高数下册总复习1PPT课件
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《高数总复习》PPT课件
2021/4/24
3
期末答疑安排：
十八周周一-周五(6月23日-6月27日) 时间：9：00-11：00，3：00-5：00 地点：新一教B座2楼教员休息室
2021/4/24
4
第七章、空间解析几何与向量代数
(一)向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
2021/4/24
向量积
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
f (x)的形式及其 特解形式
2021/4/24
12
1.二次曲面的特点(如旋转曲面方程的特点).
球面,椭球面 椭圆抛物面 双曲抛物面(马鞍面) 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 利用二次曲线得到旋转曲面或柱面
yoz坐标面上的曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程为 f ( x2 y2 , z) 0,
高斯公式
P
(
x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
一定是封闭曲面才能用高斯公式
例 模拟题(一)三题4,模拟题(一)四题2,
2021/4/24
24
9.无穷级数的敛散性,绝对收敛,条件收敛.
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面 在重积分,曲线曲面积分中取到二次曲面
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13
2.多元函数,偏导数和全微分,方向导数存在性 及其之间的关系,计算方法.
ห้องสมุดไป่ตู้
函数连续
函数可导
函数可微
高中数学总复习 PPT课件 图文
奇偶性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称 f(x)=-f(-x)为奇函数，f(x)=f(-x)为偶函数
复合函数的单调性奇偶性： 单调性同性增异性减，奇偶性同性偶异性奇
高
指数函数：
中
y a x （ a 0, a 1 ），定义域 R，值域为（ 0, ）
数
⑴①当 a 1 ，指数函数： y a x 在定义域上为增函数
-
高 中 数 学 第 一 章 集 合
集合： 是某些制指定对象的全体，只能做描述性说明 元素： 集合的每一个对象 集合中元素具有确定性、无序性、互异性 集合的分类： 有限集、无限集 集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图法
高 中 数 学 第 一 章
集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集 ②空集是任何集合的子集 ③空集是任何非空集合的真子集 ③ 空集的补集是全集
三
平行公理：
章
平行于同一条直线的两条直线互相平行
-
推论：
立
体
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那 么这两组直线所成锐角（或直角）相等
几
何
高
直线与平面平行判定定理：
中
如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行
数
直线和平面平行性质定理：
学
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
学
第
二
章
-
函 数
-
高 中 数 学 第 二 章 函 数
y=x-1
y=x-2
y=x-3
y=x-1/2
图像
定义域 x≠0 （0，+∞） x≠0
值域
y≠0 （0，+∞） y≠0
复合函数的单调性奇偶性： 单调性同性增异性减，奇偶性同性偶异性奇
高
指数函数：
中
y a x （ a 0, a 1 ），定义域 R，值域为（ 0, ）
数
⑴①当 a 1 ，指数函数： y a x 在定义域上为增函数
-
高 中 数 学 第 一 章 集 合
集合： 是某些制指定对象的全体，只能做描述性说明 元素： 集合的每一个对象 集合中元素具有确定性、无序性、互异性 集合的分类： 有限集、无限集 集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图法
高 中 数 学 第 一 章
集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集 ②空集是任何集合的子集 ③空集是任何非空集合的真子集 ③ 空集的补集是全集
三
平行公理：
章
平行于同一条直线的两条直线互相平行
-
推论：
立
体
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那 么这两组直线所成锐角（或直角）相等
几
何
高
直线与平面平行判定定理：
中
如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行
数
直线和平面平行性质定理：
学
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
学
第
二
章
-
函 数
-
高 中 数 学 第 二 章 函 数
y=x-1
y=x-2
y=x-3
y=x-1/2
图像
定义域 x≠0 （0，+∞） x≠0
值域
y≠0 （0，+∞） y≠0
高数下课件复习课
其中 Σ 为柱面 x2 + y2= 4 及平面 z= 1，z= 2
所围成立体的表面，取内侧.
−16π
1. 设 Σ：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0)，Σ1 为 Σ 在第一 卦限的部分，则有 ( C )
(A) ∫∫ xdS Σ
(C) ∫∫ zdS Σ
4= ∫∫ xdS； (B) ∫∫ ydS 4∫∫ xdS；
3 3
2. 设 f ( x, y, z) = 3 + x2 + y2 + z2，则
gradf (1,−1,2) = .
