微分中值定理在不等式证明中的应用
中值定理及函数应用
拉格朗日中值定理的名称来源于法国数学家拉格朗日，他在18世纪中叶证明了 这一定理。该定理是微分学中的基本定理之一，是解决各种问题的关键工具。
柯西中值定理
总结词
柯西中值定理是微分学中的又一重要定理，它指出如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且在该区间 内至少存在一点，使得两个函数的导数之比等于这两个函数在该点的函数值之比，则在该区间内至少存在一点， 使得该点的导数等于两个函数在该点的函数值的商的导数。
中值定理及函数应用
目 录
• 中值定理简介 • 中值定理的应用 • 函数的应用 • 中值定理与函数的应用实例 • 中值定理与函数的应用前景
01 中值定理简介
罗尔定理
总结词
罗尔定理是微分学中的基本定理之一，它指出如果一个函数 在闭区间上连续，在开区间上可导，且在区间的两端取值相 等，则在开区间内至少存在一点，使得该点的导数为零。
极值的计算
通过求导数，找到导数为0的点，然后判断该点两侧的函数值变化情况，确定是否为极值 点，并计算出极值。
函数的单调性
单调性的概念
单调性是指函数在某个区间内单调增加或单调减少的性质。
单调性的判定
通过一阶导数来判断函数的单调性，当一阶导数大于0时，函 数在该区间内单调增加；当一阶导数小于0时，函数在该区间
在物理学中，中值定理的应用非常广泛。例 如，在研究热力学中的热传导和热辐射时， 可以利用中值定理来推导一些重要的结论。
03 函数的应用
函数的极值
极值的概念
极值是函数在某点附近取得的最大或最小值，它反映了函数在某一点上的变化率。
极值的判定
通过一阶导数和二阶导数来判断函数的极值，当一阶导数等于0且二阶导数大于0时，函 数在该点取得极小值；当一阶导数等于0且二阶导数小于0时，函数在该点取得极大值。
微分中值定理的证明及其应用
微分中值定理的证明及其应用[摘要摘要] ] ] 微分中值定理是微分学的基本理论微分中值定理是微分学的基本理论微分中值定理是微分学的基本理论,,也是微分学的理论基础。
数学分析中基础。
数学分析中,,介绍了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理。
本文主要探讨微分中值定理的几何意义及证明过程中辅助函数的构造辅助函数的构造,,结合教学过程中出现的问题结合教学过程中出现的问题,,通过具体实例探讨微分中值定理在函数性态各方面的应用。
微分中值定理在函数性态各方面的应用。
[关键词关键词] ] ] 中值定理中值定理中值定理 辅助函数辅助函数 根的存在性根的存在性 待定系数法待定系数法 数学分析中数学分析中,,一般在证明罗尔定理的基础上一般在证明罗尔定理的基础上,,通过构造辅助函数通过构造辅助函数,,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明。
其关键是如何构造辅助函数结论得出拉格朗日定理的证明。
其关键是如何构造辅助函数,,一旦辅助函数构造出来辅助函数构造出来,,余下的问题便容易解决了。
余下的问题便容易解决了。
首先介绍微分中值定理的几何意义和辅助函数的构造及定理的证明。
证明。
一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨若函数在闭区间上连续若函数在闭区间上连续,,其图形是一段连续的曲线弧。
当在区间两个端点的函数值相等两个端点的函数值相等((即)时,线段ab 平行于轴平行于轴,,其斜率为零。
若函数在内每一点都可导函数在内每一点都可导,,对应曲线弧上每一点都有切线对应曲线弧上每一点都有切线,,此时此时,,从图可以看出可以看出,,在曲线弧上在曲线弧上,,至少可以找到一点m,m,弧在此点的切线与线弧在此点的切线与线段ab 平行平行,,即切线的斜率为零。
若记m,m,则切线则切线mt 的斜率为的斜率为,,且。
且。
上述的几何直观进行归纳上述的几何直观进行归纳,,得到如下定理得到如下定理: :定理1:(1:(罗尔定理罗尔定理罗尔定理) )若函数满足下列三个条件若函数满足下列三个条件: :(1)(1)在闭区间上连续在闭区间上连续在闭区间上连续;(2);(2);(2)在开区间内可导在开区间内可导在开区间内可导;(3);(3);(3)。
(整理)微分中值定理的证明与应用
微分中值定理的证明与应用B09030124 孙吉斌一 中值定理及证明：1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f 罗尔中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续；（ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导；（iii ）)()(b f a f =，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0。
证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。
(ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。
注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。
例如： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-<=2x 1,11x 2,01|x |,x F(x)x易见，F 在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F （2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 0)(='ξF注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0x ,sin x f(x)x 142在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然⎪⎩⎪⎨⎧=-='0x 0,cos sin 2x sin 4x (x)f x 1x 1x 1232在（-1，1）内存在无限多个 n c =)(21z n n ∈π使得)(n c f '=0。
数学分析中几类证明不等式的方法
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２㊀数学分析中几类证明不等式的方法数学分析中几类证明不等式的方法Һ郭㊀鑫㊀（天津师范大学，天津㊀３００２２２）㊀㊀ʌ摘要ɔ在学习数学分析时我们常会见到一些不等式，当然，其中有一些著名的不等式无论是在解题还是在实际应用中都有重要的作用．笔者认为解决这些不等式的证明应该先找到对应的数学分析知识点，所以，本文中结合数学分析的知识点列举了四种常用的证明不等式的思路．本文中在每一种方法后附加了例题及解答，一些题目是选择了教材上的典型例题，还有一些是考研题目及其改编．不等式的证明往往有多种证明方法，还望读者多思考出更多不同的证明方法．ʌ关键词ɔ不等式；数学分析；积分；证明为了加深对数学分析中不等式证明的理解和掌握，本文在数学分析的基础上研究并整理了几种证明不等式的方法，也节选了典型例题辅助讲解．本文属于综述型论文，归纳总结了前人的理论成果并加上自己的理解与补充，希望本文可以帮助读者对于不等式问题有初步的解题思路，并借此探索更多的关于不等式的证明方法．一㊁几个著名不等式（一）Ｊｅｎｓｅｎ不等式如果ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，那么对任何ｘｉɪ［ａ，ｂ］，λｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），ðｎｉ＝１λｉ＝１有ｆ（ðｎｉ＝１λｉｘｉ）ɤðｎｉ＝１λｉｆｘｉ()．证明㊀当ｎ＝１时，结论显然成立；当ｎ＝２时，由凸函数的定义可以知道ｆ（λ１ｘ１＋λ２ｘ２）ɤλ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）成立．