第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)PPT资料17页
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材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
Me Tb Ta
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
《扭转》PPT课件
T
O
O
其中： A0 r02
Gg
……剪切胡克定律 （线弹性范围适用）
G为材料的剪切弹性模量
另外有：
G
E （2 1
）
扭转时的应力 强度条件
一、横截面上的应力 a
b
Me
1、变形几何关 系g
Me
T
g
O2
g
dj
T
dx
a
dx
b
g
dj
dx
2、物理关系(剪切虎克定律)
Gg
Gg
G
dj
dx
3、力学关系
mA
mB
mC
l
l
解： 1．扭转变形分析
AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180 N·m， T2＝-140 N·m
设其扭转角分别为φAB和φBC，则：
AB
T1l GI
(180 N m)(2m)
(80 109 Pa)(3.0 105 10 12 m4 )
1.50 10 2 rad
BC
T2l GI
AB段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：
d
dx
T1 GI
(80
10 9
180 N m Pa)(3.0 105
10 12
m4
)
180 π
0.430 /m θ
该轴的扭转刚度符合要求。
圆轴扭转时横截面上的剪应力
例2:
已知：N＝7.5kW, n=100r/min,许用切应力＝
32ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Wp
d 3
16
Ip
32
D4 d 4
D4 (1 4 )
第五章 扭转.ppt
T
Ip
知：当
R
d 2
,
max
Td
max
2 Ip
T Ip
d 2
T WP
(令WP I p
d) 2
max
T WP
WP — 抗扭截面系数（扭转截面系数）， 几何量，单位：m3。
对于实心圆截面： WP I p R d3 16 0.2d3 对于空心圆截面：WP I p R D3(1 4) 16 0.2D3(1- 4)
正比。
剪切胡克定律：
通过实验发现，当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角
φ与外力偶矩（数值上等于扭矩T）成正比，就是说
T
又因为 l / r
T 2A0
所以
引入比例系数G，得到
G
上式称为材料的剪切胡克定律。
G称为材料的切变模量（剪切模量），其量纲与弹性模量 相同，单位为Pa。不同材料的G值可通过实验确定，钢材 的G值约为80 GPa
总结：扭矩图的 简便做法
1
MC
B1C
MT x（kN·m） 4.43.3
从左到右，外力偶
+
矢量向左，扭矩增 0
量为正；外力偶矢
量向右，扭矩增量
为负。
2
MA
2A
66..769
+
3
MD
3D
x
－
-22..88569
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
及与表面平行的截面截取一小六面体，
扭转强度及刚度条件
扭转强度及刚度条件强度和刚度是材料力学中常用的两个概念，它们对于材料的性能和应用具有重要的影响。
本文将以扭转强度及刚度条件为主题，对其进行深入探讨。
我们需要明确强度和刚度的定义。
强度是指材料在受到外力作用下抵抗破坏的能力，可以用材料的抗拉、抗压、抗弯等性能指标来衡量。
而刚度则是指材料在受到外力作用下的变形程度，是材料对力的响应能力的度量。
在扭转过程中，材料的强度和刚度也是十分重要的。
扭转强度是指材料在扭转加载下抵抗破坏的能力，可以用材料的扭转极限应力来衡量。
扭转刚度则是指材料在扭转加载下的变形程度，可以用材料的扭转刚度系数来表示。
对于金属材料而言，其扭转强度与抗拉强度有一定的关联。
一般来说，抗拉强度越高的材料，其扭转强度也会相应提高。
这是因为扭转加载时，材料内部会产生切应力，而切应力是由剪应力和正应力组成的。
而剪应力对材料的影响较大，因此抗拉强度高的材料，其扭转强度也会相对较高。