(1,− 1,2) 3 33
3. 函数 u = ( x − y)2 + (z − x)2 − 2( y − z)2 在点 M (1,2,2) 处方向导数的最大值为. 2 6
x2 + y2 + z2 − 3 x = 0
空间曲面的切平面与法线 (隐式、显式). 7. 多元函数的极值、最值和条件极值 (注意区分).
12
2
1
1. 设 f ( x, y) =( x + y)[( x − 1)3 y 3 + x 3 ( y − 1)3 ]，
则在 (0,1) 处两个偏导数 fx (0,1), f y (0,1) 的情况为 ( D )
Σ1
Σ
Σ1
4= ∫∫ xdS； (D) ∫∫ xyzdS 4∫∫ xyzdS.
Σ1
Σ
Σ1
2. 设 A (= xy, yz, zx)，则 grad(divA) . (1,1,1)
正项级数 1. 常数项级数 任意项级数 2. 幂级数的收敛半径、收敛区间、阿贝尔定理. 3. 幂级数的和函数. 4. 将函数展开成幂级数. 5. 将函数展开成傅里叶级数.
所围成立体的表面，取内侧.
−16π
1. 设 Σ：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0)，Σ1 为 Σ 在第一 卦限的部分，则有 ( C )
(A) ∫∫ xdS Σ
(C) ∫∫ zdS Σ
4= ∫∫ xdS； (B) ∫∫ ydS 4∫∫ xdS；
3 3
2. 设 f ( x, y, z) = 3 + x2 + y2 + z2，则
gradf (1,−1,2) = .
(1,− 1,2) 3 33
3. 函数 u = ( x − y)2 + (z − x)2 − 2( y − z)2 在点 M (1,2,2) 处方向导数的最大值为. 2 6
x2 + y2 + z2 − 3 x = 0
空间曲面的切平面与法线 (隐式、显式). 7. 多元函数的极值、最值和条件极值 (注意区分).
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2
1
1. 设 f ( x, y) =( x + y)[( x − 1)3 y 3 + x 3 ( y − 1)3 ]，
则在 (0,1) 处两个偏导数 fx (0,1), f y (0,1) 的情况为 ( D )
Σ1
Σ
Σ1
4= ∫∫ xdS； (D) ∫∫ xyzdS 4∫∫ xyzdS.
Σ1
Σ
Σ1
2. 设 A (= xy, yz, zx)，则 grad(divA) . (1,1,1)
正项级数 1. 常数项级数 任意项级数 2. 幂级数的收敛半径、收敛区间、阿贝尔定理. 3. 幂级数的和函数. 4. 将函数展开成幂级数. 5. 将函数展开成傅里叶级数.
《高数课总复习下册》课件
2
例题二
解析：使用方法与策略对复杂的多项式函数和向量的题目进行解析，培养学生的 分析问题和解题能力。
3
例题三
解析：通过计算曲线积分和曲面积分的题目，加深对它们的理解，提高应用技能。
解题技巧和策略
• 理清思路，先抓住问题的关键点。 • 多思考特殊情况和边界条件。 • 熟练掌握公式和计算方法。 • 通过多做习题提高解题速度和准确性。 • 培养逻辑思维和数学建模能力。 • 积极讨论和合作，共同解决问题。
第四章：无穷级数
研讨数列极限、函数连续性和可积性；学习无穷 级数的收敛性和求和方法。
重要知识点回顾
一元函数微分 学
多元函数微分 学
重积分与曲线 积分
1. 极限与连续 2. 导数与微分 3. 函数的极值与最值 4. 高阶导数与泰
勒公式
1. 偏导数与全微分 2. 多元函数的极
值与条件极值 3. 隐函数与参数方程 4. 方向导数和梯度
《高数课总复习下册》 PPT课件
本PPT课件旨在对《高数课总复习下册》进行全面复习，提供课程目标、大 纲、重要知识点回顾、典型例题解析、解题技巧与策略、应试技巧与注意事 项，以及总结和复习策略。
课程目标
1 深入理解知识点
帮助学生全面理解下册的重要数学知识点，掌握核心概念。
2 提高解题能力
培养学生的解题思维和分析问题的能力，增强解决实际问题的能力。
1. 重积分的概念 和性质
2. 累次积分的计 算方法
3. 曲线积分的概 念和计算方法
4. 曲面积分的概 念和计算方法
无穷级数
1. 数列的极限和 收敛性
2. 函数的连续性 和可积性
3. 幂级数和傅里 叶级数
4. 泰勒级数和麦 克劳林级数
高等数学下期末总复习
证 在 (0,o)处 连 但 导 存 明 点 不 续 偏 数 在 二、偏导数 1、偏导数定义极限式及应用
