向量(复习—教师版)
第02讲 空间向量基本定理(教师版)
第2课 空间向量基本定理课程标准课标解读1.理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义..2.理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量.3.会用相关的定理解决简单的空间几何问题.1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点01 空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =xa +yb +zc .其中，空间中不共面的三个向量a ，b ，c 组成的集合{a ，b ，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a ，b ，c 都称为基向量；如果p =xa +yb +zc ，则称xa +yb +zc 为p 在基底{a ，b ，c}下的分解式.【微点拨】1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.【即学即练1】若a ,b ,c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A.a ,a +b ,a -bB.b ,a +b ,a -bC.c ,a +b ,a -bD.a +b ,a -b ,2a +b【答案】C【解析】A ：因为(a +b )+(a -b )=2a ，所以向量a ,a +b ,a -b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为(a +b )+(-1)(a -b)=2b ，所以向量b ,a +b ,a -b 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为a ,b ,c为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若c ,a +b ,a -b 不构成一组基底，则有c =x (a +b )+y (a -b )⇒c =(x +y )a +(x -y )b ，所以向量a ,b ,c是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此c ,a +b ,a -b能构成一组基底，D ：因为2a +b =32(a +b )+12(a +b)，所以向量a +b ,a -b ,2a +b 是共面向量，因此a +b ,a -b ,2a +b不能构成一组基底.故选：C知识点02空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i ,j ,k表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.【微点拨】正交基底的三个向量i ,j ,k共起点.【即学即练2】已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a +b ，a -b ，a +c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为2,3,4 ，则p 在a +b ，a -b ，a +c 下的坐标为()A.-12,52,4B.52,12,4C.12,-52,4D.52,-12,4【答案】C 【分析】可设向量a =(1,0,0)，b =(0,1,0)，c =(0,0,1)，由此把向量a +b ，a -b ，a +c分别用坐标表示，列方程组解出x ，y ，z ，即可得到p的坐标．【详解】不妨设向量a =(1,0,0)，b =(0,1,0)，c=(0,0,1)；则向量a +b =(1,1,0)，a -b =(1,-1,0)，a +c=(1,0,1)．设p =x (a +b )+y (a -b )+z (a +c )，即(2,3,4)=x (1,1,0)+y (1,-1,0)+z (1,0,1)，∴x +y +z =2x -y =3z =4解得x =12y =-52z =4即p 在a +b ，a -b ，a +c 下的坐标为12,-52,4 ．故选：C ．【点睛】向量类问题的常用处理方法--向量坐标化，利用坐标运算比较简单．知识点03 用空间向量基本定理解决相关的几何问题1. 用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【即学即练3】已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且NM =xAB +yAD +zAP ，PM =2MC ，PN =ND ，则x +y +z 的值为()A.-23B.23C.1 D.56【答案】B【分析】取定空间的一个基底，由题设条件把NM用基底向量表示出，再根据空间向量基本定理求出x ，y ，z 的值而得解.【详解】PA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，以AB ,AD ,AP 为空间向量的一个基底，因PM =2MC，PN =ND ，NM =AM -AN =23AC +13AP -12(AD +AP )=23(AB +AD )-12AD -16AP =23AB+16AD -16AP ，又NM =xAB +yAD +zAP ，由空间向量基本定理知，x =23,y =16,z =-16，x +y +z =23+16-16=23.故选：B【点睛】空间向量线性运算与平面向量线性运算的运算律、运算方法相同.【即学即练4】如图，在三棱柱ABC -A 'B 'C '中，已知AA =a ，AB =b ，AC =c ，点M ，N 分别是BC '，B 'C '的中点，试用基底{a ,b ,c}表示向量AM ，AN .【答案】AM =12(a +b +c )；AN =a +12b +12c .【分析】根据向量的加法、减法法则，用a ,b ,c表示出AM 、AN 即可.【详解】连接A 'N ，AM =AB +12BC =AB +12(BC +CC)=AB +12BC +12CC=AB +12(AC -AB )+12AA =12AB +12AC +12AA =12(a +b +c)；AN =AA +A N =AA +12(A B +A C )=AA +12(AB +AC )=a +12b +12c .【点睛】本题考查向量的线性运算，考查计算化简的能力，属基础题.考法01空间向量基本定理的理解与运用：在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.【典例1】如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ,AC ,M ,N 分别是OA ,CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG =2GN ，用向量OA ,OB ,OC 表示向量OG为()A.OG =16OA +13OB +13OCB.OG =12OA+23OB +23OC C.OG =OA +23OB +23OCD.OG =12OA +13OB +23OC 【答案】A【分析】结合空间向量的加法、减法和数乘运算，把向量OG逐步向基底靠拢，再结合点的位置关系可得答案.【详解】OG =OM +MG =OM +23MN =23ON +13OM .因为M ,N 分别为OA ,CB 的中点，所以OM =12OA ,ON =12OB +OC ,所以OG =13OB +OC +16OA=16OA +13OB +13OC .故选：A .【典例2】下列关于空间向量的命题中，正确的有______.①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a ⎳b；②若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则有a ⎳c；③若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且OD =13OA +13OB +13OC ，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若向量a +b ，b +c ，c +a ，是空间一组基底，则a ，b ，c也是空间的一组基底.【答案】①③④【解析】对于①：若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即a ⎳b，故①正确；对于②：若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与c不一定共线，故②错误；对于③：若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且OD =13OA +13OB +13OC ，则OD -OA=13OB -OA +13OC-OA ，即AD =13AB +13AC ，可得到A ，B ，C ，D 四点共面，故③正确；对于④：若向量a +b ，b +c ，c +a，是空间一组基底，则空间任意一个向量d ，存在唯一实数组x ,y ,z ，使得d =x a +b +y b +c +z c +a =x +z a +x +y b +y +z c ，则a ，b ，c 也是空间的一组基底，故④正确.故答案为：①③④【典例3】已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =xSA +ySB +zSC ，则x +y +z =_____.【答案】-12【解析】如图,根据条件:BD =12BC +BS =12SC -SB -SB=-SB +12SC =0SA -SB +12SC ,又BD =xSA +ySB +zSC ,∴由空间向量基本定理得x +y +z =0-1+12=-12,故答案为:-12考法02证明空间三向量共面或四点共面的方法向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p =x a +y b ，则向量p ，a ，b共面.对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题，如，本例中当MN 和CD 、DE 没有关联的端点时要说明CD 与DE不共线.除了例题中记法，另，若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP =x OA +y OB +z OC ，且x +y +z =1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面.可使用这一推论进行共面的证明.【典例4】如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM =13BD ，AN =13AE .求证:向量MN ，CD ，DE 共面.【答案】证明见解析【分析】根据题意，求得MB =13DB =13DA +13AB ，AN =13AD +13DE，再结合向量的共面定理，即可求解.【详解】因为M 在BD 上，且BM =13BD ，所以MB =13DB =13DA +13AB .同理AN =13AD +13DE .所以MN =MB +BA +AN=13DA +13AB +BA +13AD +13DE =23BA+13DE =23CD +13DE .又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN ，CD ，DE 共面.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的共面定理，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与论证能力.【典例5】已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM =13OA +13OB +13OC .(1)判断MA ，MB ，MC三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内.【答案】(1)MA ,MB ,MC共面；(2)点M 在平面ABC 内.【分析】(1)由向量的线性关系可得OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC )，由向量减法有MA =-MB-MC ，由空间向量共面定理，知MA ,MB ,MC 共面.(2)由(1)结论，有四点共面，即可知M 在平面ABC 内.【详解】(1)由题意，知：3OM =OA +OB +OC，∴OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC )，即MA =BM +CM =-MB -MC ，故MA ,MB ,MC共面得证.(2)由(1)知：MA ,MB ,MC共面且过同一点M .所以M ,A ,B ,C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.考法03利用空间向量基本定理解决几种常见问题：1.平行问题：【典例6】已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ⎳平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM =14(OA +OB +OC +OD).【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)证明见详解【分析】(1)根据向量的加法几何应用得EG =EF +EH，由共面向量定理的推论可证E ，F ，G ，H 四点共面；(2)利用中位线证EH ⎳BD ，根据线面平行的判定定理可证BD ⎳平面EFGH ；(3)根据向量的几何应用可得OM =12(OE +OG )、OE =12(OA +OB )、OG =12(OC +OD )即可证OM =14(OA +OB +OC +OD )【详解】(1)如图，连接BG则EG =EB +BG =EB +12(BC +BD )=EB +BF +EH =EF +EH由共面向量定理的推论，知E ，F ，G ，H 四点共面(2)∵△ABD 中E ，H 分别是边AB ，DA 的中点，即EH 为中位线∴EH ⎳BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH ∴BD ⎳平面EFGH(3)由(2)知EH =12BD ，同理FG =12BD∴EH =FG ，即四边形EFGH 是平行四边形∴对角线EG ，FH 交于一点M 且M 为它们的中点，又E ，G 分别是AB ，CD 的中点空间中任取一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG ，如图所示故，在△OEG 中OM =12(OE +OG )=12OE+12OG在△AOB 中OE =12(OA +OB )；在△COD 中OG =12(OC +OD)；∴OM =12×12(OA +OB ) +12×12(OC +OD ) =14(OA +OB +OC +OD ).2.垂直问题：【典例7】在所有棱长均为2的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠B 1BC =60°，求证：(1)AB 1⊥BC ；(2)A 1C ⊥平面AB 1C 1.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)通过计算AB 1 ⋅BC=0来证得AB 1⊥BC .(2)通过证明A 1C ⊥AC 1、AB 1⊥A 1C 来证得A 1C ⊥平面AB 1C 1.【详解】(1)依题意可知三角形ABC 是等边三角形，所以‹AB ,BC ›=120°,AB 1 =AB +BB 1 ，则AB 1 ⋅BC =(AB +BB 1 )⋅BC =AB ⋅BC +BB 1 ⋅BC =2×2×-12 +2×2×12=0.所以AB 1⊥BC .(2)依题意四边形AA 1C 1C 为菱形，所以A 1C ⊥AC 1.因为AB 1 ⋅A 1C =(BB 1 -BA )⋅(AC -AA 1)=(BB 1 -BA )⋅(BC -BA -AA 1 )=BB 1 ⋅BC -BB 1 ⋅BA -BB 1 ⋅AA 1 -BA ⋅BC +BA ⋅BA +BA ⋅AA 1=BB 1 ⋅BC -BB 1 ⋅AA 1 -BA ⋅BC +BA ⋅BA=2×2×12-4-2×2×12+4=0，所以AB 1⊥A 1C ，又AC 1∩AB 1=A ，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.3.夹角问题：【典例8】已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD=π3，DD 1=2.(1)证明：DD 1⊥BD ；(2)求异面直线CA 1与AB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见详解；(2)51122【分析】(1)由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明DD 1 ⋅BD=0即可；(2)用基向量求解向量CA 1 ,AB的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.【详解】设CD =a ，CB =b ，CC 1 =c由题可知：a ,b ,c 两两之间的夹角均为π3，且a =1=b ，c =2(1)由DD 1 ⋅BD =CC 1 ⋅CD -CB =c ⋅a -b =c ⋅a -c ⋅b=1-1=0所以DD 1⊥BD 即证.(2)由CA 1 =CD +DA +AA 1 =a +b +c ，又AB =-a所以CA 1 =a +b +c 2=11，AB =1又CA 1 ⋅AB =-a ⋅a +b +c =-52则cos CA 1 ,AB =CA 1 ⋅ABCA 1 AB=-5211=-51122又异面直线夹角范围为0,π2所以异面直线CA 1,AB 夹角的余弦值为51122.4.求长度：【典例9】如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ,AD ,AA 1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP =BC ，记a =AB,b =AD ,c =AA 1 .(1)试用a ,b ,c表示D 1P ；(2)求D 1P 模.【答案】(1)a -23b -c；(2) 5.【解析】(1)D 1P =AP -AD 1 =(AB +BP )-(AD +AA 1)，=a +13b -(b +c )=a -23b -c.(2)因为AB ，AD ，AA 1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.所以a ⋅b =3,a ⋅c=1,b ⋅c =32，D 1P =a -23b -c =a 2+49b 2+c 2-43a ⋅b -2a ⋅c +43b ⋅c =4+4+1-4-2+2.= 5.基础过关练1.下列能使向量MA ，MB ，MC成为空间的一个基底的关系式是()A.OM =13OA +13OB +13OC B.MA =MB +MCC.OM =OA +OB +OCD.MA =2MB -MC【答案】C【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A ：由OM =xOA +yOB +zOC x +y +z =1 ，可得M ，A ，B ，C 四点共面，即MA ,MB,MC共面，所以选项A 无法构成基底，选项C 可以构成基底；对于B ：因为MA =MB +MC ，由平面向量基本定理，可得MA ,MB ,MC共面，无法构成基底，故B 错误；同理选项D 中，MA ,MB ,MC共面，故D 错误.故选：C2.在正方体ABCD -A 'B 'C 'D '中，点M 为棱D 'C '的中点，点N 为棱BC 的中点，若MN =xAB +yAD+zAA ' ，则x +y +z =()A.-1B.0C.1D.2【答案】A【分析】利用空间向量的加法运算得到MN =12AB -AA ' -12AD ，再由MN =xAB +yAD +zAA ' ，利用待定系数法求解.【详解】如图所示：MN =MC ' +C 'C +CN =12AB -AA ' -12AD ，又因为MN =xAB +yAD +zAA '，所以x =12,y =-12,z =-1，所以x +y +z =-1，故选：A3.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1 =a ，AB =b ，AD =c，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c表示A 1N ()A.-a +b +12cB.-a +b +cC.-a -b +12cD.a -b +12c【答案】A【解析】∵N 是BC 的中点，∴A 1N =A 1A +AB +BN =-a +b +12BC =-a +b +12AD =-a +b +12c.故选：A .4.如图，正四棱锥P -ABCD 中，已知PA =a ，PB =b ，PC =c ，PE =12PD ，则BE=()A.12a -32b +12c B.-12a -12b -12cC.-12a -32b +12cD.-12a -12b +32c【答案】A【解析】如图所示：连接AC 、BD 交点为O ，则PO =12a +12c，又PO =12PD +12PB ，所以PD =a +c -b ，又PE =12PD =12a +12c -12b ，所以BE =BP +PE =12a -32b +12c.故选：A .5.已知向量a ,b ,c是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是()A.a +b ，a ，a -bB.a +b ，b ，a -bC.a +b ，c ，a -bD.a +b ，2a -b ，a -b【答案】C【解析】∵a +b +a -b =2a ，∴a ，a +b ，a -b共面，不能构成基底，排除A ；∵a +b -a -b=2b ，∴b ，a +b ，a -b 共面，不能构成基底，排除B ；∵2a -b =32a -b +12a +b ，∴a +b ，a -b ，2a -b 共面，不能构成基底，排除D ；若c 、a +b ，a -b 共面，则c =λa +b +m a -b =(λ+m )a +(λ-m )b ，则a 、b 、c为共面向量，此与a ,b ,c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a +b ，a -b 可构成空间向量的一组基底．故选：C ．6.已知e 1 、e 2 、e 3 是空间的一个基底，a =e 1 +e 2 ，b =e 1 -e 2 ，c =e 3 ，p =3e 1 +2e 2 +e 3 ，若p =xa+yb +zc ，则x 、y 、z 的值分别为()A.12，52，1 B.52，1，12C.1，12，52D.52，12，1【答案】D【分析】本题首先根据p =xa +yb +zc 得出p =x +y e 1 +x -y e 2 +z e 3 ，然后根据p =3e 1 +2e 2 +e 3 即可列出算式并通过计算得出结果.【详解】因为a =e 1 +e 2 ，b =e 1 -e 2 ，c =e 3 ，p =xa +yb +zc，所以p=x e 1 +e 2 +y e 1 -e 2 +z e 3 =x +y e 1 +x -y e 2 +z e 3 ，因为p=3e 1 +2e 2 +e 3 ，所以x +y =3x -y =2z =1，解得x =52y =12z =1，故选：D .7.如图，在四面体OABC 中，G 是△ABC 的重心，D 是OG 的中点，则()A.OD =13OA +16OB+16OC B.OD =16OA +16OB +16OC C.OD =12OA +13OB +13OC D.OD =13OA +13OB +13OC 【答案】B【分析】记点E 为BC 的中点，连接AE ，OE ，G 是△ABC 的重心，则AG =23AE =23(OE -OA)，又OD =12OG =12(OA +AG )，化简可得选项．【详解】如图，记点E 为BC 的中点，连接AE ，OE ，所以OE =12(OB +OC )，又G 是△ABC 的重心，则AG =23AE ，所以AG =23AE =23(OE -OA ).因为OD =12OG ，所以OD =12OG =12(OA +AG )=12OA+13(OE -OA )=16OA +13OE =16OA +16(OB +OC )=16OA +16OB +16OC .8.如图所示，在四面体ABCD 中，△ABC 为等边三角形，AB =1，CD =12，∠ACD =60°，AB ⊥CD ，则BD =()A.32B.72C.52D.32【答案】D【分析】用向量BA ,AC ,CD 表示向量BD ,再根据向量的模的计算公式求解即可；另一方面还可以通过证明CD ⊥平面ABD 得CD ⊥BD ，进而在Rt △BCD 中求解即可.【详解】解：方法一：依题意，BD =BA +AC +CD，因为△ABC 为等边三角形，AB =1，CD =12，∠ACD =60°，AB ⊥CD ，所以BD =BD 2=BA +AC +CD 2=BA 2+AC 2+CD 2+2BA ⋅AC +2AC ⋅CD +2BA ⋅CD=1+1+14+2×1×1×cos120°+2×1×12×cos120°+2×0=32，故选：D ．方法二：∵AC =AB =1，CD =12，∠ACD =60°，∴AD =AC 2+CD 2-2⋅AC ⋅CD ⋅cos ∠ACD =32∴AD 2+CD 2=AC 2，即AD ⊥CD∵CD ⊥AB ，AB ∩AD =A ，∴CD ⊥BD ，BC =1⇒BD =32．故选：D ．【点睛】本题考查空间线段的计算，解题的关键在于将问题转化为向量的模的计算即可解决，是基础题.能力提升练9.以下命题①|a |-|b |=|a +b |是a ,b共线的充要条件；②若{a ,b ,c }是空间的一组基底，则{a +b ,b +c ,c +a }是空间的另一组基底；③|(a ⋅b )c |=|a |⋅|b |⋅|c |．其中正确的命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】①|a |-|b |=|a +b |⇒a ，b 共线，反之不成立，|a |-|b |=|a +b |是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，c }是空间的一组基底，假设a +b ,b +c ,c +a 共面，则存在唯一一组实数x ,y ，使a +b =x (b +c )+y (c +a)成立，即a +b =xb +(x +y )c +ya，所以x =1,y =1,x +y =0，显然无解，假设不成立，即a +b ,b +c ,c +a不共面，则{a +b ，b +c ，c +a }是空间的另一组基底，正确；③|(a ∙b )c |=|a |∙|b |∙|c |cos <a ,b >，而cos <a ,b >不一定等于1，因此不正确．其中正确的命题有一个．故选：B ．10.在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是()A.OM =2OA -OB -OCB.OM =15OA +13OB +12OCC.MA +MB +MC =0D.OM +OA +OB +OC =0 【答案】C 【解析】【分析】根据四点共面需要满足的条件，对四个选项进行逐一分析即可得到结果.【详解】空间的四点M 、A 、B 、C 四点共面，只需满足OM =xOA +yOB +zOC，且x +y +z =1即可，对于A ，OM =2OA -OB -OC中x +y +z =2-1-1=0，故此时四点M 、A 、B 、C 四点不共面；对于B ，OM =15OA +13OB +12OC 中x +y +z =15+13+12≠1，此时四点M 、A 、B 、C 四点不共面；对于C ，MA +MB +MC =0 ，MO +OA +MO +OB +MO +OC =0，即OM =13OA +13OB +13OC ，x +y +z =13+13+13=1，此时四点M 、A 、B 、C 四点共面；对于D ，OM +OA +OB +OC =0 ，则OM =-OA -OB -OC，x +y +z =-1-1-1=-3，此时四点M 、A 、B 、C 四点不共面；故选：C【点睛】本题考查空间中四点共面的判断，注意四点共面判断的二级结论的使用即可.11.已知空间向量a ，b 满足|a |=|b |=1，且a ，b 的夹角为π3，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA =2a +b ，OB =3a -b ，则△OAB 的面积为()A.523 B.543 C.743 D.114【答案】B 【分析】求出|OA |和|OB |，cos ∠AOB 和sin ∠AOB ，根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】|OA |=(2a +b)2=4|a |2+|b |2+4a ⋅b=4+1+4×1×1×12=7，|OB |=(3a -b )2=9a 2-6a ⋅b +b 2=9-6×1×1×12+1=7，则cos ∠AOB =OA ·OB |OA ||OB |=6|a |2-|b |2+a ⋅b 7=6-1+ 1×1×127=1114，从而有sin ∠AOB =1-1114 2=5314，∴△OAB 的面积S =12|OA ||OB |sin ∠AOB =12×7×7×5314=534，故选：B ．12.在三棱锥M -ABC 中，下列命题正确的是()A.若AD =13AB +23AC ，则BC =3BDB.若G 为△ABC 的重心，则MG =13MA +13MB +13MCC.若MA ⋅BC =0，MC ⋅AB =0，则MB ⋅AC =0D.