假设ｎ－１时命题成立，则对任意ｘ１，ｘ２， ，ｘｎɪ［ａ，ｂ］，以及λｉ＞０，ðｎｉ＝１λｉ＝１，令μｉ＝λｉ１－λｎ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ－１），可以得到μ１＋μ２＋ ＋μｎ－１＝１，由归纳假设得ｆðｎ－１ｉ＝１μｉｘｉ()ɤðｎ－１ｉ＝１μｉｆ（ｘｉ），所以ðｎｉ＝１λｉｘｉ()＝ｆ(（１－λｎ）㊃λ１ｘ１＋λ２ｘ２＋ ＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎ＋λｎｘｎ)ɤ（１－λｎ）㊃ｆλ１ｘ１＋λ２ｘ２＋ ＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎæèçöø÷＋λｎｆ（ｘｎ）ɤ（１－λｎ）㊃［μ１ｆ（ｘ１）＋μ２ｆ（ｘ２）＋ ＋μｎ－１ｆ（ｘｎ－１）］＋λｎｆ（ｘｎ）＝λ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）＋ ＋λｎｆ（ｘｎ）．由数学归纳法可知原命题成立．例１㊀求证：（ａｂｃ）ａ＋ｂ＋ｃ３ɤａａｂｂｃｃ，其中ａ，ｂ，ｃ均为正数．提示㊀令ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，运用Ｊｅｎｓｅｎ不等式即证．（二）平均值不等式任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎɤｎａ１ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆᵡ（ｘ）＜０，从而ｆ（ｘ）为凹函数，所以由Ｊｅｎｓｅｎ不等式可得ｆａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎæèçöø÷ȡｆ（ａ１）＋ｆ（ａ２）＋ ＋ｆ（ａｎ）ｎ，即ｌｎｎａ１ａ２ ａｎ＝１ｎ（ｌｎａ１＋ｌｎａ２＋ ＋ｌｎａｎ）ɤｌｎａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．因为ｆ（ｘ）为增函数，所以ｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ，同理ｎ１ａ１㊃１ａ２㊃ ㊃１ａｎȡ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎｎ，即得结论．注：此题还可运用条件极值证明．（三）Ｓｃｈｗａｒｚ不等式若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ．证明㊀因为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，所以ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，从而ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ））２ｄｘ＝ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａ２ｔｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａｔ２ｇ２（ｘ）ｄｘȡ０，（∗）将（∗）式看作自变量ｔ的一元二次函数，则Δ＝４ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２－４ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘɤ０，结论得证．推论㊀（柯西不等式）对任意ａｉ，ｂｉ有ðｎｉ＝１ａｉｂｉ()２ɤðｎｉ＝１ａｉ２㊃ðｎｉ＝１ｂｉ２．例２㊀若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）都在［ａ，ｂ］上可积，则有闵可夫斯基（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）不等式：ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））２ｄｘ[]１２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ[]１２＋ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ[]１２．提示㊀不等式两边平方，化简，利用Ｓｃｈｗａｒｚ不等式．（四）Ｈａｄａｍａｒｄ不等式设ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的连续凸函数．求证：ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．提示㊀利用凸函数的性质，证明详细过程见下页．二㊁利用函数单调性与极值解决不等式问题（一）利用单调性解决不等式问题函数的单调性是较为简单直接的证明不等式的方法，对于可导函数ｆ（ｘ）可以通过ｆᶄ（ｘ）的正负判断ｆ（ｘ）的增减性，从而利用具体自变量的取值得到不等式．此类题目的关键在于构建合适的ｆ（ｘ）．（例题中涉及几类常用的构造函数的方法）㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀㊀例３㊀（若尔当不等式）设０＜ｘɤπ２，则２πɤｓｉｎｘｘ＜１．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｘ，则ｆᶄ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２；再令ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ，则ｇᶄ（ｘ）＝－ｘｓｉｎｘ＜０，从而ｇ（ｘ）递减．又因为ｇ（０）＝０，所以ｇ（ｘ）＜０，则有ｆᶄ（ｘ）＜０，即ｆ（ｘ）递减．又因为ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝１，且ｆπ２()＝π２，所以，由ｆ（ｘ）的单调性可得２πɤｓｉｎｘｘ＜１．（二）利用极值与最值解决不等式问题对于在定义域内不单调的函数，极值和最值是解决这类函数不等式的一个突破口，构造合适的函数利用极值的定义来证明．例４㊀（利用条件极值）任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎɤｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．证明㊀下面只证明ｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ（另一不等号的证明见上一页）．设ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ＝ａ（∗），ｆ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ）＝ｘ１ｘ２ ｘｎ，则只需证在条件（∗）下ｆ（ｘ）的最大值为ａｎｎｎ．令Ｌ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ，λ）＝ｘ１ｘ２ ｘｎ＋λ（ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－ａ），则Ｌｘｉ＝ｘ１ ｘｉ－１ｘｉ＋１ ｘｎ＋λ＝０，Ｌλ＝ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－ａ＝０，{解得λ＝－ｎａ（ｘ１ｘ２ ｘｎ）；ｘｉ＝ａｎ．又因为ｆ（ｘ）有上界，所以所求点为最大值点，即最大值为ａｎｎｎ，结论得证．三㊁利用微分中值定理和泰勒公式解决不等式问题（一）利用拉格朗日定理解决不等式问题拉格朗日定理可以将函数在区间端点的函数值与导函数在某一点的值联系起来，从而利用单调性或已知条件得到不等式．例５㊀求证：ｂ－ａｂ＜ｌｎｂａ＜ｂ－ａａ，其中０＜ａ＜ｂ．证明㊀原不等式等价于１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ，由拉格朗日定理，得ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＝１ξ，其中ξɪ（ａ，ｂ）．因为１ｂ＜１ξ＜１ａ，所以１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ．（二）利用柯西定理解决不等式问题对于已知两个函数的端点函数值问题可利用柯西定理转换成导数比值形式，从而化简不等式．例６㊀设ｘ＞０，求证：２ａｒｃｔａｎｘ＜３ｌｎ（１＋ｘ）．