勾股定理逆定理基础知识精讲“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.重点难点解析重点：是对定理的内容掌握；难点：在于对定理的灵活运用及结合勾股定理及直角三角形相关知识解决问题.例1已知△ABC的三边为a,b,c,且a∶b∶c=1∶1∶2.求三内角的比.分析将比例通过设k，使线段量化后，再判断三角形是否为直角三角形，是解决已知三边或三边之比的问题常用的方法之一.解设a=b=k，则c=2k.a2+b2=2k2=c2∴△ABC为直角三角形，又a∶b=1∶1 a=b∴两锐角分别为45°,45°∴三内角比为1∶1∶2.例2如图3.17-1，△ABC中，∠A=30°,AB∶AC=2∶3,求证AC⊥BC.分析本题即是求证△ABC为直角三角形是∠C=90°.可考虑用勾股定理逆定理.因而要设法求出BC边.可考虑作AB边上的高，将△ABC分为两个直角三角形，Rt△ACD和Rt△BCD,再利用勾股定理及已知条件求出BC 的长.证 ∵AB ＞AC ∠C ＞∠B∴作CD ⊥AB 于D.设AB=2k ，则AC=3k(k ＞0), 在Rt △ACD 中，∠A=30°, AC=3k.∴AD=23k,CD=23k , AB=2k ∴BD=21k.在Rt △BCD 中 BC 2=CD 2+DB 2=k 2 ∴BC=k ∴BC ∶AB ∶AC=1∶2∶3,BC 2+AC 2=k 2+(3k)2=4k 2=AB 2 ∴△ACB 为直角三角形,∴AC ⊥BC.例3 求证：边长为m 2-n 2,m 2+n 2,2mn(m ＞n)的三角形是直角三角形 分析 只需证明最长边的平方等于另两边平方和即可，∵（m -n ）2≥0, ∴m 2+n 2≥2mn,m 2+n 2≥m 2-n 2,∴m 2+n 2为最长边. 证 (m 2+n 2)2=m 4+2m 2n 2+n 4(m 2-n 2)2+(2mn)2=m 4+n 4-2m 2n 2+4m 2n 2=m 4+2m 2n 2+n 4 ∴(m 2-n 2)2+(2mn)2=(m 2+n 2)2 ∴所构成三角形为直角三角形.例4 如图3.17-2，四边形ABCD 中，BA ⊥DA ，BA=2,DA=23,DC=3,BC=5,求∠ADC.图3.17-2分析 利用已知Rt △ABD,求出BD 的长和∠ADB 的度数，再验证△BDC 为直角三角形且∠BDC=90°是解决本题的基本思路.解 连BD ，∠A=90°,BA=2,DA=23 ∴BD=4. ∠ADB=30°,又DC=3，BC=5 ∴BD 2+DC 2=32+42=52=BC 2.∴△BCD 为直角三角形，∠BDC=90° ∴∠ADC=90°+30°=120°.难题巧解点拨例1 已知三角形ABC 中，AD 为中线，M 在AB 上，N 在AC 上，∠MDN=90°,若BM 2+CN 2=DM 2+DN 2，求证AD 2=41(AB 2+AC 2)(图3.17-3)图3.17-3分析 将中线延长一倍，从而将分散的各线段集中到一起，以便充分利用条件，是本题之关键，又由结论的式子结构看，若∠BAC=90°,则AD=21BC=2122AC AB +，则要证的结论显然成立.证 延长MD 至E ，使BD=DE.连CE ，NE ，NM ，则△BMD ≌△CED.BM=CE ， 又DN ⊥ME ，MD=DE∴MN=NE.DM 2+DN 2=MN 2 ∴DM 2+DN 2=NE 2 又DM 2+DN 2=BM 2+CN 2=EC 2+CN 2=NE 2∴∠ECN=90° △BMD ≌△CED. ∠B=∠BCE ∴AB ∥CE. ∴∠BAC=90°,AD 为中线，AD=21BC,AD 2=41BC 2=41(AB 2+AC 2). 例2 正△ABC 的边长为31225+，P 为形内一点，PC=5.且PA 2+PB 2=25，求PA ，PB.(图3.17-4)分析 将三角形内的点与顶点构成的三角形经过适当的旋转，转到形外，而将PA 、PB 、PC 集中到一个三角形来解决问题，是常用方法之一.解 将△APB 绕B 点顺时针旋转60°,得△BP ′C,则△ABP ≌△CBP ′ PB=P ′B ∠PBP ′=60°∴PP ′=PB,又P ′C=PA.PA 2+PB 2=25 PC=5 ∴PP ′2+P ′C 2=25=52=PC 2 ∴∠PP ′C=90°又∠PP ′B=60°∴∠BP ′C=150°,设PA=P ′C=x,PB=P ′B=y. 过B 作BD ⊥CP ′交CP ′延长线于D. ∴∠BP ′D=30° ∴BD=2y ,P ′D=23y. 在Rt △BDC 中BD 2+DC 2=BC 2 ∴(2y )2+(23y+x)2=BC 2=25+123. ∴x 2+y 2+3xy=25+123 又x 2+y 2=25. ∴xy=12. (x+y)2=25+24=49 ∴⎩⎨⎧=-=+17y x y x 或⎩⎨⎧-=-=+17y x y x(x-y)2=25-24=1 ∴⎩⎨⎧==34y x 或⎩⎨⎧==43y x∴PA,PB 的长为3,4.课本难题解答103页习题2 除3，4，5外，再找5组勾股数.分析 只要三边比满足3∶4∶5,即三边为3k 、4k 、5k(k 为正整数)的数均为勾股数，一般地，只要设⎩⎨⎧=-=+12b a m b a (m 为正奇数)或⎩⎨⎧=-=+222b a n b a (n 为正整数)求出a,b,则以a 、))((b a b a -+、b 为勾股数.同步练习一、判断(4分×6=24分)( )1.三边长为m 2+n 2,mn,m 2-n 2(m ＞n ＞0)的三角形是直角三角形. ( )2.三边比为1∶1∶2的三角形，有一个内角是60°. ( )3.△ABC 的三边为a,b,c 若a 2-b 2=c 2,则△ABC 为直角三角形.( )4.三边为a 、b 、c ，且满足a 3-a 2b+ab 2-ac 2-b 2+bc 2=0的三角形一定是直角三角形. ( )5.两边比为2∶1且一个角为30°的三角形是直角三角形.( )6.不等边三角形三边为整数，最长边为5，一边为3，则三角形必为直角三角形. 二、选择(6分×5=30分)1.下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有( )①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,16; ④32,42,52; ⑤2+1,2-1,6;⑥3+1,3-1,22.A.3组B.4组C.5组D.6组 2.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a -b)=c 2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形3.