若三棱锥M -ABC 的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则PQ =2【答案】BC 【分析】作出三棱锥M -ABC 直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，由已知AD =13AB +23AC ⇒3AD =2AC +AB ⇒2AD -2AC =AB -AD ，即2CD =DB，则32BD=BD +DC =BC ，故A 错误；对于B ，由G 为△ABC 的重心，得GA +GB +GC =0，又MG =MA +AG ，MG =MB +BG ，MG =MC +CG ，∴MA +MB +MC =3MG ，即MG =13MA +13MB +13MC ，故B 正确；对于C ，若MA ⋅BC =0，MC ⋅AB =0，则MA ⋅BC +MC ⋅AB =0，即MA ⋅BC +MC ⋅(AC +CB)=0⇒MA ⋅BC +MC ⋅AC +MC ⋅CB =0⇒MA ⋅BC +MC ⋅AC -MC ⋅BC =0⇒MA -MC ⋅BC +MC ⋅AC =0⇒CA ⋅BC +MC ⋅AC =0⇒AC ⋅CB +MC ⋅AC =0⇒CB +MC ⋅AC =0，即MB ⋅AC =0，故C 正确；对于D ，∴PQ =MQ -MP =12(MB +MC )-12MA=12(MB +MC -MA )∴PQ =12MB +MC -MA =12MB +MC -MA2，又MB +MC -MA 2=MB 2+MC 2+MA2+2MB ⋅MC -2MB ⋅MA -2MC ⋅MA =22+22+22+2×2×2×12-2×2×2×12-2×2×2×12=8，∴PQ =128=2，故D 错误.故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．13.(多选题)在四面体P -ABC 中，以上说法正确的有()A.若AD =13AC +23AB ，则可知BC =3BDB.若Q 为△ABC 的重心，则PQ =13PA +13PB +13PCC.若PA ∙BC =0，PC ∙AB =0，则PB ∙AC =0D.若四面体P -ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为PA ,BC 的中点，则MN =1【答案】ABC 【分析】作出四面体P -ABC 直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，∵AD =13AC +23AB ，∴3AD =AC +2AB ，∴2AD -2AB =AC -AD ，∴2BD =DC，∴3BD =BD +DC =BC 即∴3BD =BC ，故A 正确；对于B ，∵Q 为△ABC 的重心，则QA +QB +QC =0，∴3PQ +QA +QB +QC =3PQ ∴(PQ +QA )+(PQ +QB )+(PQ +QC )=3PQ ,∴PA +PB +PC =3PQ即∴PQ =13PA +13PB +13PC ，故B 正确；对于C ，若PA ∙BC =0，PC ∙AB =0，则PA ∙BC +PC ∙AB=0，∴PA ∙BC +PC ∙(AC +CB )=0,∴PA ∙BC +PC ∙AC +PC ∙CB =0∴PA ∙BC +PC ∙AC -PC ∙BC =0,∴(PA -PC )∙BC +PC ∙AC =0∴CA ∙BC +PC ∙AC =0,∴AC ∙CB +PC ∙AC =0∴AC ∙(PC +CB )=0，∴AC ∙PB =0，故C 正确；对于D ，∴MN =PN -PM =12(PB +PC )-12PA=12(PB +PC -PA )∴MN =12PB +PC -PA =12PA -PB -PC∵PA -PB -PC =PA 2+PB 2+PC 2-2PA ∙PB -2PA ∙PC +2PC ∙PB =22+22+22-2×2×2×12-2×2×2×12+2×2×2×12=22∴MN=2，故D 错误.故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．14.已知O 是空间任一点，A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA =2x ⋅BO +3y ⋅CO +4z ⋅DO ，则2x +3y +4z =________.【答案】-1【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【详解】∵OA =2x •BO +3y •CO +4z •DO ，∴OA =-2x •OB -3y •OC -4z •OD ，∵O 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面∴-2x -3y -4z =1∴2x +3y +4z =-1故答案为-115.在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA =a ，PB =b ，PC =c ，则BE=_____．【答案】12a -32b +12c【分析】根据底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，向量加法的平行四边形法则得到BE =12(BP +BD )，而BD=BA +BC =(PA -PB )+(PC -PB )，即可求得BE 的结果.【详解】解：BE =12(BP +BD )=12(-b +BA +BC )=-12b +12(PA -PB +PC -PB )=-12b +12(a +c -2b )=12a -32b +12c ．故答案为：12a -32b +12c.16.如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知A 1A =a ,A 1B 1 =b ,A 1D 1 =c,O 为底面的ABCD 的中心，G 为△D 1C 1O 的重心，则AG=______【答案】23a +12b +56c【分析】AG =AO +OG =12AB +AD +13OD 1 +OC 1 =12b +c +1312BA +BC +DD 1 +12AB +AD +CC 1 ，由此能求出结果.【详解】解：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1A =a ,A 1B 1 =b ,A 1D 1 =c,O 为底面的ABCD 的中心，G 为△D 1C 1O 的重心，∴AG =AO +OG=12AB +AD +13OD 1+OC 1 =12b +c +1312BA +BC +DD 1 +12AB +AD +CC 1 =12b +c +16-b +c +13a +16b +c +13a=23a +12b +56c.故答案为：23a +12b +56c.【点睛】本题考查向量的求法，空间向量加法法则等基础知识的考查.培优拔尖练17.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA 1=∠CAA 1=60°．(1)设AA 1 =a ，AB =b ，AC =c ，用向量a ，b ，c 表示BC 1 ，并求出BC 1的长度；(2)求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．【答案】(1)BC 1 =a +c -b ；BC 1 =2；(2)66．【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算法则可得BC 1 =a +c -b ，根据BC 1=(a +c -b)2计算可得BC 1的长度；(2)根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】(1)BC 1 =BB 1 +B 1C 1 =BB 1 +A 1C 1 -A 1B 1 =AA 1 +AC -AB =a +c -b，因为a ⋅b =|a |⋅|b |cos ∠BAA 1=1×1×cos60°=12，同理可得a ⋅c =b ⋅c =12，所以BC 1 =(a +c -b )2=a 2+c 2+b 2+2a ⋅c -2a ⋅b -2c ⋅b=1+1+1+1-1-1=2．(2)因为AB 1 =a +b ，所以AB 1 =(a +b )2=a 2+b 2+2a ⋅b=1+1+1=3，因为AB 1 ⋅BC 1 =(a +b )⋅(a +c -b )=a 2+a ⋅c -a ⋅b +b ⋅a +c ⋅b -b 2=1+12-12+12+12-1=1，所以cos <AB 1 ,BC 1 >=AB 1 ⋅BC 1AB 1 BC 1=12×3=66．所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为66．【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量计算线段的长度，考查了异面直线所成角的向量求法.18.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB =a ,AD =b ,AP =c ．(1)试用l 表示出向量BM；(2)求BM 的长．【答案】(1)-12a +12b +12c (2)62【解析】(1)∵M 是PC 的中点，∴BM =12BC +BP =12AD +AP -AB =12b +c -a =-12a +12b +12c (2)由于AB =AD =1,PA =2, ∴a =b =1,c =2由于AB ⊥AD ,∠PAB =∠PAD =600, ∴a ⋅b =0, a ⋅c =b ⋅c =2⋅1⋅cos60°=1由于BM =12-a +b +c ,∴BM 2=14-a +b +c 2=14a 2+b 2+c 2+2-a ⋅b -a ⋅c +b ⋅c =14 12+12+22+20-1+1 =32∴BM =62， ∴BM 的长为62.19.已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE =kOA ，OF =kOB ，OH =kOD ，AC =AD +mAB ，EG =EH +mEF ．求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面；(2)AC ⎳EG ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据共面向量的基本定理，由AC =AD +mAB ，EG =EH +mEF 可证明结论.(2)运用向量共线定理求证得到线平行.【详解】由AC =AD +mAB ，EG =EH +mEF 由共面向量的基本定理可得：AC ， AD ， AB 为共面向量且AC ， AD ， AB 有公共点A EG ， EH ， EF 为共面向量且EG ， EH ， EF 有公共点E所以A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)因为OE =kOA ，OF =kOB ，OH =kOD ∵EG =EH +mEF =OH -OE +m (OF -OE )=k (OD -OA )+km (OB -OA )=kAD +km AB =k (AD +mAB )=kAC ，∵AC ∥EG ，又∵E ∉AC ，∴AC ⎳EG ．所以AC ⎳EG20.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .【答案】证明见解析.【分析】设AB =a ，AD =c ，AA 1 =b ，作为一组基底，分别表示向量EF ,AB 1 ,B 1C ，证明EF ⊥AB 1 ，EF ⊥B 1C 即可.【详解】设AB =a ，AD =c ，AA 1 =b ，则a ⋅b =a ⋅c =b ⋅c =0.则EF =EB 1 +B 1F =12(BB 1 +B 1D 1 )=12(AA 1 +BD )=12(AA 1 +AD -AB )=12(-a +b +c )，AB 1 =AB +BB 1 =AB +AA 1 =a +b .∴EF ⋅AB 1 =12(-a +b +c )⋅(a +b )=12|b |2-|a |2 =0.∴EF ⊥AB 1 ，即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C .∵AB 1∩B 1C =B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .21.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AC ,A 1C ⊥BC 1,AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1,BC 的中点.求证：(1)DE ⎳平面ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面BCC 1B 1.(用向量方法证明)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)设AB =a ,AC =b ,AA 1 =c ，利用空间向量定理表示向量DE ，A 1C ，论证DE ，A 1C 共线即可.(2)设AB =a ,AC =b ,AA 1 =c ，利用空间向量定理表示向量AE ,BC ,BB 1,BC 1 ,AB 1 ，根据AB =AC ,A 1C ⊥BC 1,AB 1⊥BC 1，得到b ⋅c +a ⋅c =0，然后再论证AE ⊥BB 1 ，AE ⊥BC 即可.【详解】设AB =a ,AC =b ,AA 1 =c .(1)DE =AE -AD =12(a +b )-12AB 1 =12(a +b )-12(a +c )=12(b -c )，∵A 1C =AC -AA 1 =b -c ，∴DE =12A 1C ，∴DE ⎳A 1C ，又DE ⊄平面ACC 1A 1,A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴DE ⎳平面ACC 1A 1.(2)易知AE =12(a +b ),BC =b -a ,BB 1=c ,BC 1 =b -a +c ,AB 1 =a +c ，∵A 1C ⊥BC 1,AB 1⊥BC 1，∴A 1C ⋅BC 1 =0AB 1 ⋅BC 1 =0 即(b -c )⋅(b -a +c )=0,(a +c )⋅(b -a +c )-0,两式相加，整理得b 2-a 2+b ⋅c +a ⋅c =0，∵AB =AC ，∴|a |=|b |，∴b ⋅c +a ⋅c =0.∵AE ⋅BB 1 =12(a +b )⋅c =12(a ⋅c +b ⋅c )=0，∴AE ⊥BB 1 .又AE ⋅BC =12b 2-a 2 =0，∴AE ⊥BC .又BC ∩BB 1=B ，∴AE ⊥平面BCC 1B 1.。
平面向量的应用(教师版)
平面向量的应用1 平面几何中的向量方法① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.Eg 点A 、B 、C 、D 不在同一直线上(1)证明直线平行或共线：AB//CD ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)证明直线垂直：AB ⊥CD ⟺AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 (3)求线段比值：AB CD =|λ|且AB//CD ⇔ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)证明线段相等： AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔AB =CD 2 向量在物理中的应用① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；② 力的合成与分解符合平行四边形法则.【题型一】平面向量在几何中的应用【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.【证明】 设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC ,BO =OD∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB =DC 且AB//DC 所以四边形ABCD 是平行四边形即对角线互相平分的四边形是平行四边形.【点拨】① 证明四边形是平行四边形⇔AB =DC 且AB//DC ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.【典题2】 已知平行四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，求证AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) (即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).【证明】由 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 两式相加得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) 即AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)【点拨】利用|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB |2可证明线段长度关系.【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.【证明】(分析 设H 是高线BE 、CF 的交点，再证明AH ⊥BC ，则三条高线就交于一点.)设H 是高线BE 、CF 的交点，则有BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∴(AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 化简得AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C∴AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 则AH ⊥BC (向量中证明AB ⊥CD ，只需要证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0) 所以三角形三条高线交于一点.【典题4】证明三角形三条中线交于一点.【证明】(分析 设BE 、AF 交于O ，证明C 、O 、D 三点共线便可)AF 、CD 、BE 是三角形ABC 的三条中线设BE 、AF 交于点O ，∵点D 是中点，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 连接EF ，易证明∆AOB~∆FOE,且相似比是2：1，∴BO =23BE,∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即C 、O 、D 三点共线， (向量中证明三点A 、B 、C 共线，只需证明AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴AF 、CD 、BE 交于一点，即三角形三条中线交于一点.巩固练习1(★★) 如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，AB =1，CD =2，∠ABC =75°，∠BCD =45°，则线段EF 的长是 ．【答案】√72【解析】 由图象，得EF →=EA →+AB →+BF →，EF →=ED →+DC →+CF →．∵E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，∴2EF →=(EA →+ED →)+(AB →+DC →)+(BF →+CF →)=AB →+DC →．∵∠ABC =75°，∠BCD =45°，∴＜AB →，DC →＞=60°，∴|EF|→=12√(AB →+DC →)2=12√AB →2+DC →2+2|AB|→⋅|DC|→cos ＜AB →，DC →＞=12√12+22+2×1×2×12=√72． ∴EF 的长为√72． 故答案为 √72． 2(★★) 证明勾股定理，在Rt∆ABC 中，AC ⊥BC ，AC =b ，BC =a ,AB =c ，则c 2=a 2+b 2.【证明】 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 故c 2=a 2+b 2.3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【证明】如图平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | A BC∴四边形ABCD 是菱形.4(★★)用向量方法证明 设平面上A ，B ，C ，D 四点满足条件AD ⊥BC ，BD ⊥AC ，则AB ⊥CD ．【证明】 因AD ⊥BC ，所以AD →⋅BC →=AD →⋅(AC →−AB →)=0，因BD ⊥AC ，所以AC →⋅BD →=AC →⋅(AD →−AB →)=0，于是AD →⋅AC →=AD →⋅AB →，AC →⋅AD →=AC →⋅AB →，所以AD →⋅AB →=AC →⋅AB →，(AD →−AC →)⋅AB →=0，即CD →⋅AB →=0，所以CD →⊥AB →，即AB ⊥CD ．5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.【证明】如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O,设OA =a ，∵对角线相等 ∴OB =OD =a∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−a 2=0 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即AB ⊥AD∴四边形ABCD 是矩形.6(★★★) 已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1．求证 △P 1P 2P 3是正三角形．【证明】法一 ∵OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，∴OP 1→+OP 2→=−OP 3→．∴|OP 1→+OP 2→|=|−OP 3→|．∴|OP 1→|2+|OP 2→|2+2OP1→•OP 2→=|OP 3→|2． 又∵|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，∴OP 1→•OP 2→=−12．∴|OP 1→||OP 2→|cos∠P 1OP 2=−12，即∠P 1OP 2=120°．B C同理∠P 1OP 3=∠P 2OP 3=120°．∴△P 1P 2P 3为等边三角形．法二 以O 点为坐标原点建立直角坐标系，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则OP 1→=(x 1，y 1)，OP 2→=(x 2，y 2)，OP 3→=(x 3，y 3)．由OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，得{x 1+x 2+x 3=0y 1+y 2+y 3=0.∴{x 1+x 2=−x 3y 1+y 2=−y 3.， 由|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，得x 12+y 12=x 22+y 22=x 32+y 32=1∴2+2(x 1x 2+y 1y 2)=1∴|P 1P 2→|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√x 12+x 22+y 12+y 22−2x 1x 2−2y 1y 2=√2(1−x 1x 2−y 1y 2)=√3同理|P 1P 3→|=√3，|P 2P 3→|=√3∴△P 1P 2P 3为正三角形【题型二】平面向量在物理中的应用【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为|v 0|=1m/s ，设某人在静水中游泳的速度为v 1，在流水中实际速度为v 2．(1)若此人朝正南方向游去，且|v 1|=√3m/s ，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v 2的大小；(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v 2|=√3m/s ，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v 1的大小．【解析】如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 2⃗⃗⃗⃗ ，则由题意知v 2⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ +v 1⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB 为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB 为矩形，且|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=AC =√3，如下图所示，则在直角△OAC中，|v2⃗⃗⃗⃗ |=OC=√OA2+AC2=2，tan∠AOC=√31=√3，又α=∠AOC∈(0 ,π2)，所以α=π3；(2)由题意知α=∠OCB=π2，且|v2⃗⃗⃗⃗ |=|OC|=√3，BC=1，如下图所示，则在直角△OBC中，|v1⃗⃗⃗⃗ |=OB=√OC2+BC2=2，tan∠BOC=√3=√33，又∠AOC∈(0 ,π2)，所以∠BOC=π6，则β=π2+π6=2π3，答(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．【点拨】注意平行四边形法则的使用！【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1⃗⃗⃗ ，F2⃗⃗⃗⃗ ，且|F1⃗⃗⃗ |=|F2⃗⃗⃗⃗ |，F1⃗⃗⃗ 与F2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ．给出以下结论①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0 ,π]；③当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|；④当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|．其中正确结论的序号是．【解析】对于①，由|G|=|F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ |为定值，所以G2=|F1⃗⃗⃗ |2+|F2⃗⃗⃗⃗ |2+2|F1⃗⃗⃗ |×|F2⃗⃗⃗⃗ |×cosθ=2|F1⃗⃗⃗ |2(1+cosθ)，解得|F1⃗⃗⃗ |2=|G|22(1+cosθ)；由题意知θ∈(0 ,π)时，y=cosθ单调递减，所以|F1⃗⃗⃗ |2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．对于②，由题意知，θ的取值范围是(0 ,π)，所以②错误．对于③，当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |2=G22，所以|F1⃗⃗⃗ |=√22|G|，③错误．对于④，当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |2=|G|2，所以|F1⃗⃗⃗ |=|G|，④正确．综上知，正确结论的序号是①④．故答案为①④．【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【解析】如图，设木板对球的支持力为N⃗，则N⃗=10sinα，设绳子的拉力为f．又AC=20cosα，AD=6tanα2，由动力矩等于阻力矩得|f|×20cosα=|N⃗|×6tanα2=60sinα⋅tanα2，∴|f|=6020cosα⋅sinα⋅tanα2=3cosα(1−cosα)≥3(cosα+1−cosα2)2=314=12，∴当且仅当 cosα=1−cosα 即cosα=12，亦即α=60°时，|f|有最小值12N．巩固练习1(★★) 一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．【答案】2√10km/ℎ【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为v AC →=v 船→+v 水→；大小为|v AC →|=|v 船→+v 水→|=√62+22 =2√10km/ℎ．2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1 ,F 2，且F 1 ,F 2与水平夹角均为45°，|F 1⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |=10√2N ，则物体的重力大小为 ．【答案】20【解析】如图，∵|F 1→|=|F 2→|=10√2N ，∴|F 1→+F 2→|=10√2×√2N =20N ，∴物体的重力大小为20．故答案为 20．3(★★) 已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．【答案】5√3km/ℎ【解析】如图，设AD →表示船垂直于对岸的速度，AB →表示水流的速度，以AD ，AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度．在Rt△ABC 中，∠CAB =30°，|AD →|=|BC →|=5，∴|AC →|=|BC →|sin30°=10，|AB →|=|BC →|tan30°=5√3．故船实际航行速度的大小为10km/ℎ，水流速度5√3km/ℎ．4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力F 1、F 2、F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m ．已知|F 1|=2N ，方向为北偏东30°；|F 2|=4N ，方向为东偏北30°；|F 3|=6N ，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F 所做的功．【答案】24√6 J【解析】 以三个力的作用点为原点，正东方向为x 轴正半轴，建立直角坐标系． 则由已知可得OF 1→=(1，√3)，OF 2→=(2√3，2)，OF 3→=(﹣3，3√3)．∴OF →=OF 1→+OF 2→+OF 3→=(2√3−2，4√3+2)．又位移OS →=(4√2，4√2)．∴OF →•OS →=(2√3−2)×4√2+(4√3+2)×4√2=24√6(J)．。