证明㊀原不等式等价于ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２；∀ｘ＞０，在［０，ｘ］上由柯西中值定理，得∃ξɪ（０，ｘ），使得ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ－ａｒｃｔａｎ０ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）＝１＋ξ１＋ξ２，设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ１＋ｘ２，则ｆᶄ（ｘ）＝１－２ｘ－ｘ２（１＋ｘ２）２，所以ｆ（ｘ）在ｘ＝２－１时取极大值（最大值），２＋１２＜３２，所以１＋ξ１＋ξ２＜３２，即ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２，结论得证．（三）利用泰勒公式解决不等式问题对于一些不等式中涉及高阶导数及其范围的问题，可尝试利用泰勒公式的近似展开式，而利用泰勒公式的重点在于找到一个合适的点展开．四㊁函数凹凸性（一）函数凹凸性的简单推论推论１㊀ｆ（ｘ）为凸函数的充要条件为：对于定义域上，任意ｘ１＜ｘ２＜ｘ３，则有ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ｘ２－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ１）ｘ３－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）ｘ３－ｘ２．推论２㊀（此推论及其变形适用于许多涉及一阶导数的不等式证明）可导函数为凸（凹）函数当且仅当任意ｘ１，ｘ２有ｆ（ｘ２）ȡｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１）（ｆ（ｘ２）ɤｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１））．推论３㊀若ｆ（ｘ）为二阶可导函数，则ｆ（ｘ）是凸函数的充分必要条件为ｆᵡ（ｘ）ȡ０．（此命题适用于涉及二阶导数的不等式证明）推论４㊀ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，则ｆ（ｘ）ȡ２ｆａ＋ｂ２()－ｆ（ａ）－ｆ（ｂ）．（二）运用函数凹凸性证明不等式例７㊀证明Ｈａｄａｍａｒｄ不等式．证明㊀设ｘ＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ＝（ｂ－ａ）ｔ＋ａ，则１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ．同理可得１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ．因为ｆ（ｘ）为凸函数，所以１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔɤʏ１０（１－ｔ）ｆ（ａ）＋ｔｆ（ｂ）ｄｔ＝ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２，且１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝１２ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ＋１２ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ＝ʏ１０１２ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］＋１２ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔȡʏ１０ｆ[１２（１－ｔ）ａ＋ｔ２ｂ＋ｔ２ａ＋１２（１－ｔ）ｂ]ｄｔ＝ｆａ＋ｂ２()，所以ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．不等式的解法有许多，以上几种方法需要在数学分析的基础上研究不等式．在学习过程中抓住每种方法的要点并掌握相应的数学分析的基础知识才是关键．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］陈守信．考研数学分析总复习：精选名校真题：第５版［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１８．［３］徐利治，王兴华．数学分析的方法及例题选讲：第２版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１５．［４］蒙诗德．数学分析中证明不等式的常用方法［Ｎ］．赤峰学院学报（自然科学版），２００９（０９）：２０－２２．［５］舒斯会．数学分析选讲［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００７．［６］林源渠，方企勤．数学分析解题指南［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００３．。
微分中值定理的证明以及应用
微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-） 显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如 函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题 设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例 函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明 设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如 函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明： 设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解： 令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明： 在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明： 设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. (1): 11-13.[8] 李阳, 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011.(3): 13-18.。
高等数学 中值定理及其应用
3. 积分中值定理及其应用
一、微分中值定理
定理1 (Fermat引理) 若函数f (x)在点x0处可导且
取得极值, 则 f (x0 ) 0.
定理2 (Rolle定理) 若函数 f (x) 满足: (1) 在闭区间[a,b] 上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; y
(3) f (a) f (b),
(2) 反证 假设x (0,1), 都有f (x) 2. 任取 t (0, ), 对 f (x)用拉格朗日中值定理知, c (t,), 使得
f (t) f (t) f ( ) f (c)(t ) 2(t ),
于是
f ( )
f (t)dt 2 (t )dt
0
0
2 1.
此与 f ( ) 1矛盾, 因此结论成立.
g(x) f ( ) f (x), x [0,1].
则g(x)在[0,1]上非负连续, 且g(0) f ( ) 0. 所以
1
1
0 0 g(x)dx f ( ) 0 f (x)dx,
于是 f ( ) 1, 故 (0,1). 由费马引理知f ( ) 0.
(2) (0,1), 使得f () 2.
sin x x x3 o( x3 ), 3!
lim x0
e
x
sin
x
x(1 x3
x)
x x2 x3 x3 o( x3 ) x(1 x)
lim
x0
lim
x0
x3 3
2!
o( x3 ) x3
3! x3
1. 3
2. 在等式或不等式证明中的应用 例1. 证明等式 arcsin x arccos x .