等腰三角形ABC 底边上的高AD=21BC ，AB=2，则△ABC 面积为( ) A.2 B.1 C.2 D.4 4.CD 为△ABC 的高且∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3,AB=m,则CD 等于( )A.2m B.43m C.4m D.23m 5.若一个三角形三边长均为奇数，则此三角形( )A.一定是直角三角形B.一定是等腰三角形C.一定不是直角三角形 C.一定不是等腰三角形 三、填空(5分×6=30分)1.勾股定理逆定理可用来判定一个三角形是否 .2.三角形三边比为1∶3∶2,则三内角比为 .3.等边△ABC 内一点P 与三顶点距离为PA=5，PB=3，PC=4，则∠BPC= .4.D 为△ABC 边AB 上一点，BC=AC=AD. ∠ACD=43∠ACB ，则AB ∶AC= . 5.D 为△ABC 边BC 上一点，AB=20，AC=13，AD=12，DC=5，则S △ABC = . 6.边长为7，24，25的△ABC 内有一点P 到三边距离相等，则这个距离为 . 四、解答题(8分×2=16分)1.△ABC 中，AC+BC=4，AC ·BC=1，AB=14，CD ⊥AB 于D.AB 中点为E ，求DE.2.CD 为△ABC 的边AB 上的高，且CD 2=AD ·BD ∠A=60°(图3.17-5). 求证AD=21AC=41AB.图3.17-5素质优化训练1.四边形ABCD 中，AB=7，BC=24，CD=20，对角线AC=25，E 为AC 的中点且EB=ED.求边AD 及四边形ABCD 面积.2.△ABC中，AB∶AC∶BC=2∶2∶2,直线l过A且平行于BC，D为l上一点，且BD=BC，BD交AC于E，求证：CD=CE.图3.17-6【生活实际运用】有一块四边形地ABCD(如图3.17-7)∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求该四边形地ABCD的面积？图3.17-7小结1.直角三角形边角关系定理为证明线段倍分关系、线段平方关系提供了理论依据；勾股定理及逆定理在几何证明与计算中应用非常广泛，熟悉常用的勾股数常能挖掘隐含条件.2.一些复杂的几何问题常常要分解为下述的基本图形及其基本结论来解决.(如图3.17-8)图3.17-8参考答案： 同步练习一、× × √ × × × 二、B A B B C三、1.为直角三角形 2.1∶2∶3 3.150° 4.2∶1 5.120 6.3 四、1.AC 2+BC 2=(AC+BC)2-2AC ·BC=16-2=14=AB 2∴△ABC 为Rt △CD 为斜边上的高，CE 为中线 ∴CE=214，CD=1414=⋅AB BC AC .DE 2=CE 2-CD 2=7241448141414==- ∴DE=4272. 2.AC 2=CD 2+AD 2 BC 2=CD 2+BD 2∴AC 2+BC 2=AD 2+BD 2+2CD 2.2CD 2=AD ·BD ∴AC 2+BC 2=AD 2+BD 2+2AD ·BD=AB 2 ∴△ABC 为Rt △.∵∠A=60° ∴∠B=30° ∴AD=21AC=41AB. 素质优化训练1.72+242=252 ∵AB=7,BC=24,AC=25∴AB 2+BC 2=AC 2. ∠ABC=90° AE=EC ∴BE=21AC=DE. ∴DE=EA=EC. ∴∠ADC=90° AD 2=AC 2-CD 2=252-202=225 AD=15.S ABCD =21(7×24+20×15)=84+150=234. 2.易知△ABC 中AB=AC ，∠BAC=90°,作AM ⊥BC 于M ，DF ⊥BC 于F.∵l ∥BC ∴AM=DF=21BC=21BD.(∵BD=BC) ∴∠DBC=30° ∴∠BDC=75°=∠BCD ∴∠ACB=45°∴∠ECD=30°，∠EDC=75° ∴∠CED=75°=∠EDC ∴CD=CE. 生活实际运用36平方米。
勾股定理的逆定理练习题
勾股定理的逆定理练习题勾股定理是数学中的一个基本定理，被广泛应用于几何学和物理学等领域。
它的形式简洁，但是应用广泛，可以解决很多实际问题。
在学习勾股定理的过程中，我们不仅要掌握它的原理和应用，还需要熟练掌握它的逆定理，即勾股定理的逆向推导。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固对勾股定理逆定理的理解和应用。
练习题一：已知一个直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设另一条直角边的长度为x，则有：5² = 3² + x²25 = 9 + x²x² = 16x = 4练习题二：一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长度。
解答：同样地，我们可以利用勾股定理来解决这个问题。
设另一条直角边的长度为y，则有：10² = 6² + y²100 = 36 + y²y² = 64y = 8练习题三：一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，求另一条直角边的长度。
解答：利用勾股定理，设另一条直角边的长度为z，则有：13² = 5² + z²169 = 25 + z²z² = 144z = 12通过以上三个练习题，我们可以看到逆定理的应用非常简单，只需要将勾股定理的公式稍作变形即可。
逆定理的掌握对于解决实际问题非常重要，因为在实际应用中，我们经常会遇到已知斜边和一条直角边，需要求解另一条直角边的情况。
除了直角三角形，勾股定理的逆定理在其他几何形状中也有应用。
例如，在长方形中，如果我们已知长方形的对角线长度和一条边的长度，可以通过逆定理求解另一条边的长度。
同样地，在正方形、菱形等几何形状中也可以应用逆定理来求解未知边长。
总结起来，勾股定理的逆定理是一个非常实用的工具，它可以帮助我们解决很多实际问题。
人教版八年级下册18.2 勾股定理的逆定理同步练习