向量复习知识归纳
向量 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．1、实数与向量的积的运算律 ： 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 3、平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．5、向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.b aCBAa b C -=A -AB =B6、 a 与b 的数量积(或内积) ： a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．性质：①0a b a b ⊥⇔⋅= ．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时， a b a b ⋅=- ；22a a a a ⋅== 或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤ ．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8、两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11、线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 12、三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 15、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.练习题 1、(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2、(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b3、已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及其所在平面内一点P ，满足PA +PB +PC =AB ，则点P 与△ABC 的关系为：A. P 在△ABC 内部B. P 在△ABC 外部C. P 在边AB 所在的直线上D. P 是AC 边的一个三等分点4、已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，5、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00∙≥∙.则（ ）A 、090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =6、在四边形ABCD 中,(1,2)AC = ,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．107、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A ．22B ．23C ．42D ．438、已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是 （ ）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，9、已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-110、已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）A ．322 B ．3152 C ．322-D ．3152-11、已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA ＋2OC ＝3OB ，则|BC||AB |的值为( ) A.12 B.13 C.14D.1612、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______13、已知向量AB 与AC的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.14、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____. 向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.15、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________bca16、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________17、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________18、设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 __________19、在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB的长为_____20、△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM ＝2AM ，则CM ·CA ＝________.21、设OA ＝(1，－2)，OB ＝(a ，－1)，OC＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________22、P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________23、如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．24、已知向量a ＝（cos23x ，sin 23x ），b ＝（cos 2x ，—sin 2x ），且x ∈［2π，23π］.(1) 求b a ⋅及|a +b |；（II ）求函数f(x)＝b a ⋅-b a +的最小值。
专题11 平面向量(教师版)
专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB u u u r=(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ，221(3)1BC t =+-=u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即 22||||AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，所以|AB u u u r +AC u u ur |>|BC uuu r |；当|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r |成立时，|AB u u u r +AC u u u r |2>|AB u u u r -AC u u u r |2AB ⇒u u u r •AC u u u r>0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角.故“AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC u u ur |>|BC uuu r |”的充分必要条件,故选C ．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u v 1113124444BA BA AC BA AC =++=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r . 故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．【2018年高考全国II 卷理数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ,所以选B.【名师点睛】已知非零向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ：几何表示坐标表示模|a |=⋅a a 2211x y =+a夹角cos θ⋅=⋅a ba b121222221122cos x x y y x y x y θ+++=⋅6．（2018年高考浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A 3 1 B 3C ．2 D ．23【答案】A【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ·b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1,因此|a −b |的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离23=321，为√3−1.选A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 7．【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=o1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =.设()01DE tDC t =≤≤u u ur u u u r AE BE ⋅u u u r u u u r ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u v u u u v r u u u r u u u r u u u v=233322t t -+ ()01t ≤≤所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.8．【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 9．【2017年高考全国III 卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．2C 5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ， 易得圆的半径5r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.10．【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r2333)22-≥-，当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．11．【2017年高考北京卷理数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p q ⇔，那么p ，q 互为充要条件；若,p q q p ≠>≠>，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,p x A ∈:q x B ∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若A B =，那么p ，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.12．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为25=c a b ，0⋅=a b ， 所以225⋅=⋅a c a a b 2=，222||4||55||9=-⋅+=c a a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．13．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,3,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则3,0)B ，535)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33y x =. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =1y =-， 所以3,1)E -.所以35)3,1)12BD AE =-=-u u u r u u u rg g .【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.14．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．3【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g ，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，得2213,22AB AC =u u u r u u u r 即3,AB =u u u r u u r 故3ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.15．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是___________；最大值是___________．【答案】0；25【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,令()()2212345613562456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλλλλλλλλ=+++++=-+-+-++≥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值22max242025y =+==故答案为0；25【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.16．【2018年高考全国III 卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.17．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，； ∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．18．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.19．【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【答案】23【解析】方法一：222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ， 所以|2|123+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为3【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，12，OA u u u r与OCu u u r 的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得2sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720n m +=⎪⎪⎨⎪=⎪，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考天津卷理】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC λ=-u u u r u u u r()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为___________．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则12()33AD AE AB AC ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r 2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r ． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC u u u r u u u r已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．22．【2017年高考山东卷理数】已知12,e e与的夹角为60︒，则123-e e 12λ+e e实数的值是___________． 【答案】33【解析】∵221212112122(3)()333λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e e e e ，222121211223|(3)3232-=-=-⋅+=e e e e e e e e ，2222212121122||()21λλλλλ+=+=+⋅+=+e e e e e e e e22321cos601λλλ=+︒=+3λ=【名师点睛】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos θ⋅=a b a b ，其中是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：. （2）由向量的数量积的性质有||=⋅a a a cos ||||θ⋅=a ba b ，0⋅=⇔⊥a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于的方程求解.23．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________． 【答案】4，25【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则2212212cos 54cos θθ-=+-⨯⨯⨯=-a b2212212cos 54cos θθ+=++⨯⨯⨯=+a b则54cos 54cos θθ++-=+-a b a b 令54cos 54cos y θθ=+-[]221022516cos 16,20y θ=+-，据此可得：()()maxmin 2025,164++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是25【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得54cos θ++-=+a b a bλ∴θ0180θ︒≤≤︒λ54cosθ-能力有一定的要求．。
【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第八章 8.6空间向量及运算-教师版
空间向量及运算判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )(5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ ) 题型一 空间向量的线性运算例1 (1)如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . (2)三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.解 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →)＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)MP →＋NC 1→.解 (1)因为P 是C 1D 1的中点， 所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋(a ＋c ＋12b )＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝(12a ＋12b ＋c )＋(a ＋12c )＝32a ＋12b ＋32c . 题型二 共线定理、共面定理的应用例2 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明 (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG .由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形， 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG → ＝12[12(OA →＋OB →)]＋12[12(OC →＋OD →)] ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 思维升华 (1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解 (1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →) 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面． 从而点M 在平面ABC 内． 题型三 空间向量数量积的应用例3 已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°. (1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .(1)解 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos 120°＝－1. ∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋12＋22＋2(0－1－1)＝ 2. ∴线段AC 1的长为 2.(2)解 设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC 1→，A 1D →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →|.∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ，∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2， |A 1D →|＝(b －c )2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2 ＝12－2×(－1)＋22＝7.∴cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →＝|－22×7|＝147. 故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明 ∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ，∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0， ∴AA 1→⊥BD →，∴AA 1⊥BD .思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角； (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1.空间向量的有关概念2.(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).(1)向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．(2)向量四点共面定理：在空间中P 、A 、B 、C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．典例 如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解． 规范解答(1)解 如图，建立空间直角坐标系．依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.[3分](2)解 依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0，1,2)． 所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5， 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. [8分](3)证明 依题意得C 1(0,0,2)，M (12，12，2)，A 1B →＝(－1,1，－2)， C 1M →＝(12，12，0)．[10分]所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，所以A 1B →⊥C 1M →，即A 1B ⊥C 1M .[14分]1．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( ) A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2答案 C 解析 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.2．向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对答案 C解析 因为c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a ， 所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0， 所以a ⊥b .故选C.3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫3210，225，－22和⎝⎛⎭⎫－3210，－225，22 解析 因为与向量a 共线的单位向量是±a|a |，又因为向量(－3，－4,5)的模为(－3)2＋(－4)2＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±152(－3，－4，5)＝±210(－3，－4,5)．4．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________． 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2， ∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ等于( ) A ．9 B ．－9 C ．－3 D ．3 答案 B解析 由题意知c ＝x a ＋y b ， 即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9. 3．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143 C.145 D ．2答案 D解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.4.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－ 2 答案 D解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED → ＝1＋1＋1－2＝3－2， 故|BD →|＝3－ 2.5．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线a ，b 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 C 解析 如图，设AC →＝a ，CD →＝b ，DB →＝c ，则AB →＝a ＋b ＋c ， 所以cos 〈AB →，CD →〉＝(a ＋b ＋c )·b |a ＋b ＋c ||b |＝12，所以异面直线a ，b 所成的角等于60°， 故选C.6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216a B.66a C.156a D.153a 答案 A解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N (a ，a ，a2)．