从而 x ln(1 x) x. 1 x
微分中值定理的应用
导数是研究可微函数及进行经济分析的有力武器,但导数的直接应用是很有限的,它主要的应用是通过微分中值定理来实现的,而微分中值定理的应用在微分学中是极其重要的,且运用广泛。
微分中值定理建立了函数的导数与函数的差值之间的具体联系,提供了他们可以相互转化的条件,而成为用函数的导数研究函数性质的一个有力工具。
函数的某种性质,凡是可以用函数的某种差值来表达的,就有可能通过中值定理转化为导数的一种性质,从而可以应用导数来研究函数。
一、微分中值定理证明等式在微分中值定理的应用中,利用定理证明:存在一点使得所给等式成立,是一类重要的题型。
此类问题的关键是构造辅助函数,为寻求辅助函数,通常用移项的方法(即将被证明等式一端的项全部移到另一端);或将等式变形,变形后用逆推的方法。
例1已知在f(x)[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(1)=0且,求证在(0,1)内至少存在一点ξ,使得ξf'(ξ)=-f(ξ)。
证明:令F(x)=xf(x),显然f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,由罗尔定理知,在(0,1)内至少存在一点ξ,使得:F'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0,即ξf'(ξ)=-f(ξ)。
此题可见,此类题目主要问题是构造辅助函数,选用合适的辅助函数才能使题目得证。
但在多数问题中,并不是应用一次中值定理就能解决问题,而是要多次应用各种中值定理来解决问题,此类题目复杂多变,我们可掌握规律,灵活运用定理,学会选用辅助函数。
二、微分中值定理证明不等式例2证明不等式x 1+x<ln(1+x)<x,对一切x>0成立。
证明:由于f(x)=ln(1+x)在(0,∞)上连续,在(0,∞)内可导,对任何x>0,在[0,∞)上应用拉格朗日中值定理,存在ξ∈(0,x),使f(x)-f(0)=f'(ξ)x由f(0)=ln(1+0)=0,所以ln(1+x)=x 1+ξ。
微分中值定理及其应用技术
第五章 微分中值定理及其应用引言本章，我们将利用微分学理论进一步研究函数高一级的分析性质。
我们知道，函数是数学分析的研究对象，因此，刻划函数的各种分析性质、揭示函数的几何特征，是认识、了解函数的主要手段，特别是通过几何特征更能直观地认识、了解和研究函数。
到目前为止，我们已经了解了函数的连续性，已经掌握了用导数讨论函数的连续性和求曲线的切线，显然，这远远不能用来精确刻划函数，不能解决更复杂的函数的问题，如单调性、零点 、渐进性等，因此，必须发展更高级的工具和理论，研究函数更高级的分析性质。
我们知道，导数是更高一级的分析性质，因此， 我们自然期望用导数这一工具去分析、解决这些问题。
另外，进一步分析我们知道：导数只是反映函数在一点的局部特征，而我们往往要了解函数的整体性态，这也需要我们研究导函数的性质。
因此，我们期望用导数更进一步揭示函数的分析性质，以便更精确地刻划函数，这正是本章的目的。
本章的主要内容是微分中值定理，它不仅是研究函数性质的有力工具，更在后续课程中有着非常重要的作用，可以说，它是微分学的核心。
本章以研究导函数性质为主线，围绕微分中值定理及其应用展开讨论。
§1 微分中值定理一、 Fermat 定理先引入函数的极值概念。
设函数f （x ）在区间I 上有定义，0x I ∈。
定义 1.1 若存在0x 的邻域0(,)U x I δ⊂，使得对于任意的0(,)x U x δ∈，有0()()f x f x ≥，则称点0x 为f (x )在区间I 上的一个极大值点，称f （0x ）为相应的极大值。
类似，若存在0x 的邻域0(,)U x δ，使得对于任意的0(,)x U x δ∈，有0()()f x f x ≤，则称点0x 为f (x )在区间I 上的一个极小值点，称f （0x ）为相应的极小值。
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
注、从定义可知，极值是局部概念。
注、极值（点）不唯一。
微分中值定理及应用综述
微分中值定理及应用综述谢娟 09211045江苏师范大学 数学与统计学院 徐州 221116摘 要：微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。
它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁和基石.本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明，介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，后又在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明.关键词：微分中值定理；关系；应用引言微分中值定理是微分学的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，应用十分广泛.1 浅谈微分中值定理1.1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的定理, 它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下:1.1.1 罗尔定理如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导;( 3) 在区间端点的函数值相等, 即()()f a f b =, 那么在区间(),a b 内至少有一点ε()a b ε<< , 使函数()y f x =在该点的导数等于零, 即()/0f ε=几何分析在（图1） 中可见()y f x =曲线在[],a b 上是一条连续光滑的曲线, 曲线()y f x =在(),a b 内处处有切线且没有垂直于x 轴的切线.在曲线的两端点一般高(罗尔定理的三条件在平面几何中成立), 因而在(),a b 内曲线()y f x =至少有一点处的切线平行于x 轴(罗尔定理的结论成立,/()0f x =).通过对罗尔定理的几何分析, 抽象的罗尔定理得到了具体化(这也反应了数学的一般思想, 抽象思维具体化)。
微积分在不等式证明中的应用探究
微积分在不等式证明中的应用探究微积分是一门非常重要的数学分支，其在数学、物理、工程以及经济学等各个领域都有广泛的应用。
在不等式证明中，微积分也有着很大的作用，可以帮助我们更好地理解和证明不等式。
本文将探讨微积分在不等式证明中的应用。
一、不等式证明的基本思路不等式证明是数学中的一个重要问题，它的基本思路是通过变形来证明不等式的成立。
通常，我们可以将不等式转化成一个函数的形式，然后利用微积分的思想对函数进行研究，进而得到不等式的证明。
二、微积分在不等式中的应用微积分在不等式证明中有着广泛的应用，下面列举几个例子来说明。
1. 极值法极值法是一种常用的证明不等式的方法。
当我们要证明一个不等式时，我们可以先找到函数的极值点，然后利用函数在极值点处的取值来说明不等式成立。
具体实现方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。
我们可以通过求解f(x)的导数来找到极值点。
假设f(x)的导数为0，即f'(x)=0，则f(x)在x处取得极值。
根据极值的定义，我们知道当f(x)在极值点处取到最大值或最小值时，不等式a≤f(x)≤b都会成立。
例如，要证明不等式sinx≤x（0≤x≤π/2），我们可以定义函数f(x)=x-sinx，然后求出f'(x)=1-cosx。