材料的组织结构和晶界的性质也会对扭转强度和刚度产生影响。
晶界是材料中相邻晶粒之间的界面，其性质与晶粒内部有所不同。
晶界的存在会导致材料的强度和刚度降低，因为晶界是材料中比较脆弱的部分，容易发生破坏。
因此，在材料的制备过程中，需要尽量减少晶界的存在，以提高材料的扭转强度和刚度。
材料的加工工艺也会对扭转强度和刚度产生影响。
常见的加工工艺包括热处理、冷加工等。
热处理可以改变材料的晶粒大小和晶粒排列方式，从而影响材料的强度和刚度。
冷加工则可以通过加工硬化的方式提高材料的强度和刚度。
因此，在材料的加工过程中，需要选择适当的工艺参数，以提高材料的扭转强度和刚度。
扭转强度和刚度是材料力学中重要的概念，对于材料的性能和应用具有重要的影响。
在材料的设计和选择过程中，需要考虑材料的扭转强度和刚度条件，以满足实际的使用要求。
通过合理的材料选择、优化的加工工艺等手段，可以提高材料的扭转强度和刚度，从而提高材料的使用性能。
扭转强度计算ppt
6.3 扭转强度计算
内容回顾
扭转变形受力特点
扭转内力名称及方向规定
内容回顾
扭矩的计算 截面法
作扭矩图
已知一等截面实心圆轴，受力如图，MA=60KN.M， MB=15KN.M，MC=25KN.M，MD=20KN.M，试作出扭矩图。
工程背景
工程背景
工程背景
6.3 扭转强度计算 ——思路
6.3 扭转强度计算 ——内容
T（或Mn）——横截面上的扭矩来自ρ——待求点到圆心的距离
Ip——截面对其形心的极惯性矩
IP 2dA
A
分析应力分布规律
横截面上任一点切应力大小同ρ呈正比
max
Tr Ip
Wp
Ip r
——抗扭截面系数
max
T Wp
思考及练习
思考： 实心圆轴纯扭转时，如何破坏？ 从外向内，逐层破坏
练习： 例题6-2
MD 0.96kN m ，已知材料的许用切应力 80MPa
试校核该轴的强度。
解：用截面法求得BA、AC、CD段的扭矩，并
绘出扭矩图如图所示。
因为传动轴为等截面，所以最大切应力发生在 AC段内各截面周边上各点。
max
Tmax Wp
1.76103 N m
(0.05m)3
71.7 106 Pa
71.7MPa
16
因此，该轴满足强度条件。
拓展条件 总结步骤 解决例题6-3
作业布置
习题5-16 思考空心轴和实心轴的应用价值 预习下节内容——扭转变形及刚度计算
小结
扭转应力公式 扭转强度计算
再 见！
建立圆轴扭转时横截面上的应力公式 理解公式，分析应力分布规律 建立强度条件（类比轴向拉压变形） 应用解决强度计算问题
内容回顾
扭转变形受力特点
扭转内力名称及方向规定
内容回顾
扭矩的计算 截面法
作扭矩图
已知一等截面实心圆轴，受力如图，MA=60KN.M， MB=15KN.M，MC=25KN.M，MD=20KN.M，试作出扭矩图。
工程背景
工程背景
工程背景
6.3 扭转强度计算 ——思路
6.3 扭转强度计算 ——内容
T（或Mn）——横截面上的扭矩来自ρ——待求点到圆心的距离
Ip——截面对其形心的极惯性矩
IP 2dA
A
分析应力分布规律
横截面上任一点切应力大小同ρ呈正比
max
Tr Ip
Wp
Ip r
——抗扭截面系数
max
T Wp
思考及练习
思考： 实心圆轴纯扭转时，如何破坏？ 从外向内，逐层破坏
练习： 例题6-2
MD 0.96kN m ，已知材料的许用切应力 80MPa
试校核该轴的强度。
解：用截面法求得BA、AC、CD段的扭矩，并
绘出扭矩图如图所示。
因为传动轴为等截面，所以最大切应力发生在 AC段内各截面周边上各点。
max
Tmax Wp
1.76103 N m
(0.05m)3
71.7 106 Pa
71.7MPa
16
因此，该轴满足强度条件。
拓展条件 总结步骤 解决例题6-3
作业布置
习题5-16 思考空心轴和实心轴的应用价值 预习下节内容——扭转变形及刚度计算
小结
扭转应力公式 扭转强度计算
再 见！
建立圆轴扭转时横截面上的应力公式 理解公式，分析应力分布规律 建立强度条件（类比轴向拉压变形） 应用解决强度计算问题
材料力学扭转(共56张PPT)
例题： ：空心轴和实心轴材料相同，面积相同, α= 0.5。试比较空心轴和实心轴的强度和刚度情况。
解： 1〕确定两轴尺寸关系
面积相同 (1)校核空心轴及实心轴的强度〔不考虑键槽的影响〕；
扭转角单位：弧度〔rad〕 在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。
D1 d1