2、偏导数求法： 1）多元复命函数的导法则（注意：抽象复合求导） 2）隐函数求导——公式 2f (x, y) 2 2 练习： 1）设 f (x + y, x − y) = 2x(x − y )，求 2x 2）设 u(x, y) 为二元可导函数，已知 则 u(x, y) =_______ 3）设 u(x, y) 具有二阶连续偏导 且 u′′ (t,t) = a2,u′′ (t,t) = −ab,u′′ (t,t) =b2, xx xy yy 则 F(t) =u(t,t)的二阶导数 3、求全微分 dz 练习：已知 x2 + y2 + z2 = f [x, f (x, y)] ，其中 f (u,v) 具有连续偏导，求 dz 。
求体积：1）曲顶柱体，用二重积分
V = ∫∫ 顶 dxdy
底
顶：z = f (x, y) 代入积分方程
2）立体用三重积分
V = ∫∫∫ dv
Ω
第十章
曲线与曲面积分
掌握： 1、第一类、第二类曲线积分 ——化为定积分的计算方法； 2、格林公式及其应用； 3、高斯公式及其应用。 注意一种特殊情况: 被积函数=1的曲线，曲面积分 1、P60—4 ∫ L(3x2 +4y2)ds =12a ∫ Lds =L 的周长
kx2 kx2 k lim 2 2 2 = lim 2 = x→ x +k x 0 x→ x ( +k2) 0 1 1+k2
随着k取不同的值，极限取得不同的值 ∴极限不存在 3、多元函数的连续性 例设
xy 2 2 2 2 x + y ≠0 f (x, y) = x + y x2 + y2 =0 0
高等数学下册总复习-PPT课件
高等数学复习
1.向量的运算及方向余弦，平面与直线(包括坐标轴)
的位置关系。 2.平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程。
3.二元函数的极限。 4.二元函数的连续、偏导数存在、可微及偏导数连续 之间的关系。 5.多元隐函数求导，曲面的切平面方程。 6.复合函数求导( 特别是抽象函数的求导问题 )
。
7.方向导数，多元函数的条件极值问题。
或, 参数方程 (如, 圆柱螺线)
空间直线与平面的方程 空间平面
一般式
点法式 截距式
ห้องสมุดไป่ตู้
n A ,B ,C
(x 0, y 0, z 0)
2 2 2 ( A B C 0 ) Ax By Cz D 0
A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) 0 0 0 0
2 2 4 . 求曲面在 z ax by 上点 ( x ,y ,z ) 处的切平 0 0 0
2 2 2 5. 求曲面 3 x y z 3 在 ( 1 ,1 ,1 ) 处的切平面与
2 2 5. 求 f(x ,y )4 (xy )x y 的极值点，并 极大值点还是 . 极小值点
P
3、自点 (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂 足的平面方程. 4．试求空间直 线
x 2z 5 y 6z 7
的对称式方 程
第九章
多元函数微分法
1. 分析复合结构
显示结构 (画变量关系图) 隐式结构
2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意: 正确使用求导符号
高等数学复习
8.二重积分的计算，对称性的应用，积分次序的交换。
1.向量的运算及方向余弦，平面与直线(包括坐标轴)
的位置关系。 2.平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程。
3.二元函数的极限。 4.二元函数的连续、偏导数存在、可微及偏导数连续 之间的关系。 5.多元隐函数求导，曲面的切平面方程。 6.复合函数求导( 特别是抽象函数的求导问题 )
。
7.方向导数，多元函数的条件极值问题。
或, 参数方程 (如, 圆柱螺线)
空间直线与平面的方程 空间平面
一般式
点法式 截距式
ห้องสมุดไป่ตู้
n A ,B ,C
(x 0, y 0, z 0)
2 2 2 ( A B C 0 ) Ax By Cz D 0
A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) 0 0 0 0
2 2 4 . 求曲面在 z ax by 上点 ( x ,y ,z ) 处的切平 0 0 0
2 2 2 5. 求曲面 3 x y z 3 在 ( 1 ,1 ,1 ) 处的切平面与
2 2 5. 求 f(x ,y )4 (xy )x y 的极值点，并 极大值点还是 . 极小值点
P
3、自点 (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂 足的平面方程. 4．试求空间直 线
x 2z 5 y 6z 7
的对称式方 程
第九章
多元函数微分法
1. 分析复合结构
显示结构 (画变量关系图) 隐式结构
2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意: 正确使用求导符号