第2节勾股定理的逆定理※题型讲练1．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c 满足，那么这个三角形是．注意：(1)该定理的条件是，结论是；(2)勾股定理的逆定理实质是直角三角形的定理．2．勾股数如果对于三个a，b，c满足a2＋b2＝c2，则称这三个数a，b，c为一组；注意：(1)常见的勾股数有：；(2)结论：若a，b，c为一组勾股数，则ka，kb，kc也是勾股数. 3．互逆定理若一个定理的是正确的，则它就是这个定理的逆定理．※题型讲练考点一用勾股定理逆定理判定直角三角形(一)【例1】1．已知下列三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有()A．②B．①②C．①③D．②③2．在△ABC中，若AB＝5，BC＝6，BC边上的中线AD＝4，则∠ADC的度数是.3．根据下列条件，分别判断以a、b、c为三边的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(1)a＝5，b＝6，c＝7；(2) a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2变式训练1：1．下列各组数据中的三个数是勾股数的是()A．3，4， 5 B．1，2， 3C．6，7，8 D．8，15，172．已知a、b、c分别为△ABC的三边长，且|a－12|＋(c－13)2＋b2－10b＋25＝0，则△ABC的形状是．3．已知：平面直角坐标系中，点A(0，2)、B(2，1)、C(4，5)，判断△ABC的形状，并说明理由．考点二用勾股定理逆定理判定直角三角形(二)【例2】1．若△ABC的三边a、b、c，满足(a－b)(a2＋b2－c2)=0，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形2．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形. 变式训练2：1．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是( )A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果(c＋a)(c－a)=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形2．如图，E，F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB＝4，4CE＝BC，F为CD的中点，连接AF，AE，EF，问：△AEF是什么三角形？请说明理由．考点三勾股定理及其逆定理应用【例3】1．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5.则DC的长是．2．如图是一块地的平面图，AD＝12 m，CD＝9 m，AB＝39 m，BC＝36 m，∠ADC＝90°，则这块地的面积．变式训练3：1．一块试验田的形状如图所示，已知∠B＝90°，AB＝4 m，BC＝3 m，AD＝12 m，CD＝13 m．则该试验田的面积是m2．2．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AC边上的一点，CD＝9，BC＝15，BD＝12.(1)求证：△BCD是直角三角形；(2)求△ABC的面积．考点四勾股定理综合问题【例4】观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，请用含n的代数式表示此规律并证明．变式训练4：1．已知：在平面直角坐标系中，点A(0，2) 、B(4，3)，点C是x轴上一动点，则线段AC＋BC的最小值是41，此时点C的坐标为.2．如图，有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为BC=6m，AC=8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．※课后练习1．下列四条线段不能组成直角三角形的是( )A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15C．a=5，b=3，c= 2 D．a：b：c=2：3：42．在△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝15cm，则△ABC的面积等于()A．108cm2B．54cm2C．180cm2D．90cm23．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c，且(a＋b)(a－b)－c2＝0，则()A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．不能确定4．设一个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边上的高为h，斜边为c，则以c+h，a+b，h为边长的三角形是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不能确定5．在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为()A．1 B．2 C．3 D．46．木工许师傅做了一个长方形桌面，经测量得到桌面的长为90cm，宽为48cm，对角线长为108cm，则这个桌面(填“合格”或“不合格”)．7．若△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则AD与BC的位置关系是.8．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式c2－a2－b2＋||a－b＝0，则△ABC的形状为．9．如图1，把三角形纸片折叠，使点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2 3 cm，则△ABC的边BC的长为cm.10．如图2，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm(杯壁厚度不计)图1 图211．已知a、b、c分别为△ABC的三边长，根据下列条件，分别判断△ABC的形状，并说明理由：(1)若a、b、c满足：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c；(2)若a、b、c满足：a+b=4，ab=1，c=14．12．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了工具，测得：∠B=90°，AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，请你帮小明计算结果．13．如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C为格点．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求BC边上的高．14．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2345…a 22－132－142－152－1…b 46810…c 22＋132＋142＋152＋1…(1)n(n＞1)的式子表示：a＝，b＝，c＝；(2)猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．。