设M (x ，y ，z )， ∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M (2a 3，a 3，a 3)，∴|MN →|＝(a －23a )2＋(a －a 3)2＋(a 2－a 3)2＝216a . 7．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个) 答案 锐角解析 因为BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →) ＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →2 ＝AB →2>0，所以∠CBD 为锐角．同理∠BCD ，∠BDC 均为锐角．8．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为______________． 答案 14，14，14解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接AE . OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋12AE → ＝34OA →＋14(AB →＋AC →) ＝34OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴x ＝y ＝z ＝14.9．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确的序号是________． 答案 ①②解析 ①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．*10.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上正确说法的个数为________．答案 3解析 A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，∴A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知， A 1M ∥平面DCC 1D 1，A 1M ∥平面D 1PQB 1. ①③④正确．11.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·DC →； (3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解 (1)设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c .EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a ) ＝12a 2－12a·c ＝14. (2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14. (3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22.(4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.*12.直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′—→＝c ，根据题意得，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D —→＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D —→＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D —→，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′—→＝－a ＋c ，|AC ′—→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |. AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，点M ，N 分别是A 1D ，B 1D 1的中点．(1)试用a ，b ，c 表示MN →；(2)求证：MN ∥平面ABB 1A 1.(1)解 ∵A 1D →＝AD →－AA 1→＝c －a ， ∴A 1M →＝12A 1D →＝12(c －a )． 同理，A 1N →＝12(b ＋c )， ∴MN →＝A 1N →－A 1M →＝12(b ＋c )－12(c －a )＝12(b ＋a )＝12a ＋12b . (2)证明 ∵AB 1→＝AA 1→＋AB →＝a ＋b ， ∴MN →＝12AB 1→，即MN ∥AB 1， ∵AB 1⊂平面ABB 1A 1，MN ⊄平面ABB 1A 1， ∴MN ∥平面ABB 1A 1.。
高考数学——向量的等和线定理专练(教师版)
高考数学——向量的等和线定理（教师版）一、要点知识向量的等和线定理： 平面内一组基底，以及任意一向量，→→→AP AB AC )∈μ,λ(μλ→→→R AB AC AP +=，若点在AB 直线上或者平行于AB 的直线上⇔k =+μλ(定值)kkn km ACAB AC n AB m k AD k AP n m AC n AB m AD AD k AP BC AP =+∴==∴+=+==∴=++==∴→→→→→→→→→→→μλμλμλ,)(1,,D 又，相交于点直线与证明： 二、例题精讲例题1:如图，正六边形ABCDEF 中，P 是CDE ∆内（包含边界）的动点，设(,),A R P AB AF αβαβ=+∈则+αβ的取值范围是 .答案：BF 为1k =的等和线，P 在CDE ∆内时，EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的。
所以[]+,3,4AN AD AM AM αβ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦例题2:设,D E 分别是ABC ∆的边AB BC ，上的点，12,,23AD AB BE BC ==若(,y ),DE x AB y R AC x ∈=+则y x +的值为：答案：过点A 作AF DE =,设AF 与BC 的延长线交于点H ,易知=,AF FH 即DF 为BC 的中位线，因此1y =2x +三、精题精炼：1、在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．22C 5D ．2 答案：A2、在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若(,)AC AE AF R λμλμ=+∈则λμ+= 答案：433、已知点O 是ABC ∆的外心，2=2,,120AB a AC BAC a=∠=，若AO AB AC αβ=+,则αβ+的最小值为： 答案：24、已知点O 是ABC ∆的外心，且=3AC=4,AB ，若存在非零实数,,x y 使得,AO x AB y AC =+且21,x y += 则cos BAC ∠= 答案：235、设点(2,0)A -1,(,0)2B -,(0,1)C ,若动点P 满足2PA PB =,且,PA AB AC λμ=+则2λμ+的最大值为： . 4+22 6、如图,A,B,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D,若OC OA OB λμ=+(R λ∈,R μ∈),则λμ+的取值范围是 ．答案：()-1,07、在PAB ∆是边长为6的等边三角形,点C 满足PC xPA yPB =+,且234x y +=,其中0,0,x y >>则PC 的取值范围为________ 答案：1221⎫⎪⎪⎣⎭8、在锐角ABC ∆中，4cos 5A =，若点P 为ABC ∆的外心，且,AP AB AC λμ=+则λμ+的最大值为： . 答案：599、在正方形ABCD 中,如图，E 为AB 中点,P 以A 为圆心,AB 为半径的圆弧上的任意一点,设AC xDE y AP =+,则x y +的范围为答案：1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦10、如图，点P 在平行四边形OACD 内部（含边界）运动，点B 为OD 的中点，若OP xOA yOB =+，则x y +的范围是（ ）A ．[0,4]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[0,1]答案：B11、如图,四边形OABC 是边长为1的正方形,3OD =,点P 为BCD ∆内(含边界)的动点,设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈,则αβ+的最大值等于 ．答案：4312、在直角梯形ABCD 中,=90=30,23,2A B AB BC ∠∠==,,点E 在线段CD 上,若AP AD AB μ=+,则μ的取值范围是________．答案：102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 13、在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，AB⊥AD,点P 满足AP xAB y AD =+,且x +2y ＝1,点M 在矩形ABCD 内(包含边)运动，且AM AP λ=，则λ的最大值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C14、设长方形ABCD 边长分别是AD =1,AB =2(如图所示),点P 在∆BCD 内部和边界上运动,设AP AB AD αβ=⋅+⋅(,αβ都是实数),则2αβ+的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，3]C ．[2，3]D ．[0，2]答案：B15、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为23π.如图所示,点C 在以O 为圆心的AB 上运动.若OC xOA yOB =+,其中,x y ∈R ,x y +的最大值为 ．答案：2 16、如图,在扇形OAB 中,0120,2AOB OA OB ∠===,点M 为OB 的中点,点P 为阴影区域内的任意一点(含边界),若OP mOA nOM =+,则m n +的最大值为( )A ．273B ．2213C ．7D ．433答案；B17、如图，在扇形OAB 中，∠AOB =60∘，C 为弧AB 上且与A ，B 不重合的一个动点，OB y OA x OC +=，若(0)u x y λλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为 ．答案：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭18、如图,在扇形OAB 中,⊥AOB ＝3π,C 为弧AB 上的一个动点,若OC xOA yOB =+,则3x y +的取值范围是 ．答案：[]13，19、若C 在以P 为圆心,6为半径的120弧AB 上,且PC xPA yPB =+,且23x y+的取值范围为____．答案：25723⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 20、如图,在直角梯形ABCD 中,,//,1,3AB AD AB DC AD DC AB ⊥===,动点P 在以点C 为圆心,且与直线BD 相切的圆上或圆内运动,设(,)AP AD AB R αβαβ=+∈,则+αβ的取值范围是( )A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．45[,]33C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：DBAO C21、如图,边长为2 的正六边形 ABCDEF 中,动圆Q 的半径为 1,圆心在线段CD(含短点)上运动, P 是圆Q 上及其内部的动点,设向量AP mAB nAF =+,,m n R ∈,则m n +的取值范围是 ． 答案：[]52，22、如图,已知点P 为等边三角形ABC 的外接圆上一点,点Q 是该三角形内切圆上一点,若11AP x AB y AC =+,22AQ x AB y AC =+,则()()121222x x y y -+-的最大值为（ ）A ．53B ．2C ．73D ．83答案：C23、如图,在同一个平面内,向量,,OA OB OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α,且tan 7α=,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ．答案：324、在ABC ∆中,4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒,D 在边BC 上,延长AD 到P ,使得9AP =.若3()2PA mPB m PC =+-(m 为常数),则CD 的长度是 ．答案：1805或25、在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 在曲线T :21(0)4x y x =-≥上,曲线T 与x 轴相交于点B,与y 轴相交于点C ,点(2,1)D 和(1,0)E 满足(,)OD CE OP R λμλμ=+∈,则λμ+的最小值为 ．答案：12。
专题16 平面向量(选填压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题16 平面向量（选填压轴题）目录①向量模问题（定值，最值，范围） (1)②向量数量积（定值，最值，范围） (12)③向量夹角（定值，最值，范围） (21)④向量的其它问题 (27)①向量模问题（定值，最值，范围）A ．314B ．132【答案】C【详解】在ABC V 中，由BAC ∠=4．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知O 为坐标原点，0PA PC ⋅=，则O P 的最大值为（ ）A ．2B ．31+C ．2【答案】D【详解】因为2O C ≤，所以点C 在圆22:4O x y +=的内部或圆周上，又动点P 满足0PA PC ⋅=，当点C 在圆O 内时，延长AC 交圆则,,M A M P O N A D A M A =⊥<当点C 在圆O 上时，,M N 两点重合，所以AM AN ≤，当且仅当点C 在圆则O P O M M P O M A M ≤+=+因为O M A M O N M N A +≤++222||||||4ON AN OA +==，所以(,)c x y =的终点在以32⎛ ⎝所以1|2|22a c a c -=-，几何意义为由儿何意义可知22a c -=设OC c = ，则,C A a c C B =- 所以C 点在以AB 为直径的圆上运动，由2352c a c =⋅- ，得23()4c a - 因此O C 的终点C 在以点D 直线l ，于是c tb - 是圆D 上的点与直线所以min2c tbEF DE -==-=12．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量则b的最小值是【答案】5【详解】AC a = ，AD b =，AB c = )()0a c a ⋅-=r r r ，即CD CB ⋅=uu u r uu r 的中点O ，则有1122OC BD ==2b c +r r，根据三角形的三边关系可知不妨设(1,0),,e OE a OA b OB====，由π,6a e =知，点A 在直线3(3y x x =>由题意π,456b b e e --= ，可知4,5b e b e --记(4,0)C ，(5,0)D ，则π,6BC BD =，②向量数量积（定值，最值，范围）1．（2023春·山东青岛·高一校考期中）如图，在边长为2的等边ABC V 中，点E 为中线B DA ．316-B ．-【答案】B【详解】由已知，2BA = ，所以cos BA BC BA BC ⋅=∠由ABC ABD ACD S S S =+V V V ，所以1sin2bc 所以2()4bc b c bc =+≥，则16bc ≥π1A ．32-【答案】CA．-2B．【答案】B=【详解】由题意，A B A D ===，所以22BC DC BD∠=∠，即AC 所以ACB ACD7．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．中，点O为正八边形的中心，点P是其内部任意一点，则A．(22,422)-+-C．(2,4)【答案】A【详解】正八边形ABCDEFGHGF=，设OF x=，由余弦定理得，2△中，222OFG+-x x11．（2023春·山东淄博·高一统考期末）圆C ，D ，且2OC OD ⋅= ，则【答案】846+/468+【详解】因为点,C D 在圆O由三角函数定义知(2cos C 则(22cos ,22CA θ=--于是(22cos CA CB θ⋅=- 同理442sin (DA DB θ-⋅=设a MA =，b MB = ，c 若对任意实数x ，y 都有|则B ，C 在以M A 为直径的圆上，过b MB =在OD 上的射影最长为()b c a b AC DE ⋅-=⋅=⋅【答案】2【详解】设AG ADAE mAB λ⎧=⎪⎪=⎨，由向量共线的充要条件不妨设③向量夹角（定值，最值，范围）12OQ BQ BO BC BC μ=-=-= (cos 1OC OA OC OQ AOC OC OA ⋅⋅∠==④向量的其它问题1．（2023·北京西城·统考二模）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P 从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P 到达点(33,33)Q 所跳跃次数的最小值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【详解】每次跳跃的路径对应的向量为()()()()()()()()111122223,4,4,3,5,0,0,5,3,4,4,3,5,0,0,5a b c d a b c d =====--=--=-=-u r u r u r u r u u r u r u r u u r，因为求跳跃次数的最小值，则只取()()()()11113,4,4,3,5,0,0,5a b c d ====u r u r u r u r，设对应的跳跃次数分别为a b c d ,,,，其中,,,a b c d ∈N ，可得()()1111345,43533,33OQ aa bb cc dd a b c a b d =+++=++++=u u u r u r u r u r u r故选：B．3．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）在4．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知2a b λ+ 与3a b λ+的夹角是锐角，则【答案】()(,61,-∞-- ()(6．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）的中点，直线A E 和直线C【答案】2【详解】记BA BG BA= ，BH =因为1BG BH ==，则平行四边形因为A 、E 、F 三点共线，则使得AF AE λ= ，即BF BA λ-= 因为E 为B C 的中点，所以，BF。
双曲线中的向量问题(教师版)
双曲线中的向量问题1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (2,0)，一条渐近线方程为x -3y =0．(1)求双曲线C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 、B ，过F 的直线l 交C 的右支于M ,N 两点，连结MB 交直线x =32于点Q ，求证：A 、Q 、N 三点共线．【答案】(1)x 23-y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)依题意可得a 2+b 2=4，b a =13，解得a 2=3，b 2=1故C 的方程为x 23-y 2=1.(2)易得A (-3,0)，B (3,0)显然，直线l 的斜率不为0，设其方程为x =my +2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 联立方程x =my +2x 2-3y 2=3，消去x 整理得m 2-3 y 2+4my +1=0，所以y 1+y 2=-4m m 2-3，y 1y 2=1m 2-3．直线MB :y =y 1x 1-3(x -3)，令x =32得y =y 1(3-23)2x 1-3，故Q 32,y 1(3-23)2x 1-3AN =x 2+3,y 2 ，AQ =32+3,y 1(3-23)2x 1-3，32+3 y 2-y 1(3-23)x 2+3 2x 1-3=(3+23)y 2x 1-3 -y 1(3-23)x 2+32x 1-3，(*)又(3+23)y 2x 1-3 -y 1(3-23)x 2+3 =(3+23)y 2my 1+2-3 -y 1(3-23)my 2+2+3=[(3+23)m -(3-23)m ]y 1y 2+(3+23)(2-3)y 2+(23-3)(2+3)y 1=43my 1y 2+3y 1+y 2 =43m m 2-3+-43mm 2-3=0，即(*)的值为0．所以AN ⎳AQ,故A 、Q 、N 三点共线．﹒2.已知双曲线C ：x 24-y 25=1的左、右顶点分别为A ,B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ,Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若PF =3FQ ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ,BQ 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k1k 2为定值．【答案】(1)22x -y -62=0；(2)证明见解析.【解析】(1)设点P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由PF =3FQ ，F 3,0 可得：3-x 1,-y 1 =3x 2-3,y 2 ，即x 1=12-3x 2y 1=-3y 2 ，将P 12-3x 2,-3y 2 ，Q x 2,y 2 代入双曲线C 方程得12-3x 2 24--3y 2 25=1x 224-y 225=1，消去y 2，解得：x 2=229，又点P 在x 轴上方，∴点Q 在x 轴下方，∴y 2=-1029，∴Q 229,-1029，∴k FQ =22，∴直线l 的方程为22x -y -62=0.(2)∵过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ,Q 两点，F 3,0 ，∴可设直线l 的方程为x =my +3，P my 1+3,y 1 ，Q my 2+3,y 2 ，联立方程x =my +3x 24-y 25=1，消去x 整理得：5m 2-4 y 2+30my +25=0，则5m 2-4≠0Δ=900m 2-4×25×5m 2-4 >0 ，解得：m ≠±255，∴y 1+y 2=-30m 5m 2-4，y 1y 2=255m 2-4，又A -2,0 ，B 2,0 ，∴k AP =k 1=y 1my 1+5，k BQ =k 2=y 2my 2+1，∴k1k 2=y 1my 2+1 y 2my 1+5=my 1y 2+y 1my 1y 2+5y 2，又my 1y 2=25m 5m 2-4=-56y 1+y 2 ，∴k 1k 2=-56y 1+y 2 +y 1-56y 1+y 2 +5y 2=-15，即k 1k 2为定值-15.3.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 1F 2 =8，P 4,6 是C 上一点．(1)求C 的方程；(2)过点M 1,1 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线l :y =3x -12交于点N ．设NA =λAM ，NB =μBM ，求证：λ+μ为定值．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设C 的焦距为2c ，则F 1F 2 =2c =8，即c =4，F 1-4,0 ，F 24,0 ；由双曲线的定义，得2a =PF 1 -PF 2 =4+42+62-4-42+62=4，即a =2，所以b =c 2-a 2=16-4=23，故C 的方程为x 24-y 212=1．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N m ,n ，显然直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y -1=k x -1 ，代入3x 2-y 2=12，得3-k 2 x 2-2k 1-k x +2k -13-k 2=0．由过点M 1,1 的直线与C 交于两点A ，B ，得3-k 2≠0，由韦达定理，得x 1+x 2=2k 1-k 3-k 2，x 1x 2=2k -13-k 23-k 2； ①由N m ,n 在直线l :y =3x -12上，得n =3m -12，即12-3m +n =0； ②由N m ,n 在直线AB 上，得n -1=k m -1 ． ③由NA =λAM ，得x 1-m ,y 1-n =λ1-x 1,1-y 1 ，即x 1-m =λ1-x 1 解得λ=x 1-m1-x 1．同理，由NB =μBM ，得μ=x 2-m 1-x 2，结合①②③，得λ+μ=x 1-m 1-x 1+x 2-m 1-x 2=m +1 x 1+x 2 -2x 1x 2-2m1-x 1 1-x 2=m +1 ⋅2k 1-k 3-k 2-2×2k -13-k 23-k 2-2m 1-x 1 1-x 2 =2k m -1 -6m +261-x 1 1-x 2=2n -1 -6m +261-x 1 1-x 2 =2n -3m +12 1-x 1 1-x 2=0．故λ+μ是定值．4.已知双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，离心率为233，且过点6,1 .(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左右顶点为A ，B ，且动点C m ,n ，D m ,-n 在双曲线上，直线BC 与直线AD 交于点P ，M -2,0 ，N 2,0 ，求PM ⋅PN的取值范围.【答案】(1)x 23-y 2=1；(2)-1,1 .【解析】(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，联立6a 2-1b 2=1,c 2=a 2+b 2,c a =233, 得a 2=3，b 2=1，所以双曲线的标准方程为x 23-y 2=1.(2)解：已知C m ,n ，D m ,-n ，A -3,0 ，B 3,0 .当m =±3时，动点P 与点A ，B 重合，当m ≠±3时，直线AD :y =n-3-mx +3 ，直线BC :y =nm -3x -3 ，联立两直线方程得y 2=n 23-m2x 2-3 .又因为m 23-n 2=1，即-3n 2=3-m 2，所以y 2=-13x 2-3 ，即x 23+y 2=1.又PM ⋅PN =PO +OM PO -OM =PO 2-OM 2=PO 2-2，且PO ∈1,3 ，所以PM ⋅PN∈-1,1 .5.双曲线C 2：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的顶点与椭圆C 1：x 23+y 2=1长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为y =33x ．(1)求双曲线C 2的方程；(2)过双曲线C 2右焦点F 作直线l 1与C 2分别交于左右两支上的点P ，Q ，又过原点O 作直线l 2，使l 2⎳l 1，且与双曲线C 2分别交于左右两支上的点M ，N ．是否存在定值λ，使得MN ⋅MN =λPQ？若存在，请求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 23-y 2=1；(2)存在；λ=2 3.【解析】(1)由椭圆C 1：x 23+y 2=1得到：a =3，双曲线的渐近线方程为y =33x ，得到：b a =33，解得：b =1.则双曲线C 2的方程x 23-y 2=1．(2)若存在定值λ，使得MN ⋅MN =λPQ ，∵MN 与PQ 同向，∴λ=MN2PQ，∵F 2,0 ，设l 1：x =ty +2，由x =ty +2x 2-3y 2=3消去x 整理得：t 2-3 y 2+4ty +1=0，∴y 1+y 2=-4t t 2-3y 1y 2=1t 2-3，由l 1交C 2左右两支于P 、Q 两点，有t 2-3≠016t 2-4t 2-3 >0x 1x 2<0，即t 2-3≠0ty 1+2 ty 2+2 <0，则t 2-3>0，PQ =1+t 2y 1-y 2 =1+t 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+t 2-4t t 2-3 2-4t 2-3=23t 2+1 t 2-3，由于l 2⎳l 1，可设l 2：x =ty ，由x =tyx 2-3y 2=3消去x 整理得：t 2-3 y 2=3，∴y 2=3t 2-3，由此MN 2=1+t 2y --y 2=1+t 2 ⋅4y 2=121+t 2 t 2-3，∴λ=MN2PQ=23，故存在定值λ=23，使得MN ⋅MN =λPQ ．