当f'(x)=0时，即cosx=1，这时f(x)的极小值为0，因此sinx≤x成立。
2. 积分法积分法也是证明不等式的一种重要方法。
具体方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。
我们可以通过积分来获得f(x)在[a,b]上的取值。
具体来说，我们可以定义函数g(x)为a≤g(x)≤b且f(x)≤g(x)，然后计算g(x)在[a,b]上的积分，即∫[a,b]g(x)dx。
由于a≤f(x)≤g(x)且g(x)在[a,b]上的积分一定小于等于f(x)在[a,b]上的积分，因此就能证明不等式的成立。
微分中值定理在不等式证明中的应用
微分中值定理在不等式证明中的应用微分中值定理是一种常见的数学定理，也被称为中值定理或差分定理，它被用来在不等式证明中提供用于比较函数中极值或峰值的一种工具。
它的特殊性在于，它可以在只使用一个简单的不等式就可以进行有效的比较。
微分中值定理的定义微分中值定理的定义如下：如果f是在闭区间[a,b]上连续且在[a,b]上具有一阶导数的函数，那么在闭区间[a,b]上有f(c)=0，其中c属于(a,b)。
另外，它要求c处的函数具有由“其他特征”定义的行为，即函数在c处可能是极大值和极小值，也可能是可以有一个局部最大值。
微分中值定理在不等式证明中的应用微分中值定理可以通过不等式证明给出有关函数的具体结果。
例如，对于函数f，我们可以证明f(c)=0，其中c属于(a,b)。
然后，我们可以得出相应的不等式，即f(c)≤f(a)或f(c)≥f(b)。
这样，只使用一个不等式就可以比较函数f的不同极值，从而证明函数在特定点上是最大值或最小值。
另外，微分中值定理还可以用来证明函数的稳定性，例如，当f(c)=0时，函数f具有局部最大值和局部最小值。
因此，如果f(c)=0，则函数f的局部极值点c处的全局极值点不会改变。
最后，微分中值定理可以用来证明函数的单调性。
若f(c)=0，其中c属于(a,b)，但f(x)≠0或f(x)<0，其中x属于(a,c)或x属于(c,b)，则函数f在区间(a,b)上是单调的。
结论从上面可以看出，微分中值定理在不等式证明中有着重要的应用。
它提供了一种容易使用的工具，可以比较函数中极值或峰值，而且还可以用来证明函数的稳定性和单调性。
此外，微分中值定理还可以用来证明函数的其他性质，例如它的连续性和可导性。
因此，微分中值定理是一个非常有用的理论工具，可以帮助我们更好地理解和证明一个函数。
微分中值定理在中学数学中的应用
微分中值定理在中学数学中的应用微分中值定理主要是对一系列中值定理的概括，对研究函数有至关重要的作用。
与其相关的定理主要有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理，发挥其在中学数学中的应用将是推动数学进步的重要保证。
一、微分中值定理的相互关系1.微分中值定理微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理。
其中罗尔定理中，当函数y=f（x）能够满足闭区间[a，b]连续；开区间（a，b）可导；f（b）=f（a），至少会存在一点ζ∈（a，b）使f ′（ζ）=0。
拉格朗日中值定理中，当函数满足y=f（x）[a，b]闭区间连续，（a，b）开区间可导，则存在一点ζ∈（a，b），使得f′（ζ）=.柯西中值定理中，当函数y=g（x）与y=f（x）满足闭区间[a，b]连续；开区间（a，b）可导，且f ′（x）和g ′（x）都不为0，g（a）≠g（b），将至少有一点ζ∈（a，b），使得=.由此可见，拉格朗日中值定理与柯西中值定理都会涉及到罗尔定理，而且在前提条件方面都比较接近，因此下文中将会对三者之间的关系进行探析。
2.微分中值定理的相互联系罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理三者之间的关系主要体现在由一般到特殊，再由特殊到一般。
当柯西中值定理条件下g（x）=x，定理将转变为拉格朗日中值定理，如果再使f（a）=f（b），又会转化为罗尔中值定理。
换言之，柯西中值定理的特殊情况是拉格朗日中值定理，而拉格朗日中值定理的特殊情况是罗尔中值定理。
（1）从理论角度，很多情况下，至少有一点ζ能够使此函数在该区间上的导数值与函数值保持一定的等量关系。
而且定理的中值ζ在通常条件下很难发现，但对于定理理论研究与应用价值没有过多的影响。
因此，对中值定理的掌握，必须要将三者在条件、证明方法、结论及几何解释方面正确分析，使三个中值定理的关系在相互联系的情况下可以进行区分。
（2）拉格朗日中值定理与柯西中值定理在证明方法上都需应用罗尔定理，以构造新函数的方法得出结论。
中值定理在不等式证明中的应用
本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍•关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式AbstractThis paper idea wrote in in equality proof of use freque ntly duri ng several of the mea n value theorem, which in the Lagra nge mea n value theorem proving in equality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to con struct auxiliary fun ctio n. in the applicati on of proof in equalities of the Taylor mea n value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the fun cti on extreme value point or the most value point, the in terval of known at any point. And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify in equality. And Cauchy mid-value theorem and in tegral mea n value theorem in the applicati on process to prove the in equality were briefly discussedKey words:The Lagrange Mean Value Theorerp Taylor's Formula； Cauchy Mean Value Theorem； In equality ；The Mean Value Theorem for In tegrals摘要 (I)Abstract (I)1引言 (1)2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (2)2.1拉格朗日中值定理 (2)2.2利用拉格朗日中值定理证明不等式 (2)2.2.1 直接公式法( 2) 2.2.2 变量取值法( 4) 2.2.3 辅助函数构造法 (5)3泰勒中值定理在不等式证明中的应用 (7)3.1 泰勒中值定理............................... ( 7) 3.2利用泰勒公式证明不等式( 7) 3.2.1 中点取值法( 7) 3.2.2 端点取值法( 9) 3.2.3 极值取值法( 9) 3.2.4 任意点取值法(11)4柯西中值定理在不等式证明中的应用 (14)4.1柯西中值定理 (14)4.2利用柯西中值定理证明不等式 (14)5积分中值定理在不等式证明中的应用 (16)5.1 积分中值定理(16)5.2利用积分证明不等式 (16)结束语 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1引言不等式也是数学中的重要内容，也是数学中重要方法和工具.