高等数学复习
8.二重积分的计算，对称性的应用，积分次序的交换。
《数学下册总复习全》课件
对几何定理运用不当
学生在运用几何定理时，容易 记错定理的内容，导致答案错 误。
计算失误
学生在进行几何计算时，容易 因为粗心大意导致计算错误。
概率与统计易错点
对概率的理解有误
学生对概率的定义和计算方法理解不 准确，导致在解题时出现偏差。
对统计图表解读不当
学生在解读统计图表时，容易忽略图 表的细节，导致对数据的理解出现错 误。
测试结果反馈
测试后及时反馈成绩和解 析，帮助学生了解自己的 掌握情况，找出薄弱环节 。
期末模拟测试
模拟测试目的
在学期末进行一次模拟测 试，模拟真实考试环境， 帮助学生适应考试压力。
测试难度
模拟测试的难度应与真实 期末考试相当，以检验学 生的应试能力。
测试结果反馈
提供详细解析和成绩反馈 ，指出学生在哪些方面需 要加强复习。
对统计方法运用不当
学生在运用统计方法时，容易忽视方 法的适用范围和限制条件，导致答案 错误。
计算概率时出错
学生在计算概率时，容易因为计算失 误导致答案不准确。
05
复习测试与反馈
单元测试
01
02
03
单元测试内容
每个单元结束后进行一次 单元测试，确保学生对该 单元的知识点掌握牢固。
测试题型
包括选择题、填空题、计 算题和应用题等，全面考 察学生的数学能力。
概率
通过解析概率的基本概念、概率 计算、随机事件的独立性等，让 学生理解概率的基本原理和应用 。
统计
通过学习数据收集、整理、分析 和推断等基本统计技能，让学生 掌握数据处理和分析的方法，培 养数据处理能力。
04
易错点解析
代数易错点
代数式变形错误
《高数总复习》课件
导数与微分
总结词
理解导数和微分的概念、性质和计算方法， 掌握导数的几何意义和物理意义。
详细描述
导数是研究函数变化率的重要工具，微分则 是导数的近似值。学生需要理解导数和微分 的概念、性质和计算方法，如导数的定义、 求导法则、微分的定义和计算方法等，同时 掌握导数的几何意义和物理意义，如切线斜
率、速度和加速度等。
感谢您的观看
THANKS
分析法
从问题的结论出发，逆向思维，逐步推 导到已知条件或已知定理，从而解决问
题。
类比法
根据两个或多个对象的某些相似性质 ，推断它们在其他性质上也可能相似
的方法。
综合法
从已知条件出发，利用已知定理或性 质逐步推导出结论，从而解决问题。
反证法
通过否定结论，然后利用已知条件和 已知定理推导出矛盾，从而证明结论 成立的方法。
高数模拟试题三
总结词：难题
详细描述：试题三难度较大，主要针 对学有余力的学生，考察学生对高数 知识的深度理解和创新应用，包括一 些数学史上的经典问题和开放性问题 。
模拟试题解析
总结词：详细解析
VS
详细描述：针对每套模拟试题，提供 详细的解析过程，帮助学生理解题目 思路，掌握解题方法，提高解题能力 。
积分
总结词
理解积分的概念、性质和计算方法，掌握定积分和不定积分的联系和区别。
详细描述
积分是研究面积、体积等问题的基本工具。学生需要理解积分的概念、性质和计算方法 ，如定积分和不定积分的定义、性质和计算方法等，同时掌握定积分和不定积分的联系
和区别，如牛顿-莱布尼茨公式等。
微分方程
要点一
总结词
理解微分方程的概念、分类和求解方法，掌握一阶常系数 线性微分方程的解法。
高数二下学期复习课
(1) 曲面 S 上任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
两个基本问题 :
F(x,y,z)0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
2019/10/30
13
二次曲面
三元二次方程
四、空间曲线在坐标面上的投影
设消空去间z 得曲投线影C柱的面一H 般(方x,程y)为0 GF,((xx,,
y,z) y,z)
0 0
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
y
2019/10/30
x
19
C
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
2019/10/30
2019/10/30
32
定义1 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lim f(x0
x 0
x, y0)f(x x
0
, y0)
存在, 则称此极限为函数 z f(x ,y )在 点 (x 0 ,y 0 )对 x
的偏导数，记为
z x
(x0
,
y0
);
f x
(x0,
A 2 x B 2 y C 2 z D E xy y Fxzx G H x I y z J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面.