勾股定理逆定理练习题
《勾股定理的逆定理》练习一、选择——基础知识运用1．在△ABC 中，AB=√2，BC=√5，AC=√3，则（ ）A ．∠A=90°B ．∠B=90°C ．∠C=90°D ．∠A=∠B2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ）A ．如果∠A-∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2=b 2-c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠C=90°C ．如果∠A ：∠B ：∠C=1：3：2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2：b 2：c 2=9：16：25，那么△ABC 是直角三角形3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）A ．a=1，b=2，c=3B ．a=4，b=2，c=3C ．a=4，b=2，c=5D ．a=4，b=5，c=34．已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1：√2；②三角形的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的一半。
其中直角三角形有（ ）个。
A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）A ．∠A+∠C=∠B B ．a=13，b=14，c=15C ．（b+a ）（b-a ）=c 2D ．∠A ：∠B ：∠C=5：3：2二、解答——知识提高运用6．一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm ，求它的面积。
7．如图所示，在四边形ABCD 中，AB=2√5，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD 的面积。
8．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角。
工人师傅量得这个零件各边长如图2所示。
（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？（2）求这个零件的面积。
9．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？简述你的作法，并说明理由。
勾股定理逆定理典型题练习1(可编辑修改word版)
勾股定理逆定理典型题一、选择题：1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）.A．12，15，17 B．9，16，25 C．5a，12a，13a（a>0）D．2，3，42．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为A 56B 48C 40D 3213.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结论不正确的是（）.A．△ABC是直角三角形，且AC 为斜边B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90° C．△ABC的面积是60 D．△ABC 是直角三角形，且∠A＝60° 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（）.A．∠A＝∠B－∠C B．∠A：∠B：∠C ＝1：1：2C．a：b：c＝4：5：6 D．a2－c2＝b2二、填空题：5.写出一组全是偶数的勾股数是.6.若一三角形铁皮余料的三边长为 12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为cm2.7.如图1，一根电线杆高8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m 处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面（填“垂直”或“不垂直”）.8.一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深16cm.今有一根长为22cm 的吸管如图2 放入杯中，露在杯口外的长度为2cm，则这玻璃杯的形状是体.图1 图29.若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13 的边上的高是.10、三角形的三边长为(a +b)2=c 2+ 2ab ,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形.11、△ABC的三边为a、b、c 且(a+b)(a-b)=c2，则( )A.a 边的对角是直角B.b 边的对角是直角C.c 边的对角是直角D.是斜三角形12、已知x - 6 + y - 8 + (z -10)2= 0 ,则由此x, y, z 为三边的三角形是三角形.13、欲登12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5 米，梯子至少需要米.三、解答题1.判断由下列各组线段 a、b、c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由. （1）a＝6.5，b＝7.5，c＝4；（2）a＝11，b＝60，c＝61；（3）a＝8 ，b＝2，c＝10 ；（4）a＝33 ，b＝2，c＝41 ；3 34 42.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是 a、b、c. a＝n2－16，b＝8n，c＝n2+16（n>4）.求证: ∠C=90°.3.如图 3，AD=7，AB＝25，BC＝10，DC＝26，DB＝24，求四边形 ABCD 的面积.A D4.如图4，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9. 图3(1)求DC 的长.(2)求AB 的长. C(3)求证: △ABC是直角三角形.A D B图45. 已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求 BC 的长．6. 已知：如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，求证：BC⊥BD．。