中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等.以拉格朗日中值定理（也称微分中值定理）为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广.利用中值定理证明不等式，是比较常见和实用的方法.人们对中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态. 此外，在极值问题中有重要的实际应用.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现.特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇.不等式的证明不仅形式多种多样，而且证明方式多变，常见的方法有：利用函数的单调性证明，利用微分中值定理证明，利用函数的极值或最值证明等，在众多方法中，利用中值定理证明不等式比较困难，无从下手，探究其原因，一是中值定理的内容本身难理解，二是证明不等式，需要因式而变，对中值定理的基础及灵活性要求较高.我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一，我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用2.1拉格朗日中值定理拉格朗日（grange , 1736-1813，法国数学家，力学家，文学家）• 拉格朗日中值定理设函数f x在闭区间［a,b］上连续，在开区间a,b内可导，则在开区间（a,b）内至少存在一点X。
微分中值定理在不等式证明中的应用
微分中值定理在不等式证明中的应用作者：段胜忠杨国翠来源：《现代商贸工业》2017年第28期摘要：通过典型例子的解答，给出利用拉格朗日中值定理、柯西中值定理和带拉格朗日余项泰勒公式证明不等式的方法和步骤。
关键词：不等式；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒公式；辅助函数中图分类号：TB文献标识码：Adoi：10.19311/ki.16723198.2017.28.094不等式是初等数学和高等数学中的重要内容，在数学分析、泛函分析、非线性泛函分析和证明微分方程解的存在性方面有着非常重要的应用。
同时，不等式的证明由于题型特殊，证明的方法灵活多变，在培养学生的创新思维和创新能力上具有重要的作用。
微分中值定理反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系，是用导数来研究函数性态的理论基础，微分中值定理作为微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。
本文通过典型例子的解答，希望进一步概括和总结微分中值定理在不等式证明中的方法和步骤，在加深学生对微分中值定理理解的同时，提升学生证明不等式能力。
1预备知识定理1.1 （拉格朗日中值定理）若函数fx满足如下条件：（1）在闭区间a，b上连续；（2）在开区间a，b内可导。
则在a，b内至少存在一点ξ，使得f′ξ=fb-fab-a 。
定理1.2（柯西中值定理）若函数f（x）与g（x）满足下列条件：（1）在闭区间a，b连续；（2）在开区间（a，b）可导，且x∈（a，b），有g′（x）≠0，则在（a，b）内至少存在一点c，使f′（c）g′（c）=f（b）-f（a）g（b）-g（a）。
定理1.3（带拉格朗日余项的泰勒公式）若函数f（x）在点a存在n+1阶导数，则x∈Uo （a）有f（x）=f（a）+f′（a）（x-a）+…+f（n）（a）n！（x-a）n+f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-a）n+1，其中ξ介于a与x之间。
2典型例子2.1利用拉格朗日中值定理证明不等式方法步骤：（1）构造恰当的辅助函数；（2）寻找合适的讨论区间；（3）考虑中值的取值范围，进行适当的放缩。
微分中值定理的不等式形式及其应用
微分中值定理是非常重要的数学定理，它可以应用于广泛的科学和技术领域。
它的不
等式形式表达了在函数值及其导数之间的关系。
它的不等式形式可以用两个方程表示，即：f（x）≤f（c）+f'（c）（x-c）；f（x）≥f （c）+f'（c）（x-c）。
从这两个方程中可以看出，任何函数f（x）在某个定点c处的值都不会比函数f（c）+f'（c）（x-c）大，也不会比它小。
微分中值定理的应用也很广泛，可以用来解决很多数学问题，比如求函数的最大值、
最小值、极值点等。
它也被用于优化问题的求解，比如求解线性规划问题、最小二乘法问题、增广拉格朗日乘子法等，可以使这些问题的求解更加精确。
此外，微分中值定理还可以用于证明某些函数的单调性，比如可以证明函数f（x）在定点c处是凸函数或者凹函数。
总之，微分中值定理是一个非常重要的数学定理，它的不等式形式以及应用可以大大
提高数学计算的准确性和效率，为我们解决数学问题提供了有效的支持。
基于微分中值定理的基本不等式证明方法
长春师范大学学报Journal of Changchun Normal University 第39卷第12期Vol.39No.122020年12月Dec.2020基丁微分中值定理的基本不等式证明方法梁静(淮南师范学院金融与数学学院，安徽淮南232001)［摘要］为了提高基本不等式的稳定解优化求解能力，提岀基于微分中值定理的基本不等式证明 方法，构建基本不等式的动态非均衡解向量约束模型，采用径向基函数参数化求导方法进行基本不 等式证明的微分中值逼近运算。
结合Volterra 级数降阶方法实现基本不等式的结构化降维处理，提 取基本不等式最优约束解的非线性特征量，采用形状可变结构的动力学评估方法，进行微分中值定 理的优化构造，基于改进的微分中值定理进行基本不等式证明，结合Lyapunov 稳定性原理,分析基 本不等式证明方法的稳健性。
研究得知，改进的基本不等式证明方法是稳健收敛的,满足条件一致 性,对初始参数具有不敏感性，提高了基本不等式的输岀稳态性。
［关键词］微分中值定理;基本不等式;径向基函数;稳态［中图分类号］0415.5 ［文献标志码］A ［文章编号］2095 -7602(2020)12 -0010 -06基本不等式的稳定性证明是保障不等式约束下的控制系统稳定的关键，通过对基本不等式的平衡解求解 和稳定性证明，结合关联信息分析方法,构建基本不等式的稳定性分析模型，采用在线编译和自适应控制技 术,进行基本不等式的优化证明，能够提高基本不等式的优化解向量的求解能力，研究基本不等式的平衡稳态 解的证明方法，建立基本不等式的中值逼近定理，构建基本不等式的稳定性控制系统，相关基本不等式证明方 法研究受到人们的极大关注［1］.对基本不等式的证明是建立在对基本不等式的特征分解和边界值稳定性的 分析基础上，结合自相关的特征分析方法,进行基本不等式的中值逼近，提出基于微分中值定理的基本不等式 证明方法，构建基本不等式的动态非均衡解向量约束模型［2］，采用径向基函数参数化求导方法进行基本不等 式证明的微分中值逼近运算,进行微分中值定理的优化构造，基于改进的微分中值定理进行基本不等式证明, 最后进行稳定收敛性判断.1基本不等式构造和相关定理为了实现对基本不等式的稳定解优化求解证明,结合多元线性回归分析方法，构建基本不等式求解的稳 定性建模模型［3］，采用Sobel 检验分析方法，得到在二阶线性微分方程约束下的基本不等式的稳定解回归分 析模型:/( X 1 ,X 2,：) 一 g (儿』2,：) + /(人(X 1 ,X 2,：) 一 g ( 丁1』2,：))血 < x ( X - y |2 + X |X - y |2) ,(1)其中，办1,"2』1』2 e R ,设X *是基本不等式的稳定解的最优解集j X *｝中的一个中心像素点，求解基本不等N 式的稳定解问题转化为回归模型的初值问题⑷，计算基本不等式的模板函数，用〃：(•)= X ( r )表示，在最r= 1大边界约束下,采用模糊相关性分析和特征提取方法，得到基本不等式的稳定解的动态非均衡特征量(s ：* ) : eN .［收稿日期］2019 -03 -22［基金项目］淮南师范学院重点教学研究项目“大学数学课程的分类设置及考核方法研究”(2018hsjyxm17)。