其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
2019/10/30
高等数学(下)总复习PPT(同济六版)
b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限. 5、判定极限存在的准则
夹逼定理、单调有界原理
2016/8/10 3
6、两个重要极限
(1)
(2)
sin x lim 1 x0 x 1 x lim(1 ) e x x
某过程
3、求导法则
2016/8/10 19
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则——注意不要漏层 (4) 对数求导法——注意适用范围 (5) 隐函数求导法则——注意y的函数的求导 (6) 参变量函数的求导法则——注意不要漏乘
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x ) 的微分形式总是 dy f ( x )dx
2016/8/10 21
1 例12 设 f (a)存在，则 lim n[ f (a) f (a )]. n n
解
1 f (a ) f (a) n 原式= lim n 1 n
(
0 ) 0
sec 2 x 1 lim x 0 3x2
tan x 1 lim 2 x 0 3 x 3
2016/8/10
(
0 ) 0
2
12
1 例8 求极限 lim [ x x ln( 1 )]. ( ) x x
2
1 解： lim[ x x ln(1 )] x x
所以x k , k 0是第二类间断点
(3) x k
2
, k 0， 1， 2
x lim 0 x k tan x
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限. 5、判定极限存在的准则
夹逼定理、单调有界原理
2016/8/10 3
6、两个重要极限
(1)
(2)
sin x lim 1 x0 x 1 x lim(1 ) e x x
某过程
3、求导法则
2016/8/10 19
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则——注意不要漏层 (4) 对数求导法——注意适用范围 (5) 隐函数求导法则——注意y的函数的求导 (6) 参变量函数的求导法则——注意不要漏乘
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x ) 的微分形式总是 dy f ( x )dx
2016/8/10 21
1 例12 设 f (a)存在，则 lim n[ f (a) f (a )]. n n
解
1 f (a ) f (a) n 原式= lim n 1 n
(
0 ) 0
sec 2 x 1 lim x 0 3x2
tan x 1 lim 2 x 0 3 x 3
2016/8/10
(
0 ) 0
2
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1 例8 求极限 lim [ x x ln( 1 )]. ( ) x x
2
1 解： lim[ x x ln(1 )] x x
所以x k , k 0是第二类间断点
(3) x k
2
, k 0， 1， 2
x lim 0 x k tan x
《高等数学下教学资料》课件
二重积分的计算方法
总结词
二重积分的计算方法和步骤
详细描述
二重积分的计算方法包括直角坐标系法和极坐标系法。在直角坐标系中，将二重积分转化为累次积分 ，通过逐次积分来计算。在极坐标系中，将二重积分转化为极坐标形式，利用极坐标的性质简化计算 。
三重积分的概念与计算
总结词
三重积分的概念、性质和计算方法
详细描述
三重积分是定积分在三维空间中的扩展，用于计算三维物体的体积和更复杂几何形状的量。它具有连续性、可加 性和可交换性等性质。三重积分的计算方法包括直角坐标系法、柱面坐标系法和球面坐标系法，根据不同的几何 形状选择合适的坐标系进行计算。
04
曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
曲线积分定义
曲线积分是计算函数在曲线上的积分值，其定义为函数在曲线上的 每一点处的值与该点处切线的角度的正弦或余弦值的乘积的积分。
数项级数是无穷多个数按照一定的顺序排列 的序列，其和为有限或无限。
数项级数的性质
数项级数具有可加性、可减性、可乘性和可 除性等基本性质。
数项级数的收敛与发散
数项级数收敛时，其和为有限；发散时，其 和为无限。
数项级数的极限
数项级数的极限是数列的极限的推广，其性 质与数列的极限类似。
函数项级数的概念与性质
线的方向和斜率的关键。
全微分的概念
表示函数在某点处所有方向上的变化 量的总和，是偏导数的线性组合。
全微分的应用
用于近似计算函数在某点处的值，以 及判断函数在某点处的连续性和可微
性。
多元函数的极值
极值的定义
函数在某点的值大于或小于其邻 近点的值，是研究函数最优化的 关键概念。
极值的判定条件
包括一阶条件和二阶条件，用于 判断函数在某点处是否取得极值 以及极值的类型。
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M 0Tx 对y轴的斜率.