6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的离心率为52，点P 4,3 在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过点1,0 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM ⋅QN为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)存在；QM ⋅QN =27364；定点Q 238,0 ．【解析】(1)由题意，16a 2-3b 2=1c a =52,a 2+b 2=c 2，解得a 2=4，b 2=1．∴双曲线方程为x 24-y 2=1；(2)设直线l 的方程为x =my +1，设定点Q t ,0 ，联立x 24-y 2=1x =my +1,，得m 2-4 y 2+2my -3=0．∴m 2-4≠0，且△=4m 2+12m 2-4 >0，解得m 2>3且m 2≠4．设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，∴y 1+y 2=-2m m 2-4，y 1y 2=-3m 2-4，∴x 1+x 2=m y 1+y 2 +2=-2m 2m 2-4+2=-8m 2-4，x 1x 2=my 1+1 my 2+1 =m 2y 1y 2+m y 1+y 2 +1=-3m 2m 2-4-2m 2m 2-4+1=-4m 2+4m 2-4=-4-20m 2-4．∴QM ⋅QN=x 1-t ,y 1 ⋅x 2-t ,y 2 =x 1-t x 2-t +y 1y 2=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+y 1y 2=-4-20m 2-4+t 8m 2-4-3m 2-4+t 2=-4+t 2+8t -23m 2-4为常数，与m 无关，∴8t -23=0，即t =238，此时QM ⋅QN =27364．∴在x 轴上存在定点Q 238,0 ，使得QM ⋅QN 为常数．7.已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，点P 2,3 在E上，F 为E 的右焦点.(1)求双曲线E 的方程；(2)设Q 为E 的左顶点，过点F 作直线l 交E 于A ,B (A ,B 不与Q 重合)两点，点M 是AB 的中点，求证：AB =2MQ .【答案】(1)x 2-y 23=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由已知可得e =c a =2，∴e 2=c 2a 2=1+b 2a2=4，解得：b 2=3a 2⋯①，又点P 2,3 在E 上，∴4a 2-9b2=1⋯②，由①②可得：a 2=1，b 2=3，∴双曲线E 的方程为x 2-y 23=1；(2)当l 的斜率为0时，此时A ,B 中有一点与Q 重合，不符合题意.当l 斜率不为0时，设l :x =ty +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =ty +23x 2-y 2=3得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0，则Δ=36t 2+36>03t 2-1≠0 ，解得：t 2≠13.∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1∴QA ⋅QB=x 1+1,y 1 ⋅x 2+1,y 2 =x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=ty 1+3 ty 2+3 +y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+13t 2-1+3t -12t3t 2-1+9=0，∴QA ⊥QB ，则△QAB 是直角三角形，AB 是斜边，∵点M 是斜边AB 的中点，∴MQ =12AB ，即AB =2MQ .8.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x =1，点F 4,0 ，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点，点Q -2,0 ，连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点，证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ，由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1，所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1．(2)证明：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ，设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3，联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0，3-k 2≠0，Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0，由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3，x 1x 2=16k 2+12k 2-3，因为点M 在直线QA 上，则k QM =k QA ，即m3=y 1x 1+2，可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2，同理可得n =3k x 2-4 x 2+2，FM=-3,m ，FN =-3,n ，所以，FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0，故点F 在以MN 为直径的圆上．9.已知F 1(-c ,0),F 2(c ,0)为双曲线C :x 2-y 2b2=1(b >0)的左、右焦点，过点F 2作垂直于x 轴的直线，并在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°．(1)求双曲线C 的方程；(2)过圆O :x 2+y 2=b 2上任意一点Q x 0,y 0 作圆O 的切线l ，交双曲线C 于A ,B 两个不同的点，AB 的中点为N ，证明：|AB |=2|ON |．【答案】(1)x 2-y 22=1；(2)证明见解析．【解析】(1)由题意，设F 2，M 的坐标分别为(1+b 2，0)，(1+b 2，y 0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1+b 2-y 02b2=1，即y 0=±b 2，所以|MF 2|=b 2，在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2=30°，|MF 2|=b 2，所以|MF 1|=2b 2，由双曲线的定义可知：|MF 1|-|MF 2|=b 2=2，故双曲线C 的方程为：x 2-y 22=1．(2)证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线l 的方程为：x 0x +y 0y =2，①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：(2y 20-x 20)x 2+4x 0x -(2y 20+4)=0，所以：x 1+x 2=-4x 02y 02-x 02，x 1x 2=-2y 02+42y 02-x 02，又y 1y 2=8-2x 022y 02-x 02，所以OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=-2y 02+42y 02-x 02+8-2x 022y 02-x 02=0；②当y 0=0时，易知OA =2,2 ,OB =2,-2 ，所以OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=0也成立；综上，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0，即OA ⊥OB ，所以AB =2ON ．10.已知双曲线C :x 2-y 22=1，点P 的坐标为0,3 ，过P 的直线l 交双曲线C 于点A ,B .(1)若直线l 又过C 的左焦点F ，求AF ⋅BF 的值；(2)若点M 的坐标为0,-34，求证：MA ⋅MB 为定值.【答案】(1)8；(2)证明见解析.【解析】(1)由双曲线C :x 2-y 22=1可得a =1，b =2，所以c =a 2+b 2=1+2=3，所以F -3,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，k PF =3-00--3 =1，所以直线l 的方程为y =x +3，由y =x +32x 2-y 2=2 联立得：x 2-23x -5=0，所以x 1+x 2=23, x 1x 2=-5，AF ⋅BF =x 1+3 2+y 12x 2+3 2+y 22=2x 1+3 x 2+3=2x 1x 2+3x 1+x 2 +3 =2×-5+3×23+3 =8.(2)由题意知直线l 的斜率存在，不妨设直线l :y =kx +3，由y =kx +32x 2-y 2=2可得：k 2-2 x 2+23kx +5=0，所以x 1+x 2=23k 2-k 2，x 1x 2=5k 2-2，MA =x 1,y 1+34 ，MB =x 2,y 2+34 ，MA ⋅MB =x 1x 2+y 1+34 y 2+34 =x 1x 2+kx 1+534 kx 2+534=1+k 2 x 1x 2+534k x 1+x 2 +7516=1+k 2 5k 2-2+53k 4⋅23k 2-k2+7516=3516.所以MA ⋅MB =3516为定值.11.已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 过点P 3,6 ，且Γ的渐近线方程为y =±3x .(1)求Γ的方程；(2)如图，过原点O 作互相垂直的直线l 1，l 2分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1;(2)若选①，S ≥6；若选②，直线AD 不存在.【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为y =±3x ，故b a =3，又3a 2-6b2=1，解得a =1,b =3，故双曲线的方程为：x 2-y 23=1.(2)若选①，由题设可知直线l 1，l 2的斜率均存在且均不为零，设l 1:y =kx ，l 2:y =-1kx ，设l 1:y =kx ，则{y =kx 3x 2-y 2=3可得x 2A =33-k 2，其中-3<k < 3.同理x 2C=3k 23k 2-1，其中-3<-1k <3，故-3<k <-33或33<k <3，故AB 2=121+k 2 x 2A =121+k 23-k 2，同理CD 2=121+1k2 3-1k2=121+k 23k 2-1，故四边形ACBD 的面积S 满足：S 2=14×121+k 2 3-k 2×121+k 2 3k 2-1=36×1+k 2 23-k 2 3k 2-1=36×k +1k 216-3k +1k2=36×116k +1k2-3，令y =k +1k ，则y=k 2-1k 2，当-3<k <-1或1<k <3时，y >0；当-1<k <-33或33<k <1时，y <0；故y =k +1k在-3,-1 ，1,3 上为增函数，在-1,-33 ，33,1 上为减函数，故当-3<k <-33或33<k <3时，2≤k +1k <433或-433<k +1k≤-2，所以4≤k +1k2<163，故S 2≥36即S ≥6.若选②，先考虑A ,D 在x 轴上方，且A 在第一象限，D 在第二象限，设M m ,3m ,N n ,-3n ，其中m >0,n <0，若M ，N 为线段AD 的三等分点，则DN =NM可得n -x D ,-3n -y D =m -n ,3m +3n ，故x D =2n -m ,y D =-23n -3m ，同理x A =2m -n ,y A =23m +3n ，所以2n -m 2--23n -3m 23=12m -n2-23m +3n 23=1 ，整理得mn =-18，而OA ⊥OD ，故x A x D +y A y D =0，故(2n -m )×(2m -n )-(23m +3n )×(23n +3m )=0，整理得到m 2+n 2=-54×mn ⇒(m +n )2=34×mn =-332，故无解，故满足条件的直线AD 不存在，由双曲线的对称性可得直线AD 不存在.12.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且当l 垂直于x 轴时，PQ =6；(1)求双曲线的方程；(2)过点F 且垂直于l 的直线l '与双曲线交于M ，N 两点，求MP ⋅NQ +MQ ⋅NP的取值范围．【答案】(1)x 2-y 23=1;(2)-∞,-12【解析】(1)依题意，c =2a ，当l 垂直于x 轴时，PQ =2b 2a=6，即b 2=3a ，即c 2-a 2=3a ，解得a =1，b =3，因此x 2-y 23=1；(2)设l PQ :x =my +2，联立双曲线方程x 2-y 23=1，得：3m 2-1 y 2+12my +9=0，当m =0时，P 2,3 ,Q 2,-3 ,M 0,-1 ,N 0,1 ，MP ⋅NQ +MQ ⋅NP=-12，当m ≠0时，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,M x 3,y 3 ,N x 4,y 4 ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此y 1y 2=93m 2-1<0，即m ∈-33,0 ∪0,33 ，同理可得y 3y 4=9m 23-m 2，依题意MP ⋅NQ =MF +FP ⋅NF +FQ =MF ⋅NF +FP ⋅FQ，同理可得，MQ ⋅NP =MF +FQ ⋅NF +FP =MF ⋅NF +FP ⋅FQ，而FP ⋅FQ +MF ⋅NF =1+m 2 y 1y 2+1+1m2 y 3y 4，代入y 1y 2=93m 2-1，y 3y 4=9m 23-m 2，FP ⋅FQ +MF ⋅NF =91+m 2 3m 2-1+91+m 2 3-m 2=-181+m 2 21-3m 2 3-m 2 =-63m 4+6m 2+3 3m 4-10m 2+3，分离参数得，FP ⋅FQ +MF ⋅NF=-6-96m 23m 4-10m 2+3，因为m ∈-33,0 ∪0,33，当m 2∈0,13 时，由m 2+1m 2∈103,+∞ ，FP ⋅FQ +MF ⋅NF =6-963m 2+1m2 -10∈-∞,-6 ，所以MP ⋅NQ +MQ ⋅NP =2FP ⋅FQ +MF ⋅NF∈-∞,-12 ，综上可知，MP ⋅NQ +MQ ⋅NP的取值范围为-∞,-12 .13.设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线y =2x 的交点分别为A ，B ，四边形AF 1BF 2的面积为4.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知l 为圆O :x 2+y 2=43的切线，且与C 相交于P ，Q 两点，求OP ⋅OQ .【答案】(1)x 2-y 24=1；(2)0.【解析】(1)设F 1F 2=2c ，由直线y =2x 是双曲线C 的一条渐近线，得ba=2①，因为双曲线C 的准线方程为x =±a 2c，由x =a 2c y =2x得y =2a 2c ，所以B a 2c ,2a 2c ，由双曲线的对称性，得S 四边形AF 1BF 2=4S △BOF 2=4×12c ⋅2a 2c=4a 2，由四边形AF 1BF 2的面积为4，可得4a 2=4，即a =1，结合①得，b =2，所以双曲线C 的方程为x 2-y 24=1.(2)①当直线l 的不斜率存在时，对于圆O :x 2+y 2=43，不妨考虑l :x =233，则由x =233,x 2-y 24=1,得x =233,y =±233,，所以P 233,233 ，Q 233,-233 ，所以OP ⋅OQ=0.②当直线l 的斜率存在时，设l :y =kx +m ，因为直线l 与C 相交于P ，Q 两点，所以k ≠±2.因为直线PQ 与圆O 相切，所以|m |1+k 2=233，即m 2=431+k 2(*)，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，双曲线中的向量问题第11页由y =kx +m ,x 2-y 24=1,消y 得4-k 2 x 2-2kmx -m 2+4 =0(k ≠±2)，结合(*)，有Δ=(2km )2+44-k 2 m 2+4 =163k 2+16>0，所以x 1+x 2=2km 4-k 2，x 1x 2=-m 2+44-k 2，所以OP ⋅OQ=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m ，=1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=-1+k 2m 2+44-k 2+2k 2m 24-k2+m 2=3m 2-4k 2+1 k 2-4.结合(*)，得OP ⋅OQ =3×431+k 2 -4k 2+1k 2-4=0.综上，OP ⋅OQ =0.14.已知双曲线C 的方程为y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 ，离心率e =52,顶点到渐近线的距离为255(1)求双曲线C 的方程;(2)设P 是双曲线C 上的点,A ,B 两点在双曲线C 的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若AP =λPB ,λ∈13,2,求△AOB 面积的取值范围.【答案】(1)y 24-x 2=1;(2)2,83【解析】(1)由题,一条渐近线方程y =bax ⇒bx -ay =0, 可知c a =52ab -0 a 2+b 2=255 ⇒c a =52ab c =255 ,两式相乘有b =1,又c 2=a 2+b 2.故c a =52⇒a 2+1a2=54⇒a 2=4,c 2=5.故双曲线C 的方程：y 24-x 2=1(2)由题,渐近线方程为y =±2x ,故设P (x 0,y 0),A (x 1,2x 1),B (x 2,-2x 2)因为AP =λPB ,故x 0-x 1=λ(x 2-x 0)y 0-2x 1=λ(-2x 2-y 0) ⇒x 0=x 1+λx 21+λy 0=2x 1-λx 21+λ,将点P (x 0,y 0)代入双曲线方程有x 1-λx 21+λ 2-x 1+λx 21+λ 2=1.化简得x 1x 2=-1+λ24λ.故S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 =12x 1(-2x 2)-x 2×2x 1 =2x 1x 2 =1+λ 22λ=12λ+1λ+2 .双曲线中的向量问题第12页因为λ∈13,2,由对勾函数性质得λ+1λ∈2,103,故S △AOB =12λ+1λ+2 ∈2,83 15.已知椭圆C 1：x 24+y 2=1，F 1,F 2为C 1的左、右焦点.(1)求椭圆C 1的焦距；(2)点Q 2,22为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；(3)已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M (x M ,y M )，椭圆C 1和双曲线C 2上满足x ≥x N 的所有点(x ,y )组成曲线C .若点N 是曲线C 上一动点，求NF 1 ⋅NF 2的取值范围.【答案】(1)23；(2)y =12x ±1；(3)-45,+∞ .【解析】(1)由椭圆C 1：x 24+y 2=1可得：a =2，b =1，c =a 2-b 2=3，则椭圆C 1的焦距为2c =23；(2)由k OQ =12，设l :y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx +2m 2-2=0，由Δ=4m 2-8(m 2-1)=8-4m 2>0，得m <2，x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以AB =1+14⋅(-2m )2-4(2m 2-2)=5⋅2-m 2，又Q 到直线l 的距离为d =m5，由S △QAB =12⋅d ⋅AB =m ⋅2-m 2=1,m =±1，所以l :y =12x ±1；(3)由x 2+4y 2=4x 2-y 2=1 ，解得x M =2105y M =155，设N (x ,y )是曲线C 上一点，则F 1(-3,0),F 2(3,0)，NF 1 =(-3-x ,-y )，NF 2=(3-x ,-y )，所以NF 1 ⋅NF 2=x 2+y 2-3；当点N 在曲线x 2+4y 2=4x ≥x M 上时，NF 1 ⋅NF 2=1-3y 2，当y =155时，(NF 1 ⋅NF 2 )min =-45，当y =0时，(NF 1 ⋅NF 2)max =1，所以NF 1 ⋅NF 2 ∈-45,1 ；当点N 在曲线x 2-y 2=1x ≥x M 上时，NF 1 ⋅NF 2=2y 2-2；当y =155时，(NF 1 ⋅NF 2 )min =-45，NF 1 ⋅NF 2 ∈-45,+∞ ；综上，NF 1 ⋅NF 2 ∈-45,+∞ .双曲线中的向量问题第13页。
平面向量复习教案
平面向量复习一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。
与非零向量共线的单位向量3. 平行向量：若非零向量方向相同或相反，则；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：模相等，方向相同；相反向量：模相等，方向相反5、两个非零向量、的夹角：做=；；叫做与的夹角。
6、坐标表示：、分别是与轴、轴同向的单位向量，若，则叫做的坐标。
7.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为方向上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：；加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连记：+=减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：-=数乘是一个向量，方向：时，与同向；时，与反向；时，数量积·= ·=三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得。
2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥四、基础训练1. 在四边形ABCD中, 已知, 试判断四边形ABCD是什么样的四边形?2. （1）______；（2）_____；（3）_____．3. 已知平面内三点，则x的值为_______．4. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，－1），且·=2，则·等于________．5. 已知向量则的坐标是_____．6. 已知=(-1，2)，=(3，m)，若⊥，则m的值为__________．7. 已知，且，则向量在向量上的投影为8. 设向量与的夹角为，，，则_______．9. 已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.10. 非零向量和满足：，则与的夹角等于 .五、典例讲解.例1. 已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+(10－y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_____________,y=_____________．例2. 若向量，满足且与的夹角为，则________例3. 已知，，（1）证明：三点共线.（2）为何值时，① 向量与平行② 向量与垂直例4.设两个向量，满足，，，的夹角为，若向量与夹角是钝角，求实数的取值范围.例5.平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。
1第一讲 空间向量及其运算-教师版
第一讲空间向量及其运算【基础知识】一、空间向量的有关概念1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.3.表示法(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为|a|或AB.【解读】1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同;3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决;4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.二、空间向量的线性运算三、向量共线定理对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb . 四、共面向量定理（重点）1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.2.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一 的有序实数对(x ,y ),使p =x a 【解读】1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行.2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A ,B ,C ,可通过 证明下列结论来证明三点共线: (1)存在实数λ,使AB AC λ=成立;(2)对空间任一点O ,有OA OB tBC =+(t ∈R ); (3)对空间任一点O ,有OA xOB yOC =+(x +y =1). 五、空间向量的数量积及运算律 1.数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 2.空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .【考点讲解】考点一：对空间向量有关概念的理解 1．下列说法正确的是（ ） A ．零向量没有方向 B ．空间向量不可以平行移动C ．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】D【解析】对于A ：零向量的方向是任意的，A 错误； 对于B ：空间向量是自由向量可以平移，B 错误；对于C 、D ：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C 中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C 错误；D 符合定义，正确. 故选D.考点二：空间向量的线性运算例2．化简算式：()()234323a b c a b c ----+=______． 【答案】3417a b c +-【解析】由题意得()()2343236283693417a b c a b c a b c a b c a b c ----+=---+-=+-. 考点三：几何体中空间向量的线性运算例3．（2021-2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D【解析】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+. 故选D考点四：几何体中共线共面定理的应用例4．如图，已知O ､A ､B ､C ､D ､E ､F ､G ､H 为空间的9个点，且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+，,R k m ∈.求证：(1)A ､B ､C ､D 四点共面，E ､F ､G ､H 四点共面； (2)AC EG ∥（平行）； (3)OG kOC =.【解析】(1)因为AC AD mAB =+，EG EH mEF =+，所以由共面向量定理可得,,AC AD AB 是共面向量，,,EG EH EF 是共面向量， 因为,,AC AD AB 有公共点A ，,,EG EH EF 有公共点E ， 所以A ､B ､C ､D 四点共面，E ､F ､G ､H 四点共面， (2)因为()EG EH mEF OH OE m OF OE =+=-+-()()k OD OA km OB OA =-+-()k AD kmAB k AD mAB k AC =+=+=，所以AC EG ∥；(3)()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=考点五：利用数量积公式进行计算例5．（2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中）如图，在三棱锥P ABC -中，,,AP AB AC 两两垂直，2,1,AP AB AC M ===为PC 的中点，则AC BM ⋅的值为（ ）A ．1B ．13C ．14D ．12【答案】D【解析】由题意得()111222BM BA AM BA AP AC BA AP AC =+=++=++，故1122AC BM AC BA AP AC ⎛⎫⋅=⋅++ ⎪⎝⎭211112222AC BA AC AP AC AC AC =⋅+⋅+⋅==.故选D.考点六：利用数量积公式求长度或距离例6．（2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（ ）AB ．