部分微分中值定理在证明不等式中的应用
部分微分中值定理在证明不等式中的应用几何利用局部分微分中值定理，可以找到更容易证明的不等式。
首先，局部分微分中值定理可以定义为：如果在某个函数的某个区域内有分段连续的双射函数f(x)，当a≤x≤b时，则函数f(x)在该区间[a,b]中任意一点c都有f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)。
因此，在利用局部分式中值定理证明不等式时，可以避免复杂的微分运算。
1. 先通过复合诸不等式，将要证明的不等式转化为多个分段连续的双射函数；
2. 通过局部分微分中值定理，把多段双射函数转化为二阶微分函数，根据函数的导数及导数的符号，把二阶微分函数的大小关系还原到原不等式中；
3. 利用二阶微分函数的单调性，使用函数积分、极值定理及不动点定理等，得出结论。
以下是一个关于局部分微分中值定理证明不等式的例子：
求证：若f(x)在[a,b]内连续且具有一阶导数，则有f(b)≤f(a)+f'(c)(b-a)。
证明：
设f(x)在[a,b]内连续，由局部分微分中值定理可知，当a＜x＜b时有
f(b)－f(a)=f'(c)(b－a)，其中c为[a,b]内任意一点，即有f(b)－f(a)－
f'(c)(b－a)≤0
根据f'(x)＞0的单调性得f'(c)＞0，故f(b)－f(a)－f'(c)(b－a)＜0
即有f(b)≤f(a)+f'(c)(b－a)，即得证。
中值定理证明不等式
中值定理证明不等式中值定理是数学分析中的重要定理之一，它可以用来证明一些不等式。
下面我将通过一系列步骤详细地证明中值定理。
首先，我们需要明确中值定理的表述。
中值定理（也称为拉格朗日中值定理）是微分学中的一个定理，它陈述了如果函数f在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一个点c，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
这个定理可以形象地理解为函数曲线在(a,b)内至少有一点的切线与曲线的平均斜率相等。
为了证明中值定理，我们将用反证法的思想。
假设在(a,b)内不存在这样的点c，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
根据这个假设，我们可以得到以下两个结论：1.如果f'(x)在(a,b)内保持正号或者零，那么f(b)-f(a)>0，即f(b)>f(a)。
2.如果f'(x)在(a,b)内保持负号或者零，那么f(b)-f(a)<0，即f(b)<f(a)。
因为我们假设f在闭区间[a,b]上连续，所以根据闭区间上的最大值和最小值定理（也称为魏尔斯特拉斯极值定理），f在[a,b]上一定有最大值和最小值。
设最大值M和最小值m分别在x=c1和x=c2处取得，其中a<c1<c2<b。
根据这两个结论，我们可以得到以下两个不等式：1.f(c2)≥f(c1)，因为f'(x)在(a,b)内保持正号或者零，根据结论1，我们有f(c2)>f(c1)。
如果f(c2)=f(c1)，那么必定存在d∈(c1,c2)，使得f'(d)=0，从而与中值定理的假设矛盾。
2.f(c2)≤f(c1)，因为f'(x)在(a,b)内保持负号或者零，根据结论2，我们有f(c2)<f(c1)。
如果f(c2)=f(c1)，那么必定存在d∈(c1,c2)，使得f'(d)=0，从而与中值定理的假设矛盾。
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微分中值定理在不等式证明中的应用摘要：不等式在初等数学中是最基本的也是最重要的内容之一,微分中值定理也是数学分析中最重要的定理之一.本文采用举例的方式归纳了微分中值定理在不等式证明中的几种常见方法和技巧，总结了微分中值定理在不等式证明中的基本思想和方法。
从这些思想和方法中我们可以解决类似的很多问题，对提高证明题和解决问题的能力有很大帮助。
关键词：微分中值定理；不等式；证明；应用The Application of Mean Value Theorem in ProvingInequalitiesAbstract: Inequalities is one of the most basic contents in Elementary Mathematics. Mean Value Theorem which is widely used in solving mathematical problems, is one of the most important theorem in Mathematical Analysis, and is also the important tool of research math problem. This paper summarized some common kinds of methods and skills of application of Mean Value Theorem in proof of Inequalities by exemplification, and highlighted the elementary thought and method, contributed immensely to improving the capability of certifying.Key words: Mean Value Theorem; Inequalities; Proof; Application0 引言高等数学中, 不等式的证明占有重要的一席之地,与一些计算及应用题相比，不等式的证明对数学研究者来说一直是难点，主要是在证明的思路或者在函数的构造上有难度。
在研究不等式证明的过程中既发展了学者的数学思维也培养了逻辑思维方面的能力。
不等式的证明方法很多，本文归纳出了几种利用微分中值定理来证明不等式的常用方法和技巧。
1 预备知识1.1 拉格朗日中值定理若函数()a ba b内可导. 则在(,)f x满足:在闭区间[,]a b连续;在开区间(,)内至少存在一点ξ,使ab a f b f f --=')()()(ξ。
拉格朗日中值定理也称中值公式或拉格朗日公式,它也经常用另一种形式表示，由于ξ是在(,)a b 内的一个中值点,也可表示成()a b a θ+- (0θ<<1) 的形式, 于是定理的结论就可改为在(0,1) 中至少存在一个θ值, 使()()[()]f b f a f a b a b aθ-'+-=-或()()[()]()f b f a f a b a b a θ'-=+--。