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x
z y
2z yx
fyx (x,
y), y
z y
2z y2
fyy (x,
y)
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例题
定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
2z 2z
导数 及 在D内连续，那么在该区域内
yx xy
这两个二阶混合偏导数必相等.
例题
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x
z x
2z x2
f
xx
(
x,
y),
y
z x
2z xy
fxy (x, y)
第三节 全微分及其应用
习题
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第三节 全微分及其应用
二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一 个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变 化率.
如果
lim
xx0
f
(x,
y)
f
( x0 ,
y0 )
y y0
则称函数f(x,y)在点 P0 (x0, y0 )连续.
若函数f(x,y)在点 P0 (x0, y0 )不连续，则称 P0 为 函数f(x,y)的间短点.
函数
f
(x,
y)
Hale Waihona Puke x2xy y2,
x2
y2
0
0, x2 y2 =0
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三.多元函数的极限
四.多元函数的连续性
习题
返回
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点，δ是某一
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x
z y
2z yx
fyx (x,
y), y
z y
2z y2
fyy (x,
y)
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例题
定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
2z 2z
导数 及 在D内连续，那么在该区域内
yx xy
这两个二阶混合偏导数必相等.
例题
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x
z x
2z x2
f
xx
(
x,
y),
y
z x
2z xy
fxy (x, y)
第三节 全微分及其应用
习题
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第三节 全微分及其应用
二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一 个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变 化率.
如果
lim
xx0
f
(x,
y)
f
( x0 ,
y0 )
y y0
则称函数f(x,y)在点 P0 (x0, y0 )连续.
若函数f(x,y)在点 P0 (x0, y0 )不连续，则称 P0 为 函数f(x,y)的间短点.
函数
f
(x,
y)
Hale Waihona Puke x2xy y2,
x2
y2
0
0, x2 y2 =0
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三.多元函数的极限
四.多元函数的连续性
习题
返回
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点，δ是某一
高数下册总复习.ppt
（2）设曲面方程为 z f ( x, y), 第一步：取 F ( x, y, z) z f ( x, y) 第二步：计算曲面的法向量
n ( fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0,), 1) 第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程
fx ( x0, y0 )(x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0
m
n
p
则 L// s n Am Bn Cp 0
L在 上 Am Bn Cp 0, ( x0, y0, z0 ) L s// n A B C mn p
sin
| Am Bn Cp | ,
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
解：两边取全微分 e x yd( xy) 2dz ezdz 0,
整理并解得
dz
ye xy ez 2
dx
x ez
dy, 2
z x
ye xy ez 2
,
2z xy
y
(
ye xy ez 2
)
(
ye
xy
)'y
(ez
2) ye xy (ez 2)2
(ez
2)'y
(e xy xye xy ) (ez 2) ye xy ez z
y (ez 2)2
例6：设 z z( x, y) 是由方程 e x y 2z ez 0
所确定的二元函数，求 dz, 2z . xy
解：两边取全微分 e x yd( xy) 2dz ezdz 0,
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第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法 平面的方程
x (tx 0)0 y (ty0)0 z (tz00) ( t 0 ) x x 0 ( ) ( t 0 ) y y 0 ( ) ( t 0 ) z z 0 ) ( 0
（2）设空间曲线 的方程
y ( x ) z ,( x )a , x b ,
例：求下列函数的极限：
xsinay (1)lim
x0 xy11
y0
x2y2 sinx2y2
(2)lim x0 y0
3