D d 2 2可G、I见P扭—在矩—载计抗荷算扭相1、2刚同符度的号。条规件定下和，扭空矩2心图轴绘的制重量仅为实2心轴的31% 。
1、扭转杆件的内力〔截面法〕
m
m
左段：
mx 0, T m 0
T m
右段：
m x
0,
mT 0
T m
m
Tx
T
m
x
内力偶矩——扭矩 T
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法那么判断。
+
T
T
-
3、内力图〔扭矩图〕
扭矩图作法：同轴力图：
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮 2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、 12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
二、 扭转杆的变形计算
1、扭转变形：〔相对扭转角〕
d T
dx GI P
扭转变形与内力计算式
d T dx
GIP
T dx
L GIP
1) 扭矩不变的等直轴
Tl GI p
扭转角单位：弧度〔rad〕 GIP——抗扭刚度。
2)各段扭矩为不同值的阶梯轴
Tili GI pi
3)变截面轴
T (x) dx l GI p (x)
2)、设计截面尺寸:
T
Ip
材料力学扭转教学课件PPT
200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
第五章钢筋混凝土受扭构件承载力计算ppt课件
开裂原因是拉应变达到混凝土的极限拉应变)。因此当截面
主拉应力达到混凝士抗拉强度后，结构在垂直于主拉应力 σtp作用的平面内产生与纵轴呈45°角的斜裂缝，如图5-2
试验表明：无筋矩形截 面混凝土构件在扭矩作用下 首先在截面长边中点附近最 薄弱处产生一条呈45°角方 向的斜裂缝，然后迅速地以 螺旋形向相邻两个面延伸， 最后形成一个三面开裂一面 受压的空间扭曲破坏面，使 结构立即破坏，破坏带有突 然性，具有典型脆性破坏性 质，在混凝上受扭构件中可
(5-8)
Astl ——箍筋的单肢截面面积； s ——箍筋的间距；
Acor——截面核芯部分的面积Acor = bcor hcor； ξ——抗扭纵筋与箍筋的配筋强度比，按下式计算
(5-9)
式中 Astl——对称布置在截面中的全部抗扭纵筋的截 面面积；
fy——抗扭纵筋的抗拉强度设计值；
ucor——核芯部分的周长。ucor=2(bcor+hcor)，bcor 和hcor分别为箍筋内 表面计算的截面核芯部分的短边 和长边尺寸 。
另一类是静定结构中由于变形的协调使截面产生的扭 转 称为协调扭转或附加扭转 例如图5-ｌ的框架边梁 由于框 架边梁具有一定的截面扭转刚度，它将约束楼面梁的弯曲 转动，使楼面梁在与框架边梁交点的支座处产生负弯矩作 为扭矩荷载在框架边梁产生扭矩。由于框架边梁及楼面梁 作为超静定结构，边梁及楼面梁混凝土开裂后其截面扭转 刚度将发生显著变化，边梁及楼面梁将产生塑性变形内力 重分布，楼面梁支座处负弯矩值减小，而其跨内弯矩值增 大；框架边梁扭矩也随扭矩荷载减小而减小。
钢筋混凝土结构在扭矩作用下，根据扭矩形成的原 因，可以分为两种类型：一是平衡扭转，二是协调扭转 或称为附加扭转。
若结构的扭矩是由荷载产生的，其扭矩可根据平衡 条件求得，与构件的抗扭刚度无关，这种扭转称为平衡
工程力学(扭转)课件
扭转力的作用
01
02
03
传递扭矩
在机械系统中，扭转力用 于传递扭矩，实现动力的 传递和转换。
平衡系统
在建筑结构中，扭转力用 于平衡不同方向的力和扭 矩，保持结构的稳定。
调整结构
在桥梁、高层建筑等大型 结构中，扭转力用于调整 结构的形状和稳定性。
扭转力的分类
按作用方式
可分为静态扭转力和动态扭转力。 静态扭转力作用缓慢，变形量较 小；动态扭转力作用迅速，变形
抗扭强度的计算
抗扭强度的计算公式通常基于剪切应 力的极限值或剪切模量，具体公式取 决于材料的性质和受力条件。
除了理论计算，还可以通过实验测试 来测定材料的抗扭强度。实验方法包 括扭转试验、弯曲试验和压缩试验等。
对于金属材料，可以根据弹性力学理 论计算抗扭强度。对于复合材料和复 合结构，需要考虑各组分材料的性能 以及它们之间的相互作用。
未来发展
随着科技的不断进步，工程力学 （扭转）的研究将更加深入和广
泛。
未来研究将更加注重实验和数值 模拟的结合，探索扭转变形的微
观机制和宏观表现。