拉格朗日中值定理反映的是函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的一种关系，它都是以等式形式存在的，我们要学会观察拉格朗日中值公式,从而要灵活的理解拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用。
1.2 柯西中值定理设函数f 和g 满足: 在],[b a 上都连续;在(,)a b 内都可导;'()f x 和'()g x 不同时为零;()()g a g b ≠ ,则存在(,)a b ξ∈,使得：()()()()()()f f b f a g g b g a ξξ'-='- 柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系，当一个函数取自变量自身时，它就是拉格朗日中值定理，所以柯西中值定理和拉格朗日中值定理之间有着必然的联系,其转化过程非常巧妙,在研究不等式时,要看清题意,分析题给的条件,确定符合条件所对应的中值定理。
2 微分中值定理在不等式证明中的应用例1 证明: 当0x π<<时, 221cos 2x x x π>-> 分析：要证不等式即2211cos cos cos0102x x x x π--<=-<- 由柯西中值定理有 ()()22cos 1cos sin 022x x x x x ξξπξξ='-⎛⎫==<< ⎪'⎝⎭即只要证明1sin 122ξξπ>>，亦即sin 21ξξπ>> 2.1 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用利用拉格朗日中值定理(若经过简单变形, 不等式的一端可写()()f a f b a b--要证明的命题是区间内至少有一点大于(或小于) 零, 可以尝试使用拉格朗日中值定理。
例2 设0a b <<, 证明：222ln ln a b a a b b a -<+- 分析： 观察命题结构，可以构造函数()ln f x x =,又因为0a b <<，这可以分区间应用拉格朗日中值定理。
在[,]a b 应用拉格朗日中值定理到:ln ln a b -=1()b a ξ-，(,)a b ξ∈，又由于222a b ab +≥.证明也就迎刃而解了。
分析过程我们要学会思考、联想和知识迁移。
证明：设()ln f x x =,则1()f x x'= 对于()ln f x x =在[,]x a b ∈.由拉格朗日定理知: 1ln ln (),(,)a b b a a b ξξ-=-∈ 即ln ln 1b a b a ξ-=- 由于 2222122,a a b ab b a b +≥⇒≥+ 又 11(0)b a b b ξξξ<⇒><<< 所以 222ln ln a b a a b b a-<+- 在应用引理1时，可以先构建辅助函数)(x f ，并确定)(x f 使用拉格朗日中值定理的区间],[b a ，对)(x f 在],[b a 上使用拉格朗日中值定理，再根据ξ与b a ,之间的关系，对拉格朗日公式加强不等式。
对于不能直接应用定理证明的.在利用拉格朗日中值定理进行问题证明时, 。
主要是构建辅助函数，先结论出发，观察问题特征，分析问题可能用到的辅助函数，最后对问题作相应的变形，这是构造辅助函数关键，有了辅助函数就可以直接应用中值定理得出结论。
例3 设()h x ,()x ϕ均在[,]m n 上连续，证明：22[()()]()n n m m h x x dx h x dx ϕ≤⎰⎰2()n m x ϕ⎰ dx分析：在证明不等式过程中，首先要观察其结果的特征，再分析可能要用的辅助函数，然后相应的改变命题的形式，这是构造辅助函数关键.我们经常会将结果变形处理，如将上式变型等价为：222[()()]()()0n n nm m m h x x dx h x dx x dx ϕϕ-≤⎰⎰⎰，于是我们先考虑左边，可以令其为函数：222()()()(()())t t t m m m F t h x dx x dx h x x dx ϕϕ=-⎰⎰⎰， 通过观察我们知道()F t 在[,]m n 上连续，在(,)m n 内可导，进而对其求导，结果为 ：2[()()()()]0tm h t x h x t dx ϕϕ-≥⎰恒成立 ，这样()F t 的一阶导数都大于0，再通过转换很快得到结果。
积分不等式证明除用传统证法外，应用微分中值定理去研究，入手会很方便的。
证明：由分析知222()()()(()())t t t m m m F t h x dx x dx h x x dx ϕϕ=-⎰⎰⎰ （1） 由题意知()F t 在[,]m n 上连续，在(,)m n 内可导，则对()F t 进行求导有2222'()()()()()2()()()()t t tm m m F t h t x dx t h x dx h t t h x x dx ϕϕϕϕ=+-⎰⎰⎰ =[()()()()tm h t x h x t ϕϕ-⎰2]0dx ≥ （2） 所以()F t 在(,)m n 内，'()0F t ≥恒成立。
由以上条件可知，()F t 满足拉格朗日中值定理，则存在一点(,)m n ξ∈使得：()()'()()F n f m F n m -=ξ- （3） 由（1）（2）式知：()0,'()0F m F =ξ≥,又因为n m >,由（3）式得()0F n ≥ （4） 所以222()()()[()()]n n n m m m F n h x dx x dx h x x dx ϕϕ=-⎰⎰⎰ （5） 由（4）,（5）式得：2()n m h x ⎰ dx 22()[()()]0n n m m x dx h x x dx ϕϕ-≥⎰⎰即 222[()()]()()n n nm m m h x x dx h x dx x dx ϕϕ≤⎰⎰⎰.关于拉格朗日中值定理的证明及应用有许多专门的研究,利用拉格朗日中值定理证明不等式有许多方便之处.在利用拉格朗日中值定理在证明不等式，我们要具备构造函数的思想。
有些不能直接应用定理进行证明，我们可以用合适的方法，构造其函数框架，利用拉格朗日中值定理解决问题时,需要构造辅助函数,是证明的关键。
所以我们要学会去构建辅助函数。
例4 设0x >，当01m <<时，求证:m x -1mx m <-.分析：由题意可知，通过变型，不等式可以等价为：m x 1mx m -<-，当1x =时结论显然成立，当1x ≠时，可以选取两区间[,1]x 或[1,]x ，在该区间上可以构造函数(),()m f x x F x mx == ，则对其求导为：1'()m f m -ξ=ξ，'()F m ξ=，所以(1)1,(1)f F m ==,再结合题意，由于条件满足柯西中值定理，则就可以利用柯西中值定理进行证明了。
证明：由柯西中值定理得()(1)'()()(1)'()f x f f F x F F ξξ-=- , (,1)x ξ∈或(1,)x ξ∈， 即 111m m m x m mx m mξξ---==- 当1x < 时，(,1)x ξ∈，1m ξ-1>，即 1m x mx m-- 1> 又(1)0mx m m x -=->，故m x 1mx m -<-，即 m x -1mx m <-当1x >时，(1,)x ξ∈，11m ξ->，即 11m x mx m->-, 又 (1)0mx m m x -=-<, 故m x 1mx m -<-即 m x - 1mx m <-.在应用柯西中值定理时，先可以构造两个辅助函数)(x f 和)(x g ，并确定它们使用柯西中值定理的区间],[b a ；对)(x f 与)(x g 在],[b a 上施用柯西中值定理；再利用)(x f 与)(x g 的关系，对柯西公式进行加强不等式。