CD 【答案】C【解析】由题意得11,2AB AD AA ===，11,90,,,60AB AD AA AB AD AA =︒==︒， 因为11AC AB BC CC =++1AB AD AA =++,所以()2211AC AB AD AA =++212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅ 114211cos90212cos60212cos60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒ 10=，所以110AC =C【课堂练习】1.（2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中）下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（ ） A ．OA OB OC OP ++=- B ．OA OB OC OP ++= C ．2OA OB OC OP ++= D ．3OA OB OC OP ++=【答案】D【解析】对于A 选项，OP OA OB OC =---，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面； 对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于D 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.故选D.2.（2021-2022学年浙江省北斗联盟高二上学期中联考）在如图所示的平行六面体ABCD A B C D ''''-中，已知AB AA AD '==，60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，14BM BC =为C D ''上一点，且D N D C λ'''=，若DM AN ⊥，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D【解析】令(0)AB AA AD m m '===>，则AB AD AA m '===， 因为14BM BC =， 所以113444DM DA AB BM AD AB BC AD AB AD AD AB =++=-++=-++=-+，因为D N D C λ'''=，所以AN AD DD D N AD AA D C AD AA AB λλ''''''=++=++=++， 因为DM AN ⊥，所以0DM AN ⋅=，所以()304AD AB AD AA AB λ⎛⎫'-+⋅++= ⎪⎝⎭所以223330444AD AD AA AD AB AB AD AB AA AB λλ''--⋅-⋅+⋅+⋅+=,因为60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，(0)AB AA AD m m '===>，所以222222333cos60cos60cos60cos600444m m m m m m λλ--︒-︒+︒+︒+=，所以33311048822λλ---+++=，解得15λ=，故选D3.（多选）（2020-2021学年江苏省常州市第一中学高二下学期期中）已知四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．||||AB AC AD AB AC AD ++=+- B ．2222||||||||AB AC AD AB AC AD ++=++ C ．()0AB AC AD BC ++⋅= D ．AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅ 【答案】ABD【解析】由题可知，可做如图所示的长方体，设,,AC a AD b AB c ===.2,AB AC AD AE AD AE EF AF AF a ++=+=+== 2,AB AC AD AE AD DE DE a +-=-==A 正确；22222222||||||AB AC AD AF a b c AB AC AD ++==++=++，故B 正确；∵AD ⊥平面ACEB ，∵AD BC ⊥，0AD BC ⋅=，∵()()AB AC AD BC AE AD BC AE BC ++⋅=+⋅=⋅，但无法判断AE 和BC 是否垂直，故C 不一定正确；由图易知,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥，故AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅＝0，故D 正确. 故选ABD ．4.（多选）（2021-2022学年辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高二上学期期中）已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是直角三角形，且AB AC ⊥，3AB =，4AC =，12AA =，1160A AB A AC ∠=∠=︒，则（ ）A ．17AC =B ．133BC =C ．119AC BC =-D ．异面直线1AC 与1B C 【答案】BD【解析】设AB a =，AC b =，1AA c =，则0a b ⋅=，3a c ⋅=，4b c ⋅=， 1AC b c =+，1BC a b c =-+-，22119AC B C a b b b c a c b c c ⋅=-⋅+-⋅-⋅+⋅-=， 221227AC b c b c =++⋅=222122233B C a b c a b b c a c =++-⋅-⋅+⋅=，所以11111121cos ,14AC B C AC B C AC B C⋅==．故选BD.5．（2021-2022学年安徽省安庆市潜山第二中学高二上学期月考）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设→→=AB a ，→→=AC b ，AD c →→=，用a →，b →，c →表示向量DM →=______【答案】122a b c →→→⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】画出对应的正四面体，则11()(2)22DM DA AM c a b a b c →→→→→→→→→=+=-++=+-.6.（2021-2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第二次学情调研）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为_________. 【答案】12- 【解析】根据题意ABCD 为正四面体，,,BC BD BA 两两成60角，所以12AE BE BA BC BA =-=-， 1122CF BF BC BA BD BC =-=+-，所以111()()222AE CF BC BA BA BD BC ⋅=-⋅+-11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-. 7．（2021-2022学年河北省唐山市第十一中学高二上学期期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，化简下列向量表达式：(1)111AA A B +； (2)11111A B A D C C ++．【解析】 (1)依题意1111AA A B AB +=. (2)依题意111111111AB AD C C AC C C AC ++=+=.【课后练习】1. （2021-2022学年江苏省连云港市赣榆区高二下学期期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（ ） A ．OP OA OB OC =++ B ．2OP OA OB OC =-- C ．111532OP OA OB OC =++D ．111333OP OA OB OC =++【答案】D【解析】设OP xOA yOB zOC =++， 若点P 与点,,A B C 共面， 则1x y z ++=，对于选项A ：11131x y z ++=++=≠，不满足题意； 对于选项B ：21101x y z ++=--=≠，不满足题意； 对于选项C ：11131153230x y z ++=++=≠，不满足题意； 对于选项D ：1111333x y z ++=++=，满足题意.故选D.2.（2021-2022学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】54BD PA PB PC λ=-+⇒54PD PB PA PB PC λ-=-+ 53PD PA PB PC λ=-+，由A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线 可得531λ-+=，解之得1λ=-，故选D3. （2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中）设A 、B 、C 、D 是空间中不共面的四点，令u AD BC =+，v AB CD =+，w AC BD =+，则u 、v 、w 三个向量（ ）A ．互不相等B ．有且仅有两个相C ．都相等D ．以上均有可能【答案】B【解析】ω=+=++=+=u AD BC AC CD BC AC BD ，=+=++=+DB v AB CD A A CB D CD D ，若=v u ，则BC CB =，即0BC =，则B ，C 重合，于是A 、B 、C 、D 共面，矛盾， 所以≠v u ，即u 、v 、w 三个向量有且仅有两个相等，故选B4.（多选）（2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市高二上学期期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，则1BD =（ ）A ．111A D A A AB --B ．111BC BB DC +- C ．1AD AB DD --D ．1111B D A A DD -+【答案】AB【解析】如图：对A ，11111A D A A AB AD AB BD →→→→→→--=-=，正确；对B ，1111111111BC BB D C BC D C BC C D BD →→→→→→→→==+=+--，正确；对C ，1111AD AB DD BD DD BD BB B D →→→→→→→→===----，错误；对D ，11111111111111B D A A DD B D DD A A B D BB A A BD A A →→→→→→→→→→→-++-+--===，错误.故选AB.5．（2021-2022学年广东省广州市增城区高二上学期期末）下列说法正确的是（ ） A ．设,a b 是两个空间向量，则,a b 一定共面B ．设,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c 一定不共面C ．设,a b 是两个空间向量，则a b b a ⋅=⋅D ．设,,a b c 是三个空间向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】AC【解析】对于A ：因为,a b 是两个空间向量，则,a b 一定共面，故A 正确；对于B ：因为,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c 可能共面也可能不共面，故B 错误； 对于C ：因为,a b 是两个空间向量，则a b b a ⋅=⋅，故C 正确；对于D ：因为,,a b c 是三个空间向量，则()a b c ⋅与向量a 共线，()a b c ⋅与向量c 共线，则D 错误．故选AC ．6.（2021-2022学年河南省焦作市高二上学期期末）已知在四面体ABCD 中，236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=，则BC BD ⋅=______．【答案】24【解析】由题设，可得如下四面体示意图，则()()2·BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB ⋅=--=⋅-⋅-⋅+，又236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=， 所以1113236623624222BC BD ⋅=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+=.7. （2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13AA =，则1AC 的长为__________.【解析】因为111AC AB BC CC AB AD AA =++=++ 所以()2211AC AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 11119202132131722=+++⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，即117AC =8.（2019-2020学年北京大学附中石景山学校高二上学期期中）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -，点M 、N 分别在1AC 和BC 上，且满足1AM k AC →→=，()01BN k BC k →→=≤≤.(1)用向量AB →和1AA →表示向量MN →；(2)向量MN →是否与向量AB →，1AA →共面？【解析】 (1)解：∵()1AN AB BN AB k AC AB k AB k AC →→→→→→→→⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭， 11AM k AC k AA AC →→→→⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∵()()1111MN AN AM k AB k AC k AA k AC k AB k AA →→→→→→→→→=-=-+--=--.(2)解：由（1）可知，()11MN k AB k AA →→→=--，∵向量MN →与向量AB →，1AA →共面.9．（2021-2022学年安徽省亳州市第一中学高二上学期10月质量检测）已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++. （1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；（2）若三棱锥O ABC -为棱长为2正四面体，求OM .【解析】 (1) 211333MA OA OM OA OB OC =-=--，211333MB OB OM OB OA OC =-=--，211333MC OC OM OC OA OB =-=--，所以MA MB MC =--，所以MA ，MB ，MC 三个向量共面. (2) 111333OM OA OB OC =++222111222999999OA OB OC OA OB OB OC OA OC =+++⋅+⋅+⋅. 又因为三棱锥O ABC -为棱长为2正四面体，所以OA 、OB 、OC 之间的夹角均为60︒.所以OM =.。
第02讲 1.1.2空间向量的数量积运算(教师版)
r r的投影．所成的角．量积的几何意义：向量a r ，b r 的数量积等于a r 的长度||a r 与b r 在的乘积或等于br 的长度||b r 与a r 在b r方向上的投影||cos ,a a b <>r r r 的乘积、数量积的运算：()a b ×r r，R λÎ.A ．1-B ．1【答案】B【详解】由题意得1BD BA =uuuu r uuu r 则11(BD AC AD AB AA ×=-+uuuu r uuu r uuu r uuu r uuur 1111cos6011cos60=-+´´+´´o B故12EF DC BD DC ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r 故答案为：14-【变式1】（2024秋·浙江绍兴AB AM ×=uuu r uuuu r（ ）【答案】2,22éùêúëû【详解】由已知E 为棱1B C 因为111AE AB B E AB =+=u u u r u u u r u u u r u u u r 所以(AE AC AB BB ×=++u u u r u u u r u u u r u u u r 【答案】18-/-0.125因PA^平面ABC，BC 则BC^平面PAB，又【答案】66.【详解】记AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，1AA =uuur 12a b b c a c \×=×=×=r r r r r r ，BD b c a =+-uuuu r r r r Q ，AC a b =+uuu r r r ，(1)求EF uuu r的模长；(2)求EF uuu r ，GH uuur的夹角【答案】(1)22；（1）1AC 的长；【答案】22【详解】棱长为1的正方体ABCD 所以1111AB A C A C =×uuu r uuuu ruuuu r 11cos ,AB A C AB ×uuu r uuuu r uuu 向量 AB uuu r在向量 11AC uuuu r 方向上的投影向量是uuu r uuuu r uuuu r uuuu r【答案】32 BC uuu r【详解】PA^Q平面ABC，则PA BC^，()PC BC PA AB BC BC ×=++×= uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r向量uuu r在uuu r上的投影向量为【典例2】（2024春·,,60a c b c ==°r r r r，则A ．5B 【答案】D【详解】因为a b ^r r ，(1)用,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示OM uuuu r，并求出(2)求证：OM BC ^.【答案】(1)1126OM OA OB =+uuuu r uuu r uuu r (2)证明见解析【详解】（1）因为点G 是OBC △(1)EF ^平面11BB D D ；(2)平面1EFB ^平面11C D M 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）正方体ABCD(1)求线段1CA 的长；(2)求证：111CA B D ^．【答案】(1)11(2)证明见解析【详解】（1）设,CD a CB =uuu r r uuu r (1)求A B '和B C '的夹角；(2)求证：A A B C ''^．【答案】(1)60°(2)证明见解析【详解】（1）AB a uuu r r=，AD uuu r则(1PA PC PO ×=+uuu r uuuu r uuu r uuu Q 当P 为侧面1ABB 又11122OA AC ==uuu r uuuu r【详解】如图所示，在边长为1的正四面体CDEF 内切球半径为r ，取EF 中点为G ，13142-=,12333DO DG ==0DEF O CDE O CDF CEF V V V V ---=+++11143DEF DEF CO S OO ´=´´△△，所以设外接球球心为O，则uuuu r uuu r uuuu22=-=|||||MO OE MO由于点M在正方体的棱上运动即为正方体面对角线的一半，为uuur uuur的最小值为由题知，22216,9,AB AD AA '===uuu r uuu r uuur 43cos900AB AD ×=´´°=uuu r uuu r，AB AA ×uuu r uuur 1535cos 602AD AA '×=´´°=uuu r uuur .AC AB AD AA ''=++uuuu r uuu r uuu r uuur Q ，A ．14-【答案】D【详解】如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()(1122P P C P A PB PA =××+=uuur uuu r uuu r uuu r uuuA．4B．5【详解】AM ，由棱柱性质，侧棱1AA ^2211415AA A M +=+=，又()()(1122AN AM AN AM =+×-=uuu r uuuu r uuu r uuuu rA ．112333MN a b c=++uuuu r r r r C ．111A B A C ^uuur uuuu r【答案】BD【详解】因为12BM A M =，1C N =11uuuur uuur uuu r uuurA. 由向量的加法运算得1A A uuur 确；B. 正方体的性质易知1A C ^C. 因为11A BC V 是等边三角形，且D. 由正方体的性质得过1,A D【答案】9【详解】因为1BB ^平面ABC 所以，(1EF BB EA AA ×=+uuu r uuur uuu r uuur 211111122BA BB BB A C =×++uuur uuur uuur uuuu r 故答案为：9.12．（2024秋·山东菏泽·高二统考期末）如图所示，在平行六面体【答案】12+/21+【详解】向量的拆分，11112D E AE AD AA =-=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r 122cos 23AA AB AD p =×=´´=u r u u u r u u u r ，22211124AB AA AD AB AA ++-×-u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【答案】AB uuu r，2a 【详解】因为PC AB ×uuu r uuu 又||AB a =uuu r，所以PC uuu r 在AB uuu r上的投影向量为：uuu r uuu r uuu r 【答案】证明见解析【详解】因为CD OA ^，所以因为AB α^，CD αÌ，所以又OA AB OB +=uuu r uuu r uuu r，所以CD OB ×uuu r uuuA ．1B ．2C ．3D ．【答案】C【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ^，DF AC ^，Q 在矩形,1,3ABCD AB BC ==，\Q ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC \×=32BE DF \==，则1AE CF ==，即211EF =-=，(1)试用向量,,a b c r r r 表示向量OE uuu r；(2)若4,3,OA OC OB AOC Ð===【答案】(1)111236OE a b c =++uuu r r r r；(2)83-.【详解】（1）因为点E 为AD 的中点，所以(1)确定PC uuu r在平面ABC (2)确定PC uuu r 在AB uuu r上的投影向量，并求【答案】(1)PC uuu r在平面(2)PC uuu r 在AB uuu r 上的投影向量为【详解】（1）因为A ．1111AB AC AD D B ´=´uuur uuu r uuuu r uuuur C ．111A C A D ´uuuu r uuuu r 与1BD uuuu r 共线【答案】ACD【详解】设正方体棱长为1，3．（2024春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在空间中，不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角uuu r uuu r uuu r【答案】10【详解】作母线CEAF CE，所以因为//EC^平面ABC，又由已知得AC^所以BC^平面ACEF5．（2024春·江苏常州Ð=Ð形，且1C CB【答案】1【详解】解：如图所示：设1,0CD x x CC =>，11CC =，则因为1A C ^平面1C BD ，11,C B C D Ì平面1C BD ，所以11C D C C CD =+u u u u r u u u u r u u u r ，11A C A =u u u r u u 由110A C C D ×=u u u r u u u u r ，得(AD +u u u r。
高中数学二轮讲义：专题2 第1讲 平面向量(教师版)
专题二 第1讲 平面向量【要点提炼】考点一 平面向量的线性运算1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．【热点突破】【典例】1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14【答案】 A【解析】 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn ＝________.【答案】 －2【解析】 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴mn＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】 由题意可得，OD →＝kOC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k<1)，又A ，D ，B 三点共线，所以k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G.若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.【答案】 12【解析】 由题意可设CG →＝xCE →(0<x<1)， 则CG →＝x(CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线， 所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．【答案】 [1,3]【解析】 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B(1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C(cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3. 则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g(θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g(θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g(θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．【要点提炼】考点二 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.【热点突破】【典例】2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935【答案】 D【解析】 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 【答案】 C【解析】 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．【拓展训练】2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 【答案】 B【解析】 方法一 设a 与b 的夹角为θ， 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B.方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3， 即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)【答案】 A【解析】 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，F(－1，3)． 设P(x ，y)，则AP →＝(x ，y)，AB →＝(2,0)，且－1<x<3. 所以AP →·AB →＝(x ，y)·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2B ．1－ 2C.2－1 D ．1【答案】 A【解析】 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题训练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( ) A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →【答案】 A【解析】 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 【答案】 B【解析】 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69 kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D.12【答案】 A【解析】 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P(3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 【答案】 D【解析】 由P(3，1)，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6， ∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q(－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 C【解析】 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23 B.34 C.56 D ．