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18.2 勾股定理的逆定理 达标训练一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18－2－4 图18－2－5 图18－2－63.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－76.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.二、综合·应用7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.图18－2－89.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18－2－910.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.图18－2－10参考答案一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半. 由A 得有一个角是直角；B 、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18－2－4解：过D 点作DE ∥AB 交BC 于E, 则△DEC 是直角三角形.四边形ABED 是矩形，∴AB=DE.∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022=- cm.∴AB=3551022=- cm.3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.图18－2－5 图18－2－6 思路分析：因为△ABC 是Rt △，所以BC 2+AC 2=AB 2,即S 1+S 2=S 3，所以S 3=12，因为S 3=AB 2,所以AB=32123==S . 答案：324.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状. 思路分析：分别计算EF 、CE 、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：∵E 为AB 中点，∴BE=2.∴CE 2=BE 2+BC 2=22+42=20.同理可求得,EF 2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+42=25.∵CE 2+EF 2=CF 2,∴△EFC 是以∠CEF 为直角的直角三角形.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－7思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB 和△DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在△ABD 中，AB 2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2，所以△ABD 为直角三角形，∠A =90°. 在△BDC 中,BD 2+DC 2=52+122=25+144=169=132=BC 2.所以△BDC 是直角三角形，∠CDB =90°.因此这个零件符合要求.6.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵k 2+1>k 2－1,k 2+1－2k=(k －1)2>0,即k 2+1>2k ，∴k 2+1是最长边.∵(k 2－1)2+(2k )2=k 4－2k 2+1+4k 2=k 4+2k 2+1=(k 2+1)2,∴△ABC 是直角三角形.二、综合·应用7.已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边长，△A 1B 1C 1的三边长分别是2a 、2b 、2c ，那么△A 1B 1C 1是直角三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.解：略8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.图18－2－8思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.∴△ABC是直角三角形.9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18－2－9思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,∴OA2+AB2=O B2.∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰三角形或直角三角形.11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.∴a－5=0,b－12=0,c－13=0.解得a=5,b=12,c=13.又∵a2+b2=169=c2,∴△ABC是直角三角形.12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.图18－2－10思路分析：（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）,∴DE=AB=4，BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3.∵DE 2+CE 2=32+42=25=CD 2, ∴△DEC 为直角三角形.又∵EC=EB=3,∴△DBC 为等腰三角形，DB=DC=5. 在△BDA 中AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2, ∴△BDA 是直角三角形.它们的面积分别为S △BDA =21×3×4=6;S △DBC =21×6×4=12. ∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.。