随着新材料和新工艺的出现，扭 转变形的研究将更加关注材料性
能和结构优化设计。
THANKS
力矩的计算公式
M=FL，其中M为力矩，F 为力，L为力臂。
力臂
从转动轴到力的垂直距离。
力矩的平衡
平衡状态
物体保持静止或匀速直线运动的 状态。
力矩平衡条件
合力矩为零，即所有外力矩的代 数和为零。
平衡方程
∑M=0，其中∑表示求和符号， M表示外力矩。
力矩的传递
传递方式
通过轴承、齿轮等机械零件将力矩传递给其他部件。
扭矩与弹性模量的关系
材料力学课件-扭转
T
max
max
WP
即须使抗扭截面系数 Wp 相等
18
例 如图的轴的许用切应力为 60 MPa ， 校核强度。若将实心 圆轴改为内外径之比为 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件下， 求空心圆轴外径，并求两者的重量比。
m1=1kNm
D = 60
m2 =3kNm
D1
2 kNm
T
1 kNm
[解] （1）内力扭矩图：
y
Fx x
水平方向和竖直方向分量为
T
x (r)sin
T r sin
IP
y
(r)cos
T r cos
IP
水平方向合力为
Fx
xdA
A
A
Tr sin
IP
rdr d
T IP
d2
π2
r 2dr sin d
0
0
Td 3 24 I P
27
竖直方向合力为
Fy
A
ydA
A
Tr IP
cos
TC tL
C max
TC WP C
tL [ ]
πd
3 2
16
d2
16 t L
π[ ]
13
22
t
C
例5.3 图中结构由两段等截面圆轴
d1 A
L1 B L2
d2 构成。圆轴总长度为 L ，全长上作 用着均布力偶矩 t 。材料许用切应
L
力为 [ ]。要使圆轴重量为最轻，确
tL1
tL
定两段轴的长度 L1 和 L2 ，以及直
A
T
GI P
d
dx
d T
dx GIP
扭转强度及刚度条件
扭转强度及刚度条件扭转强度和刚度是材料力学中两个重要的力学性能指标，它们对于材料的使用范围和工程应用具有重要意义。
本文将从扭转强度和刚度的定义、影响因素以及测试方法等方面展开讨论，以期对读者加深对这两个概念的理解和应用。
一、扭转强度的定义和影响因素扭转强度是指材料在受到扭转力作用下的抗力，即扭转破坏前所能承受的最大扭转力。
扭转强度的大小与材料的化学成分、组织结构以及冷加工程度等因素密切相关。
一般来说，材料的强度越高，其扭转强度也会相应增加。
此外，晶粒细化、晶界强化等因素也会提高材料的扭转强度。
二、扭转刚度的定义和影响因素扭转刚度是指材料在受到扭转力作用下的变形能力，即材料在扭转过程中的刚性程度。
扭转刚度的大小与材料的弹性模量、几何形状以及外力作用方式等因素相关。
一般来说，材料的弹性模量越大，其扭转刚度也会相应增加。
此外，材料的几何形状也会影响扭转刚度，例如材料的截面形状、长度等。
三、扭转强度和刚度的测试方法为了准确测量材料的扭转强度和刚度，科学家们开发了多种测试方法。
其中，常用的方法包括扭转试验和扭转挠度测量。
扭转试验是通过施加扭转力来测试材料的扭转强度和刚度。
在试验中，先将试样固定在夹具上，然后通过扭转力矩施加扭转载荷。
根据试样的尺寸和形状，可以计算出材料的扭转强度和刚度。
扭转挠度测量是通过测量材料在受到扭转力作用下的变形程度来确定其扭转刚度。
在测试中，首先测量试样的初始长度和直径，然后施加扭转力，测量试样的变形量，最后计算出材料的扭转刚度。
四、扭转强度和刚度的应用扭转强度和刚度是材料设计和工程应用中的重要参数。
在机械工程中，扭转强度和刚度是设计和选择传动轴、转子等部件的基础。
在航空航天工程中，扭转强度和刚度是评估材料耐久性和可靠性的关键指标。
此外，在汽车制造、建筑工程、电子设备等领域，扭转强度和刚度也都扮演着重要的角色。
总结起来，扭转强度和刚度作为材料力学性能的重要指标，对于材料的使用范围和工程应用具有重要意义。
第5章 扭转轴的强度设计与刚度设计
Ip R
Wp =
max
T = Wp
式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。
工 程 力 学
第 五 章 扭 转 轴 的 强 度 设 计 与 刚 度 设 计
4、圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp
d
实心圆截面：
Ip = 2 d A =
A
d 2 0
πd 4 3 2π d = 32