(x2 y2)2
3
(3) lim x2 | y |2
x y 4
2
x0
y0
lim xsin ay limxsinay( xy11)
x0 xy 1 1 x0
xy
y0
y0
alimsinay( xy11) alimsinay2
（5）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛 幂级数的收敛域、求级数求和函数。
（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线， 空间曲面的切平面
（1）设 :A B x C y D z 0 ,
L:xx0yy0zz0
mn p
则
L//snA m B C np 0
L在上A m B C n 0 p ,(x0,y0,z0) Ls//n A B C mn p
（2）设曲面方程为 zf(x,y), 第一步：取 F ( x ,y ,z ) z f ( x ,y ) 第二步：计算曲面的法向量
n ( f x ( x 0 , y 0 ) f y ( , x 0 , y 0 , ) 1 ) , 第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程
f x ( x 0 , y 0 ) x x ( 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) y y ( 0 ) ( z z 0 ) 0
第三步：分别写出切平面和法线的方程
F x (x 0 ,y 0 ,z0 )x ( x 0 ) F y(x 0 ,y 0 ,z0 )y ( y 0 ) F z(x 0 ,y 0 ,z0 )z( z0 ) 0
x x 0 y y 0 z z 0 F x (x 0 ,y 0 ,z 0 ) F y (x 0 ,y 0 ,z 0 ) F z(x 0 ,y 0 ,z 0 )
例:(1)已知曲线 xt,yt2,zt3在点P处的切线平行于
平面 x2yz2，求P点的坐标
(2 )设直 x 1线 y2(z 1 )与 平 3 x 面 6 y 3 z 2 5 0
m2
垂直， m与 求
（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值
x0
ay
y0 ay
y0
2a
求极限
lim
x0
x2y2
sinx2
3
y2
y0
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2y2)2
2 1 10
n (4 , 2 ,1 ),n//s, L,
例3：求曲面 x2y2z2x y30上同时垂直于平面 z0 与平面 xy10的切平面方程。
解：取 F x2y2z2x y 3 , 设切点为 M(x0,y0,z0), n (Fx,Fy,Fz)M ( 2 x 0 y 0 ,2 y 0 x 0 ,2 z 0 )
T ( 1 , ( x 0 ) , ( x 0 ) )
3、典型例题
例 1： 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3
和2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解
设所求直线的方向向量为
s { m ,n ,p },
根据题意知
sn1,
sn2,
取
sn 1n 2{4,3,1},
所求直线的方程
（1）多元函数在某点的定义域、极限和连续 要点：I：求二元函数在某点的极限 1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则 2、利用有界函数与无穷小乘积的性质
3、利用变量对换化为一元函数极限
4、利用夹逼准则与两个重要极限
例：函 z数 x y的定义域B为 ）（
A、 x0,y0 B、 x y,y0
C、 x y,y0 D 、 x0,y0
2z0 0
( 2 x 0 y 0 ) ( 2 y 0 x 0 ) 0
M 1(1,1,0),
x 0 2 y 0 2 z0 2 x 0y 0 3 0
M 2(1,1,0),
n 1 (3 , 3 ,0 ),n 2 ( 3 ,3 ,0 ),
1 :3 ( x 1 ) 3 ( y 1 ) 0 , xy20, 2 : 3 ( x 1 ) 3 ( y 1 ) 0 ,xy20,
sin
|A m Bn C|p ,
A 2B 2C 2 m 2n 2p2
0 ,
2
（2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线
要点：I：曲面在某点处的切平面
（1）设曲面方程为 F (x,y,z)0
第一步：计算 Fx,Fy,Fz, 第二步：计算曲面的法向量 n ( F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y ( x 0 , , y 0 , z 0 ) F z ( x 0 , , y 0 , z 0 ))
期末考试复习重点
（1）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的 切平面 （2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、 复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值
（3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标）
（4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关 第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。
xx0 yy0 zz0 fx(x0,y0) fy(x0,y0) 1
要点II：空间曲线的切线与法平面
（1）设空间曲线 的方程
x ( t )y ,( t ) z ,( t )
第一步：确定点 M(x0,y0,z0)对应的t0,参数
第二步：计算 T ( ( t 0 ) ( , t 0 ) ( , t 0 ) )
x3y2z5. 4 31
例2：设直线 L 和平面 的方程分别为
x3y2z10 L:2xy10z30, 则必有（ C ）
:4 x 2 y z 2 0 ,
(A)L//, (B) L在在上 , (C)L,
(D) L与斜交 .
