数列专题4

4，____，9 ， ±6 ，
-3，____，-27 ， ±9 ，
± 3 ； 2.在等比数列 n}中，a12•a18=3，则a15=______； 在等比数列{a 中 在等比数列 ，
3.在等比数列{an}中，a4=m， 3.在等比数列{a }中 =m， 在等比数列
4 则a1•a2•a6•a7=____； m；
n −1
3（2010 上海） 已知 数列 {an } 的前 n 项和 为 S n ，且
S n = n − 5a n −85 ， n ∈ N *
(1)证明： {an − 1} 是等比数列； (2)求数列 {Sn } 的通项公式，并求出使得 S n +1 > S n 成立的 最小正整数 n .
解析：(1) 当 n=1 时，a1=−14；当 n≥2 时，an=S n−Sn−1=−5an+5an−1+1，所以
解(I)设公比为 q ,则 an = a1q
n −1
.由已知有
1 1 a1 + a1q = 2( a + a q ) 1 1 a q 2 + a q 3 + a q 4 = 64( 1 + 1 + 1 ) 1 1 1 a1q 2 a1q 3 a1q 4
a12 q = 2 化简得 2 6 a1 q = 64
2
等比数列的前n 等比数列的前n项和公式
2 n−2
Sn = a1 + a1q + a1q +L+ a1q
3
+ a1q
n−1
① ②
qSn = a1q + a1q + a1q +L+ a1q
n−1
问题7：要求出 Sn ，是否可以把上式两边同除以1− q？ 问题7 当 1− q ≠ 0,即 ≠ 1 时， q 得： 当 1− q = 0,即 =1 时，Sn = a + a2 Sn = ?1 q
3. (2004全国Ⅰ卷文)已知等比数列 n} , a3=8 , a10=1024 全国Ⅰ卷文 已知等比数列 已知等比数列{a 全国 则该数列的通项a . 则该数列的通项 n= 4. 等比数列 n}中，a2+a3=6 , a2a3=8 ,则公比 等比数列{a 中 则公比q=________ 则公比
类比探究
解析：设等比数列{an }的公比为q， 则a4 = a1q 3，所以q = −2，所以等比数列{| an |}的公比 为 q = 2， 1 (1 − 2n ) 1 n −1 2 所以 a1 + a2 +…+ an = =2 − . 1− 2 2
2、(2010 全国卷)已知{ a n }是各项均为正数的等 比数列 ，
a1 − an q (q ≠ 1) 1− q Sn = na1 (q = 1)
已知数列｛ 是等比数列， 是前 项和， 是前n项和 已知数列｛an｝是等比数列，Sn是前 项和， 证明： 成等比数列． 证明：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…成等比数列．
等比数列{ 已知S =48， =60， 等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.
６、写出数列 2 ，9 ，23 ，44 ，72 ，107 ，… 的一个通项公式. 的一个通项公式
4、 （2010 安徽卷）设 C1 , C2 ,L , Cn ,L 是坐标平面上的一列圆，它们 的圆心都在 x 轴的正半轴上，且都与直线 y =
3 x 相切，对每一个 3
正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn +1 相互外切，以 rn 表示
G = ± a ⋅b
三、等比数列的通项公式
a n = a1 ⋅ q
n −1
(n ∈ N )
*
四、等比数列的性质 若m+n=p+q，则 am•an=ap•aq 2 am m−n 若m + n = 2s,则aman = as . =q an
1.在空格处填入恰当的数，使以下三个数成等比数列 在空格处填入恰当的数， 在空格处填入恰当的数
解:因为{an}是等比数列，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也 因为{ 是等比数列，所以S 成等比数列， 成等比数列， 所以（S2n-Sn）2=Sn（S3n-S2n）， 所以（
(S2n − Sn )2 所以S 所以S3n= +S2n=63. Sn
1 1.(2011北京卷)在等比数列{an }中，a1 = ，a4 = −4， 2 则 a1 + a2 +…+ an = _____________ .