πd 3 Wp = = d / 2 16
Ip
空心圆截面：
I p = dA =
2 A D/2 d /2
2d =
2
D4 d 4
32
= D 1 32
4 4
I p D 3 Wp = = 1 4 D 16 2
工 程 4. 圆轴扭转的强度设计和刚度设计 力 学
1） 圆轴的扭转失效
第 五 章 扭 转 轴 的 强 度 设 计 与 刚 度 设 计
工 程 力 二、剪切胡克定律 学 对于纯剪切应力状态的单元体， 第 五 在切应力 的作用下，单元体的直 章 角要发生微小改变，这个直角的 扭 改变量 称为切应变。
转 轴 的 强 度 设 计 与 刚 度 设 计
y
dz
dy
O
z dx 大量的试验结果表明：若应力不超过一定的限度， 对于只承受纯剪切的单元体，切应力与切应变之间 存在正比关系:
解：1）计算截面几何量。
扭 转 传动轴内外径之比为 轴 的 强 扭转截面系数为 度 设 计 与 2）校核强度。 刚 转动轴最大切应力为 度 满足强度条件。 设 计
d = = 0.933 D
WP =
D2
16
Wp =
max
T = Wp
式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。
工 程 力 学
第 五 章 扭 转 轴 的 强 度 设 计 与 刚 度 设 计
4、圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp
d
实心圆截面：
Ip = 2 d A =
A
d 2 0
πd 4 3 2π d = 32
πd 3 Wp = = d / 2 16
Ip
空心圆截面：
I p = dA =
2 A D/2 d /2
2d =
2
D4 d 4
32
= D 1 32
4 4
I p D 3 Wp = = 1 4 D 16 2
工 程 4. 圆轴扭转的强度设计和刚度设计 力 学
1） 圆轴的扭转失效
第 五 章 扭 转 轴 的 强 度 设 计 与 刚 度 设 计
工 程 力 二、剪切胡克定律 学 对于纯剪切应力状态的单元体， 第 五 在切应力 的作用下，单元体的直 章 角要发生微小改变，这个直角的 扭 改变量 称为切应变。
转 轴 的 强 度 设 计 与 刚 度 设 计
y
dz
dy
O
z dx 大量的试验结果表明：若应力不超过一定的限度， 对于只承受纯剪切的单元体，切应力与切应变之间 存在正比关系:
解：1）计算截面几何量。
扭 转 传动轴内外径之比为 轴 的 强 扭转截面系数为 度 设 计 与 2）校核强度。 刚 转动轴最大切应力为 度 满足强度条件。 设 计
d = = 0.933 D
WP =
D2
16
《扭转刚度与设计》课件
重要性
刚度对于确保结构稳定性、减少振动和应力 集中等方面至关重要。它直接影响着产品的 性能和寿命。
实际应用
刚度在桥梁、建筑物和机械设计等领域中起
设计和刚度的关系
设计过程中的刚度分析是确保产品性能和寿命的关键步骤。刚度设计需要综合考虑材料、几何 和工艺等因素。
材料选择
选择合适的材料是实现 设计刚度要求的第一步。 不同材料具有不同的刚 度特性。
复杂结构的刚度设计 需要考虑多个因素和 约束条件，合理分析 和优化。
2 成本限制
3 多学科协同
在有限的成本预算下， 如何在满足刚度要求 的前提下选择和优化 材料和结构。
多学科团队间的协同 合作和信息共享是实 现刚度设计成功的关 键。
结论和总结
刚度设计是工程设计中不可或缺的一部分，它直接影响产品的性能和寿命。 优化刚度可以提高产品质量和竞争力。
桥梁结构
刚度设计可以确保桥梁结构在受到重力和风 力作用时保持稳定。
建筑结构
优化建筑结构的刚度可以提高建筑的安全性 和抗震能力。
飞机机翼设计
机翼的刚度设计对飞机的操控性能和飞行安 全至关重要。
刚度设计的挑战和解决办法
刚度设计中存在许多挑战，但通过采用合适的方法和解决办法，可以克服这些挑战。
1 复杂性
2
激光测量
使用激光测量技术可以准确测量结构的变形和形状，为刚度优化提供可靠的数据。
3
刚度优化算法
采用刚度优化算法可以自动调整结构参数，以最大程度地满足刚度要求。
刚度设计的实际应用案例
刚度设计在许多领域中都得到了广泛应用。以下是一些实际案例，展示了刚度优化对产品性能 的重要影响。
汽车悬挂系统
通过优化悬挂系统的刚度，可以提高车辆的 稳定性和操控性能。
7-扭转变形PPT模板
，即
这样求得的 θ的单位为弧度 /米（rad /m）。在工程中， θ 的单