1 【答案】 A【解析】 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC→＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】 C【解析】 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3 【答案】 D【解析】 设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3， OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →. 又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO→·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 2 【答案】 C【解析】 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r)，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r＝1.易得B(－3，0)，C(3，0)，A(0,3)，D(0,0)， 设M(cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y,3x)，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y)2－2xy]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y)2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 【答案】 BC【解析】 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a－b 的夹角为π4，故C 正确．11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( ) A ．若k<－2，则a 与b 的夹角为钝角 B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 【答案】 CD【解析】 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k<2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b|b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( ) A.AB →·CE →＝－1 B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76【答案】 BCD【解析】 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形， 所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E(0,0)，A(1,0)，B(－1,0)，C(0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，设O(0，y)，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y)，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确； |OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________.【答案】22【解析】 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.【答案】 5【解析】 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C(a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4.∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ， ∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC→ ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36.∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5.15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．【答案】 19【解析】 ∵△ABC 是锐角三角形， ∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2 ＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|.∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ， ∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．【答案】2829【解析】 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y)， 则a ＝(x ＋1，y)，b ＝(x ＋3，y)． 由2e 1－e 2＝(2－x ，－y)， 故|2e 1－e 2|＝2－x2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤ 1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y2x ＋32＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5 ＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋13×34＋5＝2829.。
高中数学基础知识回顾：向量—教师版
一、向量的概念：★（1）向量的概念：既有大小又有方向的量．向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以任意平移） ★（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； ★（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量； ★（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；★（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a //b ，规定零向量和任何向量平行；★（6）位置向量：起点为原点的向量．二、向量的几何运算：1、向量的基本运算： ★（1）向量的加法运算：三角形法则和平行四边形法则； ★（2）向量的减法运算：三角形法则；（减数指向被减数）★（3）实数与向量的乘积：实数λ与非零向量a 的积是一个向量，记作a ⋅λ． ①0λ>，a λ与a 方向相同，长度为a λ； ②0λ<，a λ与a 方向相反，长度为a λ；③0λ=，0a λ=．2、向量的数量积：★（1）向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，如果以O 为原点，作,OA a OB b ==，那么射线OA 与OB 的夹角θ叫做a 和b 的夹角，θ的取值范围是[]0,π；高考数学基础知识回顾：向量基础知识★（2）向量的投影：b 在a 上的投影为||cos b θ，θ为向量a 和b 的夹角； ★（3）向量的数量积公式：a b ＝cos a b θ；（22a a =）★★（4）a b ⋅的几何意义：a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影cos b θ的乘积．★3、向量的夹角公式：cos a b a bθ⋅=．4、向量的平行与垂直： ★（1）向量的平行：//a b a b λ⇔=；★（2）向量的垂直：0a b a b ⊥⇔=．★★5、平面向量分解定理：如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+． 6、三点共线： ★（1）平面上有A B C 、、三点，若()AB BC R λλ=∈，则A B C 、、三点共线；★★（2）设 OA OB 、不平行，点P 在AB 上⇔存在实数λμ，使得OP OA OB λμ=+1()R λμλμ+=∈且，． 三、向量的坐标表示与运算：1、向量的坐标表示： ★（1）i ：x 轴正方向单位向量，j ：y 轴正方向单位向量；★（2）向量的坐标表示：平面直角坐标系中，以i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标；★（3）()()11222121,,,(,)A x y B x y AB x x y y ⇒=--．2、向量的模：★（1）()221111,a x y a x y =⇒=+；POBA★（2）已知()11,a x y =，则a 的单位向量0a a a=．3、向量的坐标运算： ★（1）()()()11221212,,,,a x y b x y a b x x y y ==⇒±=±±； ★（2）()()1111,,,a x y R a x y λλλλ=∈⇒=；★（3）()()11221212,,,a x y b x y a b x x y y ==⇒=+．4、向量的平行与垂直： ★（1）向量的平行：()()11221221,,,,//a x y b x y a b x y x y ==⇔=；★（2）向量的垂直：()()11221212,,,,0a x y b x y a b x x y y ==⊥⇔+=．5、定比分点：★★（1）定比分点公式：已知11(,)A x y 、22(,)B x y 是直线上任一点，且(,1)AP PB R λλλ=∈≠-，令),(y x P ，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ；★（2）中点公式：若点),(y x P 为11(,)A x y 、22(,)B x y 两点中点，则1212212x x x y y y λ+⎧=⎪⎪=⇒⎨+⎪=⎪⎩；★★（3）重心公式：若点(),G x y 为ABC ∆重心，且11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩．一、向量的概念与运算（加法、减法、数乘）【例1】在下列命题中：（1）若a b =，则a b =；（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；（5）若,a b b c ==，则a c =；（6）若//,//a b b c ，则//a c ．其中正确的是_______． 【难度】★ 【答案】（4）（5）【例2】已知，，则=_____． 【难度】★ 【答案】【例3】已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，35 【难度】★【答案】A【例4】已知),1(x a =，)2,4(=b ，若b a ⊥，则实数=x _______． 【难度】★ 【答案】-2【例5】如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与BD 相交于O ，设AB a =，DC b =，用,a b 表示BO ，则BO = ． 【难度】★★ 【答案】b a 3234+-()5,4-=a ()4,2-=b b a -226题型与方法【例6】在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点P 在直线12P P 上，且122PP PP =，求出P 的坐标．【难度】★★ 【答案】(8,15)P -【巩固训练】1．判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；②若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； ③对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；④向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．【难度】★【答案】①不正确；②不正确；③正确；④不正确．2．设x ∈R ，向量)2,1(),1,(-==b x a ，且b a ⊥ ，则=+||b a ________． 【难度】★ 103．已知向量()(),4,,1,2k b k k a =+= 若b a //，则实数k 的值是 ．【难度】★★ 【答案】310==k k 或4．已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点P 的坐标． 【难度】★★ 【答案】155(,)22P --5．有以下命题成立：设点,P Q 是线段AB 的三等分点，则有OP OQ OA OB +=+．将此命题推广，设点12345,,,,A A A A A 是线段AB 的六等分点，则()12345OA OA OA OA OA OA OB ++++=+．【难度】★★★ 【答案】526．已知点P Q 、是ABC ∆所在平面上的两个定点，且满足0,PA PC +=2QA QB QC BC ++=,若||=||PQ BC λ，则正实数λ= ． 【难度】★★★ 【答案】21二、向量的数量积向量数量积运算的基本方法：1、向量的分解；2、坐标法；3、向量数量积的几何意义． 【例7】已知向量()()3,4,0,1a b =-=-，则向量在向量的方向上的投影是 ． 【难度】★★ 【答案】【例8】平面向量a 与b 的夹角为60︒，1a =，(3,0)b =，则2a b += ． 【难度】★ 【答案】19 【方法】22a a =【例9】在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM EC ⋅ 的最大值为___________． 【难度】★★ 【答案】23 【方法】向量的分解；坐标法a b 4【例10】已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则=⋅BC AO ． 【难度】★★★ 【答案】14-【方法】向量数量积的几何意义【巩固训练】1．在平行四边形ABCD 中，若2,1,60AB AD BAD ==∠=，则AB BD ⋅=___________． 【难度】★★ 【答案】3-2．已知向量与向量，，，、的夹角为，当时，的最大值为 ．【难度】★★ 【答案】3．在Rt ABC ∆中，3==AC AB ，,M N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN ⋅的值为 ． 【难度】★★ 【答案】4【方法】向量的分解；坐标法4．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则·的值是__________．【难度】★★ 【答案】8【方法】向量数量积的几何意义a b 2a =3b =a b 60︒12,02m n ≤≤≤≤ma nb +219三、向量的应用（一）三点共线的应用； （二）三角形“四心”： 1．⇔=++0GC GB GA G 是ABC ∆的重心．2．()(0)||||AC AB AP AB AC λλ=+≠⇔P 经过ABC ∆的内心．3OC OB OA ==⇔O 为ABC ∆的外心．4．⇔⋅=⋅=⋅HA HC HC HB HB HA H 为ABC ∆的垂心．【例11】已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且，则的值为 . 【难度】★★ 【答案】31 【方法】三点共线【例12】设12,e e 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+，122AC be e =-，0,0a b >>.若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值是 ． 【难度】★★ 【答案】4【方法】平面向量分解定理，三点共线【例13】已知同一平面上的向量PA ，PB ，AQ ，BQ 满足如下条件：①||||2PA PB AB +==；②0||||AB AQ BQ AB AQ ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭；③||||AB AQ AB AQ +=-，则||PQ 的最大值与最小值之差是 ． 【难度】★★【答案】2【方法】三角形“四心” ,AM x AB AN y AC ==xyx y+【巩固训练】1．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【难度】★★ 【答案】2【解析】取特殊位置，设M 与B 重合，N 与C 重合，则1m n ==，所以2m n +=．【方法】三点共线2．已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且23203a OAb OBc OC ⋅+⋅+⋅=，则角C 的大小是 ． 【难度】★★ 【答案】3π 【方法】三角形重心零向量、向量的夹角【例1】已知点A ()31，，()14-，B ，则与AB 共线的单位向量为 【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-5453，和⎪⎭⎫ ⎝⎛-5453， 【解析】与向量a 同向的单位向量为aaABC △O BC O AB AC 易错题型【易错点】①长度为1个单位的向量叫单位向量；②与向量a aa 多会记得第二点，容易忽略反向的单位向量。
空间向量与立体几何全章综合测试卷(基础篇)(教师版)
2
→
B． + +
→
→
→
→
→
→
1 → →
D． ( + ) +
2
→
→
→
【解题思路】根据图形可得11 = 111 = 1，进而利用空间向量的加减法运算可得1 = 11 +
→
→
11 + 1，得出结果．
→
→
→
→
→
→
→
→
→
【解答过程】解：由题意得，11 = 11，1 = 1，1 = 11 + 1 = 11 + 11 + 1 = 11
2 2
∥平面 α 或 l 在平面 α 内，B 错误；
→
对于 C，平面 α 的法向量为 = (1，1，1)，和所有坐标轴相交，C 正确；
对于 D，原点 O 可以在平面 α 内，D 错误；
故选：C．
8．（5 分）（2024 春•天宁区校级期末）在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，
【解题思路】先得到四面体 ABCD 为正四面体，再利用空间向量的数量积运算和线性运算求解即可．
【解答过程】解：∵四面体 ABCD，所有棱长均为 2，
∴四面体 ABCD 为正四面体，
∵E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，
→
→
→
→
→
1 →
∴ ⋅ = （ + ）•（−）
2
1→ → 1→2 1→ → 1→ →
→
∴ = （1，1，2），
由图可知，二面角 Q﹣PD﹣A 为锐角，设为 α，
→ →
数学教案：向量基础教师版
三、平面向量 1．基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2． 加法与减法的代数运算：(1)n n n A A A A A A A A 113221=+++- ．(2)若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ±b =（2121,y y x x ±±）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量AB =a 、AD =b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量AC =a +b ,BD =b －a ,DB =a －b且有︱a ︱－︱b ︱≤︱a ±b ︱≤︱a ︱+︱b ︱．向量加法有如下规律：a ＋b =b ＋a (交换律); a +(b +c )=(a + b )+c （结合律）; a +0=a a ＋(－a )=0.3．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量。
(1)︱λa ︱=︱λ︱·︱a ︱;(2) 当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ=0时，λa =0． (3)若a =（11,y x ），则λ·a =（11,y x λλ）． 两个向量共线的充要条件：(1) 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ． (2) 若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ∥b 01221=-⇔y x y x ． 平面向量基本定理：若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使得a =1λe 1+2λe 2．4．P 分有向线段21P P 所成的比：设P 1、P 2是直线l 上两个点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ使P P 1=λ2P P ，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。
第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算(教师版)
第3讲 平面向量的基本定理与坐标运算一、考点梳理考点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例1．（1）下面说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；①一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；①零向量不可作为基底中的向量；①对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．①①B ．①①①C ．①①D ．①①①答案 B 解析 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故①①正确，①不正确；由平面向量基本定理知①正确．综上可得①①①正确．（2）如图所示，在①OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.分析 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.解 ①OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a . ①a 与b 不共线，①⎩⎨⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，①⎩⎨⎧ m ＝25，n ＝15.①OP →＝15a ＋25b . （3）如图所示，在①ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，①ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ的值为( )A.53 B.－12 C.12 D.23答案 D解析 ①在①ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，①ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，①在①ABD 中，BD ＝12AB ＝1.又BC ＝3，①BD ＝13BC ，①AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →.①M 为AD 的中点，①AM →＝12AD →＝12AB →＋16BC →.①AM →＝λAB →＋μBC →，①λ＝12，μ＝16，①λ＋μ＝23.【变式训练1】．设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是() A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2答案 B 解析：在B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，所以(3e 1－4e 2)①(6e 1－8e 2)．所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．【变式训练2】．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.解：①四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，①AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →，①BE →＝12AD →＝12b ， CF →＝12CD →＝12BA →＝－12AB →＝－12a . ①DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b . BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a . 【变式训练3】．如图所示，在①ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.解 ①AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ， 由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a . 由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b . ①⎩⎨⎧ 1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎨⎧ λ＝35，μ＝45.①AE →＝25a ＋15b .考点2 平面向量的坐标表示及加减运算设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x ，y )就是向量OA →的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．若点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，O 为坐标原点，则OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．例2．（1）给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；①平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；①一个坐标对应于唯一的一个向量；①平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C 解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故①错误．（2）如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB →可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j答案：C 解析：记O 为坐标原点，则OA →＝2i ＋3j ，OB →＝4i ＋2j ，所以AB →＝OB →－OA →＝2i －j .（3）已知边长为单位长度的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量AB →－BC →＋AC →的坐标为________．答案 (2,0) 解析 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，所以AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)，所以AB →－BC →＋AC →＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)．【变式训练1】．在平面直角坐标系中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，向量a ，b ，c 的坐标分别为_____，________，________.答案 (2，2) ⎝⎛⎭⎫－32，332 (23，－2) 解析 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)．a 1＝|a |cos45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. ①a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2)． 【变式训练2】．在平面直角坐标系中，|a |＝4，且a 如图所示，则a 的坐标为( )A ．(23，2)B ．(2，－23)C ．(－2,23)D ．(23，－2)答案D 解析：x ＝|a |·cos(－30°)＝4×32＝23，y ＝|a |·sin(－30°)＝4×(－12)＝－2. 