4.在等比数列 n}中，a1=3，q=2， 在等比数列{a 中 ， ， 在等比数列 试问：第几项是96？ 试问：第几项是 ？ n = 6
例题
1．在等比数列{an}中，a1+a2=2,a3+a4=50，则公比 的值为（ ） ．在等比数列 的值为（ 中 ，则公比q的值为 A．25 B．5 C．－ ．－5 D．±5 ． ． ．－ ． 2.（2007福建文 等比数列 n}中，a4=4,则a2·a6等于 （ 福建文)等比数列 福建文 等比数列{a 中 则 A.4 B.8 C.16 D.32 （ ）
(1− q)Sn = a1 − a1q ① - ② 得：
+ a1q an = a1 + a1 +L+ a1 = na1
注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！ 注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！
等比数列的前n项和公式
已知 a1 、n、 q时 、 时 已知 a1 、an、 q时 时
a1 (1 − q n ) ( q ≠ 1) 1− q Sn = na ( q = 1) 1
2、在等比数列 {a n }中,已知 a1 = 5, a9 a10 = 100,求a18 、 求 3、在等比数列{a n }中,已知 a2 = 2, a5 = 54 ,求 S 5 、 求 4、已知三个数成等比数列,它们的和为 、已知三个数成等比数列 它们的和为 它们的和为14, 积为-216,求这三个数 求这三个数. 积为 求这三个数 5、等比数列{an}中，a1+ a2=30,a3+a4=90, 、等比数列 中 求 a 5+ a 6
数列专题4 4
高二数学组付婷
等比数列的性质
一、等比数列的证明
a n +1 1. 若 = q(n ∈ N * ), 则{an } 是等比数列; an
2 2. 若an +1 = an ⋅ a n + 2 (an +1 , an , a n + 2 均不为0), 则{an } 是等比数列.
二、等比中项 成等比数列， 的等比中项。 若a, G, b成等比数列，则G称a与b的等比中项。 成等比数列 称 与 的等比中项
又 a1 > 0, 故 q = 2, a1 = 1 . 所以 an = 2
n −1
.
1 2 1 1 2 n −1 (II)由(I)知 bn = (an + ) = an + 2 + 2 = 4 + n −1 + 2 an an 4
1 1 因此 Tn = (1 + 4 + L + 4 ) + (1 + + L + n −1 ) + 2n 4 4 1 1− 1− n n 4 −1 4 + 2n + = 4 −1 1 − 1 4 1 n 1− n = (4 − 4 ) + 2n + 1 . 3
λn+1 = 2rn+1，从而λn+1 = λn + rn + rn+1 = 2rn+1，将λn = 2rn代入，
解得rn+1 = 3rn 故 rn 为公比q = 3的等比数列。
n （∏）由于rn = 1，q = 3，故rn = 3 ，从而 = n *31− n ， rn
n −1
1 2 n 记Sn = + + ..... + , 则有 r1 r2 rn Sn = 1 + 2*3−1 + 3*3−2 + ......n *31− n Sn = 1*3−1 + 2*3−2 + ...... + (n − 1) *31− n + n *3− n 3 ① − ②,得 2Sn = 1 + 3−1 + 3−2 + ... + 31− n − n *3− n 3 1 − 3− n 3 3 −n = − n *3 = − (n + ) *3− n , 2 2 2 3 9 1 3 9 − (2n + 3) *31− n ∴ S n = − (n + ) *31− n = 4 2 2 4
1 1 1 1 1 且 a1 + a2 = 2( + ) , a3 + a4 + a5 = 64( + + ) a1 a2 a3 a4 a5
(I)求{ a n }的通项公式;
1 2 (II)设 bn = (an + ) ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . an
【命题意图】本题主要考查等比数列的基本公式,解方程组知识及分组求和知 识.
，从而
+ n − 90 (n∈N*)；
n−1
5 由 Sn+1>S n，得 6
<
2 2 ， n > log 5 + 1 ≈ 14.9 ，最小正整数 n=15． 5 6 25
练习 1、已知{an }是等比数列 且 是等比数列,且 、
an > 0 , a2 a4 + 2a3 a5 + a4 a6 = 25 求 a3 + a5