位习惯上用度 /米（ ° /m）表示，所以把公式中的弧度换算为度，
得
工 程 力 学
它们的计算公式见表7-1。
表7-１ 圆截面对截面形心的极惯性矩和扭转截面系数计算公式
2.2 圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时，产生最大切应力的横截面称为扭转危险截面。考虑
轴横截面上切应力的分布情况，可知危险截面上的应力大小和该点到
圆心的距离成正比。所以在横截面上存在危险点，即应力值最大的点
。为保证圆轴具有足够的扭转强度，轴的危险点的工作应力就不能超
截面上的扭矩 等于所求截面任一侧（左侧或右侧）所有外力偶的力
偶矩的代数和。
为了使从左、右两部分求得的同一截面上的扭矩正负号也相同，
对扭矩的正负号规定如下：按右手螺旋法则，使右手的拇指与其余四
指垂直，四指弯曲的方向与扭矩的转向一致，握住轴线，则大拇指的
指向背离所求截面的扭矩取正值，指向所求截面的扭矩取负值，简称
反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。
如果两截面之间的扭矩 值有变化，或轴的直径或材料不同，那
么应该分段计算各段的扭转角，然后叠加。
3.2 圆轴扭转时的刚度计算
轴类零件除应满足强度要求外，还应满足刚度要求，即不允许轴
有过大的扭转变形。工程中常采用单位长度的相对扭转角 θ来限制轴
的扭转变形的程度，从而使扭转变形量的表达式中消除长度l的影响
过材料的许用切应力[ τ ] ，故等直圆轴扭转的强度条件为
对于阶梯轴，由于 Wp各处不相等，所以最大的工作切应力 τmax
不一定发生在最大扭矩所在的截面上，因此需综合考虑扭矩T和 两个
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64R 3 n
则
F
k
§5-7 简单的扭转超静定问题
一. 扭转超静定问题的解法
和拉压超静定问题一样，要考虑平衡方程、变形相容 方程和物理方程。关键在于寻找变形协调关系作为补充 方程。
平衡方程
几何方程 物理方程
二. 算例
联立求解
[例5—9]两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受 外力偶矩M作用，试求杆两端的支座反力偶矩。
Fy 0: MC0:
FS F TFR
O F
T A
FS O
簧杆横截面上的最大切应力
max
弹簧的变形
T WP
FR
d3 /16
外力功
W 1 F 2
F
O
d
弹簧的变形能
T2l FR 22Rn
V
2GPI
2GPI
由
W V
得：
64FR3n
令
Gd4
O D
Gd 4 k
§5-6等直圆杆的扭转应变能
一.轴的扭转应变能
Me
W
O
WV 12Me
V
M e2 2GI p
V
GI p 2l
2
二.应变能密度（比能）
dW dV1 2(dy)ddzx
dV
1(dxdyd) z
2
v
dV dV
dW dx dydz
v
1
2
按剪切虎克定律
β
0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
γ
1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743
当h/b>10时，截面为狭长矩形：
a
b
b
M
a Mb abM
（5）
[例5-10]一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为l，钢
管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩m，
使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。
求此外管与内轴的最大剪应力。
内
外
T
m
解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T
内外
m l
解：
静力平衡方程为 变形协调条件为
M A M B M ( 1 )
A CC BA B0 (2 )
物理方程
AC
M Aa G Ip
CB
M Bb G Ip
（3）
（3）式代入(2)式即
MAa GIp
MBb GIp
0
（4）
（1）式和（4）式联立求解得：
M
A
=1/3
max
T Wt
T
1 h 2
3
h
T T
GIt G1 h 3
3
Thank Everybody !