解： i j s1 3
k
2 2i 8 1j 4 7 k 7 (4 i 2 j k )
x (tx 0)0 y (ty0)0 z (tz00) ( t 0 ) x x 0 ( ) ( t 0 ) y y 0 ( ) ( t 0 ) z z 0 ) ( 0
（2）设空间曲线 的方程
y ( x ) z ,( x )a , x b ,
例：求下列函数的极限：
xsinay (1)lim
x0 xy11
y0
x2y2 sinx2y2
(2)lim x0 y0
3
(x2 y2)2
3
(3) lim x2 | y |2
x y 4
2
x0
y0
lim xsin ay limxsinay( xy11)
x0 xy 1 1 x0
xy
y0
y0
alimsinay( xy11) alimsinay2
（5）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛 幂级数的收敛域、求级数求和函数。
（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线， 空间曲面的切平面
（1）设 :A B x C y D z 0 ,
L:xx0yy0zz0
mn p
则
L//snA m B C np 0
L在上A m B C n 0 p ,(x0,y0,z0) Ls//n A B C mn p
（2）设曲面方程为 zf(x,y), 第一步：取 F ( x ,y ,z ) z f ( x ,y ) 第二步：计算曲面的法向量
n ( f x ( x 0 , y 0 ) f y ( , x 0 , y 0 , ) 1 ) , 第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程
f x ( x 0 , y 0 ) x x ( 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) y y ( 0 ) ( z z 0 ) 0
第三步：分别写出切平面和法线的方程
F x (x 0 ,y 0 ,z0 )x ( x 0 ) F y(x 0 ,y 0 ,z0 )y ( y 0 ) F z(x 0 ,y 0 ,z0 )z( z0 ) 0
x x 0 y y 0 z z 0 F x (x 0 ,y 0 ,z 0 ) F y (x 0 ,y 0 ,z 0 ) F z(x 0 ,y 0 ,z 0 )
例:(1)已知曲线 xt,yt2,zt3在点P处的切线平行于
平面 x2yz2，求P点的坐标
(2 )设直 x 1线 y2(z 1 )与 平 3 x 面 6 y 3 z 2 5 0
m2
垂直， m与 求
（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值
x0
ay
y0 ay
y0
2a
求极限
lim
x0
x2y2
sinx2
3
y2
y0
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2y2)2
2 1 10
n (4 , 2 ,1 ),n//s, L,
例3：求曲面 x2y2z2x y30上同时垂直于平面 z0 与平面 xy10的切平面方程。
解：取 F x2y2z2x y 3 , 设切点为 M(x0,y0,z0), n (Fx,Fy,Fz)M ( 2 x 0 y 0 ,2 y 0 x 0 ,2 z 0 )
T ( 1 , ( x 0 ) , ( x 0 ) )
3、典型例题
例 1： 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3
和2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解
设所求直线的方向向量为
s { m ,n ,p },
根据题意知
sn1,
sn2,
取
sn 1n 2{4,3,1},
所求直线的方程
（1）多元函数在某点的定义域、极限和连续 要点：I：求二元函数在某点的极限 1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则 2、利用有界函数与无穷小乘积的性质
3、利用变量对换化为一元函数极限
4、利用夹逼准则与两个重要极限
例：函 z数 x y的定义域B为 ）（
A、 x0,y0 B、 x y,y0
C、 x y,y0 D 、 x0,y0
2z0 0
( 2 x 0 y 0 ) ( 2 y 0 x 0 ) 0
M 1(1,1,0),
x 0 2 y 0 2 z0 2 x 0y 0 3 0
M 2(1,1,0),
n 1 (3 , 3 ,0 ),n 2 ( 3 ,3 ,0 ),
1 :3 ( x 1 ) 3 ( y 1 ) 0 , xy20, 2 : 3 ( x 1 ) 3 ( y 1 ) 0 ,xy20,
sin
|A m Bn C|p ,
A 2B 2C 2 m 2n 2p2
0 ,
2
（2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线
要点：I：曲面在某点处的切平面
（1）设曲面方程为 F (x,y,z)0
第一步：计算 Fx,Fy,Fz, 第二步：计算曲面的法向量 n ( F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y ( x 0 , , y 0 , z 0 ) F z ( x 0 , , y 0 , z 0 ))
期末考试复习重点
（1）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的 切平面 （2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、 复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值
（3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标）
（4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关 第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。
xx0 yy0 zz0 fx(x0,y0) fy(x0,y0) 1
要点II：空间曲线的切线与法平面
（1）设空间曲线 的方程
x ( t )y ,( t ) z ,( t )
第一步：确定点 M(x0,y0,z0)对应的t0,参数
第二步：计算 T ( ( t 0 ) ( , t 0 ) ( , t 0 ) )
x3y2z5. 4 31
例2：设直线 L 和平面 的方程分别为
x3y2z10 L:2xy10z30, 则必有（ C ）
:4 x 2 y z 2 0 ,
(A)L//, (B) L在在上 , (C)L,
(D) L与斜交 .
解： i j s1 3
k
2 2i 8 1j 4 7 k 7 (4 i 2 j k )