【变式训练3】．已知①ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D 的坐标． 答案 (2,2)解：设顶点D 的坐标为(x ，y )，在①ABCD 中，AD →＝BC →，又AD →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(4,1)，①(x ＋2，y －1)＝(4,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝4，y －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，①顶点D 的坐标为(2,2). 考点3 平面向量数乘运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式设向量a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)．中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.两个向量共线的坐标表示向量a ，b 共线的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ①b ①x 1y 2－x 2y 1＝0.例3．（1）已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标．解 a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).（2）已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 分析 先计算出k a ＋b 与a －3b 的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k ，再根据符号确定方向．解 因为a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，又(k a ＋b )①(a －3b )，故－4(k －3)＝10(2k ＋2)，即k ＝－13. 这时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－103，43，且a －3b 与－13a ＋b 的对应坐标异号，故当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且是反向的．（3）已知OA →＝(3,4)，OB →＝(7,12)，OC →＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；证明：①AB →＝OB →－OA →＝(4,8)，AC →＝OC →－OA →＝(6,12)．①4×12－8×6＝0，即AB →与AC →共线．又①AB →与AC →有公共点A ，①A ，B ，C 三点共线．（4）已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，①⎩⎪⎨⎪⎧10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，①c ＝－2a ＋2b . 【变式训练1】．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．(3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23.【变式训练2】．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ①(2a ＋b )，则λ＝ .答案12. 解析：2a ＋b ＝(4,2)，因为c ①(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.【变式训练3】．设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 ①AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，①(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.【变式训练4】．已知a ＝(10，－5)，b ＝(3,2)，c ＝(－2,2)，试用b ，c 表示a .解 设a ＝λb ＋μc (λ，μ①R )．则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．①⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝3λ－2μ，－5＝2λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝－72，①a ＝b －72c . 考点4 平面向量数量积的坐标表示面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．平面向量长度(模)的坐标表示向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ①x 1x 2＋y 1y 2＝0.向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例4．（1）若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12)解析 ①a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，①(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．①b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，①a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．（2）向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(－7,8)B ．(9，－4)C ．(－5,10)D ．(7，－6)解析 (1)①向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，①设AB →＝k a ＝k (－3,4)＝(－3k,4k )(k <0)．由此可得|AB →|＝(－3k )2＋(4k )2＝10，解之得k ＝－2(k ＝2舍去)．①AB →＝(6，－8)，设B (m ，n )，得AB →＝(m －1，n －2)＝(6，－8)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝6n －2＝－8，解得m ＝7，n ＝－6，①B (7，－6)，故选D.（3）已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.（4）已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 B 解析 ①|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.①cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又①a ，b 的夹角范围为[0，π]．①a 与b 的夹角为π4. 【变式训练1】．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，①λ＝2，①a ＝(2,4)．(2)①b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10，①a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．【变式训练2】已知在①ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，①D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，①存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．①⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ. ①x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又①AD ①BC ，①AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，①－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.①由①①可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)． ①|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．【变式训练3】．已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( )A. －1B. 1C. 2D. －2 答案：B 解析 因为向量()5,a m =，()2,2b =-，所以()3,2a b m +=+，因为()a b b -⊥，所以()0a b b -⋅=，所以()6220m -+=，解得1m =.【变式训练4】．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，cos θ＝________.答案 1 解析 b ＝12a ＋12(－1，－1)＝(1,1)，a·b ＝6.又|a |＝32，所以cos θ＝a·b |a |·|b |＝66＝1.二、课堂检测1．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；①一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；①零向量不可作为基底中的向量．A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①答案 B2．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ①R )，则( )A ．a ＝0，b ＝0B ．λ＝μ＝0C ．λ＝0，b ＝0D ．a ＝0，μ＝0答案 B3. 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2 C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 答案 D4. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a 等于( )A ．(－2,1)B ．(2，－1)C ．(2,0)D ．(4,3)答案 B 解析 b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.5. 若AB →＝(1,1)，AD →＝(0,1)，BC →＋CD →＝(a ，b )，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：A 解析：BC →＋CD →＝BD →＝AD →－AB →＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a ＝－1，b ＝0，a ＋b ＝－1.6. 已知向量()2,3a =-，()3,b m =且//a b ，则m =（ ）A. －2B. 2C. 92-D. 92①①①C ①①①//a b ，(2,3)a =-，(3,)b m = ∴290m --=，解得92m =- 7. 如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.答案 14a ＋34b 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 8. 若向量a ＝(2x －1，x 2＋3x －3)与AB →相等，已知A (1,3)，B (2,4)，则x ＝ .答案：1 解析：①AB →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，AB →＝a ，①⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1，x 2＋3x －3＝1，解得x ＝1. 9. 已知点(0,1)A ，B (2,5)，(,3)C x -，则向量AB 的坐标是________；若A ，B ，C 三点共线，则实数x =________. 答案：(2,4) －2①①：因为(0,1)A ，B (2,5)，所以()()20,512,4AB =--=；向量()()0,31,4AC x x =---=-， 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC ，所以()2440x ⨯--=，解得2x =-10. 已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--，则向量AB =____，向量BC =____．答案：(3,1) (－7,－4)；解析：由点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，先求出点C 坐标为(4,2)--，由此利用平面向量坐标运算法则能求出向量AB 和向量BC ．点(0,1)A ，(3,2)B ，向量(4,3)AC =--，∴点C 坐标为(4,2)--，∴向量(3,1)AB =，向量(7,4)BC =--．11 已知()1,3OA =-，()2,1OB =-，()1,2OC k k =+-，若A 、B 、C 三点在同一直线上，则k =______. 答案：1解析：(1,2)AB OB OA =-=，(,1)AC OC OA k k =-=+． A 、B 、C 三点共线，2(1)0k k ∴-+=，解得1k =．12. 设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则λ= 答案：2解析：a b λ+=(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++）），由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=.13. 若向量()1,2a =，()2,1b =，则a b +与a b -的夹角等于______. 答案：2π 解析：()3,3a b +=，()1,1a b -=-，()()=0+⋅-a b a b ，∴()()a b a b +⊥-，a b +与a b -的夹角等于2π. 14. 已知向量()1,2a =，向量()3,2b =-.（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -共线.答案：（1）()7,2-（2）12k =-解析：（1）()()()21,223,27,2a b -=--=-（2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，()()()21,223,27,2a b -=--=-①ka b +与2a b -共线，①()()72223k k +=--①12k =-15 已知在①ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，①D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，①存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．①⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.①x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又①AD ①BC ，①AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，①－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.①由①①可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)．①|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．。
第五次平面向量教师版
天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………高三数学总复习试卷5（平面向量部分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )． A.14B.12C ．1D ．2解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )． A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )， 整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 B3、(2013·东北三校联考)已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )． A ．－4B ．4C ．－2D ．2解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝a ·b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4.答案 A4、(2013·鄂州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析 设P 点坐标为(x,0)，则AP→＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C5、在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )． A.53B.54 C.109 D.158解析 法一 依题意，不妨设BE →＝12E C →，BF→＝2FC →，则有AE→－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →； AF→－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →)＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC→) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A. 法二 由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB ＝90°，如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A. 答案 A6、(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP→＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B7、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )． A.15B.25C.35 D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C8、(2012·天津)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ→＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP→＝－32，则λ等于( )． A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP→＝λAB →，得P (2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q (1－λ，天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝(－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.] 答案 A二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、(2013·杭州模拟)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 1210、已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上， ∴3＝12a ·3，∴a ＝2. 答案 211、若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形12、(2012·扬州质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________． 解析 AB→＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 813、如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO→＝12(AB →＋AC →)． 又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 214、(2013·青岛期末)设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．解析 由题意得点A 的坐标为(－2,1)，点B 的坐标为(4,3)，|OA →|＝5，|OB →|＝5.sin ∠AOB ＝sin(∠AOy ＋∠BOy )＝sin ∠AOy cos ∠BOy ＋cos ∠AOy sin ∠BOy ＝255×35＋55×45＝255.故S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 答案 5三．解答题（本大题共6题，共80分）15、如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM→，ON →及MN →.解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a－b )＝16a －16b ，则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .16、已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA→＋GB →＋GO →； (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA→＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.而PG→＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ→＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.17、设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7.(1)求a ，b 夹角的大小； (2)求|3a ＋b |的值．解 (1)设a 与b 夹角为θ，(3a －2b )2＝7，即9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7，而|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12， 又θ∈[0，π]，∴a ，b 的夹角为π3.(2)(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝9＋3＋1＝13， ∴|3a ＋b |＝13.18、设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解 由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴⎩⎨⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.19、(2012·东营模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3， 即1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝3，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2. 当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6. 故△ABC 是直角三角形.20、(2012·南通模拟)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2 x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2 x4 ＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.备选：1、(2012·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC→＝BA →·BC →＝k (k ∈R )．(1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC→＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ， ∵c ＝2，∴k ＝1.2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ，∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式， 得ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，即S △ABC 的最大值为 3.3、(2012·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．天津市复兴中学高三年级考试试卷 年 月班级 姓名 学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ， ∵c ＝2，∴k ＝1.4、已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC→|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC→2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC→2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由|AC→|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2， 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC→＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59. ∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.。
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(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等； (（一）基本概念
1、向量：既有大小又有方向的量 叫向量.
2、特殊向量：（1）零向量是指 大小为0，方向任意的向量；零向量不与任何向量谈夹角、谈垂直，零向量与任何向量平行；
教学过程：
一、引入
前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方二、本章知识
(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；
（2）两向量平行是指 两向量方向相同或相反，两向量平行又称两向量 共线；
（3）两向量相等的充要条件是 大小相等，方向相等；
两向量相等用坐标表示是（若a?(x1,y1),b?(x2,y2)）：a?b??
两向量相反是指大小相等，方向相反； ?x1?x2； y?y?12
?x1??x2两向量相反用坐标表示是（若a?(x1,y1),b?(x2,y2)）：a??b??； y??y?12
向量小结与复习
教学过程与方法：
教学重点：突出本章重、难点内容
教学难点：通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别
授课类型：复习课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法:自学辅导法 在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、
3、平面向量基本定理：平面上两 非零不共线的向量e1,e2可作为平面内所有向量的一组基底，平面任
意一向量a可用这组基底 唯一的线性表示：a?xe1?ye2表示.（注意基底系数的说明） 1