一.非圆截面杆扭转的分类
1.自由扭转(纯扭转)
在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束, 任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截 面只有剪应力,而没有正应力。
CL5TU20
2.约束扭转
扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面 翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘 曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。
1
T
max
max
T
b3
1 max
T T Gb4 GIt
h/b 1.0
表 5-1 矩形截面杆扭转时的系数
1.2
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
6.0
8.0
10.0
∞
α
0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
对于实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应 力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，
这种附加的正应力是不能忽略的。
CL5TU21
二、矩形截面杆的扭转的主要结论 在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行,且 截面的四个角点上剪应力均为零。剪应力形成与周边 相切的顺流。最大剪应力发生在长边中点处.
v
1 2
2G
v
G2
2
dx dz
dy
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
F
O
d
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5 密圈螺旋弹簧的计算
二、弹簧的内力
用过弹簧轴线O-O的截面， 将弹簧截开 可近似地认为：
该截面为弹簧的横截面
G I p内
Tl
Tl T mIP内
GIp内 GIp外
1 IP内 1 IP外
Байду номын сангаасmax 内
T WP内
max 外
T
WP外
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不
再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
则
F
k
§5-7 简单的扭转超静定问题
一. 扭转超静定问题的解法
和拉压超静定问题一样，要考虑平衡方程、变形相容 方程和物理方程。关键在于寻找变形协调关系作为补充 方程。
平衡方程
几何方程 物理方程
二. 算例
联立求解
[例5—9]两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受 外力偶矩M作用，试求杆两端的支座反力偶矩。
Fy 0: MC0:
FS F TFR
O F
T A
FS O
簧杆横截面上的最大切应力
max
弹簧的变形
T WP
FR
d3 /16
外力功
W 1 F 2
F
O
d
弹簧的变形能
T2l FR 22Rn
V
2GPI
2GPI
由
W V
得：
64FR3n
令
Gd4
O D
Gd 4 k
§5-6等直圆杆的扭转应变能
一.轴的扭转应变能
Me
W
O
WV 12Me
V
M e2 2GI p
V
GI p 2l
2
二.应变能密度（比能）
dW dV1 2(dy)ddzx
dV
1(dxdyd) z
2
v
dV dV
dW dx dydz
v
1
2
按剪切虎克定律
β
0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
γ
1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743
当h/b>10时，截面为狭长矩形：
a
b
b
M
a Mb abM
（5）
[例5-10]一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为l，钢
管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩m，
使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。
求此外管与内轴的最大剪应力。
内
外
T
m
解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T
内外
m l
解：
静力平衡方程为 变形协调条件为
M A M B M ( 1 )
A CC BA B0 (2 )
物理方程
AC
M Aa G Ip
CB
M Bb G Ip
（3）
（3）式代入(2)式即
MAa GIp
MBb GIp
0
（4）
（1）式和（4）式联立求解得：
M
A
=1/3
max
T Wt
T
1 h 2
3
h
T T
GIt G1 h 3
3
Thank Everybody !
一.非圆截面杆扭转的分类
1.自由扭转(纯扭转)
在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束, 任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截 面只有剪应力,而没有正应力。
CL5TU20
2.约束扭转
扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面 翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘 曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。
1
T
max
max
T
b3
1 max
T T Gb4 GIt
h/b 1.0
表 5-1 矩形截面杆扭转时的系数
1.2
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
6.0
8.0
10.0
∞
α
0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
对于实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应 力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，
这种附加的正应力是不能忽略的。
CL5TU21
二、矩形截面杆的扭转的主要结论 在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行,且 截面的四个角点上剪应力均为零。剪应力形成与周边 相切的顺流。最大剪应力发生在长边中点处.
v
1 2
2G
v
G2
2
dx dz
dy
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
F
O
d
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5 密圈螺旋弹簧的计算
二、弹簧的内力
用过弹簧轴线O-O的截面， 将弹簧截开 可近似地认为：
该截面为弹簧的横截面
G I p内
Tl
Tl T mIP内
GIp内 GIp外
1 IP内 1 IP外
Байду номын сангаасmax 内
T WP内
max 外
T
WP外
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不
再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。